Π1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝdris/pararthmata2020.pdf416 ....
TRANSCRIPT
415
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ Π1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ Διαφορική μορφή-1 ή απλώς διαφορικό ή μορφή-1 (differential 1-form ή απλώς differential ή 1-form) ή διαφορική μορφή πρώτου βαθμού, σε χώρο διάστασης είναι η έκφραση της μορφής
, (12.1)
Υποτίθεται ισχύουν κατάλληλα κριτήρια παραγωγισιμότητας και συνέχειας για τα . Διαφορική μορφή-0 είναι απλώς η έκφραση (συνάρτηση) (12.2) Διαφορική μορφή-2 είναι η έκφραση
. (12.3)
Το πλήθος των όρων του αθροίσματος στην Εξ. (12.3) είναι οι συνδυασμοί (δεν ενδιαφέρει η σειρά στη
διάταξη) διαφορετικών αντικειμένων ανά διαφορετικά αντικείμενα δηλαδή .
Το σύμβολο Λ παριστάνει το γινόμενο-Λ (wedge-product) που βοηθά στη γενίκευση των συνήθων γινομένων του διανυσματικού λογισμού. Η μεθοδολογία αυτή ξεκίνησε για την εύκολη μετατροπή ολοκληρωμάτων από ένα σύστημα μεταβλητών σε άλλο. Διαφορική μορφή- (το είναι ο βαθμός της διαφορικής μορφής) είναι η σχέση
. (12.4)
Για το γινόμενο-Λ μεταξύ διαφορικών μορφών-1 ισχύουν οι ιδιότητες
(12.5)
Για να προστεθούν δυο διαφορικές μορφές πρέπει να έχουν τον ίδιο βαθμό και ισχύει . (12.6) Το γινόμενο-Λ έχει πολλές από τις ιδιότητες του «συνήθους» γινομένου της αριθμητικής. Δηλαδή αν διαφορικές μορφές-1 τότε
. (12.7)
Το γινόμενο δυο διαφορικών μορφών βαθμού και αντιστοίχως οδηγεί σε διαφορική μορφή βαθμού . Η (εξωτερική) διαφόριση της διαφορικής μορφής της Εξ. (12.4) ορίζεται ως εξής
n
1 21 1
( )d d ( ), ( , ,..., )n n
i i i i ni i
A u u u A u u u u u
( )iA u
( )f u
11
( )d dn n
ij i ji j ji
B u u u
n k !!( )!
nk n k
k k
1 2 1 21 2
......
1
( )d d ... dn k
k
n
i i i i i ii i i
i
B u u u u
, 0(και προφανώς) d d d d , d d 0
i j j i i i
i j j i i i
a a a a a aa a a a a a
a b b a
, ,a b c
( )( ) ( )
a b c a b a ca b c a b c a b c
k l( )k l
416
. (12.8)
Τα είναι συνήθεις συναρτήσεις (άρα διαφορικές μορφές-0) και το διαφορικό τους είναι το σύνηθες
ολικό διαφορικό συναρτήσεων. Το διαφορικό είναι βαθμού , δηλαδή διαφορική μορφή-( ). Κάθε διαφόριση αυξάνει το βαθμό της διαφορικής μορφής κατά ένα. Σημειώνομε ότι πολλαπλασιασμός επί ( )f u σημαίνει συνήθης πολλαπλασιασμός, οπότε .
( )d d ( )f u u uf u Για παράδειγμα, έστω η διαφορική μορφή πρώτου βαθμού Η εξωτερική διαφόρισή της οδηγεί στη διαφορική μορφή 2ου βαθμού
Τελικώς
Μπορεί κανείς να δει εύκολα ότι μια διαφορική μορφή βαθμού μεγαλύτερου από τη διάσταση του χώρου είναι ίση με μηδέν διότι θα υπάρχουν δυο τουλάχιστο ίδια σε κάθε όρο της, βλέπε Εξ. (12.5). Π2. ΔΙΑΦΟΡΑ ΕΙΔΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ ΔΥΝΑΜΗΣ Αν έχομε μια δυνατή μεταβολή, , της γενικευμένης συντεταγμένης, , ενώ όλες οι άλλες γενικευμένες συντεταγμένες μένουν αμετάβλητες, τότε το σημείο του πλήρους καρτεσιανού θεσικού χώρου θα υποστεί μια αντίστοιχη δυνατή μεταβολή, . Η κατεύθυνση αυτής της
μετατόπισης στον καρτεσιανό χώρο, λέγεται κατεύθυνση . Έστω η δύναμη, , του καρτεσιανού χώρου (καρτεσιανή δύναμη). Η ορθή προβολή της στην κατεύθυνση λέγεται φυσική
συνιστώσα της στην κατεύθυνση και παριστάνεται συνήθως ως . Για να βρούμε τη σχέση μεταξύ γενικευμένων συνιστωσών δυνάμεων και φυσικών συνιστωσών σκεφτόμαστε ως εξής. Η συνιστώσα μιας δυνατής μετατόπισης στην κατεύθυνση, στην κατεύθυνση της καρτεσιανής συνιστώσας δίνεται από τη σχέση
. (13.1)
1 2 1 21 2
...... 1
d d ( ) d d ... dn k
k
n
i i i i i ii i i
B u u u u
1 2 ... ( )ni i iB u
d 1k 1k
1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3( , , )d ( , , )d ( , , )dA u u u u B u u u u C u u u u
1 2 3 1 1 2 3 21 2 3 1 2 3
1 2 3 3 2 1 3 11 2 3 2 3
1 2 3 2 1 3 2 31 3 1 2
d d d d d d d d d
d d d d d d d d
d d d d d d d d
A A A B B Bu u u u u u u uu u u u u u
C C C A Au u u u u u u uu u u u u
B B C Cu u u u u u u uu u u u
1 2 1 3 2 31 2 1 3 2 3
d d d d d d dB A C A C Bu u u u u uu u u u u u
d lu
δ iq iq
1 2( , ,..., )Nr r r r
1 2δ (δ ,δ ,...,δ )Nr r r r
iq 1 2 3( , ,..., )NF X X X
iqF
iqiqF
iq jx
δ δ , 1, 2,...,3jj i
i
xx q j N
q
417
Επομένως η συνιστώσα στην κατεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος στην
κατεύθυνση , είναι
. (13.2)
Το εσωτερικό γινόμενο επί τη δύναμη , δίνει τη φυσική συνιστώσα της δύναμης αυτής στην κατεύθυνση , δηλαδή
. (13.3)
Έχομε την παρακάτω σχέση για τις γενικευμένες συνιστώσες δύναμης,
.
Προφανώς στο συμβολισμό με τις καρτεσιανές συνιστώσες μπορεί να γραφτεί ως
. (13.4)
Από την Εξ. (13.3) και την Εξ. (13.4) βρίσκομε τη ζητούμενη σχέση για την φυσική συνιστώσα της καρτεσιανής δύναμης,
. (13.5)
Υπάρχουν και άλλες ανάλογες ποσότητες για τις δυνάμεις, οι πιο διαδεδομένες είναι οι λεγόμενες συνήθεις (ordinary) συνιστώσες δύναμης, . Οι συνήθεις συνιστώσες δύναμης στις κατευθύνσεις
, ορίζονται ως το σύνολο των πολυδιάστατων διανυσμάτων στις κατευθύνσεις τα οποία όταν αθροιστούν διανυσματικά δίνουν το πολυδιάστατο διάνυσμα της δύναμης στον καρτεσιανό χώρο των 3Ν διαστάσεων. Χωρίς να το αποδείξομε απλώς αναφέρομε ότι η συνήθης συνιστώσα δύναμης στην κατεύθυνση δίνεται από
(13.6)
όπου η γενικευμένη συνιστώσα δύναμης, είναι μήτρα με στοιχεία
και είναι τα στοιχεία της αντίστροφης μήτρας.
jx 1 2 3( ) ( , ,..., )i Nn q n n n
iq
1/2
2
1
/( ) , 1, 2,...,3
/
j ij i
N
j ij
x qn q j N
x q
1 2 3( , ,..., )NF X X X
iq
3 3
1/21 1 2
1
/( )
/i
N Nj j i
q j j iNj j
j ij
X x qF X n q
x q
1
Ni
ii
rQ Fq
3
1
Nj
i jj i
xQ X
q
iq
1/2
2
1/
i
jq
N
j ij
QF
x q
o iqX, 1, 2,...,iq i n iq
iq
1/ 2o
1( )
i
n
q ii ij jj
X g g Q
jQ iq ijg
3
1/ ( / )
N
ij k i k jk
g x q x q
ijg
418
Πολλές φορές οι όροι δε χρησιμοποιούνται προσεκτικά και μπερδεύονται, καλό είναι να το έχομε υπόψη. Το Σχ. (Π3.1) δείχνει τις διαφορές τους στις δυο διαστάσεις. ΟΒ είναι η φυσική συνιστώσα της δύναμης
στην κατεύθυνση της γενικευμένης συνιστώσας. ΟΑ είναι η συνήθης συνιστώσα της δύναμης στην ίδια κατεύθυνση. Το σύστημα των γενικευμένων συντεταγμένων είναι πλαγιογώνιο καρτεσιανό.
Σχήμα Π2.1 Φυσική (OB) και συνήθης (ΟΑ) συνιστώσες δύναμης. Π3. ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΜΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ας ξεκινήσομε από σύστημα αναφοράς στο οποίο η περιγραφή γίνεται με καρτεσιανές, σταθερές ως προς το σύστημα αναφοράς, συντεταγμένες. Για μηχανικό σύστημα με Ν σωμάτια έχομε για την κινητική ενέργεια ως προς αυτό το σύστημα αναφοράς:
. (14.1)
Έχομε τις σχέσεις σημειακού μετασχηματισμού συντεταγμένων Εξ. (14.2), όπου έχουν ληφθεί υπόψη οι ολόνομοι δεσμοί και έτσι έχουν οριστεί n γενικευμένες συντεταγμένες θέσης (14.2) Κατά το μετασχηματισμό το σύστημα αναφοράς παραμένει το ίδιο, οπότε ισχύουν για τις ταχύτητες σε αυτό το σύστημα αναφοράς:
. (14.3)
Άρα (14.4)
f
1q f
1 2,q q
2
1
12
N
i ii
T m
1 2( , ,..., , ), 1, 2,..., .i i nr r q q q t i N
1
dd
ni i i
i ir r rr qt q t
2
1 1
0 1 2
12
( , ) ( , , ) ( , , ).
N ni i
i ji j j
r rT m qq t
T q t T q q t T q q t
419
Όπου
(14.5)
Το πρώτο άθροισμα, προσθετέος, , δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες, το δεύτερο,
, εξαρτάται γραμμικά από τις ταχύτητες. Οι όροι αυτού του αθροίσματος λέγονται γυροσκοπικοί όροι. Σε αυτούς οφείλεται η «περίεργη» κίνηση του γυροσκοπίου. Το τρίτο άθροισμα
είναι δευτέρου βαθμού ως προς τις ταχύτητες. Οι τρεις προσθετέοι είναι ομογενείς ως προς
τις ταχύτητες βαθμών 0, 1, 2 αντιστοίχως. Δηλαδή ισχύει η γνωστή σχέση του Euler, όπου
είναι ο βαθμός ομογένειας για τις μεταβλητές. Αν οι εξισώσεις μετασχηματισμού από τις καρτεσιανές στις άλλες γενικευμένες συντεταγμένες δεν περιέχουν άμεσα το χρόνο, τότε και μένει μόνο ο όρος
, ο οποίος έχει ομογενή τετραγωνική μορφή ως προς τις γενικευμένες ταχύτητες και δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο. Είναι δυνατόν οι εξισώσεις μετασχηματισμού να εξαρτώνται από το χρόνο ενώ η κινητική ενέργεια να μην εξαρτάται από το χρόνο. Μπορεί να το δείτε εύκολα θεωρώντας ότι οι μετασχηματισμοί έχουν γραμμική εξάρτηση από το χρόνο. Αυτό δεν σημαίνει ότι σε αυτή την περίπτωση
2T T= . Σημειώνομε ότι, η κινητική ενέργεια με τις νέες συντεταγμένες είναι η κινητική ενέργεια ως προς το ίδιο σύστημα αναφοράς. Απλώς εκφράζεται συναρτήσει άλλων συντεταγμένων. Η μορφή της έχει αλλάξει αλλά οι τιμές της στα αντίστοιχα σημεία είναι ίδιες. Με αυτό το μετασχηματισμό σημείου, κάμαμε απλή αντικατάσταση των συντεταγμένων θέσης στην έκφραση για την αρχική κινητική ενέργεια. Η κινητική ενέργεια για κινούμενο σύστημα αναφοράς ως προς το πρώτο υπολογίζεται διαφορετικά και οι τιμές της
στα αντίστοιχα σημεία είναι διαφορετικές. Συγκεκριμένα ισχύει 2
1
12
N
i rii
T m
, όπου r είναι η (σχετική)
ταχύτητα ως προς το κινούμενο σύστημα αναφοράς. Π4. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΔΙΚΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Στην ειδική θεωρία της σχετικότητας ο χωρόχρονος του Minkowski έχει τις τέσσερις συντεταγμένες που σε κάποιο σύστημα Lorentz είναι . (15.1) Δηλαδή η συντεταγμένη με δείκτη 0 αντιστοιχεί στο χρόνο και οι υπόλοιπες τρεις είναι οι συνήθεις καρτεσιανές συντεταγμένες. Οι τέσσερεις αυτές συντεταγμένες αντιστοιχούν σε ένα (κοσμικό) γεγονός σε ορισμένη χωρική θέση που συμβαίνει ορισμένη χρονική στιγμή . Η τετράδα αυτή αποτελεί ένα τετραδιάνυσμα. Χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο συμβολισμό για τετραδιανύσματα, με ελληνικούς δείκτες, που παίρνουν τιμές (0,1,2,3)
2
0 0 01
11 1
21 1
1( , ) ( , ), ( , )2
( , , ) ( , ) , ( , )
1( , , ) ( , ) , ( , ) ( , )2
Ni
ii
n Ni i
j j j ij i j
n Ni i
jk j k jk kj ij k i j k
rT q t M q t M q t mt
r rT q q t M q t q M q t mt q
r rT q q t M q t q q M q t M q t mq q
1.
n
0 0 ( , )T T q t
1 1( , , )T T q q t
2 2 ( , , )T T q q t
1
n
ii i
fx kfx
k
n0 1 0T T
2 2, ( , )T T T q q
0 1 2 3 0 1 2 3, , , , , ,x x x x x ct x x x y x z
1 2 3( , , )x x x t
420
τετραδιάνυσμα . (15.2) Ας υποθέσομε ότι υπάρχει μετασχηματισμός που μας οδηγεί από ένα σύστημα συντεταγμένων σε άλλο σύστημα συντεταγμένων. Έστω ότι οι συντεταγμένες των δυο συστημάτων συνδέονται με μετασχηματισμούς της μορφής
(15.3)
Οι τανυστές τάξης που ορίζονται στο χωροχρονικό σημείο χαρακτηρίζονται από τις ιδιότητες μετασχηματισμού τους υπό το μετασχηματισμό συντεταγμένων . Συγκεκριμένα ένα βαθμωτό (μέγεθος) είναι ένας τανυστής τάξης μηδέν, δηλαδή είναι μια μοναδική ποσότητα που η τιμή της δε μεταβάλλεται από το μετασχηματισμό. Οι τανυστές τάξης 1 είναι διανύσματα και μπορεί να είναι δυο τύπων. Τα λεγόμενα ανταλλοίωτα διανύσματα με τέσσερις συνιστώσες , που δηλώνονται με άνω δείκτες και μετασχηματίζονται σύμφωνα με τον κανόνα
. (15.4)
Δηλαδή όπως ένα διαφορικό. Εδώ εννοείται ότι έχομε άθροιση στους επαναλαμβανόμενους δείκτες, δηλαδή
. (15.5)
Οι άνω δείκτες λέγονται ανταλλοίωτοι δείκτες. Τα λεγόμενα συναλλοίωτα διανύσματα , δηλώνονται με κάτω δείκτες και χαρακτηρίζονται από τον ακόλουθο μετασχηματισμό
. (15.6)
Δηλαδή μετασχηματίζονται όπως η βαθμίδα μιας συνάρτησης. Αναλυτικά έχομε
. (15.7)
Οι κάτω δείκτες λέγονται συναλλοίωτοι δείκτες. Ένας ανταλλοίωτος τανυστής τάξης δύο αποτελείται από 16 ποσότητες (συνιστώσες) που μετασχηματίζονται ως εξής
. (15.8)
Ένας συναλλοίωτος τανυστής τάξης δύο , μετασχηματίζεται όπως φαίνεται παρακάτω
. (15.9)
Ένας μεικτός τανυστής δεύτερης τάξης μετασχηματίζεται ως εξής
. (15.10)
Το πλήθος των δεικτών χαρακτηρίζει την τάξη του τανυστή. Εύκολα μπορεί να γενικεύσει κάποιος τα ανωτέρω και σε τανυστές μεγαλύτερης τάξης. Το εσωτερικό ή βαθμωτό γινόμενο δυο διανυσμάτων ορίζεται ως γινόμενο των αντίστοιχων συνιστωσών ενός συναλλοίωτου και ενός ανταλλοίωτου διανύσματος, δηλαδή . (15.11)
, 0,1,2,3x
0 1 2 3
0 1 2 3
( , , , )( , , , ), 0,1,2,3
x x x x x xx x x x x x
k x
x x
A 0 1 2 3, , ,A A A A
xA Ax
0 1 2 30 1 2 3
x x x xA A A A Ax x x x
B
xB Bx
0 1 2 3
0 1 2 3x x x xB B B B Bx x x x
F
x xF Fx x
x xG Gx x
H
x xH Hx x
B A B A
421
Εύκολα προκύπτει ότι αυτό είναι πράγματι βαθμωτό με την έννοια ότι οι ανωτέρω μετασχηματισμοί συντεταγμένων το αφήνουν αμετάβλητο . (15.12) Με τον όρο εσωτερικό γινόμενο ή συναλοιφή ή συστολή (contraction) σε σχέση με δυο δείκτες που ανήκουν στον ίδιο τανυστή ή σε διαφορετικούς, ορίζεται ως η άθροιση ως προς αυτούς τους δείκτες με ανάλογο τρόπο όπως στην Εξ. (15.11). Πρέπει ο ένας δείκτης να είναι ανταλλοίωτος και ο άλλος συναλλοίωτος. Παρόλο που αναφερθήκαμε σε τανυστές που ορίζονται σε τετραδιάστατο χώρο, αυτό δεν είναι απαραίτητο, ο χώρος μπορεί να έχει οσεσδήποτε διαστάσεις. Αν ο χώρος έχει διαστάσεις και η τάξη του τανυστή είναι , τότε ο τανυστής έχει συνιστώσες. Όπως αναφέραμε στην αρχή, στην περίπτωση της ειδικής σχετικότητας ο χώρος είναι ο τετραδιάστατος χώρος του Minkowski. Οι μετασχηματισμοί είναι οι μετασχηματισμοί του Lorentz. Η γεωμετρία του χωρόχρονου της ειδικής σχετικότητας χαρακτηρίζεται από το (αναλλοίωτο) μήκος
ως προς μετασχηματισμούς Lorentz, για το οποίο ισχύει . Για το στοιχειώδες μήκος έχομε . (15.13) Το στοιχειώδες μήκος είναι επίσης αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς του Lorentz, δηλαδή είναι ένα βαθμωτό (μέγεθος). Γενικώς το στοιχειώδες μήκος καθορίζεται από τη μετρική του χώρου που εκφράζεται από το μετρικό τανυστή , ως εξής
. (15.14) Ο μετρικός τανυστής είναι ο ακόλουθος συμμετρικός, διαγώνιος τανυστής
. (15.15)
Ισχύουν οι σχέσεις
για και (15.16)
. Προφανώς έχομε τη σχέση . (15.17) Όπου είναι το δέλτα του Kronecker. Ο μετρικός τανυστής είναι αυτός που χρησιμοποιείται ώστε να μετατρέψομε ένα δείκτη τανυστή από συναλλοίωτο σε ανταλλοίωτο και αντίστροφα, αυτό ουσιαστικά έγινε στην Εξ. (15.14). Έχομε
. (15.18)
B A B A
n knk
s 2 0 2 1 2 2 2 3 2( ) ( ) ( ) ( )s x x x x
2 0 2 1 2 2 2 3 2(d ) =(d ) -(d ) -(d ) -(d )s x x x x
g2(d ) d d d ds x x g x x
1 0 0 00 -1 0 00 0 -1 00 0 0 -1
g
g g g
0, g g
00 11 22 331, 1, 1, 1g g g g
, 0 , 1 =0,1,2,3g g
.. .. .... ... ..... .. ... . ....
