1 partie : 2 partie :

1Séquence 6 – MA12

1ère partie : Dérivation (2) : application aux variations des fonctions

2e partie : Probabilités (2) : loi de Bernoulli, loi binomiale

Séquence 6

© Cned - Académie en ligne

2 Séquence 6 – MA12

1ère partie

Dérivation (2) : application aux variations des fonctions

Sommaire

1. Pré-requis

2. Variations d’une fonction dérivable sur un intervalle

3. Synthèse de la partie 1 de la séquence

4. Exercices d’approfondissement



1 Pré-requisSens de variation

1. Définitions

Ces définitions ont déjà été revues dans la partie 2 de la séquence 2.

Elles sont essentielles dans ce chapitre, elles sont donc rappelées ici.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.f est croissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments de I tel que a ≤ b, on a f (a) ≤ f (b).f est strictement croissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments de I tel que a b< , on a f a f b( ) ( ).< f est décroissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments de I tel que a ≤ b, on a f (a) ≥ f (b).f est strictement décroissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments de I tel que a b< , on a f a f b( ) ( ).>

Définition

On dit que f est monotone (resp. strictement) sur I lorsque f est (resp. strictement) croissante sur I ou lorsque f est (resp. strictement) décroissante sur I.

Soient f une fonction définie sur un intervalle I et x0 ∈ I.

Si, pour tout x ∈ I, f (x) ≤ f x( )0 , alors on dit que f x( )0 est le maximum de f sur I.

Si, pour tout x ∈ I, f (x) ≥ f x( )0 , alors on dit que f x( )0 est le minimum de f sur I.

Dans les deux cas, on dira que f x( )0 est un extrémum de la fonction f.

Définition

Un extrémum est une des images, c’est une des valeurs prises par la fonction.

Il ne faut pas confondre la valeur de l’extrémum, f x( ),0 avec le nombre x0.

A

Remarque



Soit f définie sur R par : f x x( ) ( )= − −1 22 . Pour tout réel x, on a f x f( ) ( )≥ 1 car

f ( )1 2= − et ( ) .x − − ≥ −1 2 22 Le minimum de f sur R est donc égal à −2 et ce

minimum est atteint pour x0 1= .

2. Variations des fonctions affines

Soit f une fonction affine définie sur � par f x ax b( ) ,= + avec a ≠ 0. Si a est strictement positif, la fonction affine f est strictement croissante

sur �. Si a est strictement négatif, la fonction affine f est strictement décroissante

sur �.

Propriétés

i

j

O

y = 2x–1

a > 0

i

j

O

y = –x+2

a < 0

Il est important de mémoriser visuellement ce résultat, de bien faire le lien entre le signe du coefficient directeur a de la droite et son inclinaison, entre le signe de a et le sens de variation de la fonction affine.

3. Fonctions u uet

Si u est une fonction à valeurs positives, alors les fonctions u uet ont les mêmes variations.

Propriétés

� Exemple

Remarque



Dérivation (1)

L’essentiel de la Partie 1 de la Séquence 4 sera utilisé ici : définitions, calculs de fonctions dérivées, équations de tangente.

Étude de signes

Il est indispensable de savoir étudier le signe d’une quantité qui dépend d’une variable.Les signes connus sont utilisés directement et dans les tableaux de signes.

1. Signes à connaître

� Un carré est toujours positif.

� Une racine carrée est toujours positive.

� Le tableau de signes d’une expression affine ax b+ :

a est positif, on a

x −∞ −b a/ +∞

Signe de ax b+ − 0 + o

a est négatif, on a

x −∞ −b a/ +∞

Signe de ax b+ + 0 −

Le signe de ax b+ est le signe de l’ordonnée des points d’une droite de coefficient directeur a, les figures précédentes permettent de retenir ces signes.

� Un trinôme du second degré ax bx c2 + + est toujours du signe de a sauf entre les racines si elles existent.

Il faut s’habituer à bien employer le mot « positif » : dire qu’un nombre est positif

signifie qu’il appartient à l’intervalle 0 ; + ∞ , le nombre 0 étant compris.

Dans les classes précédentes, et même au début de ce cours, on a aussi employé l’expression « positif ou nul » pour éviter d’éventuelles ambiguïtés.Nous n’emploierons plus qu’exceptionnellement l’expression « positif ou nul », nous emploierons l’expression « positif ». Par exemple, « un carré est toujours positif » signifie que, pour tout réel x, x 2 0≥ .

B

C

Rappel



Et, si on veut exclure le nombre 0, on dira « strictement positif ».Il en est bien sûr de même pour « négatif ».

2. Tableaux de signesPour étudier le signe d’une quantité un peu compliquée, dans la plupart des cas, il suffit de la factoriser suffisamment pour faire apparaître des quantités plus simples dont on connaît le signe.La factorisation permet de faire ensuite un tableau de signes.Il en est de même quand la variable apparaît au dénominateur : on réduit au même dénominateur, puis on factorise, si besoin, le numérateur et le dénominateur ce qui permet de faire un tableau.

Pour tout nombre réel x, on pose A x x x x( ) .= + +3 43 2

Déterminer le signe de A x( ) suivant les valeurs de x.

Solution

On peut factoriser A x( ) en utilisant le facteur commun x : A x x x x( ) ( ).= + +3 4 12

La parenthèse contient le polynôme du second degré 3 4 12x x+ + pour lequel

∆ = 4 et dont les racines sont donc x1

4 22 3

1= − −×

= − et x3

4 22 3

13

= − +×

= −.

Comme 3 est positif, la parenthèse est positive en dehors des racines.

x −∞ −1 −13

0 +∞

Signe de x − − − 0 +

Signe de

3 4 12x x+ + + 0 − 0 + +

Signe du

produit A x( ) − 0 + 0 − 0 +

Dans la suite, on n’écrira plus « signe de… ».

Pour tout nombre réel différent −1, on pose B x xx

( ) .= − ++

34

1

Déterminer le signe de B x( ) suivant les valeurs de x.

Solution

On transforme d’abord B x( ) en réduisant au même dénominateur.

On obtient : B xx x

xx x

x( )

( )( ).= − + +

+= − +

+3 1 4

12 1

1

2

On s’aperçoit qu’une identité

remarquable est utilisable au numérateur : B xxx

( )( )

.= −+11

2

D’où le tableau :

� Exemple

Remarque

� Exemple



x −∞ −1 1 +∞

( )x −1 2 + + 0 +

x +1 − 0 + +

B x( ) − + 0 +

Dans l’exemple 2, on a utilisé le signe de x qui est très simple.

Dans l’exemple 3, on a indiqué le signe du carré ( )x −1 2 sans oublier qu’il peut s’annuler.On a factorisé par un facteur commun dans l’exemple 1 et en utilisant une identité remarquable dans l’exemple 2, ce sont les deux techniques principales de factorisation.

Remarque



2 Variations d’une fonction dérivable sur un intervalle

Activités

Soit f une fonction définie et dérivable sur � dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

i

j

–1,1

1,6

2,7

O

� D’après la courbe, quel est le tableau de variation de f ?

x −∞ +∞

f x( )

� Compléter le tableau suivant :

x −∞ +∞

Signe du coefficient directeur de la tangente

au point d’abscisse x

� Comparer les deux tableaux. Qu’observe-t-on ?Quel est le lien avec la dérivation ?

Taux d’accroissement d’une fonction monotone� Soit f une fonction croissante sur un intervalle I, soit a un élément de I et h un

nombre réel non nul tel que a h+ appartienne à I.

AActivité 1

Activité 2



Conjecturer graphiquement le signe du taux d’accroissement f a h f a

h( ) ( )

.+ −

Démontrer cette conjecture.

� Soit f une fonction décroissante sur un intervalle I, soit a un élément de I et h

un nombre réel non nul tel que a h+ appartienne à I.

Conjecturer graphiquement le signe du taux d’accroissement f a h f a

h( ) ( )

.+ −

Démontrer cette conjecture.

On dispose d’une feuille carrée de 6 cm de côté. On découpe à chaque coin un carré de côté x pour obtenir le patron d’une boîte ouverte.

On considère la fonction V qui associe à x le volume V ( )x de la boîte.� Sur quel intervalle I est définie la fonction V ?

� Démontrer que, pour tout x de I, V ( ) .x x x x= − +4 24 363 2

� Afficher la représentation graphique de la fonction V sur l’écran de la calculatrice. On peut conjecturer que la fonction V admet un maximum en

x = 1. Démontrer que, pour tout x de I, on a V x V x x( ) ( ) ( ) ( ).− = − −1 4 1 42 Conclure.

� Que se passe-t-il si on utilise une feuille carrée d’une autre dimension, par exemple de 5 cm de côté ?

Cours

1. Variations et signe de la dérivéeDans les pré-requis, on a rappelé une propriété entre le sens de variation

d’une fonction affine définie sur � par f x ax b( ) ,= + avec a ≠ 0, et le signe du coefficient a. Or la fonction dérivée de la fonction affine f est la fonction constante qui prend la valeur a.

Dans l’activité 1, on a observé, sur les intervalles où la fonction f est monotone, le même lien entre le sens de variation d’une fonction et le signe de sa fonction dérivée.

Activité 3

B



Les propriétés que nous allons voir ici généralisent ces résultats aux fonctions dérivables sur un intervalle. Les propriétés 2 sont les réciproques des propriétés 2.

Propriété 1

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

a) Si la fonction f est croissante sur l’intervalle I, alors, pour tout x de I, f x'( ) .≥ 0

b) Si la fonction f est décroissante sur l’intervalle I, alors, pour tout x de I, f x'( ) .≤ 0

c) Si la fonction f est constante sur l’intervalle I, alors, pour tout x de I, f x'( ) .= 0

a) On rappelle que f af a h f a

hh'( ) lim

( ) ( ).= + −

→0

i

j

sécante(AM)

a a + h

tangenteen A

f (a)A

Mf (a + h)

O

Le nombre dérivé f a'( ) est obtenu en prenant la limite du taux d’accroissement. La fonction f est croissante sur I et on a prouvé, dans l’activité 2, que le taux d’accroissement est alors toujours positif. On obtient intuitivement que la limite ne peut pas être strictement négative : f a'( ) est donc positif.

