1° sececundari

I. E. P. “SAN VICENTE” 1º DE PRIMARIA

1) PRODUCTOS NOTABLES II

2) SIVISION ALGEBRAICA I

3) DIVISION ALGEBRAICA

4) COCIENTES NOTABLES

5) FACTORIAZACION I

6) FACTORIZACION II

7) ECUACION DE 1ER GRADO

1

TEMARIO


PRODUCTOS NOTABLES II

Recordando las identidades de

productos notables.

BINOMIO AL CUADRADO

1) ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

2) ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

DIFERENCIA DE CUADRADOS

3) ( a + b ) ( a - b ) = a2 – b2

BINOMIO AL CUBO

4) (a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab 2 + b3

(a + b )3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)5) ( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 – b3

( a - b )3 = a3 - b3 - 3ab (a - b)

SUMA DE CUBOS

6) a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

DIFERENCIA DE CUBOS

7) a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

TRINOMIO AL CUADRADO

8)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac =a2+b2+c2+2(ab +bc +ac)

TRINOMIO AL CUBO

9)(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b).(b+c).(a + c)

IDENTIDADES DE LEGENDRE

10) (a + b)2+(a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 - (a – b)2 = 4ab

MULTIPLICACIÓN DE DOS

FACTORES CON UNA VARIABLE EN

COMÚN

11) (x+a)(x+b) = x2 + (a + b)x + ab

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1) Si: a + b = 11, a2 + b2 = 7, halla el valor de “ab”.

A) 60 B) 17 C) 56D)57 E) 18

2) Si: a – b = 8 y ab = 4, halla el valor de a2 + b2.

A) 30 B) 36 C) 18D) 54 E) 72

3) Si: a2 - b2 = 24 y a + b = 6, halla el valor de (a-b)2.

A) 16 B) B)8 C) 12D)D)26 E) 24

4) Calcula el valor de: L =

(1+ )2 – (1- )2

A) 2

B) B)3

C) 4D)0 E) 1

5) Si: a + b = 3 y a . b = 1. Halla el valor de “a3 + b3”.

A) 16 B) 18 C) 14D) 20

2


E) 26

6) Si: a + b = 3 y a . b = 2. Halla el valor de “a4 + b4”.

A) 13 B) 15 C) 17D) 19 E) 21

7) Efectúa:

A) 1 B) 2 C) 3D) 4E) 5

8) Si: , calcula el valor de:

A) 21 B) 33 C) 41D) 23 E) 31

9) Si:

Halla el valor de: “x3 - x-3”

A) 120 B) 140 C) 160D) 180 E) 200

10)Simplifica:

A) 1 B) 2 C) 3D) 4

E) 8

11)Si : a + b + c = 10, a2 + b2 + c2 = 40

Calcula el valor de:

P = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2

A) 10 B) 120 C) 140D)180 E) 160

12)Simplifica:

A) 0 B) 1 C) 2D) 3E) 4

ACTIVIDAD DOMICILIARIA

1. Si: a + b = 2, a. b = 1; calcula el valor de a2 + b2

A) 4 B) 2 C) 6D) 3E) 1

2. Simplifica:

A) x + y

B) x-y

C) 1

D)x

E) 5

3


3. Reduce la expresión:

A) 1 B) x-2 C) xD) -1 E) 3

4. Reduce:

A) x-1 B) x-2 C) x+2D) 1 E) -1

5. Simplifica la expresión:

A) 1 B) x C) x+yD) x-y E) 0

6. Reduzca:

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 5

7. Si: a + b = 5, a . b = 6, halla el valor de a3 + b3. A) 25 B) -25

C) -27D) 27E) 35

8. Si: a – b = 3, a3 . b3 = 117, halla el valor de “a.b”.

A) A)-6 B) 15 C) 10D) -10 E) -18

9. Si: , calcula el valor de “a2 + a-2”.

A) 7 B) 2 C) 5D)-9 E) 3

10. Si: , halla el valor

de:

A) -2 B) -4 C) -6D) 18 E) -10

11. Si: a + b + c = 2,

a2 + b2 + c2 = 6

Halla el valor de:

Q = ab + bc + ac

A) 1 B) -1 C) 2D) -2 E) ½

12. Simplifica:

A) 0 B) 1

4


C) 2D)3

E) 4

DIVISIÓN ALGEBRAICA DIVISIÓN ALGEBRAICA

División algebraica es la operación que consiste en obtener una expresión llamada cociente y otra llamada residuo, conociendo otras dos llamadas dividendo y divisor.

Así tenemos:

D dDónde :

r qD : dividendo

d : divisor

q : cociente

r : residuo

Nota Importante: En toda división la nomenclatura de grados es:

1. D° = grado de dividendo2. d° = grado de divisor3. q° = grado de cociente4. r° = grado de residuo o resto

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

1. D = dq ó

r = 0

2. Si la división es exacta, se obtiene un cociente exacto y el residuo de la división es un polinomio idénticamente nulo.

3. Si la división es inexacta se obtiene un cociente completo y el residuo de la división no es un polinomio idénticamente nulo.

D = d . q + r ó D = q + r/d

r ≠ 0

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN

1. q° = D° - d°

2. En toda división el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor. D° ≥ d°

3. En toda división, el grado del dividendo es mayor o igual que el grado del divisor : d° > r°

4. En toda división el grado del divisor es mayor que el grado del resto. r máximo = d° - 1

5. En toda división el grado máximo del resto es igual al grado del divisor menos 1

6. En el caso de polinomios homogéneos el grado del resto es mayor que el grado del divisor : r° > d°

7. En el caso de polinomios homogéneos no se cumple la propiedad 4

CASOS DE LA DIVISIÓN

A) DIVISIÓN TRADICIONAL

B) DIVISIÓN DE LOS MONOMIOS

Se aplica la regla de los signos en la división de signos.

Se dividen los coeficientes Se dividen las variables aplicando

teoría de exponentes.

5


Ejemplo. Divida:

efectuando tenemos :

Se divide cada uno de los términos del monomio, separando los coeficientes parciales en sus propios signos, efectuando tenemos: S = -8x3 y2 z2

C) DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO:

Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio, separando los coeficientes parciales en sus propios signos.

Ejemplo. Divida:

Solución:

Dividiendo cada término del dividendo entre el divisor, tenemos :

Efectuando tenemos :

K = 9 x2 y2 – 5x4 y4 z2 + 11x10 y7z4

D) DIVISIÓN ENTRE POLINOMIOS

En este caso se pueden usar cualquiera de los siguientes métodos :

1. Método clásico o normal2. Método de coeficientes

separados3. Método de Horner4. Método de Ruffini

1) Método Clásico Se ordena los polinomios, generalmente en forma decreciente.

Se escribe en línea horizontal uno a continuación de otro utilizando el signo de división aritmética.Se divide el primer término del dividendo, entre el primer termino del divisor, obteniéndose el primer término del cociente.Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan a restar con los correspondientes términos del dividendo.Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtienen el segundo término del cociente.