,
,
x g x x g x
F g F G g G
422
Στην περίπτωση της σχετικότητας όταν ανεβαίνει ή κατεβαίνει ένας δείκτης τανυστή, αν ο δείκτης έχει την τιμή 0 (δηλαδή αναφέρεται στη χρονική συνιστώσα) τότε η συνιστώσα του τανυστή μένει αμετάβλητη, αν ο δείκτης είναι 1,2 ή 3 (χωρικές συνιστώσες) τότε το μέτρο της συνιστώσας μένει το ίδιο αλλά αλλάζει το πρόσημό της. Για παράδειγμα, έστω το ανταλλοίωτο τετραδιάνυσμα στο χώρο του Minkowski, θα έχομε . (15.19) Το εσωτερικό γινόμενο δυο τετραδιανυσμάτων είναι , Ο τελεστής της παραγώγισης ως προς μιαν ανταλλοίωτη συνιστώσα του τετραδιανύσματος το τετραχώρου της σχετικότητας, είναι συναλλοίωτος διανυσματικός τελεστής. Ο τελεστής παραγώγισης ως προς τις αντίστοιχες συναλλοίωτες συνιστώσες είναι ανταλλοίωτος διανυσματικός τελεστής. Πρέπει να πούμε ότι τέτοιες παραγωγίσεις δεν οδηγούν στη γενική περίπτωση του τανυστικού λογισμού σε τανυστές αλλά μόνο αν ο μετασχηματισμός συντεταγμένων είναι γραμμικός. Έχομε τους συμβολισμούς
(15.20)
Η τετραπόκλιση ενός τετραδιανύσματος είναι ένα βαθμωτό (αναλλοίωτο) μέγεθος,
. (15.21)
Ο τετραδιάστατος τελεστής του Laplace (λαπλασιανή) στο χώρο της ειδικής σχετικότητας είναι
. (15.22)
Θα αναφερθούμε με λίγα λόγια στον Τανυστικό Λογισμό ως ερευνητική μέθοδο. Στα προηγούμενα αναφερθήκαμε σε μερικές σχέσεις του Τανυστικού Λογισμού που είναι χρήσιμες στην Ειδική Σχετικότητα. Η χρησιμότητά του όμως, είναι ίσως πιο σημαντική στη Γενική Σχετικότητα. Δεν θα επεκταθούμε σε αυτό αλλά θα μιλήσομε για βασικές έννοιες χρήσιμες στη Φυσική όπου χρησιμοποιείται ο Τανυστικός Λογισμός. Ισχύει το εξής: Αν οι συνιστώσες τανυστή είναι ταυτοτικά μηδέν σε κάποιο σύστημα συντεταγμένων, θα είναι ταυτοτικά μηδέν και σε κάθε άλλο σύστημα συντεταγμένων. Στο παραπάνω στηρίζεται το εξής: Ας υποθέσομε ότι είναι γνωστή μια σχέση ως προς το σύστημα ηρεμίας ενός φυσικού συστήματος. Αν μπορέσομε να εκφράσομε αυτό το νόμο στη μορφή εξίσωσης μεταξύ τανυστών η οποία ανάγεται στη σωστή (παραπάνω) εξίσωση στο σύστημα ηρεμίας, τότε αυτή η εξίσωση τανυστών είναι η σωστή συναλλοίωτη εξίσωση για το εξεταζόμενο φαινόμενο. Αυτή η μορφή είναι ανεξάρτητη από το σύστημα συντεταγμένων.
A
( , ), ( , )A a a A a a
0 0B A B A B A B A
0
0B B
1 ,
1 , .
x c t
x c t
01 AA A Ac t
22 2
1c t
423
Π5. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LEGENDRE Ο μετασχηματισμός του Legendre, γενικώς, σχετίζεται με διαφορικές εξισώσεις. Στη φυσική, πολλές φορές κάποιες ποσότητες δίνονται ως συναρτήσεις ανεξάρτητων μεταβλητών που δεν είναι βολικές για την περιγραφή του φυσικού συστήματος ενώ είναι πιο βολικές, ως ανεξάρτητες, μεταβλητές που είναι οι παράγωγοι της παραπάνω (αρχικής) συνάρτησης ως προς τις αρχικές μεταβλητές. Αφού διαλέξομε αυτές τις νέες ανεξάρτητες μεταβλητές, πρέπει να βρούμε την κατάλληλη νέα ποσότητα-συνάρτηση ως προς αυτές. Τίθεται τότε το ερώτημα αν η νέα συνάρτηση διατηρεί το φυσικό και μαθηματικό περιεχόμενο της αρχικής ή αλλιώς, αν έχει την ίδια πληροφορία με την αρχική. Παρακάτω θα εξετάσομε μια απλή περίπτωση για να γίνει σαφές αυτό που λέμε. Για ευκολία αναφερόμαστε στην περίπτωση μιας υπό μετασχηματισμό μεταβλητής , διότι για αυτή την περίπτωση υπάρχει απλή γραφική παράσταση που κάνει τα πράγματα εύκολα κατανοητά. Οι συναρτήσεις που εξετάζομε είναι μονότιμες στο διάστημα που τις ορίζομε (στο πεδίο ορισμού τους). Δηλαδή για κάθε μια τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής, υπάρχει μια μόνο τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής. Αν αυτό δεν ισχύει τότε μπορούμε να ορίσομε διαφορετικές συναρτήσεις στο πεδίο ορισμού, έτσι που να είναι μονότιμες. Οι συναρτήσεις πρέπει να έχουν παραγώγους μέχρι και δεύτερης τάξης, στο πεδίο ορισμού τους. Αν αυτό δεν ισχύει τότε μπορεί να χωρίσομε το πεδίο ορισμού σε επιμέρους πεδία έτσι που στο καθένα να ισχύουν τα περί παραγώγων. Η τελευταία απαίτηση είναι ότι στο διάστημα ορισμού η παράγωγος της συνάρτησης (αυτή θα είναι η νέα μεταβλητή) δεν πρέπει να έχει την ίδια τιμή για περισσότερες από μια τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Το τελευταίο σημαίνει ότι α) η καμπύλη που παριστάνει η συνάρτηση πρέπει ή να στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω (κυρτή καμπύλη), αυτό θα πει ότι η δεύτερη παράγωγος της αρχικής συνάρτησης ως προς την αρχική ανεξάρτητη μεταβλητή πρέπει να είναι θετική ή β) να στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω (κοίλη καμπύλη), δηλαδή η δεύτερη παράγωγος πρέπει να είναι αρνητική. Με άλλα λόγια, στο διάστημα ορισμού δεν πρέπει να μεταβάλλεται η καμπύλωση. Αν αυτό δεν ισχύει μπορεί να χωριστεί το πεδίο ορισμού έτσι που σε κάθε υποδιάστημά του να έχομε ίδια καμπύλωση. Μια ιδιάζουσα περίπτωση είναι όταν υπάρχει γραμμική εξάρτηση της αρχικής συνάρτησης από την αρχική ανεξάρτητη μεταβλητή. Τότε οι πρώτες παράγωγοι είναι σταθερές και η δεύτερες μηδέν. Αυτό είναι ιδιάζουσα περίπτωση, ένα είδος εκφυλισμού, που θα σχολιάσομε αργότερα. Έστω η απλή περίπτωση συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής, . (16.1) Η παράγωγός της είναι
. (16.2)
Έστω ότι αυτή η σχέση μπορεί να αντιστραφεί, δηλαδή να λυθεί ως προς οπότε . (16.3)
Η αντιστροφή μπορεί να γίνει αν . Από την Εξ. (16.3) και την Εξ. (16.1) βρίσκομε
. (16.4) Το πρόβλημα φαίνεται εκ πρώτης όψεως λυμένο αφού η ανεξάρτητη μεταβλητή αντικαταστάθηκε από την ανεξάρτητη μεταβλητή . Αυτό όμως δεν είναι αλήθεια, θα δούμε ότι η Εξ. (16.1) και η Εξ. (16.4) δεν είναι εντελώς ισοδύναμες, επομένως αυτή η προφανής διαδικασία δεν οδηγεί στο ζητούμενο αποτέλεσμα. Πράγματι, ενώ η Εξ. (16.4) προέκυψε μονοσήμαντα από την Εξ. (16.1), η Εξ. (16.1) δεν προκύπτει μονοσήμαντα από την Εξ. (16.4). Αυτό είναι ευνόητο διότι για να πάμε από την Εξ. (16.4) πίσω στην Εξ. (16.1), πρέπει να λύσομε τη διαφορική εξίσωση που προκύπτει από την Εξ. (16.4), δηλαδή την
. (16.5)
( )f f x
d ( )( )df xp x
x
x
( )x x p2
2d 0d
fx
a( ) ( )f f x p f p x
p
ad ( )( )
dg xg x f
x
424
Η λύση της είναι της μορφής . (16.6) Αυτή είναι μια παραμετρική οικογένεια (πολλών) καμπύλων (συναρτήσεων) που όλες είναι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης. Η αρχική συνάρτηση της Εξ. (16.1) είναι μια λύση, και συμπεριλαμβάνεται στην Εξ. (16.6) για κάποια τιμή της σταθεράς. Αυτά σημαίνουν ότι η συνάρτηση δεν είναι ακριβώς ισοδύναμη με την αρχική , διότι οδηγεί και σε άλλες (λύσεις) συναρτήσεις του , δηλαδή έχει περισσότερη πληροφορία από την αρχική. Επομένως υπάρχει η ανάγκη λύσης του προβλήματος με άλλο τρόπο. Συγκεκριμένα, το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση κατάλληλου μετασχηματισμού που να μας οδηγεί από την αρχική συνάρτηση σε μια νέα συνάρτηση και η αντίστροφη διαδικασία να οδηγεί μόνο στην αρχική συνάρτηση. Για να κατανοήσομε τον μετασχηματισμό που λύνει το πρόβλημά μας θα χρησιμοποιήσομε τις γεωμετρικές εικόνες των Σχ.(Π6.1α, β,γ). Η καμπύλη με την οποία ξεκινούμε είναι κυρτή αλλά ανάλογα γίνονται και για κοίλη καμπύλη.
Σχήμα Π5.1 α) Καμπύλη (κυρτή) συνάρτησης, ως γεωμετρικός τόπων σημείων. β) Καμπύλη συνάρτησης ως περιβάλλουσα οικογένειας εφαπτόμενων. γ) Γεωμετρική κατασκευή για την εύρεση της εξίσωσης της οικογένειας εφαπτόμενων του (β).
( , )g g x c
a ( )f p( )f f x x
( )f f x( )F F p
425
Μια καμπύλη μπορεί να παρασταθεί είτε ως ο γεωμετρικός τόπος σημείων των οποίων οι συντεταγμένες πληρούν δεδομένη σχέση, όπως εδώ την Εξ. (16.1), είτε ως η περιβάλλουσα μιας οικογένειας εφαπτόμενων ευθειών των οποίων η κλίση υπακούει σε δεδομένη σχέση. Στα Σχ.(Π6.1α,β) παριστάνεται η ίδια καμπύλη με τους δυο τρόπους. Το πρόβλημα ανάγεται στο να βρούμε την εξίσωση που ισχύει για την οικογένεια των εφαπτόμενων ευθειών. Στο Σχ.(Π6.1γ) έχομε την καμπύλη του Σχ.(Π6.1α) όπου φαίνεται η εφαπτόμενη ευθεία σε ένα σημείο της η οποία τέμνει τον άξονα των στο σημείο (0,- . Το F είναι η τιμή του μετασχηματισμού Legandre για το εν λόγω σημείο. Προφανώς από αυτό το σχήμα έχομε για την κλίση της εφαπτόμενης ευθείας
. (16.7)
Αυτή είναι η ζητούμενη συνάρτηση με την οποία μπορεί να κατασκευαστεί η οικογένεια εφαπτόμενων ευθειών, άρα και η περιβάλλουσα καμπύλη τους. Η νέα συνάρτηση F , εκφρασμένη ως προς p , είναι ο μετασχηματισμός Legendre της αρχικής f . Η απαλοιφή των και από τη δεύτερη των Εξ. (16.7) με χρήση των Εξ. (16.1) και (16.2) οδηγεί στη ζητούμενη σχέση . (16.8) Αντιστρόφως από την Εξ. (16.8) μπορούμε να βρούμε, επίσης μονοσήμαντα την Εξ. (16.1). Δηλαδή η f είναι ο μετασχηματισμός Legendre της F . Πράγματι, το διαφορικό της δεύτερης από τις Εξ. (16.7) γράφεται . (16.9) Όμως από την Εξ. (16.2) έχομε . (16.10) Άρα η Εξ. (16.9) γράφεται
. (16.11)
Στη δεύτερη των Εξ. (16.7) απαλείφομε, με χρήση των Εξ. (16.8) και (16.11), τα και έτσι παίρνομε την αρχική σχέση Εξ. (16.1). Σημειώνομε ότι η αρχική και η τελική συνάρτηση έχουν την ίδια κυρτότητα. Ο μετασχηματισμός είναι δυϊκός. Δηλαδή, η νέα μεταβλητή είναι η παράγωγος της παλιάς συνάρτησης και η παλιά μεταβλητή είναι η παράγωγος της νέας συνάρτησης. Η ίδια διαδικασία που οδηγεί από το παλιό σύστημα στο νέο, οδηγεί και από το νέο στο παλιό. Υποθέσαμε ότι υπάρχει εξάρτηση μόνο από την αρχική μεταβλητή x και την τελική μεταβλητή p . Στην πραγματικότητα μπορεί να υπάρχει εξάρτηση και από άλλη μεταβλητή, y , που δεν παίρνει μέρος στο μετασχηματισμό. Οι πρώτες λέγονται ενεργητικές μεταβλητές και η δεύτερη παθητική μεταβλητή. Σε αυτή την περίπτωση κάνομε χρήση μερικών παραγώγων. Το παρακάτω σχήμα δηλώνει τη δυϊκότητα. Παλιό σύστημα Νέο σύστημα Μεταβλητή: x p Μετασχηματισμός
( , )f x yp
x
( , )F p yx
p
F px f f px F ( , )F F p y ( , )f f x y .
Επίσης ισχύει f Fy y
f )F
( ) , f Fp F px fx
x f
( )F F p
d d d dF p x x p f
d df p x
dd d , ( )dFF x p x x pp
,F p
426
Αυτά μπορούν να γενικευθούν για πολλές μεταβλητές όπως φαίνεται στα επόμενα. Ας θεωρήσομε μια συνάρτηση , με μεταβλητές που τις θεωρούμε ανεξάρτητες. Υποθέτομε ότι στην περιοχή ενδιαφέροντος για τα η χεσιανή (hessian) ορίζουσα
είναι μη μηδενική, . Έστω ότι είναι πιο βολικό αντί των μεταβλητών να
έχομε τις μεταβλητές . Τώρα οι μεταβλητές και x X , λέγονται ενεργητικές μεταβλητές και οι y λέγονται παθητικές μεταβλητές. Αυτές που μετασχηματίζονται είναι μόνο οι ενεργητικές μεταβλητές. Θα δείξομε ένα θεώρημα που έχει δυο μέρη τα εξής: 1. Θα βρούμε μια νέα συνάρτηση με τις νέες ενεργητικές μεταβλητές. 2. Οι δυο συναρτήσεις, η παλιά (αρχική) και η νέα, θα είναι ισοδύναμες. Δηλαδή και οι δυο συναρτήσεις θα περιέχουν την ίδια πληροφορία. Αυτά θα τα πετύχομε με τον πιο γενικό, δηλαδή για πολλές μεταβλητές, μετασχηματισμό Legendre. (1) Ορίζομε τις νέες μεταβλητές και τη νέα συνάρτηση ως εξής,
(16.12)
τότε θα έχομε
. (16.13)
Η λέγεται ότι είναι ο μετασχηματισμός Legendre της ως προς τις μεταβλητές . Από τη δεύτερη των Εξ. (16.12) βρίσκομε
(16.14)
Αντικαθιστώντας την πρώτη από τις σχέσεις της Εξ. (16.12) στην Εξ. (16.14) βρίσκομε την πρώτη από τις σχέσεις της Εξ. (16.13). Έτσι δείξαμε το πρώτο μέρος, (1), του θεωρήματος αφού και από τη δεύτερη των Εξ. (16.12) προκύπτει η δεύτερη των Εξ.(16.13). Για το δεύτερο μέρος, (2), σκεφτόμαστε όπως παρακάτω. Αν μας έχει δοθεί η συνάρτηση , μπορούμε από την πρώτη από τις Εξ. (16.12) να βρούμε το και επομένως και το . Αντικαθιστούμε το τελευταίο αποτέλεσμα στη δεύτερη από τις Εξ. (16.12) και βρίσκομε την . Επομένως από την βρήκαμε με την ανωτέρω διαδικασία την . Με ανάλογη συλλογιστική μπορούμε από την να βρούμε την . Άρα και οι δυο περιέχουν την ίδια πληροφορία αφού προκύπτουν με ακριβώς ίδιες διαδικασίες. Έτσι δείχτηκε και το δεύτερο μέρος του θεωρήματος. Ο μετασχηματισμός λέγεται ότι είναι δυϊκός αφού μπορεί κάποιος να κινηθεί αντίστροφα και από την να οδηγηθεί στην η οποία είναι ο μετασχηματισμός Legendre της ως προς τις μεταβλητές
. Αυτό που χρειάζεται είναι να μπορούν να γίνουν οι αντιστροφές των συναρτήσεων. Ο περιορισμός που υπάρχει για να αντιστρέφεται η πρώτη από τις Εξ. (16.12), είναι ότι
1 2 1 2( , ) ( , ,..., , , ,..., )r sf x y f x x x y y y r s
ix2 ( , ) / 0i jf x y x x 1 2, ,..., rx x x
( , ) / , 1, 2,...,i iX f x y x i r
( , )F X y
1
( , ) , r
i i iii
f x yX F x X fx
1
( , ) , r
i i iii
F X yx f X x FX
( , )F X y ( , )f x y x
1 1
( , ) ( , )( , ) ( , )r ri i
i ji ij j i j
x X y x X yF X y f x yX xX X x X
( , )f x y( , )X X x y ( , )x x X y
( , )F X y( , )f x y ( , )F X y( , )F X y ( , )f x y
( , )F X y( , )f x y ( , )F X y
X
2( , ) / ( , ) / 0i j i jX x y x f x y x x
427
όπου στο πρώτο μέλος έχομε μια ιακωβιανή (ορίζουσα) και στο δεύτερο μια χεσιανή (ορίζουσα). Για να μπορεί να αντιστραφεί και η πρώτη από τις Εξ. (16.13) πρέπει να ισχύει .
Μπορεί να δειχθεί ότι το είναι το αντίστροφο του . Επομένως αν το
, τότε και . Ένα άλλο αποτέλεσμα
είναι ότι, αν είναι ο μετασχηματισμός Legendre της ως προς τις μεταβλητές , τότε
. (16.15)
Πράγματι έχομε τη σχέση
. (16.16)
Άρα
. (16.17)
Αντικαθιστώντας την πρώτη από τις Εξ. (16.12) στην Εξ. (16.17) βρίσκομε την Εξ. (16.15). Οι σχέσεις του μετασχηματισμού Legendre που είναι δυϊκός μετασχηματισμός, συνοψίζονται ως εξής,
1 1
( , ) ( , ) (α) (β)
(γ) (δ)
( , ) ( , ) .
i ii i
r r
i i i ii i
j j
f x y F X yX xx X
F x X f f X x F
F X y f x yy y
(16.18)
Οι συναρτήσεις είναι ισοδύναμες, ή λέμε ότι περιέχουν την ίδια πληροφορία. Στο τέλος θα σχολιάσομε για την περίπτωση μιας μεταβλητής, την ιδιάζουσα περίπτωση όπου η δεύτερη παράγωγος
είναι μηδέν, 2
2 0fx
. Πρόκειται για ένα είδος εκφυλισμού. Αυτό μπορεί να συμβεί όταν η συνάρτηση είναι
γραμμική ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή. Σε αυτή την περίπτωση η πρώτη παράγωγος που ορίζει την νέα ανεξάρτητη μεταβλητή δεν εξαρτάται από την παλιά ανεξάρτητη μεταβλητή. Είναι σταθερά ως προς αυτή. Δηλαδή, ( , )f x y ax b . Τα ,a b , γενικώς, εξαρτώνται από το y αλλά αυτό δεν μας ενδιαφέρει. Το σημείο τομής με τον κατακόρυφο άξονα βρίσκεται θέτοντας 0x και αυτό δίνει την F b . Έχομε
1 σταθερόfp a px
. Αυτή δε μπορεί να δώσει το ( )x x p . Έχομε 1( , )f x y p x F . Το
συμπέρασμα είναι πως έχομε τη νέα συνάρτηση F η οποία όμως ορίζεται μόνο σε ένα σημείο, στο 1p p a και έχει μια μόνο τιμή, την τιμή 1( , )F F p y b . Αυτό ενώ είναι μαθηματικά σωστό, δεν
είναι χρήσιμο στη φυσική όπου χρειάζεται να βρεθεί νέα συνάρτηση που να ορίζεται σε ένα ολόκληρο διάστημα της νέας μεταβλητής p . Από πλευράς Φυσικής, μπορούμε να λέμε ότι στην περίπτωση της γραμμικότητας, δεν υπάρχει αποδεκτός μετασχηματισμός Legendre.