(Remarque : on a seulement donné une idée intuitive de la notion de limite dans Dérivation (1), la partie 1 de la séquence 4 ; on garde donc ce point de vue intuitif pour cette démonstration).

Graphiquement, on rappelle que taux d’accroissement est le coefficient directeur d’une sécante, que le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a et que la tangente est « la droite limite » des sécantes.

� Démonstrations



b) La démonstration, dans le cas où la fonction f est décroissante sur l’intervalle I est analogue.

Le nombre dérivé f a'( ) est obtenu en prenant la limite d’un quotient qui est toujours négatif (activité 1), on obtient intuitivement que la limite ne peut pas être strictement positive : f a'( ) est donc négatif.

c) Soit f une fonction constante sur un intervalle I.

On a prouvé dans la Séquence 4 qu’alors la fonction dérivée de f sur I est la fonction nulle.

i

j

sécante(AM)

aa + h

tangenteen A

f (a) A

Mf (a + h)

O

Les propriétés 1 sont utiles, mais, plus utiles encore, les propriétés réciproques qui sont vraies aussi.

En Première S, nous les admettrons car les notions intuitives sur les limites que nous avons utilisées jusqu’ici sont insuffisantes pour construire les raisonnements qui prouvent les réciproques.

Propriété 2 (admises)


a) Si, pour tout x de I, f x'( ) ,≥ 0 alors la fonction f est croissante sur l’intervalle I.

b) Si, pour tout x de I, f x'( ) ,≤ 0 alors la fonction f est décroissante sur l’intervalle I.

c) Si, pour tout x de I, f x'( ) ,= 0 alors la fonction f est constante sur l’intervalle I.

On peut regrouper les propriétés 1 et 2 en énonçant des équivalences.



Théorème 1


a) « Pour tout x de I, f x'( ) ≥ 0 » ⇔ « la fonction f est croissante sur l’intervalle I ».

b) « Pour tout x de I, f x'( ) ≤ 0 » ⇔ « la fonction f est décroissante sur l’intervalle I ».

c) « Pour tout x de I, f x'( ) = 0 » ⇔ « la fonction f est constante sur l’intervalle I ».

Soit f la fonction inverse définie sur �*. On montre sur cette première fonction déjà connue comment on peut utiliser les propriétés 2.

On sait que la fonction f est dérivable sur �*. et que, pour tout réel x non nul,

on a f xx

'( ) .= −12

La fonction dérivée ne prend donc que des valeurs négatives.

On indique le signe de f x'( ) sur une ligne supplémentaire dans le tableau de variation :

x −∞ 0 +∞

f x'( ) − −

f x( )

Il faut bien retenir que les propriétés de ces théorèmes s’appliquent uniquement sur des intervalles.

En effet, on utilise le signe de la dérivée pour obtenir le sens de variation d’une fonction sur un intervalle. Or, on a rappelé dans les pré-requis, la définition d’une fonction croissante sur un intervalle. La notion de « croissance » sur un intervalle exprime que les images sont rangées dans le même ordre que les nombres de départ. De même, pour une fonction décroissante sur un intervalle, les images sont rangées dans l’ordre contraire des nombres de départ.

Si on ne reste pas à l’intérieur d’un intervalle, ces propriétés ne sont plus vraies.

L’exemple de la fonction inverse est très utile : on a l’inégalité − <3 5, mais aussi 13

15−

< puisque il s’agit d’un nombre négatif et d’un nombre positif.

La fonction inverse est décroissante sur l’intervalle −∞ ; 0 et aussi sur

l’intervalle 0 ; + ∞ , mais il est impossible d’énoncer une propriété sur les

variations avec la réunion de ces deux intervalles −∞ ∪ ∞ ; ; +0 0 .

Soit f la fonction définie sur � par f x x x x( ) .= − + +3 23 3 2 Etudier les variations de la fonction f.

� Exemple 1

� Exemple 2



SolutionLa fonction f est une fonction polynôme, définie et dérivable sur �.

Pour tout réel x, on a : f x x x x x x'( ) ( ) ( ) .= − + = − + = −3 6 3 3 2 1 3 12 2 2

La fonction dérivée f ' est donc à valeurs positives sur �, donc la fonction f est croissante sur �.

2. Fonction strictement monotone sur un intervalle

Si on souhaite utiliser des fonctions strictement monotones sur un intervalle, on utilise des propriétés un peu plus compliquées que les précédentes. En effet, comme le montrent la fonction cube ou la fonction représentée ci-contre, la fonction peut être strictement monotone sur un intervalle I sans que l’on puisse dire que sa fonction dérivée est strictement positive sur I puisque, dans certains cas, elle s’annule pour certaines valeurs de x.

Par exemple, la fonction représentée ici est définie et strictement

croissante sur − 1; 3 . Sa fonction dérivée est à valeurs

strictement positives sauf pour x = 0 et x = 2 où f x'( ) .= 0

On admettra le théorème et les propriétés qui suivent.

Ces conditions nécessaires et suffisantes ne sont pas très commodes.

Dans la pratique, pour justifier qu’une fonction f est strictement monotone sur un intervalle I, on utilisera les propriétés 3.

Ces propriétés 3 donnent donc des conditions suffisantes sur le signe de la dérivée f ' pour obtenir le sens de variation et la stricte monotonie de la fonction f. Comme on le voit avec la fonction cube ou la fonction représentée avant le théorème 2, ces propriétés ne sont pas nécessaires (obligatoires) quand une fonction est strictement monotone.

Remarque En Première S, il est rarement nécessaire de préciser que la monotonie est stricte, cela sera plus fréquent en Terminale S.

i

j

O


a) « La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle I » équivaut à « la fonction dérivée f ' est à valeurs strictement positives sauf éventuellement pour des valeurs isolées de x en lesquelles elle est nulle ».

b) « La fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle I » équivaut à « la fonction dérivée f ' est à valeurs strictement négatives sauf éventuellement pour des valeurs isolées de x en lesquelles elle est nulle ».

Théorème 2


a) Si, pour tout x de I, f x'( ) ,> 0 alors la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle I.

b) Si, pour tout x de I, f x'( ) ,< 0 alors la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle I.

Propriété 3 (admises)



3. Extremum d’une fonction dérivable sur un intervalle

Quand une fonction est dérivable sur un intervalle I, sa fonction dérivée permet d’obtenir simplement des informations sur les éventuels extrema.

Nous allons préciser cela dans ce paragraphe.

Propriété 4

Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle ouvert I, et x0 un élément de I. Si la

fonction f admet un extremum en x0 , alors f x'( ) .0 0=

On rappelle que le taux d’accroissement f x h f x

h( ) ( )0 0+ −

est le coefficient

directeur de la droite passant par les points de la courbe d’abscisse x0 et x h0 +

et que f xf x h f x

hh'( ) lim

( ) ( ).0 0

0 0=+ −

→

Supposons que la fonction f admette un maximum en x0.

La différence f x h f x( ) ( )0 0+ − . est toujours négative.

i

j

f (x0)

f (x0+ h)

x0+ hh négatif

x0+ hh positif

x0O

Le nombre x0 est un élément de l’intervalle ouvert I sur lequel la fonction f est définie et dérivable. Comme l’intervalle I est ouvert, le nombre h peut tendre vers 0 en étant positif ou en étant négatif.

� Démonstration



Si h est négatif, c’est-à-dire si x h x0 0+ < , on a f x h f x

h( ) ( )

.0 0 0+ −

>

Ce quotient étant strictement positif, sa limite, quand h tend vers 0, ne peut pas être

un nombre strictement négatif, donc lim( ) ( )

,h

f x h f xh→

+ −≥

0

0 0 0 d’où f x'( ) .0 0≥

Si h est positif, c’est-à-dire si x x h0 0< + , on a f x h f x

h( ) ( )

.0 0 0+ −

< Ce quotient

étant strictement négatif, sa limite, quand h tend vers 0, ne peut pas être un

nombre strictement positif, donc lim( ) ( )

,h

f x h f xh→

+ −≤

0

0 0 0 d’où f x'( ) .0 0≤

On a donc trouvé que f x'( )0 0≥ et f x'( )0 0≤ , la seule possibilité est donc

f x'( ) ,0 0= c’est bien l’égalité qu’on souhaitait prouver.

La démonstration est analogue si la fonction f admet un minimum en x0.

C’est une propriété nécessaire pour qu’une fonction dérivable admette un extremum, mais elle n’est pas suffisante car la réciproque est fausse.

Les exemples suivants mettent cela en évidence.

Les fonctions f et g sont définies sur �, la fonction h est définie sur − 1 3; .

On s’intéresse aux extrema et aux valeurs de x pour lesquelles les dérivées s’annulent.

ij

O

i

j

–1,1

1,6

2,7

O

i

j

O

Courbe de la fonction f Courbe de la fonction g Courbe de la fonction h

La fonction f est une fonction du second degré, définie sur �. Elle admet un

maximum, atteint en x = 1, et f '( ) .1 0=

La fonction f illustre la propriété 4.

La fonction g est définie sur �. La fonction g ne possède ni maximum, ni minimum. La fonction dérivée g ' s’annule en −4, −2, 2 et 4. La fonction g montre que la réciproque de la propriété 4 est fausse puisque la fonction dérivée g ' s’annule alors que la fonction g n’a pas d’extremum.



La fonction h est définie et dérivable sur I ;= − 1 3 . Elle admet un minimum en −1 et un maximum en 3. La dérivée s’annule en 0 et en 2. La condition « l’intervalle I est ouvert » n’est pas remplie pour la fonction h qui possède des extrema en des valeurs où la fonction dérivée ne s’annule pas.