Ejemplo: Halla el cociente en la siguiente división:

Solución: Ordenamos ambos polinomios en forma decreciente, la operación se dispone en la forma siguiente:

6x5 – 21x4 – 13x3 + 25x2 – 12x + 7

3 x4 + 0 x3 + 0 x2 – 2x + 1

- 6x5 – 0x4 – 0x3 + 4x2 – 2x

2x - 7

21x4 – 13x3 + 29x2 – 14x + 721x4 + 0x3 + 0x2 – 14x + 7-13 x3 + 29 x2 –

28x + 14

Donde : cociente ( q ) = 2x – 7Residuo ( r ) = -13x3 + 29x2 – 28x + 14

2.- MÉTODO DE HÓRNER.- Es un

método que se aplica para polinomios

de cualquier grado.

Procedimiento:

6


Los coeficientes del dividendo se

escriben en forma horizontal.

Los coeficientes del divisor se

escriben en forma vertical.

Al primer coeficiente del divisor

no se le cambia de signo en su

posición a ubicarse, a los

siguientes coeficientes se les

cambia de signo.

Para hallar el grado del cociente

y del resto se utilizan las

propiedades vistas

anteriormente.

Se traza el siguiente esquema:


1) Efectúa la división de monomios:

Da como respuesta la suma de sus exponentes

A) 2a+b+1 B) a+b C) a+b-1D)3a-3b+3 E) 2a+2b-3

2) Reduce la expresión:

A) a.b B) a+b C) (a+b)2

D) 2a.b E) a2+b2

3) Halla el cociente de la siguiente división:

A) y+5 B) y2+3 C) y+3D) -10y+14 E) 10y+14

4) Efectúa la división:

Indica el residuo

A) x+1 B) 2x-1 C) x-3D) -2x E) -2x+3

5) Efectúa la siguiente división:

Indica el cociente

A) x2+x-1 B) x2-1 C) 2x2+x-1D) x+11 E) 2x2+2x-1

6) Halla el residuo de la siguiente división:

T=3 X5+2 X4+5 X2+4 X+1X3+X2+1

A) x2+3x+1 B) x2 +3x C) x2-3xD) x2+5x

7

residuo Cociente

Divisor

D i v i d e n


E) x2-5x+1

7) Halla el residuo de la división

A) 28x2+3x B) B)-16x2+2x C) x2-2D) -28x2+24x-16 E) 16x2+3x-2

8) Calcula el valor de “A+B”, en la división exacta:

A) 23 B) 64 C) 25D) 26 E) 27

9) Halla el valor de “m + n”, si la división:

,

es exacta

A) -9 B) -7 C) -5D) -3 E) -14/3

10) Si al dividir

, deja un resto: -25x + 21. Halla el valor de “a - b”

A) -2 B) 0 C) 2D) 1 E) -1


1) Halla el cociente de la siguiente

división:

A) x-2 B) x+2 C) x-1D) 2x-3E) 2x+3

2) Halla el residuo de la división:

A) Z2+1 B) -2 C) 4ZD) -6E) 4Z-6

3) Divida:

, indica el cociente

A) 2x2+4x-1 B) 2x2+4x+3 C) 3x2+4x+1D) 2x2+4x-3 E) 3x2-4x-1

4) Efectúa la división:

, indica el resto o residuo

A) 2x+1B) 3x+2 C) x+3D) 3x-1E) 4x+6

8


5) Halla el resto en:

A) 2x2+5x

B) x-1

C) 1

D) 0

E) 2

6) Halla el resto al dividir:

A) x-6B) 11x+6 C) 1x+6D) 2x+3E) 11x-6

7) Indica la suma de coeficientes del

cociente al dividir

Q=6 X 4+7 X3−3 X2−4 X+63 X2+2 X−1

A) 2 B) 4 C) 8D)0 E) -2

8) Halla el valor de “A+B”, si la

siguiente división:

, es exacta

A) 1 B) 2 C) 3D)4

E) 5

9) Determina “m+n”, para que la

división:

, sea exacta

A) 17 B) 18 C) 19D) 20 E) 21

10) Determina el valor de “A +

B”, s i la división:

, deja como resto:4x+5

A) 45 B) 46 C) 47D) 48 E) 49

9


DIVISION ALGEBRAICA 1.- MÉTODO RUFFINI.- Es un método que nace del método de Horner y es aplicable solo si el divisor es de grado 1.

El esquema es igual al método Horner, pero no así su procediendo.

Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces uti l izamos un método más breve para hacer la división, l lamado regla de Ruff ini .

Ejemplo 1.

Resuelva por la regla de Ruff ini la división:(x4 −3x 2 +2) : (x −3) * Si el pol inomio no es completo,

lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

* Colocamos los coeficientes del dividendo en una l ínea.

* Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.

* Trazamos una l ínea y bajamos el primer coeficiente.

Así el esquema y procedimiento concluido será:

Ahora ud. estudiante debe completar:

Q (x) =R (x) =

Ejemplo 2. Divida: (x3 + 2x +70) : (x+4)

Resolución:

Cociente: x 2–4x+18; Residuo:-2

2.-TEOREMA DEL RESTO.- Es un método que sirve para hallar el resto de forma rápida.Procedimiento:

10


El divisor se iguala a cero y se despeja la variable

Dicha variable se reemplaza en el dividendo y se halla un resultado

Dicho resultado es el resto obtenido


1) Calcula el residuo al dividir:

E= x4−3 x2+2x−3

A) 36 B) 46 C) 56D) 48 E) 52

2) Halla la suma de coeficientes del cociente, luego de dividir:

(x5 - 2x2 - 3) : (x -1)

A) 1 B) 2 C) -2D) -1 E) 3

3) Halla el residuo en:

A) 104 B) 180 C) 195D) 205 E) 305

4) Calcula el cociente al dividir:

A) x2-1

B) B)x2+1 C) x2+3D) x-3 E) 2x-1

5) Halla el valor del residuo al dividir:

A) 3670 B) -3680 C) -4200D) 2660 E) -2990

6) Halla el término independiente del cociente al dividir:

A) 1B) 2 C) –1D)-2E) 4

7.- Halla la suma de coeficientes del cociente al dividir:

A) 13B) 17 C) 12D) 15E) 16

8.- Halla el resto en la siguiente división:

11


A) -1B) -3 C) -2D) 4E) 5

9.- Halla el resto al dividir:

A) 15/4B) 4/15 C) 3/15D) 15E) 4

10.- Halla el resto luego dividir:

A) 10B) 20 C) 30D) 40E) 50

11.- Halla el resto luego dividir:

A) 9B) 16 C) 23D) 32E) 47

12.- Halla el resto al dividir:

A) x+11B) 14x+11C) 2x-11D) x-11E) x2+1


1) Halla el residuo luego de dividir:

A) -1B) -2 C) 1D) 2E) 3

2) Halla el cociente de:

A) 2x3+x2+6x

B) 2x3-x2-7

C) 2x3+x2-7

D) 2x3+1

E) 2x3-x2+6x-7

3) Divida :

Indica el cociente

A) x2+3x

B) 2x2+3x+2

C) 9x2+15x+51

D) x2+x+1

E) x2-x+5

4) Calcula el residuo al dividir:

(2x3-6x2+3):(x-1)A) 1B) -1 C) 2D) -2E) 0

5) Hal la la suma de coeficientes del cociente:

12


A) -22B) -20 C) -18D) -16E) -14

6) Hal la la suma de coeficientes del cociente al dividir:

A) 1B) 2 C) 3D) 4 E) 7

7) Calcula el resto al dividir:

A) 1/8 B) 7/8 C) -7/8D) 1/2 E) 2

8) Hal la el resto de dividir:

A) 1 B) -1 C) 0D) 2 E) -2

9) Hal la el resto de dividir:

A) 11 B) 14 C) 18D)22 E) 24

10) Hal la el resto luego de dividir:

A) 21 B) 22 C) 24D)26 E) 28

COCIENTES NOTABLES

DEFINICIÓN.- Son aquellos cocientes que sin efectuar la operación de división, pueden ser escritos por simple inspección. Los cocientes notables son cocientes exactos.

