1. vjeŽba - osnovna mjerenja u fizici vježbajmo što to čnije...
TRANSCRIPT
- 21 -
1 VJEŽBA - Osnovna mjerenja u fizici
Vježbajmo što točnije mjeriti dužine
Uzmite olovku ili neko drugo tijelo Uz tijelo prislonite centimetarsku ljestvicu mjerila
Nastojte što točnije izmjeriti duljinu tog tijela Nekoliko puta očitajte kolika je duljina
mjerene dužine
- Kolika je duljina Jeste li je mogli očitati
Slika 1
Pri očitavanju motrite okomito broj koji očitavate i pogledom zahvaćajte rub tijela
koje mjerite (Slika 1) Dogodi se da ne možete točno očitati mjerni podatak jer nije označen
na ljestvici Tada očitajte znamenke koje su označene a neoznačene procijenite
U primjeru na slici izmjerena duljina predmeta je
Znamenka 6 očitana je a znamenka 7 procijenjena
Obje znamenke očitane s ljestvice i procijenjene
pouzdane su znamenke
Matematička točnost često se iskazuje velikim brojem znamenki primjerice
56=08333333 U fizici se pak mjerni podatak ispisuje samo onim znamenkama koje su
označene na mjernoj ljestvici i dopiše im se procijenjena znamenka
Slika 2
U skladu s tim položaji strjelice na Slici 2 očitamo kao
Znamenke 1 i 2 pri tome su očitane dok je znamenka 8
procijenjena Podatak mjerene veličine 128 cm ima tri
pouzdane znamenke
- 22 -
11 Mjerenje duljine mjernom vrpcom
Pribor Mjerna vrpca
Zadatak 1 Odredite površinu vašeg radnog stola
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Najprije treba izmjeriti duljinu a i širinu b stola Dimenzije stola dobit ćemo tako da
svaku od njih izmjerimo na primjer 5 puta Pri svakom novom mjerenju treba vrpcu ponovo
staviti uz rub stola (Slika 111) Izmjerene podatke za a i b unesite u Tablicu 11 koja vam
pomaže kako bi podaci bili pregledni Množenjem podataka za duljinu i širinu dobit ćemo
iznos površine stola
Iz podataka za duljinu i širinu odredite
srednju vrijednost a duljine i b širine
te apsolutne pogreške ∆a ∆b kao što je
opisano u knjizi Vernić-Mikuli čić
Vježbe iz fizike Školska knjiga Zagreb
1991 na 13 strani i unesite ih u tablicu na
za njih označena mjesta Slika 111
Izračunavajući srednje vrijednosti imajte na umu da one ne smiju imati više pouzdanih
znamenaka nego pojedine vrijednosti od kojih tražite srednju vrijednost tj računom ne
možemo dobiti veću točnost nego što smo je dobili mjerenjem ali pazite na pogrešku
zaokruživanja
Korišteni izrazi
P =
P =
a =
b =
Tablica 11
a b ∆a ∆b P mjerenje jedinica cm cm cm cm m2
1
2
3
4
5
a = b = ∆am= ∆bm= P =
- 23 -
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu iznosi
=∆ mP =∆sdot+sdot∆ mm baba
m2
Maksimalna relativna pogrešku za površinu iznosi
=Pmr =sdot
∆+∆100
b
b
a
a mm
Površina uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 25____________________ mP plusmn=
Zaklju čak
- 24 -
12 Mjerenje duljine pomičnom mjerkom
Pribor Pomična mjerka cijev
Zadatak 1 Odredite debljinu stjenke cijevi
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Pomičnom mjerkom možemo odrediti duljinu neke dužine točno na primjer na
desetinku milimetra iako su na mjerci direktno označeni samo milimetri Pomična mjerka
sastoji se od štapa L na čijem su donjem bridu označeni centimetri i milimetri (Slika 121)
Duž štapa može kliziti okvir koji nosi razdiobu N zvanu nonij Kočnicu K je potrebno
pritisnuti palcem desne ruke kako bi nonij lagano klizio po štapu
Slika 121
Pomoću nonija prikazanog na slici možemo očitati 110 milimetra Načelo je ovo
svaki djelić skale na noniju je za 110 mm manji od djelića skale na štapu L (Slika 12 a)
Podudaraju li se na primjer šesta crtica nonija sa šestom crticom štapa razlika je izmentildeu nul-
crtice štapa i nonija 060 mm (uz dopisanu procijenjenu znamenku 0)
Slika 122
Slika 122 c) pokazuje položaj nonija ako je razlika izmentildeu nul-crtica 1120 mm
Broj milimetara čitamo izravno na skali štapa L 02 mm pomoću nonija te dopišemo
procijenjenu znamenku 0
Kad izmentildeu krakova A i B mjerke stavimo predmet na primjer cijev kojoj želimo
odrediti vanjski promjer na štapu L i na noniju N pročitat ćemo koliko su oba kraka
razmaknuta
Pomoću pomične mjerke na Slici 121 mogli smo izmjeriti duljinu s točnošću od 01
mm a procjena tj zadnja znamenka se obično piše kao 0 (ako se točno poklapa) ili 5 (ako se
malo razlikuje) jer na prikazanom noniju ne možemo drugačije procjenjivati znamenku
- 25 -
Mentildeutim noniji na različitim mjerkama imaju različiti broj dijelova Općenito
možemo reći da je točnost kojom možemo izmjeriti neku duljinu jednaka omjeru
najmanji djelić glavne skale -------------------------------------
broj djelića nonija
Slika 123 Slika 124
Unutrašnji otvor neke cijevi možemo izmjeriti tako da pročitamo razmak šiljaka C i D
kojima smo cijev iznutra dodirnuli (Slika 123) Slika 124 vam pomaže da izvedete
matematički izraz za debljinu stjenke cijevi d Svaku veličinu mjerite 5 puta podatke upišite
u Tablicu 12
Korišteni izrazi
R2 =
r2 =
d =
d =
Tablica 12
2R 2r ∆2R ∆2r d mjerenje jedinica mm mm mm mm m
1
2
3
4
5
R2 = r2 = ∆2Rm= ∆2rm= =d
- 26 -
Račun pogrešaka
Pomoću izraza (6) iz knjige Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike odredite maksimalnu
apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku
Maksimalna apsolutna pogreška za debljinu stjenke iznosi
=∆ md
=
Maksimalna relativna pogreška za debljinu stjenke iznosi
=dmr
=
Debljina stjenke uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) md 5____________________plusmn= Zaklju čak
- 27 -
13 Mjerenje duljine mikrometarskim vijkom
Pribor Mikrometarski vijak žica vlas kose
Zadatak 1 Odredite debljinu vlasi vaše kose
2 Odredite površinu presjeka komada žice
3 Pogreške mjerenja
Uputa
Mikrometarski vijak (Slika 131) sastoji se od vijka V koji se okreće u matici M Kod
nekih se mikrometarskih vijaka pri jednom potpunom okretu bubnja vijak pomakne za 1 mm
Ta se milimetarska razdioba može pročitati na skali S a dijelovi okreta mogu se pročitati na
bubnju B Rub bubnja razdijeljen je na 10 50 100 ili neki drugi broj dijelova Mikrometarski
vijak prikazan na Slici 131 ima bubanj razdijeljen na 50 dijelova a potpuni njegov okret
pomakne ga udesno za 05 mm
Slika 131 Slika 132
Znači da pomoću crtica na bubnju očitavamo stotinke milimetra jer pri zakretu za 50 crtica
bubanj pomaknemo za 050 mm (i pokazuje se crtica dolje na skali S) Mjerimo li npr
debljinu žice treba žicu staviti izmentildeu nakovnja N i vijka V te čegrtaljkom Č na kraju vijka s
narovašenim dijelom pritisnuti uz nakovanj Čegrtaljka služi kako ne bismo pretegli vijak i
deformirali uzorak mjerenja dakle postoji mehanizam koji to ne dopušta (ponekad se čuje i
zvučni signal) Kočnica K služi kako bismo zakočili vijak kako nam se ne bi pomaknuo
prilikom mjerenja
Debljinu žice pročitat ćemo pomoću skale S i bubnja B Na skali S ćemo pročitati broj
milimetara do točnosti 05 mm a na bubnju stotinke milimetra tj broj koji se nalazi na
bubnju nasuprot pravcu skale S Pomoću bubnja možemo procijeniti i tisućinku milimetra
Na našoj Slici 132 možemo očitati 1 mm (jer je jedna crtica gore) 039 mm (jer ima 39
crtica na bubnju) i procijenjena znamenka je 0 što nam daje konačni rezultat od 1390 mm
Općenito možemo reći da je točnost kojom možemo izmjeriti neku duljinu pomoću
mikrometarskog vijka jednaka omjeru
najmanji djelić glavne skale
------------------------------------
broj djelića bubnja
- 28 -
Uzmite vlas vaše kose i izmjerite joj debljinu Pazite da vijak stežete na kraju kako ne
biste deformirali uzorak Mjerite 5 puta podatke upišite u Tablicu 13 te odredite maksimalnu
apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja Odredite površinu presjeka komada
žice tako da izmjerite mikrometarskim vijkom promjer žice mjereći 5 puta
Korišteni izrazi
kd =
žd =
žP =
žP =
Tablica 13
dk ∆dk dž ∆dž Pž mjerenje jedinica mm mm mm mm mm2
1
2
3
4
5
=kd ∆dk m= =žd ∆dž m= =žP
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku mjerenja debljine žice i pomoću nje izraza za
površinu kruga i pomoću izraza (6) i (10) iz knjige Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
izračunajte i napišite vrijednost za maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za P
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
=∆ kmd
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu presjeka žice iznosi
=∆ žmP
=
- 29 -
Maksimalna relativna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
=dkmr
=
Maksimalna relativna pogreška za površinu presjeka žice iznosi
=Pžmr
=
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) mmdk 5____________________plusmn=
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 25____________________ mmPž plusmn=
Zaklju čak
- 30 -
14 Odrentildeivanje mase vaganjem
Pribor Precizna laboratorijska vaga (tehnička) kutija s utezima predmet za vaganje
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu danog predmeta
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Masu nekog tijela možemo odrediti vagom Vagom usporentildeujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne
laboratorijske vage (tehničke vage) prikazane na slici 141 možemo izmjeriti masu tijela do
stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnotežu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 mentildeusobno jednaki jer se ravnoteža uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
sdot=sdotsdotsdot=sdotsdot
=
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage možemo izbjeći važući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnotežimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk sdot=sdot
- 31 -
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteža Tada je
21 kmkm tu sdot=sdot
Iz tih dviju jednadžbi zaključujemo da je
21 kmkm ux sdot=sdot
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k ne
Pri uspostavljanju ravnoteže pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridržavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brže i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je važan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj možemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne možemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 2 x 1 g 500 mg 200 mg 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi
manji od 1 g obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom a kompletirani su u jednoj
kutijici
Svaka vaga ima maksimalno opterećenje koje je zapisano na vagi Koliko ono iznosi
za našu vagu ___________________________
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan položaj pomoću libele L (niveliramo) Libela se
nalazi na postolju vage a pomoću nožica (N1 i N2) možemo postolje dovesti u vodoravan
položaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se može zakočiti Okretom
dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz ležaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteži tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (V1 i V2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnotežni položaj na skali S
Procjenu treba vršiti pomoću skale S Kako ćemo znati na koju vrijednost
procjenjujemo Postupak je slijedeći na desni kraj vage stavite uteg od 20 ili 100 mg a lijevi
kraj ostavite prazan i gledajte njezin otklon na skali S tj želite saznati koliku masu
predstavlja otklon 1 crtice na skali S vage Skala ima nul oznaku (0) (+) za mjerenje kada
dodajemo masu koja je pridružena odrentildeenom broju crtica i (-) za oduzimanje Postoje vage s
već baždarenom skalom i svjetlom
1 crtica iznosi mg
- 32 -
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred posebnog antivibracijskog stola ispunjenog
pijeskom i teškim kamenim blokom ili stolom pričvršćenim na zid na kojem je vaga tako da
ravno gledamo u njezinu sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage
stavimo tijelo mase mx koje želimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan
uteg počevši od najvećeg Dokle god preteže desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim
manjim Kada prvi put prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu
na isti način utege koji su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj
postupak treba nastaviti dok ne uspostavimo ravnotežu Ravnoteža je postignuta kad se oba
šiljka vage poklapaju Kad smo uspostavili ravnotežu zakočimo vagu i po redu skidamo
utege zapisujući veličinu mase svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da predmet izvažete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vježbe Rezultate upišite u Tablicu 14 Nantildeite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
Prisjetite se izraza Koliko si težak te razmislite koji bi trebao biti vaš odgovor na
takvo pitanje _______________________________________________________________
Korišteni izrazi
m =
Tablica 14
m ∆m mjerenje jedinica g g
1
2
3
4
5
=m
- 33 -
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=∆ mm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=mmr
=
Masa predmeta uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) gm 5____________________plusmn=
Zaklju čak
- 34 -
15 Odrentildeivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
možemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo možemo volumen tijela odrediti
mjereći volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije
negoli tijelo uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite dok mjerite da gledate rub meniskusa
a ne tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta
Svaki put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovno odrediti razinu u menzuri Rezultate
upišite u Tablicu 15
Korišteni izrazi
tm =
tρ =
- 35 -
tV =
tV =
tρ =
Tablica 15
mt V1 V2 Vt ρt mjerenje jedinica g lm lm lm kgm3
1
2
3
4
5
=tm =tV =tρ
Račun pogrešaka
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku i maksimalnu relativnu pogrešku gustoće tijela tako
da ih izvedete kao u knjizi Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
=∆ tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
=∆ tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
=∆ tmρ
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
=tm
rρ
=
- 36 -
Tablica 16 Tablica gustoće nekih tvari
ρ (kgm-3) plastelin 1800 staklo 2500
kamen pješčar 2560 kremen 2600 aluminij 2700 mramor 2800 čelik 7900 mjed 8500 bakar 8900 olovo 11300
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od tablične vrijednosti za __________________
koja iznosi ______________ kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće tijela
=t
pρ =sdotminus
100tab
ttab
ρρρ
=sdot 100 -
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 35 ____________________ mkgt plusmn=ρ
Zaklju čak
- 37 -
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi zaporna ura
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju ∆x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikažite
grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se mentildeusoban položaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira tj mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmentildeu molekula javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijentildee granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduženje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku možemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je
kraju obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 22 -
11 Mjerenje duljine mjernom vrpcom
Pribor Mjerna vrpca
Zadatak 1 Odredite površinu vašeg radnog stola
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Najprije treba izmjeriti duljinu a i širinu b stola Dimenzije stola dobit ćemo tako da
svaku od njih izmjerimo na primjer 5 puta Pri svakom novom mjerenju treba vrpcu ponovo
staviti uz rub stola (Slika 111) Izmjerene podatke za a i b unesite u Tablicu 11 koja vam
pomaže kako bi podaci bili pregledni Množenjem podataka za duljinu i širinu dobit ćemo
iznos površine stola
Iz podataka za duljinu i širinu odredite
srednju vrijednost a duljine i b širine
te apsolutne pogreške ∆a ∆b kao što je
opisano u knjizi Vernić-Mikuli čić
Vježbe iz fizike Školska knjiga Zagreb
1991 na 13 strani i unesite ih u tablicu na
za njih označena mjesta Slika 111
Izračunavajući srednje vrijednosti imajte na umu da one ne smiju imati više pouzdanih
znamenaka nego pojedine vrijednosti od kojih tražite srednju vrijednost tj računom ne
možemo dobiti veću točnost nego što smo je dobili mjerenjem ali pazite na pogrešku
zaokruživanja
Korišteni izrazi
P =
P =
a =
b =
Tablica 11
a b ∆a ∆b P mjerenje jedinica cm cm cm cm m2
1
2
3
4
5
a = b = ∆am= ∆bm= P =
- 23 -
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu iznosi
=∆ mP =∆sdot+sdot∆ mm baba
m2
Maksimalna relativna pogrešku za površinu iznosi
=Pmr =sdot
∆+∆100
b
b
a
a mm
Površina uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 25____________________ mP plusmn=
Zaklju čak
- 24 -
12 Mjerenje duljine pomičnom mjerkom
Pribor Pomična mjerka cijev
Zadatak 1 Odredite debljinu stjenke cijevi
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Pomičnom mjerkom možemo odrediti duljinu neke dužine točno na primjer na
desetinku milimetra iako su na mjerci direktno označeni samo milimetri Pomična mjerka
sastoji se od štapa L na čijem su donjem bridu označeni centimetri i milimetri (Slika 121)
Duž štapa može kliziti okvir koji nosi razdiobu N zvanu nonij Kočnicu K je potrebno
pritisnuti palcem desne ruke kako bi nonij lagano klizio po štapu
Slika 121
Pomoću nonija prikazanog na slici možemo očitati 110 milimetra Načelo je ovo
svaki djelić skale na noniju je za 110 mm manji od djelića skale na štapu L (Slika 12 a)
Podudaraju li se na primjer šesta crtica nonija sa šestom crticom štapa razlika je izmentildeu nul-
crtice štapa i nonija 060 mm (uz dopisanu procijenjenu znamenku 0)
Slika 122
Slika 122 c) pokazuje položaj nonija ako je razlika izmentildeu nul-crtica 1120 mm
Broj milimetara čitamo izravno na skali štapa L 02 mm pomoću nonija te dopišemo
procijenjenu znamenku 0
Kad izmentildeu krakova A i B mjerke stavimo predmet na primjer cijev kojoj želimo
odrediti vanjski promjer na štapu L i na noniju N pročitat ćemo koliko su oba kraka
razmaknuta
Pomoću pomične mjerke na Slici 121 mogli smo izmjeriti duljinu s točnošću od 01
mm a procjena tj zadnja znamenka se obično piše kao 0 (ako se točno poklapa) ili 5 (ako se
malo razlikuje) jer na prikazanom noniju ne možemo drugačije procjenjivati znamenku
- 25 -
Mentildeutim noniji na različitim mjerkama imaju različiti broj dijelova Općenito
možemo reći da je točnost kojom možemo izmjeriti neku duljinu jednaka omjeru
najmanji djelić glavne skale -------------------------------------
broj djelića nonija
Slika 123 Slika 124
Unutrašnji otvor neke cijevi možemo izmjeriti tako da pročitamo razmak šiljaka C i D
kojima smo cijev iznutra dodirnuli (Slika 123) Slika 124 vam pomaže da izvedete
matematički izraz za debljinu stjenke cijevi d Svaku veličinu mjerite 5 puta podatke upišite
u Tablicu 12
Korišteni izrazi
R2 =
r2 =
d =
d =
Tablica 12
2R 2r ∆2R ∆2r d mjerenje jedinica mm mm mm mm m
1
2
3
4
5
R2 = r2 = ∆2Rm= ∆2rm= =d
- 26 -
Račun pogrešaka
Pomoću izraza (6) iz knjige Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike odredite maksimalnu
apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku
Maksimalna apsolutna pogreška za debljinu stjenke iznosi
=∆ md
=
Maksimalna relativna pogreška za debljinu stjenke iznosi
=dmr
=
Debljina stjenke uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) md 5____________________plusmn= Zaklju čak
- 27 -
13 Mjerenje duljine mikrometarskim vijkom
Pribor Mikrometarski vijak žica vlas kose
Zadatak 1 Odredite debljinu vlasi vaše kose
2 Odredite površinu presjeka komada žice
3 Pogreške mjerenja
Uputa
Mikrometarski vijak (Slika 131) sastoji se od vijka V koji se okreće u matici M Kod
nekih se mikrometarskih vijaka pri jednom potpunom okretu bubnja vijak pomakne za 1 mm
Ta se milimetarska razdioba može pročitati na skali S a dijelovi okreta mogu se pročitati na
bubnju B Rub bubnja razdijeljen je na 10 50 100 ili neki drugi broj dijelova Mikrometarski
vijak prikazan na Slici 131 ima bubanj razdijeljen na 50 dijelova a potpuni njegov okret
pomakne ga udesno za 05 mm
Slika 131 Slika 132
Znači da pomoću crtica na bubnju očitavamo stotinke milimetra jer pri zakretu za 50 crtica
