1. statybos procesŲ reikŠmĖ ir vieta investiciniŲ … procesu... · 2018-10-04 ·...

1. STATYBOS PROCESŲ REIKŠMĖ IR

VIETA INVESTICINIŲ PROJEKTŲ

VALDYMO SISTEMOJE

Statybos projektų valdymo esmė

• Projektų valdymas – tai valdymo

funkcijų, valdymo metodų ir

valdymo technikos panaudojimas

siekiant galutinių projekto

įgyvendinimo rezultatų.

Tradicinė statybos projekto įgyvendinimo schema

Projekto

patvirtinimas

Ir

Projektuotojo

parinkimas

Konkurso

paskelbimas

Rangovo

parinkimas

Ir sutarties

pasirašymas

Projekto

Užbaigimas

ir priėmimas

Pagrindimas Projektavimas Konkursinė

Įmonių

dalyvavimas

konkurse

dokumentacija Planavimas, statyba,

valdymas

Rangovai

Statybos procesasPastatų ūkio

valdymas

Specialistai

ir

konsultantai

Generalinis rangovas

Architektai ir

konstruktoriai

Užsakovas

Konsultantų paslaugos

Projektavimo darbai ir priežiūra

Konkurso vykdymas

Statybos darbai

Statybos projekto įgyvendinimo etapai ir jų dalyviai:

Statybos projekto pagrindimas ir rengimas:

– uţsakovai;

– statybos projektų vadovai;

– architektai ir inţinieriai (projektuotojai);

– konsultantai;

– finansavimo ir kredito įstaigos;

– statybos kontrolės įstaigos;

– savivaldybės atstovai;

– ţemės sklypų pardavėjai.

Statybos vykdymas:

– statybos ir transporto įmonės (rangovai, subrangovai);

– tiekėjai (statybinių medţiagų ir gaminių įmonės, pastatų inţinerinių sistemų gamybos įmonės);

– statybos kontrolės įstaigos;

– kitos įstaigos (draudimas, teisininkai).

Naudojimas:

– pramonės ir kitos įmonės;

– namų bendrijos;

– statinių techninės prieţiūros ir kontrolės įstaigos;

– specialiosios įmonės.

0Tikslų ir poreikių nustaty-

mas

1 Priešpro-jektinė stadija

3 Statybos

inžinierinis paruoši-

mas

2 Projektavimo darbai

5 Užbaigimo

darbai

4 Statybos

darbai

100 100

0

+/-

30

+/-

10

+/-

20

+/-

25

-Bendra investicijų suma

- Išlaidų tikslumo laipsnis

- Sprendimų priėmimo laisvumo laipsnis

- Statybos išlaidų kitimas

STATYBOS PROJEKTO FAZĖS

Kaštų planavimas

Kaštų kontrolė

Statybos projekto etapai ir išlaidų tikslumo kitimas

Statybos projektų dalyvių bendradarbiavimo formos

Užsakovas

Generalinis

rangovas

Subrangovas Subrangovas Subrangovas

Projektuotojas

(Architektas)

Statybos projektų dalyvių bendradarbiavimo formos

Užsakovas

Projektuotojas

(Architektas)

Generalinis rangovas Rangovas

Subrangovas SubrangovasSubrangovas

TARPTAUTINĖS INŢINIERIŲ KONSULTANTŲ

FEDERACIJOS (FIDIC) DOKUMENTAI

• Konkurso procedūra (Tendering procedure)

• Uţsakovo/Konsultanto pavyzdinė paslaugų sutartis (Client/Consultant Model Services Agreement)

• Trumpa sutarties forma (Short Form of Contract)

• Statybos darbų sutarties sąlygos (Conditions of Contract for Construction).

• Įrenginių ir projektavimo-statybos darbų sutarties sąlygos (Conditions of Contract for Plant and Design-Build) Geltonoji knyga

• Įrenginių parinkimo, tekimo ir statybos "iki rakto" sutarties sąlygos (Conditions of Contract for EPC Turnkey projects) Sidabrinė knyga

• Baltosios knygos vadovas (The White Book Guide)

• FIDIC sutarčių vadovas (The FIDIC Contracts Guide)

Build-Operate-Transfer (BOT)

• BOT yra projekto finansavimo forma, kai statinio savininkas perduoda privačiai įmonei teises finansuoti, projektuoti, statyti ir naudoti statinį tam tikrąlaikotarpį, daţnai netrumpesnį kaip 20-30 metų, kuriam pasibaigus teisės disponuoti statiniu yra grąţinamos savininkui.

• Europoje ir kitose šalyse BOT projektai įgyvendinami šiose srityse:– plentų tiesimo (Lenkija);

– greitkelių tiesimo (Bangkokas);

– didelių tiltų statybos (Danija);

– tunelių statybose (eurotunelis tarp Anglijos ir Prancūzijos);

– poţeminio metro statybos (Ankara, Turkija);

– oro uostų statybos (Atėnai);

– jėgainių statybos (Malaizija, Pakistanas, JAV);

– buitinių atliekų deginimo įmonių statybos (Belgija, JAV, Šveicarija).

Public-private partnership (PPP)

• Public-private partnership (PPP) yra viešojo ir privataus

sektorių bendradarbiavimas siekiant išspręsti visuomenines

problemas ar patenkinti poreikius ir gauti abipusę naudą.

• Konsorciumas daţniausiai sudaromas iš statybos įmonės,

eksploatuojančios įmonės ir banko.

Projekto koordinavimas

Matricinis projekto organizavimas

Visiškas projekto organizavimas

Statybos projektų valdymo efektyvumas

Statybos projektų valdymo išlaidos

Projekto valdymo etapai %

1. Projekto parengimas (projekto tikslingumo nustatymas) 26

2. Projektavimas (principinių inţinerinių sprendimų ir detalaus projekto

rengimas, projekto derinimas ir leidimų statybai gavimas)

21

3. Statybos vykdymo projekto parengimas (statybos darbų apimčių

nustatymas, statybos vykdymo grafikų sudarymas, viešųjų pirkimų

konkurso organizavimas)

19

4. Statybos vykdymas (statybos vykdymo kontrolė) 26

5. Projekto uţbaigimas (priėmimas ir projekto dokumentacijos

sutvarkymas)

8

Iš viso: 100

Statybos projektų valdymo efektyvumas

• Projektų įgyvendinimo trukmės mažinimas

• Projektų išlaidų mažinimas

• Viso projekto kainos mažinimas

Statybos procesų reikšmė ir vieta projektų valdymo

sistemoje

• Statybos procesas – tai veiksmai, kurie leidţia pastatyti statinį arba jį pakeisti, ir yra susieti kuo tikslingesne logine seka[Markus, 1996].

• Statybos procesai – tai tokie gamybiniai procesai, kai pastatomi, rekonstruojami, suremontuojami, perkeliami į kitą vietą arba išardomi statiniai arba dalis jų konstrukcijų. Tai visuma technologiškai susijusių darbo operacijų, kurias atlieka tie patys darbininkai, turintys įvairių darbo priemonių ir medţiagų, kurios darbo metu gali būti keičiamos. Darbo proceso rezultatas – tam tikra baigta produkcija”[Zavadskas, 2000].

• Statybos procesas – tai tikslingas ir efektyvus tarpusavyje susijusių logiškai pagrįstų veiksmų atlikimas naudojant reikalingas ir efektyvias priemones, taip pat laikantis statybos reglamentų ir kitų apribojimų reikalavimų. Statybos proceso galutinis rezultatas – statinys arba pastatas, kuriame yra visa reikalinga įranga ir kuris gali būti naudojamas pagal paskirtį[Juodis, 2001].

Statybos procesų inţinerinis parengimas

• Statybos procesų inţinerinis parengimas – tai būtinos

techninės, ekonominės, teisinės ir kitos reikalingos

dokumentacijos statybai vykdyti rengimas, įvertinant rangovo

sutartinius įsipareigojimus, efektyvumo ir kitus reikalavimus.

Statybos inţinerinis parengimas galimas jau vykdant

viešuosius pirkimus, rengiant pasiūlymo kainą.

Statybos inžinerinio parengimo darbų turinys:

• statybos procesų projektinių sprendimų rengimas;

• statybos aikštelės inţinerinio įrengimo planas;

• statybos darbų vykdymo dokumentacijos

rengimas.

Suderinimai ir

sąlygos statybos

darbams vykdyti

Sutartis su

užsakovu

Sutartys su

tiekėjais

Tikslus statybos

darbų apimčių

nustatymas

Statinio projektinių

sprendimų

tikslinimas ir

statybos darbų

struktūrizavimas

Statybos įmonės

galimybių

įvertinimas,

sutartys su

subrangovais

Statybos

inžinerinis

parengimas

Statybos procesų

projektinių

sprendimų

rengimas

Statybos darbų

vykdymo

dokumentacijos

rengimas

Statybos aikštelės

įrengimo planas

Finansinis

aprūpinimo

planasStatybos aikštelės

įrengimas

Statybos pradžia,

valdymas ir

kontrolė

Taip kaina(išlaidos), kokybė,

trukmė, patikimumas)

Ne

Statybos aikštelės įrengimo projektiniai sprendimai

Statybos aikštelės inžinerinis įrengimas

Statybos pradţia, valdymas ir kontrolė

Optimalūs

sprendimai

Optimalūs

sprendimai

Statybos procesų projektinių sprendimų rengimas

1.Statinio projektinių sprendimų tikslinimas.

2.Tikslus statybos darbų apimčių apskaičiavimas.

3.Statybos darbų principinio technologinio modelio sudarymas.

4.Statybos procesų struktūrizavimas bei alternatyvių technologinių ir

organizacinių projektinių sprendimų sudarymas.

5.Statybos procesų projektinių sprendimų įvertinimas ir optimizavimas.

6.Statybos procesų racionalių(optimalių) projektinių sprendimų

įgyvendinimo patikimumo įvertinimas.

Statybos darbų vykdymo dokumentacijos rengimas

1.Statybos darbų technologijos projektas. 2.Statybos darbų vykdymo

kalendoriniai grafikai. 3.Aprūpinimo ištekliais grafikai. 4. Subrangovų

darbų grafikai. 5.Darbų vykdymo sąmata. 6.Finansų grafikai. 7.Kita

dokumentacija.

Aktualiausi statybos inţinerinio parengimo

metodologiniai probleminiai klausimai:

1. Statybos procesų struktūrizavimas, technologinių modelių sudarymas ir optimizavimas.

2. Statybos organizavimo modelių sistemos sudarymas ir optimizavimas.

3. Statybos procesų projektinių sprendimų optimizavimo tikslų, kriterijų ir apribojimų sistemos sudarymas ir praktinis taikymas.

4. Ekonominių ir matematinių metodų taikymas dalinių ir kompleksinių statybos procesų optimizavimo uţdaviniams spręsti.

5. Statybos darbų vykdymo dokumentacijos rengimo metodikos tobulinimas.

6. Statybos inţinerinio parengimo kompleksinės metodikos kūrimas, apskaičiavimų algoritmizavimas, kompiuterizavimas ir jos integravimas į statybos kompiuterinę valdymo sistemą.

2. STATYBOS PROCESŲ

SISTEMOTYRA

Statybos procesų teorijos ryšys su kitų mokslų sritimis

• Kompleksinis statybos procesas priskiriamas

prie sudėtingų, dinaminių ir tikimybinių

sistemų. Tokioms sistemoms atvaizduoti,

nagrinėti ir rengti optimalius sprendimus

pasitelkiama sistemų inžinerijos metodologija.

Sistemų inžinerijos esmė

• Bendroji sistemų teorija – mokslo sritis, nagrinėjanti

sistemotyros metodologinius principus.

• Bendroji sistemų teorija sudaro tyrimų bendrą

metodologinį pagrindą nagrinėjant įvairius objektus

ir procesus kaip sistemas.

Sistemos sąvoka

I. Sistema interpretuojama kaip procesų ir reiškinių kompleksas, taip pat objektyviai egzistuojantys jų ryšiai.

Tyrėjo uždavinys – išskirti nagrinėjamą sistemą iš aplinkos ir mažų mažiausiai – nustatyti šios sistemos įėjimo ir išėjimo parametrus. Didžiausias siekis –atlikti sistemos struktūros analizę, atskleisti nagrinėjamos sistemos funkcionavimo mechanizmą, o po to tikslingai keisti sistemos būvį.

II. Sistema interpretuojama kaip procesų ir reiškinių tyrimo objektas. Tyrėjas konstruoja sistemą, siekdamas abstrakčiai atvaizduoti realius objektus. Tokia sistemos sąvoka artima modelio sąvokai.

III. Sistema interpretuojama kaip tikslingas, dirbtinai sudarytas elementų kompleksas.

Tokia sistemos sąvoka naudojama spręsti sudėtingą techninę, ekonominę, organizacinę ar kitą problemą. Tyrėjas ne tik išskiria sistemą iš aplinkos, bet ir ją kuria, sintezuoja. Sistema yra ne tik realus objektas ar procesas, bet taip pat realių ryšių abstraktus atvaizdas. Toks sistemos apibrėžimas vartojamas sistemų inžinerijos metodologijoje.

Atvira dinaminė sistema

Elementas

Elementas

Elementas

Elementas

Elementas

SISTEMA

Sistemos riba

Sistemos aplinka

Sistemų inžinerija

• Sistemų inžinerija – tai sisteminio požiūrio taisyklių ir principų taikymas kompleksinėms mokslo ir praktinės veiklos problemoms tikslingai atvaizduoti ir spręsti [Brandenberger, Ruosch, 1996; Daenzer, Huber, 1994].

Pasitelkus sistemų inžinerijos metodologiją, galima atvaizduoti sprendžiamas problemas grafiškai ar kitaip, sudaryti galimų sprendimų alternatyvas, o paskui, taikant atitinkamus įvertinimo arba optimizavimo metodus, parinkti racionalų sprendimą.

Sistemos atvirumas

Sistemos kompleksiškumas

Daugiapakopės statybos sistemos atvaizdavimas

STATYBOS

MAKROEKONOMINĖ

SISTEMA

Tikslas, apribojimai, kriterijai

ĮMONĖS

STATYBOS ĮMONĖS

FUNKCIONAVIMO SISTEMA


STATYBOS

PROJEKTAI

STATYBOS PROJEKTO VALDYMO SISTEMA


PROJEKTO

VADOVAS

PROJEKTUOTOJAS

RANGOVAS

UŽSAKOVAS

Sistemos gyvavimo ciklas

Statinio gyvavimo ciklas

Sutrumpinimai:

SP Statybos procesas

NP Naudojimo procesas

IP Išardymo procesas

Statybos procesų sisteminiai elementai ir jų ryšiai

Sistemos

vidinė

aplinka

Darbuotojai

Statybos

metodai

Statybos

mašinos ir

įrangaDarbo

organizavimas

Statybos

medžiagos

ir gaminiai

S t a t y b o s

p r o c e s a s

Sistemos

tikslai,

kriterijai ir

apribojimai

Problema

Situacijos analizė

Tikslo formulavimas

Problemos sprendimo koncepcijos ir

modelių sistemos sudarymas

Analizė

Įvertinimas

Sprendimų įvertinimas

baigtas?

Sprendimo parinkimas

Sprendimų įvertinimas

baigtas

Problemos sprendimo įgyvendinimas

Grįžti į

pakopą

A

B

C

D

E

F

Grįžti į

pakopą

n

e

taip

taip

taip

n

e

Sp

ren

dim

ų r

en

gim

as

Pro

ble

mo

s iša

iškin

ima

s

Info

rma

cijo

s r

inkim

o ir

pa

na

ud

ojim

o p

ob

ūd

is

Modeliavimas ir modelių sistemos

• Modelių tipai:

– Fiziniai (dirbtiniai arba natūriniai)

– Abstraktūs (loginiai, grafiniai arba matematiniai).

• Fiziniai natūriniai modeliai – tai realūs objektai.

• Fiziniai dirbtiniai modeliai – tai realių objektų pavyzdžiai mažu masteliu.

• Loginiai modeliai – tai algoritmų blokinės schemos, kompiuterinės programos ir kt.

• Abstraktūs grafiniai modeliai – tai tinkliniai grafikai, reiškinių ar procesų parametrų tarpusavio priklausomybių grafikai, dirbtiniai neuroniniai tinklai ir pan.