EJEMPLOS:

a3+b3

a+b=a2−ab+b2

a3−b3

a−b=a2+ab+b2

13



1. SI EL COCIENTE NOTABLE

X30−Y m

xn− y2

Tiene 10 términos, hallar el valor de m + n.

A) 23B) 21C) 25D)35E) 50

2. Si el C.N tiene 9 términos en su desarrollo.

am−2−bn+5

a3−b2

Calcular √m−nA) 1B) 3C) 7D)4E) 5

3. Si N es el número de términos que genera el desarrollo de cociente notable.

x3a−1− y5a+5

x5− y10

Indicar el valor de: a + N

A) 7B) 9C) 11D) 12E) 28

4. Hallar el vigesimotercer término del desarrollo cociente:

x120− y96

x5− y4

e indicar la suma de sus exponente

A) 91B) 93

C) 95D) 97E) 99

14



1) Desarrolla:

x4− y4

x− y2) Desarrolla:

32−a5

2−a3) Desarrolla:

64+ y3

4+ y4) Efectúa

x6−a6

x−ay halla el resto y el cociente(notable) de dicha división

5) Efectúa y halla el penúltimo término

x7+a7

x+a6) Completa:

6.1) En número de términos a obtenerse en un cociente notable es: ……………

6.2) Cuando el signo central del divisor es negativo, entonces todos los términos del desarrollo del cociente notable serán ………….

7) ¿Existe el siguiente cociente notable? Demuéstra

x8+256x−2

8) Demuestra porque en el cociente notable:

xn− y n

x+ y “n” tendrá que ser par

15


16

TEMARIO


8) DISTRIBUCIONES NÚMERICAS.

9) SERIES

10) SUMATORIAS

11) FACTORIALES

12) CUATRO OPERACIONES I

13) CUATRO OPERACIONES II

14) FRACCIONES I

DISTRIBUCIONES NUMERICAS


1. Señale que número falta en las siguientes figuras:

5

8

2

9

4

32

?

Respuesta………………..……..

2 12 4 8 54 8 6


8 ?

10 2522

7


25

4

7 109

18

15

13

¿?


553

3102

6

4

4 4

17


2. En cada distribución calcula el valor de “x”.

17


6 9 68 13 104 11 x


50 60 8030 40 10x 10 9


14 8 612 x 1316 15 9


112 211 0341 121 4243 232 x


12 13 1412 11 10x 6 6


3. Calcula el valor de x:

a.3 4 74 x 15 1 8

a) 5 b) 6c) 9d) 3 e) 7

b.10 13 2015 12 24x 19 26

A) 10B) 12 C) 18D) 16 E) 14

c.

25 5 2414 x 3421 10 40

A) 14B) 23C) 15D) 2E) 16

d.1,4 3,2 5,83,2 5,3 4,3x 3,5 1,9

A) 7,4B) 8,4C) 6,4D) 5,4E) 7,14

e.

13 13 052 13 318 16 x

A) 5B) 4C) 12D) 2 E) 3

f.

25 13 2255 14 3217 x 9

A) 12B) 16C) 10D) 9 E) 15

g.

3 10 86 30 162 3 x

A) 6B) 2C) 5

18


D) -3E) 8

h.5 9 173 5 94 7 x

A) 16B) 18C) 13D) 20E) 22

i.3 2 2 104 3 2 143 1 4 x

A) 18B) -10C) 20D) 24E) 21

j.40 3 1110 4 65 2 x

A) 1B) 3C) 4D) 2E) 5


1. En cada distribución calcula el valor de “x”.

a.6 8 21

10 14 362 4 x

A) 17B) 15C) -2D) 9E) 8

b.

3 12 2748 75 108147 192 x

A) 243B) 282C) 181D) 81E) 109

c.20 94 516 90 622 x 9

A) 206B) 200C) 192D) 196E) 256

d.5 7 96 8 x

11 15 13

A) 9B) 8C) 4D) 5E) 6

e.

326 291 256129 227 325258 x 464

A) 361B) 350C) 286D) 320E) 540

2. Halla el número que falta en las siguientes figuras:

a.

8

9

15

12

20

12

16

16

48

19


A) 1B) 26C) 32D) 2 E) 0

b.

5 86

1628 24

322

13

7

A) 385B) 264C) 129D) 369E) 345

c.

8 755

4

3

12

12 9

2

14

49

A) 81B) 49C) 64D) 100E) 25

d.

8

758 4

6

9

A) 8B) 7C) 6D) 5E) 4

e.

96

14

20 42 3830

x

A) 10B) 7C) 1D) 3E) 5

f.

9

2

24 1712 18

4 3

1511

19

A) 8B) 9C) 6D) 4E) 12

g.

9 3

7

x

12

36

21

27

3

A) 18B) 24C) 6D) 3E) 9

h.

4 7

5 2 17

2

22

5

18

3 3

x1 28

A) 4B) 8C) 28D) 19

20


E) 14

i.

2 5

192

6 16

320

4

A) 28B) 24C) 18D) 16

E) 20j.

63 0 45 78 32

A) 10B) 12C) 8D) 6E) 4

k.

12

11 1314

10

203?

10

20515

A) 30B) 7C) 17D) 13E) 18

l.

124

616

24

A) 46B) 60C) 63D) 48E) 50

m.

25 8

31

16 12

31

49

9

9

17 32

A) 30B) 29C) 31D) 33E) 35

Series EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Calcula el valor de:

S = 1 + 2 + 3 + 4 +... + 100 A) 5150B) 5050C) 5005D) 5500 E) 5550

2. Halla la suma en:

S = 1 + 3 + 5 + 7 +...+ 39

A) 380B) 390 C) 400D) 410 E) 420

21


3. Halla el valor de:

S = 2 + 4 + 6 + 8 +...+ 60A) 1860B) 840C) 660D) 390 E) 930


S = 12 + 22 + 32 +…+ 202

A) 44 100 B) 43 100C) 42 100D) 88 200 E) 2 870

5. Determina el valor de:

S = 13 + 23 + 33 +…+ 293

A) 178 225B) 188 225C) 189 225D) 187 225E) 190 225

6. Calcula:

S = 10 + 20 + 30 + 40 +…+ 700

A) 24 850B) 5 840C) 25 840D) 24 840E) 26 850

7. Halla el valor de "n", si:

1 + 3 + 5 + 7 +... + n = 2500

A) 100B) 90C) 80D) 88 E) 99

8. Calcula el valor de "n", si:

1 + 4 + 9 + 16 +... + n = 4900

A) 24

B) 676 C) 576D) 729 E) 529

9. Halla la suma en:

S = 3 + 8 + 13 + 18 +….+ 503

A) 25 553B) 26 553C) 25 536D) 25 653 E) 26 663

10. Halla el valor de "x", si:

x +...+ 75 + 77 + 79 = 1200

A) 29 B) 39 C) 40 D) 41 E) 28

11. Calcula la suma de:

4 + 12 +36 + 108 + 324 +… (20 sumandos)