bubanj pomaknemo za 050 mm (i pokazuje se crtica dolje na skali S) Mjerimo li npr
debljinu žice treba žicu staviti izmentildeu nakovnja N i vijka V te čegrtaljkom Č na kraju vijka s
narovašenim dijelom pritisnuti uz nakovanj Čegrtaljka služi kako ne bismo pretegli vijak i
deformirali uzorak mjerenja dakle postoji mehanizam koji to ne dopušta (ponekad se čuje i
zvučni signal) Kočnica K služi kako bismo zakočili vijak kako nam se ne bi pomaknuo
prilikom mjerenja
Debljinu žice pročitat ćemo pomoću skale S i bubnja B Na skali S ćemo pročitati broj
milimetara do točnosti 05 mm a na bubnju stotinke milimetra tj broj koji se nalazi na
bubnju nasuprot pravcu skale S Pomoću bubnja možemo procijeniti i tisućinku milimetra
Na našoj Slici 132 možemo očitati 1 mm (jer je jedna crtica gore) 039 mm (jer ima 39
crtica na bubnju) i procijenjena znamenka je 0 što nam daje konačni rezultat od 1390 mm
Općenito možemo reći da je točnost kojom možemo izmjeriti neku duljinu pomoću
mikrometarskog vijka jednaka omjeru
najmanji djelić glavne skale
------------------------------------
broj djelića bubnja
- 28 -
Uzmite vlas vaše kose i izmjerite joj debljinu Pazite da vijak stežete na kraju kako ne
biste deformirali uzorak Mjerite 5 puta podatke upišite u Tablicu 13 te odredite maksimalnu
apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja Odredite površinu presjeka komada
žice tako da izmjerite mikrometarskim vijkom promjer žice mjereći 5 puta
Korišteni izrazi
kd =
žd =
žP =
žP =
Tablica 13
dk ∆dk dž ∆dž Pž mjerenje jedinica mm mm mm mm mm2
1
2
3
4
5
=kd ∆dk m= =žd ∆dž m= =žP
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku mjerenja debljine žice i pomoću nje izraza za
površinu kruga i pomoću izraza (6) i (10) iz knjige Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
izračunajte i napišite vrijednost za maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za P
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
=∆ kmd
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu presjeka žice iznosi
=∆ žmP
=
- 29 -
Maksimalna relativna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
=dkmr
=
Maksimalna relativna pogreška za površinu presjeka žice iznosi
=Pžmr
=
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) mmdk 5____________________plusmn=
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 25____________________ mmPž plusmn=
Zaklju čak
- 30 -
14 Odrentildeivanje mase vaganjem
Pribor Precizna laboratorijska vaga (tehnička) kutija s utezima predmet za vaganje
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu danog predmeta
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Masu nekog tijela možemo odrediti vagom Vagom usporentildeujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne
laboratorijske vage (tehničke vage) prikazane na slici 141 možemo izmjeriti masu tijela do
stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnotežu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 mentildeusobno jednaki jer se ravnoteža uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
sdot=sdotsdotsdot=sdotsdot
=
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage možemo izbjeći važući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnotežimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk sdot=sdot
- 31 -
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteža Tada je
21 kmkm tu sdot=sdot
Iz tih dviju jednadžbi zaključujemo da je
21 kmkm ux sdot=sdot
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k ne
Pri uspostavljanju ravnoteže pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridržavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brže i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je važan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj možemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne možemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 2 x 1 g 500 mg 200 mg 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi
manji od 1 g obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom a kompletirani su u jednoj
kutijici
Svaka vaga ima maksimalno opterećenje koje je zapisano na vagi Koliko ono iznosi
za našu vagu ___________________________
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan položaj pomoću libele L (niveliramo) Libela se
nalazi na postolju vage a pomoću nožica (N1 i N2) možemo postolje dovesti u vodoravan
položaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se može zakočiti Okretom
dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz ležaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteži tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (V1 i V2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnotežni položaj na skali S
Procjenu treba vršiti pomoću skale S Kako ćemo znati na koju vrijednost
procjenjujemo Postupak je slijedeći na desni kraj vage stavite uteg od 20 ili 100 mg a lijevi
kraj ostavite prazan i gledajte njezin otklon na skali S tj želite saznati koliku masu
predstavlja otklon 1 crtice na skali S vage Skala ima nul oznaku (0) (+) za mjerenje kada
dodajemo masu koja je pridružena odrentildeenom broju crtica i (-) za oduzimanje Postoje vage s
već baždarenom skalom i svjetlom
1 crtica iznosi mg
- 32 -
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred posebnog antivibracijskog stola ispunjenog
pijeskom i teškim kamenim blokom ili stolom pričvršćenim na zid na kojem je vaga tako da
ravno gledamo u njezinu sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage
stavimo tijelo mase mx koje želimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan
uteg počevši od najvećeg Dokle god preteže desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim
manjim Kada prvi put prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu
na isti način utege koji su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj
postupak treba nastaviti dok ne uspostavimo ravnotežu Ravnoteža je postignuta kad se oba
šiljka vage poklapaju Kad smo uspostavili ravnotežu zakočimo vagu i po redu skidamo
utege zapisujući veličinu mase svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da predmet izvažete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vježbe Rezultate upišite u Tablicu 14 Nantildeite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
Prisjetite se izraza Koliko si težak te razmislite koji bi trebao biti vaš odgovor na
takvo pitanje _______________________________________________________________
Korišteni izrazi
m =
Tablica 14
m ∆m mjerenje jedinica g g
1
2
3
4
5
=m
- 33 -
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=∆ mm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=mmr
=
Masa predmeta uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) gm 5____________________plusmn=
Zaklju čak
- 34 -
15 Odrentildeivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
možemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo možemo volumen tijela odrediti
mjereći volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije
negoli tijelo uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite dok mjerite da gledate rub meniskusa
a ne tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta
Svaki put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovno odrediti razinu u menzuri Rezultate
upišite u Tablicu 15
Korišteni izrazi
tm =
tρ =
- 35 -
tV =
tV =
tρ =
Tablica 15
mt V1 V2 Vt ρt mjerenje jedinica g lm lm lm kgm3
1
2
3
4
5
=tm =tV =tρ
Račun pogrešaka
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku i maksimalnu relativnu pogrešku gustoće tijela tako
da ih izvedete kao u knjizi Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
=∆ tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
=∆ tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
=∆ tmρ
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
=tm
rρ
=
- 36 -
Tablica 16 Tablica gustoće nekih tvari
ρ (kgm-3) plastelin 1800 staklo 2500
kamen pješčar 2560 kremen 2600 aluminij 2700 mramor 2800 čelik 7900 mjed 8500 bakar 8900 olovo 11300
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od tablične vrijednosti za __________________
koja iznosi ______________ kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće tijela
=t
pρ =sdotminus
100tab
ttab
ρρρ
=sdot 100 -
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 35 ____________________ mkgt plusmn=ρ
Zaklju čak
- 37 -
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi zaporna ura
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju ∆x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikažite
grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se mentildeusoban položaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira tj mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmentildeu molekula javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijentildee granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduženje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku možemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je
kraju obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 23 -
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu iznosi
=∆ mP =∆sdot+sdot∆ mm baba
m2
Maksimalna relativna pogrešku za površinu iznosi
=Pmr =sdot
∆+∆100
b
b
a
a mm
Površina uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 25____________________ mP plusmn=
Zaklju čak
- 24 -
12 Mjerenje duljine pomičnom mjerkom
Pribor Pomična mjerka cijev
Zadatak 1 Odredite debljinu stjenke cijevi
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Pomičnom mjerkom možemo odrediti duljinu neke dužine točno na primjer na
desetinku milimetra iako su na mjerci direktno označeni samo milimetri Pomična mjerka
sastoji se od štapa L na čijem su donjem bridu označeni centimetri i milimetri (Slika 121)
Duž štapa može kliziti okvir koji nosi razdiobu N zvanu nonij Kočnicu K je potrebno
pritisnuti palcem desne ruke kako bi nonij lagano klizio po štapu
Slika 121
Pomoću nonija prikazanog na slici možemo očitati 110 milimetra Načelo je ovo
svaki djelić skale na noniju je za 110 mm manji od djelića skale na štapu L (Slika 12 a)
Podudaraju li se na primjer šesta crtica nonija sa šestom crticom štapa razlika je izmentildeu nul-
crtice štapa i nonija 060 mm (uz dopisanu procijenjenu znamenku 0)
Slika 122
Slika 122 c) pokazuje položaj nonija ako je razlika izmentildeu nul-crtica 1120 mm
Broj milimetara čitamo izravno na skali štapa L 02 mm pomoću nonija te dopišemo
procijenjenu znamenku 0
Kad izmentildeu krakova A i B mjerke stavimo predmet na primjer cijev kojoj želimo
odrediti vanjski promjer na štapu L i na noniju N pročitat ćemo koliko su oba kraka
razmaknuta
Pomoću pomične mjerke na Slici 121 mogli smo izmjeriti duljinu s točnošću od 01
mm a procjena tj zadnja znamenka se obično piše kao 0 (ako se točno poklapa) ili 5 (ako se
malo razlikuje) jer na prikazanom noniju ne možemo drugačije procjenjivati znamenku
- 25 -
Mentildeutim noniji na različitim mjerkama imaju različiti broj dijelova Općenito
možemo reći da je točnost kojom možemo izmjeriti neku duljinu jednaka omjeru
najmanji djelić glavne skale -------------------------------------
broj djelića nonija
Slika 123 Slika 124
Unutrašnji otvor neke cijevi možemo izmjeriti tako da pročitamo razmak šiljaka C i D
kojima smo cijev iznutra dodirnuli (Slika 123) Slika 124 vam pomaže da izvedete
matematički izraz za debljinu stjenke cijevi d Svaku veličinu mjerite 5 puta podatke upišite
u Tablicu 12
Korišteni izrazi
R2 =
r2 =
d =
d =
Tablica 12
2R 2r ∆2R ∆2r d mjerenje jedinica mm mm mm mm m
1
2
3
4
5
R2 = r2 = ∆2Rm= ∆2rm= =d
- 26 -
Račun pogrešaka
Pomoću izraza (6) iz knjige Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike odredite maksimalnu
apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku
Maksimalna apsolutna pogreška za debljinu stjenke iznosi
=∆ md
=
Maksimalna relativna pogreška za debljinu stjenke iznosi
=dmr
=
Debljina stjenke uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) md 5____________________plusmn= Zaklju čak
- 27 -
13 Mjerenje duljine mikrometarskim vijkom
Pribor Mikrometarski vijak žica vlas kose
Zadatak 1 Odredite debljinu vlasi vaše kose
2 Odredite površinu presjeka komada žice
3 Pogreške mjerenja
Uputa
Mikrometarski vijak (Slika 131) sastoji se od vijka V koji se okreće u matici M Kod
nekih se mikrometarskih vijaka pri jednom potpunom okretu bubnja vijak pomakne za 1 mm
Ta se milimetarska razdioba može pročitati na skali S a dijelovi okreta mogu se pročitati na
bubnju B Rub bubnja razdijeljen je na 10 50 100 ili neki drugi broj dijelova Mikrometarski
vijak prikazan na Slici 131 ima bubanj razdijeljen na 50 dijelova a potpuni njegov okret
pomakne ga udesno za 05 mm
Slika 131 Slika 132
Znači da pomoću crtica na bubnju očitavamo stotinke milimetra jer pri zakretu za 50 crtica
bubanj pomaknemo za 050 mm (i pokazuje se crtica dolje na skali S) Mjerimo li npr
debljinu žice treba žicu staviti izmentildeu nakovnja N i vijka V te čegrtaljkom Č na kraju vijka s
narovašenim dijelom pritisnuti uz nakovanj Čegrtaljka služi kako ne bismo pretegli vijak i
deformirali uzorak mjerenja dakle postoji mehanizam koji to ne dopušta (ponekad se čuje i
zvučni signal) Kočnica K služi kako bismo zakočili vijak kako nam se ne bi pomaknuo
prilikom mjerenja
Debljinu žice pročitat ćemo pomoću skale S i bubnja B Na skali S ćemo pročitati broj
milimetara do točnosti 05 mm a na bubnju stotinke milimetra tj broj koji se nalazi na
bubnju nasuprot pravcu skale S Pomoću bubnja možemo procijeniti i tisućinku milimetra
Na našoj Slici 132 možemo očitati 1 mm (jer je jedna crtica gore) 039 mm (jer ima 39
crtica na bubnju) i procijenjena znamenka je 0 što nam daje konačni rezultat od 1390 mm
Općenito možemo reći da je točnost kojom možemo izmjeriti neku duljinu pomoću
mikrometarskog vijka jednaka omjeru
najmanji djelić glavne skale
------------------------------------
broj djelića bubnja
- 28 -
Uzmite vlas vaše kose i izmjerite joj debljinu Pazite da vijak stežete na kraju kako ne
biste deformirali uzorak Mjerite 5 puta podatke upišite u Tablicu 13 te odredite maksimalnu
apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja Odredite površinu presjeka komada
žice tako da izmjerite mikrometarskim vijkom promjer žice mjereći 5 puta
Korišteni izrazi
kd =
žd =
žP =
žP =
Tablica 13
dk ∆dk dž ∆dž Pž mjerenje jedinica mm mm mm mm mm2
1
2
3
4
5
=kd ∆dk m= =žd ∆dž m= =žP
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku mjerenja debljine žice i pomoću nje izraza za
površinu kruga i pomoću izraza (6) i (10) iz knjige Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
izračunajte i napišite vrijednost za maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za P
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
=∆ kmd
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu presjeka žice iznosi
=∆ žmP
=
- 29 -
Maksimalna relativna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
=dkmr
=
Maksimalna relativna pogreška za površinu presjeka žice iznosi
=Pžmr
=
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) mmdk 5____________________plusmn=
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 25____________________ mmPž plusmn=
Zaklju čak
- 30 -
14 Odrentildeivanje mase vaganjem
Pribor Precizna laboratorijska vaga (tehnička) kutija s utezima predmet za vaganje
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu danog predmeta
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Masu nekog tijela možemo odrediti vagom Vagom usporentildeujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne
laboratorijske vage (tehničke vage) prikazane na slici 141 možemo izmjeriti masu tijela do
stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnotežu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 mentildeusobno jednaki jer se ravnoteža uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
sdot=sdotsdotsdot=sdotsdot
=
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage možemo izbjeći važući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnotežimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk sdot=sdot
- 31 -
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteža Tada je
21 kmkm tu sdot=sdot
Iz tih dviju jednadžbi zaključujemo da je
21 kmkm ux sdot=sdot
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k ne
Pri uspostavljanju ravnoteže pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridržavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brže i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je važan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj možemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne možemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 2 x 1 g 500 mg 200 mg 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi
manji od 1 g obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom a kompletirani su u jednoj
kutijici
Svaka vaga ima maksimalno opterećenje koje je zapisano na vagi Koliko ono iznosi
za našu vagu ___________________________
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan položaj pomoću libele L (niveliramo) Libela se
nalazi na postolju vage a pomoću nožica (N1 i N2) možemo postolje dovesti u vodoravan
položaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se može zakočiti Okretom
dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz ležaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteži tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (V1 i V2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnotežni položaj na skali S
Procjenu treba vršiti pomoću skale S Kako ćemo znati na koju vrijednost
procjenjujemo Postupak je slijedeći na desni kraj vage stavite uteg od 20 ili 100 mg a lijevi
kraj ostavite prazan i gledajte njezin otklon na skali S tj želite saznati koliku masu
predstavlja otklon 1 crtice na skali S vage Skala ima nul oznaku (0) (+) za mjerenje kada
dodajemo masu koja je pridružena odrentildeenom broju crtica i (-) za oduzimanje Postoje vage s
već baždarenom skalom i svjetlom
1 crtica iznosi mg
- 32 -
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred posebnog antivibracijskog stola ispunjenog
pijeskom i teškim kamenim blokom ili stolom pričvršćenim na zid na kojem je vaga tako da
ravno gledamo u njezinu sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage
stavimo tijelo mase mx koje želimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan
uteg počevši od najvećeg Dokle god preteže desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim
manjim Kada prvi put prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu
na isti način utege koji su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj
postupak treba nastaviti dok ne uspostavimo ravnotežu Ravnoteža je postignuta kad se oba
šiljka vage poklapaju Kad smo uspostavili ravnotežu zakočimo vagu i po redu skidamo
utege zapisujući veličinu mase svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da predmet izvažete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vježbe Rezultate upišite u Tablicu 14 Nantildeite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
Prisjetite se izraza Koliko si težak te razmislite koji bi trebao biti vaš odgovor na
takvo pitanje _______________________________________________________________
Korišteni izrazi
m =
Tablica 14
m ∆m mjerenje jedinica g g
1
2
3
4
5
=m
- 33 -
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=∆ mm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=mmr
=
Masa predmeta uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) gm 5____________________plusmn=
Zaklju čak
- 34 -
15 Odrentildeivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
možemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo možemo volumen tijela odrediti
mjereći volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije
negoli tijelo uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite dok mjerite da gledate rub meniskusa
a ne tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta
Svaki put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovno odrediti razinu u menzuri Rezultate
upišite u Tablicu 15
Korišteni izrazi
tm =
tρ =
- 35 -
tV =
tV =
tρ =
Tablica 15
mt V1 V2 Vt ρt mjerenje jedinica g lm lm lm kgm3
1
2
3
4
5
=tm =tV =tρ