2( , ) / ( , ) / 0i j i jx X y X F X y X X
( , ) /i jx X y X ( , ) /i jX x y x
( , ) / 0i jX x y x ( , ) / 0i jx X y X
( , )F X y ( , )f x y ix
( , ) ( , )j j
F X y f x yy y
1
r
i ii
F x X f
1 1
( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )r ri i
ii ij j i j j
x X y x X yF X y f x y f x yXy y x y y
( , ), ( , )F X y f x y
428
Π6. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ JACOBI Θα δείξομε την ταυτότητα του Jacobi, δηλαδή ότι για οποιεσδήποτε τρεις δυναμικές συναρτήσεις ισχύει (17.1) Εξετάζομε τους δυο πρώτους όρους της Εξ. (17.1) εναλλάσσοντας μεταξύ τους, στο δεύτερο όρο, τα . Έχομε . (17.2) Θα δείξομε ότι αυτοί οι όροι μαζί δεν περιέχουν δεύτερες παραγώγους του . Για τη συνάρτηση εισάγομε το γραμμικό διαφορικό τελεστή
(28.3)
Ο τελεστής αυτός μπορεί να γραφτεί στη μορφή
. (17.4)
Τα είναι παράγωγοι του ως προς τα με κατάλληλα πρόσημα. Ανάλογα μπορούμε να εισαγάγομε το γραμμικό τελεστή
. (17.5)
Η Εξ. (17.2) μπορεί να γραφτεί στη μορφή
. (17.6)
Οι μόνοι όροι στην Εξ. (17.6) που περιέχουν δεύτερες παραγώγους του είναι αυτοί του αθροίσματος της Εξ. (17.7), το άθροισμα όμως είναι μηδέν, δηλαδή
. (17.7)
Επομένως η Εξ. (17.2) έχει μόνο πρώτες παραγώγους του και θα έχει τη μορφή
. (17.8)
, ,u w
, , , , , , 0.u w w u w u
,u w
, , , ,u w u w
w
1.
n
i i i i i
Dq p p q
2
1
n
ii i
D
i ,q p
2
1
n
u jj j
D
2 2
, 1 , 1
n n
u u i j j ii j i ji j j i
w wD D w D D w
w
2 22
, 10
n
i j j ii j i j j i
w w
w
1
, , , ,n
i ii i i
w wu w u w A Bp q
429
Τα είναι συναρτήσεις των , που πρέπει να προσδιοριστούν, αλλά δεν είναι συναρτήσεις του . Ο προσδιορισμός τους γίνεται ως εξής. Θεωρούμε την ειδική περίπτωση όπου (αυτό δεν μεταβάλλει τα
γιατί δεν εξαρτώνται από το ), τότε η Εξ. (17.8) γίνεται . (17.9) Όμως ισχύει η σχέση (8) από το Εδάφιο 7.3, δηλαδή
. (17.10)
Επομένως η Εξ. (17.9) δίνει
. (17.11)
Ομοίως, θέτοντας και χρησιμοποιώντας τη σχέση (7) από το Εδάφιο 7.3, δηλαδή την
. (17.12)
Βρίσκομε
. (17.13)
Η Εξ. (17.8), με χρήση των Εξ. (17.11) και (17.13), γίνεται
(17.14)
Αυτή είναι η ταυτότητα του Jacobi, δηλαδή η Εξ. (17.1). Π7. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ΓΙΑ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Για την περιοχή αυτή των μαθηματικών, χρησιμοποιούνται οι όροι, θεωρία μεταβολών ή παραλλαγών ή παραλλακτικές μέθοδοι (variational methods). Τα θεωρήματα στα οποία θα αναφερθούμε είναι στην ουσία μαθηματικά θεωρήματα. Αυτά τα θεωρήματα έχουν εφαρμογή στη Φυσική και γι’ αυτό τα εξετάζομε στη μορφή που είναι χρήσιμα στη Φυσική. Συγκεκριμένα, βρίσκουν εφαρμογή στην Κλασική Φυσική και με αυτό εννοούμε, στην περιοχή που λαμβάνονται υπόψη η καθαρά Νευτώνεια Φυσική ή η Ειδική ή η Γενική σχετικότητα, ακόμη και η Κβαντική Φυσική με τα πεδία να είναι κλασικά πεδία. Οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι οι συντεταγμένες του πολυδιάστατου χώρου. Οι εξαρτημένες μεταβλητές εξαρτώνται από τις συντεταγμένες και στη Φυσική είναι αυτές που ονομάζομε πεδία. Στα παρακάτω υποθέτομε ότι ο χώρος έχει πολλές διαστάσεις και είναι επίπεδος (flat) . Για τις συντεταγμένες
1 2( , ,..., )mx x x x , το στοιχείο όγκου όταν ο χώρος είναι επίπεδος , μη καμπύλος, μπορεί να πάρει τη μορφή 1 2d d d d ...dm mx x x x , όπου m η διάσταση του χώρου. Τέτοιος τετραδιάστατος χώρος στη Φυσική, στη μη σχετικιστική μηχανική , είναι ο συνήθης τρισδιάστατος (ευκλείδειος) χώρος για τον οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθούν καρτεσιανές συντεταγμένες μαζί με τον ανεξάρτητο χρόνο, 1 2 3( , , , )x t x x x . Στην Ειδική Σχετικότητα είναι ο τετραδιάστατος χώρος Minkowski, όπου μπορούν να χρησιμοποιηθούν
,i iA B ,u w
iw p,k kA B w
, , , , iu w u w A
, kk
ff pq
,ii
A uq
iw q
, kk
ff qp
,ii
B up
1
, , , , , , , , .n
i i i i i
w wu w w u u u w up q q p
430
καρτεσιανές συντεταγμένες μαζί με το χρόνο, δηλαδή 0 1 2 3 0( , , , ), x x x x x x ct , d
, (ψευδοευκλείδειος). Μερικές φορές χρησιμοποιούμε το σύμβολο 0x ct στη θέση της συντεταγμένης του χρόνου ακόμη και για τη μη σχετικιστική περίπτωση. Αυτό δε σημαίνει ότι σε αυτή την περίπτωση έχομε τετραδιανύσματα, πράγμα που ισχύει για τη Σχετικότητα. Ο συμβολισμός μας διευκολύνει γιατί δεν κάνομε αλλαγή όταν αναφερόμαστε στη Σχετικότητα και επίσης είναι βολικό το ότι οι τέσσερεις συνιστώσες του τετραδιάστατου χώρου με καρτεσιανές συντεταγμένες έχουν ίδιες διαστάσεις. Είναι γνωστό ότι εκτός Σχετικότητας και σε καρτεσιανές συντεταγμένες δεν έχει νόημα ο διαχωρισμός σε ανταλλοίωτους και συναλλοίωτους δείκτες. Αν χρησιμοποιηθούν καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, το στοιχείο όγκου τροποποιείται. Η πλέον ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι της Γενικής Σχετικότητας όπου, γενικώς, ο χώρος είναι καμπύλος (non flat) ανεξάρτητα από το είδος των συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται. Γενικώς για καμπύλο χώρο, ή για γενικευμένες (καμπυλόγραμμες) συντεταγμένες το στοιχείο όγκου γίνεται 1 2d d d d ...dm mx g x x x , όπου είναι η ορίζουσα του μετρικού τανυστή
στο σημείο . Θα δούμε ότι η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση γίνεται . Σε αυτή την περίπτωση τροποποιείται με ανάλογο τρόπο και το θεώρημα της απόκλισης που συνδέει το ολοκλήρωμα όγκου με το ολοκλήρωμα στην περικλείουσα τον όγκο επιφάνεια. Από πλευράς Φυσικής, η πλέον ενδιαφέρουσα περίπτωση καμπύλου χώρου είναι στη Γενική Σχετικότητα (χώρος Riemann) . Σε αυτή την περίπτωση στα πεδία συμπεριλαμβάνονται και τα στοιχεία του μετρικού τανυστή. Σε χώρους που ενώ είναι επίπεδοι γίνεται χρήση καμπυλόγραμμων συντεταγμένων οπότε χρησιμοποιείται ο μετρικός τανυστής, τα στοιχεία αυτού του τανυστή δεν αποτελούν πεδία, γι’ αυτό η περίπτωση είναι απλούστερη και με αυτήν θα ασχοληθούμε, κατά κύριο λόγο. Όταν ένας χώρος είναι επίπεδος, τότε είναι δυνατόν με κατάλληλο μετασχηματισμό συντεταγμένων να ισχύει για την απόσταση μεταξύ οποιονδήποτε σημείων του, το πυθαγόρειο θεώρημα. Για παράδειγμα για το επίπεδο μπορούμε να χρησιμοποιήσομε πολικές συντεταγμένες ( , ) . Σε αυτές τις συντεταγμένες η (στοιχειώδης) απόσταση είναι: 2 2 2 2d d ds και το στοιχείο «όγκου», εδώ επιφάνειας, είναι d d d . Όμως με μετασχηματισμό σε καρτεσιανές συντεταγμένες, για όλο το επίπεδο, δηλαδή
cos , sinx y , βρίσκομε για απειροστές αποστάσεις 2 2 2d d ds x y και για πεπερασμένες 2 2 2s x y για όλο το χώρο, επίσης d d dx y .
Τώρα ας υποθέσομε ότι «είμαστε» πάνω σε μια σφαίρα ακτίνας R . Οι συντεταγμένες είναι οι δυο σφαιρικές συντεταγμένες ( , ) . Η απόσταση μεταξύ σημείων ορίζεται ως το μήκος πάνω σε μέγιστο κύκλο που ενώνει τα δυο σημεία. Η στοιχειώδης απόσταση είναι
2 2 2 2 2 2d sin d ds R R και 2d sin d dR . Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει μετασχηματισμός που να ισχύει για όλη τη σφαιρική επιφάνεια, ο οποίος να οδηγεί σε συντεταγμένες για τις οποίες να ισχύει για την απόσταση, το πυθαγόρειο θεώρημα. Αυτό μπορεί να γίνει μόνο τοπικά, δηλαδή στην περιοχή του κάθε σημείου. Ένα άλλο σημείο που αξίζει να τονίσομε είναι οι λεγόμενες καμπυλότητες ενός χώρου. Θα περιοριστούμε σε παραδείγματα δυο διαστάσεων. Γενικώς οι δισδιάστατες επιφάνειες έχουν σε κάθε σημείο τους δυο καμπυλότητες ή το αντίστροφό τους, δυο ακτίνες καμπυλότητας. Η κάθε ακτίνα καμπυλότητας αναφέρεται σε ένα επίπεδο που περιέχει την κάθετο στην επιφάνεια σε ένα σημείο της και επομένως είναι κάθετο στο εφαπτόμενο στην επιφάνεια επίπεδο. Η ακτίνα καμπυλότητας σε ένα σημείο είναι οι ακτίνα καμπυλότητας του εγγύτατου κύκλου στην καμπύλη που είναι η τομή του επιπέδου που περιέχει την κάθετο με την επιφάνεια. Σε κάθε τέτοιο κάθετο επίπεδο αντιστοιχεί μια ακτίνα και (επομένως ) μια καμπυλότητα. Σε κάθε σημείο υπάρχει μια μέγιστη και μια ελάχιστη καμπυλότητα που λέγονται κύριες καμπυλότητες (principal curvatures). Τα επίπεδά τους λέγονται κύρια επίπεδα και είναι κάθετα μεταξύ τους. Η καμπυλότητα μπορεί να είναι θετική, αρνητική ή μηδέν. Είναι θετική αν η καμπύλη καμπυλώνεται κατά την κατεύθυνση που έχει οριστεί ως κατεύθυνση της καθέτου, στην αντίθετη περίπτωση είναι αρνητική. Ας υποθέσομε, στη συνέχεια, ότι έχομε μια κυλινδρική επιφάνεια μια κωνική επιφάνεια και μια σφαιρική επιφάνεια. Στην περίπτωση της κυλινδρικής επιφάνειας οι ακτίνες σε κάθε σημείο στα κύρια επίπεδα (κύριες ακτίνες καμπυλότητας) είναι 1 2,R R R και οι (κύριες) καμπυλότητες είναι
4 0 1 2 3d d d d dx x x x x
( )g x
( )g x x g
431
1 21 2
1 1 1, 0R R R
. R είναι η συνήθης ακτίνα (της κάθετης τομής) του κυλίνδρου. Για την κωνική
επιφάνεια ισχύουν , 1 2,R R και οι κύριες καμπυλότητες είναι 1 21 2
1 1, 0R R
.
Για την περίπτωση της σφαιρικής επιφάνειας έχομε προφανώς, 1 2 1 21, R R RR
. Εκ πρώτης
όψεως όλες οι επιφάνειες «φαίνονται» καμπύλες. Όμως υπάρχει ουσιώδης διαφορά μεταξύ τους. Οι δυο πρώτες μπορεί να «ξετυλιχτούν» αφού κοπούν κατάλληλα και να γίνουν επίπεδες επιφάνειες. Αυτό σημαίνει ότι ολόκληρες αυτές οι επιφάνειες μπορούν να χαρακτηριστούν με καρτεσιανές συντεταγμένες, άρα είναι επίπεδες επιφάνειες. Αυτό δε μπορεί να γίνει για τη σφαιρική επιφάνεια. Μόνο σε απειροστές περιοχές της μπορεί να έχομε καρτεσιανές συντεταγμένες κατά προσέγγιση. Αυτά εκφράζονται με τη λεγόμενη γκαουσιανή καμπυλότητα K (gaussian curvature). Αυτή είναι μια εσωτερική ιδιότητα του χώρου που δεν εξαρτάται από τις συντεταγμένες. Ισχύει να την 1 2K . Αν αυτή είναι μηδέν τότε η επιφάνεια είναι επίπεδη αν όχι είναι καμπύλη. Στις περιπτώσεις που εξετάσαμε η κυλινδρική και η κωνική επιφάνειες είναι επίπεδες ενώ η σφαιρική είναι καμπύλη και μάλιστα έχει θετική καμπυλότητα. Το θετικό ή το αρνητικό χαρακτηρίζεται από το πρόσημο του K . Αυτά γενικεύονται κατάλληλα σε πολυδιάστατους χώρους. Π7.1 Εξισώσεις των Euler-Lagrange από θεωρία μεταβολών για συνεχή συστήματα Έστω η συνάρτηση η οποία εξαρτάται, τελικώς, από τις ανεξάρτητες μεταβλητές (γενικευμένες συντεταγμένες) , επίπεδου χώρου όπου το στοιχείο όγκου έχει τη γενική
μορφή 1 2d d d d ...dmmx g x x x . Στη Μηχανική για διακριτά συστήματα έχομε και
ανεξάρτητη μεταβλητή είναι, συνήθως, ο χρόνος, ή ο ιδιόχρονος ή κάποια άλλη κατάλληλη παράμετρος. Στη Φυσική, στην περίπτωση πεδίων έχομε . Ανεξάρτητες μεταβλητές είναι οι τρεις συντεταγμένες του συνήθους τρισδιάστατου χώρου και ο χρόνος, ενώ είναι η λαγκρανζιανή πυκνότητα ή απλώς λαγκρανζιανή. Εδώ υποθέτομε ότι η εξαρτάται και από συναρτήσεις των , τις , που είναι οι εξαρτημένες μεταβλητές και είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες. Αυτές αντιστοιχούν στα πεδία της Φυσικής. Θα
υποθέσομε ακόμη ότι η εξαρτάται επίσης, (μόνο) από τις πρώτες παραγώγους .
Μπορεί κανείς να ασχοληθεί με πιο γενικές μορφές όπου υπάρχει εξάρτηση και από παραγώγους ανώτερης τάξης. Τότε, όπως έχομε δει , οι εξισώσεις Euler-Lagrange είναι ανώτερης τάξης. Τέτοιες γενικεύσεις και επεκτάσεις έχουν προταθεί ή βρίσκουν εφαρμογή στα πλαίσια Υπερσυμμετρικών Θεωριών Στοιχειωδών Σωματιδίων (θεωρίες SUSY, supersymmetry). Όμως στα πλαίσια της Φυσικής που μας ενδιαφέρει εδώ, είναι αρκετή η εξάρτηση μόνο από τις πρώτες παραγώγους. Όπως είπαμε όσα ακολουθούν αναφέρονται σε προβλήματα που σχετίζονται με ανεξάρτητες μεταβλητές σε χώρο m διαστάσεων (υπερόγκος). Στο σύνορο του χώρου (υπερεπιφάνεια m-1 διαστάσεων ) οι τιμές των εξαρτημένων μεταβλητών είναι καθορισμένες και δεν μεταβάλλονται κατά τις παραλλαγές. Θα χρησιμοποιούμε τον παρακάτω συμβολισμό
F mix
1m
4m F
F n ix ( )jy x
F ,j
j ii
yy
x
432
(18.1)
Σχηματίζομε το συναρτησοειδές της συνάρτησης ( ) ( , , )dxZ Z y x F x y y
. (18.2)
Το ολοκλήρωμα εκτείνεται σε ένα πεπερασμένο ή απέραντο χωρίο («όγκο») του χώρου των , διαστάσεως . Τα παριστάνουν μια «τροχιά» στον ανωτέρω πολυδιάστατο χώρο. Θέλομε να βρούμε τις σχέσεις
που πρέπει να πληρούν τα (πραγματική τροχιά) ώστε το συναρτησοειδές να έχει στάσιμη τιμή για αυτή την τροχιά Η σύγκριση γίνεται, κατά τα γνωστά με γειτονικές τροχιές που διαφέρουν κατά απειροστά πρώτης τάξης από την πραγματική. Οι απειροστές μεταβολές των είναι αυθαίρετες συναρτήσεις των και γίνονται με τα σταθερά. Για κάθε θέση πηγαίνομε από το σημείο της πραγματικής τροχιάς στο σημείο της γειτονικής τροχιάς . Σε αυτό το Εδάφιο, αυτές οι μεταβολές θα συμβολίζονται με το γνωστό σύμβολο . Αφού τα είναι καθορισμένα, δηλαδή δεν μεταβάλλονται κατά τις παραλλαγές στο σύνορο, οι αυθαίρετες μεταβολές των , δηλαδή τα , μηδενίζονται στο σύνορο S του χωρίου . Όπως είπαμε, το σύνορο είναι ένα είδος υπερεπιφάνειας διαστάσεως μέσα στο χώρο των ανεξάρτητων μεταβλητών διαστάσεως . Το χωρίο δεν μεταβάλλεται κατά την παραλλαγή (μεταβολή). Στάσιμη τιμή σημαίνει ότι, η απειροστή παραλλαγή του συναρτησοειδούς (δηλαδή του ολοκληρώματος) της Εξ (18.2) κατά τη μεταβολή από την πραγματική τροχιά στη γειτονική παραλλαγμένη τροχιά, είναι μηδέν. Συγκεκριμένα, έχομε
(18.3)
Στο Σχ.(Π7.1) φαίνεται η απλή περίπτωση για και .
Σχήμα Π7.1 Πραγματική και γειτονική τροχιά για την πιο απλή περίπτωση.