Kolonų parinkimo tinklinis modelis

Sudarant abstrakčius grafinius modelius, plačiai taikoma grafų teorija:

sudaromas tinklas, kuriame atvaizduojami nagrinėjamos problemos

alternatyviniai sprendimai.

Kolonos

Gelžbetonio

kolonos

Monolitinio gelžbetonio

kolonos (įrengiamos statybvietėje)

Betono gamyba

statybvietėje

Prekinis

betonas

BetonasArmavimasKlojiniai

Surenkamosios

gelžbetonio

kolonos

Metalinės

kolonos

• Matematiniai modeliai atspindi realių objektų ar procesų funkcionavimą.

• Statybos procesų matematiniai modeliai sudaromi taikomosios matematikos metodais: tikimybių teorijos, koreliacinės ir regresinės analizės, matematinio programavimo, eilių teorijos, atsargų valdymo teorijos, lošimų teorijos ir kt.

• Gali būti sudaromi dviejų tipų modeliai: determinuoti ir tikimybiniai.

Problemos racionalaus sprendimo sudarymo schema naudojant modelį

Reali problema

Modelis

Problemos

sprendimų

sudarymas,

naudojant

modelį

Galimi sprendimai

ir jų įvertinimo

rezultatai

Realios problemos

racionalus (optimalus)

sprendimas

Analitinis sprendimas

Modeliavimas

Rezultatų interpretavimas

1


PROJEKTINIŲ SPRENDIMŲ

ĮVERTINIMAS IR OPTIMIZAVIMAS

Statybos procesų projektinių sprendimųįvertinimo metodų charakteristika

• Statybos procesų projektiniai sprendimai gali būti įvertinami įvairiais metodais.

• Pagal naudojamų lyginimo kriterijų skaičių jie skirstomi į vienkriterius ir daugiakriterius.

2

Statybos procesų projektinių sprendimųvienkriteris įvertinimas

• Pavyzdžiui, apskaičiuojamos statybos procesųalternatyvių projektinių sprendimų įgyvendinimo išlaidos. Tai kriterijus, pagal kurį atrenkamas efektyviausias sprendimas.

• Išlaidoms apskaičiuoti gali būti sudaroma statybos proceso išlaidų kalkuliacija, arba sąmata.


Pridėtinė vertė

Pelnas

Socialinis draudimas

Kitos išlaidos Pridėtinės išlaidos

Iš viso:tiesioginės

išlaidos

Iš viso:darbo užmokestis

Iš viso:mechanizmai

Iš viso:medžiagos

Potencialiai pavojingi darbai

Specifiniai darbai

Sezoniniai darbai

Statybvietės darbuotojų darbo užmokestis

Papildomų mechanizmųekspl. vertė

Papildomų medžiagųvertė

Darbininkų darbo užmokestis (pagrindinių ir aptarnaujančių)

Mechanizmųeksploatacijos vertė

Medžiagų vertė franko statybos vieta

STATYBOS MONTAVIMO DARBAI

Kainos apskaičiavimas: pagal sąmatinius apskaičiavimus

STATYBOS OBJEKTŲ DARBŲ IŠLAIDOS

3


Vokietijoje ir Šveicarijoje statybos išlaidas ir kainąsudaro:1. Statybos proceso išlaidos:– darbininkų ir brigadininkų darbo užmokestis;– statybos mašinų ir įrangos naudojimo išlaidos;– medžiagos ir gaminiai, kitos išlaidos;– kitų įmonių paslaugos.

2. Statybos aikštelės išlaidos.3. Statybos įmonės valdymo išlaidos.4. Pelnas.5. Pridėtinės vertės mokestis.

• Vienkriteris statybos procesų projektinių sprendimų alternatyvų įvertinimas dažnai interpretuojamas grafiškai: statybos technologijų ekonominis įvertinimas


I

t

1I

2I

Vienodo efektyvumoriba

Išlaidos

Statybos trukmė

4


• Aprūpinimo betono mišiniais variantų įvertinimas[Blumer, 1988]

Išlaidos, Šveicarijos frankais

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Betono kiekis, 1000 m 3

110

108

112

114

116

118

120

Prekinis betonas

Betono mišinių gamybastatybos aikštelėje


• Žemės darbų vykdymo alternatyvių sprendimų įvertinimas [Blumer, 1988]

Išlaidos , Šveicarijos frankais / 3m

0 10 20 30 40 50 60

60

50

40

30

20

10

0

Vienodos išlaidos

Rankų darbas

Mechanizuotas darbas

Darbų apimtis , 3m

5


• Žemės darbų vykdymo alternatyvių sprendimų įvertinimas [Blumer, 1988]

2400

2000

1600

800

400

1200

00 10 20 30 40 50 60

Bendrosios išlaidos , Šveicarijos frankais

Vienodos išlaidos

Rankų darbas

Mechanizuotas darbas

Kintamos išlaidos

Fiksuotos išlaidos

3mDarbų apimtis ,

Daugiakriteris statybos procesų projektiniųsprendimų įvertinimas

Statybos veiklai būdingi daugiaaspekčiai, kompleksiniai, sudėtingi projektai ir procesai. Todėl jie nagrinėjami daugiakriterio įvertinimo metodais [Zavadskas, Simanauskas, Kaklauskas, 1999; Leimböck, 2000]. Šiuo atveju naudojami tokie kriterijai:• techniniai, pvz.: konstrukcinės sistemos

patikimumas, triukšmo lygis, statinio universalumas, statybos procesų mechanizavimo laipsnis;

• teisiniai, pvz.: aplinkos apsauga, darbo sauga;• ekonominiai, pvz.: sklypo dydis, statybos trukmė,

išlaidos, darbo našumas; • socialiniai, pvz.:darbo organizavimo formos, darbo

monotoniškumo laipsnis, motyvacijos lygis.

6

• Kriterijai apibūdinami techniniais ekonominiais rodikliais ir kokybinėmis charakteristikomis.

• Kokybinės charakteristikos nustatomos ekspertiniu metodu, suteikiant reikšmes skalėje (0; 10). Pvz., geriausias įvertinimas atitinka 10 balų.


• Alternatyvių projektinių sprendimų įvertinimo požiūriu atskiri vertinimo kriterijai nevienodai svarbūs. Todėl vertinant atsižvelgiama į kriterijų reikšmingumą vieno kitam.

• Visi duomenys ir apskaičiavimai pateikiami matricos formos lentelėje (3.2 lentelė). Atrenkamas tas variantas, kurio naudingumo vertė N yra didžiausia.

• Pateiktas metodas leidžia paprastai ir greitai įvertinti nagrinėjamus sprendimus. Todėl šis įvertinimo metodas tinka naudoti praktiškai. Vokiškai kalbančiose šalyse jis vadinamas „naudingumo vertės analize”(Nutzwertanalyse / Nutzwertrechnungen) [Leimböck, 2000].


7


rn

NnzNnvNn1cnzcnvcn1anzanvan1100%

Kn

N1zNkz

N1vNkv

N11Nk1

c1zckz

c1vckv

c11ck1

a1zakz

a1vakv

a11ak1

r1rk

K1...

Kk..

1110987654321

VzVvV1VzVvVzVzVvV1rkKk

Siūlomų sprendimųvariantai

Naudingumo vertė, įvertinant kriterijaus

reikšmingumąN = r x c

Naudingumo vertė(nuo 0 iki 10)

Kriterijaus reikšmėarba apibūdinimas

Kriterijųlyginamo

-jidalis, %

Kriterijai

Alternatyvių projektinių sprendimų daugiakriterio įvertinimo algoritmas toks:• Sudaroma įvertinimo kriterijų sistema.• Suteikiamas kriterijų lyginamasis svoris

(reikšmingumas), %.• Nustatoma kriterijų reikšmė.• Suteikiama naudingumo vertė nuo 0 iki 10 balų

sistemoje.• Nustatoma naudingumo vertė.• Nustatoma alternatyvių sprendimų bendra

naudingumo vertė .


8

775870785100%Naudingumo vertė

225200175987l. geraigeraipat.25%Galimybė keisti funkcinępaskirtį

1509012010683,24,8415%Statybos laikas,mėn.

1008090108958007500640010%Darbo sąnaudos,žm. val.

300500400610823017020050%Kaina, tūkst.Lt

CBACBACBA

Variantai

Naudingumas kriterijųpožiūriu

Naudingumo vertė(0–10)

Kriterijų reikšmė arba apibūdinimas

Lyginamasis svoris, %

Vertinimo kriterijai


• Prekybos centro pastato alternatyvių statybos konstrukcinių sprendimų įvertinimas

(A – gelžbetonio karkasas; B – mūro konstrukcija; C – metalinių konstrukcijų karkasas)

• Statybos proceso racionalaus projektinio sprendimo nustatymo blokinė schema:


Statybos procesų alternatyvių projektinių sprendimų rengimas

Daugiakriteris projektinių sprendimų variantų įvertinimas

Daugiakriterio įvertinimo analizė ir racionalaus varianto parinkimas

Projektinių sprendimų įvertinimo kriterijų sistemos sudarymas

9

• Statybos procesų projektiniai sprendimai gali būti efektyvūs arba neefektyvūs.

• Efektyvumu dažniausiai nusakomas užduoties tam tikromis sąlygomis įvykdymo laipsnis. Efektyvumas vertinamas pagal tam tikrus rodiklius ir kriterijus.

• Efektyvumo rodiklis apibūdina tam tikrą statybos proceso aspektą, pavyzdžiui, darbo našumą, mechanizacijos laipsnį, statybos trukmę ir kt. Efektyvumo ekonominiai rodikliai – numatomo gauti ekonominio efekto ir išlaidų, reikalingų sprendimui įgyvendinti santykis.

Statybos procesų projektinių sprendimų optimizavimas

• Efektyvumo kriterijus tiesiogiai susijęs su statybos proceso įgyvendinimo tikslu. Kriterijus turi įvertinti visus pagrindinius veiksnius, nuo kurių priklauso rezultatas.

• Klaidingas rekomendacijas gali sąlygoti netinkamai parinktas kriterijus. Statybos procesų projektiniųsprendimų efektyvumo kriterijai dažniausiai būna statybos darbų išlaidos, savikaina arba statybos darbųkaina.

• Efektyvumas vertinamas pagal kiekybinius kriterijus, tačiau gali būti naudojami ir kokybiniai kriterijai.


10

• Statybos procesų matematinio modeliavimo ir optimizavimo uždavinys – parengti ir pagrįsti optimalius sprendimus tam tikro pasirinkto kriterijaus atžvilgiu.

• Optimalių sprendimų rengimas ir jų įgyvendinimas sudaro statybos procesų valdymo pagrindą.

• Sprendimu vadinamas konkretus pasirinkimas. • Optimaliu sprendimu vadinamas toks, kuris pasirinktų

rodiklių ar kriterijų atžvilgiu yra geriausias.

• Statybos vadovas ar specialistas, kuris priima sprendimą, gali nesutikti su rekomenduotu optimaliu sprendimu, jei jįpasirenkant nebuvo įvertinti kiti svarbūs veiksniai, naudoti netinkami uždavinio optimizavimo rodikliai ar kriterijai, buvo iškreipti tikslai ar dėl kitų priežasčių.


Statybos procesų matematinis modeliavimas ir optimizavimas vykdomas atliekant sisteminę analizę.

Statybos procesų optimalūs projektiniai sprendimai rengiami tokiais etapais: • statybos procesų vykdymo priemonių parinkimas;• statybos procesų struktūrizavimas, alternatyvių

projektinių sprendimų rengimas ir jų įvertinimas;• statybos procesų projektinių sprendimų

optimizavimas.


11

• Statybos procesų vykdymo priemonės.

Atsižvelgiant į statybos projekto tikslus ir apribojimus, taip pat į numatomų naudoti statybos procesų vykdymo priemonių įvairovę (statybinių medžiagų, statybiniųkonstrukcijų, statybos mašinų ir įrankių, personalo ir jo kvalifikacijos, darbų organizavimo metodų ir kt.), gali būti sudaromi įvairūs statybos procesų projektiniai sprendimai. Pasitelkus įvairias statybos procesųvykdymo priemones, galima parengti daug alternatyviųsprendimų ir parinkti racionalų statybos darbų vykdymo būdą.


• Statybos procesų struktūrizavimas, projektiniųsprendimų rengimas ir jų įvertinimas.

Rengiant alternatyvius statybos procesų projektinius sprendimus, gali būti taikoma sistemų inžinerijos metodologija. Sistemų inžinerija – tai sisteminio požiūrio taisyklių ir principų taikymas kompleksinėms sistemoms tikslingai atvaizduoti [Brandenberger, Ruosch, 1996; Daenzer, Huber, 1994]


12

• Statybos procesų projektinių sprendimų optimizavimas.


Uždavinio formulavimas

Matematinio optimizavimometodo parinkimas ir uždavinio teorinio modelio

sudarymas

Duomenų surinkimas ir formalus uždavinio aprašymas

Optimizavimo uždavinio sprendimas naudojant asmeninį kompiuterį

Gauto optimalaus sprendinio interpretavimas ir paruošimas įgyvendinti


MATEMATINIAI MODELIAI IR

OPTIMIZAVIMAS

Modeliavimas ir modelių sistemos

• Modelių tipai:

– Fiziniai (dirbtiniai arba natūriniai)

– Abstraktūs (loginiai, grafiniai arba matematiniai).

• Fiziniai natūriniai modeliai – tai realūs objektai.

• Fiziniai dirbtiniai modeliai – tai realių objektų pavyzdžiai mažu masteliu.

• Loginiai modeliai – tai algoritmų blokinės schemos, kompiuterinės programos ir kt.

• Abstraktūs grafiniai modeliai – tai tinkliniai grafikai, reiškinių ar procesų parametrų tarpusavio priklausomybių grafikai, dirbtiniai neuroniniai tinklai ir pan.

Problemos racionalaus sprendimo sudarymo schema

naudojant modelį

Reali problema

Modelis

Problemos

sprendimų

sudarymas,

naudojant

modelį

Galimi sprendimai

ir jų įvertinimo

rezultatai

Realios problemos

racionalus (optimalus)

sprendimas

Analitinis sprendimas

Modeliavimas

Rezultatų interpretavimas

• Matematiniai modeliai atspindi realių objektų ar procesų funkcionavimą.

• Gali būti sudaromi dviejų tipų modeliai: determinuoti ir tikimybiniai.

Statybos procesų matematiniai modeliai ir jų kūrimas

• Matematinis modelis –– tai matematinių išraiškų sistema, supaprastintai aprašanti artimai tikrovei modeliuojamo objekto ar proceso charakteristikas ir jų ryšius.

• Modelį kuria subjektas (tyrėjas, specialistas) tam tikram tyrimo tikslui siekti ar uţdaviniui spręsti.

• Modelyje atsispindi objekto pagrindinės charakteristikos(savybės, tarpusavio ryšiai, struktūriniai ir funkciniai parametrai ir kt.).

• Matematinis modelis turi būti adekvatus realaus objekto ar proceso funkcionavimui. Tokie modeliai kuriami ir taikomi tais atvejais, kai eksperimentiniai tyrimai naudojant realų objektą ar procesą neįmanomi arba yra brangūs.

Statybos procesų matematinio modeliavimo struktūriniai

elementai ir jų ryšiai

Matematiniai

metodai

Techniniai ir

ekonominiai

dėsningumai ir

ryšiai

Statybos

procesas

(technologinis

modelis)

Statybos procesų matematiniai modeliai

• Determinuotas modelis – tai tokia analitinė nagrinėjamų dėsningumų išraiška, kai esant tam tikroms įėjimo parametrų reikšmėms gaunamas vienintelis išėjimo rezultatas.

Toks modelis gali atvaizduoti ir tikimybinę sistemą (tuomet ji yra supaprastinta), ir determinuotą sistemą.

• Tikimybinis (stochastinis) modelis – tai toks modelis, kuriame modeliuojamojo objekto ar proceso parametrai, funkcionavimo sąlygos ir kitos charakteristikos yra atsitiktiniai dydţiai, apibūdinami tikimybinėmis priklausomybėmis.

