1. projiciranje - pmf - matematički odsjek · pdf file1. projiciranje 1.1. uvod nacrtna...

1. PROJICIRANJE

1.1. Uvod

Nacrtna geometrija je znanost o egzaktnim metodama koje omogucujuprikazivanje prostornih, trodimenzionalnih objekata na nekoj dvodimenzionalnojravnini i rjesavanje prostornih problema u ravnini konstruktivno-geometrijskimputem.

Dakle, metodama nacrtne geometrije prikazujemo trodimenzionalni objektcrtezom u ravnini (list papira) tako da taj crtez kod promatraca budi sto tocniju pre-dodzbu o tom prostornom objektu. Radi se o dvosmjernom procesu: s jedne straneizgled prostornog predmeta prenosimo u dvodimenzionalni crtez, a s druge strane,iz promatranja dvodimenzionalnog crteza stvaramo si trodimenzionalnu predodzbupredmeta.

Nastala je iz potpuno prakticnih potreba, prije svega tehnike (brodogradnja,gradevinarstvo, strojarstvo), astronomije (projiciranje prirodnih nebeskih tijela),geografije (kartografija), arhitekture i slikarstva (perspektiva).

Kroz povijest, ljudi su pokusavali predmete iz okoline prikazivati u oblikucrteza. Dio tih crteza nastao je kao izraz estetsko-umjetnicke potrebe iz kojih sekasnije razvila likovna umjetnost, no s razvojem graditeljstva pojavljuju se crtezikoji sluze kao prakticna pomoc. Prve ideje nacrtne geometrije mogu se naci vec uStarom Egiptu. Prva pisana rasprava o idejama nacrtne geometrije je Vitruvijeva”De architectura” (oko 25 g. pr. Krista) (Marcus Vitruvius Pollio, graditelj JulijaCezara). Tlocrt samostana u St. Gallenu iz 9. st. je najstariji sacuvani tlocrt.Tehnicke crteze mozemo pratiti kroz stoljeca, ali nedostaju upute kako su izradivani.Ideje perspektive prvi je u svojoj knjizici opisao njemacki slikar Albrecht Durer(1471.-1528.).

Znanstveni temelj nacrtne geometrije dao je francuski matematicar i fizicarGaspard Monge (1746.-1818.) [citamo: monz] u djelu ”Geometrie descriptive”(1795.ili 1798. - u izvorima razlicite godine). U tom je djelu Monge objedinio i

1 Projiciranje 4

prikazao postupke tehnickog crtanja sistematicno, generalizirano i s jednoznacnimobjasnjenima. Naime, i prije su se u gradevinarstvu i arhitekturi koristila znanjanacrtne geometrije, ali su bila specijalizirana, prilagodena svakoj struci i svakomproblemu posebno i nije se uocavala ideja koja bi objedinila sve te metode. To jeprvi put napravio G. Monge, a zbog izuzetnog znacaja, njegove metode proglasenesu vojnom tajnom, a predavanja koja je drzao na pariskoj Ecole Normale smjela subiti objavljena tek godinama kasnije.

Nacrtna je geometrija pruzila prirodne osnove i pomoc za razvoj nekih granamatematike kao sto su afina i projektivna geometrija, fotogrametrija, kartografija,nomografija. Osim toga, ideja preslikavanja najprije je uzeta iz nacrtne geometrijei prosirila se u sve grane matematike i drugih znanosti.

1.2. Projiciranje

Opisimo prostor u kojemu cemo rjesavati probleme nacrtne geometrije. Radise o trodimenzionalnom, intuitivno poimanom prostoru, tzv. euklidskom prostoru.Aksiomatsko zasnivanje tog prostora opisano je u knjigama Elementarna matem-atika I i II, ([6], [7]). U njemu postoje tri vrste osnovnih objekata koji se ne defini-raju: tocke, pravci i ravnine. Kao sto je uobicajeno, tocke cemo oznacavati velikimlatinskim slovima, pravce malim latinskim slovima, a ravnine malim grckim slovima.Dogovorno cemo pravce i ravnine smatrati skupovima tocaka koje su incidentne snjima, iako bi tocnije bilo govoriti o nizu tocaka pravca ili o polju tocaka ravnine.

Svojstva osnovnih objekata prostora E dana su aksiomima.

Aksiomi incidencije (pripadanja)

A1. Za svake dvije razlicite tocke prostora postoji jedinstveni pravac kojemuone pripadaju.

A2. Svakom pravcu pripadaju barem tri razlicite tocke.

A3. U svakoj ravnini postoje tri tocke koje ne pripadaju jednom pravcu.

A4. Za svaku ravninu prostora postoje tocke koje joj pripadaju i koje joj nepripadaju.

A5. Ako dvije razlicite ravnine imaju zajednicku tocku, onda one imaju za-jednicki i citav pravac koji nazivamo presjecnica ravnina.

A6. Ako dva razlicita pravca imaju zajednicku tocku, onda postoji jedna isamo jedna ravnina koja sadrzi te pravce.

1 Projiciranje 5

Aksiomi uredaja

A7. Na svakom pravcu ravnine postoje tocno dva medusobno suprotna linearnauredaja.

A8. Paschov aksiom. Neka su pravac i trokut u jednoj ravnini. Ako pravacsijece jednu stranicu trokuta i ne prolazi niti jednim vrhom na toj stranici, onda onsijece bar jos jednu stranicu.

Aksiomi metrike

A9. Postoji funkcija d : E × E → R takva da je

a) d(A, B) ≥ 0, ∀A, B ∈ E, d(A, B) = 0 akko A = B,

b) d(A, B) = d(B, A), ∀A, B ∈ E,

c) d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B), ∀A, B, C ∈ E.

Aksiomi simetrije

A10. Za svaki pravac p jedne ravnine π postoji jedinstvena izometrija sp : π →π razlicita od identitete, za koju je sp(T ) = T za svaku tocku T pravca p.

A11. Za svaki par (Ox, Oy) polupravaca jedne ravnine π s vrhom u O postojibar jedan pravac p ⊂ π takav da je sp(Ox) = Oy.

Aksiom o paralelama

A12. Neka tocka T i pravac p leze u jednoj ravnini, T /∈ p. U toj ravninipostoji najvise jedan pravac q paralelan s p.