� Si la fonction f est définie et dérivable sur un intervalle ouvert, on cherche les valeurs qui annulent la fonction dérivée. Pour savoir si la fonction f possède un extremum en une de ces valeurs, on établit le tableau de variation.

� Si la fonction est définie sur un intervalle fermé ou semi-fermé, on procède de même, mais le tableau de variation peut montrer qu’un extremum est atteint à une borne de l’intervalle où la dérivée n’est pas nécessairement nulle (comme dans le cas de la fonction h ci-dessus).

Reprenons l’activité 3.Si on construit la boîte à partir d’une feuille carrée de 5 cm de côté, on a montré que le volume V x( ) de la boîte est tel que V x x x x( ) = − +4 20 253 2 sur I ;= 0 2 5, .

La fonction V est une fonction polynôme dérivable sur I et on trouve :

V x x x'( ) .= − +12 40 252

On a obtenu un polynôme du second degré, on sait en étudier le signe.

On a ∆ = − − × × = =( )40 4 12 25 400 202 2 et donc les racines sont

x0

40 202 12

56

= −×

= et x1

40 202 12

2 5= +×

= , .

V x( ) est du signe de a = 4 sauf à l’intérieur des racines, d’où :

x 0 5/6 2,5

V x'( ) + 0 − 0

V x( ) 00

V ( / )5 6

V ( , )2 5

Le volume de la boîte est donc maximum pour x = 5 6/ et ce volume maximum

est V56

456

2056

2556

2503 2

=

−

+

=227

9 26≈ , .cm3

Sans utiliser la fonction dérivée, il est très difficile de conjecturer la valeur exacte où le maximum est atteint et encore plus de le prouver.

4. Exemples

Fonctions polynômes

Soit f la fonction définie sur � par f x x x x( ) .= − + −3 26 9 1

Dans la pratique

� Exemple 3

Remarque

� Exemple 4



a) Etudier les variations de la fonction f et donner son tableau de variation.

b) Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthonormé.

c) Graphiquement, combien l’équation f x( ) = 0 a-t-elle de solutions ?

Solutiona) La fonction f est une fonction polynôme, elle est définie et dérivable sur � et

f x x x'( ) ,= − +3 12 92 soit f x x x'( ) ( ).= − +3 4 32

Pour étudier les variations de la fonction f on étudie le signe de f x'( ).

Le signe de f x'( ) est le signe du trinôme x x2 4 3− + . Pour ce trinôme

∆ = − − × =( ) ,4 4 3 42 il y a donc deux racines qui sont 1 et 3. Le coefficient de

x 2 est égal à 1, positif, donc le trinôme est positif sauf à l’intérieur des racines.

x −∞ 1 3 +∞

f x'( ) + 0 − 0 +

f x( )

3

−1

b) On a représenté la fonction f en indiquant les tangentes parallèles à l’axe des abscisses, aux points A et B d’abscisses 1

et 3 car f f'( ) '( ) .1 3 0= =

c) la courbe représentative de f coupe l’axe des abscisses en trois points donc le graphique permet de dire que l’équation

f x( ) = 0 possède trois solutions.

Soit f la fonction définie sur � par

f x x x( ) .= − +4 22 2

a) Etudier les variations de la fonction f. La fonction f possède-t-elle un extremum ?

b) Dans un repère orthonormé, représenter graphiquement la fonction f.

c) Conjecturer graphiquement le nombre de solutions de l’équation f x( ) = λ

suivant la valeur du nombre réel λ.

0 1 2 3 4 5–1

1

2

3

4

–1

–2

–3

B

A

� Exemple 5



Solution

a) Pour étudier les variations de la fonction f, on peut étudier le signe de f x'( ) car f est une fonction polynôme dérivable sur �.

On a f x x x x x'( ) ( ),= − = −4 4 4 13 2 la forme factorisée permettant de faire un

tableau de signes. On devine facilement que le trinôme x 2 1− possède deux

racines, les nombres 1 et −1 ; le coefficient de x 2 est égal à 1, positif, donc le trinôme est positif sauf à l’intérieur des racines.On fait donc un tableau de signes pour obtenir le signe de la dérivée et il suffit d’ajouter une ligne pour indiquer les variations de la fonction f.

x −∞ −1 0 1 +∞

4x − − 0 + +

x 2 1− + 0 − − 0 +

f x'( ) − 0 + 0 − 0 +

f x( ) 1

3

1

Le tableau de variation prouve que la fonction f admet un minimum : ce minimum vaut 1 et il est atteint deux fois, en 1 et en −1.

b) On a représenté la fonction f en indiquant les tangentes parallèles à l’axe des abscisses, c’est-à-dire aux points d’abscisses −1, 0 et 1.

c) Pour conjecturer graphiquement le nombre de solutions de l’équation f x( ) = λ suivant la valeur du nombre réel λ, il suffit de regarder le nombre de points d’intersection de la courbe (C) représentant f et de la droite D d’équation y = λ.

On obtient :

� si λ < 1, la droite (D) ne coupe pas la courbe (C), l’équation

f x( ) = λ n’a pas de solution.

� si λ = 1, la droite (D) coupe la courbe (C) en deux points,

l’équation f x( ) = λ a deux solutions, −1 et 1.

� si 1 2< <λ , la droite (D) coupe la courbe (C) en quatre points,

l’équation f x( ) = λ a quatre solutions.

i

j

y = f(x)

y = λλ

O



� si λ = 2, la droite D coupe la courbe (C) en trois points, l’équation f x( ) = λ a trois solutions.

� si 2 < λ, la droite D coupe la courbe (C) en deux points, l’équation f x( ) = λ a deux solutions.

Fonctions rationnelles

Soit f la fonction homographique définie sur −∞ − ∪ − + ∞ ; ;2 2 par

f xx

x( ) .= −

+3 1

2

a) Calculer la fonction dérivée de f et en déduire le tableau de variation de f.

b) Etudier la position de la courbe (C) représentative de f par rapport à la droite

(D) d’équation y = 3.

c) Dans un repère, tracer la droite (D), puis la courbe (C).

Solution

a) La fonction homographique f est dérivable sur son ensemble de définition et

f xx x

x'( )

( ) ( )( )

,= + − −+

3 2 3 12 2

soit f xx

'( )( )

.=+7

2 2 Comme f x'( ) est strictement

positif, la fonction f est strictement croissante sur chaque intervalle de son

ensemble de définition.

x −∞ −2 +∞

f x'( ) + +

f x( )

b) Pour étudier la position de (C) par rapport à la droite (D), on étudie le signe de

la différence f x( ) .− 3

On a f xx

xx x

x x( )

( ).− = −

+− = − − +

+= −

+3

3 12

33 1 3 2

272

La différence f x( )− 3 est

donc du signe contraire de x + 2.

Si x < −2, alors x + <2 0 et donc f x( )− >3 0 : la courbe (C) est au dessus de la droite (D).

Si x > −2, alors x + >2 0 et donc : la courbe (C) et au dessous de la droite (D).

� Exemple 6



c)

–7–6–5–4–3–2–1–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

0

234567

89

101112

y = f (x)

y = f (x)

x = –2

y = 3

Soit f la fonction définie sur −∞ − ∪ − + ∞ ; ;1 1 par f x xx

( ) .= − + −+

11

1

a) Déterminer la fonction dérivée de la fonction f, puis étudier les variations de f.

b) On appelle (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. Etudier la position de (C) par rapport à la droite (D) d’équation y x= − +1. Dans un repère, tracer (D) puis (C).

Solutiona) la fonction rationnelle f est dérivable sur son ensemble de définition et on

a f xx

'( )( )

,= − ++

11

1 2 soit f x

xx

x xx

'( )( )

( )( )

( ).= − +

+= − +

+1 1

12

1

2

2 2 Le numérateur

qui est un polynôme du second degré, ayant pour racines 0 et −2, et dont le

coefficient de x2 est négatif. Le signe de f x'( ) est donc négatif si x appartient

à − − ∪ − 2 1 1; ; 0 . (On peut aussi obtenir le signe de f x'( ) en faisant le

tableau de signes du produit − +x x( ).2 )

x −∞ −2 −1 0 +∞

f x'( ) − 0 + + 0 −

f x( ) 40

� Exemple 7



b) Pour étudier la position de (C) par rapport à la droite (D), on étudie le signe

de la différence f x x( ) ( ).− − +1 Or f x xx

( ) ( ) .− − + = −+

11

1 La différence

f x x( ) ( )− − +1 est donc du signe de − +( ).x 1

x −∞ −1 +∞

f x x( ) ( )− − +1 + −

position (C) est au-dessus de (D) (C) est au-dessous de (D)

–6

–5

–4

–3

–2

–1 10 2 3 4 5 6

1

0

2

3

4

5

6

7

8y = f (x)

y

y = f (x)x = –1

y = –x + 1

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2

Avec une racine carrée

Soit g la fonction définie sur � par g x x x( ) .= − +4 22 2 On a donc g f=

où f est la fonction définie sur � par f x x x( ) ,= − +4 22 2 cette fonction f a été étudiée dans l’exemple 5.

a) Justifier que la fonction g est définie sur �

b) Etudier les variations de la fonction g.

c) Représenter graphiquement la fonction g.

� Exemple 8



Solution

a) Dans l’exemple 8, on a montré que 1 est le minimum de la fonction f définie

sur � par f x x x( ) .= − +4 22 2 Donc, pour tout x de � f x( ) est strictement

positif et donc la fonction g est définie sur �

b) D’après la partie 2 de la séquence 2, les fonctions f et g ont les mêmes variations, donc :

x −∞ −1 0 1 +∞

g x( ) 12

1

c)

i

j

O

Il ne faut pas oublier les méthodes du début du cours avec lesquelles on a pu étudier les variations d’une fonction sans connaître la dérivation. Bien sûr, dans cette séquence, vous vous entrainez à utiliser le signe de la dérivée, mais, après, vous choisirez la méthode la plus adaptée.

Le calcul de dérivées dans des cas simples est un attendu du programme.

