1. Zadatak

Poznato je da je funkcija (t) neprekidna funkcija i da je intervalu [0,6] linearna funkcija, a za t>6 je kvadratna funkcija. Ako je (0)=0,07; (6)=0,04; (7)=0,03 i (8)=0,07; odrediti funkciju sadašnje vrijednosti. Ukoliko je polovinom šeste i polovinom sedme godine osoba uplatila po 4.000€, koliko će imati na kraju 10-te godine?

1. Zadatak. Rešenje

t

6 7 8 0

0,03

0,04

0,07

2

, [0,6]( )

, 6

at b tt

ct dt e t

t

6 7 8 0

0,03

0,04

0,07

2

, [0,6]( )

, 6

at b tt

ct dt e t

2

, [0,6]( )

, 6

at b tt

ct dt e t

(0) 0,07

(6) 0,04

0,07

6 0,04

b

a b

0,07

0,005

b

a

( ) 0,005 0,07, [0,6]t t t

(6) 0,04

(7) 0,03

(8) 0,07

36 6 0,04

49 7 0,03

64 8 0,07

c d e

c d e

c d e

0,025; 0,335; 1,15c d e

Slika

2( ) 0,025 0,335 1,15 6t t t za t

2

0,005 0,07; [0,6]( )

0,025 0,335 1,15; 6

t tt

t t t

Slika

0

( )

( )

t

s ds

v t e

[0,6]Za t

0

( )

( )

t

s ds

v t e

0

( 0,005 0,07)

t

s ds

e

2

( 0,005 0,07 )02

tss

e

2

( 0,005 0,07 )2

tt

e

6Za t

0

( )

( )

t

s ds

v t e

Slika

6

0 6

( ) ( )

t

s ds s ds

e

6

2

0 6

( 0,005 0,07) (0,025 0,335 1,15)

t

s ds s s ds

e

2 3 26

( 0,005 0,07 ) (0,025 0,335 1,15 )0 62 3 2

ts s ss s

e

2

0,005 0,072

tt

e

2 3 2 3 26 6 6( 0,005 0,07 6) (0,025 0,335 1,15 ) (0,025 0,335 1,15 6)

2 3 2 3 2

t tt

e

3 2

0,025 0,335 1,15 2,343 2

t tt

e

2

3 2

0,005 0,072

0,025 0,335 1,15 2,163 2

; [0,6]( )

; 6

tt

t tt

e tv t

e t

5 7 6 0 10

4.000 4.000 ?

0t

4.000 (5,5)v 4.000 (6,5)v 10 (10)K v

102.935,62 2.362,28 0,397192856K

10 13.338,36K

2. Zadatak Investitor razmatra 2 projekta:

Prvi, kome su početni troškovi 10.000 € kao i krajem svake godine po 500€, u toku 15 godina koliko i traje projekat. Prihodi su neprekidni, 2.000€ godišnje u toku trajanja projekta, a likvidaciona vrijednost je 5.000€.

Drugi, kome su početni troškovi 15.000 €, a prihod na kraju 15-te godine je 28.000€.

a) Naći IRR u oba slučaja i dati tumačenje.

b) Ako je kamatna stopa 2%, za koji projekat će se investitor odlučiti

2. Zadatak. Rešenje

Prvi projekat:

… -500

-10.000

2.000

0 1 3 2 15

5.000

2 15

15

15

0

( ) 10.000 500 500 ... 500

2.000 5.000t

NSV i v v v

v dt v

15150 151

( ) 10.000 500 2.000 5.0001 ln

tvvNSV i v v

v v

15 15151 1

( ) 10.000 500 2.000 5.0001 ln

v vNSV i v v

v v

Metoda pokušaja

(0) 17.500NSV

(16%) 227,17NSV

1.75( 520 ,5     ) 7  NSV

(15%) 242,21NSV (15%,16%)IRR

Tačniji IRR nalazimo interpolacijom

Jednačina prave kroz dvije tačke A(x0, y0), B(x1, y1)