Da bismo pojednostavnili neke formulacije uvodimo jos i tzv. neprave el-emente. Tockama jednog pravca dodajemo jos jednu tocku tzv. nepravu ilibeskonacno daleku tocku tog pravca, a koju definiramo kao tocku u kojoj se sijekusvi pravci paralelni s njime. Sve neprave tocke pravaca jedne ravnine i samo one,cine jedan pravac koji nazivamo nepravi ili beskonacno daleki pravac te ravnine.

Nacrtna geometrija svodi konstruktivne probleme prostora na konstruktivneprobleme ravnine. Da bi se to postiglo, potrebno je prostornu figuru preslikati uravninsku figuru. Ovakva preslikavanja nazivamo projiciranja prostora na ravninu.

Definicija 1.1. Neka je π ravnina prostora E, te neka je S neka cvrsta tocka togprostora koja ne pripada ravnini π. Centralno projiciranje na ravninu π sasredistem S je preslikavanje koje svakoj tocki A, A 6= S, prostora pridruzuje pro-bodiste pravca AS i ravnine π.

1 Projiciranje 6

.

Ravninu π nazivamo ravninom projekcije, tocku S nazivamo sredistemprojiciranja, pravce kroz srediste S nazivamo zrakama projiciranja, a slika nekefigure naziva se projekcija. Neka je πv ravnina tockom S paralelna s ravninomprojekcije. Slika prave tocke A koja ne lezi u πv, po definiciji je jednaka tocki ukojoj pravac AS probada ravninu π. Ako tocka A lezi u ravnini πv, tada je pravacAS paralelan s ravninom π i njihov presjek je neprava tocka pravca AS.

Osnovna svojstva projiciranja su sljedeca:

1. Projekcija pravca p koji ne prolazi tockom S je pravac p′ u ravnini π. Restrik-cija projiciranja s pravca p na pravac p′ je bijekcija. Projekcija svake zrakeprojiciranja je probodiste te zrake i ravnine π.

2. Projekcija ravnine τ koja ne sadrzi srediste S je ravnina π i ta je restrikcijabijektivna. Projekcija ravnine koja sadrzi srediste je presjecnica te ravnine iravnine π.

Definicija 1.2. Neka je dana ravnina π prostora E, te neka je s neki cvrsti pravac

1 Projiciranje 7

tog prostora koji nije paralelan s ravninom π. Paralelno projiciranje na ravninuπ u smjeru s je preslikavanje koje svakoj tocki A, prostora E pridruzuje probodistepravca kroz A paralelnog sa s i ravnine π.

Svi pravci prostora paralelni s pravcem s nazivaju se zrake projiciranja ilismjer projiciranja. Kod paralelnog projiciranja razlikujemo koso ili ortogonalnoprojiciranje. Kod ortogonalnog projiciranja kut zraka projekcije jednak je pravomkutu, a kod kosog projiciranja kut je manji.

Proucimo malo podrobnije paralelno projiciranje, buduci da ce se glavnemetode prikazivanja prostornih objekata opisane u ovom kolegiju upravo sastojatiod dvaju ili vise ortogonalnih projiciranja.

Bitna svojstva su ova:

1. Pravci koji nisu paralelni sa smjerom projiciranja preslikavaju se u pravce, alipravci koji su paralelni sa smjerom projiciranja preslikavaju se u jednu tocku,tj. u svoje probodiste s ravninom π.

2. Paralelnost pravaca je invarijanta paralelnog projiciranja.

3. Duzine i kutovi, pa time i bilo koji ravninski likovi koji leze u ravnini paralelnojs ravninom projekcije π, projiciraju se pri paralelnom projiciranju u sukladnelikove.

1 Projiciranje 8

4. Djelisni omjer triju kolinearnih tocaka je invarijanta paralelnog projiciranja.Poloviste duzine preslikava se u poloviste duzine.

2. PERSPEKTIVNAKOLINEACIJA I AFINOST

2.1. Perspektivna kolineacija

Definicija 2.1. Perspektivna kolineacija u ravnini je bijekcija skupa tocaka iskupa pravaca na sebe koja zadovoljava ova svojstva:

1. Cuva incidenciju, tj. ako tocka A pripada pravcu p tada slika A tocke Apripada slici p pravca p;

2. Spojnice pridruzenih tocaka prolaze jednom tockom S ravnine. Tocka Sje fiksna tocka i nazivamo je sredistem kolineacije, a spojnice pridruzenih tocakazrakama kolineacije.

3. Postoji tocno jedan pravac o u ravnini kojega je svaka tocka pridruzenasama sebi, tj. pravac o je fiksan po tockama. Pravac o nazivamo os kolineacije.

Moguce je definirati i perspektivnu kolineaciju u prostoru. Tada imamo zadanedvije ravnine koje se sijeku i tocku S koja ne pripada objema ravninama, a samaperspektivna kolineacija opisana je gornjim svojstvima.

Navedimo neka ocita svojstva perspektivne kolineacije.

1) Svaki se par pridruzenih pravaca sijece u nekoj tocki na osi kolineacije ilisu oba pravca paralelni s njom.

Obrazlozimo ovo svojstvo. Ako pravac p sijece os o, prema trecem definicijskomsvojstvu kolineacije ta je tocka fiksna, toj pridruzena sama sebi, a zbog cuvanjaincidencije njome prolazi i pravac pridruzen pravcu p.

Ako pravac p ne sijece os o, tada niti njegova slika ne sijece os o. Kad bibilo suprotno tocka u kojoj bi slika p sjekla os o bi bila fiksna i originalni pravacbi takoder prolazio njome, a to je u suprotnosti s pretpostavkom da je pravac pparalelan s osi.

3. Perspektivna kolineacija i afinost 10

2) Svaka zraka kolineacije pridruzena je sama sebi. Ona je fiksni pravac ko-lineacije, ali ne po tockama. Jedine fiksne tocke na zraci kolineacije su srediste S ipresjek zrake i osi.

Teorem 2.1. Perspektivna kolineacija je jednoznacno odredena, ako je zadana nje-zina os o, njezino srediste S i jedan par pridruzenih tocaka A, A, s tim da ni jednatocka tog para ne lezi na osi o, niti je njihova spojnica paralelna sa osi o.