1 2
1 2
,
,
( , ,..., )( ) ( ), ( ),..., ( )
= 1, 2,..., 1, 2,...,
( , , ) , , , , 1, 2,..., 1, 2,..., .
m
n
jx j i
i
jx i j i j j i
i
x x x xy y x y x y x y x
yy y y j n i mx x
yF x y y F x y F x y y j n i m
x
F
xm ( )y x
( )y x
( )y x ix
ix x ( )y x( )y x
δ ( )y x( )y x δ ( )y x Ω
S 1mm Ω
δ = , , d , , d
= , , , , d
=δ , , d δ , , d 0.
m mi x x
Ω Ω
mx x
Ω
m mx x
Ω Ω
Z F x y y x F x y y x
F x y y F x y y x
F x y y x F x y y x
1m 1n
433
Αυτή είναι η αρχή παραλλαγών (ή μεταβολών) σε πολλές διαστάσεις. Με βάση αυτή την αρχή θα δείξομε ότι για την πραγματική τροχιά ισχύουν οι εξισώσεις των Euler-Lagrange. Η ισχύς των εξισώσεων των Euler-Lagrange είναι αναγκαία συνθήκη για το στάσιμο του συναρτησοειδούς αλλά όχι πάντοτε και ικανή συνθήκη. Δεν θα ασχοληθούμε με αυτό το δεύτερο μαθηματικό θέμα εδώ. Υποθέτομε ότι υπάρχουν τα και έχουν παραγώγους μέχρι δεύτερης τάξης ως προς τα . Θα ορίσομε μεταβολές των μεταβλητών που να είναι σε συμφωνία με όσα είπαμε παραπάνω. Μπορεί κανείς να ορίσει γενικότερες μεταβολές με πιο πολύπλοκες εξαρτήσεις. Ορίζομε τις μεταβολές ως εξής
(18.4)
Για μια συνάρτηση με άμεση και έμμεση εξάρτηση από τα έχομε
(18.5)
Ισχύει η σχέση
. (18.6)
Με την έννοια της ολικής παραγώγου μερικές φορές θα θεωρούμε ότι ισχύουν,
. (18.7)
Αυτό δεν είναι σύμφωνο με το συνήθη συμβολισμό για τις παραγώγους. Εδώ δεν σημαίνει ότι το jy
εξαρτάται μόνο από μια μεταβλητή, την kx , αλλά σημαίνει ότι υπάρχει μόνο άμεση εξάρτηση από το kx , δεν υπάρχει και έμμεση εξάρτηση. Είναι εύκολο να δούμε ότι ισχύουν οι αντίστοιχες των τελευταίων από τις Εξ. (18.5) για την ολική παράγωγο. Για μια συνάρτηση με άμεση και έμμεση εξάρτηση από τα έχομε
(18.8)
Θα ολοκληρώσομε παραγοντικά το δεύτερο ολοκλήρωμα του αθροίσματος της Εξ. (18.6).
( )y x x
δ 0 1, 2,...,δ ( )= 1, 2,...,
δ ( ) =0.
i i i
j j j
j S
x x x i my x y y j n
y x
f ix
,
δδ
δδ =δ
δδ .
i i i i i
ii i
kk
k ki i
f f ff f fx x x x x
ff fx x
ffx x
,1 1 ,
δ δ d δ δ d 0n m
j j ij ij j iΩ Ω
F FZ F Ω y y Ωy y
( ) d ( )d
j j
k k
y x y xx x
ix
d d d d(δ )δd d d dd d (δ )δ .d d
i i i ik k
k ki i
f f f fx x x x
f fx x
434
Ισχύει η σχέση
, , ,
, , , ,
,, ,
d(δ )d dδ δd d d
dd dδ δ δ δd d d
dδ δd
jj j
i j i i j i j i i
j jj j
i j i j i i i j i j i i
j j ii j i j i
yF F Fy yx y x y y x
y yF F F Fy yx y y x x y y x
F Fy yx y y
æ ö æ ö¶ ¶ ¶÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= +÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷¶ ¶ ¶ç çè ø è øæ ö æ ö ¶¶ ¶ ¶ ¶÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= + = +÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ç çè ø è øæ ö¶ ¶÷ç ÷ç= +÷ç ÷÷¶ ¶çè ø
(18.9)
Επομένως, με παραγοντική ολοκλήρωση, το δεύτερο ολοκλήρωμα της Εξ. (18.6) γίνεται
. (18.10)
Η έκφραση στο πρώτο ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους της
Εξ. (18.10), είναι η απόκλιση (divergence) με διάσταση , της συνάρτησης που αντιπροσωπεύει η παρένθεση. Ισχύει το σχετικό θεώρημα της απόκλισης, οπότε το ολοκλήρωμα όγκου μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα στην επιφάνεια που περικλείει τον όγκο (σύνορο του χωρίου, σύνορο του όγκου) . Σε κάθε σημείο της επιφάνειας θεωρείται θετική η κατεύθυνση από μέσα προς τα έξω. Έχομε
. (18.11)
Τα είναι οι «προβολές» του στοιχείου του συνόρου στο υπερεπίπεδο που καθορίζεται από = σταθερό. Έτσι το ολοκλήρωμα της Εξ. (18.10) γίνεται
(18.12)
Όμως οι δεύτερες σχέσεις της Εξ. (18.4) λένε ότι στην επιφάνεια τα , άρα το ολοκλήρωμα της Εξ. (18.12) είναι μηδέν, οπότε η Εξ. (18.6) με χρήση της Εξ. (18.10) και της Εξ. (18.12) δίνει
. (18.13)
Βλέπομε ότι η δυνατή μεταβολή του ολοκληρώματος της απόκλισης είναι μηδέν. Αυτό μπορεί να δει κάποιος πως σχετίζεται με το ότι το ολοκλήρωμα όγκου της απόκλισης ισούται με ολοκλήρωμα στο σύνορο το οποίο είναι μια σταθερά. Στη συνέχεια κάνομε τον συνήθη συλλογισμό: Αφού τα είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα θα είναι μεταξύ
τους ανεξάρτητα και τα , επομένως μπορούμε να διαλέγομε διαδοχικά ένα από αυτά μη μηδενικό στο
άθροισμα των ολοκληρωμάτων πάνω στα και όλα τα άλλα μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι κάθε ένα από αυτά τα ολοκληρώματα του αθροίσματος θα είναι μηδέν, δηλαδή
,1 1 1 1 1 1, , ,
d dδ d δ d - δ dd d
n m n m n m
j i j jj i j i j ij i i j i i j iΩ Ω Ω
F F Fy Ω y Ω y Ωy x y x y
1 ,
d δd
m
ji i j i
F yx y
m
1 1
d d dd
m mi
i ii iiΩ S
f Ω f Sx
d iS S ix
1 1 1 1, ,
d δ d δ d .d
n m n m
j j ij i j ii j i j iS
F Fy y Sx y y
S δ 0jy
1 1 ,
dδ δ - d 0d
n m
jj ij i j iΩ
F FZ y Ωy x y
jyδ jy
1, 2,...,j n
435
. (18.14)
Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε το γνωστό θεμελιώδες λήμμα της Θεωρίας Μεταβολών. Αυτό λέει ότι αφού οι μεταβολές είναι αυθαίρετες συναρτήσεις των , τότε για να είναι το ολοκλήρωμα της σχέσης (18.14) ίσο με μηδέν, πρέπει η αγκύλη να είναι μηδέν. Επομένως τελικώς η Εξ. (18.14) μας οδηγεί στο ότι, για την πραγματική τροχιά, δηλαδή για τα , που την καθορίζουν, ισχύουν οι εξισώσεις των Euler-Lagrange για τη συνάρτηση , δηλαδή
(18.15)
Σε αυτό το σημείο πρέπει να αναφερθούμε στο γεγονός που παρόμοιό του έχομε δει στην περίπτωση των διακριτών συστημάτων. Έστω οι αυθαίρετες παραγωγίσιμες συναρτήσεις που μπορούμε να τις θεωρήσομε ως τις συνιστώσες ενός διανύσματος στο χώρο των m διαστάσεων. Σχηματίζομε
την απόκλιση, δηλαδή την παράσταση . Ολοκληρώνομε την απόκλιση στο χώρο .
Έχομε 1
d ( , )dd
mi
i i
x yx
. Προσθέτομε αυτό το ολοκλήρωμα και τροποποιούμε το συναρτησιακό της
Εξ.(18.2) , οπότε βρίσκομε
1 1
1
d ( , ) d ( , )( , , )d d dd d
d ( , )( , , ) d .d
m mi i
xi ii i
mi
xi i
x y x yZ F x y y Zx x
x yF x y yx
(18.16)
Σχηματίζομε τη δυνατή μεταβολή δZ . Προφανώς έχομε,
1 1
d ( , ) d ( , )δ δ ( , , ) d =δ δ dd d
m mi i
xi ii i
x y x yZ F x y y Zx x
. (18.17)
Το τελευταίο ολοκλήρωμα είναι ολοκλήρωμα απόκλισης οπότε, μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα στο σύνορο. Είδαμε λίγο πριν ότι η δυνατή μεταβολή ενός ολοκληρώματος απόκλισης είναι μηδέν. Αυτό σχετίζεται με το γεγονός ότι, όπως είπαμε, το ολοκλήρωμα είναι μια σταθερά. Επομένως
1
d ( , )δ δ ( , , ) d =δd
mi
xi i
x yZ F x y y Zx
. (18.18)
Αυτό σημαίνει ότι θέτοντας δ δ 0Z Z , καταλήγομε στις ίδιες εξισώσεις Λαγκράνζ , από την Z και την Z . Παίρνομε τις ίδιες λύσεις και από τα δυο αυτά συναρτησιακά. Τελικώς, καταλήγομε στο ότι η συνάρτηση μπορεί να τροποποιηθεί σύμφωνα με τη σχέση,
1
d ( , )( , , ) ( , , )d
mi
x xi i
x yF x y y F x y yx
(18.19)
1 ,
dδ - d 0d
m
jij i j iΩ
F Fy Ωy x y
δ jy ix
( ) 1, 2,...,jy x j n
F
1 ,
1
d 0d
d 0 1, 2,..., .d /
m
ij i j i
m
ij i j i
F Fy x y
F F j ny x y x
( , ) 1, 2,...,iΛ x y i m
1
d ( , )d
mi
i i
Λ x yx
436
ενώ οι εξισώσεις Λαγκράνζ μένουν οι ίδιες. Θυμηθείτε ότι έχομε το αντίστοιχο για διακριτά συστήματα στη Μηχανική όπου αντί για απόκλιση έχομε ολική παράγωγο ως προς το χρόνο και αυτό το ξέρομε και από το λαγκρανζιανό φορμαλισμό, χωρίς θεωρία μεταβολών. Εφόσον η περιέχει μόνο πρώτες παραγώγους των
, γράψαμε τα ως συναρτήσεις μόνο των . Αυτά μπορεί να γενικευτούν κατάλληλα σε γενικότερες περιπτώσεις όπου υπάρχουν στην ανώτερες παράγωγοι. Η πιο γενική μορφή συνάρτησης είναι να ορίζεται σε πολυδιάστατο χώρο ανεξάρτητων μεταβλητών και να εξαρτάται από πολλές εξαρτημένες μεταβλητές και παραγώγους τους ανώτερης τάξης
συμπεριλαμβανομένων μεικτών παραγώγων της μορφής .
Παρακάτω αναφερόμαστε στη περίπτωση όπου στην έχομε μιαν ανεξάρτητη μεταβλητή μια εξαρτημένη μεταβλητή και παραγώγους μέχρι τάξεως . Αυτή η περίπτωση μπορεί, σχετικά εύκολα, να γενικευθεί για πολλές ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές με παραγώγους ανώτερης τάξης, χωρίς μεικτές παραγώγους. Θα χρησιμοποιήσομε για ευκολία το συμβολισμό
(18.20)
Τώρα η Εξ. (18.6) γίνεται
. (18.21)
Σε αυτή την περίπτωση με παραγώγους μέχρι τάξης ισχύει ο περιορισμός στα άκρα του διαστήματος ολοκλήρωσης (δηλαδή στο σύνορο) . (18.22)
Σύμφωνα με τις Εξ. (18.5) ή (18.8) μετατίθενται τα οπότε έχομε
. (18.23)
Είναι γνωστό ότι ισχύει η ταυτότητα της Εξ. (18.24), όπου όταν θεωρούμε ότι ο δεύτερος όρος στο δεύτερο μέλος είναι μηδέν,
. (18.24)
Επομένως η Εξ. (18.23) γίνεται
(18.25)
Το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι ολοκλήρωμα ολικού διαφορικού. Κάνοντας την μετάθεση των και δ,
αυτό γίνεται
Fy iΛ ,x y
FF
1 2 3....
l
x x x
FN
( )
(0) (1) (2) ( )
d , 0,1,...,d
, ( , , , ,..., )
ll
l
N
yy l Nx
y y F F x y y y y
2 2
1 1
( )( )
0δ δ d δ d 0
x x Ni
iix x
FZ F x y xy
N
1 2
( ),
δ 0, 0,1,...,ix x
y i N δd , 0,1,..., 1i y i N
d , δd
i
ix2
1
( )0
d δδ d 0d
x iN
i iix
F yZ xy x
0,i
( ) ( ) 1 ( 1) ( )
1
d( 1) ( 1)d
ii i i l l i l
lfg gf f g
x
2
1
2
1
( )0
11
1 ( )0 1
dδ δ ( 1) dd
d d d δ( 1) d 0.d d d
x iNi
i iix
x l i lN il
l i i li lx
FZ y xx y
F y xx x y x
dd
i l
i lx
437
(18.26)
Αυτό το ολοκλήρωμα οδηγεί σε όρο ο οποίος έχει τιμές στο σύνορο, δηλαδή στα σημεία (όρος συνόρου). Αυτός είναι μηδέν αφού υποθέσαμε ότι ισχύουν οι συνθήκες μηδενισμού των μεταβολών των παραγώγων και της στο σύνορο, , Εξ. (18.22) και για την περίπτωση
είπαμε ότι η αγκύλη είναι μηδέν. Επομένως εφόσον το είναι αυθαίρετη συνάρτηση του , εφαρμόζομε το θεμελιώδες λήμμα της θεωρίας μεταβολών και από την Εξ. (18.25) καταλήγομε στην παρακάτω εξίσωση των Euler-Lagrange με ανώτερες παραγώγους
. (18.27)
Η γενική μορφή των εξισώσεων των Euler-Lagrange με όλων των μορφών παραγώγους στην , με πολλές ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές είναι πολύπλοκη και μπορεί να βρεθεί στη βιβλιογραφία. Τονίζομε εδώ ότι, η συνάρτηση μπορεί να εξαρτάται και από άλλες συναρτήσεις των των οποίων η εξέλιξη δεν προκύπτει από θεωρία μεταβολών του ανωτέρω συναρτησοειδούς, αυτές για τη θεωρία μεταβολών που οδηγεί στις εξισώσεις των Euler-Lagrange είναι δεδομένες και προσδιορίζονται με άλλους τρόπους. Όταν κάνομε τις ανωτέρω μεταβολές αυτές οι συναρτήσεις δεν μεταβάλλονται αλλά λαμβάνονται ως σταθερές. Οι συναρτήσεις (μεταβλητές) που μπορούν να προσδιοριστούν από θεωρία μεταβολών στη φυσική λέγονται δυναμικές μεταβλητές και οι άλλες απόλυτες μεταβλητές. Οι δυναμικές μεταβλητές εξαρτώνται από τις απόλυτες ενώ οι απόλυτες δεν εξαρτώνται από τις δυναμικές. Α) Συναρτησιακή Παράγωγος. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι εισαγωγής της έννοιας της συναρτησιακής παραγώγου ή παραλλακτικής παραγώγου (functional ή variational derivative). Εδώ δίνομε έναν σχετικά απλό ορισμό της συναρτησιακής παραγώγου. Το πρόβλημα που τίθεται είναι το εξής: Τι θα συμβεί στην τιμή του συναρτησιακού αν μεταβληθεί κατά πολύ λίγο (απειροστό) μια από τις συναρτήσεις ( )iy x . Έχομε γενικώς, ( ) ( , )dZ Z y x F x y
.
Αν μεταβληθεί ένα ( )iy x κατά δ ( )iy x για κάθε ένα σημείο x του πολυδιάστατου χώρου, τότε το
συναρτησιακό θα μεταβληθεί κατά δ ( )Z x , δ ( ) δ ( )( ) i
i
ZZ y x y xy x
. Η μεταβολή θα είναι, γενικώς,
διαφορετική από σημείου εις σημείο, x . Διαιρούμε και τα δύο μέλη αυτής της έκφρασης δια του πολύ
2
1
2
1
2
1
11
1 ( )0 1
11 ( )
1 ( )0 1
11 ( )
1 ( )0 1
d d d δ( 1) dd d d
d d( 1) δ dd d
d( 1) δd
x l i lN il
l i i li lx
x lN il i l
l ii lx
xlN i
l i ll i
i l x
F y xx x y x
F y xx x y
F yx y
1 2,x x
y1 2
( ),
δ 0, 0,1,..., 1rx x
y r N
0i δy x
1
d( 1) =0.ddd
iNi
iii
i
F Fyx x
x
F
F ix
438
μικρού «όγκου» , στην περιοχή του σημείου x . Έχομε την έκφραση δ ( ) 1 δ ( )
( ) ii
Z y x Z y xy x
.
Αυτή η έκφραση δίνει τη μεταβολή ανά μονάδα «όγκου» και μονάδα iy , του συναρτησιακού σε κάθε σημείο
του χώρου. Η συναρτησιακή παράγωγος δδ i
Zy
, ορίζεται από την έκφραση
δ 1δ i i
Z Zy y
για κάθε ένα iy και για κάθε ένα σημείο του χώρου. Πρόκειται για συμβολισμό που μπορεί
να οδηγήσει σε παρεξήγηση, γι’ αυτό επαναλαμβάνομε ότι στην πραγματικότητα το δδ i
Zy
δηλώνει μεταβολή
του Z ανά μονάδα του iy και ανά μονάδα «όγκου», σε ένα σημείο του χώρου x . Η συνολική μεταβολή του συναρτησιακού σε όλο το διάστημα ολοκλήρωσης θα είναι:
δ ( )δ ( ) δ ( )dδ ( )
ii i
i
Z yZ y y xy x
.
Στην περίπτωση διακριτών συστημάτων ο χώρος είναι μονοδιάστατος, συγκεκριμένα είναι ο χρόνος και το στοιχείο «όγκου» είναι ο στοιχειώδης χρόνος. Στη συνέχεια ας υποθέσομε ότι για τη συνάρτηση έχομε ( , , )xF F x y y , στον πολυδιάστατο χώρο. Ξεκινούμε από την (18.2). Κάνομε δυνατή μεταβολή στο συναρτησιακό, εφαρμόζομε παραγοντική ολοκλήρωση οπότε καταλήγομε σε ένα ολοκλήρωμα όγκου και σε ολοκλήρωμα στο σύνορο. Θεωρούμε ότι στο σύνορο έχομε τις γνωστές συνοριακές σχέσεις, οπότε το ολοκλήρωμα στο σύνορο είναι μηδέν. Έτσι καταλήγομε στη σχέση
1 1 ,
dδ δ dd
n m
jj ij i j i
F FZ yy x y
.
Αυτή είναι η σχέση (18.14) χωρίς να θέσομε τη δυνατή μεταβολή του συναρτησιακού ίση με μηδέν. Στη συνέχεια κάνομε το γνωστό συλλογισμό, αφού τα δy είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα και επίσης είναι αυθαίρετες συναρτήσεις των x , μπορούμε να θεωρήσομε ένα κάθε φορά μη μηδενικό, οπότε φεύγει το άθροισμα. Σύγκριση με την παραπάνω σχέση για τη συνολική μεταβολή του συναρτησιακού μας οδηγεί στο ότι ισχύει:
1 ,
δ dδ ( ) d
m
ik j i j i
Z F Fy x y x y
. (18.28)
Σημειώνομε ότι η συναρτησιακή παράγωγος ορίζεται χωρίς να ισχύουν κατ’ ανάγκη οι εξισώσεις Euler-Lagrange. Με χρήση της συναρτησιακής παραγώγου, οι εξισώσεις Euler-Lagrange μπορούν να γραφτούν στη μορφή,
δ 0δ ( )k
Zy x
.
Αν στη λαγκρανζιανή υπάρχουν παράγωγοι μέχρι τάξη n τότε, γενικώς, η διαφορική εξίσωση που προκύπτει έχει τάξη μέχρι 2n . Αν η εξάρτηση της λαγκρανζιανής από την παράγωγο τάξης n είναι γραμμική τότε η αντίστοιχη συμβολή στην τελική διαφορική εξίσωση οδηγεί σε παραγώγους με μέγιστη τάξη n . Παράδειγμα γραμμικής εξάρτησης από παραγώγους δεύτερης τάξης έχομε στη Βαρύτητα στα πλαίσια της Γενικής Σχετικότητας. Για αυτό το λόγο, σε αυτή την περίπτωση, οι διαφορικές εξισώσεις είναι τάξης 2 και όχι 4.
439
Β) Συναρτησιακή Παράγωγος της λαγκρανζιανής και της χαμιλτονιανής. Τώρα θα αναφερθούμε στον ορισμό της συναρτησιακής παραγώγου της λαγκρανζιανής και της χαμιλτονιανής, τις οποίες θεωρούμε συναρτησιακά. Αυτό είναι χρήσιμο στη θεωρία πεδίων, στον χαμιλτονιανό φορμαλισμό, όπου η παράγωγος ως προς το χρόνο παίζει ξεχωριστό ρόλο από τις παραγώγους ως προς τη θέση στον συνήθη χώρο. Η λαγκρανζιανή και η λαγκρανζιανή πυκνότητα συνδέονται με τη σχέση: 0 0 3
,( , ), ( , ), , di i iiL x x x t x x x
.
