1 unid mates eso3

Números racionales e irracionales

ÍNDICE DE LA UNIDAD

1. Números racionales e irracionales

2. Fracciones

3. Notación científica. Aproximaciones

y errores

4. Representación de los números en la

recta numérica

Conoces

1_Unid_Mates_Eso3 24/11/06 14:29 Página 1

1 Números racionales e irracionales

1.1. Los números racionales

Con frecuencia nos referimos a cantidades que se pueden represen-tar mediante números enteros, decimales o fracciones, es decir, mediantenúmeros racionales. Por ejemplo: 37,5º de temperatura, 1,65 metros dealtura, un cuarto de hora, tres cuartos de kilo de jamón, media porción detarta...

Hasta este curso has estudiado estos tipos de números:

Si en el número fraccionario , se efectúa la división de a entre b, se ob-

tiene la expresión decimal de dicho número. Multiplicando la expresión de-cimal por 100, se obtiene el porcentaje correspondiente. Por ejemplo:

Fracción Expresión Porcentajedecimal

Las fracciones forman el conjunto de los números racionales, que se repre-senta con la letra Q.

Los números enteros también son racionales, ya que cualquier número en-tero se puede representar por una fracción con denominador 1 o por sus frac-ciones equivalentes. Por ejemplo:

55

1

10

2

15

3= = = – – – –3

3

1

6

2

30

10= = =

1

20 2 20, %= =

a

b


2

Clasifica las siguientes fracciones en números en-teros y en números racionales no enteros:

a) b) c) -8/4 d) 6/3 e) 15/6 f) -1/10

Escribe una fracción equivalente a cada una delas siguientes y obtén su expresión decimal:

a) -2 b) 3/5 c) 4 d) -9/2 e) 4/5 f) 9/3

Un número racional puede expresarse como frac-ción, como decimal y como porcentaje. Comple-ta la tabla siguiente:

Fracción 1/4 1/2 2/5 3/8

Expresión decimal 0,25 0,4

Porcentaje 25 % 37,5%

3

2

–32

164

1

Números Hay infinitos. El conjunto de 1, 2, 3, …, 1 000, 1 001, …naturales todos ellos se representa con IN.

Números Incluyen a los naturales, a sus …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …enteros opuestos y al cero. El conjunto de

todos ellos se representa con Z.

Números Son de la forma , donde a y bfraccionarios son números enteros.

– , , – , .......1

2

3

2

1

5

a

b

Observa que…

Una expresión decimal es una secuen-cia de cifras separadas por una coma.Consta de:• Parte entera, escrita a la izquierda

de la coma.• Parte decimal, escrita a la derecha

de la coma.Por ejemplo: 23,2708 es un númerodecimal donde 23 es la parte entera y2708 es la parte decimal.

Ten en cuenta que un número enteropuede considerarse como decimal cu-ya parte decimal es 0.


1.2. Los números irracionales

Hay cantidades que no pueden expresarse en forma de número entero nifraccionario; son los números irracionales.

Un número irracional expresado en forma decimal tiene una cantidad infi-nita de cifras decimales no periódicas. Uno de estos números, muy conocido,

es π. Otros números irracionales son:

También son números irracionales la diagonal de un cuadrado en funciónde su lado, la longitud de una circunferencia en función de su radio…

Un número irracional no se puede expresar como la división de dos núme-ros enteros.

Para operar con números irracionales, hay que utilizar valores aproximados,con un número limitado de cifras decimales, según el grado de precisión quenos interese.

Así, el número π se suele tomar con dos cifras decimales: π 3,14.

1.3. Los números reales

Los números racionales y los números irracionales forman el conjun-to de los números reales y se representa con la letra RR.

≅

L r= 2πd = + = =1 1 21 1 22 2 2

2 5 73, ,

3


Indica qué números entre los siguientes son irracionales:

Dibuja un círculo de 4 cm de radio y calcula su área, tomando π 3,14.

Calcula la cantidad de cable necesaria para unir dos vértices opuestos de un cuadradode 2,5 m de lado.

Calcula la altura de un triángulo isósceles de 2 cm de base y 4 cm de altura.7

6

≅5

a b c d e f) ) ) ) ) )π 9 5 1000 163 4 ( )3 2

4

Naturales N →Enteros Z

Enteros negativos → –4, –9

Racionales Q

Decimales exactos →

Números Fraccionarios Periódicos puros →reales Decimales periódicos

RPeriódicos mixtos →

Irracionales: Decimales no periódicos – , ,π 2 73

0 9485

90, =

2 321

9, =

0 753

4, =

1 524

7, ,

⎫⎭⎫⎭ ⎫⎭

⎫⎭

⎫⎭



4

2 Fracciones

Una fracción es el cociente indicado de dos números enteros a—b

con b 0.

