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Universidade Federal do Recncavo da Bahia Curso: Licenciatura em Fsica / Matemtica Componente: Clculo Vetorial e Integral Prof. lvaro Fernandes Serafim Aluno(a): ______________________________________

Definio: Seja D uma regio (do plano ou espao). Uma funo Fr

que associa um vetor ( )PFr a cada ponto P da regio D chamada de funo vetorial. A regio D juntamente com os vetores ( )PFr constitui um campo vetorial.

Notao para funes vetoriais:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

: (plano)

ou

2 2

1 2

1 2

F D

F x, y f x, y , f x, y

F x, y f x, y i f x, y j

=

= +

r

r

r r r

ou ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

: (espao)

ou

3 3

1 2 3

1 2 3

F D

F x, y,z f x, y,z , f x, y,z , f x, y,z

F x, y,z f x, y,z i f x, y,z j f x, y,z k

=

= + +

r

r

rr r r

Exemplos de campos vetoriais em 2 (no plano):

a) ( )F x, y x i y j= + r r r

b) ( )

++

=2222 yx

x,

yx

yy,xF r

c) Campo de fora eletrosttica, originrio de duas cargas de sinais opostos:

Campos Vetoriais & Operadores

Experimento com limalha de ferro

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Exemplo de um campo vetorial em 3 (no espao):

( ) 3rF r C.r

=

rr r

r , onde r x i y j z k= + + rr rr

e C 0> constante real.

Este campo chamado de campo de quadrado inverso e ocorre freqentemente em aplicaes fsicas. Ele usado para descrever a fora de atrao gravitacional (lei de gravitao de Newton) de uma partcula de massa M, situada na origem do espao, sobre uma outra partcula de massa m localizada num ponto

( )z,y,xP .

Notao vetorial: ( ) ( ) ( ) , 3 22 2 2CF x, y,z x, y, z C G m M

x y z

= =

+ +

r.

211

2N mG 6,67 . 10kg

=

a constante de gravitao universal.

Para representar este campo, observe que:

1) Fr

no definido na origem;

2) 23r

Cr

r.CF rr

rr

== , isto , o mdulo do vetor Fr

inversamente proporcional ao quadrado da

distncia do ponto ( )z,y,xP at a origem.

3) Fr

um mltiplo escalar negativo do vetor posio rr . Portanto, Fr

tem a mesma direo de rr e aponta para a origem.

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CAMPO GRADIENTE

Definio: Seja ( )y,xuu = uma funo escalar de duas variveis. O campo gradiente de ( )y,xu , denotado por ( )y,xu , ou simplesmente u (l-se nabla u ou del u), definido como

( ) u uu x, y i jx y

= +

r r.

Definio anloga para funo de trs variveis, isto , ( ) u u uu x, y,z i j kx y z

= + +

rr r.

Exemplo em 2 : Considere a funo escalar ( ) yxy,xu += . Esboce o campo gradiente de u .

Soluo: ( )u uu i j 1,1x y

= + =

r r.

u um campo constante.

CAMPOS CONSERVATIVOS

Definio: Dizemos que um campo vetorial Fr

conservativo numa regio 3D se Fr

o campo gradiente de alguma funo escalar ( )z,y,xuu = na regio D, isto , uF =r . A funo u chamada de funo potencial de F

r em D.

Exemplo: O campo ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 2 2 2F x, y,z y z 1 i 2xyz 2y j 3xy z 3z k= + + + + + rr r r conservativo em 3D = . A sua funo potencial

( ) , 2 3 2 3u x, y,z xy z x y z C C= + + + + , pois u u uu i j k Fx y z

= + + = =

r rr rL . (Verifique!)

Exemplo: O campo de quadrado inverso ( ) ( )3 22 2 2x i y j z kF x, y,z C.x y z

+ + =

+ +

rr rr

conservativo em

( ){ }3D 0,0,0= . A sua funo potencial

( ) ( ) 21222 zyxC

z,y,xu++

= , pois u u u

u i j k Fx y z

= + + = =

r rr rL . (Verifique!)