Έχομε ξεχωρίσει τη συντεταγμένη 0x του χρόνου από τις άλλες τρεις χωρικές συντεταγμένες, 1 2 3, ,x x x . Όπως συνήθως, μπορεί να θεωρήσομε ότι 0x t ή 0x ct . Το στοιχείο του όγκου 3d x αναφέρεται στον συνήθη τρισδιάστατο χώρο των 1 2 3, ,x x x που παριστάνομε με . Σημειώνομε ότι το είναι γενικώς όλος ο απέραντος συνήθης χώρος. Σχηματίζομε τη δυνατή μεταβολή (παραλλαγή) της λαγκρανζιανής, έχομε:
0 0 3,
3,
,
δ δ ( , ), ( , ), , d
δ δ δ d .
i i ii
ii
L x x x t x x x
x
Θυμίζομε ότι 1, 2,3i , δηλαδή ο δείκτης αναφέρεται στις τρεις συνήθεις χωρικές συνιστώσες, επίσης ισχύουν:
, ,0 0, 1, 2,3 i i ix x
.
Έχομε τη σχέση, ,
(δ )δ i ix
. Κάνομε παραγοντική ολοκλήρωση στο ολοκλήρωμα του δεύτερου
όρου του δL και αφού μετατρέψομε το ολοκλήρωμα της απόκλισης που προκύπτει σε ολοκλήρωμα πάνω στο σύνορο, S , δηλαδή στην περικλείουσα επιφάνεια του τρισδιάστατου χώρου, βρίσκομε για αυτό το ολοκλήρωμα,
3 3,
, ,
δ d (ολοκλήρωμα στο σύνορο) di ii i
x xx
.
Υποθέτομε ότι τα πεδία είναι εντοπισμένα στον τρισδιάστατο χώρο οπότε αυτό σημαίνει ότι στην,
γενικώς απέραντη, επιφάνεια S είναι μηδέν ή τείνουν στο μηδέν με την απόσταση, κατά τρόπο που το ολοκλήρωμα στο σύνορο να μηδενίζεται. Τελικώς έχομε,
0 0 3,
3
,
δ δ ( , ), ( , ), , d
δ δ d .
i i ii
ii
L x x x t x x x
xx
440
Θεωρούμε ότι τα δ ,δ είναι ανεξάρτητα και αυθαίρετα, οπότε τώρα έχομε την αντίστοιχη σχέση, με αυτή που δώσαμε στα προηγούμενα, για την συνολική μεταβολή του συναρτησιακού:
3δ δδ δ δ dδ ( ) δ ( )
L LL xx x
.
Η σύγκριση με την τελευταία προηγούμενη σχέση οδηγεί στις δυο ακόλουθες συναρτησιακές παραγώγους της λαγκρανζιανής:
,
δδ
δ .δ
ii
Lx
L
Μερικές φορές χρησιμοποιούμε το συμβολισμό δδ
αντί του δ
δL
. Δεν υπάρχει πρόβλημα αρκεί να
ξέρομε τι σημαίνουν όλα αυτά. Ας δούμε τώρα τι συμβαίνει με τη χαμιλτονιανή για πεδία. Ορίσαμε τη χαμιλτονιανή για διακριτά συστήματα με χρήση της λαγκρανζιανής και με το μετασχηματισμό Legendre. Θα γενικεύσομε αυτή τη διαδικασία για πεδία. Γράφομε
d
3( ) ( )H x x d x L
όπου ( )x
είναι η πυκνότητα, στο συνήθη τρισδιάστατο χώρο, της
συζυγούς ορμής για το πεδίο . Στη συνέχεια γράφομε
d
3( ) ( ) dH x x x
. Αυτό σημαίνει ότι η χαμιλτονιανή είναι συναρτησιακό με εξαρτημένες
μεταβλητές τα , . Η χαμιλτονιανή πυκνότητα είναι ( ) ( )x x
. Παρατηρούμε ότι στο χαμιλτονιανό φορμαλισμό ο χρόνος και ο συνήθης χώρος ξεχωρίζουν δεν εισέρχονται ισοδύναμα, συμμετρικά. Στο λαγκρανζιανό φορμαλισμό εισέρχονται συμμετρικά. Επειδή η χαμιλτονιανή εξαρτάται από τα δυο είδη εξαρτημένων μεταβλητών θα έχομε την ανάλογη σχέση με αυτή για τη λαγκρανζιανή:
3δ δδ δ δ dδ δ
H x
.
Με τον τρόπο που ορίσαμε τη χαμιλτονιανή, δεν υπάρχει εξάρτηση από τα ,i
, όμως μπορούμε, κατά τα γνωστά, να προσθέσομε στη χαμιλτονιανή πυκνότητα μια απόκλιση και οι εξισώσεις κίνησης θα μείνουν ίδιες. Σε αυτή την περίπτωση η χαμιλτονιανή, γενικώς, θα εξαρτάται και από τα ,i
. Με αυτό το σκεπτικό γράφομε τη δυνατή μεταβολή για τη χαμιλτονιανή:
3, ,
, ,
δ δ δ δ δ di ii i
H x
.
441
Με τη γνωστή διαδικασία ο δεύτερος και τέταρτος όρος μπορεί να μετατραπούν με χρήση παραγοντικής ολοκλήρωσης, ώστε να είναι άθροισμα ολοκληρώματος στον τρισδιάστατο χώρο συν ολοκλήρωμα στο σύνορο του χώρου αυτού, δηλαδή στην περικλείουσα επιφάνεια του χώρου. Ο χώρος είναι ο απέραντος συνήθης τρισδιάστατος χώρος. Υποθέτομε ότι η χαμιλτονιανή πυκνότητα και οι παράγωγοί της μηδενίζονται στο άπειρο με τέτοιο τρόπο που το ανωτέρω επιφανειακό ολοκλήρωμα να μηδενίζεται. Αυτό οδηγεί στις σχέσεις:
3 3,
, ,
3 3,
, ,
δ d δ d
δ d δ d .
i ii i
i ii i
x xx
x xx
Οπότε καταλήγομε στη σχέση:
3
, ,
δ δ di ii i
H xx x
.
Έτσι τελικώς βρίσκομε,
,
,
δδ
δ .δ
ii
ii
x
x
Π7.2 Συμμετρίες Noether. Θεωρήματα Noether Τα θεωρήματα της Noether ασχολούνται με τις συνέπειες τις οποίες έχει η ύπαρξη ομάδας απειροστών μετασχηματισμών των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών, υπό τους οποίους το συναρτησοειδές παραμένει αναλλοίωτο (invariant) ή ημιαναλλοίωτο (quasi-invariant). Θα δούμε τη σημασία αυτών των όρων παρακάτω. Το ολοκλήρωμα λαμβάνεται πάνω σε αυθαίρετο χωρίο το οποίο μετασχηματίζεται επίσης. Δεν τίθενται συνοριακές συνθήκες κατά τους μετασχηματισμούς. Αυτό συνήθως λέγεται παραλλακτική συμμετρία ή συμμετρία θεωρίας παραλλαγών (variational symmetry). Οι συμμετρίες τις οποίες διαπραγματεύεται αυτό το θεώρημα περιγράφονται με συνεχείς απειροστούς μετασχηματισμούς που αποτελούν ομάδα και εξαρτώνται από κάποιες αυθαίρετες ανεξάρτητες, απειροστές (σταθερές) παραμέτρους ή από κάποιες αυθαίρετες ανεξάρτητες, απειροστές συναρτήσεις. Αυτές οι ομάδες είναι ομάδες του Lie. Τα θεωρήματα της Noether μπορεί να χρησιμοποιηθούν στη Φυσική όταν (όπως συμβαίνει στις πιο ενδιαφέρουσες περιπτώσεις) ορίζεται ένα συναρτησοειδές που είναι το ολοκλήρωμα δράσης και από αυτό το ολοκλήρωμα δράσης προκύπτουν οι εξισώσεις των Euler-Lagrange με χρήση της αρχής του Hamilton, στη μορφή θεωρίας μεταβολών. Υπάρχουν και τα αντίστροφα των θεωρημάτων αυτών που δεν θα μας απασχολήσουν. Υπάρχουν συμμετρίες που δεν περιγράφονται με συνεχείς μετασχηματισμούς, μια τέτοια σχετίζεται με την αλλαγή συντεταγμένων από σε , μάλιστα η ύπαρξη τέτοιας συμμετρίας οδηγεί στη διατήρηση της ομοτιμίας (parity). Αυτές οι περιπτώσεις δεν περιγράφονται από τα θεωρήματα της Noether. Υπάρχουν δυο θεωρήματα, το πρώτο και το δεύτερο θεώρημα της Noether. Στο πρώτο θεώρημα οι
Ω
r r
442
μετασχηματισμοί περιέχουν αυθαίρετες, ανεξάρτητες σταθερές και αποτελούν ομάδα τύπου πεπερασμένων συνεχών ομάδων (finite continuous group). Βρίσκει εφαρμογή στη Φυσική, όταν έχομε θεωρίες με καθολική (παγκόσμια) αναλλοιώτητα (global invariance) ή ημιαναλλοιώτητα (global semi-invariance). Στο δεύτερο θεώρημα οι μετασχηματισμοί περιέχουν αυθαίρετες, ανεξάρτητες παραγωγίσιμες συναρτήσεις των ανεξάρτητων μεταβλητών και αποτελούν ομάδα τύπου απείρων συνεχών ομάδων (infinite continuous group). Το δεύτερο θεώρημα της Noether βρίσκει εφαρμογή σε θεωρίες της Φυσικής που έχουν τοπικές συμμετρίες (local invariance ή gauge invariance, αναλλοίωτο βαθμίδας). Τέτοια θεωρία είναι η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας αλλά και η Κβαντική Χρωμοδυναμική και άλλες κβαντικές θεωρίες στοιχειωδών σωματιδίων. Η έννοια του αναλλοίωτου βαθμίδας έχει μεγάλη σημασία στη Φυσική των Στοιχειωδών Σωματιδίων όπου η απαίτηση αυτής της συμμετρίας οδηγεί στη μορφή των διαφόρων αλληλεπιδράσεων και στην ύπαρξη των σχετικών πεδίων και σωματιδίων φορέων των αλληλεπιδράσεων. Οι θεωρίες αυτές χαρακτηρίζονται με τον όρο θεωρίες βαθμίδας (gauge theories) . Αυτό δεν θα μας απασχολήσει σε αυτό το βιβλίο. Η ομάδα μετασχηματισμών του πρώτου τύπου είναι υποομάδα των μετασχηματισμών του δεύτερου τύπου, όπου οι αυθαίρετες συναρτήσεις γίνονται αυθαίρετες σταθερές. Αν οι γενικότεροι μετασχηματισμοί παραλλακτικής συμμετρίας που επιδέχεται ένα φυσικό σύστημα είναι τύπου ομάδας ολικού χαρακτήρα τότε μπορεί να προκύψουν σταθερές ποσότητες κίνησης που είναι αναλλοίωτες στη μορφή υπό τους εν λόγω μετασχηματισμούς. Αν όμως οι γενικότεροι μετασχηματισμοί είναι τοπικού τύπου, παρόλο που ως υποομάδα αυτών ισχύουν και ολικοί μετασχηματισμοί, δεν μπορούν να οριστούν σταθερές ποσότητες κίνησης που να είναι αναλλοίωτες στη μορφή υπό τους γενικότερους μετασχηματισμούς του συστήματος. Θα ασχοληθούμε με απειροστούς συνεχείς μετασχηματισμούς των ανεξάρτητων και των εξαρτημένων μεταβλητών από τις οποίες εξαρτάται η συνάρτηση του συναρτησιακού . Υποθέτομε ότι η συνάρτηση εξαρτάται από τις ανεξάρτητες μεταβλητές x , τις εξαρτημένες ( )y x και τις πρώτες παραγώγους xy , ( , , )xF F x y y . Όπως είπαμε με τους μετασχηματισμούς μεταβάλλεται και το χωρίο ολοκλήρωσης. Οι απειροστοί μετασχηματισμοί των ανεξάρτητων μεταβλητών είναι της μορφής . (18.29) Όπου οι μεταβολές είναι, γενικώς, αυθαίρετες συναρτήσεις των ανεξάρτητων μεταβλητών , των εξαρτημένων μεταβλητών y και των παραγώγων xy . Οι ανεξάρτητες μεταβλητές και οι παράγωγοί τους μετασχηματίζονται όπως φαίνεται
στις Εξ. (18.30) . Η μεταβολή και η ολική παραγώγιση ή η μερική παραγώγιση , γενικώς, δεν
μετατίθενται διότι κατά το μετασχηματισμό δεν αναφερόμαστε στο ίδιο σημείο αλλά πάμε από το σημείο στο σημείο όπου γενικώς x x ,
(18.30)
Σε αυτό το Εδάφιο, η μεταβολή οφείλεται σε δυο είδη μεταβολών, σε μεταβολή ένεκα μεταβολής
των ανεξάρτητων μεταβλητών (θέση), και σε μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής ενώ οι ανεξάρτητες μεταβλητές (θέση) μένουν σταθερές. Η μεταβολή του δευτέρου είδους, εδώ θα παριστάνεται με . Έχομε,
. Επομένως ισχύει ότι . Η μεταβολή και η
F Z
Ω
δ ( )i i ix x x x δ ( )ix x ix
δ dd ix ix
xx
, , ,
( ) ( ) δ( ) ( ) δ
d dδ δ,δ δ.d d
j j j
j i j i j i
i i i i
y x y x yy x y x y
x x x x
δ ( )j iy x 1, 2,...,i ix x i m
δ jy
δ δ ( ) ( ) ( )j j j jy y x y x y x 1
δ δ δm
jj j i
i i
yy y x
x
δ
443
παραγώγιση ή η μετατίθενται όπως ήδη ξέρομε, διότι δεν έχομε κατά τη μεταβολή αλλαγή στα
. Συνοψίζομε τα παραπάνω με τις παρακάτω σχέσεις
(18.31)
Πριν προχωρήσομε θα αναφερθούμε σε δυο είδη μετασχηματισμών, στους παθητικούς και στους ενεργητικούς. Ένα απλό παράδειγμα είναι το εξής: Έστω ότι έχομε ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται με καρτεσιανές συντεταγμένες. Ένας παθητικός μετασχηματισμός, μπορεί να είναι μια περιστροφή, κατά γωνία κατά τη φορά του ρολογιού, των καρτεσιανών αξόνων περί τον άξονα z . Ένας ενεργητικός μετασχηματισμός, ισοδύναμος του προηγούμενου, είναι περιστροφή του φυσικού συστήματος κατά γωνία (αντίθετα προς το ρολόι), ενώ οι άξονες μένουν σταθεροί. Σε περιπτώσεις όπως εδώ είναι καλύτερη η
θεώρηση ενεργητικών μετασχηματισμών. Θα εφαρμόσομε τον ανωτέρω απειροστό μετασχηματισμό και θα υπολογίσομε τη μεταβολή του συναρτησιακού ( , , )dxF x y y
. Υποθέτομε ότι με το μετασχηματισμό η μετασχηματισμένη F έχει ως
προς τις νέες συντεταγμένες την ίδια μορφή που έχει η συνάρτηση F ως προς τις παλιές. Συγκεκριμένα ισχύουν οι σχέσεις, ( , , ) ( , , ) ( , , )x x xF x y y F x y y F x y y . Μπορεί κάποιος να δει ότι ένα τέτοιο
(απλό) παράδειγμα ισχύει για τη συνάρτηση 2 212
F x y , όπου τα ,x y είναι οι καρτεσιανές
συντεταγμένες ενός σημείου στο επίπεδο. Ας εφαρμόσομε το μετασχηματισμό περιστροφής των αξόνων ως προς την αρχή των καρτεσιανών συντεταγμένων. Έχομε 1 1 1 1cos sin , sin cosx x y y x y ,
οπότε βρίσκομε εύκολα ότι 2 2 2 21 1 1 1 1 1
1 1( , ) ( , ) ( , )2 2
F x y x y F x y x y F x y . Δηλαδή,
πράγματι δεν αλλάζει η μορφή της συνάρτησης. Το συναρτησιακό πριν και μετά το μετασχηματισμό είναι αντιστοίχως:
( , , )d
( , , )d
x
x
F x y y
F x y y
(18.32)
Αυτό που εννοούμε με το μετασχηματισμό είναι ότι: Ξεκινούμε από κάποιες συναρτήσεις ( )i iy y x , και από τις παραγώγους τους οι οποίες υπολογίζονται από αυτές. Για κάθε x υπολογίζομε τη συνάρτηση ( , , )xF x y y και στη συνέχεια το ολοκλήρωμα (το συναρτησιακό) στο χώρο . Ουσιαστικά τα ( ), 1, 2,...,i iy y x i m καθορίζουν μια τροχιά στον πολυδιάστατο χώρο, που δεν είναι η πραγματική τροχιά. Κάνομε το μετασχηματισμό, που τον εννοούμε ως ενεργητικό, οι συναρτήσεις και οι παράγωγοί τους μετασχηματίζονται, το χωρίο ολοκλήρωσης μετασχηματίζεται, η «τροχιά» μετασχηματίζεται σε διαφορετική τροχιά και υπολογίζεται το νέο συναρτησιακό με τα νέα δεδομένα. Το νέο όπως και το παλιό συναρτησιακό με την αρχή Χάμιλτον πρέπει να οδηγούν στις εξισώσεις Euler-Lagrange. Πρόκειται για το ίδιο σύστημα που περιγράφεται
dd ix ix
δ
ix
1
, , ,
δ δ ( ) ( ) ( )
δ ( ) ( ) δ δ
δ ( ) ( ) ( )d dδ δ,δ δ.
d d
j j j j
mj
j j j j ii i
j i j i j i
i i i i
y y x y x y xy
y y x y x y xx
y x y x y x
x x x x
444
με διαφορετικές συντεταγμένες. Όπως είπαμε, θα δούμε παρακάτω τι πρέπει να ισχύει για να συμβαίνει αυτό. Αναφερόμαστε σε απειροστούς μετασχηματισμούς οπότε η μεταβολή του συναρτησιακού, δZ , είναι επίσης απειροστή. Έχομε, δ ( , , )d ( , , )dx xZ F x y y F x y y
(18.33)
Όπως σε παρόμοιες περιπτώσεις, υποθέτομε ότι οι διαφορές είναι απειροστά μέχρι πρώτης τάξης. Είναι κατανοητό ότι τα ,x x είναι «τρέχουσες» ή βωβές μεταβλητές (dummies), όπως είναι και τα d d ως συναρτήσεις των ,x x , στις οποίες ολοκληρώνομε, οπότε δε χρειάζεται να διαφοροποιούνται με τονούμενα. Τα δυο χωρία ολοκλήρωσης διαφέρουν «απειροστά» οπότε μπορούμε να αναγάγομε τα δυο ολοκληρώματα στο ίδιο χωρίο ολοκλήρωσης. Για αυτό το σκοπό θα ακολουθήσομε την παρακάτω διαδικασία. Ο τρόπος γίνεται κατανοητός με το Σχήμα Π7.2, που δείχνει μια αναπαράσταση των για χώρο ανεξάρτητων μεταβλητών δυο διαστάσεων. Η μεταβολή του χωρίου ολοκλήρωσης, που σχετίζεται με τις (απειροστές) μεταβολές είναι απειροστή. Γράφομε το πρώτο ολοκλήρωμα της Εξ. (18.33) ως άθροισμα δυο ολοκληρωμάτων, οπότε θα καταλήξομε στις ακόλουθες σχέσεις,
(18.34
Σχήμα Π7.2 Τα χωρία ολοκλήρωσης σε χώρο ανεξάρτητων μεταβλητών δυο διαστάσεων. Εφόσον το χωρίο μεταξύ των είναι απειροστό, η τιμή της συνάρτησης είναι περίπου η
ίδια κατά το μετασχηματισμό από το σημείο της επιφάνειας στο αντίστοιχο της επιφάνειας . Μπορούμε επομένως να φανταστούμε ένα στοιχειώδη «όγκο» σε κάθε σημείο της επιφάνειας που φτάνει μέχρι το αντίστοιχο μετασχηματισμένο σημείο της επιφάνειας . Αν είναι το στοιχείο της επιφάνειας, στο χώρο που αναφερόμαστε, ο παραπάνω στοιχειώδης όγκος θα είναι το «εσωτερικό» γινόμενο
, επομένως το τελευταίο ολοκλήρωμα της Εξ. (18.34), πάνω στο στοιχειώδη όγκο γίνεται
ολοκλήρωμα στην επιφάνεια , δηλαδή
. (18.35)
,Ω Ω Ω Ω δ ix
, , d , , d
, , d , , d , , d
, , , , d , , d .
x xΩ Ω
x x xΩ Ω Ω Ω
x x xΩ Ω Ω
F x y y Ω F x y y Ω
F x y y Ω F x y y Ω F x y y Ω
F x y y F x y y Ω F x y y Ω
,Ω Ω , , xF x y yx S x S
x Sx S d iS
=1δ d
m
i ii
x S Ω Ω
S
=1
, , δ dm
x k kkS
F x y y x S
445
Όμως αυτό το ολοκλήρωμα μετασχηματίζεται σε ολοκλήρωμα όγκου με χρήση του θεωρήματος της απόκλισης, Εξ. (18.12), οπότε έχομε .