Si a y b tienen el mismo signo, la fracción es positiva. Por ejemplo, ? o –7—–8

.

Si a y b tienen distinto signo, la fracción es negativa. Por ejemplo,

Si a = 0, la fracción es igual a cero. Por ejemplo,

2.1. Fracciones equivalentes

Por ejemplo, las fracciones 4—8

y 2—4

representan la misma parte de la unidad:

FALTA DIBUJOPara saber si dos fracciones son equivalentes, se multiplica el numerador

de la primera por el denominador de la segunda y, por otra parte, el denomi-nador de la primera por el numerador de la segunda. Si se obtiene el mismoresultado, las fracciones son equivalentes.

Por ejemplo, son equivalentes y no lo son.

2.2. Simplificación de fraccionesPara simplificar fracciones se dividen el numerador y el denominador por

un mismo número. El resultado es una fracción equivalente a la dada.

Para obtener la fracción irreducible equivalente a una dada, se dividen elnumerador y el denominador de la fracción entre el m.c.d. de ambos.

Una fracción simplificada no debe tener el signo menos en el denominador,sino en el numerador o delante de la fracción. Para eliminar el signo menosdel denominador, se multiplican los dos términos de la fracción por -1.

Por ejemplo:4

7

4

7

4

7−= − = −

Una fracción es irreducible cuando sus términos no tienen divisorescomunes mayores que 1.

2

5

6

10y

2

5

6

15y

Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte deuna cantidad.

0

3

0

5–.o

–

–.

3

5

5

7o

Procedimiento Ejemplo

Simplificación de fracciones Simplificar la fracción

Si el denominador tiene un signo menos,se multiplican el numerador y el denominador por -1.

Se descomponen el numerador y 18 = 2 · 32 y 30 = 2 · 3 · 5el denominador en factores primos m.c.d. (18 y 30) = 2 · 3 = 6y se halla su m.c.d.

Se dividen el numerador y el denominador = (18:6)/(30:6) = 3/5

de la fracción entre el m.c.d,18

30

−−

=18

30

18

30

−−

18

30

Recuerda que…

Para reducir fracciones a común de-nominador:

1º Se calcula el m.c.m. de los denomi-nadores.

2º Se buscan fracciones equivalentescon el m.c.m. hallado.


2.3. Comparación de fracciones

Podemos comparar varias fracciones de dos maneras. Por ejemplo, par

comparar

Indica qué pares de fracciones son equivalentes:

Escribe dos fracciones equivalentes a 3—5

.

Escribe la fracción correspondiente a cada gráfico:

a)

b)

c)

d)

Simplifica hasta obtener fracciones irreducibles:

Simplifica las fracciones:

a b c d) ) ) )10818

33656

24233

188045

12

a b c d) ) ) )2436

1840

1428

2233

) )e f80100

609

11

10

9

a y b y c y) ) )43

89

52

254

72

216

)d y23

32

8

3

5

2

3.y

5


Hallando su expresión decimal Reduciéndolas a común denominador

= 0,6 y = 0,666

< porque 0,6 < 0,666 < porque < .10

15

9

15

2

3

3

5

2

3

3

5

3

5

9

15

2

3

10

15= =y

2

3

3

5

Observa que…

• Fracciones positivas propiase impropiasUna fracción p/q es propia si p < q. Porejemplo, 3/5 es una fracción propia.

Una fracción p/q es impropia si p > q.Por ejemplo, 9/5 es una fracción im-propia.

• Fracciones decimalesy no decimalesUna fracción es decimal si su denomi-nador es una potencia de 10 o puedeconvertirse en otra equivalente quetenga por denominador una potenciade 10.

En caso contrario, no es decimal.


2.4. Operaciones con fracciones

Suma y resta de fraccionesPara sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se conserva

este y se suman o restan los numeradores.

Ejemplo:

Ejemplo:

donde el m.c.m. (4, 6, 9) = 36

Multiplicación de fracciones

Ejemplo:

División de fracciones

Ejemplo:

Potencias de fracciones

Ejemplo:

(–3/5)3 = (–3/5) · (–3/5) · (–3/5) = (–3)3/53 = –27/125

Para elevar una fracción a un exponente, se elevan a dicho exponente elnumerador y el denominador.

5

4

2

3

5 3

4 2

15

8:

·

·= =

Para dividir fracciones, se multiplican el numerador de la primera porel denominador de la segunda y el resultado se pone en el numerador.Después, se multiplica el denominador de la primera por el numeradorde la segunda y el resultado se pone en el denominador.