A) 2(302+1)B) (302+1)C) 2(302-1)D) 2(3020-2)E) 2(3020-1)

12. Determina el valor de "A + B" si:

A = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ 20B = 13 + 23 + 33 + 43 +...+ 103

A) 3 025B) 3 100C) 3 125D) 3 200 E) 3 235

13. Halla la siguiente suma:

S = 1 + 3 + 5 + 7 +... (15 términos)

A) 215B) 225C) 255

22


D) 265 E) 275

14. Halla el valor de "R - S" si: S = 1 + 3 + 5 +...+ 31

R = 2 + 4 + 6 +...+ 32

A) 14 B) 15C) 16D) 17 E) 18

15. Halla el valor de “M – N” si:

M = 12 + 22 + 32 + 42 +...+ 202

N = 10 + 20 + 30 +...+ 200

A) 470B) 570C) 670D) 770 E) 870

16. Calcula la suma en:

S = 21 + 22 + 23 +…+ 40

A) 540B) 610C) 640D) 720 E) 820

17. Determina el valor de “E”.

E = 9 + 16 + 25 + 36 +... (10 términos)

A) 645B) 655C) 675D) 695 E) 725

18. Encuentra el valor de la siguiente suma:

S = 25 + 27 + 29 +…+ 49

A) 460B) 472 C) 481D) 492 E) 540

19. Calcula el valor de "a" en: (a+1) + (a+2) + (a+3) + … = 630 +10a

20 términosA) 20B) 21C) 42D) 54 E) 84

20. Halla el valor de “B”.

B = 0,1 + 0,4 + 0,9 +…+ 22,5

A) 120B) 124C) 132D) 140 E) 156

21. Halla el valor de la siguiente suma:

0,01 + 0,03 + 0,05 +...+ 0,39

A) 4B) 8C) 12D) 16 E) 20


1. Calcula:

S = 12 + 22 + 32 +...+ 202

A) 44 100B) 43 100C) 42 100D) 88 200 E) 2 870

2. Halla la suma “S”, en:

S = 13 + 23 + 33 +…+ 293

A) 178 225B) 188 225C) 189 225D) 187 225 E) 190 225

3. Calcula el valor de “S”.

23


S = 10 + 20 + 30 + 40 +…+ 700

A) 24 850B) 5 840C) 25 840D) 24 840E) 26 850

4. Encuentra el valor de “S”.

S = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ 100

A) 5150B) 5050C) 5005D) 5500 E) 5550

5. Calcula la suma:

S = 1 + 3 + 5 + 7 +... + 39

A) 380B) 390C) 400D) 410 E) 420

6. Determina el valor de “S”.

S = 2 + 4 + 6 + 8 +... + 60

A) 1 860B) 840C) 660D) 390 E) 930

7. Halla el valor de la suma:

S = 2 + 6 + 10 + 14 + 18 +...+ 70

A) 645B) 648C) 645D)644 E) 650

8. Encuentra el valor de:

F = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...+ 31

A) 480B) 456C) 496D)694 E) 765

9. Halla el valor de “x”:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...+ x = 210

A) 10 B) 11C) 16D) 20 E) 24

10. Si a la suma de los 20 primeros múltiplos de 7, les restamos, la suma de los 20 primeros números múltiplos de 5 se obtiene:

A) 400B) 260C) 420

D) 300 E) 100

11. Calcula el número de términos en la siguiente serie:

S = 9 + 11 + 13 + 15 +...+ 51

A) 20B) 23C) 24D) 25 E) 22

12. Halla el valor de la serie:

V = 2 + 4 + 6 + 8 +...+ 220

A) 12 200

B) 12 210C) 12 101D) 11 000 E) 12 000

13. Calcula el valor de la serie:

S = 2 – 1 + 4 – 2 + 6 – 3 + 8 – 4 +...

A) 50B) 52C) 55D) 60 E) 65

14. Determina el valor de “x” en la serie:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 +... + x = 625

24


A) 45 B) 44 C) 49D) 47 E) 50


E = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 +...+ 169

A) 700B) 819C) 400D) 800 E) 450

SUMATORIASEJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Calcula la suma de cifras del resultado:

∑K=1

335

K

A) 19B) 31C) 24D) 27E) 29

2. Efectúa:

T=∑i=4

7

i( i−1 )

A) 128B) 168C) 148D) 178E) 198


∑k=i

18

3 k

A) 518B) 513C) 418D) 712E) 716


∑a=1

11

8a ²

A) 4048B) 4262C) 4804

D)4903E) 5102

5. Halla el resultado de efectuar:

F=√6∑k=1

25

( k )+75

A) 40B) 45C) 90D)62E) 60


S=5∑k=1

20

(k )−7∑p=1

15

( p )

A) 200B) 210C) 0D)426E) 320

7. Halla el valor de “n”

∑k=1

n

2k ²=1300

A) 13B) 11C) 14D)12E) 15

8. Efectúa:

∑k=1

10

(3 k+5)

A) 165

25


B) 115C) 215D)225 E) 120


∑k=7

12

(2k−3 )

A) 96B) 156C) 60D)216 E) 84


∑k=10

20

(9k ²−7 )

Da como respuesta la suma de sus cifras.

A) 20B) 21C) 22D)24E) 28

11. Efectúa:

∑k=1

10

(7 k ²−3 k+2)

A) 2500B) 2600C) 2550D) 2480E) 2800


∑k=1

10

(4k ³+2k−7 )

A) 12100

B) 12240C) 1200D) 1210 E) 12600

13. Efectúa:

∑k=1

10

x ²+∑a=1

20

a ²

A) 3245B) 3255C) 3455D) 3135E) 3745

14. Calcula el valor de la expresión:

S=∑k=1

3

k4+ ∑k=1

4

k ³+∑k=1

5

k ²

A) 580B) 321C) 200D) 268E) 253


M=∑a=9

200

a− ∑a=21

200

a−∑a=1

18

3

∑a=1

50

3a−3 (∑a=16

50

a)+

∑k=1

n

k ²− ∑k=11

n

k ²

∑k=1

10

8k ²−5∑k=1

10

k ²

A) 2B) 2/3C) 3D) 1/5 E) 2/5


E =( 1+3+5+7+. . .. ..+512+4+6+8+ .. .. .+50 )×25

A) 25 B) 20

26


C) 67D) 26 E) 100


E = 13+23+33+ .. .. . .+133

12+22+32+. .. . .+132

A) 91/8B) 91/5C) 91/9D) 90/7 E) 98/5


1. Determina el número de sumandos que se obtiene al desarrollar:

∑k=4

32

ak

A) 30B) 31C) 32D) 29 E) 28


∑k=9

15

(4 k+6 )

A) 888B) 666C) 660D) 480E) 650

3. Indica el valor de “A”, siendo:

A=∑k=3

8

( k−5 ) ²

A) 19B) 18C) 20D) 21 E) 42


S=∑k=1

4

(2k−5 ) ²

A) 25B) 24C) 29D) 18E) 20

5. Efectúa:

∑a=8

22

(3a−1)

A) 680B) 690C) 610D) 660E) 670


∑k=1

10

(3 k ²+2k−5 )

A) 720B) 660C) 1440D) 700 E) 1215


∑k=1

15

(2k ³−3 k ²)

A) 28 800B) 25 080C) 30 840D)20 760E) 24 600

8. Halla el resultado de:

27


∑k=1

10

(20k ³−10k ²)

A) 60 500B) 38 500C) 50 560D)56 650E) 36 000

9. Determina el valor de:

∑k=1

10

(3 k ²−15k ³)

A) 500B) 550C) 450D)555E) 650

10. Efectúa:

∑k=12

22

k ²+∑k=8

44

(2k−1)

A) 4 960B) 4 230C) 4 980D)4 970E) 4 520

11. Recordando que:

∑k=1

n

(k )=n (n+1)

2;

Calcula el valor de:

∑k=1

50

(k )+ ∑p=1

40

( p )

A) 1 275B) 3 042C) 62 053D)2 095E) 48 762

12. ¿Cuál es el valor de la expresión?