1 1
d ( , , ) d ( , , ) δ dd
m m
x k x k kk kk S
F x y y x F x y y x Sx
. (18.36)
Από τις Εξ. (18.33), (18.34), (18.35) και (18.36) καταλήγομε στη σχέση .
1
dδ ( , , ) ( , , ) ( , , )δ dd
m
x x x kk k
Z F x y y F x y y F x y y xx
. (18.37)
Λαβαίνοντας υπόψη την (18.27) βρίσκομε για τη διαφορά που είναι μέσα στην αγκύλη στην Εξ. (18.37)
. (18.38)
Σύμφωνα με την (18.27) τα και οι παράγωγοι μετατίθενται άρα έχομε . Eδώ η μερική
παράγωγος και η ολική συμπίπτουν, διότι σύμφωνα με τους ορισμούς που έχομε δώσει στα προηγούμενα, τα εξαρτώνται μόνο από τα . Επομένως η Εξ. (18.38) γίνεται
(18.39)
Η υπό ολοκλήρωση ποσότητα, δηλαδή ο μύστακας της Εξ. (18.37) γίνεται
1
1 1 1 1,
dδ δd
dδ dδ δ .d d
m
kk k
n n m mr
r kr r l kr r l l k
F F xx
yF Fy F xy y x x
(18.40)
Όμως ισχύει
. (18.41)
Από τις Εξ. (18.37), (18.40) και (18.41) καταλήγομε στη σχέση,
1
1 1 1 1, ,
dδ δ δ dd
d dδ δ δ d .d d
m
kk k
n m m n
r r kr k k rr k r k k r k
Z F F xx
F F Fy y F xy x y x y
(18.42)
,1 1 1 ,
( , , ) ( , , )δ , , , , δ δn n m
x xx x r r l
r r lr r l
F x y y F x y yF F x y y F x y y y yy y
δ, ,dδδd
rr l
l
yyx
ry lx
1 1 1 ,
( , , ) ( , , ) dδδ , , , , δ .d
n n mx x r
x x rr r lr r l l
F x y y F x y y yF F x y y F x y y yy y x
1 1 1, , ,
( δ ) dδd dδd d d
m m mr r
rl l ll r l l r l r l l
F y yF Fyx y x y y x
446
Οι εκφράσεις μέσα στις πρώτες παρενθέσεις στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης, είναι οι εκφράσεις του Euler, λέγονται και λαγκρανζιανές εκφράσεις. Σε αυτό το σημείο αναφέρομε ότι αρχικά η Noether διατύπωσε τα θεωρήματα βασιζόμενη μόνο σε όσα είπαμε μέχρι τώρα. Είχε όμως καταλάβει και η ίδια ότι μπορούσε να γενικεύσει την ανάλυση, διότι έχομε δει ότι η προσθήκη ενός ολοκληρώματος απόκλισης στο συναρτησιακό οδηγεί στις ίδιες εξισώσεις Euler-Lagrange. Αυτή η ιδιότητα έπρεπε, όπως και έγινε, να ληφθεί υπόψη για μια γενικότερη διατύπωση. Αυτό είναι γνωστό ότι ισοδυναμεί με την προσθήκη στη συνάρτηση μιας απόκλισης. Αυτό που γίνεται είναι να
προστεθεί στο πρώτο ολοκλήρωμα της σχέσης (18.33) το ολοκλήρωμα 1
dδ ( , )dd
mk
k k
G x yx
. Σημειώνομε
ότι οι συναρτήσεις της απόκλισης, δ ( , )kG x y , είναι απειροστές ποσότητες διότι ο μετασχηματισμός είναι απειροστός. Αυτό το ολοκλήρωμα μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε ολοκλήρωμα πάνω στο χωρίο και με μεταβλητές τις αρχικές (όχι τις μετασχηματισμένες). Για το μετασχηματισμό χρησιμοποιούμε την ιακωβιανή ορίζουσα του μετασχηματισμού (18.30). Έχομε κρατώντας απειροστά μέχρι πρώτης τάξης,
1 1
(δ ) (δ )1 , d d 1 dm m
k i k i
i ii i i i
x x x xx x x x
.
Παραλείποντας διαφορικά ανώτερης (δεύτερης) τάξης, βρίσκομε d d . Τελικώς
1 1
dδ ( , ) dδ ( , )d dd d
m mk k
k kk k
G x y G x yx x
Είναι ευνόητο ότι θα προστεθεί αυτό το ολοκλήρωμα απόκλισης στην έκφραση (18.42). Τελικώς αυτό που ζητούμε είναι, η διαφορά των δυο συναρτησιακών συν το ολοκλήρωμα απόκλισης να είναι μηδέν. Αυτό εκφράζεται με την παρακάτω σχέση όπου για το δZ χρησιμοποιείται η Εξ.(18.42):
1
dδ ( , )δ d 0d
mk
k k
G x yZx
.
Η Noether αρχικά θεώρησε τη συμμετρία ως αυτήν που οδηγεί σε δ 0Z , εδώ η συμμετρία είναι στην πιο γενική της μορφή. Σύμφωνα με όσα είπαμε, όταν υπάρχει τέτοια συμμετρία τότε το μετασχηματισμένο συναρτησιακό οδηγεί στις ίδιες εξισώσεις Euler-Lagrange. Η τελευταία σχέση μπορεί να γραφτεί και ως εξής
1
dδ ( , )δ dd
mk
k k
G x yZx
. (18.43)
Τα θεωρήματα της Noether εφαρμόζονται στην περίπτωση που ισχύει αυτή η σχέση η οποία εκφράζει αυτό που λέμε νεδεριανή συμμετρία. Ουσιαστικά στη γενική της έκφραση, η νεδεριανή συμμετρία σημαίνει ότι, ο μετασχηματισμός αφήνει ημιαναλλοίωτη τη δράση (και τη συνάρτηση), αυτό λέγεται ημιαναλοιώτητα. Αν δεν υπάρχει ο όρος της απόκλισης, δ 0G , τότε έχομε αναλλοίωτη δράση, αναλλοιώτητα. Σύμφωνα με τη σχέση (18.43), μπορούμε να πούμε ότι, γενικώς, μια νεδεριανή συμμετρία οδηγεί στο ότι η μεταβολή του συναρτησιακού ισούται με το ολοκλήρωμα μιας απόκλισης. Θα εισαγάγουμε στη συνέχεια τις εκφράσεις του Euler, ,
τότε βρίσκομε
rE
1 ,
dd
m
rkr k r k
F FEy x y
447
1
1 1 1 ,
dδ δ δ dd
dδ δ δ δ d 0.d
m
k kk k
n m n
r r r k kr k rk r k
F F x Gx
Fy E y F x Gx y
(18.44)
Η ύπαρξη του όρου δG είναι χρήσιμη στη Φυσική, για παράδειγμα, όταν εξετάζομε μετασχηματισμούς από ένα αδρανειακό σύστημα σε άλλο που κινείται ως προς το πρώτο με σταθερή διανυσματική ταχύτητα (συστήματα του Γαλιλαίου ή συστήματα του Lorentz). Δυστυχώς ο συμβολισμός και εδώ δεν είναι ο καλύτερος, εδώ το δηλώνει απειροστό μέγεθος, όχι δυνατή μεταβολή. Επειδή το ολοκλήρωμα είναι μηδέν για κάθε χωρίο , εύκολα καταλήγομε στο ότι οι υπό ολοκλήρωση ποσότητες στην Εξ. (18.44) είναι μηδέν. Αν λάβομε υπόψη ότι ισχύουν και οι Εξ.(18.31) και (18.39) καταλήγομε στις δυο παρακάτω ισοδύναμες ομάδες σχέσεων
1
1 1 1 ,
1 1 1 1,
1 1 ,
dδ δ δd
dδ δ δ δd
ήdδ dδ δ δd d
dδ δ δ δd
m
k kk k
n m n
r r r k kr k rk r k
n n m mr
r k kr r l kr r l l k
n mr r
r r rr k r k
F F x Gx
Fy E y F x Gx y
yF Fy F x Gy y x x
y yFy x E y xx x y x
1 1 1
δ δm n m
k kk r
F x G
(18.45)
Το κριτήριο ημιαναλλοιώτητας ή αναλλοιώτητας εκφράζουν οι παραπάνω σχέσεις με λίγο διαφορετικές μορφές. Οι Εξ. (18.45) συνδέουν μια παράσταση στο πρώτο μέλος, που περιέχει τις κατάλληλες για κάθε περίπτωση εκφράσεις του Euler, με το δεύτερο μέλος που είναι απόκλιση (divergence). Αυτές αποτελούν το κριτήριο του αν ένας μετασχηματισμός αποτελεί νεδεριανή συμμετρία ή αλλιώς, αν το σύστημα είναι νεδεριανό υπό τον εν λόγω μετασχηματισμό. Η ομάδα μετασχηματισμών που είναι νεδεριανοί, λέγεται νεδεριανή ομάδα Σημειώστε ότι τα παραπάνω είναι ανεξάρτητα από το αν ισχύουν οι εξισώσεις των Euler-Lagrange, αφού πουθενά δεν υποθέσαμε κάτι τέτοιο. Π7.2.1 Πρώτο θεώρημα της Noether Διατυπώνομε το πρώτο θεώρημα της Noether. «Αν μια συνεχής ομάδα (του Lie) απειροστών μετασχηματισμών των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών, η οποία εξαρτάται από αυθαίρετες απειροστές σταθερές παραμέτρους , (πρόκειται για καθολικό, παγκόσμιο μετασχηματισμό,
global transformation) είναι νεδεριανή ομάδα ως προς τη συνάρτηση ( , , )xF x y y , τότε ικανοποιούνται οι ακόλουθες σχέσεις, μια για την κάθε παράμετρο »:
δ kG
Ω
R 1, 2,..., R
R
448
3
,1 0
,1 1 1 1, ,
δ
d δ 0d
1,2,..., .
n
m m n n
r k rk r rk r k r k
Y y x E
F Fy F X Y Zx y y
R
(18.46)
Με άλλα λόγια, έχομε ότι ανεξάρτητοι γραμμικοί συνδυασμοί των εκφράσεων του Euler είναι αποκλίσεις (divergences). Πρέπει να τονίσομε ότι η εξάρτηση των μεταβολών των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών είναι γραμμική ως προς τις απειροστές παραμέτρους . Η Εξ. (18.46) προκύπτει από την Εξ.(18.44) και την Εξ. (18.45), αφού ληφθούν υπόψη οι παρακάτω σχέσεις των απειροστών μετασχηματισμών. Οι μετασχηματισμοί για τις απειροστές μεταβολές , της Εξ. (18.29), περιέχουν τις συναρτήσεις
. Ισχύουν οι σχέσεις
1
δ ( , , )R
k k xx X x y y
. (18.47)
Για τις απειροστές μεταβολές , Εξ. (18.30) και (18.31), ισχύουν οι σχέσεις,
1
1
1 1
1
1
δ ( , , )
δ δ δ
δ δ
μπορούμε να γράψομε δ ( , , )
όπου δ .
R
x
m
R m
R
x
m
y Y x y y
yy y x
xy
y Y xx
y x y y
yY x
x
(18.48)
Υποθέτομε ότι και για τα ισχύουν ανάλογα, δηλαδή έχομε τις σχέσεις
1
δ δ ( , ) ( , )R
k k kG G x y Z x y
(18.49)
Θυμίζομε ότι τα δεν είναι μεταβολές, απλώς συμβολίζονται έτσι διότι είναι απειροστά. Προφανώς τα θα εξαρτώνται μόνο από τα όπως ισχύει κατά τα γνωστά και για τα . Τελικώς, από την Εξ. (18.45) με χρήση και των Εξ.(18.48), (18.49) βρίσκομε τις παρακάτω εξισώσεις
R
δ kx( , , )k xX x y y
δ ry
δ ( , )kG x y
δ ( , )kG x y
kZ ( , )x y δ kG
449
,1 1 1
,1 1 1 1 1, ,
δ
d δ 0.d
R n m
r r rr
R m m n n
r k rk r rk r k r k
Y y x E
F Fy F X Y Zx y y
(18.50)
Εφόσον τα είναι αυθαίρετα (είναι και μεταξύ τους ανεξάρτητα), προκύπτουν ανεξάρτητες σχέσεις μια για κάθε , δηλαδή οι Εξ. (18.46). Π7.2.2 Δεύτερο θεώρημα της Noether Το κύριο συμπέρασμα που συνδέεται με το δεύτερο θεώρημα της Noether έχει την παρακάτω διατύπωση. «Αν μια συνεχής ομάδα (του Lie) απειροστών μετασχηματισμών των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών, η οποία εξαρτάται από αυθαίρετες απειροστές συναρτήσεις και
παραγώγους τους , είναι νεδεριανή ομάδα ως προς τη συνάρτηση ,
τότε ικανοποιούνται οι ακόλουθες σχέσεις, μια για την κάθε αυθαίρετη συνάρτηση από τις οποίες εξαρτάται η ομάδα»:
(18.51)
Ανάλογα με τη σύμβαση που υιοθετεί κάποιος μπορεί αντί για να χρησιμοποιεί το συμβολισμό .
Ένας τέτοιος μετασχηματισμός είναι τοπικός μετασχηματισμός ή μετασχηματισμός βαθμίδας, local transformation ή gauge transformation. Αυτοί οι απειροστοί μετασχηματισμοί έχουν τη μορφή,
(18.52)
Γενικώς τα εξαρτώνται από τα , , xx y y . Με χρήση των δεύτερων από τις σχέσεις (18.52) βρίσκομε ότι
R
R ( ) 1, 2,...,p x R
d ( ), 1, 2,...,
d
l
l
p xl
x ,, ,i j j iF x y y
R
01 1 1
( )( 1) 0 1, 2,..., .
rn mj r jr
j j rj i r i
d b Eb E R
dx
dd
r
rx
r
rx
01 1 1
01 1 1
1
01 1 1
dδ
d
dδ
d
δ δ
dδ .
d
lR m
k k kl li l i
lR m
j j jl li l i
R
k k
lR m
k k kl li l i
px a p a
x
py b p b
x
G G
pG c p c
x
, ,a b c
450
. (18.53)
Ισχύει η γνωστή ταυτότητα
. (18.54)
Όπου υποτίθεται ότι όταν . Ο δεύτερος όρος του δεύτερου μέλους της Εξ. (18.54)
οδηγεί, όταν αθροίσομε στα , σε απόκλιση (divergence) των συναρτήσεων
. (18.55)
Έτσι έχομε αντί της (18.54) την εξίσωση
. (18.56)
Θέτομε όπου τα στην Εξ. (18.56) και αντικαθιστώντας στην Εξ. (18.53) βρίσκομε
(18.57)
Παρατηρούμε ότι ο τελευταίος όρος είναι απόκλιση. Συνδυάζοντας την Εξ. (18.57) με τη δεύτερη από τις σχέσεις στην Εξ. (18.44) καταλήγομε στην
(18.58)
Δηλαδή και το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι απόκλιση και για τα iB έχομε ,
1 ,
δ δ δn
i r i ir r i
FB y F x Gy
. Τα iB με χρήση των (18.52) φαίνεται ότι είναι
συναρτήσεις των , , ,xx y y p και παραγώγων των p . Παίρνομε το ολοκλήρωμα και των δυο μελών πάνω σε οποιοδήποτε χωρίο οπότε βρίσκομε
01 1 1 1 1
dδ .
d
ln n R m
j j j j jl lj j i l i
pE y E b p b
x
11
11
d dd d( 1) ( 1)
d d d d
r kr r krj jr k
j r r k r kki i i i i
p pp
x x x x x
0
0d d0 d d
r
ri i
rx x
1, 2,...,i m
11
11
d d( 1)
d d
k r krjk
ji k r kk i i
pC
x x
d dd( 1)
d d d
rrj jir
j r ri i i
Cpp
x x x
j j jlE b
1
01 1 1 1 1 1
d ( ) dδ .d d
n
i jij
ln R n m mjl j i
j j j j lj j i l ii i
C C
b E CE y p b Ex x
01 1 1 1 1
d ( ) d( ) .d d
lR n m mjl j i i
j j lj i l ii i
b E B Cp b Ex x
Ω
451
(18.59)
Το ολοκλήρωμα του δευτέρου μέλους που περιέχει την απόκλιση, σύμφωνα με το θεώρημα της απόκλισης, ισούται με το επιφανειακό ολοκλήρωμα στην κλειστή υπερεπιφάνεια που είναι το σύνορο του χωρίου . Έτσι έχομε
. (18.60)
Σύμφωνα με τα παραπάνω τα εξαρτώνται από τα , , xx y y , επίσης από τις αυθαίρετες συναρτήσεις
και τις παραγώγους τους, έτσι που αν στο σύνορο ληφθούν οι συναρτήσεις και οι υπάρχουσες
παράγωγοί τους μηδέν, τότε τα είναι μηδέν στο σύνορο. Αυτό μπορούμε να το κάνομε διότι οι συναρτήσεις είναι αυθαίρετες. Τελικώς καταλήγομε στο ότι το ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους της (18.59) είναι μηδέν άρα είναι μηδέν και το ολοκλήρωμα του πρώτου μέλους. Εφόσον το χωρίο είναι αυθαίρετο, η υπό ολοκλήρωση ποσότητα είναι επίσης μηδέν. Άρα
(18.61)
Εφόσον οι συναρτήσεις είναι αυθαίρετες (και ανεξάρτητες μεταξύ τους) ο κάθε όρος του αθροίσματος
πάνω στα , ο οποίος είναι μέσα στον μύστακα, θα είναι μηδέν άρα καταλήγομε στις παρακάτω σχέσεις (εξαρτήσεις) μεταξύ των λαγκρανζιανών εκφράσεων που ισχύουν ανεξάρτητα από το αν ισχύουν ή όχι οι εξισώσεις των Euler-Lagrange,
(18.62)
Αυτές οι εξαρτήσεις, ταυτότητες, είναι του τύπου των ταυτοτήτων του Bianchi, που απαντούν στη Γενική Σχετικότητα, και σημαίνουν ότι στην περίπτωση φυσικών συστημάτων που υπακούν σε τοπικές συμμετρίες, δηλαδή σε συμμετρίες βαθμίδας, οι εκφράσεις του Euler που υπολογίζονται από τη λαγκρανζιανή και οι παράγωγές τους συνδέονται με τις ανωτέρω εξισώσεις . Αυτό έχει συνέπειες στη λύση τέτοιων προβλημάτων και σημαίνει ότι όταν ισχύουν οι εξισώσεις των Euler-Lagrange δεν είναι όλες ανεξάρτητες μεταξύ τους.
01 1 1 1 1
d ( ) d( )d d .d d
lR n m mjl j i i
j j lj i l ii i
b E B Cp b Ex x
S Ω
1 1
d( )d d ( )d
m mi i
k k ki kiΩ S
B CΩ S B Cx
,k kB C( )p x S
,k kB C( )p x
Ω
01 1 1 1
d ( )0.
d
lR n mjl j
j j lj i l i
b Ep b E
x
( )p x
1, 2,..., R
01 1 1
d ( )0 1, 2,..., .
d
ln mjl j
j j lj i l i
b Eb E R
x
452
Βιβλιογραφία
1. Classical Mechanics, by Charles Poole- John Safko- Herbert Goldstein, Addison-Wesley, 2001 2. Στοιχεία Θεωρητικής Μηχανικής, συγγρ. Πέτρος Ιωάννου- Θεοχάρης Αποστολάτος, Leader
Books, 2004 3. Mechanics, by L. Landau- E. Lifshitz, Pergamon Press, 1976 4. Μαθήματα Αναλυτικής Μηχανικής, συγγρ. Γ. Κατσιάρης, Συμμετρία 5. Εισαγωγή στη Μηχανική Hamilton, Συγγρ. Σ. Ι. Ιχτιάρογλου, Αριστοτέλειο
Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 6. Classical Mechanics, Vol. 1, 2, by E. A. Desloge, John Wiley, 1982 7. Αναλυτική Μηχανική, συγγρ. Αναστ. Μαυραγάνης, ΕΜΠ, 1998 8. Methods of Classical Mechanics, by V. I. Arnold, Springer-Verlag, 1978 9. Classical Dynamics, by J. V. Jose- Eu. J. Saletan, Cambridge Univ. Press, 1998 10. A Treatise in the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, by E. Whittaker, Cambridge
Univ. Press, 1965 11. The Variational Principles of Mechanics, by C. Lanczos, Univ. of Toronto Press, 1970 12. Analytical Dynamics of Discrete Systems, by Reinhardt M. Rosenberg, Plenum Press, 1977 13. The Classical Theory of Fields, by L. Landau- E. Lifshitz, Addison-Wesley, 1987 14. Principles of Relativity Physics, by J. L. Anderson, Academic Press, 1967 15. Gravitation and Cosmology, by Steven Weinberg, John Wiley and Sons, 1972 16. The Enigma of Nonholonomic Constraints, M. R. Flannery, Am. J. Phys. 73, 265 (2005) 17. A Variational Principle for Nonholonomic Systems, E. J. Saletan and A. H. Cromer, Am. J. Phys.
