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1
Tópicos de Lógica Proposicional
Cláusulas de Horn
Resolução
Referência: Language, Proof and LogicJon Barwise e John Etchemendy, 1999
Capítulo: 17
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Tópicos de Lógica Proposicional-2
Frases de Horn
Forma Normal Conjuntiva- para frases sem quantificadores– conjunção de frases– cada elemento da conjunção é disjunção de literais– literal: frase atómica ou a sua negação
Frase Horn– frase na Forma Normal Conjuntiva– cada disjunção tem no máximo 1 literal positivo
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Tópicos de Lógica Proposicional-3
ExemplosNão são Horn
NaSala(Ana) (NaSala(Rui) Feliz(Luis))
(NaSala(Ana) NaSala(Rui) Feliz(Ana)) Feliz(Luis)
NaSala(Ana) NaSala(Rui) NaSala(Luis)
São Horn
NaSala(Ana) (NaSala(Rui) Feliz(Luis))
NaSala(Ana) NaSala(Rui) NaSala(Luis)
NaSala(Ana) NaSala(Rui) NaSala(Luis)
NaSala(Ana) NaSala(Rui) (NaSala(Rui) NaSala(Rui))
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Tópicos de Lógica Proposicional-4
Satisfação de frases de Horn Para averiguar satisfação de frases de Horn
– Tabela de verdade: mecânico mas caro: 2n linhas para n átomos– Nas frases Horn basta construir 1 linha.
Algoritmo: Átomos que aparecem como elementos da conjunção: V na coluna de referência Usar colunas de referência para preencher colunas da frase e vice-versa Acabar quando não se pode concluir sobre o valor de mais nenhuma coluna
Que concluir do algoritmo de satisfação de frases de Horn?– Um dos elementos da conjunção toma o valor F
a frase é não satisfazível
– Processo termina sem atribuir F a nenhum elemento da conjunção a frase é satisfazível podem preencher-se as restantes colunas de referência com F
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Tópicos de Lógica Proposicional-5
Algoritmo de satisfação de frases Horn
Exemplo: NaSala(Ana) NaSala(Rui) (NaSala(Rui) NaSala(Ana))
Átomo A é elemento da conjunção, a coluna de
referência terá V
A R A R (R A)
V
Se A é F, R terá de ser V
F
A R A R (R A)
V FV F
R tem valor F, e é elemento da conjunção: frase não
satisfazível
A R A R (R A)
V FV
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Tópicos de Lógica Proposicional-6
Exemplo
Exemplo: (A B) (B C) B
A B C (A B) (B C) BFV F
B é elemento da conjunção, tem de ter valor V
A B C (A B) (B C) BFV FV
C tem de ter valor V, e não há mais atribuições
A fórmula é satisfazível– se atribuir F a A, a linha resultante da tabela atribui V à fórmula
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Tópicos de Lógica Proposicional-7
Formalizar satisfação
Tabelas de verdade– explicitam circunstâncias em que uma fórmula é verdadeira– são informais– não são manipuláveis matematicamente
Noção formal: atribuição de verdade– função h
do conjunto de fórmulas atómicas de uma linguagem de 1ª ordem para o conjunto dos valores de verdade {V, F}
– para cada fórmula atómica A, h(A) é V ou é F– cada atribuição de verdade corresponde a uma linha das colunas de
referência de uma tabela de verdade
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Tópicos de Lógica Proposicional-8
Atribuição de verdade
h: atribuição de verdade– fórmula arbitrária: o que significa h torná-la verdadeira ou falsa?
h’ : definida no conjunto de todas as fórmulas, estende h– toma valores no conjunto dos valores de verdade {V, F}– na “tabela de verdade da linguagem”
h preenche uma só linha, e só as colunas de referência h’ preenche as restantes colunas para todas as fórmulas da linguagem
Definição de h’ : de acordo com significado das conectivas– h’(Q) = V se e só se h’(Q) = F– h’(QR) = V se e só se h’(Q) = V e h’(R) = V – h’(QR) = V se e só se h’(Q) = V ou h’(R) = V, ou ambos...