0 0

1 0 1 0

y y x x

y y x x

242,21 15%

227,17 242,21 16% 15%

y x

(16%) 227,17NSV (15%) 242,21NSV

Prava siječe Ox osu kada je y = 0, pa je

0 242,21 15%

496,38 1%

x

15,52%x 15,52%IRR

Drugi projekat (početni troškovi 15.000 €, a prihod na kraju 15-te godine je 28.000€):

-15.000

15 0

1 3 2

28.000

15( ) 15.000 28.000NSV i v

( ) 0NSV i 1515.000 28.000 0v

15 15.000

28.000v 15

15

28v 0,959243537v

1,042488q 4,25 ( )i IRR

b)

1(2%) 13.245,11NSV

2 (2%) 5.804,41NSV

Odabraće prvi projekat.

NAPOMENA: Ponekad se traži dobitak ili gubitak na kraju transakcije za zadatu kamatnu stopu. To je NSV(i)qT.U konkretnom slučaju

15

1 1(15) (2%) 13.245,11 1,02 17.826,17A NSV

15

2 2(15) (2%) 5.804,41 1,02 7.811,97A NSV

3. Zadatak

Osoba je pozajmila iz banke 30.000€, a kroz 2 godine još toliko. Zajam se vraća jednakim dekurzivnim mjesečnim anuitetima od kraja 6-te do kraja 16-te godine, uz 9% (pa)d. Osoba je uz plaćeni 12-ti anuitet, uplatila još 3.000€. Reprogramirati ostatak plana otplate, tj. odrediti visinu preostalih mjesečnih anuiteta ako je kamatna stopa povećana i iznosi 10% (od trenutka uplate dodatnih 3.000€!).

a 30.000 30.000

16 0 6 2 7 …

a a

… a a

1,09q

6 4

6 30.000 30.000K q q

121 1,09q

92.660,45

120 16 1 121

1

1

1

qa K q

q

120 11 121

1

192660,45

1

qq

q

1.141,99

Anticipativno!

a

16 6 2 7

… a

a

92.660,45

a

a1

a1 a1 a1

…

9% 10%

3.000

3 1,1q 124 1,1q

1211

6/11 6 1

1

1

qK K q a

q

Mjesec prije sedme godine

1211 1

1

1

11.141,992.660,45 9

1

qq

q

6/11 86.016,79K

109 41 6/11 4 109

4

1

1

qa K q

q

1.142,82

6/11 86.016,79 3.000 83.016,79K

4. Zadatak

Osoba je pozajmila iz banke 20.000€, a nakon godinu dana još 5.000€. Zajam se vraća jednakim mjesečnim anuitetima po 500€, uz 9% (pa)d., počev od kraja druge godine. Odrediti koliko anuiteta treba da vrati osoba, kao i visinu nepotpunog anuiteta.

20.000 5.000

? 0 2 1 …

500 500 500

… 500 500

Označimo sa n broj anuiteta

1,09q

121 1,09q

2

2 20.000 5.000K q q 29.212

1 12 1

1

1

1

n

n

qa K q

q

Anticipativno!

1 11

1

1500 29.212

1

n

n

qq

q

1

1 1 1500 ( 1) 29.212 ( 1)n nq q q

11 1

1

500 500 29.212 ( 1)n

n qq q

q

11 1

1

500 29.212 ( 1) 500n

n qq q

q

11

1

( 1)500 29.212 500n q

qq

1 1,718412387nq 1ln ln1,718412387nq

1

ln1,718412387

lnn

q 75,38n

Biće 75 anuiteta po 500€ i jedan nepotpuni (<500€). Poslednji potpuni (75-ti) je nakon 8 godina i 2 mjeseca, tj. Nakon 74 mjeseca od druge godine!

7574 1

8/2 2 1

1

1

1

qK K q a

q

8/2 193,30K

7574 1

1

1

129.212 500

1

qq

q

Dakle, vratiće 75 anuiteta po 500€ i jedan nepotpuni anuitet od 194,69€

8/2 1 1193,30 194.69a K q q

8

193,30

9 8/2 8/3

193,30

a’ Uveličano