Dokaz. Za proizvoljnu tocku X ravnine konstruirajmo njezinu sliku X.

a) Razmotrit cemo prvo slucaj kad je tocka X van pravca AS i kad spojnicaAX nije paralelna s osi o. Povucimo spojnicu SX. To je zraka kolineacije i tockaX nalazi se na njoj. Nadalje povucimo spojnicu p = AX. Toj je spojnici pridruzenpravac p koji prema prvom svojstvu kolineacije sadrzi i tocku A i tocku X. Ujednopravci p i p sijeku se na osi o u fiksnoj tocki Q. Dakle, p = QA. Tocka X je presjekpravca p i zrake SX.

b) Ako je tocka X na zraci AS, tada odaberimo tocku Y koja ne pripada zraciAS i cija spojnica sa A nije paralelna s osi. Postupkom opisanom u prethodnomslucaju konstruiramo tocku Y . Sad u toj kolineaciji imamo jos jedan par pridruzenihtocaka Y, Y i tocku X konstruiramo koristeci taj par, a ne par tocaka A, A.

c) I razmotrimo jos i slucaj kad je spojnica AX paralelna s osi o.


Tada je i pravac pridruzen toj spojnici paralelan s osi o. Tocka X je presjekzrake SX i paralele sa osi o tockom A. 2

U skladu s prethodnim teoremom, kolineaciju cemo obicno zadavati njezinimsredistem, osi i parom pridruzenih tocaka i zapisivat cemo ovako: (o, S : A, A).

Primjer 2.1. Konstrirajmo jednakostranicni trokut ABC, a = 4 cm. Neka je tockaP poloviste stranice AB, a tocka Q dijeli stranicu AC u omjeru 1 : 2 racunajuci odC. Tocka B poloviste je duzine AP . Tocka S nalazi se na pravcu AB tako da je|PB| = |SB| i S 6= P .

U perspektivnoj kolineaciji (o = PQ, S : B, B) konstruirajmo slike tocakaA, B, C, P i Q.

Sljedeci nam teorem opisuje jednu invarijantu kolineacije.

Teorem 2.2. Dvoomjer (XX; SK) sto ga tvori bilo koji par pridruzenih tocakaX i X sa sredistem S kolineacije i sjecistem K zrake kolineacije SX sa osi o jekonstantan.

Podsjetimo se da se dvoomjer cetiriju kolinearnih tocaka definira kao:(AB; CD) = |CA|

|CB| : |DA||DB| , gdje je |AB| oznaka za ”orjentiranu” duljinu duzine AB.

(vidi Palman: Trokut i kruznica).

Ta se konstanta oznacava s k i naziva karakteristicna konstanta perspek-tivne kolineacije.

Dokaz. Neka je tocka O bilo koja tocka osi o razlicita od K. Dokazat cemoda je dvoomjer (XX; SK) jednak dvoomjeru cetvorke pravaca koji prolaze tockomO, tj. da je (XX; SK) = (OX, OX; OS, OK). Uvedimo oznake: 6 SOX = α,6 KOX = β, 6 KOX = γ.

Izrazimo povrsinu trokuta SOX na dva nacina:


P (SOX) =1

2|OX| · |SO| sinα =

1

2|SX| · v,

gdje je v duljina visine iz tocke O na stranicu SX.

Analogno je

P (SOX) =1

2|OX| · |SO| sin(α + β + γ) =

1

2|SX| · v,

P (KOX) =1

2|OX| · |KO| sinβ =

1

2|KX| · v,

P (KOX) =1

2|OX| · |KO| sin γ =

1

2|KX| · v.

Iz prve dvije jednakosti dobivamo

|SX||SX|

=|OX| sinα

|OX| sin(α + β + γ),

a iz druge dvije jednakosti

|KX||KX|

=|OX| sinβ

|OX| sin(γ),

tj.

|SX||SX|

:|KX||KX|

=sin α

sin(α + β + γ):

sin β

sin(γ)

sto je upravo

(XX; SK) = (OX, OX; OS, OK).

2

Kod perspektivne je kolineacije zanimljivo promatrati sliku i prasliku beskonacnodalekog pravca n. Inace, beskonacno daleki pravac tvore sve beskonacno daleketocke i samo one. Sliku beskonacno dalekog pravca oznacavamo s n i nazivamo ne-dogledni ili ubjezni pravac. On je paralelan s osi jer na njemu lezi i beskonacnodaleka tocka osi.

Praslika pravca n, tj. pravac m koji se preslikava u beskonacno daleki pravacn naziva se izbjezni pravac.


Dakle, imamo ovakvo pridruzivanje

m 7→ n 7→ n.

Primjer 2.2. U danoj perspektivnoj kolineaciji (o, S : A, A) konstruirajmo izbjeznii ubjezni pravac.

a) Konstrukcija izbjeznog pravca m.

i) Neka je A 7→ A i X 7→ X.

ii) Tockom X povucimo pravac d paralelan s pravcem SA = a = a. Buduci dasu a i d paralelni, sijeku se u nepravoj tocki, a sve neprave tocke pripadaju nepravompravcu n. d ∩ o = F i znamo da je a = a.

iii) Praslika d pravca d je XF . Naime, d = XF , pa je praslika d = XF .

iv) Presjek pravca d i a je tocka V koja lezi na izbjeznom pravcu m. Naime,d ∩ a ∈ n = m, stoga ta incidencija vrijedi i za njihove praslike, tj. d ∩ a ∈ m, a uzoznaku d ∩ a = V imamo da V ∈ m.

v) Paralela kroz V s osi o je izbjezni pravac m.

b) Konstrukcija ubjeznog pravca n.


i) Neka je A 7→ A i X 7→ X.

ii) Tockom A povucimo pravac c paralelan s pravcem SX = b. Buduci da suc i b paralelni, sijeku se u nepravoj tocki, a sve neprave tocke pripadaju nepravompravcu n. c ∩ o = F i znamo da je b = b.

iii) Slika c pravca c je AF .

iv) Presjek pravca c i b je tocka R koja lezi na ubjeznom pravcu n. Naime,c ∩ b ∈ n, stoga ta incidencija vrijedi i za njihove slike, tj. c ∩ b ∈ n, a uz oznakuc ∩ b = R imamo da R ∈ n.

v) Paralela kroz R s osi o je ubjezni pravac n.