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Tópicos de Lógica Proposicional-9
Satisfação de fórmulas
Fórmula S é satisfazível– existe atribuição de verdade h tal que h’(S) = V
Fórmula S é logicamente verdadeira– para toda a atribuição de verdade h, h’(S) = V
Noção central: consequência lógica– Fórmula S é consequência lógica de um conjunto de fórmulas T sse
toda a atribuição de verdade que torna todas a fórmulas de T verdadeiras também torna S verdadeira
– T {S} elementos são todas as fórmulas em T e mais S
Proposição:– S é consequência lógica de um conjunto de fórmulas T se e só se o
conjunto T {S} não é satisfazível
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Tópicos de Lógica Proposicional-10
Algoritmo de satisfação de frases Horn
Teorema 2: O algoritmo classifica como satisfazíveis exactamente as fórmulas de Horn satisfazíveis
– Refraseando: uma fórmula Horn é satisfazível se e só se é classificada como satisfazível pelo algoritmo
– Fórmula S é satisfazível algoritmo classifica S como satisfazível Se S é classificada como não satisfazível:
não existe atribuição de valores de verdade que a satisfaça
S é não satisfazível sendo S satisfazível
S é classificada como satisfazível
(SÓ SE)
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Tópicos de Lógica Proposicional-11
Algoritmo de satisfação de frases Horn
Teorema 2 (cont.)– Fórmula S é classificada como satisfazível: fórmula é satisfazível
S é conjunção de disjunção de literais cada disjunção tem no máximo 1 literal positivo S verdadeira na atribuição h’:
– cada elemento da conjunção verdadeiro em h’ – um literal em cada disjunção tem valor V
Em cada disjunção– se tem só um literal positivo: foi posto a V pelo algoritmo– se tem alguns literais negativos e 1 positivo:
• se todos os literais negativos foram postos a F: o literal positivo foi posto a V• se o processo termina: as frases atómicas restantes são postas a F fazendo algum dos
literais negativos ficar com V
– se tem só literais negativos: • nem todos foram postos a F, senão S resultaria não satisfazível• algum se torna V quando as frases atómicas restantes são postas a F
(SE)
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Tópicos de Lógica Proposicional-12
Frases com dependências
Algoritmo de satisfação de frases Horn:– assume frases atómicas independentes
Se as frases não são independentes– a “linha de tabela” que se constrói pode ser espúria– não se pode concluir sobre a satisfação
Exemplo
Small(b) (Small(b) Cube(b)) Cube((b) Tet(b))
– aplicando o algoritmo: frase é satisfazível! num mundo que a satisfaça: b tem de ser pequeno, cubo e tetraedro
Para resolver: modificar algoritmo– atribuição de F às frases atómicas restantes: testar se produz linha espúria– se linha é espúria, procurar alternativa (não há procedimento sistemático)
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Tópicos de Lógica Proposicional-13
Automatizar demonstração
Problema: descobrir se uma frase é consequência lógica de outra Usando intuição
– Se é consequência: demonstra-se usando métodos de prova– Se não é: procura-se um contraexemplo: atribuição que torna as
premissas verdadeiras e a conclusão falsa
Como automatizar?– Usando tabelas de verdade: grande ineficiência– Algoritmo de satisfação para frases Horn: eficiente– Resolução:
aplicável a frases em forma normal conjuntiva eficiente generaliza para frases quantificadas
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Tópicos de Lógica Proposicional-14
Cláusulas
Conjuntos de cláusulas– Cláusula: conjunto finito de literais
C1= {Small(a), Cube(a), Backof(b,a)} C2= {Small(a), Cube(b)} Cláusula vazia:
– Cláusula é satisfeita por uma atribuição de verdade h: pelo menos um dos literais da cláusula tem o valor V em h não é satisfeita por qualquer atribuição
– C ⁄ : h satisfaz C sse a disjunção das frases em C tem o valor V em h’