Dans les cas plus difficiles, on peut vous donner l’expression de f x'( ) ou vous demander d’utiliser votre calculatrice ou un logiciel de calcul formel (par exemple Xcas qui est un logiciel gratuit).

Commentaire

Remarque



Exercices d’apprentissage

Soit f la fonction définie sur � par f x x x x( ) .= − +3 23 4 On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

� Etudier les variations de la fonction f.

� Soit T la tangente à la courbe C au point d’abscisse 1.

a) Déterminer une équation de la droite T.

b) Etudier les positions relatives de la courbe C et de sa tangente T suivant les valeurs de x. (On pourra s’aider de l’égalité ( ) ).a b a a b ab b− = − + −3 3 2 2 33 3

� Tracer la courbe C et la droite T.

� Graphiquement, suivant la valeur du nombre réel m, quel est le nombre de solutions de l’équation f x m( ) = ?

Soit f la fonction définie sur � par f x x x x( ) .= − + − +3 29 27 25

� Démontrer que la fonction f est strictement monotone sur �.

� La représentation graphique permet de conjecturer que l’équation f x( ) = 0 admet au moins une solution, démontrer que cette solution est unique.

� On appelle α l’unique solution de l’équation précédente, en donner un encadrement à 10 2− près à l’aide de la calculatrice.

Soit f la fonction définie sur � par f x x x x( ) .= − − −4 3 22 1 � Etudier les variations de la fonction f.� Représenter la fonction f dans un repère orthonormé.

� Soit ϕ la fonction définie sur � par ϕ( ) .x x x= − + −3 3 1 La fonction ϕ est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur � Déterminer la fonction dérivée ϕ' et représenter les fonctions ϕ et ϕ' dans un même repère orthonormé. Sur ces représentations graphiques, bien observer le sens de variation de ϕ et le signe de ϕ' (x).� On donne ci-contre les représentations graphiques (C) et ( )Γ de deux fonctions.L’une des deux fonctions est égale à la fonction dérivée de l’autre.Déterminer quelle est la courbe représentant la fonction f et quelle est la courbe représentant la fonction dérivée f '.

C

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

i

j

O

(C)

(C)

(Γ)

(Γ)



Pour chacune des fonctions suivantes, établir le tableau de variation et donner la représentation graphique dans un repère orthonormé ou non.

� La fonction f est définie sur 2 ; + ∞ par f xxx

( ) .= −−

12

Etudier la position

de la courbe (C) représentative de f par rapport à la droite (D) d’équation y = 1.

� La fonction g est définie sur � par g xx

x( ) .=

+3

12 Montrer que la fonction g

possède un maximum et un minimum.

� La fonction h est définie sur � par h xx xx

( ) .= −+

2

2 1 Etudier la position de la

courbe (C) représentative de h par rapport à la droite (D) d’équation y = 1.

� La fonction k est définie sur 1 ; +∞ par k x xx

( ) .= − +−

12

12

1 Montrer que

la fonction k possède un minimum.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O ; i j� �, ,( ) on considère le point

A(1 ; 2).Soit x un nombre réel strictement supérieur à 1 et soit M le point de coordonnées (x ; 0). La droite (AM) coupe l’axe des ordonnées en un point N.

� Montrer que l’ordonnée de N est égale à 2

1x

x −.

� On définit ainsi la fonction f en posant f xx

x( ) .=

−2

1

a) Quel est son ensemble de définition ?

b) Etudier les variations de la fonction f.

c) Démontrer que la fonction f est minorée par 2.

d) Donner une interprétation géométrique de ces résultats.

� On appelle g la fonction qui à x associe l’aire du triangle OMN.

a) Quel est l’ensemble de définition de la fonction g ?

b) Déterminer l’expression de g x( ).

c) Etudier les variations de la fonction g. En déduire l’existence d’un triangle d’aire minimale ; faire une figure dans ce cas.

Une unité de longueur ayant été choisie, on considère un rectangle dont l’aire est égale à 16.On appelle x la mesure d’un de ses côtés.

� Exprimer son périmètre p x( ) en fonction de x.

� Etudier les variations de la fonction p ainsi définie sur 0 ; + ∞ .

� En déduire que la fonction p admet un minimum pour une valeur de x que l’on précisera.

� Soit (C) la courbe représentative de la fonction p dans un repère orthogonal et (D) la droite d’équation y x= 2 . Etudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (D). Tracer (C) et (D).

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7



Un automobiliste parcourt la distance d1 séparant une ville A d’une ville B à une

vitesse moyenne de 80 km.h-1 et la distance d2 séparant la ville B de la ville C à une vitesse moyenne notée x.

Soit v x( ) la vitesse moyenne de cet automobiliste sur la totalité du trajet. On

définit ainsi la fonction v sur l’intervalle 0 130; .

� Quel est le sens de variation de la fonction v sur 0 130; ?

� Sachant que la distance d2 est deux fois plus grande que la distance d1,

exprimer en fonction de x la vitesse moyenne v x( ).

� Retrouver par le calcul le sens de variation de la fonction v sur 0 130; . La fonction v admet-elle un maximum ?

� Représenter graphiquement la fonction v dans un repère orthogonal.

Exercice 8



3 Synthèse de la partie 1 de la séquence

1. Variations et signe de la dérivée

Propriétés 1


a) Si la fonction f est croissante sur l’intervalle I, alors, pour tout x de I, f x'( ) .≥ 0

b) Si la fonction f est décroissante sur l’intervalle I, alors, pour tout x de I, f x'( ) .≤ 0

c) Si la fonction f est constante sur l’intervalle I, alors, pour tout x de I, f x'( ) .= 0

Propriétés 2


a) Si, pour tout x de I, f x'( ) ,≥ 0 alors la fonction f est croissante sur l’intervalle I.

b) Si, pour tout x de I, f x'( ) ,≤ 0 alors la fonction f est décroissante sur l’intervalle I.

c) Si, pour tout x de I, f x'( ) ,= 0 alors la fonction f est constante sur l’intervalle I.

On peut regrouper les propriétés 1 et 2 en énonçant des équivalences.

Théorème 1


a) « Pour tout x de I, f x'( ) ≥ 0 » ⇔ « la fonction f est croissante sur l’intervalle I ».

b) « Pour tout x de I, f x'( ) ≤ 0 » ⇔ « la fonction f est décroissante sur l’intervalle I ».

c) « Pour tout x de I, f x'( ) = 0 » ⇔ « la fonction f est constante sur l’intervalle I ».



2. Fonction strictement monotone sur un intervalle

Théorème 2


a) « La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle I » équivaut à « la fonction dérivée f ' est à valeurs strictement positives sauf éventuellement pour des valeurs isolées de x en lesquelles elle est nulle ».

b) « La fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle I » équivaut à « la fonction dérivée f ' est à valeurs strictement négatives sauf éventuellement pour des valeurs isolées de x en lesquelles elle est nulle ».

Propriétés 3


a) Si, pour tout x de I, f x'( ) ,> 0 alors la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle I.

b) Si, pour tout x de I, f x'( ) ,< 0 alors la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle I.

3. Extremum d’une fonction dérivable sur un intervalle

Propriétés 4

Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle ouvert I, et x0 un élément de I. Si la

fonction f admet un extrémum en x0 , alors f x'( ) .0 0=

Cette propriété s’applique si la fonction est dérivable sur un intervalle ouvert.C’est une propriété nécessaire pour qu’une fonction dérivable admette un extremum, mais elle n’est pas suffisante car la réciproque est fausse.

� Si la fonction f est définie et dérivable sur un intervalle ouvert, on cherche les valeurs qui annulent la fonction dérivée. Pour savoir si la fonction f possède un extremum en une de ces valeurs, on établit le tableau de variation.

� Si la fonction est définie sur un intervalle fermé ou semi-fermé, on procède de même mais le tableau de variation peut montrer qu’un extremum est atteint à une borne de l’intervalle où la dérivée n’est pas nécessairement nulle.

Dans la pratique



4 Exercices d’approfondissement

On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

2 x

2

1

y

0

1

–1

�

Parmi les quatre courbes suivantes, quelle est la seule susceptible de représenter la fonction dérivée f ' ?

i

j

–1

1

1

y

x0 i

j

–1

1

1

y

x0

figure A figure B

i

j

–1

1

1

y

x

0 i

j

– 1

1

1

y

x

0

figure C figure D

Exercice I



Le but de cet exercice est de montrer que la fonction g possède un extremum et d’en trouver une valeur approchée. Pour faire cela, on étudie d’abord la fonction auxiliaire f.

� Soit f la fonction définie sur � par f x x x( ) .= + −3 1

a) Etudier les variations de la fonction f.

b) On admet que l’équation f x( ) = 0 a au moins une solution, démontrer alors que l’équation admet une solution unique que l’on notera α. Démontrer que α appartient à l’intervalle 0 1; .

c) A l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de α à 10 3− près.

d) Déterminer le signe de f x( ) suivant les valeurs de x.

� Soit g la fonction définie sur � par g x x x x( ) .= + − +4 22 4 2

a) Etudier les variations de la fonction g et montrer que g admet un extremum pour x = α.

b) Montrer que g( ) ,α α α= − +2 3 2 puis encadrer l’extremum g( )α en utilisant

les variations de la fonction h définie sur � par h x x x( ) .= − +2 3 2

Soit f la fonction définie sur � par f xx x x

x( ) .= − + − +4 3 2

162

35

24

43

Sa représentation graphique est donnée ci-contre.

� D ‘après le graphique, que peut-on dire

de l’équation f x( ) = −1 ?

� La fonction f, étant une fonction polynôme, est dérivable sur �. Déterminer

f x'( ).

� Déterminer les deux réels b et

c tels que, pour tout réel x, on a

f xx x bx c

'( )( )( )

.= − + +44

2

� Etablir le tableau de variation de la fonction f.

� La fonction f est-elle strictement monotone sur l’intervalle −∞ ; 4 ? Sur

l’intervalle 4 ; + ∞ ?