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DIVERGNCIA E ROTACIONAL DE CAMPOS VETORIAIS

As operaes sobre campos vetoriais que veremos a seguir so bsicas nas aplicaes do clculo vetorial mecnica dos fluidos, eletricidade e magnetismo.

Seja ( ) ( ) ( ) ( )F x, y,z f x, y,z i g x, y,z j h x, y,z k= + + rr r r , ou simplesmente ( ) F f , g , h=r , um campo vetorial definido sobre uma regio 3D .

Divergente: Definimos o divergente de Fr

, denotado por Fdivr

, como

z

hyg

x

fFdiv

+

+

=

r .

Obs.: div Fr

uma funo escalar.

Rotacional: Definimos o rotacional de Fr

, denotado por Frotr

, como

h g f h g frot F i j k

y z z x x y

= + + rr r r

.

Obs.: rot Fr

uma funo vetorial.

Podemos simplificar a notao do rotacional usando um determinante.

i j krot F

x y zf g h

=

rr r

r. Interprete, por exemplo, o produto i h

y

r

como h iy

r

.

Os outros produtos so interpretados de forma semelhante.

Os nomes divergncia e rotacional originaram-se no estudo dos fluxos de fluidos. A divergncia refere-se maneira como o fluido aproxima-se ou afasta-se de um ponto (sorvedouros e fontes), e rotacional refere-se s propriedades de rotao do fluido num ponto.

Exerccio: Calcule o divergente e o rotacional do campo ( ) ( ) ( ) ( )2 3F x, y,z x y i 2y z j 3z k= + + rr r r .

Resp.: 2div F 2xy 6 y z 3= + +r

e ( ) ( ) 3 2rot F 2 y i x k= + rr r .

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Operador del ou nabla

O smbolo del ou nabla que aparece na expresso do gradiente pode ser interpretado como um operador:

ou i j k , ,x y z x y z

= + + = rr r

.

Quando este operador aplicado numa funo escalar ( )z,y,xuu = , produz um campo gradiente:

u u uu i j k u i j k

x y z x y z = + + = + +

r rr r r r (campo gradiente de u ).

O operador permite-nos expressar o divergente e o rotacional de um campo vetorial ( )h,g,fF =r , como:

( )z

hyg

x

fh,g,fz

,

y,

xFFdiv

+

+

=

==rr

.

( )i j k

rot F F , , f ,g ,hx y z x y z

f g h

= = =

rr r

r r.

Teorema: Seja ( )h,g,fF =r um campo vetorial definido sobre 3D cujas funes componentes hg,f e tm derivadas parciais de segunda ordem contnuas em D . Ento:

Fr

um campo vetorial conservativo 0Frotrr

= , ( Fr

irrotacional)

Prova ) Seja ( )u u x, y,z= uma funo potencial para Fr em 3D , isto , F u= r .

Assim, ( ) u u uF f ,g ,h , ,x y z

= =

r. Temos ento,

u uf , gx y

= =

e

uhz

=

. (1)

Derivando a 1 igualdade de (1) em relao y, temos: =2f u u

y y x y x

=

.

Derivando a 2 igualdade de (1) em relao x, temos: =2g u u

x x y x y

=

.

Pelo Teorema de Schwarz, conclumos que f gy x

=

. Assim, nulo o 3 componente do rot F

r.

Analogamente obtemos os demais resultados que garantem 0Frotrr

= . Fica como um exerccio!

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Prova ) Requer o Teorema de Stokes e ser visto posteriormente.

Acabamos de obter um modo de verificar se um campo vetorial ou no conservativo!

Exemplo: Mostre que ( ) ( )22332 zxy3, xyz2, zyz,y,xF =r um campo vetorial conservativo. Determine a funo potencial ( )z,y,xuu = tal que uF =r .

Exerccios: Verifique se o campo vetorial ( ) ( ) ( )( )2x5, xy, xsenxyysenxz10z,y,xF +=r conservativo. Em caso afirmativo, calcule a sua funo potencial ( )z,y,xuu = .

Obs.: Aplicaes dos operadores vetoriais sero vistos nos teoremas de Green, Gauss e Stokes e nas diversas aplicaes fsicas em eletromagnetismo.