Račun pogrešaka
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku i maksimalnu relativnu pogrešku gustoće tijela tako
da ih izvedete kao u knjizi Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
=∆ tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
=∆ tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
=∆ tmρ
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
=tm
rρ
=
- 36 -
Tablica 16 Tablica gustoće nekih tvari
ρ (kgm-3) plastelin 1800 staklo 2500
kamen pješčar 2560 kremen 2600 aluminij 2700 mramor 2800 čelik 7900 mjed 8500 bakar 8900 olovo 11300
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od tablične vrijednosti za __________________
koja iznosi ______________ kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće tijela
=t
pρ =sdotminus
100tab
ttab
ρρρ
=sdot 100 -
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 35 ____________________ mkgt plusmn=ρ
Zaklju čak
- 37 -
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi zaporna ura
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju ∆x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikažite
grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se mentildeusoban položaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira tj mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmentildeu molekula javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijentildee granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduženje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku možemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je
kraju obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 24 -
12 Mjerenje duljine pomičnom mjerkom
Pribor Pomična mjerka cijev
Zadatak 1 Odredite debljinu stjenke cijevi
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Pomičnom mjerkom možemo odrediti duljinu neke dužine točno na primjer na
desetinku milimetra iako su na mjerci direktno označeni samo milimetri Pomična mjerka
sastoji se od štapa L na čijem su donjem bridu označeni centimetri i milimetri (Slika 121)
Duž štapa može kliziti okvir koji nosi razdiobu N zvanu nonij Kočnicu K je potrebno
pritisnuti palcem desne ruke kako bi nonij lagano klizio po štapu
Slika 121
Pomoću nonija prikazanog na slici možemo očitati 110 milimetra Načelo je ovo
svaki djelić skale na noniju je za 110 mm manji od djelića skale na štapu L (Slika 12 a)
Podudaraju li se na primjer šesta crtica nonija sa šestom crticom štapa razlika je izmentildeu nul-
crtice štapa i nonija 060 mm (uz dopisanu procijenjenu znamenku 0)
Slika 122
Slika 122 c) pokazuje položaj nonija ako je razlika izmentildeu nul-crtica 1120 mm
Broj milimetara čitamo izravno na skali štapa L 02 mm pomoću nonija te dopišemo
procijenjenu znamenku 0
Kad izmentildeu krakova A i B mjerke stavimo predmet na primjer cijev kojoj želimo
odrediti vanjski promjer na štapu L i na noniju N pročitat ćemo koliko su oba kraka
razmaknuta
Pomoću pomične mjerke na Slici 121 mogli smo izmjeriti duljinu s točnošću od 01
mm a procjena tj zadnja znamenka se obično piše kao 0 (ako se točno poklapa) ili 5 (ako se
malo razlikuje) jer na prikazanom noniju ne možemo drugačije procjenjivati znamenku
- 25 -
Mentildeutim noniji na različitim mjerkama imaju različiti broj dijelova Općenito
možemo reći da je točnost kojom možemo izmjeriti neku duljinu jednaka omjeru
najmanji djelić glavne skale -------------------------------------
broj djelića nonija
Slika 123 Slika 124
Unutrašnji otvor neke cijevi možemo izmjeriti tako da pročitamo razmak šiljaka C i D
kojima smo cijev iznutra dodirnuli (Slika 123) Slika 124 vam pomaže da izvedete
matematički izraz za debljinu stjenke cijevi d Svaku veličinu mjerite 5 puta podatke upišite
u Tablicu 12
Korišteni izrazi
R2 =
r2 =
d =
d =
Tablica 12
2R 2r ∆2R ∆2r d mjerenje jedinica mm mm mm mm m
1
2
3
4
5
R2 = r2 = ∆2Rm= ∆2rm= =d
- 26 -
Račun pogrešaka
Pomoću izraza (6) iz knjige Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike odredite maksimalnu
apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku
Maksimalna apsolutna pogreška za debljinu stjenke iznosi
=∆ md
=
Maksimalna relativna pogreška za debljinu stjenke iznosi
=dmr
=
Debljina stjenke uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) md 5____________________plusmn= Zaklju čak
- 27 -
13 Mjerenje duljine mikrometarskim vijkom
Pribor Mikrometarski vijak žica vlas kose
Zadatak 1 Odredite debljinu vlasi vaše kose
2 Odredite površinu presjeka komada žice
3 Pogreške mjerenja
Uputa
Mikrometarski vijak (Slika 131) sastoji se od vijka V koji se okreće u matici M Kod
nekih se mikrometarskih vijaka pri jednom potpunom okretu bubnja vijak pomakne za 1 mm
Ta se milimetarska razdioba može pročitati na skali S a dijelovi okreta mogu se pročitati na
bubnju B Rub bubnja razdijeljen je na 10 50 100 ili neki drugi broj dijelova Mikrometarski
vijak prikazan na Slici 131 ima bubanj razdijeljen na 50 dijelova a potpuni njegov okret
pomakne ga udesno za 05 mm
Slika 131 Slika 132
Znači da pomoću crtica na bubnju očitavamo stotinke milimetra jer pri zakretu za 50 crtica
bubanj pomaknemo za 050 mm (i pokazuje se crtica dolje na skali S) Mjerimo li npr
debljinu žice treba žicu staviti izmentildeu nakovnja N i vijka V te čegrtaljkom Č na kraju vijka s
narovašenim dijelom pritisnuti uz nakovanj Čegrtaljka služi kako ne bismo pretegli vijak i
deformirali uzorak mjerenja dakle postoji mehanizam koji to ne dopušta (ponekad se čuje i
zvučni signal) Kočnica K služi kako bismo zakočili vijak kako nam se ne bi pomaknuo
prilikom mjerenja
Debljinu žice pročitat ćemo pomoću skale S i bubnja B Na skali S ćemo pročitati broj
milimetara do točnosti 05 mm a na bubnju stotinke milimetra tj broj koji se nalazi na
bubnju nasuprot pravcu skale S Pomoću bubnja možemo procijeniti i tisućinku milimetra
Na našoj Slici 132 možemo očitati 1 mm (jer je jedna crtica gore) 039 mm (jer ima 39
crtica na bubnju) i procijenjena znamenka je 0 što nam daje konačni rezultat od 1390 mm
Općenito možemo reći da je točnost kojom možemo izmjeriti neku duljinu pomoću
mikrometarskog vijka jednaka omjeru
najmanji djelić glavne skale
------------------------------------
broj djelića bubnja
- 28 -
Uzmite vlas vaše kose i izmjerite joj debljinu Pazite da vijak stežete na kraju kako ne
biste deformirali uzorak Mjerite 5 puta podatke upišite u Tablicu 13 te odredite maksimalnu
apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja Odredite površinu presjeka komada
žice tako da izmjerite mikrometarskim vijkom promjer žice mjereći 5 puta
Korišteni izrazi
kd =
žd =
žP =
žP =
Tablica 13
dk ∆dk dž ∆dž Pž mjerenje jedinica mm mm mm mm mm2
1
2
3
4
5
=kd ∆dk m= =žd ∆dž m= =žP
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku mjerenja debljine žice i pomoću nje izraza za
površinu kruga i pomoću izraza (6) i (10) iz knjige Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
izračunajte i napišite vrijednost za maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za P
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
=∆ kmd
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu presjeka žice iznosi
=∆ žmP
=
- 29 -
Maksimalna relativna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
=dkmr
=
Maksimalna relativna pogreška za površinu presjeka žice iznosi
=Pžmr
=
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) mmdk 5____________________plusmn=
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 25____________________ mmPž plusmn=
Zaklju čak
- 30 -
14 Odrentildeivanje mase vaganjem
Pribor Precizna laboratorijska vaga (tehnička) kutija s utezima predmet za vaganje
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu danog predmeta
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Masu nekog tijela možemo odrediti vagom Vagom usporentildeujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne
laboratorijske vage (tehničke vage) prikazane na slici 141 možemo izmjeriti masu tijela do
stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnotežu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 mentildeusobno jednaki jer se ravnoteža uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
sdot=sdotsdotsdot=sdotsdot
=
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage možemo izbjeći važući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnotežimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk sdot=sdot
- 31 -
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteža Tada je
21 kmkm tu sdot=sdot
Iz tih dviju jednadžbi zaključujemo da je
21 kmkm ux sdot=sdot
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k ne
Pri uspostavljanju ravnoteže pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridržavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brže i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je važan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj možemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne možemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 2 x 1 g 500 mg 200 mg 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi
manji od 1 g obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom a kompletirani su u jednoj
kutijici
Svaka vaga ima maksimalno opterećenje koje je zapisano na vagi Koliko ono iznosi
za našu vagu ___________________________
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan položaj pomoću libele L (niveliramo) Libela se
nalazi na postolju vage a pomoću nožica (N1 i N2) možemo postolje dovesti u vodoravan
položaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se može zakočiti Okretom
dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz ležaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteži tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (V1 i V2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnotežni položaj na skali S
Procjenu treba vršiti pomoću skale S Kako ćemo znati na koju vrijednost
procjenjujemo Postupak je slijedeći na desni kraj vage stavite uteg od 20 ili 100 mg a lijevi
kraj ostavite prazan i gledajte njezin otklon na skali S tj želite saznati koliku masu
predstavlja otklon 1 crtice na skali S vage Skala ima nul oznaku (0) (+) za mjerenje kada
dodajemo masu koja je pridružena odrentildeenom broju crtica i (-) za oduzimanje Postoje vage s
već baždarenom skalom i svjetlom
1 crtica iznosi mg
- 32 -
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred posebnog antivibracijskog stola ispunjenog
pijeskom i teškim kamenim blokom ili stolom pričvršćenim na zid na kojem je vaga tako da
ravno gledamo u njezinu sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage
stavimo tijelo mase mx koje želimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan
uteg počevši od najvećeg Dokle god preteže desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim
manjim Kada prvi put prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu
na isti način utege koji su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj
postupak treba nastaviti dok ne uspostavimo ravnotežu Ravnoteža je postignuta kad se oba
šiljka vage poklapaju Kad smo uspostavili ravnotežu zakočimo vagu i po redu skidamo
utege zapisujući veličinu mase svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da predmet izvažete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vježbe Rezultate upišite u Tablicu 14 Nantildeite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
Prisjetite se izraza Koliko si težak te razmislite koji bi trebao biti vaš odgovor na
takvo pitanje _______________________________________________________________
Korišteni izrazi
m =
Tablica 14
m ∆m mjerenje jedinica g g
1
2
3
4
5
=m
- 33 -
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=∆ mm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=mmr
=
Masa predmeta uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) gm 5____________________plusmn=
Zaklju čak
- 34 -
15 Odrentildeivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
možemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo možemo volumen tijela odrediti
mjereći volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije
negoli tijelo uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite dok mjerite da gledate rub meniskusa
a ne tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta
Svaki put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovno odrediti razinu u menzuri Rezultate
upišite u Tablicu 15
Korišteni izrazi
tm =
tρ =
- 35 -
tV =
tV =
tρ =
Tablica 15
mt V1 V2 Vt ρt mjerenje jedinica g lm lm lm kgm3
1
2
3
4
5
=tm =tV =tρ
Račun pogrešaka
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku i maksimalnu relativnu pogrešku gustoće tijela tako
da ih izvedete kao u knjizi Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
=∆ tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
=∆ tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
=∆ tmρ
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
=tm
rρ
=
- 36 -
Tablica 16 Tablica gustoće nekih tvari
ρ (kgm-3) plastelin 1800 staklo 2500
kamen pješčar 2560 kremen 2600 aluminij 2700 mramor 2800 čelik 7900 mjed 8500 bakar 8900 olovo 11300
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od tablične vrijednosti za __________________
koja iznosi ______________ kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće tijela
=t
pρ =sdotminus
100tab
ttab
ρρρ
=sdot 100 -
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 35 ____________________ mkgt plusmn=ρ
Zaklju čak
- 37 -
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi zaporna ura
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju ∆x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikažite
grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se mentildeusoban položaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira tj mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmentildeu molekula javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijentildee granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduženje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku možemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je
kraju obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 25 -
Mentildeutim noniji na različitim mjerkama imaju različiti broj dijelova Općenito
možemo reći da je točnost kojom možemo izmjeriti neku duljinu jednaka omjeru
najmanji djelić glavne skale -------------------------------------
broj djelića nonija
Slika 123 Slika 124
Unutrašnji otvor neke cijevi možemo izmjeriti tako da pročitamo razmak šiljaka C i D
kojima smo cijev iznutra dodirnuli (Slika 123) Slika 124 vam pomaže da izvedete
matematički izraz za debljinu stjenke cijevi d Svaku veličinu mjerite 5 puta podatke upišite
u Tablicu 12
Korišteni izrazi
R2 =
r2 =
d =
d =
Tablica 12
2R 2r ∆2R ∆2r d mjerenje jedinica mm mm mm mm m
1
2
3
4
5
R2 = r2 = ∆2Rm= ∆2rm= =d
- 26 -
Račun pogrešaka
Pomoću izraza (6) iz knjige Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike odredite maksimalnu
apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku
Maksimalna apsolutna pogreška za debljinu stjenke iznosi
=∆ md
=
Maksimalna relativna pogreška za debljinu stjenke iznosi
=dmr
=
Debljina stjenke uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) md 5____________________plusmn= Zaklju čak
- 27 -
13 Mjerenje duljine mikrometarskim vijkom
Pribor Mikrometarski vijak žica vlas kose
Zadatak 1 Odredite debljinu vlasi vaše kose
2 Odredite površinu presjeka komada žice
3 Pogreške mjerenja
Uputa
Mikrometarski vijak (Slika 131) sastoji se od vijka V koji se okreće u matici M Kod
nekih se mikrometarskih vijaka pri jednom potpunom okretu bubnja vijak pomakne za 1 mm
Ta se milimetarska razdioba može pročitati na skali S a dijelovi okreta mogu se pročitati na
bubnju B Rub bubnja razdijeljen je na 10 50 100 ili neki drugi broj dijelova Mikrometarski
vijak prikazan na Slici 131 ima bubanj razdijeljen na 50 dijelova a potpuni njegov okret
pomakne ga udesno za 05 mm
Slika 131 Slika 132
Znači da pomoću crtica na bubnju očitavamo stotinke milimetra jer pri zakretu za 50 crtica
bubanj pomaknemo za 050 mm (i pokazuje se crtica dolje na skali S) Mjerimo li npr
debljinu žice treba žicu staviti izmentildeu nakovnja N i vijka V te čegrtaljkom Č na kraju vijka s
narovašenim dijelom pritisnuti uz nakovanj Čegrtaljka služi kako ne bismo pretegli vijak i
deformirali uzorak mjerenja dakle postoji mehanizam koji to ne dopušta (ponekad se čuje i
zvučni signal) Kočnica K služi kako bismo zakočili vijak kako nam se ne bi pomaknuo
prilikom mjerenja
Debljinu žice pročitat ćemo pomoću skale S i bubnja B Na skali S ćemo pročitati broj
milimetara do točnosti 05 mm a na bubnju stotinke milimetra tj broj koji se nalazi na
bubnju nasuprot pravcu skale S Pomoću bubnja možemo procijeniti i tisućinku milimetra
Na našoj Slici 132 možemo očitati 1 mm (jer je jedna crtica gore) 039 mm (jer ima 39
crtica na bubnju) i procijenjena znamenka je 0 što nam daje konačni rezultat od 1390 mm
Općenito možemo reći da je točnost kojom možemo izmjeriti neku duljinu pomoću
mikrometarskog vijka jednaka omjeru
najmanji djelić glavne skale
------------------------------------
broj djelića bubnja
- 28 -
Uzmite vlas vaše kose i izmjerite joj debljinu Pazite da vijak stežete na kraju kako ne
biste deformirali uzorak Mjerite 5 puta podatke upišite u Tablicu 13 te odredite maksimalnu
apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja Odredite površinu presjeka komada
žice tako da izmjerite mikrometarskim vijkom promjer žice mjereći 5 puta
Korišteni izrazi
kd =
žd =
žP =
žP =
Tablica 13
dk ∆dk dž ∆dž Pž mjerenje jedinica mm mm mm mm mm2
1
2
3
4
5
=kd ∆dk m= =žd ∆dž m= =žP
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku mjerenja debljine žice i pomoću nje izraza za
površinu kruga i pomoću izraza (6) i (10) iz knjige Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
izračunajte i napišite vrijednost za maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za P
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
=∆ kmd
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu presjeka žice iznosi
=∆ žmP
=
- 29 -
Maksimalna relativna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
=dkmr
=
Maksimalna relativna pogreška za površinu presjeka žice iznosi
=Pžmr
=
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) mmdk 5____________________plusmn=
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 25____________________ mmPž plusmn=
Zaklju čak
- 30 -
14 Odrentildeivanje mase vaganjem
Pribor Precizna laboratorijska vaga (tehnička) kutija s utezima predmet za vaganje
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu danog predmeta
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Masu nekog tijela možemo odrediti vagom Vagom usporentildeujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne
laboratorijske vage (tehničke vage) prikazane na slici 141 možemo izmjeriti masu tijela do
stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnotežu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 mentildeusobno jednaki jer se ravnoteža uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
sdot=sdotsdotsdot=sdotsdot
=
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage možemo izbjeći važući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnotežimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk sdot=sdot
- 31 -
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteža Tada je
21 kmkm tu sdot=sdot
Iz tih dviju jednadžbi zaključujemo da je
21 kmkm ux sdot=sdot
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k ne
Pri uspostavljanju ravnoteže pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridržavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brže i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je važan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj možemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne možemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 2 x 1 g 500 mg 200 mg 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi
manji od 1 g obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom a kompletirani su u jednoj
kutijici
Svaka vaga ima maksimalno opterećenje koje je zapisano na vagi Koliko ono iznosi