Que peut-on dire alors du nombre de solutions de l’équation f x( ) = −1 ?

Exercice II

Exercice III

i

j

O



Le coin inférieur d’une feuille de papier de 4 cm de largeur est plié de façon à toucher le bord de la feuille comme l’indique la figure ci-contre. On appelle A’ le point de contact.

Le but de cet exercice est de chercher, si elle existe, la longueur minimale du « pli » PQ.

On pose x = AQ et y = AP.

� Exprimer A’Q en fonction de x. Expliquer pourquoi x est nécessairement compris entre 2 et 4. Exprimer enfin A’B en fonction de x.

� En calculant de deux manières l’aire du trapèze PABA’, montrer que l’on a la relation suivante :

xy x x y x+ − − = + −( )( ) .4 2 4 2 2 2 4

En déduire que yx

x=

−2

2 4.

� Montrer que PQ =−

xx

3

2. Etudier les variations de la fonction f définie sur

2 ; 4 par f xx

x( ) .=

−

3

2

En déduire les variations de la fonction g définie sur 2 ; 4 par g xx

x( ) .=

−

3

2

En déduire la longueur minimale du « pli » PQ.

� On appelle S x( ) l’aire de la surface repliée, c’est-à-dire l’aire du triangle APQ.

Montrer que S xx

x( ) .=

−

2

2 4

Etudier les variations de la fonction S sur 2 4; . La fonction S admet-elle un extremum ? Si oui, est-ce pour la même valeur de x que la fonction g ?

Une unité de longueur ayant été choisie dans le plan, on considère un triangle

ABC tel que AB = 1, AC = 3 et BC = x. On se propose de déterminer s’il existe

un réel x rendant l’aire du triangle ABC maximale.

Pour cela, on utilise la formule de Héron (mathématicien grec du 1er siècle ap J-C,

la formule avait été aussi prouvée avant par Archimède). Cette formule donne

l’aire S d’un triangle en fonction des longueurs a, b et c des côtés (p est le demi-

périmètre pa b c= + +

2) : S p p a p b p c= − − −( )( )( ).

C D

B Q

A'

P

A

Exercice IV

Exercice V



� Montrer que 2 4≤ ≤x .

� A l’aide de la formule de Héron, exprimer l’aire S x( ) en fonction de x et déterminer la valeur de x pour laquelle l’aire du triangle ABC est maximale.

� Quelle est alors dans ce cas la nature particulière du triangle ABC ?

Un cylindre de révolution de rayon x cm est inscrit dans un cône de révolution de rayon 10 cm et de hauteur 30 cm.

Le volume de ce cylindre, exprimé en cm3, est donné par

la formule suivante :

V x xx

( ) = −

30 110

2π où 0 10≤ ≤x .

Déterminer x pour que le volume du cylindre soit

maximum.

Exercice VI



Probabilités (2) : loi de Bernoulli, loi binomiale

2e partie

Sommaire

1. Pré-requis

2. Loi de Bernoulli, loi binomiale

3. Synthèse

4. Exercices d’approfondissement



1 Pré-requisOn utilise dans cette séquence des définitions et des résultats de la partie 2 de la séquence 3.

Soit une expérience aléatoire et soit E l’ensemble des issues de cette expérience aléatoire.

On a défini sur l’univers E une loi de probabilité P.

Dans toute cette partie, on notera P(A) la probabilité de l’événement A pour évi-ter toute confusion avec un paramètre qui est traditionnellement noté p.

1. Variable aléatoire

On dit qu’on définit une variable aléatoire sur l’ensemble E lorsqu’on associe un nombre réel à chaque issue de l’expérience aléatoire.

Définition

2. Loi de probabilité d’une variable aléatoire

La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est donnée par :

l’ensemble des valeurs {x1, x2,…,xr} prises par la variable aléatoire,

les probabilités P xi( )X = pour toutes les valeurs xi prises par X.

Définition

La loi de probabilité d’une variable aléatoire se donne souvent par un tableau où on indique les valeurs xi prises par la variable aléatoire et les probabilités P xi( ).X =

xi

P x pi i( )X = =

L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre, noté E(X ), défini par :

E( ) ( ) ( ) ( )X x P X x x P X x x P X x x p x pr r r= = + = +…+ = = +…+1 1 2 2 1 2 rr .

Définition

Notation

Remarque



La variance V(X) et l’écart-type σ( )X d’une variable aléatoire X sont définis par :

V E E E( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) X x X p x X p x X pr r= − + − +…+ −12

1 22

22 ett ( ) ( ).σ X X= V

Définition

3. Répétition d’expériences identiques et indépendantes.

Précisons ce que nous désignons par la répétition d’expériences identiques.� Cela signifie que les conditions dans lesquelles on répète l’expérience sont les

mêmes. Par exemple, les tirages de boules ou de jetons se font « avec remise » de l’objet tiré après chaque tirage.

� Cela signifie aussi qu’une expérience ne dépend pas du résultat de l’expérience précédente. De manière imagée, on peut dire que les pièces ou les dés n’ont pas de mémoire.

� Bien entendu, cela ne signifie pas que les résultats de ces expériences répétées sont les mêmes, puisqu’il s’agit d’expériences aléatoires.

On considère une expérience aléatoire ayant deux issues. On effectue n fois cette expérience, on répète donc n expériences identiques.

Ces expériences répétées consti-tuent ensemble une nouvelle ex-périence qui possède 2n issues.

Propriétés

On considère une expérience aléatoire formée par la répétition d’expériences identiques ayant deux issues.

On définit une loi de probabilité sur l’univers des 2n issues de la façon suivante :

� la probabilité d’une liste de n résultats est le produit des probabilités de chacun des n résultats partiels qui la constituent.

Pour exprimer qu’on choisit cette loi de probabilité, on dit qu’on utilise le modèle de la répétition d’épreuves identiques et indépendantes, ou, plus brièvement, que les expériences sont identiques et indépendantes.

Propriétés

NN

J

J25

35

2535

N

J

2535

Les arbres pondérés, où on indique sur chaque branche la probabilité d’obtenir chaque résultat partiel, permet d’utiliser très facilement la propriété précédente.

Propriétés



2 Loi de Bernoulli, loi binomiale

On rencontre ici le nom de Bernoulli.

Dans cette grande famille de mathématiciens suisses (Jacques, Johan I, Nicolas I, Daniel, Nicolas II, Johan II,…), c’est Jacques Bernoulli (1654-1705) qui est honoré ici. Il est l’un des fondateurs de la théorie des probabilités.

C’est dans son ouvrage Ars Conjectandi (édité par son neveu en 1713) qu’il dé-finit la variable aléatoire qui porte son nom et qu’il met aussi en évidence la loi binomiale.

Activités� On lance une fois une pièce bien équilibrée.

Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 quand on obtient Pile et la valeur 0 quand on obtient Face. Donner la loi de probabilité de X, son espérance et sa variance.

� Mêmes questions qu’au � mais avec une pièce mal équilibrée pour la quelle la probabilité d’obtenir Pile est 0,7.

� On lance un dé bien équilibré. Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 quand on obtient 6 et la valeur 0 dans les autres cas. Donner la loi de probabilité de X, son espérance et sa variance.

� Conjecturer des relations permettant de calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire dans des situations analogues.

On lance trois fois de suite un dé cubique bien équilibré.

Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où on obtient 6. En uti-lisant un arbre pondéré pour illustrer cette expérience aléatoire, donner la loi de probabilité de X et son espérance.

� On lance quatre fois de suite une pièce mal équilibrée pour laquelle la proba-bilité d’obtenir Pile est égale à 0,7. Construire un arbre pondéré illustrant cette expérience aléatoire.

Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où on obtient Pile. Don-ner la loi de probabilité de X et son espérance.

A� Activité 1

� Activité 2

� Activité 3



� On utilise maintenant une pièce bien équilibrée. On appelle Y la variable aléa-toire qui donne le nombre de fois où on obtient Pile avec cette pièce déséquili-brée. Donner la loi de probabilité de Y et son espérance.

� Conjecturer une relation permettant de déterminer l’espérance des variables aléatoires des activités 2 et 3.

Cours

1. Epreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli

Définition 1

Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire comportant deux issues, l’une appelée « succès », l’autre appelée « échec ».

Voici quelques situations qui peuvent être modélisées par une épreuve de Ber-noulli :

le lancer d’une pièce,

le sexe d’un nouveau-né,

tirer une boule dans une urne qui ne contient que des boules de deux couleurs,

répondre au hasard à des questions Vrai-Faux,

gagner à un jeu de hasard.

Définition 2

On considère une épreuve de Bernoulli.

Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de réussite et la valeur 0 en cas d’échec.

La variable aléatoire X est appelée variable de Bernoulli et la loi de probabilité de X est appe-lée loi de Bernoulli.

On note p la probabilité de réussir et donc q p= −1 la probabilité d’échouer.

D’où P p( )X = =1 et P q p( ) .X = = = −0 1

Loi de probabilité d’une variable de Bernoulli

xi 1 0

P (X=xi ) p 1–p

� Activité 4

B

Notation

Succèsp

q = 1 –p Échec



Dans l’activité 1 vous avez déjà étudié trois variables de Bernoulli.

Dans chaque cas, vous avez calculé l’espérance et la variance.

Dans le cas général, on retrouve les mêmes relations que celles trouvées dans les trois cas.

En effet :

E

V E E

( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

X

X X X

= × + × − =

= − ( ) = × + ×

1 0 1

1 0 12 2 2 2

p p p

p −− − = − = − =p p p p p p pq) ( ) .2 2 1

Propriété

La variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p a pour espérance p et pour variance p p( ).1−

2. Schéma de Bernoulli, loi binomiale : définitions

On généralise ici ce qui a été observé dans les activités 2 et 3.

Définition 3

La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes est une expérience aléatoire qu’on appelle schéma de Bernoulli.

Définition 4

Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli où on répète n fois une épreuve de Bernoulli pour la quelle la probabilité du succès est égale à p.