38, 892 (1970) 18. Invariant Variation Problems, Emmy Noether, Transport Theory and Statistical
Physics 1, 183 (1971). Translated from the German by M. A. Tavel. The Original publication in German is, Invariante Variationsprobleme, Nachr. d. Koenig. Gesellsch. d. Wiss. zu Goettingen, Math-Phys. Klasse, 235 (1918)
19. Symmetries and Conservation Laws in Theories with Higher Derivatives, I. Damian, Int. J. Theor. Phys. 39, 2141 (2000)
20. Noether’s Theorem in Generalized Mechanics, Dan Anderson, J. Phys. A: Math., Nucl.Gen., 6, 299 (1973)
21. Noether’s Theorem in Classical Field Theories and Gravitation, H. Fleming, Revista Brasileira de Fisica, 17, 236 (1987)
22. Hamilton’s Principle and the Conservation Theorems of Mathematical Physics, E. L. Hill, Rev. Modern Phys., 23, 253 (1951)
23. Principle of Action with Higher Derivatives, M. Borneas, Phys. Rev., 186, 1299 (1969)
24. Noether’s Theorem in Discrete Classical Mechanics, Nilo Bobillo-Ares, Am. J. Phys. 56, 174 (1988)
25. Mathematical Methods for Physicists, by George Arfken, second edition, Academic Press, 1970 26. Methods of Mathematical Physics Vol. I, II, by Courant & Hilbert, John Wiley & Sons, 1989 27. Regular and Stochastic Motion, by A. J. Lichtenberg-M. A. Lieberman, Springer-Verlag, 1983 28. Chaotic Dynamics, by G. L. Baker-J. P. Gollub, Cambridge Univ. Press, 1990 29. Pars’s Acceleration Paradox, Y. H. Chen, J. Franklin Inst. Vol. 335B, No. 5., pp. 871- 875, 1998 30. A treatise on Analytical Dynamics, by Pars, L. A., Heinemann,1968. 31. Calculus of Variations and Partial Differential Equations of the First Order, Part I: Partial
Differential Equations of the First Order, by Caratheodory, C., English Translation by Robert B. Dean and Julius J. Brandstatter, Holden-Day, 1965
32. When action is not least, C. G. Gray, Edwin F. Taylor, Am. J. Phys. 75 (5), May 2007, p. 434 33. “Theorem of Caratheodory”, C. Caratheodory, Math. Annalen 67, 355 (1909) 34. On the Unrestricted Theorem of Caratheodory and its Application in the Treatment of the Second
Law of Thermodynamics, H. A. Buchdahl, American Journal of Physics,17 ,212 (1949)
453
35. The Mathematics of Physics and Chemistry, by Margenau, H. and Murphy G. M., D. Van Nostrand
Co. Inc., 1962 36. Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, by Flandres H.,
Dover Publications, N.Y., 1989 37. Differential Forms: A Complement to Vector Calculus, by Weitraub S.H., Academic Press,1996 38. Sulla integrazione di Hamilton-Jacobi per separazione di variabili, Levi-Civita, T., Math. Ann., 59,
(1904), 383-397 39. Alternative proof of Bertrand’s theorem using phase space approach,
Jose Luis Castro Quilantan, Jose Luis del Rio-Correa, Marcco Antonio Rosales Medina, Revista Mexicana de Fisica 42, 5 (1996) 867-877
40. Nonlinear Dynamics and Chaos, by Steven H. Strogatz, Persus Books, 1994. 41. ΤΑΞΗ ΚΑΙ ΧΑΟΣ σε Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Πρακτικά του 2ου Θερινού
Σχολείου μη γραμμικής Φυσικής και Μαθηματικών, Σάμος, 3-10 Ιουλίου 1988, Επιστημονικοί εκδότες Τάσος Μπουντής και Στέφανος Πνευματικός
42. A Third Integral of Integral of Motion in a Galaxy, G. Contopoulos, Z. Astrophys. 49 (1960) 273
43. On the Existence of the Third Integral of Motion, G.Contopoulos, Astron. J. 68 (1963) 1 44. Nonlinear Mechanics, A supplement to Theoretical Mechanics of Particles and Continua, by
Alexander L. Fetter and John Dirk Walecka, Dover Publications, Inc., 2006 45. Lectures on General Relativity, by A. Papapetrou, D. Reidel Publishing Company, 1974 46. Introduction to the Theory of Relativity, by Peter G. Bergmann, Dover Publications, Inc., 1976 47. General Relativity. A first course for physicists, by J. L. Martin, Pearson Education Limited, 1996 48. On the Relative Motion of Stars, Contopoulos, G., Stockholms Obs. Ann. 19, No. 10 (1957) 49. The Applicability of the Third Integral Of Motion: Some Numerical
Experiments, Michel Henon and Carl Heiles, The Astronomical Journal, Volume 69, Number 1, (1964) 73 50. Determining Lyapunov Exponents from a Time Series, Alan Wolf, Jack B. Swift, Harry L. Swinney and John A. Vastano, Physics 16D (1985) 285 51. Construction of Lagrangians and Hamiltonians from the equation of motion, C.C. Yan, Am. J. Phys. 46, 671 (1978) 52. Lagrangians for simple systems with variable mass, C. Leubnert and P. Krumm, Eur. J. Phys. 11,
31 (1990) 53. Nonuniqueness of the Lagrangian Funcion, Ari Mizel, report Univ. of Cal. Berkeley, May 20, 1995 54. Foundations of Theoretical Mechanics I: The Inverse Problem in Newtonian Mechanics, by R. G.
Santilli, Springer-Verlag, 1978 55. Particles of half-integral or integral helicity by quantization of a nonrelativistic free particle, and
relevant topics, by A. P. Balachandran, T. R. Govindarajan and B. Vijayalakshmi, Phys. Rev. D, 18(1978)1950
56. Equivalent Lagrangians: Multidimensional Case, S. Hojman and H. Harleston, J. Math. Phys. 22(1981)1414
57. A Note on Non-Noether Constants of Motion, M. Crampin, Phys. Lett. 95A(1983)209 58. Necessary and Sufficient Conditions for a Canonical Transformation, James Hurley, Am. J. Phys.
40(1972)533 59. Theoretical Mechanics, by Eugene J. Saletan, Alan H. Cromer, John Willey, 1971 60. The Theory of Relativity, by C. Moeller, Oxford Univ. Press, 1952 61. Ambiguities in the Lagrangian and Hamiltonian Formalism: Transformation Properties, G. Marmo,
E.J. Saletan, Nuovo Cimento, 40B(1977)67 62. Geometry from Dynamics, Classical and Quantum, by Jose F. Carinena, Alberto Ibort, Giuseppe
Marmo, Giuseppe Morandi, Springer, 1015 63. General Relativity and Cosmology (Notes), by Nick. E. Mavromatos, King’s College, Univ. of
London, May 2008 64. Uber die Physikalische Bedeutung des Princips der Kleinsten Wirkung, H. Helmholtz, Z. Reine
Angew. Math. 100 (1887) 137
454
65. Lecons sur la theorie generale des surfaces et des applications geometriques du calcul infinitesimal,
IIIeme partie, by G. Darboux, Paris : Gauthiers-Villars, 1894 66. Detection and Generation of Gravitational Waves, J. Weber, Phys. Rev. D, 117, 306-313 (1960) 67. On the Detection of Low-Frequency Gravitational Waves, M. E. Gerstsenshtein, V. I. Pustovoit, Soviet Physics-JETP, 16, 433-435 (1963) 68. On the Physical Significance of the Riemann Tensor, Felix A. E. Pirani, Republication, Gen. Relativ. 41, 1215-1232 (2009) 69. If light waves are stretchet by gravitational waves, how can we use light as a ruler to detect gravitational wavew? P. R. Saulson, Am. J. Phys. 65(6) (1997) 70. Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger, B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo collaboration), Phys. Rev. Lett. 116(6) (2016) 71. An Introduction to General Relativity, Gravitational Waves and Detection Principles, Notes by Prof. Martin Hendry, Univ. of Glasgow, Dept of Phys. and Astronomy October 2012 72. General Relativity. An Introduction for Physicists, M. P. Hobson, G. Efstathiou and A. N. Lasenby, Cambridge Univ. Press (2006) 73. THE CONSTRUCTION, OPERATION, AND SUPPORTING RESEARCH AND DEVELOPMENT OF A LASER INTERFEROMETER GRAVITATIONAL – WAVE OBSERVATION (LIGO) Submitted by the CALIFORNIA INSTITUTE OF TECHNOLOGY, Copyright 1979, by Rochus E. Vogt et al. 74. GENERALIZED HAMILTONIAN DYNAMICS, Notes by P. A. M. Dirac 75. Lectures on Quantum Mechanics, P. A. M. Dirac, Belfer Graduate School of Science, Yeshiva University, New York, 1964 76. Dirac Bracket for Pedestrians, Notes, M. K. Fung, Chinese Journal of Physics, Vol. 52, No 6, Dec. 2014 77. Dirac Brackets, Notes by Steven Avery, based on Dirac’s Lectures on Quantum Mechanics, Published by Belfer Graduate School of Science, Yeshiva University, New York, 1964 78. Esoteric Elementary Particle Phenomena in undergraduate Physics- Spontaneous Symmetry breaking and Scale invariance, Daniel M. Greenberger, American Journal of Physics 46, 394 (1978) 79. Introduction to the STANDARD MODEL of Electro-Weak Interactions, by Jean Iliopoulos, Lectures given at the 2012 CERN Summer School, June 2012Angers, france, Hal Id: hal-00827554 80. The Standard Model Higgs Boson, Part of Lecture Particle Physics II, UvA Particle Physics Master, 2013-2014, Lecturer: Ivo van Vulpen, Assistant: Ivan Angelozzi 81. ΣΩΜΑΤΙΔΙΑΚΗ ΦΥΣΙΚΗ, Σημειώσεις, Κωνσταντίνος Ε. Βαγιωνάκης, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, 2008 82. QUARKS AND LEPTONS, Francis Halzen, Alan D. Martin, JOHN WILEY and SONS, New York, 1984 83. A Treatise On Differential Equations, by A. R. Forsyth, sixth Ed., 1948 84. Ordinary Differential Equations , by E. L. Ince, Dover , 1953 85. COSMOLOGY WITH MATALAB, by DanGreen, World Scientific, 1916 86. One Hundred Physics Visualizations Using MATLAB, by Dan Green, 2013 87. More Physics with MATLAB, by Dan Green, 2015 88. Stars and Space with Matlab Apps, by Dan Green, to be published 89. Quantum Mechanics and Path Integrals, By R.P. Feynman and A.R. Hibbs, McGraw-Hill Book Company, 1965 90. Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική, Συγγρ. Κυριάκος Ταμβάκης, Leader Books, 2003
455
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ
Α
Αγκύλη Dirac
Αγκύλη Lagrange
Αγκύλη Poisson
Αγνοήσιμη συντεταγμένη
Αδιαβατικά αναλλοίωτα
Αδρανιακή δύναμη
Αδρανιακό σύστημα, ορισμός
Αερίου, καταστατική εξίσωση
Αζιμούθιο
Αναλυτική μηχανική
Αδιαβατική μεταβλητή
Αιτιότητα
Αλυσοειδής
Αναλλοίωτο
αδιαβατικό
Αναλλοιώτητα
Lorentz
αγκύλη Poisson
βαθμίδας
σε περιστροφή
σε μεταφορά
Ανταλλοίωτο
Αντίστροφη ενεργός δύναμη
Αντίστροφο πρόβλημα της μηχανικής
Άξονας
στερεό σώμα
ημιμέγιστος
456
ημιελάχιστος
συμμετρία
Απεικόνιση
Απεικόνιση Poincare
Απειροστός κανονικός μετασχηματισμός
Απειροστή περιστροφή
Απόκλιση
τετραπόκλιση
σχετικιστική
θεώρημα σε τέσσερις διαστάσεις
Απόσβεση
εκθετική
εξίσωση van der Pol
Απροσδιόριστοι συντελεστές του Λαγκράνζ
Απώλειες
εκθετική μείωση
δυνάμεις
συνάρτηση
Rayleigh
Απωστικός φυγοκεντρικός φραγμός
Αρμονικός ταλαντωτής
μεταβλητές δράσης-γωνίας
αδιαβατικά αναλλοίωτα
κανονικός μετασχηματισμός
σταθερές της κίνησης
διάγραμμα συντεταγμένης θέσης
με απόσβεση
με διέγερση
έλλειψη
Hamilton-Jacobi
457
ισοτροπικός
τρισδιάστατος
διαταραχή
διάγραμμα φάσης
αγκύλες του Poisson
σχετικιστικός
δισδιάστατος
ανισοτροπικός
Αρχή της αντιστοιχίας
αγκύλη Poisson
Αρχή των δυνατών έργων
Αρχή ισοδυναμίας
Αρχή d’ Alembert
Αρχή Hamilton (Χάμιλτον)
Αρχή της ελάχιστης δράσης
Αστάθεια
Αυθόρμητο σπάσιμο συμμετρίας
Αυτόνομο σύστημα
Αυτό-ομοιότητα
φράκταλ
λογιστική εξίσωση
Atwood, μηχανή
Β
Βαθμίδας μετασχηματισμος
Βαθμοί ελευθερίας
χαμιλτονιανή
πολλοί
μοριακές ταλαντώσεις
ταλαντωτής
στερεό σώμα
458
ταλάντωση
θεσικοί
κινητικοί
Βαθμωτή
καμπυλότητα
Βαθμωτό
γινόμενο, χώρος Minkowski
πεδίο
δυναμικό
Βαρυτικό
φορτίο
πεδίο
τετραπολική ροπή
Βραχυστόχρονο
Βρόχος
Bertrand, θεώρημα
Boost
βλέπε και κύριος μετασχηματισμός Lorentz
Γ
Γαλιλαίου
σύστημα
μετασχηματισμός
Γεγονός
Γενική Σχετικότητα
Γεννήτρια συνάρτηση
κανονικός μετασχηματισμός
χάος
απειροστός
κανονικός μετασχηματισμός
περιστροφή
459
αγκύλη Poisson
συμπλεκτικός
Γενικευμένη δύναμη
Γενικευμένη ορμή
Γενικευμένες συντεταγμένες
Γενικευμένη ταχύτητα
Γενικευμένη δυναμική συνάρτηση
Γεωδαισιακή
απόκλιση
Γενικευμένο δυναμικό
Γραμμική ορμή
σωμάτιο
σύστημα σωματίων
ολική
Γυρομαγνητικό πηλίκο
Γωνία ως μεταβλητή
ανάπτυγμα Fourier
λίκνιση
πολλαπλά περιοδική
ημι-περιοδική
περιστροφή
χρονοεξάρτηση
Γωνιακή (κυκλική) συχνότητα
Γωνίες και δράσεις ως κανονικές μεταβλητές
Δ
Δέλτα
συνάρτηση - δ
δ - μεταβλητή
Kronecker (δij)
δ -συνάρτηση
460
δ- μεταβλητή
δij δέλτα του kronecher
Δ- μεταβλητή
Δεσμός
διαφορικός
εξίσωση
ολόνομος
μη ολόνομος
μη ολοκληρώσιμος
ρεόνομος
στερεό σώμα
κύλιση
σκληρόνομος
ημιολόνομος
δυνατό έργο
ασθενικός
Διαφορική μορφή
Δύναμη
γενικευμένη συνιστώσα δύναμης
κεντρική
φυγόκεντρος
διεγείρουσα
ενεργός
ηλεκτρομαγνητική
εξωτερική
γενικευμένη
κλίση του δυναμικού
βαρυτική
αδρανειακή
εσωτερική
461
αντιστρόφου τετραγώνου
επαναφοράς, γραμμική
μεγάλης ακτίνας δράσης, βεληνεκούς
σχετικιστική
ενεργός αντίστροφη
ισχυρή
ασθενής
Lorentz
Minkowski
Δύναμη δεσμού
Δυναμική ενέργεια
ισορροπία
ολική
Δυναμικό
ισοδύναμο μιας διάστασης
κεντρικής δύναμης
γενικευμένο
κλίση του
Henon-Heiles
οπή
ολοκληρώσιμο
γραμμική δύναμη επαναφοράς
εκθετικός νόμος
βαθμωτό
με εξάρτηση από την ταχύτητα
Διακλάδωση
διάγραμμα
Διαδρομή
Διάνυσμα Laplace-Runge-Lenz
Διάσταση
462
σύνολο Cantor
φράκταλ
Διπολική ροπή
βαρυτική
μαγνητική
Διαστολή του χρόνου
Διαταραχή
μεταβλητές δράσης-γωνίας
αδιαβατικά αναλλοίωτα
εκφυλισμός
εξίσωση Hamilton-Jacobi
χαμιλτονιανή
αρμονικός ταλαντωτής
πρόβλημα Kepler
εκκρεμές
μετάπτωση
Ερμής
αργά μεταβαλλόμενη μεταβλητή
ηλιακό σύστημα
θεωρία
κβαντική
χρονοεξαρτώμενη
ανεξάρτητη του χρόνου
Διατήρηση
διαφορικό θεώρημα
ενεργειακή συνάρτηση
ορμή
Διατήρησης θεωρήματα
στροφορμή
ολική
463
κανονική ορμή\
ενέργεια
γραμμική ορμή
σύστημα σωματίων
θεώρημα της Noether
αγκύλη Poisson
σχέση με ιδιότητες συμμετρίας
Διατήρηση της ενέργειας
Διαφορική εξίσωση
μη ομογενής
Διάχυση
Διαχωρίσιμο σύστημα
Δράση
συνοπτική
αντίδραση
ισχυρή διατύπωση
ασθενής διατύπωση
ολοκλήρωμα
μεταβλητή
ολοκλήρωμα κατά μήκος τροχιάς
Δράση-γωνία μεταβλητές
χάος
τελείως διαχωρίσιμες
εκφυλισμός
αρμονικός ταλαντωτής
ένας βαθμός ελευθερίας
περιοδική κίνηση
διαταραχή
Δυϊκός χώροςε
Δύναμη τριβής
464
Δυναμική μόνιμη κατάσταση
Δυναμική ενέργεια