Determinuoto chaoso sąvoka

• Deterministinis chaosas – sudėtingas,

nereguliarus, panašus į atsitiktinį sistemos,

paklūstančios deterministiniams dėsniams,

būsenos kitimas laike ir (arba) erdvėje

Statybos procesų charakteristikų tikimybinis įvertinimas

• Statybos procesų analizei, technologinių, organizacinių bei

ekonominių matematinių modelių kūrimui ir kitiems uždaviniams

spręsti reikalingi atitinkami rodikliai - eksperimentinių tyrimų,

stebėjimų ar analitinių apskaičiavimų rezultatai.

• Tyrimų ir eksperimentinių duomenų apimtis visada būna ribota. Kai

duomenų turima ribotai, pageidaujama, kad atsitiktinio dydžio

pasiskirstymo dėsnis tiktų visiems galimiems stebėjimo rezultatams.

Statybos procesų charakteristikų tikimybinis įvertinimas

• Taikant matematinės statistikos metodus, galima operuoti ne visais galimais

eksperimento rezultatais, vadinamais generaline aibe, o tik jos dalimi,

vadinama imtimi.

Teisingai sudarius ir išnagrinėjus imtį, galima taikyti gautas išvadas visai

generalinei aibei.

• Eksperimentinių tyrimų ar stebėjimų rezultatai aprašo empirinį

pasiskirstymą.

Empirinės pasiskirstymo funkcijos skaitinės charakteristikos vadinamos

empirinėmis charakteristikomis (empirinis vidurkis, empirinė dispersija,

empirinis standartinis nuokrypis ir kt.)

• Statybos proceso parametrų skaitinių charakteristikų tikimybiniam

įvertinimui svarbios šios sąvokos: atsitiktinis dydis, atsitiktinis procesas,

atsitiktinių dydžių pasiskirstymo funkcija.

Atsitiktinis dydis

• Atsitiktinis dydis – tai aibė kokio nors kintamojo reikšmių, kurios

gali eksperimento metu pasirodyti, tačiau iš anksto konkreti tos

aibės reikšmė negali būti nustatyta.

Galima parinkti funkciją, kuri apibrėţia konkrečios reikšmės

pasirodymo tikimybę.

• Matematiškai:

atsitiktinis dydis – tai vienareikšmė realioji funkcija ξ = ξ(ω),

apibrėţta elementariųjų įvykių aibėje ω, jei kiekvieno realiojo x

atveju nusakyta tikimybė P(ω|ξ(ω) < x) = P(ξ < x) = F(x)

• Atsitiktiniai dydţiai būna diskretieji ir tolydieji.

Atsitiktinis dydis

• Atsitiktinis dydis vadinamas diskrečiuoju, jei jis įgyja baigtinę arba

suskaičiuojamą skirtingų reikšmių aibę. (statybos mašinų skaičius, darbininkų

skaičius brigadoje ir pan.)

Diskrečiojo atsitiktinio dydţio skirstinys nusakomas reikšmėmis

ir jų tikimybėmis

• Tolydieji atsitiktiniai dydţiai turi nesuskaičiuojamą aibę reikšmių. (statybos

proceso atlikimo trukmė, laikas, sugaštas laukiant transporto priemonės, betono

mišinio krovimo trukmė ir pan.)

• Atsitiktinis dydis vadinamas tolydţiuoju, jei yra tokia neneigiamoji

funkcija (tikimybės tankis), kad kiekvieno realiojo x atveju:

,......,,, 21 nxxx

,...,...,2,1, nixP i

dxxpxPx

xp

Atsitiktinių dydžių pasiskirstymas

• Atsitiktinių dydžių pasiskirstymas, arba skirstinys, – tai atsitiktinio dydţio

įgyjamos reikšmės su jų įgijimo tikimybėmis.

• Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsniu vadinama funkcija, nustatanti

galimų atsitiktinio dydţių reikšmių ir jų tikimybių ryšį. Bendriausia atsitiktinio

dydţio pasiskirstymo dėsnio išraiška yra pasiskirstymo funkcija, nes ji

aprašo ne tik diskrečiuosius, bet taip pat tolydţiuosius atsitiktinius dydţius.

• Pasiskirstymo funkcija uţrašoma taip:

F(x) =P(X < x)

čia P(X < x) – tikimybė, kad atsitiktinis dydis X įgyja reikšmes, ne

didesnes uţ tam tikrą jo reikšmę.

Tikimybės tankio funkcija

• Tolydţiojo atsitiktinio dydţio pasiskirstymo funkcijos išvestinė vadinama

tikimybės tankio funkcija:

f(x)=F´(x)

čia F´(x) – pasiskirstymo funkcijos išvestinė

• Sprendţiant konkrečius praktinius uţdavinius, nustatoma tikimybė, kad

nagrinėjamo atsitiktinio dydţio reikšmės pateks į kurį nors intervalą.

Naudojantis tankio funkcija, ši tikimybė apskaičiuojama taip:

čia a ir b – intervalo kairioji ir dešinioji ribos.

• Tolydţiojo atsitiktinio dydţio pasiskirstymo funkcija ir tankis yra susiję:

dxxfbxaPb

a

dxxfx

xFxfxF ;

Atsitiktinį dydį apibūdina skaitinės jo charakteristikos

• Nagrinėjant statybos procesus, apskaičiuojamos parametrų

empirinės skaitinės charakteristikos: empirinis vidurkis , dispersija ,

standartinis nuokrypis , variacijos koeficientas ir kt.

• Šios charakteristikos skiriasi nuo atitinkamų generalinės aibės

charakteristikų tuo, kad pačios empirinės skaitinės charakteristikos

yra atsitiktiniai dydţiai ir į jas įeina tik dalis generalinės aibės

reikšmių.

Empirinis vidurkis

• Empirinis vidurkis apskaičiuojamas kaip aritmetinis stebėjimo rezultatų vidurkis:

čia:

xi – eksperimentinių ar kitų tyrimų rezultatai;

n – duomenų skaičius.

n

x

x

n

ii

1~

• Statybos procesų parametrų vidurkio įverčiai gali būti panašūs arba

vienodi, tačiau duomenų sklaida skirtinga. Tai rodo, kad duomenų

patikimumas taip pat skirtingas. Tokiais atvejais reikia apskaičiuoti

standartinį nuokrypį .

Nagrinėjamasis parametras

* *

* * *

* vidurkio įvertis

* *

* *

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Duomenų skaičius n

Nagrinėjamasis parametras

* * * * *

* * * * *

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Duomenų skaičius n

• Empirinė dispersija :

• Empirinis standartinis nuokrypis :

čia:

xi – eksperimentinių ar kitų tyrimų rezultatas;

– vidurkis; n – bandymų skaičius.

• Variacijos koeficientas :

Kuo maţesnis variacijos koeficiento įvertis, tuo nagrinėjamas procesas stabilesnis ir rodiklių reikšmės patikimesnės.

2~sn

ii xx

ns

1

22 ~1

1~

2

1 1

~~

n

i

i

n

xxs

x~

100~

~~

x

svkkv~

Empiriniai asimetrijos ir eksceso koeficientai

• Asimetrijos koeficientas yra histogramos simetrijos matas:

čia - 3 eilės centrinis

momentas,

n – duomenų skaičius

Jeigu skirstinys simetriškas

vidurkio atţvilgiu (normaliojo

skirstinio atveju), tai =0.

Dešiniosios asimetrijos atveju

>0, kairiosios - <0

sA~

3

3

2

)1(~

sn

nnAs

3

sA~

sA~

sA~

Empiriniai asimetrijos ir eksceso koeficientai

• Eksceso koeficientas yra histogramos simetrijos matas:

čia - 4 eiles centrinis momentas,

n – duomenų skaičius

• Jeigu <0, tai skirstinys yra

lėkštesnis, lyginant su normaliąją

tankio kreive (duomenų sklaida apie

vidurkį yra didesnė nei normalaus

skirstinio. Jeigu >0, tai skirstinys

yra smailesnis. Jei lygus nuliui, tai

sklaida apie vidurkį tokia pati, kaip

ir normalaus skirstinio

kE~

3132

1~4

4

sn

nn

nEk

4

kE~

kE~

Vidurkio pasikliajamasis rėžis

• Kai ţinomas ne tikrasis, o empirinis atsitiktinio dydţio vidurkis, svarbu nustatyti, su kokia tikimybe galima tvirtinti, kad padaryta paklaida bus ne didesnė uţ iš anksto nustatytą reikšmę:

čia: α – pasikliaujamoji tikimybė; – pasikliaujamosios ribos;

– pasikliaujamasis rėţis.

• Pasikliaujamasis intervalas apibūdina vidurkio apskaičiavimo tikslumą, o pasikliaujamoji tikimybė – jo patikimumą. Ţinant nagrinėjamo proceso ar reiškinio statistines charakteristikas, galima nustatyti vidurkio kitimo ribas. Tada apskaičiuojamas vidurkio intervalinis įvertis:

čia: – statybos proceso parametro vidurkio intervalinis įvertis;

– Stjudento kriterijus; – vidurkis;

n – duomenų skaičius; – standartinis nuokrypis.

|~| xxP

xx ~,~]~,~[ xx

n

st

n

stxI

~x~ ;

~~

I

t x~

s~

Normalusis skirstinys

• Kreivė, vaizduojanti normaliojo skirstinio tankio funkciją, yra simetriška vidurkio atţvilgiu.

Šis skirstinys apibrėţtas visoje skaičių ašyje.

Tankio funkcija pasiekia maksimumą vidurkio taške. Šis maksimumas yra:

Kai ar , tankio funkcija asimptotiškai artėja prie nulio.

• Vidurkis nustato tankio funkcijos vietą.

Didėjant vidurkiui, tankio kreivė slenka į

dešinę, o maţėjant – į kairę.

• Standartinis nuokrypis apibūdina

tankio funkcijos kreivės formą. Maţėjant

standartiniam nuokrypiui, kreivės maksimumas

didėja, o pati kreivė siaurėja, ir atvirkščiai.

Tankio funkcijos plotas nepriklausomai nuo skaitinių charakteristikų reikšmių

visada turi būti lygus vienetui.

2

1

xs

x x

xf

2

1

xs

x0 x~

x~

xs~

0,3413

0,1359

0,0215

xf

x0x~ xs xs xs

• Sprendţiant mokslo ar kitos veiklos konkrečius uţdavinius, svarbu ţinoti, kokios yra

tikimybės, kad atsitiktinis dydis, turintis normalųjį skirstinį, bus intervaluose:

• Šios tikimybės yra tokios:

Beveik visos atsitiktinio dydţio, turinčio normalųjį

skirstinį, reikšmės yra trijų standartinių nuokrypių

intervale. Tai turi svarbią praktinę reikšmę

naudojant vadinamąją trijų σ (sigma) taisyklę.

Simetriškame vidurkio atţvilgiu rėţyje

standartinio nuokrypio

intervale yra 68,26% visų galimų

atsitiktinio dydţio reikšmių, –

95,44% visų reikšmių, o –

99,74% visų reikšmių.

Normalusis skirstinys

xsxx ~;~

xxsxsx 2~;~

xxsxsx 3~;2~

1359,0)2~~xsxXxsxP

0215,03~2~ )xsxXxsxP

3413,0~~xsxXxP

xs

xs2

xs3

Pavyzdžiai

• 1 uždavinys.

Lentelėje pateiktos keraminių plytelių klojimo trukmės min/m², kurios

nustatytos chronometravimo būdu statybvietėje. Naudojant pateiktus

duomenis, reikia apskaičiuoti plytelių klojimo vidutinę trukmę ir intervalą,

kuriame su tikimybe 0, 9 yra tikroji šio statybos proceso trukmė.

• Keraminių plytelių klojimo trukmė:

2min/, mti

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

27 25 29 35 28 24 27 26 29 32 28 30

12

,1

n

ni

Sprendimas

• Apskaičiuojame aritmetinį statybos proceso trukmės vidurkį ir standartinį nuokrypį :

• Apskaičiuojame parametrą ε:

Čia reikšmė randama matematinės statistikos ţinyne Stjudento dėsnio

reikšmių lentelėje .

• Tikroji plytelių klojimo trukmė yra:

nuo iki

• Išvada: Atliekant stebėjimus ir matuojant plytelių klojimo trukmę galima tvirtinti, kad

90% atvejų šio statybos proceso trukmė, min/m² bus intervale:

3,2812

340

12

1~12

1i

it tm 02,311

68,100~112

1~12

1

2

ii mts

55,187,0782,112

02,3782,1

~

, n

st

n

782,1,nt

2min/75,2655,13,28~ mmt2min/85,2955,13,28~ mmt

85,29~75,26 tm

Pavyzdžiai

2 uždavinys.

Pirmajame uţdavinyje apskaičiuotas generalinės aibės vidurkio įvertis .

Vidurkio įverčio nuokrypis nuo tikrosios reikšmės neviršys, su

patikimumu 90%, dydţio ε = 1,55.

Tarkime, kad toks tikslumas yra nepakankamas ir pageidaujama, su 90%

patikimumu gauti rezultatą, kurio paklaida būtų, pavyzdţiui, ε ≤ 1.

Sprendţiant šį uţdavinį, reikia rasti minimalų imties duomenų skaičių ,

kuriam esant su tikimybe 0,9 nuokrypis būtų ne didesnis kaip ε ≤ 1.

tm~

tm~ tm

Sprendimas

• Apskaičiuojame , naudodami pirmojo uţdavinio duomenis:

čia: – generalinės aibės dispersija.

• Generalinės aibės dispersijos reikšmė šiuo atveju ir daţniausiai yra

neţinoma. Todėl apytiksliam skaičiavimui naudojama imties

dispersijos reikšmė. Imties dispersija apskaičiuojama, pavyzdţiui,

naudojant anksčiau atliktų analogiškų tyrimų duomenis arba gaunant jų tam

tikrą skaičių nedidelio eksperimento metu. Mūsų atveju .

• Tuomet:

• Išvada: Reikia turėti apytiksliai 30 duomenų, norint gauti pageidaujamo

tikslumo rezultatą.

minn

2

2nα,

minε

σtn

gen

gen

minn2~s

22 02,3~s

291

02,3782,1~

2

2

2

22,

min

stn

n

1

5. Statybos procesų

koreliaciniai modeliai

Koreliacinė ir regresinė analizė

• Koreliacinė ir regresinė analizė - tai matematinės statistikos sritis, nagrinėjanti atsitiktinių dydžių ryšius.

• Koreliacinės ir regresinės analizės metu sudaromi įvairių procesų ar reiškinių matematiniai modeliai. Vienfaktoriais ir daugiafaktoriais koreliacijos modeliais prognozuojami ir optimizuojami techniniai ir ekonominiai statybos rodikliai, sudaromos statybos normos, įvertinamas techninių ir organizaciniųinovacijų efektyvumas ir kt.

• Šiais metodais galima sudaryti statybos procesų efektyvumo rodikliųkoreliacinius modelius, pvz., darbininkų darbo našumo, statybos kainos, statybos trukmės ir kitus matematinius modelius .

2

• Vienfaktorių matematinių priklausomybių išraiška:

• Daugiafaktorių matematinių priklausomybių išraiška:

• čia: ai – regresijos koeficientai. Jie rodo atitinkamų veiksnių xi kiekybinę

įtaką tikslo funkcijai Y.

( )1xfY =

11xaaY 0 +=

110a

xaY =

( ) ,...,, 21 mxxxfY =

mm xaxaxaaY ++++= ...22110

nna

xa

xa

xaY ,...,22

110=

Vienfaktoriai koreliaciniai ir regresiniai modeliai sudaromi tokia tvarka:

1. Nustatomas modelio kūrimo tikslas.

2. Renkami modelio kūrimui reikalingi duomenys.

3. Atliekama nagrinėjamų parametrų koreliacinė analizė.

4. Apskaičiuojami matematinės priklausomybės regresijos koeficientai.

5. Tikrinamas modelio adekvatumas.

Vienfaktoriai koreliaciniai-regresiniai modeliai

3

1. Pirmame etape formuluojamas modelio kūrimo tikslas. Šiame etape aprašomas nagrinėjamas statybos procesas ar tyrimo objektas ir nustatoma šio proceso modeliavimo funkcija, t.y. nagrinėjamas rodiklis. Be to, numatomi veiksniai, darantys įtakąšio rodiklio kitimui. Visi veiksniai išreiškiami rodikliais .