4

3

5

7

4 5

3 7

20

21·

·

·= =

Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí yel resultado se pone en el numerador. Después, se multiplican los deno-minadores entre sí y el resultado se pone en el denominador.

3

4

5

6

7

9

27

36

30

36

28

36

27 30– –

( –+ = + = + )28

36

25

36=

Para sumar o restar fracciones con distinto denominador, se reducenlas fracciones al mismo denominador y después se suman o restan losnumeradores, dejando el mismo denominador.

4

9

7

9

2

9

1

9–

–+ =


6

a

b

c

d

a c

b d·

·

·=

a

b

c

d

a d

b c:

·

·=


Operaciones combinadas con fracciones

7


Procedimiento Ejemplo

Operaciones combinadas Calcular: con fracciones.

1. Se realizan las operaciones

del interior de los paréntesis.

2. Se calculan las potencias.

3. Se efectúan las multiplicaciones Sustituimos el paréntesis pory divisiones. su resultado y efectuamos

la multiplicación:

4. Se realizan las sumas y restas.38

60

2

7

25

4

266

420

120

420

2625

420

2771

4– –+ = + =

220

2

3

19

20

38

60· =

5

2

25

4

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1

5

3

4

4 25

20

19

20+ = + =

2

3

1

5

3

4

2

7

5

2

2

· ( ) –+ + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Realiza las siguientes sumas y restas:

a) 3/8 – 5/2 + 7/5 c) -1 – ? + 7/5 – 3/2

b) 5/6 – 2 – 3/8 d) -7/2 – 1/12 – 3/10 + 1/3

Efectúa y simplifica:

a) (5/9) · (-3/4) c) (-1/7) : (-4/3) e) (-7/8) · (-1/2)

b) (-4/15) · (-3/7) d) (7/8) : (-2) f) (-1/5) · 10

Calcula:

a) (-3/5)4 c) (-7/2)3 e) (-9 + 1/4)2 g) (5 : 1/8)3

b) (3/10)4 d) (-2/3)6 f) (2 -10/3)2 h) (1 + 1/3)3

Reduce a una sola fracción:


a b c) )–

)1

12

212

18

1

18

1

5+

+

+22

25

52

25

+

–

17

a b) · – · ( ) ) ·35

103

215

32

23

+ ( – ) ( – )34

12

112

2+

16

15

14

13


2.5. Tipos de expresiones decimales racionales

Para transformar una fracción en expresión decimal, solo hay que dividirel numerador entre el denominador. Por ejemplo:

5/6 = 5 : 6 = 0,8333…

La expresión decimal procedente de una fracción puede ser: • Número entero: la parte decimal es cero. Por ejemplo, 4 y -38.• Decimal exacto, limitado o finito: el número de cifras decimales es limi-

tado.

Por ejemplo: 1,6 y 2,25.

• Decimal periódico puro: el número de cifras decimales es ilimitado y laparte decimal está formada por un grupo de cifras, llamado periodo, quese repite infinitamente.

Por ejemplo:

• Decimal periódico mixto: el número de cifras decimales es ilimitado y laparte decimal está formada por un grupo de cifras que no se repite, lla-mado anteperiodo, y un grupo de cifras que se repite infinitamente, llama-do periodo.

Por ejemplo:

Anteperiodo: 2 Anteperiodo: 01Periodo: 4 Periodo: 45

2.6. Fracción generatriz

Fracción generatriz de una expresión decimal es la fracción de la que pro-cede la expresión decimal.

El procedimiento para transformar expresiones decimales en fracciones ge-neratrices irreducibles depende del tipo de decimal:

Fracción generatriz de un número entero

Se multiplica el número entero por .

Por ejemplo, para hallar la fracción generatriz de 265:

Fracción generatriz de una expresión decimal limitada o finita

Se multiplica la expresión decimal limitada por según el

número de cifras decimales que tenga y, después, se simplifica la fracción ob-tenida para hallar la fracción generatriz irreducible.

Por ejemplo: 3 12 3 12100

100

312

100

78

25, , ·= = =

10

10

100

100

1000

1000, , , .........

265 2651

1

265

1= =

1

1

1 2444 1 24 3 01454545 3 014, ... , , ... ,= =y 55

0 333 0 3 2 343434 2 34, ... , , ... ,= =y


8


Fracción generatriz de una expresión decimal periódicaExpresión decimal periódica: dependiendo de que sea periódica pura o

mixta se utiliza uno de los procedimientos indicados en la siguiente tabla.

9


Ejemplo EjemploProcedimiento Expresión decimal Expresión decimal

periódica mixta periódica mixta

Obtención de la fracción7,5414141… 4,121212...

generatriz

1. Se nombra la expresiónb = 7,5414141… 4,121212...

decimal con una letra.