za našu vagu ___________________________
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan položaj pomoću libele L (niveliramo) Libela se
nalazi na postolju vage a pomoću nožica (N1 i N2) možemo postolje dovesti u vodoravan
položaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se može zakočiti Okretom
dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz ležaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteži tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (V1 i V2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnotežni položaj na skali S
Procjenu treba vršiti pomoću skale S Kako ćemo znati na koju vrijednost
procjenjujemo Postupak je slijedeći na desni kraj vage stavite uteg od 20 ili 100 mg a lijevi
kraj ostavite prazan i gledajte njezin otklon na skali S tj želite saznati koliku masu
predstavlja otklon 1 crtice na skali S vage Skala ima nul oznaku (0) (+) za mjerenje kada
dodajemo masu koja je pridružena odrentildeenom broju crtica i (-) za oduzimanje Postoje vage s
već baždarenom skalom i svjetlom
1 crtica iznosi mg
- 32 -
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred posebnog antivibracijskog stola ispunjenog
pijeskom i teškim kamenim blokom ili stolom pričvršćenim na zid na kojem je vaga tako da
ravno gledamo u njezinu sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage
stavimo tijelo mase mx koje želimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan
uteg počevši od najvećeg Dokle god preteže desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim
manjim Kada prvi put prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu
na isti način utege koji su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj
postupak treba nastaviti dok ne uspostavimo ravnotežu Ravnoteža je postignuta kad se oba
šiljka vage poklapaju Kad smo uspostavili ravnotežu zakočimo vagu i po redu skidamo
utege zapisujući veličinu mase svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da predmet izvažete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vježbe Rezultate upišite u Tablicu 14 Nantildeite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
Prisjetite se izraza Koliko si težak te razmislite koji bi trebao biti vaš odgovor na
takvo pitanje _______________________________________________________________
Korišteni izrazi
m =
Tablica 14
m ∆m mjerenje jedinica g g
1
2
3
4
5
=m
- 33 -
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=∆ mm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=mmr
=
Masa predmeta uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) gm 5____________________plusmn=
Zaklju čak
- 34 -
15 Odrentildeivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
možemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo možemo volumen tijela odrediti
mjereći volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije
negoli tijelo uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite dok mjerite da gledate rub meniskusa
a ne tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta
Svaki put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovno odrediti razinu u menzuri Rezultate
upišite u Tablicu 15
Korišteni izrazi
tm =
tρ =
- 35 -
tV =
tV =
tρ =
Tablica 15
mt V1 V2 Vt ρt mjerenje jedinica g lm lm lm kgm3
1
2
3
4
5
=tm =tV =tρ
Račun pogrešaka
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku i maksimalnu relativnu pogrešku gustoće tijela tako
da ih izvedete kao u knjizi Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
=∆ tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
=∆ tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
=∆ tmρ
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
=tm
rρ
=
- 36 -
Tablica 16 Tablica gustoće nekih tvari
ρ (kgm-3) plastelin 1800 staklo 2500
kamen pješčar 2560 kremen 2600 aluminij 2700 mramor 2800 čelik 7900 mjed 8500 bakar 8900 olovo 11300
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od tablične vrijednosti za __________________
koja iznosi ______________ kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće tijela
=t
pρ =sdotminus
100tab
ttab
ρρρ
=sdot 100 -
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 35 ____________________ mkgt plusmn=ρ
Zaklju čak
- 37 -
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi zaporna ura
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju ∆x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikažite
grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se mentildeusoban položaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira tj mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmentildeu molekula javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijentildee granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduženje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku možemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je
kraju obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 26 -
Račun pogrešaka
Pomoću izraza (6) iz knjige Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike odredite maksimalnu
apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku
Maksimalna apsolutna pogreška za debljinu stjenke iznosi
=∆ md
=
Maksimalna relativna pogreška za debljinu stjenke iznosi
=dmr
=
Debljina stjenke uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) md 5____________________plusmn= Zaklju čak
- 27 -
13 Mjerenje duljine mikrometarskim vijkom
Pribor Mikrometarski vijak žica vlas kose
Zadatak 1 Odredite debljinu vlasi vaše kose
2 Odredite površinu presjeka komada žice
3 Pogreške mjerenja
Uputa
Mikrometarski vijak (Slika 131) sastoji se od vijka V koji se okreće u matici M Kod
nekih se mikrometarskih vijaka pri jednom potpunom okretu bubnja vijak pomakne za 1 mm
Ta se milimetarska razdioba može pročitati na skali S a dijelovi okreta mogu se pročitati na
bubnju B Rub bubnja razdijeljen je na 10 50 100 ili neki drugi broj dijelova Mikrometarski
vijak prikazan na Slici 131 ima bubanj razdijeljen na 50 dijelova a potpuni njegov okret
pomakne ga udesno za 05 mm
Slika 131 Slika 132
Znači da pomoću crtica na bubnju očitavamo stotinke milimetra jer pri zakretu za 50 crtica
bubanj pomaknemo za 050 mm (i pokazuje se crtica dolje na skali S) Mjerimo li npr
debljinu žice treba žicu staviti izmentildeu nakovnja N i vijka V te čegrtaljkom Č na kraju vijka s
narovašenim dijelom pritisnuti uz nakovanj Čegrtaljka služi kako ne bismo pretegli vijak i
deformirali uzorak mjerenja dakle postoji mehanizam koji to ne dopušta (ponekad se čuje i
zvučni signal) Kočnica K služi kako bismo zakočili vijak kako nam se ne bi pomaknuo
prilikom mjerenja
Debljinu žice pročitat ćemo pomoću skale S i bubnja B Na skali S ćemo pročitati broj
milimetara do točnosti 05 mm a na bubnju stotinke milimetra tj broj koji se nalazi na
bubnju nasuprot pravcu skale S Pomoću bubnja možemo procijeniti i tisućinku milimetra
Na našoj Slici 132 možemo očitati 1 mm (jer je jedna crtica gore) 039 mm (jer ima 39
crtica na bubnju) i procijenjena znamenka je 0 što nam daje konačni rezultat od 1390 mm
Općenito možemo reći da je točnost kojom možemo izmjeriti neku duljinu pomoću
mikrometarskog vijka jednaka omjeru
najmanji djelić glavne skale
------------------------------------
broj djelića bubnja
- 28 -
Uzmite vlas vaše kose i izmjerite joj debljinu Pazite da vijak stežete na kraju kako ne
biste deformirali uzorak Mjerite 5 puta podatke upišite u Tablicu 13 te odredite maksimalnu
apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja Odredite površinu presjeka komada
žice tako da izmjerite mikrometarskim vijkom promjer žice mjereći 5 puta
Korišteni izrazi
kd =
žd =
žP =
žP =
Tablica 13
dk ∆dk dž ∆dž Pž mjerenje jedinica mm mm mm mm mm2
1
2
3
4
5
=kd ∆dk m= =žd ∆dž m= =žP
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku mjerenja debljine žice i pomoću nje izraza za
površinu kruga i pomoću izraza (6) i (10) iz knjige Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
izračunajte i napišite vrijednost za maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za P
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
=∆ kmd
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu presjeka žice iznosi
=∆ žmP
=
- 29 -
Maksimalna relativna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
=dkmr
=
Maksimalna relativna pogreška za površinu presjeka žice iznosi
=Pžmr
=
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) mmdk 5____________________plusmn=
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 25____________________ mmPž plusmn=
Zaklju čak
- 30 -
14 Odrentildeivanje mase vaganjem
Pribor Precizna laboratorijska vaga (tehnička) kutija s utezima predmet za vaganje
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu danog predmeta
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Masu nekog tijela možemo odrediti vagom Vagom usporentildeujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne
laboratorijske vage (tehničke vage) prikazane na slici 141 možemo izmjeriti masu tijela do
stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnotežu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 mentildeusobno jednaki jer se ravnoteža uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
sdot=sdotsdotsdot=sdotsdot
=
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage možemo izbjeći važući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnotežimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk sdot=sdot
- 31 -
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteža Tada je
21 kmkm tu sdot=sdot
Iz tih dviju jednadžbi zaključujemo da je
21 kmkm ux sdot=sdot
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k ne
Pri uspostavljanju ravnoteže pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridržavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brže i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je važan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj možemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne možemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 2 x 1 g 500 mg 200 mg 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi
manji od 1 g obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom a kompletirani su u jednoj
kutijici
Svaka vaga ima maksimalno opterećenje koje je zapisano na vagi Koliko ono iznosi
za našu vagu ___________________________
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan položaj pomoću libele L (niveliramo) Libela se
nalazi na postolju vage a pomoću nožica (N1 i N2) možemo postolje dovesti u vodoravan
položaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se može zakočiti Okretom
dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz ležaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteži tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (V1 i V2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnotežni položaj na skali S
Procjenu treba vršiti pomoću skale S Kako ćemo znati na koju vrijednost
procjenjujemo Postupak je slijedeći na desni kraj vage stavite uteg od 20 ili 100 mg a lijevi
kraj ostavite prazan i gledajte njezin otklon na skali S tj želite saznati koliku masu
predstavlja otklon 1 crtice na skali S vage Skala ima nul oznaku (0) (+) za mjerenje kada
dodajemo masu koja je pridružena odrentildeenom broju crtica i (-) za oduzimanje Postoje vage s
već baždarenom skalom i svjetlom
1 crtica iznosi mg
- 32 -
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred posebnog antivibracijskog stola ispunjenog
pijeskom i teškim kamenim blokom ili stolom pričvršćenim na zid na kojem je vaga tako da
ravno gledamo u njezinu sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage
stavimo tijelo mase mx koje želimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan
uteg počevši od najvećeg Dokle god preteže desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim
manjim Kada prvi put prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu
na isti način utege koji su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj
postupak treba nastaviti dok ne uspostavimo ravnotežu Ravnoteža je postignuta kad se oba
šiljka vage poklapaju Kad smo uspostavili ravnotežu zakočimo vagu i po redu skidamo
utege zapisujući veličinu mase svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da predmet izvažete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vježbe Rezultate upišite u Tablicu 14 Nantildeite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
Prisjetite se izraza Koliko si težak te razmislite koji bi trebao biti vaš odgovor na
takvo pitanje _______________________________________________________________
Korišteni izrazi
m =
Tablica 14
m ∆m mjerenje jedinica g g
1
2
3
4
5
=m
- 33 -
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=∆ mm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=mmr
=
Masa predmeta uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) gm 5____________________plusmn=
Zaklju čak
- 34 -
15 Odrentildeivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
možemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo možemo volumen tijela odrediti
mjereći volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije
negoli tijelo uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite dok mjerite da gledate rub meniskusa
a ne tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta
Svaki put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovno odrediti razinu u menzuri Rezultate
upišite u Tablicu 15
Korišteni izrazi
tm =
tρ =
- 35 -
tV =
tV =
tρ =
Tablica 15
mt V1 V2 Vt ρt mjerenje jedinica g lm lm lm kgm3
1
2
3
4
5
=tm =tV =tρ
Račun pogrešaka
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku i maksimalnu relativnu pogrešku gustoće tijela tako
da ih izvedete kao u knjizi Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
=∆ tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
=∆ tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
=∆ tmρ
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
=tm
rρ
=
- 36 -
Tablica 16 Tablica gustoće nekih tvari
ρ (kgm-3) plastelin 1800 staklo 2500
kamen pješčar 2560 kremen 2600 aluminij 2700 mramor 2800 čelik 7900 mjed 8500 bakar 8900 olovo 11300
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od tablične vrijednosti za __________________
koja iznosi ______________ kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće tijela
=t
pρ =sdotminus
100tab
ttab
ρρρ
=sdot 100 -
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 35 ____________________ mkgt plusmn=ρ
Zaklju čak
- 37 -
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi zaporna ura
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju ∆x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikažite
grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se mentildeusoban položaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira tj mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmentildeu molekula javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijentildee granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduženje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku možemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je
kraju obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 27 -
13 Mjerenje duljine mikrometarskim vijkom
Pribor Mikrometarski vijak žica vlas kose
Zadatak 1 Odredite debljinu vlasi vaše kose
2 Odredite površinu presjeka komada žice
3 Pogreške mjerenja
Uputa
Mikrometarski vijak (Slika 131) sastoji se od vijka V koji se okreće u matici M Kod
nekih se mikrometarskih vijaka pri jednom potpunom okretu bubnja vijak pomakne za 1 mm
Ta se milimetarska razdioba može pročitati na skali S a dijelovi okreta mogu se pročitati na
bubnju B Rub bubnja razdijeljen je na 10 50 100 ili neki drugi broj dijelova Mikrometarski
vijak prikazan na Slici 131 ima bubanj razdijeljen na 50 dijelova a potpuni njegov okret
pomakne ga udesno za 05 mm
Slika 131 Slika 132
Znači da pomoću crtica na bubnju očitavamo stotinke milimetra jer pri zakretu za 50 crtica
bubanj pomaknemo za 050 mm (i pokazuje se crtica dolje na skali S) Mjerimo li npr
debljinu žice treba žicu staviti izmentildeu nakovnja N i vijka V te čegrtaljkom Č na kraju vijka s
narovašenim dijelom pritisnuti uz nakovanj Čegrtaljka služi kako ne bismo pretegli vijak i
deformirali uzorak mjerenja dakle postoji mehanizam koji to ne dopušta (ponekad se čuje i
zvučni signal) Kočnica K služi kako bismo zakočili vijak kako nam se ne bi pomaknuo
prilikom mjerenja
Debljinu žice pročitat ćemo pomoću skale S i bubnja B Na skali S ćemo pročitati broj
milimetara do točnosti 05 mm a na bubnju stotinke milimetra tj broj koji se nalazi na
bubnju nasuprot pravcu skale S Pomoću bubnja možemo procijeniti i tisućinku milimetra
Na našoj Slici 132 možemo očitati 1 mm (jer je jedna crtica gore) 039 mm (jer ima 39
crtica na bubnju) i procijenjena znamenka je 0 što nam daje konačni rezultat od 1390 mm
Općenito možemo reći da je točnost kojom možemo izmjeriti neku duljinu pomoću
mikrometarskog vijka jednaka omjeru
najmanji djelić glavne skale
------------------------------------
broj djelića bubnja
- 28 -
Uzmite vlas vaše kose i izmjerite joj debljinu Pazite da vijak stežete na kraju kako ne
biste deformirali uzorak Mjerite 5 puta podatke upišite u Tablicu 13 te odredite maksimalnu
apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja Odredite površinu presjeka komada
žice tako da izmjerite mikrometarskim vijkom promjer žice mjereći 5 puta
Korišteni izrazi
kd =
žd =
žP =
žP =
Tablica 13
dk ∆dk dž ∆dž Pž mjerenje jedinica mm mm mm mm mm2
1
2
3
4
5
=kd ∆dk m= =žd ∆dž m= =žP
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku mjerenja debljine žice i pomoću nje izraza za
površinu kruga i pomoću izraza (6) i (10) iz knjige Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
izračunajte i napišite vrijednost za maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za P
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
=∆ kmd
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu presjeka žice iznosi
=∆ žmP
=
- 29 -
Maksimalna relativna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
=dkmr
=
Maksimalna relativna pogreška za površinu presjeka žice iznosi
=Pžmr
=
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) mmdk 5____________________plusmn=
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 25____________________ mmPž plusmn=
Zaklju čak
- 30 -
14 Odrentildeivanje mase vaganjem
Pribor Precizna laboratorijska vaga (tehnička) kutija s utezima predmet za vaganje
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu danog predmeta
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Masu nekog tijela možemo odrediti vagom Vagom usporentildeujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne
laboratorijske vage (tehničke vage) prikazane na slici 141 možemo izmjeriti masu tijela do
stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnotežu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 mentildeusobno jednaki jer se ravnoteža uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
sdot=sdotsdotsdot=sdotsdot
=
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage možemo izbjeći važući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnotežimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk sdot=sdot
- 31 -
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteža Tada je
21 kmkm tu sdot=sdot
Iz tih dviju jednadžbi zaključujemo da je
21 kmkm ux sdot=sdot
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k ne
Pri uspostavljanju ravnoteže pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridržavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brže i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je važan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj možemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne možemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 2 x 1 g 500 mg 200 mg 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi
manji od 1 g obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom a kompletirani su u jednoj
kutijici
Svaka vaga ima maksimalno opterećenje koje je zapisano na vagi Koliko ono iznosi
za našu vagu ___________________________