2. Modeliui kurti reikalingas tam tikras duomenųskaičius. Jie gali būti gauti įvairiai, pavyzdžiui, tai gali būti eksperimentinių bandymų, procesųstebėjimo, analitinių skaičiavimų rezultatai ir pan.

3. Koreliacinės analizės metu tikrinama, ar yra parametrų tarpusavio ryšys, ir nustatomas šio ryšio reikšmingumas. Šiam tikslui sudaromi koreliacijos laukai, apskaičiuojamas koreliacijos koeficientas ir tikrinamas jo reikšmingumas.

4

y

x

•

•

•

•

•

•

••

••

y

x

•

•

•

•

•

•

•

••

r = + r = -

y

x

•

r = 0

••

••

••

• •• • •

•

••

•

•

Koreliacijos laukai grafiškai atvaizduoja nagrinėjamųparametrų tarpusavio ryšius. Iš koreliacinio lauko galima

spręsti apie matematinės priklausomybės pobūdį.

• Koreliacinėje analizėje statistinio ryšio stiprumas tarp stebėtųkintamųjų, yra išreiškiamas koeficientu.

• Įvertinant ryšio stiprumą tarp kintamųjų, kurių reikšmės išmatuotos vardų, tvarkos ir intervalų bei santykiu skalėse naudojami skirtingi koeficientai. Vieni koeficientai kinta nuo –1 iki +1, kiti nuo 0 iki 1.Priklausomai nuo gautos koeficiento reikšmės formuluojamos išvadas apie ryšio stiprumą. Pavyzdžiui, tarp stebėtų kintamųjų nėra ryšio, yra labai silpnas, silpnas, vidutinio stiprumo arba labai stiprus ryšys.

Paprastai priklausomi kintamieji (pasekmės) yra kitų nepriklausomųkintamųjų (priežasčių) funkcijos. Skiriamos dvi priklausomybiųrūšys: funkcinė ir statistinė (atsitiktinė).

5

• Funkcinė priklausomybė – tai neatsitiktinių dydžių priklausomybė. Esant funkcinei priklausomybei, vieno dydžio kitimas tiksliai apibūdina kito dydžio kitimą.

• Statistinė priklausomybė – tai priklausomybė tarp atsitiktinių dydžių, kada kiekvieną galimą vieno atsitiktinio dydžio reikšmę atitinka tam tikras antrojo atsitiktinio dydžio skirstinys. Pavyzdžiui, kritulių kiekis ir derlius, žmogaus ūgis ir svoris, sniego dangos storis žiemą ir vandens kiekis pavasario polaidžio metu, akcijų ir aukso kainos rinkoje.

•

•

••

•

•

•

•

•

•

1+=yxr 1−=yxr

• Norint sužinoti nagrinėjamų parametrų ryšio stiprumą,

apskaičiuojamas koreliacijos koeficientas ryx arba koreliacinis

santykis ηyx.

• Esant tiesinei priklausomybei, apskaičiuojamas koreliacijos

koeficientas ryx :

• čia:

ryx – koreliacijos koeficientas;

n – duomenų skaičius;x – veiksnys (parametras, rodiklis);y – nagrinėjamas rodiklis.

Koreliacijos koeficientas įgauna tokias reikšmes: -1 ≤ ryx ≤ +1

1

2

1

2

1

2

1

2

1 1 1

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑ ∑

= −== =

= = =

−⋅

−

−

=n

i

n

i

ii

n

i

n

i

ii

n

i

n

i

n

i

iiii

yx

yynxxn

yxyxn

r

6

• Esant netiesinei priklausomybei, apskaičiuojamas koreliacinis

santykis ηyx ir ryšio stiprumas nustatomas pagal šią formulę:

čia:

– koreliacinis santykis;

– teorinių reikšmių dispersija;

– empirinių reikšmių dispersija.

• Koreliacinis santykis įgauna šias reikšmes:

2

2

y

yyx

s

s )=η

yxη

2ys )

2ys

10 ≤≤ yxη

4. Regresijos koeficientų apskaičiavimas.

• Koreliacinės analizės metu nustatoma nagrinėjamųparametrų tarpusavio ryšio matematinės priklausomybės išraiška. Regresijos koeficientai randami taikant mažiausių kvadratų metodą.

• Regresijos koeficientų statistinis įvertinimas atliekamas tikrinant nulinę hipotezę, t.y. tikrinama, ar regresijos koeficientai statistiškai nelygus nuliui. Šiuo atveju apskaičiuojamas Stjudento kriterijus, kuris palyginamas su reikšme, randama iš matematinės statistikos lenteliųpagal duomenų skaičių n ir rezultatų patikimumą.

9

• Regresijos koeficientų statistinis įvertinimas atliekamas tikrinant nulinę hipotezę, t.y. tikrinama, ar regresijos koeficientai statistiškai nelygus nuliui. Šiuo atveju apskaičiuojamas Stjudento kriterijus, kuris palyginamas su reikšme, randama iš matematinės statistikos lenteliųpagal duomenų skaičių n ir rezultatų patikimumą.

5. Matematinio modelio adekvatumo tikrinimas.

• Tikrinant modelio adekvatumo hipotezę, reikia palyginti sudaryto modelio tikslumo charakteristiką su empiriniųduomenų tikslumo charakteristikos įverčiu. Jeigu modelio tikslumo charakteristikos paklaida didesnė už empiriniųduomenų paklaidą, tuomet modelio adekvatumo hipotezė atmetama.

10

• statybos procesų stebėjimo rezultatų sklaida jų vidurkio atžvilgiu:

( )∑ −=4

1

2~yySS it

( )33 , yx

( )11, yx

( )yx ~,~

( )44 , yx

( )22 , yx

( ) .~4

1

2∑ −= yySS it

• statybos procesų stebėjimo rezultatų sklaida regresijos tiesės atžvilgiu:

( )∑ −=4

1

2ˆiir yySS

( )33 , yx

( )11, yx

( )yx ~,~

( )44 , yx

( )22 , yx

( )∑ −=

4

1

2ˆiir yySS

11

• regresijos tiesės reikšmių sklaida statybos procesų stebėjimo rezultatų vidurkio atžvilgiu:

( )∑ −=4

1

2~ˆ yySS

ib

( )33 , yx

( )44 , yx

( )11, yx

( )yx ~,~

( )22 , yx

( )∑ −=

4

1

2~ˆ yySS ib

12

• Matematinio modelio adekvatumas nustatomas pagal Fišerio F kriterijų, kuris apskaičiuojamas pagal formulę:

čia:– neadekvatumo dispersija:

– empirinė dispersija:

čia:– stebėta reikšmė;

– stebėtos reikšmės vidurkis;– pagal regresijos lygtį apskaičiuota reikšmė (prognozuojama reikšmė);

n – bendras stebėjimo reikšmių skaičius.

2y

2ad

sks

sF =ˆ

( )

2

ˆ1

2

2

−

−

=

∑=

n

yy

s

n

iii

ad

2

ads

( )

1

~

1

2

2

−

−

=

∑=

n

yy

s

n

i

i

y

2ys

y~iy

iy

16

Regresinės analizės pavyzdys

• Taškų sklaidos diagrama parodo ryšio tarp dviejų kintamųjų

pobūdį. Jos yra ypač naudingos, nes atskleidžia ir netiesinį

ryšį, kuris gali būti neįvertintas skaičiuojant tiesinę koreliaciją.

Tačiau dažnai reikia nustatyti ne tik ryšio pobūdį, bet ir jo

stiprumą.

17

Pirsono koreliacijos koeficientas įvertinantis tiesinio ryšio stiprumą tarp automobilio

svorio ir benzino sąnaudų apskaičiuotas naudojant paketą SPSS. Imties didumas n=392.

Koreliacijos koeficientas r=0,885. Nulinė hipotezė: Koreliacijos koeficientas lygus nuliui, atmesta ( Sig. 2 tailed =0,000<0,05).

Išvada: Tarp automobilio svorio ir sunaudojamo benzino kiekio yra stiprus tiesinis ryšys

1

6. Daugiafaktoriai koreliaciniai ir regresiniai modeliai

• Daugiafaktoriai koreliaciniai ir regresiniai modeliai leidžia įvertinti dviejų ir daugiau veiksnių bendrą kiekybinę įtaką nagrinėjamo statybos proceso tikslo funkcijos rodikliui.

• Daugiafaktoriai koreliaciniai ir regresiniai modeliai gali būti išreiškiami įvairiomis matematinio ryšio formomis. Tačiau dažniausiai naudojami tiesiniai ir laipsniniai daugiafaktoriai koreliaciniai modeliai

2

• Tiesiniai daugiafaktoriai koreliaciniai modeliai išreiškiami šia lygtimi:

čia:

y – tikslo funkcijos rodiklis;

x1,n – veiksniai, kurie darantys įtaką tikslo funkcijos rodikliui;

n – veiksnių skaičius;

ai – regresijos koeficientas. Jis rodo tam tikro veiksnio kiekybinę įtaką

tikslo funkcijos rodikliui. Jei prie regresijos koeficiento ai yra ženklas „+”, tai,

didėjant x reikšmei, didėja y.

• Laipsniniai daugiafaktoriai koreliaciniai modeliai išreiškiami šia lygtimi:

( ) 22110 nnn21

xa...xaxaax,...,x,xfy ++++==

na

naa

x...xxay ⋅⋅⋅= 21

210

Daugiafaktorių koreliacinių modelių kūrimo etapai:

1. Modelio kūrimo tikslo nustatymas.

2. Modelio kūrimui reikalingų duomenų rinkimas.

3. Nagrinėjamo proceso parametrų daugiafaktorė koreliacinėanalizė.

4. Matematinės priklausomybės regresijos koeficientųapskaičiavimas.

5. Modelio adekvatumo tikrinimas.

3

1. Modelio kūrimo tikslo iškėlimas

• Šiame etape nustatomas matematinio modelio sudarymo tikslas ir tikslo funkcijos rodiklis.

• Pavyzdžiui, gali būti tokie matematinio modelio sudarymo tikslai:

– sudaryti betono stiprio daugiafaktorį matematinį modelį

– sudaryti tinkuotojų darbo našumo matematinį modelį

( )nb xxxxfR ,...,,,321

=

( )nxxxxfN ,...,,,321

=

2. Modelio kūrimui reikalingų duomenų rinkimas

• Šiame etape sudaromas veiksnių sąrašas. Tai veiksniai, kurie gali daryti kiekybinę įtaką pasirinktam tikslo funkcijos rodikliui. Po to renkami reikalingi duomenis. Jie pateikiami pradinių duomenųlentelėje

xmnxmi.xm3xm2xm1ymmk

.........

.........

.........

.........

x3nx3i.x33x32x31y333

x2nx2i.x23x22x21y222

x1nx1ix13x12x11y111

xnxi…x3x2x1y

Veiksniai ir jų rodiklių reikšmėsTikslo funkcijos rodiklio

reikšmės

Nagrinėjamo objekto

pavadinimas

Eil.nr.

4

• Reikalingas duomenų skaičius m randamas pagal formulę:

čia:

m – reikalingas duomenų skaičius (objektų skaičius);

n – veiksnių skaičius.

( ) 81 ⋅+≥ nm

3. Nagrinėjamo proceso parametrų daugiafaktorėkoreliacinė analizė

• Nagrinėjamo proceso parametrų daugiafaktorė koreliacinė analizėatliekama panašiai kaip vienfaktorės (porinės) koreliacijos atveju.

• Tačiau čia skaičiuojami dviejų tipų koreliacijos koeficientai:

– koeficientai, kurie rodo tikslo funkcijos rodiklio ir veiksnių koreliaciją;

– koeficientai, kurie rodo veiksnių tarpusavio koreliaciją.

• Abiejų tipų koreliacijos koeficientų reikšmingumas nustatomas lyginant rsk

su rlent. Tam naudojamos matematinės statistikos lentelės. Jeigu

rsk>=rlent , tuomet ryšys yra reikšmingas.

• Koreliacinės analizės metu paliekami visi veiksniai, kurių yra reikšmingi. Kai koreliacijos koeficientai yra reikšmingi, egzistuoja veiksnių tarpusavio koreliacija. Toks reiškinys vadinamas multikoreliacija. Šiuo atveju reikia vieną iš veiksnių pašalinti. Paliekamas tas veiksnys, kurio koreliacijos koeficiento reikšmė yra didesnė. Multikoreliacijos reiškinį galima pašalinti ir kitais būdais.

iYxr

ii xxr

5

4. Daugiafaktorės matematinės priklausomybės regresijos koeficientų apskaičiavimas

• Tiesinio daugiafaktorio koreliacinio modelio regresijos koeficientai randami mažiausių kvadratų metodu.

• Regresijos koeficientų statistinis įvertinimas atliekamas tikrinant nulinę hipotezę, t.y. tikrinama, ar regresijos koeficientai statistiškai nelygūs nuliui.

• Apskaičiuojamas Stjudento kriterijus tsk , jis palyginamas su tlent. tlent reikšmė nustatoma iš matematinės statistikos lentelių pagal duomenų skaičių n ir rezultatų patikimumą. Jeigu tsk >= tlent , tai regresijos koeficientas yra reikšmingas, jis paliekamas lygtyje.

5. Matematinio modelio adekvatumo tikrinimas

• Daugiafaktorių koreliacinių modelių adekvatumui tikrinti naudojamas daugiafaktorės koreliacijos koeficientas R. Šio koeficiento vertėbūna . Kuo R vertė arčiau vieneto, tuo matematinis modelis geriau aproksimuoja empirinius duomenis.

• Daugiafaktorės koreliacijos koeficientas apskaičiuojamas pagal šiąformulę:

čia n – bendras stebėjimo reikšmių skaičius;

p – nagrinėjamų veiksnių skaičius;

10 ≤≤ R

( )[ ]21

11

1

Rpn

nR ′−

−−

−−=

( )

( );

ˆ

1

1

2

1

2

∑

∑

=

=

−

−

−=′n

i

i

n

i

ii

yy

yy

R

6

• Daugiafaktorės koreliacijos koeficiento R reikšmingumas tikrinamas pagal Fišerio F kriterijų:

• Jeigu , tai hipotezė, kad daugiafaktorės koreliacijos koeficientas lygus nuliui atmetama.

• vertė randama matematinės statistikos vadovėlyje ar

žinyne. Ji priklauso nuo reikšmingumo lygmens α, k1 = n – p - 1 ir

k2 = p.

• Daugiafaktorės koreliacinės analizės metu koeficientas Rapskaičiuojamas visais atvejais, kai šalinamas nereikšmingas veiksnys arba regresijos koeficientas. Po to kiekvieną kartątikrinamas daugiafaktorės koreliacijos koeficiento reikšmingumas pagal Fišerio kriterijų

( )

( )pR

pnRFR 2

2

1

1ˆ

−

−−=

( )kr

kkRR FFα;;

21

ˆ ≥

( )kr

kkRF α;2,1

( )kr

kkRF α;2,1

• Daugiafaktorių koreliacinių modelių adekvatumas tikrinamas ir kitais metodais. Pavyzdžiui, apskaičiuojamas Fišerio F kriterijus:

čia – neadekvatumo dispersija; – empirinė dispersija:

čia:

y – stebėta reikšmė;– stebėtos reikšmės vidurkis;– pagal daugiafaktorės regresijos lygtį apskaičiuota vertė

(prognozuojama vertė);

n – bendras stebėjimo reikšmių skaičius;

p – nagrinėjamų veiksnių skaičius.

s

sF

y

adsk 2

2

ˆ =

2

ads2

ys

( )

1

ˆ

1

2

−−

−

=

∑=

pn

yy

s

n

iii

2ad

( )

1

~

1

2

2

−

−

=

∑=

n

yy

s

n

ii

y

y~

iy

7

• vertė palyginama su .

Jeigu < , tai matematinis modelis adekvatus ir jį

galima naudoti tyrimams arba apskaičiavimams.

vertė randama matematinės statistikos vadovėlyje ar

žinyne.

• Jei adekvatumo hipotezė atmetama, būtina pereiti prie

sudėtingesnės ryšio lygties arba koreguoti tyrimų tikslą.

skF ( )kr

kkF %;; 21 α

( )kr

kkF %;; 21 αskF

( )kr

kkF %;; 21 α

1 pavyzdys. Betono stiprio vienfaktorio matematinio modelio sudarymas

1 pav. pateikta betono stiprio vienfaktorio matematinio modelio teorinė išraiška.