R=∑k=1

9

2k?

A) 1 022B) 1 024C) 1 023D)1 021E) 1 025

13. ¿Cuál será el resultado de efectuar?

M=∑k=2

41

k ²−1?

A)

62120

B)

2140

C)

43

D)

60121

E)

13120

14. Calcula el resultado de desarrollar:

E=∑k=1

4

( 1k)

A) 4B) 25/12C) 1/9D)4/9 E) 2/9

15. Encuentra la mayor sumatoria:

I) ∑k=1

29

kII)

∑y=1

22

2 yIII)

∑z=1

11

7 z

A) IB) IIC) IIID) Todas E) Ninguna

28


FACTORIALESFACTORIAL DE UN NÚMERO ENTERO

El factorial de n es el producto de los n primeros números naturales no nulos. Se simboliza por “n!”

Ejemplos:

2! = 1 x 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

OJO:

0 !=1

PROPIEDAD

n !=n (n−1 )! Ejemplo:

5! = 5 x 4! 8! = 8 x 7 x 6!


1. Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

a.

E=5 ! +6 ! +7 !5 ! + 6 !

A) 5B) 6C) 7D) 8E) 9

b.

F=15 ! + 16 !15 ! + 16 ! + 17 !

A) 1

17

B) 1

15

C) 1

16

D) 13

E) 12

c.

B = [ 4 ! x 15 !

7 ! x 13 ! ]3!

A) 1B) 64C) 16D) 32E) 128

d.

M =

n !+( n−1)!( n+1)!

A) n + 1B) n-1

C) n - 1D) 2n + 1E) 2n - 1

2. Calcula la suma de los valores que toma “x” en:

(x – 5)! = 1

A) 5B) 6C) 7

29

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x....x (n – 1) x n


D) 10E) 11

3. Si se sabe que:

V nk= n!

(n−k )!Halla el valor de:

E=V 10

2x V 8

3

V75

A) 10B) 11C) 12D) 13E) 14

4. Reduce:

E=a !+( a−1 )!+(a+1 )!

a! + (a+2 )!− a(a−1)! . (a+2)!A) aB) 1/2C) 1/aD) a!E) a - 1

5. Halla el valor de “x” en:

( x+6 )! . (x+8 ) !( x+6 )! . (x+7 ) !

=12

A) 2B) 3C) 4D)5E) 6

6. Resuelva la ecuación:

( x+5)!( x+3)!

=156

A) {6}B) {7}C) {8}

D){9}E) {10}

7. Halla el valor de “n” si:

[ (n! + 2)! – 4]! = 20!

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

8. Sabiendo que:

a = 2 x 2! y b = √4 ! + 0 ! Calcula el valor de E, si:

E = (a.b) b – a

A) 20B) 9C) 15D) 4E) 16

9. Efectúa:

3!2 ! 0 !

- 2!3 ! 1 !

A) -32 B) -24 C) -28D) -42 E) 8

10. Reduce:

( a+1)! + a !(a−1)! + (a−2)!

A) a2+2a+1B) a2-3a+2C) aD)a2+a-2 E) a2-a+2

11. Efectúa:

[ ( ( 1! + 1 ) ! + 1 ) ! +1 ] ![ ( ( 0 ! + 0 ) ! + 0 ) ! +0 ] !

30


A) 1B) 0C) 6D)5040E) 5!

12. Simplifica:

E=( x−n−1 )! . (n+1 )!

( x−n)! . n!

A)

n+1x−n

B)

1n

C)

x+nx−n

D)

1−xnx

E)

n+1x+n


1. Halla el valor “x”, si:(x 6)! = 1

A) 5B) 6C) 7D)8E) 6 ó 7


E=16 ! + 17 !16 ! + 17 ! +18 !

A) 1/15B) 1/18C) 17D)15E) 31

3. Efectúa:

E=20 ! + 21 ! +22!20 ! + 21 !

A) 12B) 14C) 16D)22E) 20

4. Expresa “E” como factorial:

E = 3 x 6 x 9 x 12 x … x (3n)

A) 3n x n!B) 3! x nC) 3! x n!D)n! x 3n

E)

n !3

5. Simplifica:

E=2 ! (3! )! ((4 ! )! )! (((5 ! )! ) ! )!

6 !(24 ! )! ((120 ! )! )!A) 1B) 2C) 3D)16 E) 64

6. Halla el valor de “n”:

(n ! + 1) !−(n ! )!(n! )!− (n!− 1)! x (n !−1)

=6 (n ! )

A) 1B) 2C) 3D)4 E) 6

7. Efectúa:

E=1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 !6 !− 5 !

A) 64B) 64/5C) 24/5D) 192/5 E) 32/5


31


C=[n x (n−2 )!− (n−2)!] n

(n−1 )!

A) 1B) n2

C) n!D) n E) 2

9. Hallar: A + B

A=10! 12!9! 11!

B=1! 2! 3! 4 ! 5 !6 !

A) 72B) 168C) 480D) 158E) 240

10. Resuelva la ecuación:(n+3 )! x (n+5 )!(n+3 )! + (n+4 )!

=120

A) {0}B) {1}C) {2}D) {3}E) {4}

11. Si: (n + 3)! = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n

Calcula los valores de “n”:A) 1 ; 5B) 1 ; 3C) 2 ; 1D) 2 ; 3E) 2 ; 5

12. Simplifica:

n ! + (n+1)! +(n+2 )!n ! +(n+1 )!

, n∈Ν

A) nB) n + 1C) n + 2D) n – 1 E) n + 3

13. Calcula: (m + n)

(120 ! +1 )!−((5 ! )! )!(120 !−1 )!

=((n!)! )m

A) 7B) 5C) 25D) 14E) 4

14. Reduce:

E=2 ! . 3! . 4 ! . 5 ! .. .. 79 ! . 80 !

279 x 378 x 477 . .. .792 x 80

A) 1/2B) 1/4C) 280

D) 1E) 1/80

CUATRO OPERACIONES IEJERCICIOS PARA LA CLASE

32


1. Si a la cantidad que tengo lo multiplico por 5, lo divido luego por 15, al cociente lo multiplico por 4 y añado 32, entonces tendré 80 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente?

A) 36 solesB) 38C) 40D) 34 E) 32

2. Pienso en un número lo divido entre 7 lo elevo al cuadrado le agrego 41, se le extrae la raíz cuadrada y finalmente le resto 6 dándose como resultado 15. ¿Qué número pensé inicialmente?