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan položaj pomoću libele L (niveliramo) Libela se
nalazi na postolju vage a pomoću nožica (N1 i N2) možemo postolje dovesti u vodoravan
položaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se može zakočiti Okretom
dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz ležaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteži tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (V1 i V2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnotežni položaj na skali S
Procjenu treba vršiti pomoću skale S Kako ćemo znati na koju vrijednost
procjenjujemo Postupak je slijedeći na desni kraj vage stavite uteg od 20 ili 100 mg a lijevi
kraj ostavite prazan i gledajte njezin otklon na skali S tj želite saznati koliku masu
predstavlja otklon 1 crtice na skali S vage Skala ima nul oznaku (0) (+) za mjerenje kada
dodajemo masu koja je pridružena odrentildeenom broju crtica i (-) za oduzimanje Postoje vage s
već baždarenom skalom i svjetlom
1 crtica iznosi mg
- 32 -
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred posebnog antivibracijskog stola ispunjenog
pijeskom i teškim kamenim blokom ili stolom pričvršćenim na zid na kojem je vaga tako da
ravno gledamo u njezinu sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage
stavimo tijelo mase mx koje želimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan
uteg počevši od najvećeg Dokle god preteže desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim
manjim Kada prvi put prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu
na isti način utege koji su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj
postupak treba nastaviti dok ne uspostavimo ravnotežu Ravnoteža je postignuta kad se oba
šiljka vage poklapaju Kad smo uspostavili ravnotežu zakočimo vagu i po redu skidamo
utege zapisujući veličinu mase svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da predmet izvažete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vježbe Rezultate upišite u Tablicu 14 Nantildeite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
Prisjetite se izraza Koliko si težak te razmislite koji bi trebao biti vaš odgovor na
takvo pitanje _______________________________________________________________
Korišteni izrazi
m =
Tablica 14
m ∆m mjerenje jedinica g g
1
2
3
4
5
=m
- 33 -
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=∆ mm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=mmr
=
Masa predmeta uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) gm 5____________________plusmn=
Zaklju čak
- 34 -
15 Odrentildeivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
možemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo možemo volumen tijela odrediti
mjereći volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije
negoli tijelo uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite dok mjerite da gledate rub meniskusa
a ne tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta
Svaki put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovno odrediti razinu u menzuri Rezultate
upišite u Tablicu 15
Korišteni izrazi
tm =
tρ =
- 35 -
tV =
tV =
tρ =
Tablica 15
mt V1 V2 Vt ρt mjerenje jedinica g lm lm lm kgm3
1
2
3
4
5
=tm =tV =tρ
Račun pogrešaka
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku i maksimalnu relativnu pogrešku gustoće tijela tako
da ih izvedete kao u knjizi Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
=∆ tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
=∆ tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
=∆ tmρ
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
=tm
rρ
=
- 36 -
Tablica 16 Tablica gustoće nekih tvari
ρ (kgm-3) plastelin 1800 staklo 2500
kamen pješčar 2560 kremen 2600 aluminij 2700 mramor 2800 čelik 7900 mjed 8500 bakar 8900 olovo 11300
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od tablične vrijednosti za __________________
koja iznosi ______________ kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće tijela
=t
pρ =sdotminus
100tab
ttab
ρρρ
=sdot 100 -
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 35 ____________________ mkgt plusmn=ρ
Zaklju čak
- 37 -
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi zaporna ura
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju ∆x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikažite
grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se mentildeusoban položaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira tj mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmentildeu molekula javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijentildee granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduženje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku možemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je
kraju obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 28 -
Uzmite vlas vaše kose i izmjerite joj debljinu Pazite da vijak stežete na kraju kako ne
biste deformirali uzorak Mjerite 5 puta podatke upišite u Tablicu 13 te odredite maksimalnu
apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja Odredite površinu presjeka komada
žice tako da izmjerite mikrometarskim vijkom promjer žice mjereći 5 puta
Korišteni izrazi
kd =
žd =
žP =
žP =
Tablica 13
dk ∆dk dž ∆dž Pž mjerenje jedinica mm mm mm mm mm2
1
2
3
4
5
=kd ∆dk m= =žd ∆dž m= =žP
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku mjerenja debljine žice i pomoću nje izraza za
površinu kruga i pomoću izraza (6) i (10) iz knjige Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
izračunajte i napišite vrijednost za maksimalnu apsolutnu i relativnu pogrešku za P
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
=∆ kmd
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu presjeka žice iznosi
=∆ žmP
=
- 29 -
Maksimalna relativna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
=dkmr
=
Maksimalna relativna pogreška za površinu presjeka žice iznosi
=Pžmr
=
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) mmdk 5____________________plusmn=
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 25____________________ mmPž plusmn=
Zaklju čak
- 30 -
14 Odrentildeivanje mase vaganjem
Pribor Precizna laboratorijska vaga (tehnička) kutija s utezima predmet za vaganje
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu danog predmeta
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Masu nekog tijela možemo odrediti vagom Vagom usporentildeujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne
laboratorijske vage (tehničke vage) prikazane na slici 141 možemo izmjeriti masu tijela do
stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnotežu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 mentildeusobno jednaki jer se ravnoteža uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
sdot=sdotsdotsdot=sdotsdot
=
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage možemo izbjeći važući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnotežimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk sdot=sdot
- 31 -
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteža Tada je
21 kmkm tu sdot=sdot
Iz tih dviju jednadžbi zaključujemo da je
21 kmkm ux sdot=sdot
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k ne
Pri uspostavljanju ravnoteže pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridržavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brže i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je važan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj možemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne možemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 2 x 1 g 500 mg 200 mg 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi
manji od 1 g obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom a kompletirani su u jednoj
kutijici
Svaka vaga ima maksimalno opterećenje koje je zapisano na vagi Koliko ono iznosi
za našu vagu ___________________________
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan položaj pomoću libele L (niveliramo) Libela se
nalazi na postolju vage a pomoću nožica (N1 i N2) možemo postolje dovesti u vodoravan
položaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se može zakočiti Okretom
dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz ležaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteži tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (V1 i V2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnotežni položaj na skali S
Procjenu treba vršiti pomoću skale S Kako ćemo znati na koju vrijednost
procjenjujemo Postupak je slijedeći na desni kraj vage stavite uteg od 20 ili 100 mg a lijevi
kraj ostavite prazan i gledajte njezin otklon na skali S tj želite saznati koliku masu
predstavlja otklon 1 crtice na skali S vage Skala ima nul oznaku (0) (+) za mjerenje kada
dodajemo masu koja je pridružena odrentildeenom broju crtica i (-) za oduzimanje Postoje vage s
već baždarenom skalom i svjetlom
1 crtica iznosi mg
- 32 -
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred posebnog antivibracijskog stola ispunjenog
pijeskom i teškim kamenim blokom ili stolom pričvršćenim na zid na kojem je vaga tako da
ravno gledamo u njezinu sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage
stavimo tijelo mase mx koje želimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan
uteg počevši od najvećeg Dokle god preteže desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim
manjim Kada prvi put prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu
na isti način utege koji su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj
postupak treba nastaviti dok ne uspostavimo ravnotežu Ravnoteža je postignuta kad se oba
šiljka vage poklapaju Kad smo uspostavili ravnotežu zakočimo vagu i po redu skidamo
utege zapisujući veličinu mase svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da predmet izvažete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vježbe Rezultate upišite u Tablicu 14 Nantildeite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
Prisjetite se izraza Koliko si težak te razmislite koji bi trebao biti vaš odgovor na
takvo pitanje _______________________________________________________________
Korišteni izrazi
m =
Tablica 14
m ∆m mjerenje jedinica g g
1
2
3
4
5
=m
- 33 -
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=∆ mm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=mmr
=
Masa predmeta uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) gm 5____________________plusmn=
Zaklju čak
- 34 -
15 Odrentildeivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
možemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo možemo volumen tijela odrediti
mjereći volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije
negoli tijelo uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite dok mjerite da gledate rub meniskusa
a ne tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta
Svaki put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovno odrediti razinu u menzuri Rezultate
upišite u Tablicu 15
Korišteni izrazi
tm =
tρ =
- 35 -
tV =
tV =
tρ =
Tablica 15
mt V1 V2 Vt ρt mjerenje jedinica g lm lm lm kgm3
1
2
3
4
5
=tm =tV =tρ
Račun pogrešaka
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku i maksimalnu relativnu pogrešku gustoće tijela tako
da ih izvedete kao u knjizi Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
=∆ tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
=∆ tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
=∆ tmρ
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
=tm
rρ
=
- 36 -
Tablica 16 Tablica gustoće nekih tvari
ρ (kgm-3) plastelin 1800 staklo 2500
kamen pješčar 2560 kremen 2600 aluminij 2700 mramor 2800 čelik 7900 mjed 8500 bakar 8900 olovo 11300
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od tablične vrijednosti za __________________
koja iznosi ______________ kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće tijela
=t
pρ =sdotminus
100tab
ttab
ρρρ
=sdot 100 -
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 35 ____________________ mkgt plusmn=ρ
Zaklju čak
- 37 -
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi zaporna ura
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju ∆x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikažite
grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se mentildeusoban položaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira tj mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmentildeu molekula javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijentildee granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduženje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku možemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je
kraju obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 29 -
Maksimalna relativna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
=dkmr
=
Maksimalna relativna pogreška za površinu presjeka žice iznosi
=Pžmr
=
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) mmdk 5____________________plusmn=
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 25____________________ mmPž plusmn=
Zaklju čak
- 30 -
14 Odrentildeivanje mase vaganjem
Pribor Precizna laboratorijska vaga (tehnička) kutija s utezima predmet za vaganje
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu danog predmeta
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Masu nekog tijela možemo odrediti vagom Vagom usporentildeujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne
laboratorijske vage (tehničke vage) prikazane na slici 141 možemo izmjeriti masu tijela do
stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnotežu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 mentildeusobno jednaki jer se ravnoteža uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
sdot=sdotsdotsdot=sdotsdot
=
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage možemo izbjeći važući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnotežimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk sdot=sdot
- 31 -
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteža Tada je
21 kmkm tu sdot=sdot
Iz tih dviju jednadžbi zaključujemo da je
21 kmkm ux sdot=sdot
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k ne
Pri uspostavljanju ravnoteže pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridržavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brže i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je važan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj možemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne možemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 2 x 1 g 500 mg 200 mg 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi
manji od 1 g obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom a kompletirani su u jednoj
kutijici
Svaka vaga ima maksimalno opterećenje koje je zapisano na vagi Koliko ono iznosi
za našu vagu ___________________________
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan položaj pomoću libele L (niveliramo) Libela se
nalazi na postolju vage a pomoću nožica (N1 i N2) možemo postolje dovesti u vodoravan
položaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se može zakočiti Okretom
dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz ležaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteži tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (V1 i V2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnotežni položaj na skali S
Procjenu treba vršiti pomoću skale S Kako ćemo znati na koju vrijednost
procjenjujemo Postupak je slijedeći na desni kraj vage stavite uteg od 20 ili 100 mg a lijevi
kraj ostavite prazan i gledajte njezin otklon na skali S tj želite saznati koliku masu
predstavlja otklon 1 crtice na skali S vage Skala ima nul oznaku (0) (+) za mjerenje kada
dodajemo masu koja je pridružena odrentildeenom broju crtica i (-) za oduzimanje Postoje vage s
već baždarenom skalom i svjetlom
1 crtica iznosi mg
- 32 -
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred posebnog antivibracijskog stola ispunjenog
pijeskom i teškim kamenim blokom ili stolom pričvršćenim na zid na kojem je vaga tako da
ravno gledamo u njezinu sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage
stavimo tijelo mase mx koje želimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan
uteg počevši od najvećeg Dokle god preteže desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim
manjim Kada prvi put prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu
na isti način utege koji su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj
postupak treba nastaviti dok ne uspostavimo ravnotežu Ravnoteža je postignuta kad se oba
šiljka vage poklapaju Kad smo uspostavili ravnotežu zakočimo vagu i po redu skidamo
utege zapisujući veličinu mase svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da predmet izvažete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vježbe Rezultate upišite u Tablicu 14 Nantildeite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
Prisjetite se izraza Koliko si težak te razmislite koji bi trebao biti vaš odgovor na
takvo pitanje _______________________________________________________________
Korišteni izrazi
m =
Tablica 14
m ∆m mjerenje jedinica g g
1
2
3
4
5
=m
- 33 -
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=∆ mm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=mmr
=
Masa predmeta uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) gm 5____________________plusmn=
Zaklju čak
- 34 -
15 Odrentildeivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
možemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo možemo volumen tijela odrediti
mjereći volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije
negoli tijelo uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite dok mjerite da gledate rub meniskusa
a ne tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta
Svaki put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovno odrediti razinu u menzuri Rezultate
upišite u Tablicu 15
Korišteni izrazi
tm =
tρ =
- 35 -
tV =
tV =
tρ =
Tablica 15
mt V1 V2 Vt ρt mjerenje jedinica g lm lm lm kgm3
1
2
3
4
5
=tm =tV =tρ
Račun pogrešaka
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku i maksimalnu relativnu pogrešku gustoće tijela tako
da ih izvedete kao u knjizi Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
=∆ tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
=∆ tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
=∆ tmρ
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
=tm
rρ
=
- 36 -
Tablica 16 Tablica gustoće nekih tvari
ρ (kgm-3) plastelin 1800 staklo 2500
kamen pješčar 2560 kremen 2600 aluminij 2700 mramor 2800 čelik 7900 mjed 8500 bakar 8900 olovo 11300
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od tablične vrijednosti za __________________
koja iznosi ______________ kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće tijela
=t
pρ =sdotminus
100tab
ttab
ρρρ
=sdot 100 -
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 35 ____________________ mkgt plusmn=ρ
Zaklju čak
- 37 -
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi zaporna ura
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju ∆x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikažite
grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se mentildeusoban položaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira tj mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmentildeu molekula javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijentildee granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduženje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku možemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je
kraju obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 30 -
14 Odrentildeivanje mase vaganjem
Pribor Precizna laboratorijska vaga (tehnička) kutija s utezima predmet za vaganje
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu danog predmeta
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Masu nekog tijela možemo odrediti vagom Vagom usporentildeujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne
laboratorijske vage (tehničke vage) prikazane na slici 141 možemo izmjeriti masu tijela do
stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnotežu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 mentildeusobno jednaki jer se ravnoteža uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
sdot=sdotsdotsdot=sdotsdot
=
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage možemo izbjeći važući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnotežimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk sdot=sdot
- 31 -
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteža Tada je
21 kmkm tu sdot=sdot
Iz tih dviju jednadžbi zaključujemo da je
21 kmkm ux sdot=sdot
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k ne
Pri uspostavljanju ravnoteže pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridržavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brže i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je važan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj možemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne možemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 2 x 1 g 500 mg 200 mg 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi
manji od 1 g obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom a kompletirani su u jednoj
kutijici
Svaka vaga ima maksimalno opterećenje koje je zapisano na vagi Koliko ono iznosi
za našu vagu ___________________________
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan položaj pomoću libele L (niveliramo) Libela se
nalazi na postolju vage a pomoću nožica (N1 i N2) možemo postolje dovesti u vodoravan
položaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se može zakočiti Okretom
dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz ležaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteži tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (V1 i V2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnotežni položaj na skali S
Procjenu treba vršiti pomoću skale S Kako ćemo znati na koju vrijednost
procjenjujemo Postupak je slijedeći na desni kraj vage stavite uteg od 20 ili 100 mg a lijevi
kraj ostavite prazan i gledajte njezin otklon na skali S tj želite saznati koliku masu
predstavlja otklon 1 crtice na skali S vage Skala ima nul oznaku (0) (+) za mjerenje kada
dodajemo masu koja je pridružena odrentildeenom broju crtica i (-) za oduzimanje Postoje vage s
već baždarenom skalom i svjetlom
1 crtica iznosi mg
- 32 -
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred posebnog antivibracijskog stola ispunjenog
pijeskom i teškim kamenim blokom ili stolom pričvršćenim na zid na kojem je vaga tako da
ravno gledamo u njezinu sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage
stavimo tijelo mase mx koje želimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan
uteg počevši od najvećeg Dokle god preteže desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim
manjim Kada prvi put prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu
na isti način utege koji su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj
postupak treba nastaviti dok ne uspostavimo ravnotežu Ravnoteža je postignuta kad se oba
šiljka vage poklapaju Kad smo uspostavili ravnotežu zakočimo vagu i po redu skidamo
utege zapisujući veličinu mase svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da predmet izvažete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vježbe Rezultate upišite u Tablicu 14 Nantildeite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
Prisjetite se izraza Koliko si težak te razmislite koji bi trebao biti vaš odgovor na
takvo pitanje _______________________________________________________________
Korišteni izrazi
m =
Tablica 14
m ∆m mjerenje jedinica g g
1
2
3
4
5
=m
- 33 -
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=∆ mm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=mmr
=
Masa predmeta uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) gm 5____________________plusmn=
Zaklju čak
- 34 -
15 Odrentildeivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
možemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo možemo volumen tijela odrediti
mjereći volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije
negoli tijelo uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite dok mjerite da gledate rub meniskusa
a ne tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta
Svaki put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovno odrediti razinu u menzuri Rezultate
upišite u Tablicu 15
Korišteni izrazi
tm =
tρ =
- 35 -
tV =
tV =
tρ =
Tablica 15
mt V1 V2 Vt ρt mjerenje jedinica g lm lm lm kgm3
1
2
3
4
5
=tm =tV =tρ
Račun pogrešaka
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku i maksimalnu relativnu pogrešku gustoće tijela tako
da ih izvedete kao u knjizi Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
=∆ tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
=∆ tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
=∆ tmρ
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
=tm
rρ
=
- 36 -
Tablica 16 Tablica gustoće nekih tvari
ρ (kgm-3) plastelin 1800 staklo 2500
kamen pješčar 2560 kremen 2600 aluminij 2700 mramor 2800 čelik 7900 mjed 8500 bakar 8900 olovo 11300
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od tablične vrijednosti za __________________
koja iznosi ______________ kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće tijela
=t
pρ =sdotminus
100tab
ttab
ρρρ
=sdot 100 -
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 35 ____________________ mkgt plusmn=ρ
Zaklju čak
- 37 -
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi zaporna ura
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju ∆x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikažite
grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se mentildeusoban položaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira tj mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmentildeu molekula javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijentildee granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduženje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku možemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je
kraju obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 31 -
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteža Tada je
21 kmkm tu sdot=sdot
Iz tih dviju jednadžbi zaključujemo da je
21 kmkm ux sdot=sdot
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k ne
Pri uspostavljanju ravnoteže pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridržavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brže i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je važan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj možemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne možemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 2 x 1 g 500 mg 200 mg 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi
manji od 1 g obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom a kompletirani su u jednoj
kutijici
Svaka vaga ima maksimalno opterećenje koje je zapisano na vagi Koliko ono iznosi
za našu vagu ___________________________
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan položaj pomoću libele L (niveliramo) Libela se
nalazi na postolju vage a pomoću nožica (N1 i N2) možemo postolje dovesti u vodoravan
položaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se može zakočiti Okretom
dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz ležaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteži tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (V1 i V2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnotežni položaj na skali S
Procjenu treba vršiti pomoću skale S Kako ćemo znati na koju vrijednost
procjenjujemo Postupak je slijedeći na desni kraj vage stavite uteg od 20 ili 100 mg a lijevi
kraj ostavite prazan i gledajte njezin otklon na skali S tj želite saznati koliku masu
predstavlja otklon 1 crtice na skali S vage Skala ima nul oznaku (0) (+) za mjerenje kada
dodajemo masu koja je pridružena odrentildeenom broju crtica i (-) za oduzimanje Postoje vage s
već baždarenom skalom i svjetlom
1 crtica iznosi mg
- 32 -
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred posebnog antivibracijskog stola ispunjenog
pijeskom i teškim kamenim blokom ili stolom pričvršćenim na zid na kojem je vaga tako da
ravno gledamo u njezinu sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage
stavimo tijelo mase mx koje želimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan
uteg počevši od najvećeg Dokle god preteže desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim
manjim Kada prvi put prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu
na isti način utege koji su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj
postupak treba nastaviti dok ne uspostavimo ravnotežu Ravnoteža je postignuta kad se oba
šiljka vage poklapaju Kad smo uspostavili ravnotežu zakočimo vagu i po redu skidamo
utege zapisujući veličinu mase svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da predmet izvažete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vježbe Rezultate upišite u Tablicu 14 Nantildeite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
Prisjetite se izraza Koliko si težak te razmislite koji bi trebao biti vaš odgovor na
takvo pitanje _______________________________________________________________
Korišteni izrazi
m =
Tablica 14
m ∆m mjerenje jedinica g g
1
2
3
4
5
=m
- 33 -
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=∆ mm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=mmr
=
Masa predmeta uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) gm 5____________________plusmn=
Zaklju čak
- 34 -
15 Odrentildeivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
možemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo možemo volumen tijela odrediti
mjereći volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije
negoli tijelo uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite dok mjerite da gledate rub meniskusa
a ne tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta
Svaki put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovno odrediti razinu u menzuri Rezultate
upišite u Tablicu 15
Korišteni izrazi
tm =
tρ =
- 35 -
tV =
tV =
tρ =
Tablica 15
mt V1 V2 Vt ρt mjerenje jedinica g lm lm lm kgm3
1
2
3
4
5
=tm =tV =tρ
Račun pogrešaka
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku i maksimalnu relativnu pogrešku gustoće tijela tako
da ih izvedete kao u knjizi Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
=∆ tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
=∆ tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
=∆ tmρ
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
=tm
rρ
=
- 36 -
Tablica 16 Tablica gustoće nekih tvari
ρ (kgm-3) plastelin 1800 staklo 2500
kamen pješčar 2560 kremen 2600 aluminij 2700 mramor 2800 čelik 7900 mjed 8500 bakar 8900 olovo 11300
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od tablične vrijednosti za __________________
koja iznosi ______________ kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće tijela
=t
pρ =sdotminus
100tab
ttab
ρρρ
=sdot 100 -
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 35 ____________________ mkgt plusmn=ρ
Zaklju čak
- 37 -
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi zaporna ura
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju ∆x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikažite
grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se mentildeusoban položaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira tj mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmentildeu molekula javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijentildee granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduženje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku možemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je
kraju obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 32 -
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred posebnog antivibracijskog stola ispunjenog
pijeskom i teškim kamenim blokom ili stolom pričvršćenim na zid na kojem je vaga tako da
ravno gledamo u njezinu sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage
stavimo tijelo mase mx koje želimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan
uteg počevši od najvećeg Dokle god preteže desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim
manjim Kada prvi put prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu
na isti način utege koji su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj
postupak treba nastaviti dok ne uspostavimo ravnotežu Ravnoteža je postignuta kad se oba
šiljka vage poklapaju Kad smo uspostavili ravnotežu zakočimo vagu i po redu skidamo
utege zapisujući veličinu mase svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da predmet izvažete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vježbe Rezultate upišite u Tablicu 14 Nantildeite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
Prisjetite se izraza Koliko si težak te razmislite koji bi trebao biti vaš odgovor na
takvo pitanje _______________________________________________________________
Korišteni izrazi
m =
Tablica 14
m ∆m mjerenje jedinica g g
1
2
3
4
5
=m
- 33 -
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=∆ mm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=mmr
=
Masa predmeta uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) gm 5____________________plusmn=
Zaklju čak
- 34 -
15 Odrentildeivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
možemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo možemo volumen tijela odrediti
mjereći volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije
negoli tijelo uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite dok mjerite da gledate rub meniskusa
a ne tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta
Svaki put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovno odrediti razinu u menzuri Rezultate
upišite u Tablicu 15
Korišteni izrazi
tm =
tρ =
- 35 -
tV =
tV =
tρ =
Tablica 15
mt V1 V2 Vt ρt mjerenje jedinica g lm lm lm kgm3
1
2
3
4
5
=tm =tV =tρ
Račun pogrešaka
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku i maksimalnu relativnu pogrešku gustoće tijela tako
da ih izvedete kao u knjizi Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
=∆ tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
=∆ tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
=∆ tmρ
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
=tm
rρ
=
- 36 -
Tablica 16 Tablica gustoće nekih tvari
ρ (kgm-3) plastelin 1800 staklo 2500
kamen pješčar 2560 kremen 2600 aluminij 2700 mramor 2800 čelik 7900 mjed 8500 bakar 8900 olovo 11300
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od tablične vrijednosti za __________________
koja iznosi ______________ kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće tijela
=t
pρ =sdotminus
100tab
ttab
ρρρ
=sdot 100 -
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 35 ____________________ mkgt plusmn=ρ
Zaklju čak
- 37 -
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi zaporna ura
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju ∆x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikažite
grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se mentildeusoban položaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira tj mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmentildeu molekula javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijentildee granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduženje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku možemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je
kraju obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 33 -
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=∆ mm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase tijela iznosi
=mmr
=
Masa predmeta uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) gm 5____________________plusmn=
Zaklju čak
- 34 -
15 Odrentildeivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
možemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo možemo volumen tijela odrediti
mjereći volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije
negoli tijelo uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite dok mjerite da gledate rub meniskusa
a ne tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta
Svaki put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovno odrediti razinu u menzuri Rezultate
upišite u Tablicu 15
Korišteni izrazi
tm =
tρ =
- 35 -
tV =
tV =
tρ =
Tablica 15
mt V1 V2 Vt ρt mjerenje jedinica g lm lm lm kgm3
1
2
3
4
5
=tm =tV =tρ
Račun pogrešaka
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku i maksimalnu relativnu pogrešku gustoće tijela tako
da ih izvedete kao u knjizi Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
=∆ tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
=∆ tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
=∆ tmρ
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
=tm
rρ
=
- 36 -
Tablica 16 Tablica gustoće nekih tvari
ρ (kgm-3) plastelin 1800 staklo 2500
kamen pješčar 2560 kremen 2600 aluminij 2700 mramor 2800 čelik 7900 mjed 8500 bakar 8900 olovo 11300
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od tablične vrijednosti za __________________
koja iznosi ______________ kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće tijela
=t
pρ =sdotminus
100tab
ttab
ρρρ
=sdot 100 -
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 35 ____________________ mkgt plusmn=ρ
Zaklju čak
- 37 -
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi zaporna ura
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju ∆x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikažite
grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se mentildeusoban položaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira tj mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmentildeu molekula javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijentildee granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduženje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku možemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je
kraju obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 34 -
15 Odrentildeivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Pogreške mjerenja
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
možemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo možemo volumen tijela odrediti
mjereći volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije
negoli tijelo uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite dok mjerite da gledate rub meniskusa
a ne tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta
Svaki put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovno odrediti razinu u menzuri Rezultate
upišite u Tablicu 15
Korišteni izrazi
tm =
tρ =
- 35 -
tV =
tV =
tρ =
Tablica 15
mt V1 V2 Vt ρt mjerenje jedinica g lm lm lm kgm3
1
2
3
4
5
=tm =tV =tρ
Račun pogrešaka
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku i maksimalnu relativnu pogrešku gustoće tijela tako
da ih izvedete kao u knjizi Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
=∆ tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
=∆ tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
=∆ tmρ
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
=tm
rρ
=
- 36 -
Tablica 16 Tablica gustoće nekih tvari
ρ (kgm-3) plastelin 1800 staklo 2500
kamen pješčar 2560 kremen 2600 aluminij 2700 mramor 2800 čelik 7900 mjed 8500 bakar 8900 olovo 11300
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od tablične vrijednosti za __________________
koja iznosi ______________ kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće tijela
=t
pρ =sdotminus
100tab
ttab
ρρρ
=sdot 100 -
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 35 ____________________ mkgt plusmn=ρ
Zaklju čak
- 37 -
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi zaporna ura