•

( ) 2

210CaCaaCfRb ++==

bR

•

••••

•

•••

••

8

2 pavyzdys. Nustatyti pagrindinių veiksnių įtaką tinkuotojųpamainos darbo našumui.

1.Modelio kūrimo tikslas ir uždavinio formulavimas.

• Sudaryti tinkuotojų pamainos darbo našumo daugiafaktorį koreliacinįmodelį.

• Tikslo funkcijos rodiklis:

Nd – tinkuotojo pamainos išdirbis, litais.

• Veiksniai, darantys įtaką tinkuotojų pamainos darbo našumui (apriori):

x1, x2, x3, … , xn-1, xn

2.Pradiniai duomenys.

• Sudaromas veiksnių ir jų rodiklių sąrašas. Pavyzdžiui, gali būti tokie veiksniai ir jų rodikliai:

x1 – darbo stažas, metais;x2 – aprūpinimas mechanizmais (mechanizmų vertė), Lt;x3 – darbininkių kvalifikacija, kategorija;xn-1 – tinkuojamų plotų charakteristika (pvz., kampų skaičius),

vnt.;xn – n-asis veiksnys.

• Tas pats veiksnys gali būti išreikštas įvairiais rodikliais. Pavyzdžiui, veiksnys „statybos darbų mechanizacija” gali būti išreikštas šiais rodikliais: mechanizacijos laipsnis, %; mechanizmų vertė, litais ir kt.

• Pradiniai duomenys gaunami įvairiai, pavyzdžiui, statybos įmonėse, atliekant tyrimus, iš literatūros šaltinių ir kt.

9

…14…3800550Gajauskask

…12…412501880Kanapeckask-1

………………………

16…412001070Petraitis2.

…15…47801565 Jonaitis1.

xn

xn-1

…x3

x2

x1

Veiksniai ir jų rodiklių reikšmėsTikslo funkcijos rodiklis,

Nd

Lt/pam.Pavadinimas

Eil. Nr.

3.Koreliacinė analizė ir daugiafaktorio koreliacinio modelio adekvatumo tikrinimas.

• Tai atliekama analogiškai vienfaktoriai koreliacinei analizei. Tačiau šiuo atveju papildomai apskaičiuojami veiksnių tarpusavio koreliacijos koeficientai. Esant multikoreliacijai, reikia šalinti mažiau reikšmingus veiksnius.

• Sudarytas daugiafaktoris koreliacinis modelis įvertinamas pagal Fišerio kriterijų. Jeigu Fsk < Flent , tai matematinis modelis adekvatus. Tuomet matematinis modelis adekvačiai atvaizduoja priežastinius ryšius ir gali būti taikomas praktikoje. Jeigu sudaryti keli nagrinėjamo statybos proceso matematiniai modeliai, tai imama ta matematinė išraiška, kurios Fsk reikšmė mažiausia. Flent reikšmėnustatoma iš matematinės statistikos lentelių.

10

Pagrindiniai kelių kintamųjų regresinės analizės uždaviniai

• Regresinės funkcijos analizinės išraiškos radimas

• Regresijos funkcijos nežinomų parametrų taškinių ir intervaliniųįverčių radimas

• Hipotezių apie regresijos funkcijos parametrus tikrinimas

• Prognozavimo paklaidų įvertinimas

• Regresijos modelio prielaidų tikrinimas

• Optimalios regresijos lygties sudarymas

3 pavyzdys. Atsitiktinai atrinktų 20 studenčių ūgio ir svorio duomenys

72169

56169

56175

69172

50160

55159

60168

46156

50150

65170

55157

55160

57170

57160

46152

56156

47163

64170

65164

60159

SvorisUgis

11

Priklausomybė tarp studenčių ūgio ir svorio

Correlations

1 ,649**

,002

20 20

,649** 1

,002

20 20

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Ûgis (cm)

Svoris (kg)

Ûgis (cm) Svoris (kg)

Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).**.

Pirsono koreliacijos koeficientas

• Koreliacijos koef r = 0,649

• Tikrinama nulinė hipotezė H0: Koreliacijos koeficientas lygus nuliui• Nuline hipotezė atmesta (0,002 < 0,05)

12

Correlations

1,000 ,672**

. ,001

20 20

,672** 1,000

,001 .

20 20

Correlation Coefficient

Sig. (2-tailed)

N


Sig. (2-tailed)

N

Ûgis (cm)

Svoris (kg)

Spearman's rhoÛgis (cm) Svoris (kg)


Spirmeno koreliacijos koeficientas


• Tikrinama nulinė hipotezė H0: Spirmeno koreliacijos koeficientas lygus nuliui• Nuline hipotezė atmesta (0,001 < 0,05)

Model Summaryb

,649a ,421 ,388 5,727Model1

R R SquareAdjustedR Square

Std. Error ofthe Estimate

Predictors: (Constant), Ûgis (cm)a.

Dependent Variable: Svoris (kg)b.

Apibrėžtumo koeficientas

• Apibrėžtumo koeficiento reikšmė (R Square) rodo 0,421, kad 42,1%sklaidos apie vidurkį galima paaiškinti tiesine regresija tarp kintamųjų, o likusi yra nepaaiškinama sklaidos dalis

13

Dispersinė analizė

ANOVAb

428,548 1 428,548 13,065 ,002a

590,402 18 32,800

1018,950 19

Regression

Residual

Total

Model1

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.

Predictors: (Constant), Ûgis (cm)a.

Dependent Variable: Svoris (kg)b.

• Patikrinta nulinė hipotezė: “regresija yra netiesinė”• Nulinė hipotezė yra atmesta (0,002 < 0,05). Statistiškai įrodyta, kad

regresija yra tiesinė.

Regresijos lygtie koeficientai

Coefficientsa

-52,225 30,258 -1,726 ,101

,671 ,186 ,649 3,615 ,002

(Constant)

Ûgis (cm)

Model1

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig.

Dependent Variable: Svoris (kg)a.

• Regresijos lygtis Svoris = -52,225 + 0,671*Ugis

• Tik vienas regresijos koeficientas yra reikšmingas, atmesta tik viena nulinėhipotezė “Regresijos koef. lygus nuliui”

• Regresijos modelis nelabai gerai apibūdina stebėjimų duomenis

14

4 pavyzdys. Automobiliai

Duomenų failuose automobiliai.xls (MS EXCEL 4.0), pateikti duomenys apie 392 automobilius, kuriuos 1982 m. surinko Donoho ir Ramos. Šiuos duomenis naudoja daugelis pasaulio statistikų lygindami įvairių statistikos paketų galimybes.

Duomenų faile automobiliai.xxx yra 9 kintamieji.

Sklaidos diagrama

15




Correlations

1 -,688**

,000

392 392

-,688** 1

,000

392 392

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Laikas per kuráautomobilis pasiekia100 km/h greitá (sek)

Variklio galia (AJ)

Laikas perkurá

automobilispasiekia 100km/h greitá

(sek)Variklio

galia (AJ)





Correlations

1,000 -,658**

. ,000

392 392

-,658** 1,000

,000 .

392 392


Sig. (2-tailed)

N


Sig. (2-tailed)

N


Variklio galia (AJ)

Spearman's rho

Laikas perkurá


(sek)Variklio

galia (AJ)


16



Model Summaryb

,688a ,473 ,472 2,1047Model1



Predictors: (Constant), Variklio galia (AJ)a.

Dependent Variable: Laikas per kurá automobilispasiekia 100 km/h greitá (sek)

b.


• Patikrinta nulinė hipotezė: “Regresija yra netiesinė”• Nulinė hipotezė yra atmesta (0,000 < 0,05). Statistiškai įrodyta, kad


ANOVAb

1552,735 1 1552,735 350,521 ,000a

1727,620 390 4,430

3280,355 391

Regression

Residual

Total

Model1


Predictors: (Constant), Variklio galia (AJ)a.

Dependent Variable: Laikas per kurá automobilis pasiekia 100 km/h greitá (sek)b.

17


• Regresijos lygtis Laikas = 21,735 - 0,052*Galia

• Abu regresijos lygties koeficientai yra reikšmingi, nes atmestos nulinės hipotezės “Regresijos koef. lygus nuliui”

• Regresijos modelis nelabai gerai apibūdina stebėjimų duomenis

Coefficientsa

21,735 ,308 70,607 ,000

-,052 ,003 -,688 -18,722 ,000

(Constant)

Variklio galia (AJ)

Model1

B Std. Error


Beta


t Sig.

Dependent Variable: Laikas per kurá automobilis pasiekia 100 km/h greitá (sek)a.

• Variklio galios priklausomybė nuo cilindrųtūrio ir cilindrų skaičiaus

18


• Koreliacijos koef r = 0,897 ir r = 0,843


Correlations

1 ,897** ,843**

,000 ,000

392 392 392

,897** 1 ,951**

,000 ,000

392 392 392

,843** ,951** 1

,000 ,000

392 392 392

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Variklio galia (AJ)

Variklio cilindrøtûris (kûb. cm)

Cilindrø skaièius

Varikliogalia (AJ)

Varikliocilindrø tûris

(kûb. cm)Cilindrøskaièius



• Koreliacijos koef r = 0,876 ir r = 0,816


Correlations

1,000 ,876** ,816**

. ,000 ,000

392 392 392

,876** 1,000 ,914**

,000 . ,000

392 392 392

,816** ,914** 1,000

,000 ,000 .

392 392 392


Sig. (2-tailed)

N


Sig. (2-tailed)

N


Sig. (2-tailed)

N

Variklio galia (AJ)


Cilindrø skaièius

Spearman's rho

Varikliogalia (AJ)


(kûb. cm)Cilindrøskaièius


19

Correlations

1 ,897**

,000

392 392

,897** 1

,000

392 392

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Variklio galia (AJ)


Varikliogalia (AJ)


(kûb. cm)


Correlations

1,000 ,876**

. ,000

392 392

,876** 1,000

,000 .

392 392


Sig. (2-tailed)

N


Sig. (2-tailed)

N

Variklio galia (AJ)


Spearman's rho

Varikliogalia (AJ)


(kûb. cm)


20

Model Summaryb

,897a ,805 ,805 17,015Model1



Predictors: (Constant), Variklio cilindrø tûris (kûb. cm)a.

Dependent Variable: Variklio galia (AJ)b.

ANOVAb

466380,5 1 466380,473 1610,870 ,000a

112913,2 390 289,521

579293,6 391

Regression

Residual

Total

Model1


Predictors: (Constant), Variklio cilindrø tûris (kûb. cm)a.

Dependent Variable: Variklio galia (AJ)b.

Coefficientsa

40,306 1,815 22,207 ,000

,020 ,001 ,897 40,136 ,000

(Constant)


Model1

B Std. Error


Beta


t Sig.

Dependent Variable: Variklio galia (AJ)a.

21

• Laiko, per kuri automobilis pasiekia greitį100km/h, priklausomybė nuo automobilio

svorio ir variklio galios

22


• Koreliacijos koef r =- 0,415 ir r = - 0,688

• Tikrinamos nulinė hipotezės H0: Koreliacijos koeficientas lygus nuliui• Nulinės hipotezės atmestos (0,000 < 0,05)

Correlations

1 -,415** -,688**

,000 ,000

392 392 392

-,415** 1 ,865**

,000 ,000

392 392 392

-,688** ,865** 1

,000 ,000

392 392 392

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N


Svoris (kg)

Variklio galia (AJ)

Laikas perkurá


(sek) Svoris (kg)Variklio

galia (AJ)



• Koreliacijos koef r = - 0,405 ir r = - 0,658

• Tikrinamos nulinės hipotezės H0: Spirmeno koreliacijos koeficientas lygus nuliui

• Nulinės hipotezės atmestos (0,000 < 0,05)

Correlations

1,000 -,405** -,658**

. ,000 ,000

392 392 392

-,405** 1,000 ,879**

,000 . ,000

392 392 392

-,658** ,879** 1,000

,000 ,000 .

392 392 392


Sig. (2-tailed)

N


Sig. (2-tailed)

N


Sig. (2-tailed)

N


Svoris (kg)

Variklio galia (AJ)

Spearman's rho

Laikas perkurá


(sek) Svoris (kg)Variklio

galia (AJ)


23



Model Summaryb

,775a ,601 ,599 1,8350Model1



Predictors: (Constant), Variklio galia (AJ), Svoris (kg)a.

Dependent Variable: Laikas per kurá automobilispasiekia 100 km/h greitá (sek)

b.


• Patikrinta nulinė hipotezė: “Regresija yra netiesinė”• Nulinė hipotezė yra atmesta (0,000 < 0,05). Statistiškai įrodyta, kad


ANOVAb

1970,549 2 985,275 292,617 ,000a

1309,805 389 3,367

3280,355 391

Regression

Residual

Total

Model1


Predictors: (Constant), Variklio galia (AJ), Svoris (kg)a.

Dependent Variable: Laikas per kurá automobilis pasiekia 100 km/h greitá (sek)b.

24


• Regresijos lygtis Laikas = 19,351 + 0,005*Svoris – 0,098*Galia

• Visi trys regresijos lygties koeficientai yra reikšmingi, nes atmestos nulinės hipotezės “Regresijos koef. lygus nuliui”

• Regresijos modelis gerai apibūdina stebėjimų duomenis

Coefficientsa

19,351 ,343 56,373 ,000,005 ,000 ,710 11,139 ,000

-,098 ,005 -1,302 -20,423 ,000

(Constant)

Svoris (kg)

Variklio galia (AJ)

Model1

B Std. Error


Beta


t Sig.

Dependent Variable: Laikas per kurá automobilis pasiekia 100 km/h greitá (sek)a.

8. Statybos procesų matematinio

programavimo modeliai

Matematinio programavimo esmė

• Matematinis programavimas – tai matematikos sritis, nagrinėjanti optimizavimo uţdavinių, esant ribojimams,teoriją ir metodus [Ţilinskas, 2000].

• Matematinio programavimo taikymas leidţia rasti optimalius kai kurių statybos uţdavinių sprendimus.

Pavyzdţiui, optimalus grunto paskirstymas statybos aikštelėje, betono mišinių gamybos optimizavimas, atliekų minimizavimas armatūros dirbinių gamyboje, optimalios statybinių gaminių gabenimo schemos sudarymas ir kt.

• Matematinio programavimo uţdavinys formuluojamas taip:

Yra ţinoma funkcija ir sąlygos, kurias turi

tenkinti neţinomieji (apribojimų sistema).

Reikia nustatyti kintamųjų reikšmes , kurioms esant

funkcijos reikšmė būtų maksimali arba minimali, t.y.:

arba


nxxxfz ,...,, 21

nxxx ,...,, 21

**2

*1 ,...,, nxxx

**1

*1max ,...,, nxxxfz

**1

*1min ,...,, nxxxfz

• n – matis taškas , tenkinantis apribojimų

sistemą, vadinamas leistinuoju sprendiniu.

• Leistinasis sprendinys , suteikiantis funkcijai z

maksimalią arba minimalią reikšmę, vadinamas optimaliuoju

sprendiniu, o atitinkama funkcijos reikšmė –

optimumu arba ekstremumu.

• Optimalųjį uţdavinio sprendinį galima vadinti optimumo tašku.


nxxxx ,...,, 21

**2

*1 ,...,, nxxxx

**2

*1 ,...,, nxxxf

• Matematinio programavimo uţdaviniai klasifikuojami priklausomai nuo tikslo funkcijos ir leistinosios srities savybių. Jei tikslo funkcija tiesinė, o leistinoji sritis apibrėţta tiesinėmis lygybėmis ir nelygybėmis, tai uţdavinys vadinamas tiesinio programavimo uždaviniu.

• Kai tikslo funkcija ar ribinės sąlygos, ar ir viena, ir kita turi bent vieną aukštesnio laipsnio kintamąjį, tokie uţdaviniai gali būti išspręsti tik netiesinio programavimo metodais.

• Netiesinio programavimo uţdavinys, kurio tikslo funkcija f( ) yra iškila ir apribojimų sritis Ω yra iškila aibė, vadinamas iškilojo programavimo uždaviniu.


x

• Sprendţiant statybos projektų įgyvendinimo uţdavinius, tenka nagrinėti investicijų optimizavimo klausimus. Tokius uţdavinius galima spręsti taikant dinaminį programavimą.