2. Se multiplica la igualdad

por una potencia de 10

para transformar la 10 b = 75,414141…

expresión periódica mixta

en periódica pura.

3. Se multiplica la igualdad

por una potencia de 10 1 000 b = 7 541,414141… 100 a = 412,121212...

para que la coma pase al

final del primer periodo.

4. Se restan las dos últimas 1 000 b = 7 541,414141… 100 a = 412,121212...

igualdades para que - 10 b = 75,414141… - a = 4,121212…

desaparezca la parte 990 b = 7 466 99 a = 408

decimal.

5. Se despeja el valor

de b y se simplifica.

6. Fracción generatriz

irreducible.

136

333733

495

a = =408

99

136

33b = =7466

990

3733

495

Clasifica los siguientes decimales en enteros, decimales limitados, periódicos puros y periódicos mixtos:

Halla la expresión decimal correspondiente a cada fracción e indica de qué tipo es:

a) 25/5 c) -8/3 e) 4/9

b) 1/45 d) 3/10 f) 7/15

Halla la fracción generatriz de los siguientes decimales limitados:

a) 0,12 c) 1,4

b) 0, 3 d) 5,35

Halla la fracción generatriz irreducible de las siguientes expresiones decimales:

a b c d) ) , ) , ) ,62 3 7 0 375 10 11 1 3 2 64 0 75) , ) , ) ,e f g 2 2 0318) ,h

21

20

19

a d

b

) , ) ,

) ,

0 31 10 1

0 41 ) ,

)

e

c

10 54

5 ) ,f 10 115

18



10

3 Notación científica

En la ciencia es común trabajar con números muy grandes y muy peque-ños. Por ejemplo, la distancia de la Tierra al Sol es 150 000 000 km y el diáme-tro de una glóbulo rojo es de 0,0065 cm. Resulta complicado trabajar con tan-tas cifras, por lo que este tipo de números se escriben, generalmente, usandola notación científica.

Por ejemplo:Distancia de la Tierra al Sol, 150 000 000 km = 1,5 · 108 km.Diámetro de una glóbulo rojo, 0,0065 cm = 6,5 · 10-3 cm.Observa que la potencia de 10 tendrá exponente positivo al expresar de

números muy grandes y exponente negativo en el caso de números muy pe-queños.

Las calculadoras científicas, cuando el resultado de una operación tiene máscifras de las que caben en la pantalla, lo expresan directamente en esta nota-ción. Observa el ejemplo del margen.

3.1. Aproximaciones y errores

En ocasiones es complicado indicar una medida y hacer operaciones con ex-presiones decimales ilimitadas o que tienen un gran número de cifras decimales.

Hacer una aproximación de un número consiste en tomar un valor del mismorecortando cifras a partir de una dada, de modo que se faciliten las operaciones.

Por ejemplo, 0,3 es un valor aproximado de 0,333... o bien 1/3. El número3,14 es un valor aproximado de π.

Cuando se opera con valores aproximados, siempre se está cometiendo un error.

Una cantidad expresada en notación científica consta de un númerocomprendido entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10.

Hallar el error absolutoAproximaciones y relativo al aproximar

4,25872 por 4,26

Aproximación por defecto. Si el valor que 15,234902 ª 15,23 es unase toma es menor que el valor exacto. aproximación por defecto.

Aproximación por exceso. Si el valor que 4,25872 ª 4,26 es unase toma es mayor que el valor exacto. aproximación por exceso.

Hallar el error absolutoErrores de una aproximación y relativo al aproximar

4,25872 por 4,26

Error absoluto de una aproximación Es elvalorabsoluto de la diferencia entre el valor | 4,25872 - 4,26 | = 0,00128exacto del número y el valor aproximado.

Error relativo de una aproximación Es el0,00128/4,25872 = 0,00030056

cociente entre el error absoluto y el valor exacto.

Observa que…

Al realizar la operación 1/1 250 en unacalculadora científica, en la panta-lla aparecerá como resultado: 8E-04o bien otra expresión similar.

Tienes que interpretarlo como 8 · 10-4,que es la notación científica de 0,0008.

Potencias de 10104 = 10 000103 = 1 000102 = 100101 = 10100 = 1101 = 0,110-2 = 0,0110-3 = 0,00110-4 = 0,0001


3.2. Truncamientos y redondeos

Truncar un decimal consiste en suprimir cifras decimales a partir de una dada.Por ejemplo, 5,728 truncado a las centésimas es 5,72.Redondear un decimal consiste en suprimir cifras decimales a partir de

una dada, de acuerdo con las siguientes reglas.