Primjer 2.3. Dana je perspektivna kolineacija (o, S; A, A) i kvadrat ABCD. Kon-struirajmo izbjezni pravac m i perspektivno kolinearnu sliku kvadrata ABCD.

Koristiti dva ponudena predloska 2.3.-A i 2.3.-B.

2.2. Perspektivna afinost

Definicija 2.2. Perspektivna afinost u ravnini je bijekcija skupa tocaka i skupapravaca na sebe koja zadovoljava ova svojstva:

1. Cuva incidenciju, tj. ako tocka A pripada pravcu p tada slika A tocke Apripada slici p pravca p;

2. Spojnice pridruzenih tocaka su medusobno paralelne. Te spojnice pridruzenihtocaka nazivamo zrakama afinosti.

3. Postoji tocno jedan pravac o u ravnini kojega je svaka tocka pridruzenasama sebi, tj. pravac o je fiksan po tockama. Pravac o nazivamo os perspektivneafinosti.

Navedimo neka ocita svojstva perspektivne afinosti.

1) Svaki se par pridruzenih pravaca sijece u nekoj tocki na osi afinosti ili suoba pravca paralelni s njom.

Obrazlozimo ovo svojstvo. Ako pravac p sijece os o, prema trecem definici-jskom svojstvu afinosti ta je tocka fiksna, toj pridruzena sama sebi, a zbog cuvanjaincidencije njome prolazi i pravac pridruzen pravcu p.

Ako pravac p ne sijece os o, tada niti njegova slika ne sijece os o. Kad bibilo suprotno tocka u kojoj bi slika p sjekla os o bi bila fiksna i originalni pravac


bi takoder prolazio njome, a to je u suprotnosti s pretpostavkom da je pravac pparalelan s osi.

2) Svaka zraka afinosti pridruzena je sama sebi. Ona je fiksni pravac afinosti,ali ne po tockama. Jedina fiksna tocka na zraci afinosti je presjek zrake i osi.

Teorem 2.3. Perspektivna afinosti je jednoznacno odredena, ako je zadana njezinaos o i jedan par pridruzenih tocaka A, A, s tim da ni jedna tocka tog para ne lezina osi o, niti je njihova spojnica paralelna sa osi o.

Dokaz. Za proizvoljnu tocku X ravnine konstruirajmo njezinu sliku X.

a) Razmotrit cemo prvo slucaj kad je tocka X van pravca AA i kad spojnicaAX nije paralelna s osi o. Povucimo paralelu kroz X s danom zrakom afinosti. Toje zraka afinosti i tocka X nalazi se na njoj. Nadalje povucimo spojnicu p = AX.Toj je spojnici pridruzen pravac p koji prema prvom svojstvu afinosti sadrzi i tockuA i tocku X. Ujedno pravci p i p sijeku se na osi o u fiksnoj tocki Q. Dakle, p = QA.Tocka X je presjek pravca p i zrake kroz X.

b) Ako je tocka X na zraci AA, tada odaberimo tocku Y koja ne pripada zraciAA i cija spojnica sa A nije paralelna s osi. Postupkom opisanom u prethodnomslucaju konstruiramo tocku Y . Sad u toj afinosti imamo jos jedan par pridruzenihtocaka Y, Y i tocku X konstruiramo koristeci taj par, a ne par tocaka A, A.


c) I razmotrimo jos i slucaj kad je spojnica AXparalelna s osi o. Tada je i pravac pridruzen tojspojnici paralelan s osi o. Tocka X je presjek zrakekroz X i paralele sa osi o tockom A. 2

U skladu s prethodnim teoremom, afinost zadajemo njezinom osi i parompridruzenih tocaka i zapisujemo ovako: (o : A, A).

Sljedeci nam teorem opisuje jednu invarijantu afinosti.

Teorem 2.4. Paru paralelnih pravaca a i b u perspektivnoj afinosti pridruzen je parparalelnih pravaca.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. da se pravci a i b sijeku u tocki T . Zbogbijektivnosti ta tocka ima svoju prasliku T koja zbog svojstva cuvanja incidencijepripada pravcima a i b. Time smo dosli u kontradikciju s pretpostavkom da supravci a i b paralelni. 2

Teorem 2.5. Djelisni omjer (XX; K) sto ga tvori bilo koji par pridruzenih tocakaX i X sa sjecistem K zrake afinosti XX s osi o je konstantan.

Djelisni omjer (XX; K) je omjer|XK||XK|

, gdje su XK i XK orjentirane duzine.

Ta se konstanta oznacava s k i naziva karakteristicna konstanta perspektivneafinosti.

Dokaz. Neka je Y, Y par pridruzenih tocaka razlicit od para X, X takav dapravac XY nije paralelan sa osi. Tada se pravci XY i X Y sijeku u tocki F na osi.


Zbog paralelnosti zraka afinosti trokuti XKF i Y LF su slicni, gdje je L presjekpravca Y Y i osi. Iz te slicnosti slijedi

|XK||Y L|

=|KF ||LF |

.

I trokuti XKF i Y LF su slicni, pa vrijedi

|XK||Y L|

=|KF ||LF |

.

No sad je|XK||Y L| =

|XK||Y L|

,

tj.|XK||XK|

=|Y L||Y L|

.

Dakle, djelisni omjer ne ovisi o izboru tocke Y , tj. stalan je. 2

Prethodni je teorem analogon odgovarajuceg teorema za kolineaciju. No, zaafinost vrijedi i nesto bolji teorem. Naime, u afinosti je djelisni omjer bilo koje trikolinearne tocke invarijanta afinosti.

Teorem 2.6. Djelisni omjer triju kolinearnih tocaka je invarijanta afinosti.

Dokaz. Neka su A, B, C tri razlicite kolinearne tocke. Trebamo pokazati da je

|AC||BC| =

|AC||B C|

.


Oznacimo s p pravac AB, a s p njegovu sliku. Tockom B povucimo pravac qparalelan s pravcem p, a sjecista pravca q sa zrakama afinosti AA i CC oznacimoredom s K i L. Zrake afinosti su medusobno paralelne pa iz slicnosti trokuta slijedi

|AC||B C|

=|KM ||MB|

=|AC||BC| ,

sto je i trebalo dokazati. 2

Neposredna posljedica ovog teorema je sljedeci korolar.