• Dinaminis programavimas – matematinio programavimo šaka, tirianti daugiaţingsnius optimalių sprendimų priėmimo uţdavinius. Dinaminiu programavimu naudojamasi sprendţiant tokius optimizacijos uţdavinius, kurių sprendinių paieškos procesą galima išreikšti tam tikra ţingsnių seka.

• Optimalus sprendinys gaunamas sudėtingo uţdavinio sprendimą skaidant į daugelio paprastesnių uţdavinių ekstremumų radimą. Dinaminį programavimą sukūrė amerikiečių mokslininkas R.Belmanas.


• Diskrečiojo programavimo uţdaviniuose kintamieji gali

būti tik sveikieji skaičiai.

• Taikant diskrečiojo programavimo metodus galima

spręsti svarbius statybos uţdavinius. Tai, pavyzdţiui,

statybos įmonių gamybos programos optimizavimas,

statybinių medţiagų ir gaminių gamybos išdėstymo

optimizavimas, ţemės darbų vykdymo projektinių

sprendimų optimizavimas, statybinių medţiagų ir

gaminių gabenimo schemos optimizavimas ir kt.


• Matematinio programavimo uţdaviniai, kuriuose tikslo

funkcijos ar ribinių sąlygų parametrai (ar abiejų) yra

atsitiktiniai dydţiai, vadinami stochastinio programavimo

uţdaviniais.

• Stochastinis programavimas nagrinėja optimizavimo

uţdavinių teoriją ir sprendimo metodus, kai informacija

apie uţdavinio sąlygas yra neišsami.

• Stochastinio programavimo modeliai aprašo procesus,

vykstančius neapibrėţtumo sąlygomis.


Statybos procesų matematinio programavimo modelio kūrimo

sustambinta struktūrinė schema

Gauto optimalaus sprendinio interpretavimas ir paruošimas

įgyvendinti

Uždavinio formulavimas

Matematinio programavimo teorinio modelio sudarymas

Duomenų surinkimas ir formalus uždavinio aprašymas

Optimizavimo uždavinio sprendimas naudojant asmeninį kompiuterį

Uždavinio sprendimo metodo parinkimas

Metodas parinktas ir

sudarytas

algoritmas

Matematinis uţdavinio formulavimas – svarbiausias ir sudėtingiausias optimizavimo etapas.

Šiame etape reikia:

• suformuluoti sprendţiamo uţdavinio esmę;

• nustatyti tikslą ir kriterijų, kurį tikslinga optimizuoti;

• numatyti parametrus, kurie nusako uţdavinio sąlygas ir ribojimus;

• nurodyti parametrų reikšmių kitimo ribas.


• Matematinis optimizavimas – tai procesas, kurio metu atliekama suformuluoto uţdavinio apibrėţtoje aibėje tokio elemento paieška, kuriam kriterijaus reikšmė būtų minimali (arba maksimali).

• Daţniausiai nagrinėjamoji aibė yra n–matės Euklido erdvės poaibis. Tuomet atliekama parametrų vektoriaus su minimalia(arba maksimalia) kriterijaus reikšme paieška.

• Parametrų vektoriaus komponentės vadinamos uždavinio kintamaisiais, o kriterijų apibrėţianti funkcija vadinama tikslo funkcija. Kintamieji turi

patenkinti suformuluoto uţdavinio sąlygas. Erdvės Rn poaibis

A, kuriame teisingos uţdavinyje apibrėţtos sąlygos

kintamiesiems, vadinamas sprendinių leistinąja sritimi.

• Formuluojant uţdavinį reikia apibrėţti kintamųjų vektorių ,

tikslo funkciją ir leistinąją sritį A. Išsprendus uţdavinį,

bus gautas optimalus sprendinys, t.y. optimalių parametrų vektorius .


nRx

n,...,i,xi 1

xf

x

xf

x

• Nuo matematinio uţdavinio formulavimo priklauso, ar optimizavimo uţdavinys bus išspręstas, koks bus gautų rezultatų adekvatumas, ar galimas sprendinys bus tinkamas naudoti praktiškai.

• Teorinis matematinio programavimo modelis sudaromas įvertinant suformuluoto uţdavinio ypatumus. Šiuo metu naudojamos įvairios kompiuterio programos uţdavinio optimaliam sprendiniui gauti ir analizei.

• Matematinio modelio sudarymas priklauso konkrečios veiklos srities specialistų kompetencijai. Tokiems specialistams būtinos uţdavinių optimizavimo teorijos, maţiausiai įvado ţinios ir metodų taikymo patirtis. Sudarant matematinį modelį, tenka įvertinti įvairias galimybes ir rasti kompromisą tarp modelio sudėtingumo, jo adekvatumo ir metodų, kuriais bus sprendţiamas uţdavinys.


• Šiuo metu yra sukurta daug optimizavimo uţdavinių sprendimo metodų ir atitinkamų kompiuterių programų. Tačiau ne kiekvienam suformuluotam uţdaviniui galima paprastai rasti tinkamą algoritmą.

• Tiesinio programavimo uţdaviniai sprendţiami universaliu simplekso metodu.

• Sprendţiant diskretinio programavimo uţdavinius tiesinio programavimo simplekso metodu, gaunami optimalūs sprendiniai, tačiau tai nėra sveiki skaičiai. Suapvalinus šiuos sprendinius iki didesniosios reikšmės, gaunamas negalimas sprendinys, prieštaraujantis ribinei nelygybei, o suapvalinus iki maţesniosios, – gaunamas blogesnis sprendinys.

• Kai kuriems uţdaviniams toks sprendimas tinka, tačiau tokio pobūdţio uţdaviniai sprendţiami kitais metodais. Jie skirstomi į dvi grupes: atkirtimo ir grįžtamųjų metodų.

Metodų efektyvumas

• Atkirtimo metodo esmė ta, kad sprendţiant uţdavinį

sudaryta apribojimų sistema papildoma naujais tiesiniais

apribojimais (po vieną apribojimą), kuris reiškia naujas

hiperplokštumas.

• Šios hiperplokštumos taip pakeičia sprendinių aibę, kad

optimaliu kraštutiniu tašku tampa taškas (jo koordinatės)

su sveikais skaičiais.

Metodų efektyvumas

• Taikant atkirtimo metodą, iš pradţių randamas tiesinio programavimo uţdavinio sprendinys, kai nepaisoma sąlygos, jog kintamieji turi būti sveiki skaičiai.

• Antrame etape (atliekant tolesnę iteraciją) pridedama tiesinė ribinė lygtis, laikantis reikalavimo, kad vienas iš kintamųjų būtų sveikas skaičius. Ši lygtis atkerta dalį leistinosios sprendinių srities taip, kad nebūtų prarasti galimi sveikaskaičiai sprendiniai. Taip randamas naujojo uţdavinio sprendinys.

• Trečiame etape pasirenkamas kitas kintamasis, kuris taip pat turi būti sveikas skaičius, ir atliekami tokie pat veiksmai kaip ir antrame etape. Sprendinys randamas tuomet, kai visi kintamieji, kurie turi būti sveiki skaičiai, ir tampa sveikais. Sprendiniui rasti atliekamas baigtinis iteracijų skaičius.

Metodų efektyvumas

• Iš grįţtamųjų metodų daţniausias yra šakų ir rėţių metodas. Jo esmė – nuosekli galimų sprendimų paieška ir jų reikšmių palyginimas. Galimi sprendiniai suskirstomi į kelias grupes (šakas). Kiekvienoje jų įvertinamos tikslo funkcijų reikšmių ribos (rėţiai). Šaka, kurioje tikslo funkcijų rėţis yra artimiausias optimaliam, dalijama toliau, kol bus rastas vienintelis sprendinys.

• Be minėtų metodų, yra dar artutinių diskrečiojo programavimo uţdavinių sprendimo būdų. Taikant tokius metodus, sprendinys nėra tikslus. Tačiau jie pasirenkami dėl to, kad apskaičiavimai atliekami greičiau ir gali būti įvertinti kiti veiksniai, kurie formuluojant uţdavinį buvo atmesti. Pasirenkant kurį nors iš minėtų ar kitų diskrečiojo programavimo uţdavinių sprendimo metodų, atsiţvelgiama į turimą laiką bei ekonominę optimalaus sprendinio vertę.

Metodų efektyvumas

• Netiesinio programavimo uţdaviniai sudėtingi, ir nėra universalių metodų jiems spręsti. Todėl uţdavinį formuluojant reikia įvertinti optimizavimo metodų efektyvumą.

• Kai uţdaviniai gali būti išsprendţiami baigtiniu ţingsnių skaičiumi N, metodo efektyvumas vertinamas algoritmų sudėtingumo teorijos kriterijais

Šiuo atveju įvertinama ţingsnių skaičiaus Npriklausomybė nuo n ir kitų uţdavinio parametrų. Šios priklausomybės tipas lemia metodo sudėtingumo klasę. Kuo greičiau auga N, tuo sudėtingesnis metodas ir maţesnis jo efektyvumas. Paprastai, formuluojant sudėtingą uţdavinį ir parenkant tinkamą metodą, reikalinga taikomosios matematikos specialisto konsultacija.

Metodų efektyvumas

Tiesinio programavimo uždaviniai,

geometrinė interpretacija ir

sprendimas

Tiesinis programavimas

• Tiesinis programavimas – geriausiai ištirta ir dažniausiai naudojama matematinio programavimo dalis.

• Sąvoka „tiesinis programavimas” pasirodė 1951 metais amerikiečių mokslininkų Dţ.Dancigo ir T.Kupmanso darbuose. Dar anksčiau šiuos klausimus pradėjo nagrinėti rusų mokslininkas L.Kantorovičius.

• Ţodis „programavimas” nusako nagrinėjamo ekonominio objekto ar proceso darbo programos sudarymą. Šiai programai sudaryti nustatomi ieškomi kintamieji.

Tiesinio programavimo uždavinys

• Tikslo funkcija:

• Ribojančiųjų sąlygų sistema:

• arba

• Kintamųjų neneigiamumo sąlyga:

n

j

jj xcZ

1

.minmax

n

j

ijij mibxa

1

,,...,2,1

n

j

ijij bxa

1

.

njxj

1,2,..., 0


• Uţdavinio apribojimų sistema aprašo iškilųjį briaunainį

erdvėje . Jį vadinsime leistinųjų sprendinių sritimi ir

ţymėsime Ω.

• Briaunainis – tai paviršius, sudarytas iš baigtinio

skaičiaus plokščiųjų daugiakampių, išdėstytų taip, kad

kiekviena kraštinė priklauso ne daugiau kaip dviem

daugiakampiams, ir nuo vieno daugiakampio galima

patekti ant kito pereinant bendras kraštines


• Tiesinio programavimo uţdavinys geometriškai

interpretuojamas taip:

leistinųjų sprendinių srityje reikia rasti tokį tašką, per kurį

einanti funkcijos z hiperplokštuma iš hiperplokštumų

šeimos atitinka didţiausią funkcijos z reikšmę.

Toks taškas egzistuoja, jei sritis Ω nėra tuščia ir jos

taškuose funkcija z aprėţta iš viršaus.

• Vektorius vadinamas

hiperplokštumos normaliniu vektoriumi ir rodo funkcijos zdidėjimo kryptį.

**2

*1 ,...,, nzzzz


• Tarkime, z = 0. Tuomet:

Tai hiperplokštuma, einanti per koordinačių pradţią.

• Paėmę fiksuotą z reikšmę , gausime lygiagrečią hiperplokštumą, kur atitinka funkcijos reikšmę visuose šios hiperplokštumos taškuose.

• Grafiškai gali būti sprendţiami tokie uţdaviniai, kai standartiniame tiesinio programavimo uţdavinyje yra ne daugiau kaip du kintamieji, o kanoniniame tiesinio programavimo uţdavinyje yra ne daugiau kaip Čia n – kintamųjų skaičius, r – apribojimų sistemos rangas.

0...2211 nnxcxcxcz

.constz*z

2rn


Tarkime, turime atskirą atvejį, kai n =2 (Euklido erdvė E2).

Tuomet:

•

•

•

Apribojimų sistema reiškia daugiakampį Ω plokštumoje.

Šiame daugiakampyje reikia rasti tašką, per kurį einanti

tiesių šeimos tiesė atitiks didţiausią zreikšmę.

max,2211 xcxсz

m1, 21 11ibxaxa iii

0 ,0 21 xx

zxcxc 221


• Grafiškai uţdavinys sprendţiamas šia tvarka:

1. Nubrėţiamos tiesės, gautos apribojimų sistemoje nelygybes pakeitus lygybėmis.

2. Pagal nelygybių ţenklus nustatoma leistinųjų sprendinių sritis Ω.

3. Nubrėţiama viena iš tiesių šeimostiesė, pvz.

4. Tiesė stumiama lygiagrečiai pati su

savimi vektoriaus kryptimi tol, kol ji turės nors vieną

bendrą tašką su Ω. Tai ir bus funkcijos maksimumo

taškas.

5. Randamos ekstremumo taško koordinatės ir funkcijos reikšmė tame taške.

zxcxc 221102211 xcxc

zxcxc 2211

z


Funkcijos minimumo ieškoma analogiškai, tik tiesė

stumiama vektoriaus priešinga kryptimi. Priklausomai

nuo leistinųjų reikšmių srities Ω ir nuo vektoriaus

padėties galimi įvairūs atvejai:

• uţdavinys turi vienintelį sprendinį, esantį daugiakampio

Ω viršūnėje;

• uţdavinys turi be galo daug sprendinių – daugiakampio

Ω briaunoje;

• uţdavinys neturi optimalaus sprendinio, bet apribojimų

sistema suderinta;

• uţdavinys neturi optimalaus sprendinio, nes apribojimų

sistema nesuderinta (Ω – tuščia aibė).

zzz

z

Uţdavinys turi vienintelį sprendinį Amax,

esantį daugiakampio viršūnėje

maxA2x

0z1x

optx2

0

z

Uţdavinys turi be galo daug sprendinių –

daugiakampio Ω briaunoje (Amax, Bmax)

Ω

0

Uţdavinys neturi optimalaus sprendinio,

bet apribojimų sistema suderinta

Ω

0

• Tiesinio programavimo uţdaviniai sprendţiami simplekso metodu. Simplekso metodo esmė – nuoseklus briaunainio Ω viršūnių perţiūrėjimas. Šiam tikslui analitiškai randamos briaunainio viršūnės ir tikrinama, kurioje viršūnėje maksimizuojamos funkcijos reikšmė yra didţiausia.

• Uţdavinio sprendimas susideda iš dviejų etapų:

• pradinio leistinojo bazinio sprendimo nustatymas;

• optimalaus sprendinio nustatymas.

• Kiekvieną leistinąjį bazinį sprendinį atitinka apribojimų briaunainio Ω viršūnė. Iš pradţių randamas vienas kuris nors leistinasis bazinis sprendinys. Jeigu nėra optimalaus sprendinio, tuomet pereinama prie kito leistinojo bazinio sprendinio, ir t. t.

9. Tiesinio programavimo

uždaviniai, geometrinė jų

interpretacija ir sprendimas

Tiesinio programavimo uždavinių grafinis sprendimas. Pavyzdžiai

Uždavinio sprendimas gali būti suskirstytas į tris etapus:

• leistinųjų sprendinių srities nustatymas;

• tikslo funkcijos tiesės brėžimas ir šios funkcijos

didėjimo (mažėjimo) krypties nustatymas;

• optimalaus sprendinio radimas.


1 etapas. Leistinųjų sprendinių srities nustatymas.

• Leistinųjų sprendinių srities ribas nusako ribinės lygtys ir (arba) nelygybės, kai baziniai kintamieji yra lygus nuliui. Ta plokštumos dalis, kurioje yra teisingos visos ribinės lygtys (nelygybės) ir kintamieji neneigiami, vadinama leistinųjų sprendinių sritimi (LSS).

• Pirmiausia nubrėžiame koordinačių ašis Ox1 ir Ox2. Kintamieji yra x1 ir x2. Jie pažymimi ant abscisės ir ordinatės ašių. Kadangi x1 ≥ 0 ir x2 ≥ 0, tai leistinųjų sprendinių sritis gali būti tik pirmajame ketvirtyje. Po to braižomos visos tiesės. Kiekviena tiesė dalija plokštumą į dvi pusplokštumes. Plokštumos dalis, kurioje teisingos visos lygtys ir nelygybės, vadinama leistinųjų sprendinių sritimi. Šioje srityje yra optimalus sprendinys.