Los números enteros se truncan o redondean de modo análogo, pero, enlugar de suprimir cifras, estas se sustituyen por ceros. Por ejemplo, el núme-ro 7 018… truncado a las centenas es 70 y redondeado a las decenas es 702.

11


Reglas del redondeo

Se observa la primera cifra de la parte que se elimina:

- Si es mayor que 5, se aumenta 52,636 redondeado

en una unidad la cifra anterior.con dos cifras decimales es 52,64.

17,934 redondeado - Si es menor que 5, se deja la cifra anterior. con dos cifras

decimales es 17,93.

- Si es 5 y las siguientes no son todas 0,306,285203 redondeado

se incrementa la última cifra en una unidad.con dos cifrasdecimales es 306,29.

- Si es 5 y las siguientes - Si es par, se 2,485 redondeado

son 0, entonces se deja como está. con dos cifras

observa la última cifradecimales es 2,48.

de la parte que no se elimina:

- Si es impar, 6,835 redondeado conse le suma una dos cifras decimales unidad. es 6,84.

Ejemplo resuelto

Los radios reales de los planetas Mercurio, Tierra y Júpiter son, respecti-vamente, de 2 421 km, 6 371 km y 71 355 km. Redondear estas cantida-des a las centenas y escribirlas a continuación en notación científica.Número exacto 2 421 6 371 71 355Número redondeado a las centenas 2 400 6 400 71 400Número en notación científica 2,4 · 103 6,4 · 103 7,14 · 104

El número de moléculas en 1 g de agua es 33 400 000 000 000 000 000 000. Expresa esta cantidad en notación científica.

Expresa en notación científica los siguientes valores:

a) El diámetro promedio del núcleo de un átomo, que es de 0,000000000001 cm.

b) El peso de un litro de mercurio, que es 13 000 000 mg.

c) La velocidad de la luz en el vacío, que es 300 000 km/s.

d) La masa de un protón, que es 0,00000000000000000000000000167 kg.

Expresa con todas las cifras los siguientes números:

a) 1,3 · 105 c) 2,95 · 108 e) 8 989 · 10-6

b) 1,3 · 10-3 d) 0,0028 · 107 f) 7,1002 · 1010

Expresa en notación científica los siguientes números:

a) 20 000 b) 0,002 c) 12 000 000 000 d) 0,00034

25

24

23

22

La d

ista

ncia

de

la T

ierr

a al

Sol

es

149

529

544,

26 k

m. C

alcu

la e

l err

or a

bsol

uto

al a

prox

imar

est

a ca

ntid

ad p

or 1

50 0

00 0

00 k

m.

Cal

cula

el e

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r ab

solu

to e

n la

s si

gu

ien

tes

apro

xim

acio

nes

:

a)4,

5 �

4,5

71c)

0,6

7 �

0,6

666

e) 0

,079

� 0

, 079

99

b) 3

1,22

2 �

31,

2229

9d

) 426

,721

� 4

26,7

2100

1f)

0,3

� 0

,333

3

Red

on

dea

a la

s m

ilési

mas

los

sig

uie

nte

s n

úm

ero

s:

a) 3

,346

79

c) 0

,321

02

e

) 21,

2280

3

b) 0

,120

5

d

) 212

,199

6

f) 9

00,0

102

28

27

26



12

4 Representación de los números en la recta numérica

4.1. Representación de números racionales en la rectanumérica

Para representar un número racional en la recta numérica:1. Dividimos el segmento unidad en tantas partes como indica el denominador.2. Tomamos tantas partes como indica el numerador:• Hacia la derecha del 0 si el número es positivo.• Hacia la izquierda del 0 si el número es negativo.

Por ejemplo, fíjate en la representación de 3/4:FALTA DIBUJO

Observa que hemos dividido el segmento unidad en 4 partes (número indi-cado en el denominador) y hemos tomado 3 partes hacia la derecha (indicadoen el numerador).

Representamos ahora –1—4

:

FALTA DIBUJO

En este caso hemos dividido también en 4 partes y hemos tomado una par-te hacia la izquierda del 0.

Para representar en la recta números racionales cuyo numerador es (en va-lor absoluto) mayor que el denominador, es necesario dividir en partes igua-les más de una unidad.

Por ejemplo, para representar 5—4

en la recta, es necesario dividir en cuatro

partes iguales las dos primeras unidades positivas. FALTA DIBUJO

Representación de varios números racionales

Para representar dos o más fracciones con distinto denominador en la mis-ma recta:

Calculamos el m.c.m. de los denominadores y obtenemos fracciones equi-valentes a las dadas.

Dividimos el segmento unidad en tantas partes como indica el m.c.m. ha-llado y tomamos tantas partes como indique cada numerador.