Korolar 2.1. Poloviste duzine preslikava se u poloviste slike te duzine.

Dakle, perspektivna afinost cuva paralelnost i djelisni omjer, no ne cuva uda-ljenost tocaka niti mjeru kutova.

Teorem 2.7. U danom skupu pravih kutova s vrhom u tocki P , P /∈ o, postojiuvijek jedan pravi kut koji se danom perspektivnom afinoscu preslikava u pravi kut.

Dokaz. Neka je P slika tocke P . Proanalizirajmo zadatak, tj. pretpostavimoda je zadatak rijesen i da su a, b zrake pravog kuta koji se preslikava u pravi kut6 aPb.

Tada se pravci a i a, te pravci b i b sijeku u tockama A i B na osi o. Premaobratu Talesovog teorema o obodnom kutu nad promjerom slijedi da su tocke P , P ,A i B tocke jedne kruznice promjera AB. Srediste S te kruznice je sjeciste simetraleduzine PP i osi o. Time je analiza gotova. Konstrukcija tece ovako: konstruiramoafinu sliku tocke P i simetralu duzine PP . Sjeciste te simetrale i osi o je tocka S.Opisemo kruznicu sredista S i polumjera |SP |. Presjek te kruznice i osi o su tockeA i B. Trazeni pravi kut kojemu je slika takoder pravi kut je kut 6 APB.


Ova je konstrukcija izvediva uvijek osim kad su zrake afinosti okomite na os.No tada je jedan krak takvih pravih kutova paralelan s osi, dok je drugi okomit naos. 2

Primjer 2.4. U danoj perspektivnoj afinosti (o : A, A) konstruirajmo sliku kvadrataABCD, a = 4 cm. Tocke A i A neka su s razlicitih strana osi.

Slika kvadrata je cetverokut A B C D dobiven preslikavanjem vrhova A, B, C, D.Taj je cetverokut paralelogram, jer zbog cuvanja djelisnog omjera, dijagonale slikese raspolavljaju, jer se i dijagonale kvadrata raspolavljaju.

Primjer 2.5. U danoj perspektivnoj afinosti (o : A, A) konstruirajmo sliku pravilnogpeterokuta ABCDE. Tocke A i A neka su s iste strane osi. Polumjer opisanekruznice peterokuta je r = 4.2 cm.

Primjer 2.6. Afinost (o : A, A) dana je tako da su zrake okomite na os i os jesimetrala duzine AA. Konstruirajmo afinu sliku danom trokutu ABC.

Primjetimo da je ovako zadana afinost osna simetrija s obzirom na pravac o.

3. KRIVULJE DRUGOG REDA

U realnoj projektivnoj ravnini konike ili krivulje drugog reda definiraju seovako:

Definicija 3.1. Skup svih tocaka projektivne ravnine cije koordinate zadovoljavajualgebarsku jednadzbu drugog reda

a00x20 + a11x

21 + a22x

22 + 2a01x0x1 + 2a02x0x2 + 2a12x1x2 = 0

nazivamo konikom ili krivuljom drugog reda.

Gornji izraz mozemo zapisati i u matricnom obliku:

XT AX = 0,

gdje je A simetricna matrica treceg reda. Ukoliko je matrica A regularna tadagovorimo o nesingularnim (nedegeneriranim, neraspadnutim) konikama. S obziromna presjek konike i nepravog pravca, nesingularne konike dijelimo u tri skupine:elipse (ne sadrze neprave tocke), parabole (sadrze jednu nepravu tocku) i hiperbole(sijeku nepravi pravac u dvije tocke).

Opsirnije o konikama moze se naci u knjigama Projektivna geometrija, [3], iElementarna matematika 2, [7].

Buduci da se radi o objektima koje su poznavali vec i stari narodi, u upotrebisu razlicite definicije konika. Tako ih starogrcki matematicari definiraju kao presjekestosca ravninom. Odatle potjece i hrvatski naziv cunjosjecnice. Poznata nam jei Pappus-Boskoviceva definicija konika pomocu omjera udaljenosti od fokusa i oddirektrise, [7]. A u nasim srednjim skolama uvrijezile su se definicije kojima sukonike opisane kao geometrijska mjesta tocaka koje zadovoljavaju izvjesna svojstva.Ponovimo te definicije i neka svojstva konika.

4. Krivulje drugog reda 21

3.1. Elipsa

Definicija 3.2. Neka su F1 i F2 dvije cvrste tocke ravnine π i neka je a pozitivanrealni broj, a > 1

2|F1F2|. Skup svih tocaka ravnine π za koje je zbroj udaljenosti do

tocaka F1 i F2 jednak 2a nazivamo elipsa sa zaristima F1 i F2 i duljinom velikepoluosi a.

Opisimo neke simbole i termine koje cemo koristiti uz elipsu. Kao sto je vecreceno u definiciji, dane cvrste tocke F1 i F2 nazivaju se zarista ili fokusi elipse.Poloviste O duzine F1F2 zovemo srediste elipse. Tocke A1 i A2 elipse koje pripadajupravcu F1F2 zovemo tjemenima ili vrhovima elipse.

Duzina A1A2 naziva se velika os elipse, broj 2a zovemo duljina velike osi, abroj a duljina velike poluosi. Iz definicije elipse jasno je da je |OA1| = |OA2| = a.

Simetrala duzine F1F2 naziva se smjer male osi, a tocke B1 i B2 elipse natom pravcu zovu se tjemena ili vrhovi elipse. Duzina B1B2 naziva se mala os, abroj b = |OB1| = |OB2| duljina male poluosi.

Duzina koja spaja bilo koju tocku T elipse s jednim njezinim zaristem zove seradij-vektor tocke T . Spomenimo jos dvije numericke karakteristike elipse: linearnii numericki ekscentricitet. Linearni ekscentricitet, u oznaci e, jednak je 1

2|F1F2|,

dok je numericki ekscentricitet, s oznakom ε, jednak ae.

Odaberemo li pravokutni koordinatni sustav u ravnini tako da se x i y osipodudaraju sa smjerovima velike i male osi elipse, tada jednadzba elipse ima oblik

x2

a2+

y2

b2= 1.