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju ∆x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikažite
grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se mentildeusoban položaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira tj mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmentildeu molekula javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijentildee granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduženje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku možemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je
kraju obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 35 -
tV =
tV =
tρ =
Tablica 15
mt V1 V2 Vt ρt mjerenje jedinica g lm lm lm kgm3
1
2
3
4
5
=tm =tV =tρ
Račun pogrešaka
Nantildeite maksimalnu apsolutnu pogrešku i maksimalnu relativnu pogrešku gustoće tijela tako
da ih izvedete kao u knjizi Vernić-Mikuli čić Vježbe iz fizike
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
=∆ tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
=∆ tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
=∆ tmρ
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
=tm
rρ
=
- 36 -
Tablica 16 Tablica gustoće nekih tvari
ρ (kgm-3) plastelin 1800 staklo 2500
kamen pješčar 2560 kremen 2600 aluminij 2700 mramor 2800 čelik 7900 mjed 8500 bakar 8900 olovo 11300
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od tablične vrijednosti za __________________
koja iznosi ______________ kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće tijela
=t
pρ =sdotminus
100tab
ttab
ρρρ
=sdot 100 -
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 35 ____________________ mkgt plusmn=ρ
Zaklju čak
- 37 -
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi zaporna ura
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju ∆x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikažite
grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se mentildeusoban položaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira tj mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmentildeu molekula javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijentildee granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduženje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku možemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je
kraju obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 36 -
Tablica 16 Tablica gustoće nekih tvari
ρ (kgm-3) plastelin 1800 staklo 2500
kamen pješčar 2560 kremen 2600 aluminij 2700 mramor 2800 čelik 7900 mjed 8500 bakar 8900 olovo 11300
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od tablične vrijednosti za __________________
koja iznosi ______________ kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće tijela
=t
pρ =sdotminus
100tab
ttab
ρρρ
=sdot 100 -
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
( ) 35 ____________________ mkgt plusmn=ρ
Zaklju čak
- 37 -
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi zaporna ura
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju ∆x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikažite
grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se mentildeusoban položaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira tj mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmentildeu molekula javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijentildee granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduženje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku možemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je
kraju obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 37 -
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi zaporna ura
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju ∆x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikažite
grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se mentildeusoban položaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira tj mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmentildeu molekula javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijentildee granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnotežnog položaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduženje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku možemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je
kraju obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 38 -
Ako djeluje neka vanjska sila Fr
i izvuče tijelo iz ravnotežnog položaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera xkFrr
sdotminus=H koja djeluje protivno izduženju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični položaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnotežnom položaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do položaja ndashA (gornji granični položaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i elastične potencijalne (EEP) energije
čini ukupnu mehaničku energiju (E) koja je konstantna (gravitacijska pot en Gdje je)
2
1
2
1 22EPK constxkvmEEE =sdotsdot+sdotsdot=+=
Navedena energijska jednadžba može se promatrati i kao diferencijalna jednadžba ako je
dt
dxv = što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije
o vremenu
Potražit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadžbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
sdotminus=sdot
sdotminus=sdot=
2
2
02
=sdot+ xx ω
gdje je m
k=2ω
Rješenje je diferencijalne jednadžbe oblika
)sin(sincoscossin ϕωωϕωϕ +sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
ππω
ω
sdot=sdotsdot=
=
22
pa se može pokazati kako je period titranja
k
mT πsdot= 2
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 39 -
211 Odrentildeivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Slika 212
Na zavojnicu i zdjelicu stavimo (Slika 212)
redom deset utega masa m1 m2 hellip (npr od
10 do 100 g) te mjerimo pripadajuća
produljenja zavojnice ∆x1 ∆x2 hellip
Podatke upišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
∆sdot
=
gdje je g akceleracija sile teže i iznosi za naš
položaj na Zemlji 981 ms2
Korišteni izrazi
F =
x∆ =
k =
k =
Tablica 21
m F x ∆x k mjerenje jedinica g N cm cm Nm
početni položaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
=k
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 40 -
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
F (N) ∆x (cm) xF ∆sdot (N cm) 2F (N2)
=F =∆x =∆sdot xF =2F
=2
F
=∆sdot xF
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
bFax +sdot=∆ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a 22 FF
xFxF
minus
∆sdotminus∆sdot =
cmN
Izračun odsječka na osi ordinati
=b Fax sdotminus∆ =
cm
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
=k a
1 =
Nm
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 41 -
Nacrtajte krivulju Fx minus∆ na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost produljenja opruge o vanjskoj sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = N =+sdot=∆ bFax 11 = cm
F10 = N =+sdot=∆ bFax 1010 = cm
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 42 -
212 Odrentildeivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Slika 213
Na elastično spiralno pero i zdjelicu
stavite uteg mase m Tada uteg
postavite u titranje tako da ga rukom
izvučete prema dolje označite donji
granični položaj i mirno pustite (masu
m odabrati tako da uteg sporo titra
kako biste mogli pratiti prijelaze
utega pored skale npr 50 g i više)
Mjerite zapornom urom vrijeme
potrebno za N=10 titraja tj 10
potpunih prolaza pored donjeg
graničnog položaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t
titranja s ukupnim brojem titraja N
dobivamo vrijeme T jednog titraja
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 22 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikažite grafički ovisnost mT minus te ovisnost mT minus
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni izrazi
T =
k =
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 43 -
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g N t T k t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=1T =k =2T =k =3T =k
m = _____ g m = _____ g N t T k t T k mjerenje
jedinica - s s Nm s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
=4T =k =5T =k
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 44 -
Podatke iz tablice 22 prepišite u tablicu 23 i izračunajte kako biste imali pregledne podatke za grafove Tablica 23
m m T mjerenje jedinica g g
s
1
2
3
4
5
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 45 -
Nacrtajte graf mT minus na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o amplitudi za male kutove
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji za male kutove To ćete izvesti
ovako izvucite uteg na peru (par centimetara) i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme t za npr
10 titraja To ponovite za još dvije različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24 Masu
utega izaberite tako da vam je lako izvesti pokus (npr 100 g) a masu utega trebate držati
stalnom kod promjene amplitude titranja
Korišteni izrazi
T =
T =
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 46 -
Tablica 24
A N t T mjerenje jedinica cm - s s
1
2
3
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 47 -
22 Odrentildeivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica dva tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoće dva dana tijela pomoću dinamometra
Gustoća vode ρvode = 1000 kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje ∆x zavojnice može služiti
za mjerenje sile F prema Hookeovom zakonu
xkFH ∆sdotminus= ako ∆x nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem
postoji proporcionalnost izmentildeu produljenja i
sile) Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu
masu m na nju djeluje sila ndash težina tog tijela
gmGT sdot= Tada je
gmxk
GF TH
sdot=∆sdotminus=
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati još i sila uzgona FU u suprotnom smjeru od sile teže
gm
gVF vodetijela
vodeu sdotsdot=sdotsdot= ρρ
ρ
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje ∆x2 zavojnice sada manje
UTH FGF minus=
gm
gmxk vodetijela
sdotsdotminussdot=∆sdot ρρ2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice ∆x1 u
zraku te ∆x2 u vodi Za svako tijelo mjerenje ponovite pet puta a rezultate upišite u Tablice
25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadžbe možemo izračunati gustoću tijela
vodetijela xx
x ρρ sdot∆minus∆
∆=21
1
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 48 -
022
011
xxx
xxx
minus=∆minus=∆
Slika 222 Korišteni izrazi
ρ =
ρ =
Tablica 25
Tijelo 1____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=1ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1ρp = = =
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 49 -
Tablica 26
Tijelo 2____________
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2 mjerenje jedinica cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
=2ρ
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________ čija je tablična gustoća ___________________kgm3
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2ρp = = =
Tablica 27
Gustoća nekih tvari etanol 790 kgm3 aluminij 2700 kgm3 glicerin 1260 kgm3 željezo 7900 kgm3 kamen pješčar 2560 kgm3 mjed 8500 kgm3
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 50 -
23 Odrentildeivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol glicerin čaša
Zadatak 1 Odredite gustoću alkohola i glicerina Mohr-Westphalovom vagom
Gustoća vode ρH2O = 1000 kgm3
2 Pogreške
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja služi za odrentildeivanje gustoće
tekućina Pri odrentildeivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odrentildeivanja tj
odrentildeuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (destilirana voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se stakleni ronilac na
tankoj žici Potom se cijeli ronilac uroni u
čašu s destiliranom vodom Pritom treba
paziti da ne dodiruje dno i rubove čaše
Na uronjenog ronioca djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg M
(jahač mase 10 g) koji će uravnotežiti
uzgon Kada je ronilac potpuno uronjen u
vodu pomoću vijka V vaga se uravnoteži
Na skali S očita se i zabilježi položaj
kazaljke ndash to je ravnotežni položaj Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliže osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 (uklanjamo uteg M s
kukice K) Ukoliko vaga nije u ravnotežnom položaju uzimamo novog jahača mase m2 =
M10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnotežu Potom uzmemo trećeg
jahača mase m3 = M100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnotežu vage
(n3) Ako treba može se staviti i četvrti jahač Očitamo položaje utega na vagi (n1 n2 n3 i n4) i
odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
+++sdot=10000100010010
43212
nnnnOHtek ρρ
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 51 -
Dakle gustoća tekućine odrentildeena je relativno s obzirom na gustoću vode Položaji
utega daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine Ako želimo točnije mjeriti potrebno je
izmjeriti temperaturu vode i iz tablica očitati njenu gustoću Na primjer ukoliko su n1 n2 n3
n4 redom jednaki 8 7 5 2 tada je gustoća tekućine jednaka
875202
sdot= OHtek ρρ
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na položaj n1 Tražena
gustoća je tada
++++sdot=10000100010010
1 43212
nnnnOHtek ρρ
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 n3 i n4 te ih upišite u tablice 28 i 29
Za svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni izrazi
1ρ =
2ρ =
Tablica 28
Tekućina 1__________
n1 n2 n3 n4 ρ1 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=1ρ
Tablica 29
Tekućina 2__________
n1 n2 n3 n4 ρ2 mjerenje jedinica - - - - kgm3
1
2
3
=2ρ
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 52 -
Pogreške Na osnovu rezultata mjerenja gustoće danih tekućina i tablice 27 izračunajte postotne
pogreške
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 1
1ρp = = =
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tekućine 2
2ρp = = =
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 53 -
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset
različitih duljina niti
2 Prikažite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teže g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš položaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodično gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kružnici je titranje a takontildeer i gibanje njihala oko ravnotežnog položaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od položaja ravnoteže
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (položaj ravnoteže) a zatim se sustav vraća u ravnotežno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičnog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnotežnog položaja
Njihalo u najširem smislu označava predmet koji se njiše Matematičko njihalo je
matematički model i primjer tijela koje izvodi harmonijsko titranje To je jednostavno njihalo
kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno pomoću niti duljine l
na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na obješeno tijelo) i
savršeno je nerastezljiva U stanju ravnoteže materijalna točka miruje u položaju B Na tijelo
izvučeno iz položaja ravnoteže djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teže (G = mg) i
izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu θ s obzirom na
ravnotežni položaj njihala
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 54 -
Slika 311 Slika 312
Za male kutove otklona θ pripadna duljina luka s iznosi θsdot= ls
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
dt
dl
dt
dsv
θ==
2
2
dt
dl
dt
dva
θ==
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teže (G = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta θ (Slika 312)
θθ sinsin sdotsdot=sdot= gmGFt
Drugi Newtonov aksiom kaže da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
amFt sdotminus=
Negativan predznak na desnoj strani jednadžbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u svakom
trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
udesno a sila djeluje ulijevo i obrnuto) Komponenta sile teže duž pravca niti zateže nit i
uravnotežena je sa silom napetosti niti
2
2
sindt
dlmamgm
θθ sdotminus=sdotminus=sdotsdot
Gornju jednadžbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sdotsdotsdotminus+minus=53
sin53 θθθθ
Zadržimo li samo prvi član dobijemo θθ asympsin
Gr
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 55 -
Konačno dobivamo jednadžbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
θθθθl
g
dt
d
dt
dlg minusasymprArrminusasymp
2
2
2
2
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadžbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadžbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
možete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadžbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt odnosno kao na stranici 36
Gornja jednadžba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 0ϕ Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadžbu
( ) ( )l
g
l
gt
l
gt =rArr=rArr+Θminus=+Θminus ωωϕωϕωω 2
002 sinsin
gdje je ω kutna brzina Iz teorije kružnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruženja (titranja)
g
lT
Tππω 2
2 =rArr=
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala (uz uvjet l gtgt r)
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte tražene
dijagrame
Duljinu njihala (l) odredite tako da duljini niti pribrojite polumjer kuglice (r) koji ste
izmjerili pomoću pomične mjerke
2r =
r =
Korišteni izrazi
T =
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 56 -
Tablica 31 Kuglica 1 Kuglica 2
l t1 T1 T12 t2 T2 T2
2 mjerenje jedinica m s s s2 s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nacrtajte krivulju lT minus na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 57 -
Izračunajte akceleraciju sile teže g metodom najmanjih kvadrata za kuglicu 1 i ucrtajte
dani pravac Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
=g
=
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 58 -
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti za naš geografski položaj
(g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
= =
Nacrtajte graf lT minus2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata
l1 = T12 = = =
l10 = T10
2 = = =
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 59 -
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 60 -
32 Fizikalno njihalo
(odrentildeivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje nantildeite položaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje može titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem Kruto će tijelo biti u položaju stabilne ravnoteže kad mu je težište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz položaja ravnoteže tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnotežnog
položaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obrnuto
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut ϑ djeluje moment Mr
težine tGr
s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile dr
(udaljenost od ishodišta O do težišta C) vrijedi tGdMrrr
times=
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnotežni položaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta ϑ tj vrijedi θsint dGM sdotminus=
Drugi Newtonov zakon za rotaciju možemo pisati u obliku
2
2
dt
dI
dt
dIM
θω ==
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
2
2
t sindt
dIdG
θθ =sdotminus
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 61 -
Iskoristimo li izraz za težinu tijela (Gt = mg) i aproksimaciju za sinuse malih kutova
θθ asympsin konačno dobivamo diferencijalnu jednadžbu
0=sdotsdot+ θθI
dgmampamp
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj ( )0sin)( ϕωθ +Θ= tt
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje TI
dgm πω 2=sdotsdot= a period titranja
fizikalnog njihala gdm
IT
sdotsdot= π2
Usporedimo li gornju jednadžbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine dm
Il
sdot= koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
ddddm
Il
dm
dmI
dm
Il cc +=+
sdot=rArr
sdotsdot+=
sdot=
2