La loi de probabilité de X s’appelle la loi binomiale de paramètres n et p.

Cette loi est notée B( ).n p;

Le paramètre n est un entier naturel non nul.

Le paramètre p est un nombre réel de l’intervalle 0 ; 1 .

Dans l’activité 3, on a répété 4 fois le lancer d’une pièce de monnaie qui tombe sur Pile avec la probabilité 0,7 (c’est-à-dire dans 70 % des cas). X est la variable aléatoire égale au nombre de Pile obtenus à l’issue des 4 lancers. La loi de pro-babilité de X est la loi binomialeB( ; , ).4 0 7

Remarque

� Exemple 1



Reprenons l’arbre pondéré :

PPPP

Chemins

0,7

0,7

0,7

0,7

0,3

PP

F

P

P

F0,3

0,7

0,3

PPPF

PPFP

PPFF

PFPP

F

PFPF

PFFP

PFFF

FPPP

0,7

0,3

0,3

P FPPF

FPFP

FPFF

FFPPFF

F

FFPF

FFFP

FFFF

4

3

3

2

3

2

2

1

3

2

2

1

2

1

1

0

(0,7)4

Probabilités

(0,7)3 � 0,3

(0,7)3 � 0,3

(0,7)2 � (0,3)2

(0,7)3 � 0,3

(0,7)2 � (0,3)2

(0,7)2 � 0,32

0,7 � (0,3)3

(0,7)3 � 0,3

(0,7)2 � (0,3)2

(0,7)2 � (0,3)2

0,7 � (0,3)3

(0,7)2 � (0,3)2

0,7 � (0,3)3

(0,7) � (0,3)3

(0,3)4

Valeurs de X

Pour calculer la probabilité de l’événement ( )X k= lorsque X est une variable aléatoire de loi binomialeB( ; , )4 0 7 , il nous a fallu au préalable déterminer la probabilité de chaque chemin conduisant à k succès (k fois la lettre « P »). Grâce à l’arbre pondéré, la probabilité de chacun de ces chemins s’obtient en mul-tipliant les probabilités sur les branches de l’arbre et on observe que tous ces chemins ont la même probabilité : 0 7 0 3, , .k n k× − On a déterminé le nombre de chemins conduisant à k succès. Enfin, en multipliant 0 7 0 3, ,k n k× − par le nombre de chemins, on obtient la probabilitéP X k( ).=

Définition

Le nombre de chemins de l’arbre réalisant k succès pour n répétitions se note nk

et s’appelle

un coefficient binomial.

Les coefficients binomiaux sont étudiés plus loin.Remarque



Le coefficient binomial nk

se lit « k parmi n ». Par exemple, 4

2

se lit « 2 parmi 4 ».

Dans les calculs, on utilise les valeurs données par les calculatrices ou les tableurs.

Pour la calculatrice TI-82 Stats.fr, pour obtenir 4

2

, on utilise la fonctionnalité

Combinaison (ou nCr) qui se trouve dans Maths PRB. En validant 4 Combinaison

2 (ou 4 nCr 2) on obtient 6, donc on écrit 4

26

= . On retrouve bien le nombre

de chemins de l’arbre qui réalisent 2 succès.

Pour la calculatrice Casio Graph 25+Pro, on tape aussi 4 nCr 2, nCr est obtenu par OPTN F6 PROB.

Sur le tableur OpenOffice, on utilise la fonctionnalité Combin(n ;k).

Théorème 1

Expression de la loi binomiale

Lorsque la loi d’une variable aléatoire X est la loi binomiale de paramètres n et p, la variable

aléatoire X prend les n +1 valeurs 0, 1, …, n avec les probabilités :

P knk

p pk n k( ) ( )X == ==

−− −−1 pour tout entier k tel que 0 ≤ ≤k n.

Dans l’exemple 1, on obtient P( ) ( , ) ( , )X = = × ×3 4 0 7 0 33 1 ce qui correspond, en effet, à :

P(X = 3) = 4 � (0,7)3 � (0,3)1

nombrede chemins

probabilitédu succès

probabilitéde l’échec

nombrede succès nombr

d’éche

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et

p = 0 4, .

Déterminer P( ).X = 3

Solution

D’après le théorème 1, on a P X( ) , , .= =

× ×310

30 4 0 63 7

� Exemple 2



La calculatrice affiche 10 Cr 3 =120, donc 10

3120

= . D’où :

P X( ) , , , .= = × × ≈3 120 0 4 0 6 0 2153 7

Pour reconnaître et justifier les situations où une variable aléatoire X suit

une loi binomiale B( ),n p; il est essentiel de mettre en évidence

une épreuve de Bernoulli, où le succès a pour probabilité p,

répétée n fois,

de façons identiques et indépendantes.

À savoir

3. Tableurs et calculatrices

Les tableurs et la plupart des calculatrices permettent d’obtenir directement les

valeurs P k( )X = d’une loi binomiale et aussi les probabilités P k( ).X ≤ Les pro-

babilités P k( )X ≤ sont parfois appelées « probabilités cumulées », elles seront utilisées dans des exercices d’approfondissement et aussi dans la séquence 8.

� Avec un tableur

La syntaxe LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; FAUX) ou LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; 0) renvoie la probabilité P k( )X = pour une variable aléatoire X de loi binomiale de paramètres n et p.

La syntaxe LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; VRAI) ou LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; 1) renvoie la probabilité cumulée P k( ).X ≤

� Avec une calculatrice TI (84, mais aussi 83 et 82 avec des modifications mineures)

Pour calculer P k( )X = lorsque X suit la loi binomiale B( ),n p; on utilise l’ins-truction binomFdp( (que l’on obtient par l’instruction DISTR (touches 2ND VARS ) et la touche 0) que l’on complète ainsi : binomFdp(n, p, k).

Ces calculatrices donnent aussi les probabilités P k( )X ≤ par l’instruction binom-FREPdp(.

� Avec une calculatrice Casio graph 25+Pro

Pour cette calculatrice, pour calculer P k( ),X = il faut taper la formule nk

p pk n k

− −( )1 ou avoir implanter sur la calculatrice le petit programme :



" "?N N= →

" "?p p= →

" "?K K= →

NCr K C→

C p K p N K B× × − − →^ ( )^( )1

" ( ) "P X K= = B

� Avec une calculatrice Casio graph 35+

Pour calculer P k( )X = lorsque X suit la loi binomiale B( ),n p; on utilise le menu STAT, on choisit DIST (touche F5) puis BINM (touche F5), Bpd (touche F1) et Var (touche F2).

On renseigne la boîte de dialogue : Data : variable ; valeur désirée : k ; Numtrial : n ; probabilité : p.

Pour obtenir les probabilités P k( ),X ≤ dans le menu STAT, on saisit dans la Liste 1 les valeurs possibles pour k : 0, 1, 2, … , n.

On choisit ensuite DIST (touche F5) puis BINM (touche F5), Bcd (touche F2).

On renseigne la boîte de dialogue comme ci-dessus, sauf pour Data où on choisit List.

Pour chaque valeur de k, la probabilité P k( )X ≤ est affichée dans une liste.

4. Espérance et variance d’une loi binomiale

Les activités ont permis de conjecturer, à partir de trois exemples, l’expression de l’espérance d’une loi binomiale.

Nous allons étudier deux cas un peu plus généraux.

� On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B( ).2 ; p

On donne sa loi de probabilité sous forme d’un tableau et on calcule son espé-rance.

f 0 1 2

P X k( )= 20

10 2

−p p( )

21

11 1

−p p( )

22

12 0

−p p( )

P X k( )= ( )1 2− p 2 1p p( )− p2

E( ) ( ) ( ) .X p p p p p= × − + × − + × =0 1 1 2 1 2 22 2



� On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B( ).3 ; p

On donne sa loi de probabilité sous forme d’un tableau et on calcule son espé-rance.

f 0 1 2 3

P X k( )= 30

10 3

−p p( )

31

11 2

−p p( )

32

12 1

−p p( )

33

13 0

−p p( )

P X k( )= ( )1 3− p 3 1 2p p( )− 3 12p p( )− p3

E( ) ( ) ( ) ( )X p p p p p p

p p

= × − + × − + × − + ×

= −

0 1 1 3 1 2 3 1 3

3 6

3 2 2 3

2 ++ + − + =3 6 6 3 33 2 3 3p p p p p.

Les activités et ces deux cas permettent de conjecturer que l’espérance d’une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n et p vérifie

E( ) .X = np

Nous admettons ce résultat ainsi que celui donnant la variance.

Propriété 2

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p, son espérance et sa variance sont données par :

E( )X = np et V( ) ( ).X = −np p1

Lors d’un concours de tir, on estime qu’à chaque essai un tireur atteint la cible avec la probabilité 0,35. Chaque tireur effectue dix essais. On suppose que ces essais sont identiques et indépendants.

� Quelle est la probabilité que le tireur atteigne exactement 4 fois la cible au cours des 10 essais ?

� Quel est le plus petit nombre de tirs qu’il doit effectuer pour atteindre la cible au moins une fois avec une probabilité supérieure à 0,9 ?

� Combien peut-il espérer réussir de tirs ?

Solution Chaque essai peut-être assimilé à une épreuve de Bernoulli.

Le succès a la probabilité p = 0 35, .

On effectue dix essais identiques et indépendants.

� Exemple 3



La variable aléatoire X qui donne le nombre de succès suit donc la loi binomiale

B( ).10 ; 0,35

� On a donc P( ) , , .X = =

×410

40 35 0 654 6

Une calculatrice donne 10

4210

= , donc

P( ) , , , .X = = × × ≈4 210 0 35 0 65 0 23774 6

� Soit A l’événement : « le tireur atteint au moins une fois la cible » et A l’évé-nement contraire « le tireur n’atteint jamais la cible ».

Comme P P XA( ) = =( ),0 on a Pn n nA( ) =

× × =0

0 35 0 65 0 650, , , .

Donc P nA( ) = −1 0 65, .