Primjer 3.1. Konstruirajmo elipsu kojoj su zadana zarista F1 i F2 (e = 1.6) iduljina velike poluosi a = 2.

Ovo je tzv. konstrukcija elipse po definiciji ili vrtlarska konstrukcija.

Prvo odredimo srediste elipse kao poloviste duzine F1F2, te vrhove A1, A2

na velikoj osi. Potom odredimo vrhove B1, B2 na maloj osi konstruirajuci jed-nakokracne trokute F1B1F2 i F1B2F2 s krakovima duljine a. Za konstrukciju dalj-njih tocaka elipse odaberimo polumjer r1 > 2e, te opisimo kruznice k1 i k2 oko F1

i F2 s tim polumjerom. Zatim oko F1 i F2 opisimo kruznice k3 i k4 s polumjerom2a − r1. Tocke presjeka kruznica k1 i k3, odnosno kruznica k2 i k4 su tocke elipse.Na ovaj nacin dobivene su cetiri tocke elipse. Postupak ponavljamo.

Istaknimo nekoliko svojstava elipse.

Propozicija 3.1. Za duljine poluosi a i b, te za linearni ekscentricitet e elipse vri-jedi

a2 − b2 = e2.

Dokaz. Vrh B1 nalazi se na simetrali duzine F1F2,pa je |F1B1| = |F2B1|. Uz to, nalazi se i naelipsi pa je |F1B1|+|F2B1| = 2a, tj. |F2B1| =a. Trokut OF2B1 je pravokutni trokut, te jeprema Pitagorinom teoremu

|F2B1|2 = |OF2|2 + |OB1|2,

tj.a2 = e2 + b2

odakle slijedi tvrdnja. 2


Propozicija 3.2. Tangenta t u tocki T elipse raspolavlja vanjski, a normala unu-tarnji kut sto ga tvore dva radij-vektora tocke T .

Dokaz. Radij-vektor r1 = F1T produljimo preko tocke T za |F2T |. Takodobivenu tocku oznacimo sa S. Ocito je trokut F2TS jednakokracan s osnovicomF2S. Uz to, vrijedi

|F1S| = |F1T | + |TS| = |F1T | + |F2T | = 2a.

Neka je pravac t simetrala duzine F2S, atime i simetrala kuta 6 F2TS. Dokazimoda je t ujedno i tangenta elipse.Neka je tocka P proizvoljna tocka napravcu t koja je razlicita od T . U trokutuF1PS vrijedi nejednakost trokuta

|F1P | + |PS| > |F1S|.Buduci da tocka P lezi na simetrali duzine F2S, vrijedi |PS| = |F2P |. Sad

gornja nejednakost prelazi u oblik

|F1P | + |F2P | > |F1S| = 2a,

sto znaci da tocka P ne lezi na elipsi. Dakle, jedina tocka koja je i na elipsi i napravcu t je tocka T , tj. pravac t je tangenta elipse, cime je tvrdnja dokazana. 2

Propozicija 3.3. Tocka koja je simetricna jednom zaristu elipse s obzirom na tan-gentu elipse naziva se suprotiste tog zarista s obzirom na tu tangentu. Svasuprotista jednog zarista leze na kruznici k1 polumjera 2a sa sredistem u drugomzaristu. Kruznica k1 naziva se kruznica suprotista prvog zarista.


Dokaz. Dokaz se zas-niva na svojstvu tangentedokazanom u prethodnojpropoziciji. Tangenta t jeos simetrije jednakokracnogtrokuta F2TS. Stoga jetocka S simetricna zaristuF2 s obzirom na tangentu t,tj. S je suprotiste zaristaF2 s obzirom na tangentut. Za svako suprotiste Szarista F2 vrijedi |F1S| =2a, pa suprotista zarista F2

leze na kruznici sredista F1

i polumjera 2a. 2

Propozicija 3.4. Nozista okomica spustenih iz oba zarista elipse na tangentu elipseleze na kruznici k polumjera a sa srediste u sredistu elipse. Tu kruznicu nazivamoglavna kruznica elipse.

Dokaz. Promotrimo opet sliku iz dokaza Propozicije 3.2. i dopunimo jenozistima L i K okomica iz zarista F1 i F2 na tangentu t, te suprotistima S1 iS2 zarista F1 i F2 s obzirom na tangentu t.


Trokuti F1S1F2 i OKF2 su slicni jer imajuzajednicki kut 6 F1F2S1 i dva para pro-porcionalnih stranica: |F1F2| = 2|OF2| i|F2S1| = 2|F2K|. Prema tome, slijedi da je i|F1S1| = 2|OK|, a buduci da je |F1S1| = 2a,dobivamo da je |OK| = a. Dakle, nozisteK pripada glavnoj kruznici. Dokaz za tockuL dobivamo analogno promatrajuci slicnetrokute F2S2F1 i OLF1. 2

Primjer 3.2. Iz tocke T izvan elipse konstruirajmo tangente na elipsu i odredimodiralista koristeci se svojstvom suprotista. Elipsa je odredena poluosima a = 4,b = 2.4.

Analiza. Elipsa je dana svojim osima pa jelako odrediti polozaj njezinih zarista F1 i F2.Neka su t1 i t2 tangente na elipsu povuceneiz tocke T . Prema Propoziciji 3.3., suprotistaS1, S2 zarista F2 s obzirom na tangente t1 it2 leze na kruznici suprotista k1(F1, 2a). Uzto, tangenta t1 je simetrala duzine F2S1, paje |TF2| = |TS1|, tj. S1 lezi na kruznicik(T, |TF2|). Analogno, tangenta t2 je sime-trala duzine F2S2, pa je |TF2| = |TS2|, tj.S ∈ k(T, |TF2|).

Dakle, suprotista S1 i S2 su tocke presjeka kruznice k(T, |TF2|) i kruznicesuprotista k1(F1, 2a). Tangente t1 i t2 su simetrale duzina F2S1 i F2S2, a diralistaD1 i D2 su presjeci tih tangenata i duzina F1S1 i F1S2 redom.

Primjer 3.3. Zadane su tocke F1 i F2, te pravac t koji ne sijece duzinu F1F2.Konstruirajmo osi elipse kojoj su tocke F1 i F2 zarista, a pravac t tangenta.