A) 150B) 98C) 105D) 133E) 140

3. A un número se le multiplica por 5, se le resta 18, se multiplica por 4, se le divide por 8, se eleva al cuadrado, se le resta 40 y se le extrae raíz cúbica, obteniéndose 6. Hallar dicho número.

A) 9B) 10C) 8D) 11E) 12

4. A la cantidad de soles que tengo le añado 10; al resultado lo multiplico por 3 y le aumento 9; al número así obtenido le extraigo la raíz cuadrada, al resultado le suma 12, para finalmente dividirlo entre 3 y obtener 7 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente?

A) 10 solesB) 12C) 14D) 16 E) 18

5. Un número se triplica, el resultado se aumenta en 4, al resultado se le extrae, la raíz cuadrada y por último se le disminuye 10, quedando 0. ¿Cuál es el número inicial?

A) 36B) 32C) 10D)500E) 48

6. Un número se divide entre 2, el resultado se eleva al cuadrado, al resultado se le aumenta 25 y al resultado se le extrae la raíz cúbica obteniéndose 5. ¿Cuál es el número inicial?

A) 18B) 100C) 125D)20

33


E) 25

7. El profesor de razonamiento matemático divide entre 4 el número de alumnos, al resultado le suma 2, luego se extrae la raíz cuadrada, al número así obtenido le suma 2 y finalmente lo eleva al cubo obteniendo 125. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?

A) 56B) 72C) 28D)14E) 25

8. Jackie dice: “Si a mi edad lo multiplicó por 3, al producto le resto 2 y a la diferencia le extraigo la raíz cuadrada, al número así obtenido le agrego 1, para finalmente extraerle la raíz cuadrada obtengo así 3.” ¿Cuál es la edad de Jackie?

A) 21B) 20C) 11D)22E) 23

9. Con un cierto número se realizó las siguientes operaciones: lo elevo al cubo, al resultado le agrego 9 y le extraigo la raíz cuadrada, al número así obtenido lo divido entre 3 para luego restarle 1 y por último al resultado lo elevo al cuadrado obteniendo como resultado final 16. Hallar el número inicial.

A) 3B) 4C) 5D) 6E) 8

10. Alejandro gasta su dinero, el primer día gasta un tercio de lo que tenía; más 4 soles. El segundo día gasta 2/5 del resto; más de 5 soles. El tercer día 3/7 del nuevo resto; más 2 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente si al final se quedó con 2 soles?

A) 20B) 24C) 30D) 36E) 48

11. De una combi: En cada paradero bajan la tercera parte de los pasajeros. Si después de tres paraderos la combi se quedó sin pasajeros. ¿Cuántos pasajeros había inicialmente?

A) 53B) 54C) 55D) 56E) 57

34


12. Un recipiente de agua está lleno, al abrirse el caño cada hora desagua la tercera parte de su contenido más 12 litros. Hallar la capacidad del recipiente, si al cabo de 3 se vacía.

A) 792B) 468 C) 460D) 560E) 630

13. Una imagen cuadruplica el dinero toda vez que le aplasten la yema del dedo índice de la mano izquierda pero por cada favor le deben dejar 64 soles. Catalina procedió del modo indicado cuatro veces y se quedó sin nada. ¿Cuánto tenía inicialmente Catalina?

A) 81,05B) 21,50C) 21,25D) 21,75E) 22

14. Cada vez que una persona ingresa a una tienda, gasta la mitad del dinero que tiene más S/. 5. Si después de ingresar y salir tres veces, todavía tiene S/. 10. ¿Cuánto ha gasto en total?

A) 100B) 140C) 150D) 60E) 180

15. Jorge, Alex y Luis están jugando con la condición que aquel que pierda tiene que duplicar el dinero de los otros dos. Si cada uno ha perdido una partida en el orden en que ha sido nombrado, quedándose luego de haber perdido el último, con 20 soles cada uno. ¿Cuánto tenía inicialmente Jorge?

A) 32,5 B) 17,5C) 10,5D) 15 E) 20


1. Si a la cantidad que tienes lo multiplicas por 3 y luego lo divides por 12, el cociente lo multiplicas por 9, luego añades 43 finalmente obtendrás 160. ¿Cuál era tal cantidad inicial?

A) 56B) 54C) 50D) 52E) 48

2. A un número se le multiplica por 2, se le divide por 18, se eleva al cubo, se le suma 5 obteniéndose 13. Hallar dicho número.

A) 14B) 16

35


C) 18D) 20 E) 12

3. A un número se le aumenta en 5, el resultado se cuadruplica, el resultado se divide entre 5 y el cociente obtenido se eleva al cuadrado resultando 256. ¿Cuál es el número inicial?

A) 18B) 24C) 60D) 15E) 25

4. A un número se multiplica por 6, al resultado se le aumenta 24 y al nuevo resultado se le extrae la raíz cuadrada obteniéndose 6. ¿Cuál es el número?

A) 6/3B) 8/4C) 13/2D) 25/5E) 12/2

5. Si al número de páginas de un libro lo multiplico por 5, al resultado le quitó 70, a todo esto lo divido entre 5, al cociente le sumo 18, al resultado le extraigo la raíz cuadrada y obtengo 12. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

A) 70B) 140C) 80D) 120E) 160

6. Multiplicamos un número por 4, producto al que luego restamos 12, dividiendo enseguida el resultado entre 3, para volver a multiplicar por 6 añadiendo luego 3 al resultado, dividiendo finalmente entre 3 resulta 89. ¿Cuál es el número inicial?

A) 48B) 40C) 60D) 58E) 36

7. A un número se le multiplica por 3; se le resta 6, se multiplica por 5, se le divide por 8, se eleva al cuadrado, se le resta 171 obteniéndose 729.

A) 12B) 24C) 36D) 18

36


E) 20

8. A un cierto número se eleva al cuadrado a este resultado se le resta 5, a este nuevo resultado se multiplica por 7, luego le agregamos 8, finalmente extraemos la raíz cuadrada, obteniéndose como resultado final 6. Halla dicho número.

A) 3B) 1/3C) 4D)6E) 9

9. Si a un número lo multiplico por 8, luego lo divido por 10 y el cociente lo multiplico por 3 añadiendo enseguida 36, entonces obtendría 180. ¿Cuál es el número inicial?

A) 40B) 60C) 58D) 45E) 52

10. Cuando Ángel se encuentra con Daniel, este último le duplica el dinero a Ángel y este en agradecimiento le da 10 soles. Si se encuentran 2 veces seguidas luego de las cuales Ángel tiene S/. 130. ¿Cuánto tenía inicialmente cada uno?

A) 50B) 20C) 120D) 70E) 40

11. Cada vez que Vanessa invierte en cierto negocio, logra triplicar su dinero, pero de inmediato gasta $ 500. Si luego de hacer sucesivamente 3 veces está operación se queda con $ 20 500. ¿Cuánto tenía inicialmente?

A) 2 000B) 1 000C) 5 000D) 4 500 E) 2500

12. Cada vez que Juan va al cajero automático, retira dinero de tal manera que duplica su dinero y de inmediato gasta 10 soles, si cierto día fue al cajero 3 veces seguidas, luego de los cuales tiene 170. ¿Cuánto tenía inicialmente?

A) 60

37


B) 40C) 45D) 30E) 50

13. Una piscina ha estado desocupado durante 2 días, hasta que solamente ha quedado 10 galones de agua. En cada día se extraía la mitad más 2 galones de lo que había el día anterior. ¿Cuál es el volumen total de la piscina?