• Leistinieji sprendiniai – taškai šios srities viduje ir jos kontūre. Leistinųjų sprendinių srities visi taškai (jų koordinatės) tenkina sudaryto matematinio modelio apribojimus.


2 etapas. Tikslo funkcijos tiesės brėžimas ir šios funkcijos didėjimo

(mažėjimo) krypties nustatymas.

• Norint rasti sprendinį, reikia nubrėžti tikslo funkcijos tiesę. Tikslo

funkcijos tiesę reikia stumti lygiagrečiai pradinei tiesei, kad tikslo

funkcijos reikšmės didėtų (mažėtų).


3 etapas. Optimalaus sprendinio radimas.

• Norint rasti optimalų sprendinį, reikia pradinę tikslo funkcijos tiesę stumti šios funkcijos didėjimo (mažėjimo) kryptimi į tokią padėtį, kad ji liestų LSS pakraštį. Po to, nustatomos tikslo funkcijos tiesės ir LSS bendro taško koordinatės ir apskaičiuojama tikslo funkcijos reikšmė šiame taške.

• Sprendinio gauto grafiniu būdu tikslumas priklauso nuo to, kaip kruopščiai apibrėžta LSS ir pradinė tikslo funkcijos tiesė. Todėl tikslinga rasti optimaliąsias sprendinio reikšmes taip pat ir analitiškai. Nustačius, kurios dvi tiesės susikerta taške C (jei jų yra daugiau negu dvi, pasirenkamos bet kurios dvi), gaunama lygčių sistema su dviem nežinomaisiais. Išsprendę šią lygčių sistemą, randame tikslias kintamųjų x1 ir x2 reikšmes.

1 pavyzdys. Statybinių gaminių gamybos planavimo uždavinys.

• Gelžbetoninių gaminių gamykla gamina dviejų rūšių gaminius. Jų gamybai reikia įvairių išteklių: medžiagų (pavyzdžiui, cemento, armatūros), darbo ir elektros energijos. Reikia rasti, kiek turi būti pagaminta kiekvienos rūšies gaminių, kad pagamintos produkcijos vertė būtų maksimali, įvertinant gamybos proceso galimybes. Uždavinio pradiniai duomenys pateikti lentelėje.

Rodikliai Gaminio tipas Turimi ištekliai

I II

Gaminio vieneto vertė, Lt 250 400 –

Cemento sąnaudos, kg 80 170 20 000

Armatūros sąnaudos, kg 67 55 8 000

Gamybos darbo sąnaudos, žm. val. 30 40 6 000

El. energijos sąnaudos, kWh 52 67 12 000

. max

1

n

j

jj Zxc


Uždaviniui spręsti sudaromas teorinis tiesinio programavimo modelis. Šiam tikslui naudosime tokius simbolius:

xj – j tipo gaminamų gaminių kiekis (j = 1, ..., n);

cj – j tipo gaminio vertė, litais;

aij – i-os rūšies išteklio sąnaudos, j tipo gaminiui pagaminti (i = 1,...,m);

bi – i-tos rūšies bendras išteklių kiekis.

Sprendžiamo uždavinio matematinio modelio bendra išraiška:


• Apribojimai:

• Papildomi apribojimai: xj ≥ 0

n

j

ijij bxa1


• Tikslo funkcija: 250 x1 + 400 x2 = Z → max

• Apribojimai: 80 x1 + 170 x2 ≤ 20000,

67 x1 + 55 x2 ≤ 8000,

30 x1 + 40 x2 ≤ 6000,

52 x1 + 67 x2 ≤ 12000

• Papildomi apribojimai: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Rodikliai Gaminio tipas Turimi ištekliai

I II

Gaminio vieneto vertė, Lt 250 400 –

Cemento sąnaudos, kg 80 170 20 000

Armatūros sąnaudos, kg 67 55 8 000

Gamybos darbo sąnaudos, žm. val. 30 40 6 000

El. energijos sąnaudos, kWh 52 67 12 000


• Uždavinio grafinis sprendimas.

Pasirinkus grafinį sprendimo metodą, sudaroma x1 ir x2 teigiamų

reikšmių koordinačių sistema. Paskui nubrėžiamos tiesės, gautos

apribojimų sistemoje nelygybes pakeitus lygybėmis. Kiekvieną tiesę

galima nubrėžti turint du taškus. Tokie taškai randami, pavyzdžiui,

taip: tiesės lygtyje 80x1 + 170x2 ≤ 20000, tarkime, x2=0, tuomet

ax1=250. Kai x2 =0, tuomet ax2

=117. Analogiškai apskaičiuojamos

kitos ax1ir ax2

reikšmės. Pagal duotų nelygybių ženklus nustatoma

leistinųjų sprendinių sritis OBCA.

Lygtis ax1ax2

80 x1 + 170 x2 ≤ 20000 250 117


2x

1x

B

0

117

200 250










kitos ax1ir ax2



Lygtis ax1ax2

80 x1 + 170 x2 ≤ 20000 250 117

67 x1 + 55 x2 ≤ 8000 119 145


2x

1x0

117

145

119 200 250










kitos ax1ir ax2



Lygtis ax1ax2

80 x1 + 170 x2 ≤ 20000 250 117

67 x1 + 55 x2 ≤ 8000 119 145

30 x1 + 40 x2 ≤ 6000 200 150


2x

1x0

117

145150

119 200 250










kitos ax1ir ax2



Lygtis ax1ax2

80 x1 + 170 x2 ≤ 20000 250 117

67 x1 + 55 x2 ≤ 8000 119 145

30 x1 + 40 x2 ≤ 6000 200 150

52 x1 + 67 x2 ≤ 12000 231 179


2x

1x0

117

145150

179

119 200 231 250


2x

1x

C

A

B

Leistinųjų

sprendimų sritis

OBCA

0

117

145150

179

119 200 231 250

1 pavyzdys. Statybinių gaminių gamybos planavimo uždavinys

• Paskui nubrėžiama viena iš tiesių šeimos 250 x1 + 400 x2 = Z* tiesė,

pavyzdžiui, 250 x1 + 400 x2 = 20000. Šiuo atveju ax1= 80, o ax1

= 50.

• Tiesė stumiama lygiagrečiai pati su savimi vektoriaus kryptimi tol,

kol ji turės nors vieną bendrą tašką su leistinųjų sprendinių sritimi

OBCA. Tai taškas C, kuris yra funkcijos maksimumo taškas. Šio

taško koordinatės nustatomos grafike: C (40; 96). Šiame taške

funkcijos reikšmė didžiausia.


Optimalus sprendinys C (40;96)

2x

1x

C

A

B

Leistinųjų

OBCA

tikslo funkcija

0

50

96

117

145150

179

40 80 119 200 231 250

sprendimų sritis

1 pavyzdys. Statybinių gaminių gamybos planavimo uždavinys

• Taško C koordinatės nurodo optimalų sprendinį: pirmos rūšies gaminių turi būti gaminama 40 vnt., o antros rūšies – 96 vnt. Esant tokiai gamybos programai, tikslo funkcija Z įgauna maksimalią reikšmę.

• Patikrinimas:

80 * 40 + 170 * 96 = 19 520, 19 520 < 20 000,

67 * 40 + 55 * 96 = 7 960, 7 960 < 8 000,

30 * 40 + 40 * 96 = 5 040, 5 040 < 6 000,

52 * 40 + 67 * 96 = 8 512, 8 512 < 12 000.

• Tikslo funkcijos z reikšmė:

z = 250 * 40 + 400 * 96 = 48 400

z = 48 400 Lt

2 pavyzdys. Gyvenamųjų namų statybos planavimo uždavinys

Regioninės plėtros plane šalia naujo pramonės rajono numatyta

nauja gyvenvietė. Joje siūloma statyti dviejų tipų gyvenamuosius

namus:

• atskirus gyvenamuosius namus vienai šeimai;

• sublokuotus gyvenamuosius namus.


• Gyvenamajai statybai paskirta teritorija – 12 000 m2.

Atskiro gyvenamojo namo statybai numatytas sklypo plotas 400 m2, o sublokuoto gyvenamojo namo vienam butui – 300 m2. Sublokuotų gyvenamųjų namų skaičius gali būti ne daugiau kaip du kartus didesnis, negu statant atskirus gyvenamuosius namus. Be to, kiekvieno tipo gyvenamųjų namų (atskirų ir sublokuotų gyvenamųjų namų) negali būti daugiau kaip 18.

• Rangovas sudarė sąmatą ir nustatė, kad statant atskirus gyvenamuosius namus vienai šeimai galima gauti pelną 10 000 litų/namui, o statant sublokuotus gyvenamuosius namus – 8 000 litų/namui.

• Reikia sužinoti, kiek turi būti statoma kiekvieno tipo gyvenamųjų namų, kad rangovas gautų maksimalų pelną, įvertinant statybos ribojančias sąlygas.


• Optimizavimo uždaviniui spręsti reikia sudaryti tiesinio programavimo modelį. Šiam tikslui naudosime tokius simbolius:

xj – j tipo gyvenamųjų namų skaičius (j = 1,2);

(x1 – sublokuotų gyv. namų skaičius; x2 – gyv. namų vienai šeimai skaičius);

cj – pelnas, kurį galima gauti, statant j tipo gyvenamąjį namą, litais;

aij – sklypo plotas i, kuris reikalingas j tipo gyv. namo statybai (i=1,2);

bi – sklypo (teritorijos) bendras plotas.

• Sprendžiamo uždavinio matematinio modelio bendra išraiška:

Tikslo funkcija:

Uždavinio ribojančios sąlygos:

Kintamųjų neneigiamumo sąlyga: xj ≥ 0 (j = 1,2)

n

j

jj Zxc1

max

n

jijij bxa

1


• Tiesinio programavimo modelis, naudojant uždavinio duomenis:

• Tikslo funkcija: 8000 x1 + 10000 x2 = Z → max

• Apribojimai: 300 x1 + 400 x2 ≤ 12000,

x1 ≤ 2 x2 ,

x1 ≤ 18,

x2 ≤ 18

• Papildomi apribojimai: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0



Pasirinkus grafinį sprendimo metodą, sudaroma x1 ir x2 teigiamų reikšmių koordinačių sistema. Šioje koordinačių sistemoje reikia nubrėžti tieses (žr. uždavinio ribojančias sąlygas).

Ribojančios sąlygos ax1ax2

300 x1 + 400 x2 ≤ 12000 40 30

x1 ≤ 2 x20

10

0

5

x1 ≤ 18 18 0

x2 ≤ 18 0 18


300 x1 + 400 x2 ≤ 12000 40 30

x1 ≤ 2 x2

x1 ≤ 18

x2 ≤ 18

Gyvenamųjų namų vienai šeimai skaičiusx 2

1 sąlyga

10

0 10 20 30 40 x 1

Sublokuotų gyvenamųjų namų skaičius

20

30


300 x1 + 400 x2 ≤ 12000 40 30

x1 ≤ 2 x20

10

0

5

x1 ≤ 18

x2 ≤ 18


1 sąlyga

10

2 sąlyga

0 10 20 3040 x 1


20

30


300 x1 + 400 x2 ≤ 12000 40 30

x1 ≤ 2 x20

10

0

5

x1 ≤ 18 18 0

x2 ≤ 18 0 18


1 sąlyga

4 sąlyga

10

3 sąlyga

2 sąlyga

0 10 18 20 3040 x 1


18 20

30


300 x1 + 400 x2 ≤ 12000 40 30

x1 ≤ 2 x20

10

0

5

x1 ≤ 18 18 0

x2 ≤ 18 0 18


1 sąlyga

4 sąlyga

Leistinųjų sprendinių

10 sritis

3 sąlyga

2 sąlyga

0 10 18 20 3040 x 1


18 20

30

• Tikslo funkcijos tiesė lygiagrečiai stumiama rodyklės kryptimi tol, kol

pasiekiamas taškas C. Šiame paskutiniame leistinųjų sprendinių

srities taške tikslo funkcijos reikšmė bus pati didžiausia. Todėl taško

C koordinatės yra optimalaus sprendinio koordinatės. Tai rodo, kad

turi būti statoma 18 sublokuotų namų ir 16 gyvenamųjų namų vienai

šeimai.


1 sąlyga

4 sąlyga

16 Optimalus sprendinys C (18;16)

Leistinųjų sprendinių

10 sritis

8 Tikslo funkcija3 sąlyga

2 sąlyga

0 10 18 20

Tikslo funkcija

3040 x 1


18 20

30

3 pavyzdys. Betono mišinių gamybos planavimo uždavinys

1. Uždavinio formulavimas.

• Betono mišiniai naudojami monolitinėje statyboje, betoninių ir gelžbetoninių gaminių gamyboje, taip pat kitose statybos srityse. Betono mišinių gamintojai stengiasi pagaminti savo produkciją kuo efektyviau, t.y. mažiausiomis sąnaudomis. Užpildų (smėlio, skaldos, žvirgždo), cemento ir įvairių priedų pasiūla yra didelė, todėl gamintojams svarbu pasirinkti tinkamiausius medžiagų tiekėjus, siekiant aukščiausių betono mišinių gamybos efektyvumo rodiklių.

• Pvz., betono mišinių gamybai galima naudoti įvairių karjerų smėlį. Tokių karjerų smėlio techninės charakteristikos (granuliometrinė sudėtis, molio priemaišų kiekis ir kt.) ir kaina yra skirtinga. Todėl naudojant įvairių karjerų smėlį skiriasi cemento sąnaudos ir 1m3

betono mišinio savikaina. Turint reikalingus duomenis, galima nustatyti efektyviausius smėlio tiekėjus ir optimalią betono mišinių gamybos programą. Betono mišinių gamybos optimizavimo kriterijai gali būti:

– minimalios cemento sąnaudos betono mišinių gamybos programai, t;

– minimali betono mišinių savikaina gamybos programai, Lt/m3.

.,...,2,1

1

n

j

jij njPx,,...,2,1,

1

m

i

iijij miAxa

n

i

m

j

ijij xbz

1 1

min


Betono mišinių gamybos optimizavimo uždavinio matematinis modelis:


• Apribojimai:

• Papildomi apribojimai:

čia:

aij – i-osios rūšies smėlio sąnaudos 1m3 j-osios stiprio gniuždant klasės betono mišiniui pagaminti;

bij – cemento sąnaudos j-osios stiprio gniuždant klasės betono mišiniui pagaminti, naudojant i-osios rūšies smėlį;

dij – 1m3 j-osios stiprio gniuždant klasės betono mišinio savikaina, naudojant i-osios rūšies smėlį;

xij – j-osios klasės betono mišinio kiekis, naudojant i-osios rūšies smėlį;

Ai – i-osios rūšies smėlio bendras kiekis (karjerų pajėgumas);

Pj – j-osios stiprio gniuždant klasės betono mišinio poreikis;

j – betono klasės (1, 2, ..., n);

i – smėlio rūšys (1, 2, ..., m)

.0ijx


• a – smėlio sąnaudos 1m3 betono mišinio pagaminti, kg;

• b – cemento sąnaudos 1m3 betono mišinio pagaminti, kg;

• c – stambaus užpildo sąnaudos 1m3 betono mišinio pagaminti, kg;

• d – 1m3 betono mišinio savikaina, Lt.

Medžiagos

rūšis

Betono klasėsTurimi

ištekliai1 2 .... J ... n

1

2

...

...

i

...

m

a11 b11 c11 d11 x11

a21 b21c21d21 x21

...

...

ai1 bi1 ci1 di1 xi1

...

am1bm1cm1dm1xm

1

a12 b12 c12 d22 x12

a22 b22 c22 d22 x22

...

...

ai2 bi2 ci2 di2 xi2

...

am2 bm2 cm2 dm2 xm2

...

...

a1j b1j c1j d1j x1j

a2j b2j c2j d2j x2j

...

...

aij bij cij dij xij

...

amj bmj cmj dmj xmj

...

...

a1n b1n c1n d1n x1n

a2n b2n c2n d2n x2n

...

...

ain bin cin din xin

....

amnbmncmn dmnxmn

A1

A2

...

...

Ai

...