Satisfação de um conjunto S de cláusulas– S é satisfeito por h desde que cada cláusula de S seja satisfeita por h– A fórmula (CNF) obtida pela conjunção das disjunções
correspondentes às fórmulas de S é satisfeita por h’
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Tópicos de Lógica Proposicional-15
Resolução
Para mostrar que um conjunto S de cláusulas não é satisfazível:– mostrar que um conjunto maior S’ obtido do primeiro também não o é– válido desde que S e S’ sejam satisfeitos exactamente pelas mesmas
atribuições
Método: provar que a frase S (em CNF) não é satisfazível– transformar S num conjunto de cláusulas
disjunções de literais passam a cláusulas com os mesmos literais conjunção passa a conjunto de cláusulas
– adicionar sistematicamente novas cláusulas - resolventes novas são tais que o conjunto é satisfeito pelas mesmas atribuições
– se chegarmos a um conjunto que contém , a frase inicial não é satisfazível
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Tópicos de Lógica Proposicional-16
Resolventes Exemplo1
C1= {Small(a), Cube(a), Backof(b,a)}
C2= {Small(a), Cube(b)}– Para satisfazer {C1, C2} é preciso atribuir V a pelo menos 1 de
Cube(a) Backof(b,a) Cube(b)– C3 = {Cube(a), Cube(b), Backof(b,a)} é um resolvente de C1 e C2– {C1, C2, C3} é satisfeito pelas mesmas atribuições que {C1, C2}
Exemplo2C1= {NaSala(Rui), NaSala(Ana)}
C2= {NaSala(Rui)}
C3= {NaSala(Ana)}– Uma atribuição que satisfaz {C1, C2, C3} satisfaz
C4 = {NaSala(Rui)}– {C1, C2, C3, C4} não é satisfazível
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Tópicos de Lógica Proposicional-17
Resolvente
Definição: (resolvente)– R é uma resolvente das cláusulas C1 e C2 se existe uma fórmula
atómica numa delas e a sua negação na outra, sendo R o conjunto de todos os restantes literais de ambas.
Exemplos
{A,D} {A}
{D}
{A, A} {A}
{A}
{B,C} {B, D}
{C, D}
{D} {D}
{}
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Tópicos de Lógica Proposicional-18
Correcção da resolução
Teorema: Sendo S um conjunto não satisfazível de cláusulas numa linguagem com frases atómicas independentes, é sempre possível, por resolução sucessiva, chegar a .
ExemploA (B C B) (C D) (A D) (B D)
– Conversão em conjunto de cláusulas A}, {B, C}, {C, D}, {A, D}, {B, D}– Usar resolução para mostrar que o conjunto não é satisfazível
{B,C} {C, D}
{B, D} {B, D}
{D}
{A,D} {A}
{D}
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Tópicos de Lógica Proposicional-19
Consequência lógica
Provar consequência lógica usando resolução Para mostrar que
C é consequência lógica de
P1, P2, …, Pn Usar resolução para provar que
P1 P2 … Pn C
não é satisfazível– reduzir a forma normal conjuntiva– converter em conjunto de cláusulas– aplicar resolução
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Tópicos de Lógica Proposicional-20
Forma condicionalNaSala(Ana) NaSala(Rui)) Feliz(Luis)
Substituindo o condicional pela sua definição em termos de e
NaSala(Ana) NaSala(Rui) Feliz(Luis)
obtém-se uma disjunção com um só literal positivo
Em geral– frase de Horn é conjunção de frases
cada frase da conjunção é disjunção com 1 literal positivo e vários negativos
A1 A2 … An Bpode ser reescrita como
– (A1 A2 … An) B Casos particulares
– Disjunção sem literal positivo: (A1 A2 … An) False– Disjunção sem literais negativos: True B
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Tópicos de Lógica Proposicional-21
Forma condicional de frase de Horn
Uma frase de Horn em lógica proposicional é logicamente equivalente a uma conjunção de afirmações condicionais de uma das três formas seguintes
(A1 A2 … An) B
(A1 A2 … An) False
True B Resolução:
– proposto e desenvolvido por Alan Robinson (1965)– apropriado para a demonstração automática de teoremas– problemas formulados como séries de condicionais e bicondicionais:
a transformação em CNF é imediata