Analiza. Prema Propoziciji 3.4., noziste K okomice na tangentu t elipse lezina glavnoj kruznici k(O, a) te elipse. Poznavajuci srediste glavne kruznice (to jepoloviste duzine F1F2) i tocku K znamo i odrediti duljinu velike poluosi. Duljinumale poluosi potom odredimo koristeci Propoziciju 3.1.


Rezultat koji cemo u velikoj mjeri koristiti u nacrtnoj geometriji pri projici-ranju kruznica jest sljedeci teorem.

Teorem 3.1. Perspektivno afina slika kruznice je elipsa.

Dokaz. Dat cemo jedan analiticki dokaz ove tvrdnje. Neka je dana perspek-tivna afinost (o : O, O). Prema vec dokazanom teoremu, postoji jedan par okomitihpravaca OA, OB sa sjecistem u O koji se afino preslikava u par okomitih pravacaOA, OB sa sjecistem u O. Uvedimo koordinatni sustav s osima OA, OB i ishodistemO, a jedinicne tocke na osima oznacimo s E i F . Pri afinom preslikavanju tocke Ei F preslikavaju se u tocke E i F na pravcima OA, OB i neka vrijedi

O E = a, O F = b.

Izracunajmo koordinate slike tocke T1 s osi OA. Njezine koordinate suT1(x, 0), a buduci da perspektivna afinost cuva omjer koordinate njezine slike suT1(x, 0) = (ax, 0). Analogno, koordinate slike tocke T2(0, y) s druge koordinatneosi su T2(0, yb). Bilo koja tocka T (x, y) ravnine se afino preslika u tocku T (ax, by).Kruznica cije tocke zadovoljavaju jednadzbu (x−p)2+(y−q)2 = r2 pri perspektivnojafinosti preslikava se u krivulju cije tocke (x, y) zadovoljavaju

(x

a− p

a

)2

+(

y

b− q

b

)2

= r2,

pri cemu je (p, q) = (ap, bq) slika sredista kruznice. Sredivanjem dobivamo

(x − p)2

(ar)2+

(y − q)2

(br)2= 1,

tj. dobivena je krivulja elipsa. 2


Buduci da su paralelnost i djelisni omjer invarijante perspektivne afinosti, onasvojstva kruznice koja su vezana uz paralelnost i omjere ostaju sacuvana, tj. vrijedei za elipsu. Oznacimo sa S srediste kruznice. Prvo zbog ocuvanja incidencije imamoda se svaki promjer kruznice (tetiva koja sadrzi S) preslikava afinoscu u promjerelipse, tangenta kruznice preslikava se u tangentu elipse, diraliste tangente kruznice udiraliste tangente elipse, a zbog svojstva da je S poloviste svakog promjera kruznice,imamo da je i njegova afina slika S poloviste svakog promjera elipse. Za svakipromjer AB kruznice postoji njemu okomiti promjer CD koji raspolavlja tetiveparalelne sa AB i prolazi diralistima obiju tangenata kruznice paralelnih sa AB.Pri afinom preslikavanju, promjer AB preslika se u promjer A B, a promjer CD upromjer elipse C D koji ima svojstvo da raspolavlja svaku tetivu elipse paralelnus A B i prolazi diralistima tangenata elipse paralelnih s AB. Promjere AB i C Dnazivamo konjugiranim promjerima elipse. Tocke C i D su diralista tangenataelipse koje su paralelne s promjerom A B i obratno.

Opcenito, kut izmedu dva konjugirana promjera je bilo koji siljasti kut, osimu slucaju kad su promatrani konjugirani promjeri velika i mala os elipse. U tomslucaju, kut izmedu njih je 90◦. Kod kruznice, svaki par konjugiranih promjera jemedusobno okomit.

Konstrukcija elipse pomocu jedne tjemene kruznice. Dana je perspek-tivna afinost (o : C1, C) pri cemu je C1C okomito na os o i C1C ∩ o = O. Odredimoperspektivno afinu sliku kruznice k sa sredistem u O koja prolazi tockom C1.

Uvedimo koordinatni sustav tako da su pravci o i C1C osi koordinatnog sus-tava. U njemu tocke C1 i C imaju koordinate C1(0, a), C(0, b), a > b. Neka jeT (x, y) afina slika tocke T (x, y) s kruznice k. Konstruktivno tocku T dobivamona dobro poznati nacin kao presjek zrake afinosti kroz T i pravca koji spaja fiksnutocku pravca C1T s tockom C.


Buduci da afinost cuva omjere, slijedi da je y : y = a : b, tj. y = bay. Uz to je i

x = x. Tocka T (x, y) pripada kruznici, pa za njezine koordinate vrijedi x2 +y2 = a2,sto nakon uvrstavanja prelazi u

x2 +(

a

b

)2

y2 = a2, tj.x2

a2+

y2

b2= 1,

tj. tocka T pripada elipsi cija je velika os upravo onaj promjer kruznice koji se nalazina osi o, a mala poluos je duzina CO. Dakle, elipsa je dobivena kao afina slika veliketjemene kruznice, pri cemu se radilo o afinosti cije su zrake afinosti ortogonalne naos. Elipsa se moze dobiti i kao afina slika male tjemene kruznice k(O, b = |OC|).U ovoj ortogonalnoj afinosti os je pravac CD, a par pridruzenih tocaka je A1 7→ A,a = |OA|.

Konstrukcija elipse pomocu dvije tjemene kruznice. Prethodno namje razmatranje dalo mogucnost da elipsu dobijemo kao afinu sliku velike, odnosnomale tjemene kruznice elipse. U sljedecem cemo tekstu pokazati kako kombinacijomova dva postupka dobivamo izuzetno jednostavnu konstrukciju elipse.

Neka je k(O, |OC1| = a) velika tjemenakruznica koja se afinoscu (o = AO : C1, C)preslikava u elipsu, a k(O, |OA2| = b) nekaje mala tjemena kruznica koja se afinoscu(o = CO : A2, A) preslikava takoder u tuistu elipsu. Sredistem O kruznice povucimopolupravac koji veliku kruznicu sijece u tockiP , a malu u tocki Q. Prva afinost tockuP (xP , yP ) preslikava u P cije koordinate suP (xP , b

ayP ). Druga afinost tocku Q(xQ, yQ)

preslikava u Q cije koordinate su Q(abxQ, yQ).