Δυναμική συνάρτηση
Δυναμοσειρά
Δυνατή μετατόπιση
Δυνατό έργο
Διατηρούμενο ρεύμα
D’ Alembert
χαρακτηριστική
αρχή
Dirac συνάρτηση - δ
Doppler φαινόμενο
Ε
Ειδική Σχετικότητα
Εκθέτες Liapunov
Εκκρεμές
με απόσβεση και διέγερση
διπλό
διαταραγμένο
γωνία φάσης
επίπεδο
σφαιρικό
Εκκρεμούς, εξίσωση
Εκφυλισμός
συνθήκες
ακριβής
πρόβλημα του Kepler
κύριος
τρόποι ταλάντωσης και συχνότητες
465
Ελάχιστης δράσης, αρχή
Δ- μεταβολή
περιορισμοί
Ελκυστής
κανονικός
παράξενος
παράξενος, Henon-Heiles
Έλλειψη
αρμονικός ταλαντωτής
εξίσωση τροχιάς
διάγραμμα χώρου των φάσεων
μεγάλος ημιάξονας
Ελληνικών κάτω δεικτών, σύμβαση
Ενέργεια
κέντρο
διατήρηση
κεντρική δύναμη
συνάρτηση
διατηρούμενη
δυναμική
Ενεργειακή συνάρτηση
Εξίσωση
κίνησης
καταστατική, αέριο
Εξισώσεις Euler-Lagrange
Εξισώσεις Lagrange
Εξίσωση (μέθοδος, θεωρία) Hamilton-Jacobi
Εργαστηρίου
σύστημα αναφοράς
μετασχηματισμός συστήματος
466
χρόνος
Ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες
Ευκλείδειος
διάσταση
χώρος
Einstein Αϊνστάιν
εξισώσεις πεδίου
σύμβαση αθροίσματος
τανυστής
Euler
εξισώσεις
παραγωγή από τις
εξισώσεις Λαγκρανζ
μη ομογενής συνάρτηση
παράμετροι
θεώρημα
ομογενείς συναρτήσεις
Euler-Lagrange
μιγαδικό βαθμωτό πεδίο
ηλεκτρομαγνητικό πεδίο
εξίσωση
σχετικιστική εξίσωση
Ζ
Jacobi
Ορίζουσα του
Ταυτότητα
Ολοκλήρωμα
Αγκύλες Lagrange
Αγκύλη Poisson
Μήτρα κανονικού μετασχηματισμού
467
Josephson, διεπαφή
J , μήτρα
αγκύλη του Poisson
Η
Ηλεκτρικό κύκλωμα
εξίσωση
λαγκρανζιανή
Ηλεκτρικό δικτύωμα
Ηλεκτρομαγνητικό
πεδίο
λαγκρανζιανή
λαγκρανζιανή, συναλλοίωτος
δυναμικό
θεωρία
Θ
Θεσικός χώρος
μετασχηματισμός σημείου
σημειακός μετασχηματισμός
μεταβολή παραλλαγή
Θεώρημα Bertrand
Θεώρημα του Euler
Θεώρημα Kolmogorov-Arnold-Moser (ΚΑΜ)
Θεώρημα Καραθεοδωρή
Θεώρημα Liouville
Θεωρήματα Noether
Θεωρήμα Noether πρώτο
Θεωρήμα Noether δεύτερο
Θεώρημα Liouville-Poincare
Θεώρημα Poisson
468
Θεώρημα virial
Θεωρία μεταβολών (παραλλαγών)
Θεωρία διαταραχών
Θεώρημα Ostrogradsky
Ι
Ιακωβιανή
ορίζουσα
Ιδιόχρονος
Ισοδυναμική καπύλη
βαρύτητα
Henon-Heiles
Ισοπεριμετρικό πρόβλημα
Ισορροπία
γενικευμένες δυνάμεις
ουδέτερη
αδιάφορη
ευσταθής
ασταθής
Ισχυρή διατύπωση του νόμου ράσης-αντίδρασης
Κ
Καμιλτονιανή
Καμπυλότητα βαθμωτή
Κανονικός
εξισώσεις του Χάμιλτον (Hamilton)
εκτεταμένος μετασχηματισμός
αναλλοίωτο
ορμή
σχετικιστική
θεωρία διαταραχών
βλέπε Θεωρία διαταραχών
469
περιορισμένος μετασχηματισμός
μεταβλητές
Κανονικός μετασχηματισμός
ενεργητικός παθητικός
Κανονικές συντεταγμένες
Κανονικοί τρόποι ταλάντωσης
Κατάστασης, εξίσωση
Καταστατική εξίσωση
Κβάντωση
Κλίση
Κυκλική
συντεταγμένη
πρόβλημα του Kepler
κυκλική χαμιλτονιανή
εκφυλισμός
εξισώσεις
με άμεση εξάρτηση από το χρόνο
γεννήτρια συνάρτηση Χάμιλτον
γεννήτρια συνάρτηση
ομάδα
αρμονικός ταλαντωτής
απειροστός
αναλλοίωτος
όγκος στο φασικό χώρο
αγκύλη Poisson
μήτρα Jacobi
παραμετρικός
περιορισμένος
συμπλεκτικός
Κύκλοτρον
470
συχνότητα
συντονισμός
Κανονικές συντεταγμένες (μεταβλητές)
Κανόνας αλυσίδας
Κανονικοί τρόποι ταλάντωσης
Καραθεοδωρή (Caratheodory) θεωρία
Καρτεσιανές συντεταγμένες
Κεντρική δύναμη
βλέπε επίσης πρόβλημα Kepler
Κέντρο
ενέργειας
δύναμης
βαρύτητας
μάζας
ορμής
συστήματος
Κέντρο ορμών
Κεντρομόλος επιτάχυνση
Κινηματική
Κίνηση
περιορισμένη
εντοπισμένη
χαοτική
περιοδική
πολλαπλή περιοδική
Κίνησης, εξίσωση
Κινητική ενέργεια
Κινητική θεωρία
Κλασική μηχανική
Κλειστή τροχιά
471
Κοριόλις Coriolis
επιτάχυνση
απόκλιση
φαινόμενο
μετεωρολογικό φαινόμενο
δύναμη
εκκρεμές του Foucault
ημισφαίριο
βαθμίδα πίεσης
Κοσμολογία
Κοσμολογική σταθερά
Κουλόμπ Coulomb
πεδίο
νόμος
Κύρια συνάρτηση Hamilton (Χάμιλτον)
Κύριος μετασχηματισμός Lorentz
Κύριος χρόνος
ΚΑΜ (Kolmorogov-Arnold-Moser), θεώρημα
Cantor σύνολο
Cartan
Kepler
εξίσωση του
δεύτερος νόμος
τρίτος νόμος
Kepler, πρόβλημα του, δυναμικό του νόμου του αντιστρόφου τετραγώνου
μεταβλητές δράσης
μεταβλητές δράσης-γωνίας
κλειστές τροχιές, συνθήκες για
κυκλικές συντεταγμένες
εξισώσεις κίνησης
472
ισοδύναμο πρόβλημα ενός σώματος
ισοδύναμο μονοδιάστατο πρόβλημα
νόμος αντιστρόφου τετραγώνου
εξέλιξη (κίνηση) στο χρόνο
εξίσωση τροχιάς
διαταραχή
απεικόνιση Poincare\
σφαιρικές πολικές συντεταγμένες
ομάδα συμμετρίας
θεώρημα virial
Klein-Gordon
εξίσωση
πεδίο
σωματίδιο
Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM), θεώρημα
Korteweg-de-Vries, εξίσωση
Kronecker δέλτα (δij)
Κώνος φωτός
Λ
Λ
γινόμενο
Λαγκρανζιανή
εφαρμογές
κεντρική δύναμη
συντηρητικές ποσότητες
συναλλοίωτος
ορισμός
πυκνότητα
συνεχή συστήματα
διακριτά συστήματα
473
ηλεκτρομαγνητικό πεδίο
από την αρχή του Χάμιλτον
σχετικιστική
Λαγκρανζιανή στην ηλεκτροτεχνία
Λαγκρανζιανός φορμαλισμός
Λαγκρανζιανός φορμαλισμός με δεσμούς
Λάμδα
γινόμενο
Λίκνιση
Λογιστική απεικόνιση
Λογιστική εξίσωση
παράμετρος ελέγχου
διαδοχές
εκθέτης Liapunov
αυτό-ομοιότητα
Λούνα-παρκ, τροχός του
LC , κύκλωμα
Lagrange
αγκύλη του
θεμελιώδης
θεωρία μεταβολών
εξισώσεις
παραγωγή από την αρχή του Χάμιλτον
παραγωγή της εξίσωσης του Euler
μορφή Nielsen
διαταραχή
πολλαπλασιαστές
σημείο (του)
απροσδιόριστος πολλαπλασιαστής
Laplace, μετασχηματισμός
474
Laplace-Runge-Lenz, διάνυσμα
Larmor
συχνότητα
μετάπτωση
θεώρημα
Legendre, μετασχηματισμός
Leibniz
Liapunov, εκθέτης
εκκρεμές με απόσβεση
διάγραμμα
διάσταση
λογιστική εξίσωση
αρνητικός
τάπητας Σιερπίνσκι
ηλιακό σύστημα
Lie
ορισμός
ομάδα
Liouville, θεώρημα
Lissajous, καμπύλες
Lorentz
κύριος μετασχηματισμός του
boost βλέπε κύριος μετασχηματισμός Lorentz
συνθήκη
δύναμη
σύστημα αναφοράς του
ομάδα
αναλλοίωτο κατά
μετασχηματισμός
τύπου boost βλέπε κύριος μετασχηματισμός Lorentz
475
ομογενής
μη ομογενής
αναλλοιώτητα σε
εξίσωση του
Μ
Μαγνητική ροπή
Μαγνητικό
πεδίο
κίνηση φορτισμένου σωματιδίου μέσα σε
ομογενές
Μάζα
ανηγμένη
Μάζας
κέντρο
Μέγιστο
διαδρομή
πρόβλημα
εμβαδόν επιφάνειας
Μέλλον
Μεσόνιο
βαθμωτό
Μεταβολών
θεωρία
θεμελιώδες λήμμα
Μεταθέτης
κβαντική μηχανική
σχέσεις
Μετάπτωση
μαγνητικό πεδίο
Larmor
476
Μετασχηματισμός σημείου (σημειακός)
Μετασχηματισμός Legendre
Μετατόπιση δυνατή
Μετατόπιση πραγματική
Μη γραμμική Δυναμική ( σύστημα)
Μη ευκλείδειος χώρος
Μη ολόνομο σύστημα
Μη αδρανειακό σύστημα
Μήτρα
ανάστροφη
αντίστοφη
αντισυμμετρική
ερμιτιανή
μοναδιαία
ορθογώνια
συμπλεκτικής δομής
-J
-Μ
Μήτρες του Pauli
Μετρική
του χώρου του Minkowski
μήτρα
Μετρικός τανυστής
Μήτρας
απειροστό στοιχείο
ορίζουσα
Μηχανική βλέπε Κλασική Μηχανική
Μηχανική ομοιότητα
Μονογενής
Μονόπολο, μαγνητικό
477
Μόριο, ταλαντούμενο
Μορφής-1
Maxwell
εξισώσεις του
Minkowski
δύναμη
χώρος
Ν
Νεύτωνα
δεύτερος νόμος του
τρίτος νόμος του
Νευτώνειο
Νησίδες
στο χάος
Noether
θεώρημα της
θεωρήματα της
συνθήκες
διατηρούμενο ρεύμα
θεώρημα της, για διακριτά συστήματα
διατύπωση
ιδιότητες συμμετρίας
Ο
Ολοκλήρωμα Jacobi
Ολοκλήρωμα κίνησης
Ολοκλήρωμα τροχιάς
Ολοκληρώματα, αναλλοίωτα του Poincare
Ολοκληρώσιμο σύστημα
Ολοκληρωσιμότητα κατά Liouville
Ολοκληρωτικός παράγοντας
478
Ολόνομο σύστημα
Ολόνομος
δεσμός
Ομάδα
κανονικός μετασχηματισμός
κυκλικός
ορισμός
γεννήτρια
ιδιότητες
περιστροφή
συμμετρία
για σύστημα
συμπλεκτική
θεωρία
Ομογενής
συνάρτηση
Ομοτιμία
Οριακός κύκλος
εξίσωση van der Pol
Ορμή
κανονική
συζυγής
ηλεκτρομαγνητική
γενικευμένη
γραμμική
Ορμής
κέντρο
διατήρηση της
Ουράνια μηχανική
Π
479
Παραβολή
Παράγωγος συναρτησιακή
Παραλλαγή
Παραμετρικός συντονισμός
Παράμετρος ελέγχου
λογιστική εξίσωση
Παράξενος ελκυστής
διάσταση
διάσταση φράκταλ
Henon-Heiles
Παρελθόν
Πάριτυ
Πεδίο
κανονικές εξισώσεις
κλασική θεωρία
μιγαδικό
βαθμωτό
ορισμός
ελαστικό
ηλεκτρομαγνητικό
στοιχειώδη σωματίδια
εξίσωση, Euler-Lagrange
εξίσωση, Lagrange-Euler
βαρυτικό
σχετικιστικό
μεσόνιο
θεωρία
χαμιλτονιανός φορμαλισμός
θεώρημα της Noether
Περίαψη
480
Περίαστρο
Περικύνθιο
Περίγειο
Περιήλιο
Ερμής
Περιοδική κίνηση
Περιστροφή
με την ενεργητική έννοια
κατά την κίνηση του ρολογιού
αντίθετα από το ρολόι
πεπερασμένη
γεννήτρια
ομάδα
απειροστή
στιγμιαίος άξονας
κινητική ενέργεια
μήτρα
παθητική
φορά
διάνυσμα
Πολυατομικά μόρια
γραμμικά
Περιστροφή και ταλάντωση
Πολική συντεταγμένη
λαγκρανζιανή κεντρικής δύναμης
επίπεδες
σφαιρικές
Πολλαπλότητα
Πυκνότητα ροής
Pauli
481
μήτρες του
Planck, σταθερά του
Poincare
αναλλοίωτο ολοκλήρωμα
απεικόνιση
τμήμα
Henon-Heiles
πρόβλημα Kepler
μετασχηματισμός
Poisson
εξίσωση
θεώρημα
Poisson, αγκύλη
στροφορμή
θεώρημα διατήρησης
αρχή της αντιστοιχίας
εξίσωση κίνησης
θεμελιώδης
γεννήτρια συνάρτηση
απειροστός κανονικός μετασχηματισμός
αναλλοίωτα ολοκληρώματα του Poincare
αναλλοίωτο
ταυτότητα του Jacobi
ιακωβιανή ορίζουσα
αγκύλη του Lagrange
θεωρία διαταραχών
ομάδες συμμετρίας
συμπλεκτική
θεώρημα
Ρ
482
Ρεόνομος
Ρεύμα
διατηρούμενο
πυκνότητα
ελαστική ράβδος
Ροπή
δύναμης, ορισμός
αδράνειας
Rayleigh, συνάρτηση του
συνάρτηση
Ricci, τανυστής του
Riemann, τανυστής του
Routh
πρόβλημα του Kepler
διαδικασία του
ρουθιανή
Rutherford
Σ
Σημείο
χώρος των θέσεων
χώρος των φάσεων
θεσικός χώρος
Lagrange
καμπής
Σημείου
μετασχηματισμός
Σημείο ισορροπίας
Σκληρόνομος
Σταθερό σημείο
Στερεό σώμα
483
στροφορμή
ορισμός
βαθμοί ελευθερίας
Στροφορμή
τετραδιάνυσμα
κανονική
πρόβλημα κεντρικής δύναμης
διατήρηση
ολική
ορισμός
πυκνότητα, ολική
ιδιοτιμή
ηλεκτρομαγνητική
μηχανική
αγκύλη Poisson
σχετικιστική
σφαιρική συμμετρία
σπιν
ολική
Συζυγής ορμή
Σύμβαση δεικτών άθροισης
Συμμετρία
ομάδες
μηχανικά συστήματα
ιδιότητες
σφαιρική
Συμπλεκτική
διαδικασία
κανονικός μετασχηματισμός
γεννήτρια συνάρτηση
484
ομάδα
εξισώσεις του Χάμιλτον
μήτρα
αγκύλη του Poisson
Συμπλεκτική συνθήκη
Συμπλεκτικές μήτρες
Συμπλεκτικός
Συναλλοίωτο
ορισμός
εξίσωση
χαμιλτονιανή
λαγκρανζιανή
αρχή
σχετικιστική
διάνυσμα
Συνημίτονα κατεύθυνσης
ορθογωνιότητα
μετασχηματισμός
Συνοριακές συνθήκες (σχέσεις)
Συντηρητικό (διατηρητικό) σύστημα
Συντονισμός
παραμετρικός
ταλαντευόμενο σύστημα
Σύστημα
συνεχές
διακριτό
Σύστημα Henon-Heiles
Σταθερά της κίνησης
αλγεβρική
κεντρική δύναμη
485
ταυτότητα του Jacobi
αγκύλη του Poisson
Στάσιμη
τιμή
τροχιά
δυναμική κατάσταση
Στοιχειώδες σωματίδιο
Συλλογή
Συναρτησιακή
παράγωγος
Συνέχεια
συνθήκες
εξίσωση
Συνεχή συστήματα
χαμιλτονιανός φορμαλισμός
λαγκρανζιανή πυκνότητα
τανυστής τάσης ενέργειας
μετάβαση από διακριτό σε συνεχές
Συντεταγμένη
βάση
καρτεσιανή
συστολή συναλοιφή
κυκλική
γενικευμένη
εσωτερική
κανονική
πολική
περιστρεφόμενη
ψευδοκαρτεσιανή
Συστολή συναλοιφή
486
τανυστή
Συχνότητα
χαρακτηριστική
κρίσιμη
κυκλότρου, κυκλοτρονική
διεγείρουσα
φανταστική
συντονισμού
Larmor
Σχάση
Σχετικότητα
τετραδιάνυσμα
στροφορμή
ηλεκτρομαγνητισμός
δύναμη
γενική
λαγκρανζιανή
μετρικός τανυστής
χωρόχρονος
ειδική
Σωμάτιο
Schroedinger
κβαντική θεωρία
χωρόχρονος
διάνυσμα
ταχύτητα
κυματοσυνάρτηση
Schwarzschild
λύση των εξισώσεων του Αϊνστάιν
Sine-Gordon
487
εξίσωση
πεδίο
Τ
Ταλαντώσεις
Ταλάντωση
πρόβλημα ιδιοτιμών
με διέγερση
συχνότητα ελεύθερης ταλάντωσης
διεπαφή Josephson
κανονική συντεταγμένη
εκκρεμές με απόσβεση και με διέγερση
ανάπτυγμα του δυναμικού
Ταλαντωτής
μη αρμονικός
διπλός
παραμετρικός
Τανυστής μετρικός
Τανυστής τάσης- ενέργειας
διατήρηση
ιδιότητες
συμμετρικός
Ταυτοτικός μετασχηματισμός
Ταυτότητα Jacobi
Ταχυόνιο
Ταχύτητα διαφυγής
Τετραδιάνυσμα
τετραορμή
τετραταχύτητα
Τετραπολική ροπή
βαρυτική
488
Τόρος
Τριβή
ατμόσφαιρα
οπισθέλκουσα
ηλεκτρική
ταλαντευόμενο σύστημα
κύλισης
Τροποποιημένη αρχή Hamilton
Τροχιά
πιθανή
δυνατή
πραγματική
περιορισμένη
εντοπισμένη
χαοτική
κυκλική
κλειστή
συνθήκες για
ελλειπτική
εκφυλισμένη
ανοιχτή
παραβολική
στο χώρο των φάσεων
ημιπεριοδική
ευσταθής
μη εντοπισμένη
ασταθής
Υ
Υλικό σημείο
489
Υπερεπιφάνεια
Φ
Φασική καμπύλη
Φασική τροχιά
Φραγμένη (περιορισμένη) κίνηση
Φορτίο
πυκνότητα
Φορτισμένο σωματίδιο μέσα σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο
Φράκταλ
επιφάνεια
διάσταση
τάπητας Sierpinski
γεωμετρία
αυτό-ομοιότητα
Φυγόκεντρος
φραγμός
φαινόμενο
Φωτόνιο
Φωτοειδές
Fermat αρχή
Foucault εκκρεμές
Fourier
σειρά
σύγκλιση
πολλαπλή
μετασχηματισμός
Frobenius ολοκληρωσιμότητα
Χ
Χάμιλτον του, αρχή
εξισώσεις του Lagrange
490
απόδειξη
τροποποιημένη
μη ολόνομα συστήματα
Χαμιλτονιανή
ως ολική ενέργεια
συναλλοίωτος
βαθμοί ελευθερίας
μήτρα
πυκνότητα
φορμαλισμός
συνεχή συστήματα
σχετικιστική μηχανική
ως γεννήτρια κανονικού μετασχηματισμού
ως γεννήτρια της κίνησης του συστήματος
Henon-Heiles
διαταραχή
κβαντομηχανική
συμπλεκτική
Χαμιλτονιανός φορμαλισμός
πλεονεκτήματα
χαρακτηριστική συνάρτηση
σύγκριση χαρακτηριστικής και κύριας συνάρτησης
θεωρήματα διατήρησης
κυκλικές συντεταγμένες
εξισώσεις κίνησης Χάμιλτον
παραγωγή από θεωρία μεταβολών
αρχή ελάχιστης δράσης
παραγωγή από μετασχηματισμό Legendre
κύρια συνάρτηση
491
σύγκριση με χαρακτηριστική συνάρτηση
σχετικιστικός φορμαλισμός
διαδικασία του Routh
συμπλεκτική διαδικασία
παραγωγή από θεωρία μεταβολών
Χάος
ελκυστής
διακλάδωση
αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση
διαστατικότητα
φράκταλ
Henon-Heiles
νησίδα
θεώρημα ΚΑΜ
λογιστική εξίσωση
κίνηση
έναρξη
παραμετρικός
ταλαντωτής
συντονισμός
θεωρία διαταραχών
ιδιότητες
τροχιά
Χαρακτηριστική
εξίσωση
τιμή
Χαρακτηριστική συνάρτηση Hamilton
Χρονομορφικός
Χωρητικότητα
Χώρος των φάσεων
492
έλλειψη
αρμονικός ταλαντωτής
με απόσβεση και διέγερση
Χώρος των θέσεων
Χωρομορφικός
Χωροχρονικό διάστημα
Hamilton-Jacobi θεωρία και εξίσωση
Κεντρική δύναμη
Χάος
Τελείως διαχωρίσιμη
κυκλικές συντεταγμένες
αρμονικός ταλαντωτής
μέθοδος
νέες σταθερές συντεταγμένες
πρόβλημα του Kepler
σφαιρικές συντεταγμένες
χωρισμός μεταβλητών
Heisenberg
Henon-Heiles
χάος
ισοδυναμικές
γαλαξιακό μοντέλο
εξισώσεις Χάμιλτον
χαμιλτονιανή
νησίδες χάους
απεικόνιση Poincare
δυναμικό
Hooke του, νόμος
493
494