Por ejemplo, para representar 2—3

y 4—5

, se divide la recta en 15 partes, yaque m.c.m. (3,5) = 15:

FALTA DIBUJO


4.2. Representación de los números irracionales en larecta numérica

La representación gráfica de un número irracional se puede hacer de formaaproximada y en algunos casos, de forma exacta.

Vamos a verlo con un ejemplo, representando 5 = 2,23606…

Para representarlo de forma aproximada, tomamos el valor de 5 como 2,2.

Para representarlo de forma exacta, tenemos que encontrar un triángulorectángulo cuya hipotenusa mida 5 . Este triángulo es el de catetos 2 y 1, co-mo se indica en el dibujo.

DIBUJAR COMPÁS COMO EN EL DIBUJO DEL MARGEN DE LA PÁGINA 16 – LI-BRO 3º ESO - ESFERA

Aplicando el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa:h2 = 22 + 12 = 5, por tanto h = 5 .

Trazamos con un compás un arco con centro en 0 y que corte la recta gra-duada. Este punto de corte representa el número irracional 5 .

13


Representa en la misma recta los números:

Representa en la misma recta los números:

Representa, con regla y compás, los siguientes números irracionales:

a) b)

Dibuja un rectángulo de base cm y 1 cm de altura y calcula el valor de su diagonal.

Utiliza el resultado anterior para representar exactamente .333

232

102

31

− − −12

12

56

13

56

12

, , , , .y30

− 12

34

710

, , .29

Observa que…

Al representar los números positivosen la recta real, estos se sitúan a la de-recha del 0 y los números negativos,a la izquierda.



14

R E S U M E N

NÚMEROS REALES

Números racionales. Son los que pueden expresarse en forma fraccionaria. Compren-den los números enteros, los decimales exactos y los decimales periódicos.

Números irracionales. Son los que no se pueden expresar como cociente de dos nú-meros enteros. Tienen un número infinito de cifras decimales no periódicas.

Fracción generatriz de una expresión decimal. Es la fracción simplificadade la que procede una expresión decimal.

Suma y resta de fracciones con el mismo denominador. Se con-serva el denominador y se suman o restan los numeradores.

Suma y resta de fracciones con distinto denominador. Se redu-cen las fracciones al mismo denominador y, después, se suman orestan los numeradores, dejando el mismo denominador.

Multiplicación de fracciones. Se multiplican los numeradores en-tre sí y el resultado se pone en el numerador. Después, se multipli-can los denominadores entre sí y el resultado se pone en el deno-minador.

División de fracciones. Se multiplica la primera por la inversa de lasegunda.

Operaciones combinadas con fracciones:Se suprimen los paréntesis.Se efectúan las multiplicaciones y divisiones.Se realizan las sumas y restas.

Una cantidad expresada en notación científica consta de unnúmero comprendido entre 1 y 10 multiplicado por una poten-cia de 10.

La notación científica se utiliza para expresar de forma abrevia-da los números que contienen muchas veces la cifra 0, bien porser muy grandes o muy pequeños.

FRACCIÓN GENERATRIZ

OPERACIONES CON FRACCIONES

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La fracción generatriz de 1 413

9, .es

−24

53 6 1 547, , , , , ...

π , , , .2 5 73

5

3

7

3

17

3

5

3+ − = −

3

4

2

5

6

20

3

10⋅ = =

1

2

10

4

5

8

4

10

20

80

1

4: = ⋅ = =

2

3

1

5

3

4

2

7

2

3

19

20

2

7

38

60⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − = ⋅ − = −− =2

7

73

210

donde el m.c.m. (4, 3, 9) = 36

5

4

7

3

8

9

45

36

84

36

32

36

7

36,− + = − + = −

El número 450 000 000 000 se expresado en no-tación científica es 4,5 · 1011

El número 0,00000000037expresado en nota-ción científica es 3,7 · 10-10


15


R E S U M E N

Hacer una aproximación de un número consiste en tomar unvalor del mismo recortando cifras a partir de una dada.Aproximación por defecto: es menor que el número dado.Aproximación por exceso: es mayor que el número dado.

APROXIMACIONES Y ERRORES

3,14 es una aproximación por defecto de π.3,1416 es una aproximación por exceso de π.

Error absoluto de una aproximación. Es el valor absolutode la diferencia entre el valor exacto del número y el valoraproximado.

Al tomar 7,2 como aproximación de 7,235, el errorabsoluto es:I 7,2 – 7,235 I = 0,035

Error relativo de una aproximación. Es el cociente entre elerror absoluto y el valor exacto. En el ejemplo anterior:

0 035

7 2350 0048

,

,,=

Truncar un decimal consiste en suprimir cifras decimales apartir de una dada.