On cherche le plus petit entier n tel que P A( ) > 0 9, ce qui équivaut à

1 0 65 0 9− >, ,n ou encore à 0 1 0 65, , .> n

On affiche sur la calculatrice les premiers termes de la suite géométrique 0 65, n( )

et on trouve 0 65 0 1165, ,≈ et 0 65 0 0756, ,≈ : le plus petit nombre n de tirs que

le tireur doit effectuer pour atteindre la cible au moins une fois avec une proba-

bilité supérieure à 0,9 est donc n = 6.

� On calcule l’espérance de la variable aléatoire X dont la loi est la loi binomiale

B( ).10 ; 0,35

Donc, puisque np = × =10 0 35 3 5, , le tireur peut espérer réussir en moyenne 3,5

tirs par série de dix essais (on ne trouve pas un résultat entier car il s’agit d’une

moyenne).

5. Représentation graphique d’une loi binomiale

La loi binomiale est très importante.

On verra à la fin de ce cours et surtout en terminale son rôle essentiel en statistiques.

Aussi il est très utile de représenter graphiquement les lois binomiales.

On va faire des graphiques analogues au diagramme en bâtons que l’on a faits pour les fréquences en statistiques. Les probabilités seront représentées par la hauteur des bâtons.

Voici un graphique obtenu avec OpenOffice pour la loi binomiale de paramètres

n = 10 et p = 0 7, .

Les valeurs de la loi binomiale ont été calculées en utilisant l’instruction :

LOI.BINOMIALE(nombre de succès ; n ; p ; 0).

� Exemple 4



On peut remarquer que le logiciel fait des bâtons très larges, il ne faut pas confondre ce graphique avec un histogramme.

En abscisse on a indiqué les valeurs possibles de k, le nombre de succès, qui sont 0, 1, … ,10.

En ordonnée, on a indiqué les probabilités P k( ).X =

Voici un deuxième graphique, la loi binomiale ayant comme paramètre n = 50

et p = 0 7, .

Les valeurs prises par la variable aléatoire X, le nombre de succès, vont mainte-nant de 0 à 50.



Dans les deux graphiques, on peut remarquer que les probabilités les plus grandes correspondent aux valeurs qui sont proches de la valeur de l’espé-

rance. En effet, dans le premier cas E( ) ,X = = × =np 10 0 7 7 et dans le second

E( ) , .X = = × =np 50 0 7 35

6. Simulation de la loi binomiale

Algorithme pour simuler une réalisation de l’expérience d’un schéma de Bernoulli de paramètres n et pVariables : n, i, j, k : entiers ; p : réelDébut Lire n, p

k ← 0

Pour j = 1 à n faire

Si random ≤ p alors k k← +1 Fin Si FinPour Afficher k

Cet algorithme affiche le nombre de succès pour une réalisation.

En exercice, on vous propose d’écrire le programme correspondant pour votre calculatrice.

Et d’écrire aussi un programme affichant les résultats pour un échantillon de taille E, ainsi que la moyenne du nombre de succès dans un échantillon.

Avec un tableurOn a simulé la fréquence du nombre de bonnes réponses à un QCM, quand on répond au hasard à chacune des 40 questions, cinq réponses étant proposées pour chaque question dont une seule correcte.

Donc ici n = 40 et p = 0 2, .

Dans la ligne 2, en utilisant l’instruction SI(ALEA()<0.2;1;0) on a stimulé 40 fois une épreuve de Bernoulli avec p=0,2.

On a recopié vers le bas pour obtenir un échantillon de taille 1000.

Dans la colonne AO sont indiqués les nombres des succès pour chaque expé-rience. Ces nombres de succès prennent les valeurs de 0 à 40 qui sont indiquées dans la colonne AQ.

Dans la colonne AR, on a compté les effectifs de l’échantillon pour chacune des valeurs de 0 à 40 avec la fonctionnalité NB.SI($AO$1 :$AO$1000 ;Ar2) qui a été recopiée vers le bas jusqu’à AR42.

Dans la colonne AS, on a obtenu les fréquences dans l’échantillon en divisant par 1000 les valeurs de la colonne ARX.

Remarque

� Exemple 5



Le graphique est obtenu à partir de la colonne AS.

7. Coefficients binomiaux

Nous allons étudier ici quelques propriétés des coefficients binomiaux.

On rappelle que le coefficient binomial nk

est égal au nombre de chemins

réalisant k succès dans un arbre représentant la répétition de n épreuves de

Bernoulli.

On a vu dans la partie 2 de la séquence 3 que, quand on répète n fois une expérience aléatoire ayant deux issues, ces expériences répétées constituent en-

semble une nouvelle expérience aléatoire qui possède 2n issues. Il y a donc, au

total, 2n chemins.

Propriété 3

Pour tout entier naturel n, non nul, on a : n n n n

nnn0 1 2 1

+

+

+ +−

+

...

= 2n.

Il y a un seul chemin sur l’arbre qui permet d’obtenir n succès : le chemin qui se trouve sur le bord externe supérieur.

De même il ya un seul chemin qui permet d’obtenir aucun succès : le chemin qui se trouve sur le bord externe inférieur.

On obtient donc la propriété suivante.



Propriété 4

Pour tout entier naturel n, non nul, on a : nn

= 1 et n0

1

= .

Ici n = 4. S désigne un succès et E un échec.

Il y a 2 164 = résultats possibles, il y a 16 chemins sur l’arbre.

SS

S

SE

SSSSSSSE

E

E

S

E

ESE

SSESSSEE

SSE

SESSSESE

ESE

SEESSEEE

SSE

ESSSESSE

ESE

ESESESEE

SSE

EESSEESE

ESE

EEESEEEE

4

0

4

1

4

2

4

3

4

424

+

+

+

+

= == 16

On a effectivement un seul chemin correspondant à 4 succès : 4

41

= .

Et un seul chemin correspondant à 4 échecs : 4

01

= .

Propriété 5

Pour tout entier naturel n, non nul, et tout entier k tel que 0 ≤ ≤k n, on a : nk

nn k

=−

.

On fait correspondre chaque chemin de l’arbre qui réalise k succès à un chemin qui réalise k échecs, en remplaçant S par E et E par S. Par exemple, pour n = 4 et k = 3, on fait correspondre les chemins ESSS et SEEE.

Chaque chemin réalisant k succès correspond à un chemin réalisant k échecs et inversement.

Géométriquement cela correspond à transformer l’arbre par la symétrie orthogo-nale dont l’axe horizontal passe par le point de départ de l’arbre.

� Exemple 6

� Démonstration



Il y a donc autant de chemins réalisant k succès que de chemins réalisant k échecs. Or, obtenir k échecs lors de n répétitions c’est obtenir n k− succès, d’où

nk

nn k

=−

.

Dans l’arbre précédent, avec n = 4, si on compte le nombre de chemins corres-

pondants à 1 succès et le nombre de chemins correspondants à 4 1 3− = succès

on trouve 4

1

4

34

=

= .

Propriété 6

Pour tout entier naturel n, non nul, et tout entier k tel que 0 1≤ ≤ −k n , on a :

nk

nk

nk

++

=++

1

1

1.

Pour compter le nombre de chemins qui amènent à k +1 succès lors de n +1 répétitions d’une épreuve de Bernoulli, on regarde ce qui peut se passer à la n-ième étape, l’avant-dernière.

� Soit il y a déjà eu k +1 succès, et la dernière répétition sera nécessairement un

échec : le nombre de chemins correspondants à ce cas est n

k +

1

.

� Soit il y a eu k succès, et la dernière répétition sera nécessairement un succès :

le nombre de chemins correspondants à ce cas est nk

.

Il n’y a pas d’autres possibilités et aucun chemin n’appartient à la fois à ces deux cas,

donc le nombre cherché s’obtient en faisant la somme : nk

nk

nk

++

=++

1

1

1.

Nouvelle illustration (qui permet aussi de démontrer les propriétés précédentes)

C’est une nouvelle illustration qu’il ne faut pas confondre avec un arbre.

Dans un arbre, les 2n résultats possibles dans un schéma de Bernoulli (c’est-à-dire quand on répète n fois une épreuve de Bernoulli) apparaissent. Chaque résultat est obtenu au bout d’un « chemin ».

Ici, il y a n +1 points qui représentent les n +1 valeurs possibles de la variable

aléatoire X qui indique le nombre de succès dans le même schéma de Bernoulli.

� Démonstration



Le coefficient nk

est égal au nombre de trajets qui aboutissent au point de

coordonnées ( ).k n k; − On utilise le mot « trajets » pour éviter les confusions

entre les deux représentations.

On part de l’origine d’un re-père. Pour chaque épreuve de Bernoulli, l’abscisse augmente de 1 si on obtient un succès, sinon c’est l’ordonnée qui aug-mente de 1.

Après n répétitions, à la fin d’un trajet, on obtient un point pour lequel :

abscisse = nombre de succès, ordonnée = nombre d’échecs, abscisse + ordonnée = n (ces n +1 points sont donc ali-gnés sur la droite d’équation x y n+ = ).

Comme le montre la figure, un même point peut être obtenu de plusieurs façons.

On a indiqué deux des trajets qui aboutissent au point A, qui correspond à trois succès lors de cinq répétitions (l’événement ( ))X = 3 : le trajet SSESE (trajet « su-périeur ») et le trajet ESESS (trajet « inférieur »).

Le raisonnement de la démonstration consiste à remarquer que le nombre de trajets aboutissant à A est égal à la somme du nombre de trajets aboutis-sants à B et du nombre de trajets abou-tissants à C, comme l’illustre la figure :

nk

nk

nk

++

=++

1

1

1.

Cette relation est une relation de récurrence puisqu’elle permet de calculer les

coefficients pour n +1 répétitions quand on connaît les coefficients pour n ré-pétitions. Mais elle est moins simple que les relations habituelles car le nombre k intervient.

Cette possibilité de calculs successifs est utilisée dans le triangle de Pascal.

Les termes de la ligne n sont les coefficients nk

.