A) 7B) 9C) 11D) 13 E) 52

14. En una iglesia existe un santo que tiene la facultad de duplicar el dinero que le lleven, pero por cada “milagro” que realiza le deben dejar $ 200 como limosna. Una señora ingresó a esta iglesia y luego de recibir 3 milagros y dejar su última limosna, se marchó con $ 1800. ¿Cuánto dinero llevaba la señora?

A) 360B) 400C) 480D) 200E) 320

15. Un niño consumió una caja de chocolates en 4 días. En cada día consumía la mitad de los que tenía más chocolates. ¿Cuántos consumió en total?

A) 80B) 90 C) 150D) 70E) 60

CUATRO OPERACIONES II38



1. Se Tienen 28 animales entre vacas y gallinas si en total se cuentan 80 patas. ¿Cuántas vacas hay?

A) 12B) 10C) 8D) 15E) 16

2. En un zoológico hay 40 animales, entre aves y felinos. Si se cuenta el número total de patas tenemos que es 100. El número de aves es:

A) 10B) 20C) 30D) 15E) 40

3. En una granja hay 60 animales entre chanchitos y patitos. Si se cuentan 150 patas. Entonces ¿Cuántos chanchitos hay en la granja?

A) 45B) 30C) 20D) 15E) 60

4. En verano concurrían a la academia algunos con sus bicicletas y otros con sus triciclos. El vigilante para saber que no le faltaba ninguno, contaba siempre 255 ruedas y 200 pedales. Dar como respuesta el número de bicicletas.

A) 65B) 55C) 45D) 50E) 100

5. En una competencia ciclística habían triciclos y bicicletas. Si se contaron 55 timones y 135 llantas ¿Cuántos eran las bicicletas que habían en dicha competencia?

A) 40B) 30C) 25D) 20E) 35

6. Raúl tiene S/. 3500 en billetes de S/. 50 y S/. 100 ¿Cuál será la cantidad de billetes de mayor denominación si hay en total 45 billetes?A) 20B) 25C) 30D) 15E) 45

39


7. Lucho para pagar una deuda de S/. 100 emplea billetes de 10 y 5 ¿Cuántos billetes de los 15, con que pagó dicha deuda son de 10?

A) 20B) 10C) 5D) 8E) 13

8. Si se desea envasar 100 litros de gaseosa en botellas de 3 Lts. y 4Lts. Si el total de botellas es 30. ¿Cuántas son de 3 Lts?

A) 10B) 15C) 25D) 20E) 30

9. A una fiesta entraron un total de 350 personas entre niños y niñas; se recaudó 1550 soles debido a que cada niño pagó 5 soles y cada niña un sol menos. ¿Cuál es la diferencia entre el número de niñas y el número de niños?

A) 100B) 150C) 75D) 60E) 50

10. En una prueba de examen un alumno gana 2 puntos por respuesta correcta pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas obtiene 64 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?

A) 42B) 36C) 38D) 24E) 32

11. Un padre propone 12 problemas a su hijo con la condición de que por cada problema que resuelva el muchacho recibió S/. 10 y por cada problema que no resuelva perderá S/. 6. Después de trabajar en los 12 problemas el muchacho recibe S/. 72 ¿Cuántos problemas resolvió?

A) 3B) 6C) 8D) 9E) 7

12. Una persona cada día que trabaja ahorra 4 soles, en cambio el día que no labora gasta 2 soles. Si durante 10 días ha ahorrado 22 soles. ¿Cuántos días trabajó?

A) 5B) 6C) 7D) 8E) más de 8

13. El profesor de razonamiento matemático le propone a Sandra 30 problemas, para que lo resuelva todos, por cada problema bien resuelto le da S/. 4 y por

40


cada mala le quita S/. 2 ¿Cuántos problemas buenos hizo si resulta que recibió S/. 30?

A) 18B) 12C) 15D) 20E) 3014. Adolfo le dice a Miguel: “Juguemos 25 partidas de casino y por cada partida el perdedor entregará 10 soles”. Si al final Adolfo ha ganado 130 soles. ¿Cuántas partidas perdió Miguel?

A) 17B) 7C) 18D) 6E) 19

15. Un comerciante compró 2 cajas de té de 150 kg cada uno. Una de las dos cuesta S/. 300 más que la otra; por ambos pagó S/. 6300 ¿Cuántos kg se debe tomar de la caja más costosa para obtener 100 kg de té que se pueda vender por S/. 2 740 incluyendo una ganancia de S/. 6 por cada kg?

A) 30B) 50C) 70D) 40E) 20


1. En un establo hay vacas y gallinas. Si el número total de animales es 50 y el número total de patas es 160. El número total de vacas es:

A) 20B) 40C) 30D) 10E) 25

2. En un corral hay 180 patas y 54 cabezas; si lo único que hay son gallinas y conejos ¿Cuál es el número de alas?

A) 36B) 18C) 48D) 54E) 60

3. En una colección de mosquitos y arañas se cuentan 50 cabezas y 340 patas ¿Cuántas arañas habían?

a) 18b) 20

41


c) 30d) 32e) 24

4. En una playa de estacionamiento hay sólo autos y motos en total 60 vehículos cada uno con una llanta de repuestos. ¿Cuántos autos hay, si en total se cuentan 264 llantas?

A) 40B) 42C) 44D) 46E) 48

5. Revendieron entre adultos y niños un total de 211 boletos para una función de circo. Si un boleto de adulto costó S/. 5 y un boleto de niño S/. 3 ¿Cuántos boletos de adulto se vendieron si la recaudación total fue de S/. 753? Como respuesta dar la suma de cifras:

A) 6B) 5C) 11D) 15E) 18

6. Para cancelar una deuda de 1390 soles se usó billetes de 20 soles y 50 soles, en total 35 billetes. ¿Cuántos de estos billetes fueron de 50 soles?

A) 19B) 20C) 21D)22E) 23

7. José cada día que trabaja gana 40 soles y el día que no trabaja debe pagar 5 soles de multa. Después de 30 días recibe S/. 840 soles ¿Cuántos días no trabajó?

A) 8B) 9C) 10D) 11 E) más de 11

8. En un concurso de admisión, la prueba tiene 100 preguntas, por respuesta correcta se asigna un punto y por incorrecta tiene puntaje en contra de 1/4 de punto “Vale ha obtenido en dicha prueba 50 puntos habiendo respondido la totalidad de preguntas planteas. ¿Cuántas erró?

A) 10B) 50

42


C) 30D) 25E) 40

9. En un examen de 20 preguntas cada respuesta correcta recibe 6 puntos y cada respuesta equivocada - 4 puntos, si un estudiante saca cero ¿Cuántas preguntas buenas tuvo?

A) 18B) 12C) 8D) 10E) 9

10. Un litro de leche pesa 1032 gr y un litro de agua de mar pesa 1055 gr. En una mezcla de 10 litros han intervenido ambos componentes y pesa 10366 gr. ¿Qué cantidad de agua de mar hay en la mezcla?

A) 1 litroB) 1,5C) 2D) 2,5 E) 8

11. Cada vez que Manolo sale con Vanesa gasta S/. 15 y cada vez que sale con Raquel gasta S/. 25. Si ha salido 30 veces (con Vanesa o Raquel) y gastó en total S/. 670 ¿Cuántas veces Manolo salió con Vanesa?