Pokazimo da su tocke P i Q jednake. Naime, iz slicnosti trokuta OQQ1 i OPP1

slijedi da je |OQ||OP | = |OQ1|

|OP1| , tj. ba

=xQ

xP, pa je xP = a

bxQ. Dakle, promatrane tocke

imaju jednake prve koordinate. Iz iste slicnosti imamo |OQ||OXP | = |QQ1|

|PP1| , tj. ba

=yQ

yP,

pa je yQ = bayP . Dakle, promatrane tocke imaju jednake i druge koordinate, tj.

P = Q = T . Zbog prve afinosti tocka T pripada zraci afinosti kroz P , tj. pripadaokomici na OA kroz P , a zbog druge afinosti tocka T pripada zraci afinosti kroz Q,tj. pripada okomici na OC kroz Q. Time se tocka T dobiva kao presjek okomicakroz tocke P i Q. Ovime je analiza zadatka gotova.

Konstrukcija tocke elipse provodi setako da povucemo bilo koju zraku krozO. Ona sijece malu tjemenu kruznicuu tocki Q, a veliku u P . Tockom Pspustimo okomicu na os AB, a tockomQ okomicu na os CD. Te se okomicesijeku u tocki T koja pripada elipsi.

Primjer 3.4. Perspektivna afinost zadana je svojom osi o i parom pridruzenihtocaka T 7→ T . Dana je kruznica k(S, r). Konstruirajmo glavne osi elipse dobivenekao afina slika kruznice k.

Rjesenje ovog primjera temeljimo na primjeni teorema da u skupu pravih ku-tova s vrhom u tocki T postoji jedan pravi kut koji se danom perspektivnom afinoscupreslikava u pravi kut.

Neka je k(S, r) dana kruznica. Prvopreslikamo njezino srediste u tocku S inademo presjek M simetrale duzine SSi osi o. Opisemo kruznicu sa sredistemu M kroz tocke S i S. Ona sijece oso u tockama K i L. Povucemo pravceSL, SK, SL i SK. Prema Talesovomteoremu o obodnom kutu nad prom-jerom pravci SL i SK su okomiti, aisto tako i drugi par pravaca. Neka suk ∩ SK = {1, 2} i k ∩ SL = {3, 4}.Njihove afine slike su tjemena trazeneelipse.


Rytzova konstrukcija elipse. Ovo je konstrukcija koju koristimo priodredivanju glavnih osi elipse u slucaju kad je dan jedan par konjugiranih promjeraelipse.

Analiza. Neka su dane kruznice k(O, a) i k(O, b) koje su tjemene kruzniceelipse E s glavnim osima CA i BD. Neka su OP1 i OQ1 dva medusobno okomitapolumjera kruznice k(O, a). Polumjer OP1 sijece kruznicu k(O, b) u tocki P2, apolumjer OQ1 sijece ju u tocki Q2. Kao sto je opisano u konstrukciji elipse pomocudvije tjemene kruznice, tocke P1 i P2 odreduju tocku elipse P , a tocke Q1 i Q2

odreduju tocku elipse Q. Duzine OP i OQ su par konjugiranih polumjera elipse E.

Rotirajmo pravokutni trokut Q1QQ2 za 90◦ tako da se Q1 preslika u P1. Slikatog trokuta je P1QP2. Vrijede sukladnosti

4P1QP2∼= 4Q1QQ2

∼= 4P1PP2,

pri cemu posljednja sukladnost vrijedi jer se radi o pravokutnim trokutima ciji siljastikutovi su kutovi s okomitim kracima i |P1P2| = |Q1Q2|.

Dakle, PP1QP2 je pravokutnik cije stranice su paralelne s osima elipse. Presjekdijagonala tog pravokutnika oznacimo sa R. Neka pravac PQ sijece veliku os u tockiM , a malu u tocki N .

Dokazimo da vrijedi |MQ| = a i |NQ| = b. Prvo zamijetimo da je trokut ORMjednakokracan s osnovicom OM , jer je slican jednakokracnom trokutu P2RP . Osimtoga je |RQ| = |RP1| jer je R srediste pravokutnika. Dakle, vrijedi

a = |OP1| = |OR| + |RP1| = |MR| + |RQ| = |MQ|.

Analogno, promatrajuci jednakokracan trokut NOR dobivamo da je

b = |OP2| = |OR| − |RP2| = |NR| − |QR| = |NQ|.


Osim toga iz jednakokracnosti trokuta ORM i NOR dobivamo da je |OR| =|RM | = |RN |, pa tocke M, N i O leze na kruznici sa sredistem u R i promjeromMN . Ovime je gotova analiza problema. Konstrukcija glavnih osi elipse ako suzadana dva medusobno konjugirana polumjera OP i OQ sada slijedi ovako: roti-ramo polumjer OQ za 90◦ u polozaj OQ. Nademo poloviste R duzine PQ i opisemokruznicu k(R, |OR|). Ta kruznica sijece pravac PQ u tockama M i N . Na pravcimaOM i ON leze glavne osi elipse, a njihove duljine su |MQ| i |NQ|.

Primjer 3.5. Iz tocke T izvan elipse konstruirajmo tangente na elipsu i odredimodiralista primjenom perspektivne afinosti. Elipsa je odredena poluosima a i b, (a = 4,b = 2.4).

Promotrimo afinost koja temeljnu kruznicu k(O, a = |OC1|) preslikava u elipsutako da tocku C1 preslikava u C, (|OC| = b) i os afinosti je okomica na zraku afinostikroz tocku O. Pri toj afinosti tocka T je slika neke tocke T1 koja se lako konstruira.Iz tocke T1 povucimo tangente t1 i t2 na kruznicu k(O, a). Njihova diralista su D1

i D2. Buduci da se tangente kruznice preslikavaju u tangente elipse, treba pomocuafinosti tangente t1 i t2 preslikati u pravce t1 i t2 koji su tangente elipse, a slikediralista D1 i D2 ce biti diralista tangenata i elipse.

Primjer 3.6. Zadana je elipsa svojim poluosima i pravac p. Konstruirajmo tan-gente elipse koje su paralelne s pravcem p.

1. projiciranje - pmf - matematički odsjek · pdf file1. projiciranje 1.1. uvod nacrtna...

Documents