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od težišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od težišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
2 0
dgm
IT
sdotsdot= π
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 62 -
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
20 d
dm
I
dm
dmI
dm
Il cc +
sdot=
sdotsdot+
=sdot
=
Iskoristimo li izraz za dm
Id c
sdot= dobivamo
dddm
Id
dm
I
dm
Im
Il cc
c
c +=sdot
+=sdot
+
sdot
=
Uputa
Slika 323
Raspolažete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
možete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični nož pomoću odvijača Nož i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podatke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (T ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi
Korišteni izrazi
T =
Tablica 32 x t T x t T mjerenje
jedinica cm s s mjerenje jedinica cm s s
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 63 -
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Iz grafa 31 odredite grafičkom metodom osi koje su recipročne slijedećim zadanim osima
- osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke odgovara recipročna os koja je udaljena
________ cm od gornjeg kraja šipke
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 64 -
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 65 -
4 VJEŽBA
41 Odrentildeivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouumlyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdžent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate par kapi deterdženta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) Takontildeer
moguće su pojave da predmeti teži od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja sprječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411 Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra vrlo važnu ulogu u održavanju života jer omogućuje biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja mentildeumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teže stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izdužene
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 66 -
Što drži čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće Mentildeu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drže na okupu Te
mentildeumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju mentildeu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okružene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli Mentildeutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka mentildeusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Želimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uložiti rad dW Površinska je
napetost σ rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dS
dW=σ
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko žičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
l
F
dxl
dxF
dS
dW =sdotsdot==σ
Jedinicu površinske napetosti možemo izvesti dimenzionalnom analizom
[ ]
=
=m
N
m
J2
σ
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada Na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmentildeu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 67 -
Uputa
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je izvršiti probno otkidanje prstena u
destiliranoj vodi kako bismo znali do kojeg broja skale trebamo izvršiti baždarenje Potom
baždarimo skalu instrumenta kako bismo znali koliku silu označava pojedina crtica na skali
vage U zdjelicu (Z) neposredno iznad prstena (obruča O) stavljamo utege odrentildeenih masa
mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati takve utege da pokrijemo
područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 100 mg do 1500 mg) Dobivene podatke za
masu odnosno silu (F = mg) koja djeluje na vagu te otklon skale unosimo u Tablicu 41 i
crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK) računamo pravac koji
najbolje opisuje dobivene točke na grafu (sada dobivamo jednadžbu pravca pomoću koje
možemo svakom otklonu pridružiti odgovarajuću silu) Nakon baždarenja skale uklonimo sve
utege iz posudice
U drugom dijelu vježbe mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke žice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten može se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drži prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2rπ)
Slika 414
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l rσ
π= =
Polumjer prstena možemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom
(postupak mjerenja pomičnom
mjerkom opisan je u Vježbi 1) a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 68 -
Sada možemo odrediti kolika je sila potrebna da se prsten koji je umočen u danu
tekućinu otkine od površine tekućine To činimo na sljedeći način U praznu posudicu P
ulijemo tekućinu čiju napetost želimo mjeriti te je postavimo na stalak ispod prstena
Podižemo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen Potom lagano spuštamo stalak s
posudom i promatramo skalu te u trenutku otkidanja zabilježimo koliki je bio otklon skale (u
Tablicu 42) Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvontildeenje ovog pokusa vrlo je važno
da prsten bude čist (ne dodirivati prstima) i vodoravan Nečistoća s prstiju može promijeniti
površinsku napetost dane tekućine Nakon izvontildeenja vježbe uklonite tekućinu iz posude
(vratite ju u originalnu posudu)
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu na ordinatu kroz
točku na ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do
pravca dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte tražene veličine
Korišteni izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m mg
F mN
otklon crtica
Izmjerite sljedeće veličine Vanjski promjer prstena
=D
mm
Unutarnji promjer prstena
=d
mm
Srednji polumjer prstena
=r
=
=
mm
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 69 -
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Poslužite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vježbi 21)
Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +sdot= tada je jednadžba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
=a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
=b
=
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 70 -
Ucrtajte graf otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata F1 = otklon1 = = =
F10 = otklon10 = = =
Korišteni matematički izrazi
σ =
σ =
F =
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 71 -
Tablica 42
voda alkohol voda + deterdžent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd mjerenje jedinica
crtica mN Nm crtica mN Nm crtica mN Nm
1
2
3
4
5
vσ = aσ = dσ =
Kako ćete odrediti silu F u tablici 42 Na dva načina grafički i računski (pomoću a i b)
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tvσ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vpσ =
= =
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 72 -
42 Odrentildeivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kg m-3
ρkuglica = 2510 kg m-3
k = 230010-5 m2 s-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
mentildeumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula mentildeu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja mentildeu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja mentildeumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil alkohol
strojno ulje
glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmentildeu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmentildeu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnotežena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niži slojevi sve manju brzinu
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 73 -
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti η
dz
dvSF sdot=η
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1η nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je
[ ] [ ]sPam
sN2
sdot=
sdot=η
Uputa
Hopplerov je viskozimetar urentildeaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjeri se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmentildeu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teže a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odrentildeenu stalnu
brzinu v nakon čega su spomenute sile u ravnoteži (Slika 423)
Fg = Fu + FStokes
ρk middotVmiddotg = ρt middotVmiddotg + 6middotπmiddotηmiddotrmiddotv
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teže
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 74 -
Ako uvrstimo πsdotsdot= 3
3
4rV i
t
Hv = dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
( ) tH
grtk sdotminussdot
sdotsdotsdot= ρρη
9
2 2
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
sdotsdotsdot=
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
( ) tk tk sdotminussdot= ρρη
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun koeficijenta
viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu možete očitavati na ugrantildeenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na 10 različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja kuglice
uočite kako se mijenja viskoznost glicerina Nakon svakog zagrijavanja sačekajte minutu
kako bi se glicerin zagrijao na traženu temperaturu i okrećite viskozimetar
Korišteni izrazi
η =
η =
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 75 -
Tablica 44
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t1 η1 t2 η2 t3 η3 mjerenje jedinica
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1η =
2η = 3η =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina za danu temperaturu
tη =
pri τ =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti glicerina
ηp =
= =
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 76 -
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je složeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog položaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmentildeu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se vrlo malo iz svog
ravnotežnog položaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu ili tijelu i tada kažemo da
se u sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito može se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana
na jednom kraju a drugi kraj držimo u ruci Naglim
trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na
cijev (slika 511) Na taj smo način stvorili
poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom
cijevi Promotrimo li poremećaj u različitim
trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek
istu sliku s time što se poremećaj pomaknuo Slika 511
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 77 -
Gumena cijev sama za sebe nije se pomaknula niti se promijenila Promatramo li
pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S druge strane
poremećaj se širi udesno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo) titraju okomito na
smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu
spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 512) Jednim udarcem
ruke uzduž zavojnice nastaje lokalno zgušnjavanje
(poremećaj) Poremećaj će se duž opruge prenositi
impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge
uzduž zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno
većom brzinom nego što se sabijaju (rastežu) dijelovi
opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se
čestice pomiču u smjeru širenja vala Takve poremećaje kod
kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalnim poremećajima Slika 512
Primjerice longitudinalni val nastaje na vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak
od udarca lokomotive prenosi se od vagona do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i
u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip
giba periodično naprijed ndash nazad Val se sastoji od periodično izmjeničnih područja
kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjentildeenja) plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Može se pokazati (vidi udžbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadžbom
2
22
2
2
x
uv
t
u
partpart=
partpart
(51)
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 78 -
Jednadžba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadžbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva ρ
ρE
v =
a brzina valova kod transverzanih valova napete žice ovisi o sili napetosti niti FN i duljinskoj
gustoći žice ρl
lρ
NFv =
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadžbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadžbe (51) dano u obliku
( ) ( )xvtxvtfu ++minus= ϕ (52)
gdje su funkcije f(xt) i ϕ(xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadžbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadžbe
Provjera
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minusminus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtvxvtvft
u ++minus=partpart
ϕ
( ) ( )xvtxvtfx
u ++minus=partpart
2
2
ϕ
( ) ( )xvtvxvtfvt
u ++minus=partpart
222
2
ϕ
( ) ( ) ( ) ( )xvtvxvtfvxvtvxvtfv ++minus=++minus 2222 ϕϕ
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih ( )xvtf minus označuje funkciju
valnog gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija ( )xvtf + funkcija valnog gibanja
u negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduž osi x
u suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu
funkciju vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje
neovisno o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) može imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da položaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
( )
minus=v
xtAtxu ωcos (53)
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 79 -
Iskoristimo li vezu kružne frekvencije ω i perioda titranja T T
πω sdot= 2 jednadžba (53)
postaje
( )xvtvT
Au minus= π2cos (54)
Valnu duljinu λ definiramo kao udaljenost izmentildeu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina λ prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
Tv
λ==vrijeme
put prevaljeni
Konačno jednadžba (54) postaje
minus=λ
π x
T
tAu 2cos (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
+=λ
π x
T
tAu 2cos (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima tijela Pronantildeimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadžbe dane izrazima (55) i (56)
++
minus=λ
πλ
π x
T
tA
x
T
tAu 2cos2cos
++minus=λ
ππλ
ππλ
ππλ
ππ x
T
tx
T
tx
T
tx
T
tAu 2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos
λππ x
T
tAu 2cos2cos2= (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 80 -
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije
x
λπ2
cos ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
12
cos =
x
λπ
rArr πλπ
kx =2 rArr
2
λkx = ( )210 plusmnplusmn=k
dok je uvjet za čvorove
02
cos =
x
λπ
rArr ( )2
122 πλπ += kx rArr ( )
412
λ+= kx ( )210 plusmnplusmn=k
Udaljenost izmentildeu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je λ2 a izmentildeu
trbuha i čvora je λ4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
Valovi zvuka
Titrajne štapova žica ploča i dr zbiva se obično u fluidima npr u zraku a fluid
pokazuje takontildeer svojstva elastičnosti Fluidi kao i čvrsta tijela opiru se lokalnoj kompresiji
odnosno dilataciji pa poprimaju početna stanja kad uzroci poremećaja prestanu djelovati
Kako u fluidu mogu nastati samo longitudinalni valovi titranje čvrstih tijela u fluidu pa i u
zraku proizvodi upravo longitudinalne valove pomaka Te valove zamjećuje uho kao zvuk ili
šum Područje fizike koje se bavi načinima dobivanja i zakonima širenja zvuka naziva se
akustika ona obuhvaća valove fluida i izvan intervala frekvencija koje naše uho čuje
(područje čujnosti je približno od 20 Hz do 20 kHz zvuk s frekvencijama iznad 20 kHz
naziva se ultrazvuk a s frekvencijama ispod 20 Hz infrazvuk)
Uzrok se poremećaja (zvuk) prenosi kao longitudinalni val pri čemu čestice zvuka
titraju u pravcu širenja zvuka U slojevima zraka kuda prolazi val izvodi se izmjenično
kompresija sabijanje i razrjentildeenje zračnog sloja pri kompresiji tlak zraka raste a pri
razrjentildeenju se smanji ispod atmosferskog tlaka Zvuk se širi samo u području gdje ima tvari
molekula a ne giba se kroz vakuum
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 81 -
51 Širenje vala izmentildeu dva nepomična kraja
Pribor Funkcijski generator pojačalo elektromotor 4 spojna vodiča 2 stolne stege duža
šipke 3 spojke -mufe 2 kraće šipke kuka elastična nit kolotura dinamometar od
1 N mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istražite matematički i pokažite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da možemo mijenjati napetost niti (slika 513)
Slika 513
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odrentildeenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 514 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenutku postižu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenutku prolaze kroz položaj ravnoteže i sve u istom trenutku postižu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 82 -
Slika 514
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a izmentildeu toga stvore se dva trbuha (slika
514 b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije vibratora nit se opet smiri i kod odrentildeene
frekvencije opet zatitra kao na slici 514 c) (četiri čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije može stvoriti stojne valove s 5 6 7 hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova na slici 514d)
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
prilagodite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni izrazi
v =
Tablica 51
f l λ v mjerenje jedinica Hz m m ms
1
2
3
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 83 -
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 514 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 514a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine λ tj vrijedi odnos λ = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
Lf
v2
1
==λ rArr ρ
N1 2
1
2
F
LL
vf ==
Frekvenciju f1 zovemo osnovna frekvencija titranja niti ili prvi harmonik
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 514 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna valna duljina λ tj vrijedi odnos L = λ Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
Lf
v ==2
λ rArr 1N
2 21
fF
LL
vf ===
ρ
Frekvenciju f2 zovemo druga harmonijska frekvencija titranja niti ili drugi harmonik
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i 5 čvorova Možete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmentildeu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite osam mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 84 -
Tablica 52
FN λ f v mjerenje jedinica
N m Hz ms
1
2
3
4
5
6
7
8
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti FN Tu ovisnost zapišite matematički i
prikažite grafički
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 85 -
Nacrtajte krivulju NFv minus na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o sili napetosti niti
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 86 -
52 Odrentildeivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev sa zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina može se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev obično je staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa može se prilagontildeavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuntildeuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja služi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija prilagontildeavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina dužine vala tj kada je
L = (2k-1)λ4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmentildeu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine i odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 87 -
Pojačalo služi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji fv sdot= λ Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni izrazi
v =
λ =
v =
Tablica 53
f L λ v mjerenje jedinica
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
= =
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak
- 88 -
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjentildeenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaklju čak