A) 8B) 12C) 18D)24 E) 30

12. Un cazador dispara 5 veces para matar una paloma y 2 veces para matar un conejo, si hoy hizo 135 disparos llegando a matar 35 animales. ¿Cuánto es la diferencia entre el número de conejos y el número de palomas.

A) 20B) 15C) 25D) 10E) 35

13. En un taller fueron reparados durante un mes 100 vehículos entre automóviles y motos. El número de ruedas de los vehículos reparados fue de 228. ¿Cuántas motos se repararon?

A) 14B) 86C) 90D) 12E) 43

43


12. Se han comprado 77 latas de leche de dos capacidades distintas; unas tienen 8 onzas y las otras 15 onzas. Si el contenido total es de 861 onzas ¿Cuántas latas de 8 onzas se compraron?

A) 39B) 42C) 35D) 40E) 52

13. Se forma la longitud de 1 metro, colocando 37 monedas de 50 y 100 pesos en contacto y a continuación unas de las otras. Los diámetros de las monedas eran de 25 y 30 mm ¿Cuántas monedas son de 50 pesos?

A) 18B) 20C) 22D) 25E) 26

FRACCIONES I

FRACCIÓN

La fracción es una división de dos números enteros. Como en toda división, el divisor es diferente de cero.

La fracción se puede representar por: a / b ó

ab

Donde a y b N y b 0

44


Si: a b entonces:

La cantidad de partes que se toma La cantidad de partes en que se ha dividido la unidad.

Así tenemos por ejemplo:

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Simplifica:

S=2

12

312+

1

412

Resolución:

Se tiene:

212=5

2 ; 3

12=7

2 y 4

12=9

2

Reemplazando en la expresión original:

S=

52

72+

192

=

52

72+

29

=

52

63+418

S=

52

6718

=5 x 182 x67

=4567

2. ¿Cuánto le falta a

411 para ser igual a los

23 de los

57 de los

49 de los

611

de 7?

45

ab


Resolución:

Se tiene el producto indicado

23x

57x

49x

611x 7=80

99

Entonces; a

411 le falta:

8099

− 411

=4499

= 49


1. Obtén la fracción irreductible de:

S= 1

1+12

A)

32

B)

12

C) 1

D)

23

E)

14


V= 1

2+1

1+12

+1

46


A)

117

B)

114

C)

118

D)

38

E)

98

3. Simplifica la siguiente expresión:

P= 1

1+1

1+12

+ 12

A)

1110

B)

119

C)

118

D)

1011

E)

911

4. Calcula el valor de “S”, si:

S= 12,3

+ 13,4

+.. . ..1

1000 ,1001

A)

9992001

B)

2002999

C)

9992003

D)

12

E)

9992002

5. Efectúa:

P=( 12+

32 ) −

12 (−1

3−−−6

3 )−(4−−−42 )x−3

5 ¿ ¿

A) 1

47


B) 2

C)

12

D)

13

E) 4

6. Si:

P=1−3−1

2

4−13

Q=

23−1

523−

12

Halle: “P : Q”

A)

544

B)

542

C)

445

D)

447

E)

4445

7. Efectúa:

S=

9 :113

−x−45

6 :112

−(− 715 )

A)

23

B) 1

C)

56

D)

13

48


E)

32

8. Simplifica:

5163

10

−194

−

15

3 :58

2+ 2

2+ 12

− 3

3+ 13

:2

171

A) 21B) 22C) 23D) 24E) 25

9. Si la cuarta parte de 2/3 de un número es igual a la novena parte de la mitad de 72. Halla dicho número:

A) 22B) 23C) 24D) 25E) 26

10. ¿Cuánto le sobra a 3/4 para ser igual a la diferencia de 1/3 y 1/4?

A)

32

B)

34

C)

43

D)

52

E)

23

11. Si a un número le disminuimos sus 3/5 da como resultado los 2/3 de 180 aumentado en sus 2/3. Calcula dicho números:

A) 200B) 500C) 400D) 300 E) 600

49


12. ¿Qué parte de 4/5 de 5/8 de 60 es los 5/12 de 3/10 de 64?

A) 2/15B) 3/7C) 4/15D) 1/15E) 5/3

13. Calcula los 3/5 de los 5/4 de los 16/3 de 1/2 de 18.

A) 36B) 33C) 34D) 32E) 35

14. Si a un número se le resta sus 3/13 da como resultado 120. Halla el número:

A) 256B) 153C) 120D) 112E) 156

15. ¿Cuál es la fracción cuyo valor es menor que 2/5 pero mayor que 1/3; si su denominador es 30?

A) 12/30B) 11/30C) 10/30D) 8/30E) 7/30

16. De mis ahorros de un mes perdí los 2/9 y sólo me queda S/.210. ¿Cuánto es lo que perdí?

A) S/.20B) S/.30C) S/.60D) S/.90E) S/.100


1. Obtén la fracción Irreductible de:

S= 2

1+1

1+12

A)

53

50


B)

65

C)

56

D)

16

E)

76


V=12−( 1

2+ 1

3 )16x

15x 3

A) 100 B) 101

C)

10110

D)10E) 90

3. Simplifica la siguiente expresión:

P=

12+3

9

1+14

A)

1545

B)

1445

C)

245

D)

1590

E)

445

4. Calcula el valor de “Q”; si:

51


Q=12+ 1

1+12

+ 13

A)

23

B)

25

C)

32

D)

14

E)

15

5. Efectúa:

S= 1

1+1

1+16

A)

137

B)

27

C)

43

D)

713

E)

134

6. Simplifica:

T=1+ 1

2

1+14

A)

23

B) 6

C)

13

D)

16

E)

65

7. Simplifica:

52


V=2+ 4

2−3

2+2

2−23

A)

211

B)

511

C)

115

D)

32

E)

112

8. Efectúa:

S=(20 -

52x 4) :

16

(12−1

3+5

6 ) :1

20A) 1

B)

12

C)

13

D) 3E) 2

9. ¿Por cuánto se multiplica a 4/6 si se añade 4 a su numerador y denominador?

A) 6/5B) ¼C) C)3/5D) 5/3 E) 5/6

10. Si a un número se le suma sus 4/9 da como resultado 260. Hallar dicho número:

A) 160B) 180C) 190D) 200 E) 80

11. ¿Cuál es la fracción cuyo valor es menor que 1/3 pero mayor que ¼; si su denominador es 24?

A) 1/24B) 7/24C) 6/13D) 13/24E) 24

53


12. ¿Qué fracción de 17/9 es los 4/7 de 119/90?

A) 1/5 B) 5/2C) 2/5D) 4/5 E) 3/5

13. ¿Qué fracción de 12/7 es los 2/15 del triple de 72/21?

A) 4/3B) 5/3C) 2/5D) 3/5E) 4/5

14. ¿Cuánto le sobra a 7/8 para ser igual a la diferencia de 2/5 y 3/8?

A) 17/40B) 17/30C) 17/20D) 30/17E) 20/17

15. Si se gana 1/5 del dinero que se tenía, se tendrá 18 nuevos soles. ¿Cuánto se ganó?A) S/.2B) 3C) 4D) 5E) 6

54

1° sececundari

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b a2 ab

b b3 c

b suma

divisin tradicional

dividendo d

d d26e

b15c10 d

la divisin