4,134 truncado a las centésimas es 4,13.

Redondear un decimal consiste en suprimir cifras decimalesa partir de una dada, pero si la primera cifra suprimida es igualo mayor que 5, se añade 1 a la última cifra que se conserva.

8,137 redondeado a las centésimas es 8,14.

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA

1. Se calcula el m.c.m. de los denominadores.2. Se obtienen fracciones equivalentes a las dadas.3. Se divide el segmento unidad en tantas partes co-mo indica el m.c.m. hallado.

De forma aproximada:Se redondea el número a las décimas.

De forma exactaSe busca el procedimiento geométricoadecuado en cada caso.

Para representar 2—3

y 4—5

, se divide el segmento unidad en15 partes, ya que m.c.m. (3,5) = 15:

DIBUJO 50 x 15 mm

2

3

10

15

4

5

12

15= =

Para representar de forma aproximada , lo aproximamos a 2,2.

DIBUJO 50 x 15 mm

Para representar de forma exacta , tenemos que encontrar un trián-

gulo rectángulo cuya hipotenusa mida .

Aplicamos el teorema de Pitágoras: h2 = 22 + 12 = 5; por tanto, h = .Trazamos con un compás un arco con centro en 0 y que corte la rectagraduada. Este punto de corte representa de forma exacta al número irracional .

DIBUJO 50 x 25 mm

5

5

5

5

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA



16

AC T I V I D A D E SNiveles de dificultad: sencillo medio alto

1 NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

Calcula la hipotenusa del triángulo de la figura:

Clasifica los siguientes números en racionales e irra-cionales y expresa en forma de fracción los que se-an racionales:

a)

b) 2,451

c)

d)

e) 10,101010

Indica cuáles de los siguientes números son irracio-nales:

Encuentra la fracción que corresponde a los nú-meros decimales siguientes:

a)

b)

c)

Representa sobre una recta y escribe ordenados demenor a mayor los números:

5/6 26/12 –35/12 –36/6

Escribe un número racional y otro irracional com-prendidos entre 1/3 y 1/4.

Justifica si la siguiente afirmación es o no es ver-dadera: si un número tiene un número infinito decifras decimales es irracional.

Encuentra un número racional que sea mayor que14,0517681 y menor que 14,0517682. ¿Podrías en-contrar un número irracional comprendido entreestos dos números?

41

40

39

38

49 1243,

25 6,

1 276,

37

413

5 0 3 5 16 9 2 2, , , , , , , , , ,π 53

36

144

5

9

35

34

2 FRACCIONES


a)

b)


a)

b)

c)

Halla la fracción generatriz de los siguientes deci-males periódicos puros:

a)

b)

c)

d) –4,587587587…

Halla la fracción generatriz de los siguientes decima-les periódicos mixtos:

a)

b)

c)

d)

3 NOTACIÓN CIENTÍFICA. APROXIMACIONES YERRORES

Expresa con todas sus cifras:

a) 2 · 10-4

45

1 001,

2 431,

5 03,

0 31,

16 31,

1 4,

0 3,

44

32

23

32

23

−

+

13

1

13

1

−

+

112

212

−

−

43

315

213

2 112

2

− ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

23

12

112

413

2

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⋅

42


17


b) 4,56 · 102

c) 3,2 · 10-4

d) 0,3 · 10-2

Los gastos mundiales en armamento en el año 2004fueron de un billón de ¤ aproximadamente.

a) Expresa esta cantidad en notación científica.

b) Calcula, aproximadamente, el gasto mundial pordía en armas en el año 2004.

¿Cómo se obtiene una mejor aproximación de unnúmero, por truncamiento o por redondeo?

Trunca a las centésimas cada uno de los siguientesnúmeros:

a) 27,82496

b) 0,3219

c) 6,80934

d) 0,079

e) 20,456212

f) 115,296071

Trunca a las milésimas cada uno de los siguientesnúmeros:

a) 1,85496

b) 6,2456102

c) 2,972402

Redondea a las centésimas los siguientes núme-ros:

a) 3,34679

b) 0,1205

c) 0,32102

d) 212,1996

e) 21,22803

f) 900,0102

¿Cuáles son los errores absoluto y relativo que secometen al medir una longitud con una cinta mé-trica que aprecia hasta los milímetros?

Algunas de las hormigas más grandes que existenalcanzan aproximadamente los 8 cm de longitud.Las más pequeñas miden aproximadamente 0,5mm. Compara, en cada caso, los errores absolutoy relativo que se cometen con estas aproximacio-nes si se han encontrado ejemplares de 8,01 cm y0,6 mm, respectivamente.

