L O M E N É V Ý R A Z Y

A – 1 5

PU

VUC

4. příklad: chyba – neuvedené podmínky; ještě má být 0≠u , 6≠u

5. příklad: chyba – pozor na minus před závorkou, chybí podmínky. Správně je:

( )( )

( )211

15 71

−−− − =

−

xxx

x

( )

( )

1

1 1

−

⋅ −

x

x15 7 1 15 7 14 6− + = − − + = − +x x x v x , 1≠x

5. Lomené výrazy můžeme násobit a dělit podobně jako zlomky učebnice str. 25–31

Jak na to?, str. 27 Velmi častou chybou při počítání s lomenými výrazy je to, že žáci krátí pouze část výrazu.

Proto je nutno této problematice věnovat zvýšenou pozornost.

str. 28 Ukázku ze starého matematického textu jsme zařadili záměrně, neboť na ní můžeme demonstrovat

vývoj matematické symboliky a částečně i terminologie. Pokud by někdo raději citoval českou učebnici, je

nutno si uvědomit, že první české učebnice matematiky se objevily až ve druhé polovině 19. století. Teprve

v roce 1848 v Rakousku došlo ke zrovnoprávnění češtiny a němčiny, což otevřelo cestu k zavedení výuky

v českém jazyce na středních a vysokých školách. První české učebnice matematiky pro základní školy se

tak začaly objevovat v 50. letech 19. století, pro střední a vysoké školy ještě o desetiletí později.

1 Z textu je zřejmé, že autor zavádí a vysvětluje mocniny se záporným exponentem, což žáci probírali

v 8. třídě. Autor považuje za nutné připomínat, že např. 3 =a aaa , takže počítání s exponenty ještě v této

době nebylo příliš zafixováno.

2 Přibližný překlad je Výklad nezbytných znalostí o počítání s písmeny a z algebry.

3 Staré tisky jsou uloženy ve velkých knihovnách, např. v Národní knihovně. V posledních letech však lze

najít množství starých tisků v digitalizované podobě na internetu.

4 Vzhledem k tomu, že spis vyšel v roce 1802, byl napsán na konci 18. nebo na začátku 19. století.

5 Franz Konrad Bartl se narodil 14. června 1750 ve Vejprtech, zemřel 28. října 1813 v Olomouci. Po absol-

vování gymnázia ve Slavkově studoval na filozofické a právnické fakultě univerzity v Praze. V roce 1779

se stal mimořádným profesorem elementární matematiky na pražské filozofické fakultě. V roce 1782 pře-

šel jako řádný profesor matematiky do Olomouce. Slavných současníků v jeho době, tj. ve druhé polovině

18. a na počátku 19. století, můžeme jmenovat stovky, takže záleží na tom, z jaké oblasti bychom je vybí-

rali. Pokud zůstaneme u matematiky, byli jeho současníky například zakladatel deskriptivní geometrie

Gaspard Monge (1746–1818), P. S. Laplace (1749–1827) nebo C. F. Gauss (1777–1855). Druhá polovina

18. století byla například ve Francii obdobím osvícenství a Velké francouzské revoluce (1789). V našich

zemích jde o období vlády Marie Terezie (1717–1780), Josefa II. (1741–1790) a jeho nástupců.

5.11 Žákům je nutno vysvětlit, že správnost úpravy nějakého výrazu nezjistí tak, že spočítají hodnotu původního

a výsledného výrazu v nějakém čísle. Pokud by se tyto hodnoty lišily, je samozřejmě úprava špatná; rovnost však

není důkazem správnosti! Například výrazy 1

2

++

xx

a 2

3 1

3

−xx

mají v bodě x = 1 hodnotu 2

3, přesto se zřejmě

nerovnají.

5.1 a) 2

3 d)

56 111

45 45− = −

b) 7

12 e)

21

44

c) 27 1

132 2

=

f) 4 1

13 3

=

L O M E N É V Ý R A Z Y

A – 1 6

5.2 1. řádek: ne, má být 2

22rs

, 0≠s

2. řádek: ano

3. řádek: ne, má být 2vu

, 0≠u

4. řádek: ano

5. řádek: ano

5.3 1. řádek: podmínky: 0≠u , 0≠v

2. řádek: bez krácení 2 2

2 2

3 10 30 5

4 1421 84⋅ = =

uv x y uvx y xxy vuv uv xy

; s krácením 3 u v

4 x y

10⋅

2x y

21 u 2v

1 5 5

2 7 14= ⋅ =

x xv v

;

podmínky: 0≠u , 0≠v , 0≠x , 0≠y

3. řádek: bez krácení 2 2

4 3 3 36 1

9 4 5 180 5⋅ ⋅ = =

z ay x axyzxy bz ab ab xyz b

;

s krácením 4 z

9 x y

3⋅

a y

4 b z

3⋅

x

5 a 2

1 1 1 1

1 5 5= ⋅ ⋅ =

b b bb; podmínky 0≠a , 0≠b , 0≠x , 0≠y , 0≠z

4. řádek: bez krácení 22 3 3 2

2 2

2 2

143 42 1414

10 10

− −⋅ = =

− −

rs r r s r sr s

r r r r

( )23⋅ −s s r

r ( )

3 2 242 14

10 110 1

−=

−⋅ −rs r s

rr;

s krácením 2 2 2

2

314 14

10

−⋅ =

−s r

r s rr r

( )2

3 −⋅

s rs

r ( )

3 2 242 14

10 110 1

−=

−⋅ −rs r s

rr; podmínky 0≠r , 0,1≠r

5.4 a) 2xy

, 0≠x , 0≠y , 1≠ −a e) 2

ab

, 0≠b , 2≠b a

b) 2

−m

m s, ≠ ±m s f)

2 2c d , ≠ ±c d

c) 2 2

2 2

2 15

2

+ −− + −p pq q

p pq q, ≠p q

g)

4 3 2

2 2

9 4

4 4

−− +

uv u vu uv v

, 2≠v u

d) 2

6 3−a abb

, 0≠b h) 35 5−r r , 1≠ ±r

5.5 první výraz podmínky druhý výraz podmínky součin výrazů

45 5−x -----7

9 1x

x−19

x≠ 35x,

19

x≠

7 710 10

xx

+− 1x≠

5 51

xx

−+ 1x≠−

72

,

1x≠ ±

2

2

33

m mm m

−+

0m≠ , 3m≠−23 93

m mm+

0m≠3m− , 0m≠ ,

3m≠−

2

5025 5b b+ 0b≠ , 5b≠−

256

b b+-----

53

,

0b≠ ,

5b≠−