Am

Betono

poreikis, m3

P1 P2 ... Pj ... Pn -


• Betono mišinių gamybos optimizavimo uždavinio pradiniai duomenys:

Smėlio

Rūšis

Betono klasės Smėlio kiekis

B20 B40 B50

A1 karjeras

A2 karjeras

a11 b11 c11 d11 x11

712 304 778 178 ?

a21 b21 c21 d21 x21

678 329 778 184 ?

a12 b12 c12 d12 x12

695 373 744 252 ?

a22 b22 c22 d22 x22

652 417 744 263 ?

a13 b13 c13 d13 x13

672 398 740 297 ?

a23 b23 c23 d23 x23

636 428 740 304 ?

500 m3 (780 t)


I variantas. Cemento sąnaudų minimizavimas.

Tikslo funkcijos kriterijus – minimalios cemento sąnaudos.


304 x11 + 373 x12 + 398 x13 + 329 x21 + 417 x22 + 428 x23 → min

• Apribojimai:

712 x12 + 695 x12 + 672 x13 ≤ 780000,

678 x21 + 652 x22 + 636 x23 ≥ 0,

x11 + x21 = 2000,

x12 + x22 = 1000,

x13 + x23 = 500

• Papildomi apribojimai: x11 ≥ 0, x12 ≥ 0, x13 ≥ 0, x21 ≥ 0, x22 ≥ 0, x23 ≥ 0


II variantas. Betono mišinių gamybos savikainos minimizavimas.

• Tikslo funkcijos kriterijus – minimali betono gamybos savikaina.


178 x11 + 252 x12 + 297 x13 + 184 x21 + 263 x22 + 304 x23 → min

• Apribojimai:

712 x12 + 695 x12 + 672 x13 ≤ 780000,

678 x21 + 652 x22 + 636 x23 ≥ 0,

x11 + x21 = 2000,

x12 + x22 = 1000,

x13 + x23 = 500

• Papildomi apribojimai: x11 ≥ 0, x12 ≥ 0, x13 ≥ 0, x21 ≥ 0, x22 ≥ 0, x23 ≥ 0


I variantas. Cemento sąnaudų minimizavimas:

x21 = 2000m3; x12 = 1000m3; x13 = 126,49m3; x23 = 373,51m3

• Optimalus betono mišinių gamybos programos sprendimas toks:

Betono stiprio Betono mišinio Smėlio tiekėjas

Gniuždant klasė gamybos apimtis

C16/20 2000m3 A2 karjeras;



C40/50 374m3 A2 karjeras.

• Šiuo atveju tikslo funkcija – minimalios cemento sąnaudos – įgauna minimalią reikšmę: 1241205kg = 1241.2 t.

• Apskaičiavimo patikrinimas:

712 * 0 + 695 * 1000 + 672 * 126.49 = 780000 ≤ 780000

678 * 2000 + 652 * 0 + 636 * 373.51 = 1593554 ≥ 0

0 + 2000 = 2000

1000 + 0 = 1000

126.49 + 373.51 = 500


II variantas. Betono mišinių gamybos savikainos minimizavimas :

x21 = 2000m3; x12 = 1000m3; x13 = 126,49m3; x23 = 373,51m3

• Optimalus betono mišinių gamybos programos sprendimas toks:

Betono stiprio Betono mišinio Smėlio tiekėjas

Gniuždant klasė gamybos apimtis




C40/50 374m3 A2 karjeras.

• Šiuo atveju tikslo funkcija – betono mišinių gamybos savikaina –įgauna minimalią reikšmę: 771114,6Lt.

• Apskaičiavimo patikrinimas:

712 * 0 + 695 * 1000 + 672 * 126.49 = 780000 ≤ 780000

678 * 2000 + 652 * 0 + 636 * 373.51 = 1593554 ≥ 0

0 + 2000 = 2000

1000 + 0 = 1000

126.49 + 373.51 = 500

4 pavyzdys. Armatūros strypų karpymo uždavinys

• Uždavinio formulavimas.

Statybos įmonė perka standartinio ilgio armatūros strypus (l = 8m). Įmonės armatūros ceche iš jų gaminami strypynai, tinklai, įvairūs erdviniai elementai ir kiti armatūros gaminiai. Gaminant šiuos dirbinius, strypai karpomi, o paskui suvirinami. Standartinio ilgio strypai gali būti karpomi įvairiai. Todėl kiekvienu atveju gamybos atliekų kiekis bus skirtingas. Reikia nustatyti optimalų strypų karpymo variantą, kuriam esant būtų pagamintas reikalingas armatūros dirbinių skaičius, o gamybos atliekų kiekis būtų minimalus.

n

j

ijj xcz

1

.min


• Armatūros strypų optimalaus karpymo uždavinio matematinis modelis (bendra išraiška)


• Apribojimai:

• Papildomi apribojimai:

čia:

cj – atliekų kiekis taikant j karpymo variantą;

xij – karpomų strypų skaičius taikant j karpymo variantą i-ojo ruošinio gamyboje;

Pij – i tipo ruošinių skaičius taikant j karpymo variantą;

bi – i tipo ruošinių skaičius.

.,...,2,1

1

n

j

iijij mibxP

).,...,2,1(,0 njxij


• Armatūros strypų karpymo uždavinio pradinių duomenų pateikimo

forma:

Karpomų strypų

skaičius

Ruošinių tipas

Ruošinių skaičius

Ruošinių gamybos

programa, vntVariantai

x1 x2 ... xj ... xn

1

2

...

i

...

m

P11

P21

...

Pi1

...

Pm1

P12

P22

...

Pi2

...

Pm2

...

...

...

...

...

...

P1j

P2j

...

Pij

...

Pmj

...

...

...

...

...

...

P1n

P2n

...

Pin

...

Pmn

b1

b2

...

bi

...

bm

Atliekų kiekis

(mm, cm) c1 c2 ... cj ... cn -


• Armatūros karpymo uždavinio pradiniai duomenys:

l=2000

a=150

Dirbinių

pavadi-

nimas

Eskizas

Gamybos

apimtis,

vnt.

Armatūros

charakteristiko

s Žymėjimas

Ruošinių kiekis

,mmIlgis,

mm

vienam

vienetui

visai

programai

Strypynas 200 10 8000A (l1=150)

B (l2=2000)

20

2

4000

400


• Armatūros strypų karpymo variantų ir matematinio modelio sudarymas

Ruošinio tipas

Ruošinių skaičius, vnt. Ruošinių

gamybos

programa1 var. 2 var. 3 var. 4 var.

8000 8000 8000 8000

4B 53A 26A + 2B 13A + 3B

A 0 53 26 13 4000

B 4 0 2 3 400

Atliekų kiekis, cm 0 5 10 5 -

Strypų

karpymo

variantai

Ruošinio tipas

1 var. 2 var. 3 var. 4 var.

A

B

0

8000 : 2000 =

4 vnt.

8000 : 150 =

53 vnt.

0

4000 : 150 =

26 vnt.

2000 x 2=4000

2 vnt.

8000-6000=2000

2000:150=13vnt.

2000 x 3=6000

3 vnt.

Atliekos, cm 0 8000-53 x150 = 58000-26x150-

2000 x 2 = 10

8000-150x13-2000 x

3 = 5


Uždavinio matematinis modelis


z = 0 * x11 + 5 * x12 + 10 * x13 + 5 * x14 → min

• Apribojimai:

0 * x11 + 53 * x12 + 26 * x13 + 13 * x14 = 4000,

4 * x21 + 0 * x22 + 2 * x23 + 3 * x24 = 400,

• Papildomi apribojimai: x11 ≥ 0, x12 ≥ 0, x13 ≥ 0, x14 ≥ 0,

x21 ≥ 0, x22 ≥ 0, x23 ≥ 0, x24 ≥ 0


• Apskaičiavimo rezultatai:

x12 = 75; x21 = 100

Armatūros strypų Karpomų strypų

karpymo variantai skaičius, vnt.

1 100

2 75

• Šiuo atveju armatūros dirbinių gamyboje atliekų bus mažiausia, ir tikslo funkcija z įgaus minimalią reikšmę – 375cm.

• Apskaičiavimo rezultatų patikrinimas:

0 * 0 + 53 * 75 + 26 * 0 + 13 * 0 = 3975

4 * 100 + 0 * 0 + 2 * 0 + 3 * 0 = 400

• 3975<4000, todėl reikia koreguoti gautą atsakymą ir padidinti karpomų strypų skaičių 1 vnt.

10. Netiesinio

programavimo uždaviniai

Netiesinio programavimo uždaviniai

• Sprendžiant netiesinio programavimo uždavinius, nėra

vieno universalaus metodo kaip simplekso metodas,

kuris taikomas tiesinio programavimo uždaviniams. Kai

tikslo funkcija ar (ir) ribinės sąlygos turi bent vieną

aukštesnio laipsnio kintamąjį, tokie uždaviniai gali būti

išspręsti tik netiesinio programavimo metodais.


• Matematinio programavimo uždavinys užrašomas taip:

• Funkcijos ir yra žinomos.

• Tiesinio programavimo uždavinių visos funkcijos yra tiesinės, o netiesinio programavimo uždaviniuose nors viena iš šių funkcijų yra netiesinė.

max(min)xfz

.,1,, mibxg ii

0x

xf

xg i


Netiesinio programavimo uždaviniams būdingi, pavyzdžiui, šie ypatumai:

1. Tiesinio programavimo uždavinių leistinųjų sprendinių sritis Ωyra iškila ir turi baigtinį kraštutinių taškų (viršūnių) skaičių.

2. Tiesinio programavimo uždavinyje optimalusis sprendinys yra kraštutiniame taške ir gali būti rastas, atlikus baigtinį sprendimo nustatymo žingsnių skaičių. Netiesinio programavimo uždavinio ekstremumas gali būti tiek srities Ω kontūre, tiek jos viduje.

3. Tiesinio programavimo uždavinio globalusis ekstremumas sutampa su lokaliuoju. Netiesinio programavimo uždaviniuose tikslo funkcija leistinųjų sprendinių srityje gali turėti kelis lokaliuosius ekstremumus.


• Netiesinio programavimo uždavinio geometrinis

sprendimas – rasti tokį tašką leistinųjų sprendinių srityje

Ω, per kurį einantis tikslo funkcijos lygio hiperpaviršius

suteikia funkcijai didžiausią arba mažiausią reikšmę.

• Sprendžiant uždavinius, randami lokalieji ekstremumai, o

iš jų išrenkamas globalusis ekstremumas.


• Netiesinio programavimo uždavinys, paremtas iškilųjų

funkcijų, apibrėžtų iškiloje aibėje, savybėmis, vadinamas

iškiluoju programavimu.

• Iškilumo savybė yra labai svarbi optimizavimo teorijoje.

Aibė vadinama iškila, jei kartu su bet kuriais dviem aibės

taškais tai aibei priklauso ir juos jungianti tiesės atkarpa .

Iškilų ir neiškilų aibių pavyzdžiai

1x

1x

1x

1x

2x

2x

2x

2x

Netiesinio programavimo uždavinys

(leistinųjų sprendinių sritis OCDEF)

z

B’opt

y

C

D

B

E

O

F

x


• Iškilojo programavimo teorijoje pagrindinis uždavinys formuluojamas taip:

• Šiuo atveju funkcijos ir yra iškilos žemyn.

Jei funkcijos ir yra iškilos aukštyn, tai ieškoma funkcijos

maksimumo esant apribojimams:

minxfz

0xgi

,,1 mi

0x

xf

xf

xg i

xg i

xf

0xgi

.,10 mix

Vieno kintamojo iškilosios funkcijos pavyzdys

z

xfZ

x

21 1 xfxfz

1x 2x


• Tam tikromis sąlygomis netiesinio programavimo

uždavinys sprendžiamas pasitelkus Lagranžo funkciją

ir nustačius jos balno tašką

• G.Kunas ir A.Takeris pateikė būtinas ir pakankamas

sąlygas tokių uždavinių optimaliems sprendiniams rasti.

Lagranžo funkcija

• Lagranžo funkcija turi šią išraišką:

• Koeficientai ,…, vadinami Lagranžo daugikliais.

• Taškas vadinamas Lagranžo funkcijos balno

tašku, jei visiems ir galioja nelygybė:

• Ši nelygybė reiškia, kad n-matis taškas yra funkcijos

minimumo taškas, o m-matis taškas yra funkcijos

maksimumo taškas.

xgxfxL i

m

i

i

1

1 m

00 ,

x

,xLx

0

000 , ,

xLλ,xLxL 0

0x

0,

xL

0

,0xL

Iškilojo programavimo uždavinys.

Lagranžo funkcijos balno taškas

Imdami tam tikrą

reikšmę , paviršiuje

gausime kreivę AEB, o

taškas bus

minimumo taškas.

Imdami tam tikrą reikšmę

paviršiuje gausime

kreivę CED, o bus

maksimumo taškas. Todėl,

Lagranžo funkcija

taško aplinkoje yra

balno pavidalo.

L

A

B

0

0

00 ,

x0M

C

E

0x

D

0

x

0

000 ,

xM

x

,0xx

0M

,xL00 ,

x



• Iškilajame programavime ypatinga vieta tenka Kuno ir

Takerio teoremai, nusakančiai ryšį tarp tikslo funkcijos,

apribojimų sistemos ir uždavinio optimalaus sprendinio ir

atitinkamos Lagranžo funkcijos balno taško.

• Kad vektorius būtų uždavinio optimalusis

sprendinys, būtina ir pakankama, kad egzistuotų toks

vektorius ir kad taškas būtų Lagranžo

funkcijos balno taškas, t.y. visiems ir

galiotų nelygybė:

*x

0*

**,

xx

0

**** ,,,

xLxLxL



• Pagal Kuno ir Takerio teoremą, funkcijos minimumas

randamas kaip Lagranžo funkcijos balno taškas šiomis Kuno ir

Takerio sąlygomis (kai ir yra diferencijuojamos

funkcijos, ir ):

xfz

xf

xg i

0*x

0*

0,

jx

xL

,,1 nj 0,

i

xL

;,1 mi

0,

jj

x

xLx

,,1 nj 0,

ii

xL

;,1 mi

0jx ,,1 nj 0i .,1 mi



• Ieškant funkcijos maksimumo, keičiasi tik šios Kuno ir

Takerio sąlygos, o kitos lieka analogiškos:xf

0,

jx

x

nj ,1

0,

i

x

mi ,1

Netiesinio programavimo uždavinių sprendimas

tiesiniais metodais

• Yra būdų kai kuriems iškiliojo programavimo uždaviniams spręsti tiesiniais metodais. Tuomet uždavinio sąlygos (apribojimai) išreiškiami tiesinėmis lygybėmis ir nelygybėmis.

• Šiuo atveju taikomas kvadratinis ir separabilusis programavimas

Kvadratinis programavimas

• Kvadratinio programavimo uždavinio tikslo funkcija yratiesinės ir kvadratinės formų suma:

• Koeficientų matrica yra n eilės kvadratinė simetrinėmatrica. Koeficientams keliami tam tikri reikalavimai.

n

j

n

k

n

j

jkkjjj xxdxcxf1 1 1

.

Separabilusis programavimas

• Separabilusis programavimas. Šiuo metodu galima spręsti daugiau uždavinių, nes netiesinė funkcija gali būti ne tik tikslo funkcija, bet ir ribinės lygtys. Metodas pagrįstas visų funkcijų tiesine aproksimacija. Taip gaunamas tik sąlygiškai optimalus sprendinys. Tačiau to dažnai pakanka.

• Separabiliojo programavimo tikslo funkciją sudaro n kintamųjų tikslo funkcijos:

nn

n

i

ii xfxfxfxfz ...minmax 2211

1

Netiesinio programavimo uždavinių sprendimas

tiesiniais metodais

• Matematinio programavimo metodais vis dažniau sprendžiami įvairūs mokslo ir praktinės veiklos uždaviniai.

• Pateiktų kai kurių metodų gilesnis teorinis ir praktinis įsisavinimas leidžia spręsti statybos procesų optimizavimo uždavinius, įgyvendinti gautus rezultatus praktinėje veikloje ir gauti ekonominį efektą. Norint šiuos metodus įsisavinti giliau rekomenduojama literatūra, išleista Lietuvoje ir kitose šalyse.

1. statybos procesŲ reikŠmĖ ir vieta investiciniŲ … procesu... · 2018-10-04 ·...

Documents