O

B

AC

répétition de n = 4épreuves

de Bernoulli

nombre d’échecs= n – k

répétition de n = 5épreuves de Bernoulli

les valeurs possibles de k sontles 6 valeurs : 0,1,2,3,4,5.

A : 3 succès 2 échecs

k : nombrede succès

B

AC

A : n + 1 répétitionsk + 1 succès

C : n répétitionsk succès

B : n répétitionsk + 1 succès

+ 1 échec

+ 1 succès

Commentaire



Les valeurs de k correspondent aux n +1 colonnes : k k k n= = =0 1, ,... , .

En début et en fin de ligne, les coefficients sont égaux à 1 d’après la propriété 4.

Et, connaissant les coefficients d’une ligne, on obtient ceux de la suivante en les

calculant ainsi lorsque k ≠ 0 et k n≠ :

nk

nk

n

++

↓+

1

1

kk +

1

On obtient alors le triangle de Pascal :

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 … …

k = 1 2 3 4 … n + 1

n

Ligne 1

Ligne 2

Ligne 3

Ligne 4

Ligne n

Ligne n +1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

…………………………

…………………………

n0

.............nk

nk

+

1

....................nn

n +

1

0 .....................

nk

++

1

1 ...............................

nn

++

1

1

On trouve ce triangle dans le Traité du triangle arithmétique du philosophe français Blaise Pascal (1623-1662). On le trouve aussi dans des textes mathéma-tiques de plusieurs civilisations, par exemple, en Perse, Omar Khayyam (1048-1131) l’utilise, et il est cité comme déjà connu dans des textes chinois du 14ème siècle.

Un peu d’histoire



Exercices d’apprentissage

En utilisant le triangle de Pascal, donner tous les coefficients binomiaux pour

n = 5 et n = 6.

Pour les lois binomiales on montrera que les conditions sont remplies et on précisera les paramètres.

� On tire, au hasard une boule dans une urne qui contient deux boules noires et trois boules rouges. On définit la variable aléatoire X valant 1 si la boule tirée est noire et 0 si elle est rouge. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Quelle est son espérance ?� Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y comptant le nombre de boules noires tirées lorsqu’on répète quatre fois des tirages, en remettant la boule tirée dans l’urne après chaque tirage ? Quelle est l’espérance de Y ?

On lance 10 fois une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité que la pièce tombe exactement 3 fois du côté Pile ? Au plus trois fois ?

Combien de fois au minimum, faut-il lancer un dé (non pipé) pour avoir au moins une chance sur deux d’obtenir au moins un six ?

Dans un jeu où on a une chance sur 5 de gagner, on joue 5 fois de suite (répéti-tions identiques et indépendantes). � Quelle est la probabilité de gagner au moins une fois ? � Quelle est l’espérance du nombre de réussites ? � Donner le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire qui donne le nombre de réussites.

Le monopole du marché du cacao est détenu par deux marques A et B. On a ob-servé que 20% de la clientèle choisit la marque A et 80%, la marque B.

On effectue un sondage sur 100 personnes au hasard. Le nombre de personnes interrogées est suffisamment grand pour pouvoir assimiler ce sondage à un ti-rage avec remise.

On note X le nombre de personnes ayant achetées la marque A.

� Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ?

� Quelle est la probabilité qu’il y ait entre 20 et 25 personnes à avoir choisi la marque A ?

Un jeu consiste à lancer 18 fois une pièce de monnaie bien équilibrée. Si vous obtenez 18 fois Face vous gagnez 900 millions d’euros ; sinon, vous per-dez 1000 €.

� Calculer l’espérance du gain à ce jeu. Jouerez-vous ?

� On divise les enjeux par 10 000 : on gagne 90 000 € en obtenant 18 fois Face ; sinon, on perd 10 centimes. Calculer l’espérance du gain à ce nouveau jeu. Jouerez-vous ?

C

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7



On admet que toute personne réservant une place d’avion a une chance sur 10 de ne pas se présenter à l’embarquement.

Une compagnie aérienne dispose d’un avion de 100 places et vend 107 réservations.

L’objectif est d’évaluer la probabilité de surréservation de cette compagnie, c’est-à-dire de répondre à la question : quelle est la probabilité que plus de 100 passa-gers se présentent à l’embarquement ?

Alice et Bob s’affrontent dans un tournoi de ping-pong. Pour chaque partie, la probabilité qu’Alice gagne est p = 0,6. Le tournoi est constitué de 9 parties. Le vainqueur est celui qui a gagné le plus de parties. Quelle est la probabilité que Bob gagne le tournoi ?

Exercice 8

Exercice 9



3 Synthèse1. Epreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli

Définition 1

Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire comportant deux issues, l’une appelée « succès », l’autre appelée « échec ».

Définition 2

On considère une épreuve de Bernoulli.

Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de réussite et la valeur 0 en cas d’échec.

La variable aléatoire X est appelée variable de Bernoulli et la loi de probabilité de X est appe-lée loi de Bernoulli.

Propriété 1

La variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p a pour espérance p et pour variance p p( ).1−

2. Schéma de Bernoulli, loi binomiale

Définition 3

La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes est une expérience aléa-toire qu’on appelle schéma de Bernoulli.

Définition 4

Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli où on répète n fois une épreuve de Bernoulli pour laquelle la probabilité du succès est égale à p.

La loi de probabilité de X s’appelle la loi binomiale de paramètres n et p. Cette loi est sou-vent notée B( ).n p;



Le paramètre n est un entier naturel non nul.

Le paramètre p est un nombre réel de l’intervalle 0 ; 1 .

Définition 5

Un schéma de Bernoulli peut être représenté par un arbre. Le nombre de chemins de l’arbre réa-

lisant k succès pour n répétitions se note nk

et s’appelle un coefficient binomial.

Théorème 5

Expression de la loi binomiale

Lorsque la loi d’une variable aléatoire X est la loi binomiale de paramètres n et p, la variable

aléatoire X prend les n +1 valeurs 0, 1,… , n avec les probabilités :

P knk

p pk n k( ) ( )X == ==

−− −−1 pour tout entier k tel que 0 ≤ ≤k n.

Propriété 2

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p, son espérance et sa variance sont données par :

E( )X = np et V( ) ( ).X = −np p1

Représentation graphique l’une loi binomiale

Remarque

� Exemple



3. Coefficients binomiaux

Propriété 3

Pour tout entier naturel n, non nul, on a : n n n n

nnn0 1 2 1

+

+

+ +−

+

...

= 2n.

Propriété 4

Pour tout entier naturel n, non nul, on a : nn

= 1 et n0

1

= .

Propriété 5

Pour tout entier naturel n, non nul, et tout entier k tel que 0 ≤ ≤k n, on a : nk

nn k

=−

.

Propriété 6

Pour tout entier naturel n, non nul, et tout entier k tel que 0 1≤ ≤ −k n , on a : nk

nk

nk

++

=++

1

1

1.

Triangle de Pascal :

k = 0 1 2 3 … n + 1

n

Ligne 1

Ligne 2

Ligne 3

Ligne 4

Ligne n

Ligne n +1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

…………………………

…………………………

n0

.............nk

nk

+

1

....................nn

n +

1

0 .....................

nk

++

1

1 ...............................

nn

++

1

1



4 Exercices d’approfondissement

Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a n n

nn

1 1

=−

= .

� On lance deux dés cubiques non truqués. Quelle est la probabilité d’obtenir un double-six ?

� On lance 10 fois de suite les deux dés précédents. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins trois fois un double-six ? Quelle est la probabilité d’obtenir au moins trois fois un double ?

En considérant que l’entier n est fixe, quelle est la valeur de p pour laquelle la dispersion de la loi binomiale B( )n p; est maximale ?

Dans le but de contrôler l’état d’ébriété des conducteurs automobiles, la police procède à des tests d’alcoolémie. On admet que 2% des conducteurs suscep-tibles d’être contrôlés sont en état d‘ébriété. La police contrôle n personnes. On suppose que les différents contrôles peuvent être considérés comme la répétition d’expériences identiques et indépendantes. On considère la variable aléatoire X définie par le nombre de personnes en état d’ébriété au cours du contrôle.

� Exprimer, en fonction de n, la probabilité des événements X = 0, X = 1, X = 2.

� Exprimer, en fonction de n, la probabilité pour que, au cours de ce contrôle, il y ait au moins une personne en état d’ébriété.

� Calculer le nombre minimal N de personnes à contrôler pour que la probabi-lité de trouver au moins une personne en état d’ébriété soit supérieure à 0,95.

� On contrôle 500 personnes, combien peut-on craindre de contrôles positifs ?

Pour un examen, les candidats doivent répondre à un QCM. Il y a 50 questions et à chaque question, le candidat doit choisir entre 5 réponses dont une seule est la bonne. Les rédacteurs du sujet d’examen souhaitent introduire un score élimi-natoire de sorte qu’un candidat qui répondrait au hasard ait une chance sur 100 seulement de dépasser ce score. Quel doit-être le score éliminatoire ?

Dans une ville, les n personnes d’un groupe de voyageurs se répartissent au

hasard dans 3 hôtels H1, H2 et H3. On note X i la variable aléatoire égale au nombre de personnes ayant choisi l’hôtel Hi .

Exercice I

Exercice II

Exercice III

Exercice IV

Exercice V

Exercice VI



� Déterminer les lois des trois variables X i.

� Déterminer la loi de la variable aléatoire définie par X X1 2+ , son espérance et sa variance.

� En utilisant l’algorithme de la partie � du cours, écrire un programme pour simuler avec votre calculatrice une réalisation de l’expérience d’un schéma de Bernoulli.

� Modifier ce programme pour qu’il affiche les résultats d’un échantillon de taille E.

� Modifier enfin ce programme pour qu’il affiche seulement la moyenne du nombre de succès pour un échantillon.

� Faire fonctionner ce programme sur des exemples et comparer la moyenne affichée avec l’espérance de la variable aléatoire correspondante.

Exercice VII


1 partie : 2 partie :

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