52

51

50

49

48

47

46

ACTIVIDADES

Da un valor redondeado de las siguientes canti-dades:

, hasta las milésimas.

2,374578..., hasta las centésimas.

Calcula cuántos segundos son:

a) 1 hora.

b) Media hora.

c) 1/4 de hora.

d) 5/12 de hora.

Expresa en notación científica las siguientes canti-dades:

a) El número de estrellas de la Vía Láctea es de 100 000millones.

b) El origen del universo fue aproximadamente hace10 000 millones de años.

Calcula el error absoluto y el error relativo en lassiguientes aproximaciones:

a) 7,2 � 7,28456

b) 6,21 � 6,21403

c) 2,3478 � 2,3478412

4 REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS EN LARECTA NUMÉRICA

Escribe la expresión decimal y en forma de fracciónlos números representados en la recta numérica.

Indica el valor de los puntos A, B y C y escribe y re-presenta el valor de sus opuestos.

Representa en la recta las siguientes fracciones yordénalas de mayor a menor:

2/3, 1/2, 5/6, 7/12 y 3/4

59

58

57

56

55

54

2

53



18

Expresa en porcentaje los siguientes números deci-males:

a) 0,15

b) 0,2

c) 0,35

d) 0,4

e) 0,5

f) 0,6

g) 0,75

h) 1

Expresa en porcentaje los siguientes números frac-cionarios:

a) 1/2

b) 1/4

c) 3/5

d) 2/5

e) 4/5

f) 3/4

g) 1/8

h) 1/12

Juan se compró hace dos años una mochila que lecostó 65 €. La tienda donde la compró ha realiza-do dos aumentos de precio desde entonces: unodel 15% y otro del 5%. ¿Cuánto costará este cursola mochila?

Escribe la fracción que representa la parte colorea-da de las figuras:

a)

b)

68

67

66

65

ACTIVIDADES

Representa de forma exacta y – .

Calcula la fracción que representa la zona sombre-ada:

A CTIVIDADES DE SÍNTESIS

Comprueba que el resultado es un número entero:

a)

b) (– 1)16

c)

d) (-1/5)-2

Una tienda ofrece un descuento del 20 % en todossus artículos. Completa el siguiente cuadro:

Precio sin rebajar Descuento Precio rebajado(€) (€) (€)

200

550

60

48

96

208

Claudia ha gastado el 60 % de su asignación men-sual y le sobran 16 €. Calcula cuánto ha gastadoy cuál es su asignación mensual.

64

63

12

3⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−

32

0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

62

61

6660


19


c)

d)

Calcula la fracción del rectángulo ABCD que re-presenta la parte coloreada, sabiendo que

EB AE FD AF BH HC y DG· , · , ·= = = =3 3 3 3 ·· GC

69

ACTIVIDADES


ENTORNO MATEMÁTICO


TECNOLOGÍ@S



22

E VA LU AC I Ó N

La fracción 4—5

es:

a) Equivalente a 6—11

.

b) Irreducible.

c) Un número decimal periódico.

d) Un número irracional.

La operación 3—4

+ 7—8

– 1—4

da como resultado:

a) 11—8

b) 18—5

c) 9—4

d) 3—8

La diagonal de un rectángulo de base 3 cm y altu-ra 1,5 cm mide:

a) 11,25 cm

b) 4,5 cm

c) 2,6 cm

d) 3,354 cm

El resultado de la operación 5—6

· 1—10

– 3—4

: 2—3

esigual a:

a) – 25—24

b) 125—120

c) 5—60La fracción generatriz irreducible de 2,3111… es:

a) 231—99

b) 104—45

c) 28—9

d) 208—90

Si aproximamos 3,2194 hasta las centésimas, elerror absoluto que cometemos es:

a) 0,0194

b) 0,0006

6

5

4

3

2

1 c) 0,0094

d) 0,0004

Y el error relativo:

a) 0,0001864

b) 0,0029197

c) 0,0001869

d) 0,080485

Sabiendo que x = y que y = , el resultado dela operación y2 – x2 + 2 · (x y)2 es igual a:

a) –179

b) 221

c) 23

d) 203

La diagonal de un rectángulo de base y altu-ra mide:

a)

b)

c) 5

d) 25

La fracción que representan los cuadros sombrea-dos de la figura corresponde al número decimal:

a) 0,3

b) 0,5

c)

d) 0,33

El resultado de la operación ·10 + 0,3, expresa-do en forma de fracción, equivale a:

a) 3827—90

b) 423—10

c) 383—9

d) 1409—30

4 2,10

0 3,

9

150

5 5

10158

527


1 unid mates eso3

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