1 numerical integration
TRANSCRIPT
Numerical Integration
เราต้องการการประมาณในรูป ตอ่ไปนี
โดยเราจะเริมต้นจากการประมาณคา่ของฟังก์ชนัโดยใช้ Lagrange Polynomial ซงึได้วา่
___ (1)
โดยที
และ
จากสมการที (1) เมือ Integrate ทงั 2 ข้างจะได้วา่
ดงันนั
และ Error
ตวัอยา่ง พิจารณา กรณีที n = 1 0x และ 1x
และได้การประมาณ
------ (2)
พิจารณาพจน์สดุท้าย
ดงันนั สมการ (2) จะได้วา่
แทนคา่ และ เนืองจาก จะได้ว่า
ตวัอยา่ง พิจารณา กรณีที n = 2 0x 1x และ 2x
และ โดยที
จะได้วา่
และถ้า คํานวณคา่ Error จะได้ 4( )O h
แตล่องพิจารณาการหาสตูรโดยใช้ Taylor series
Integrate ทงั 2 ข้างจะได้
และ
และจะได้อีกวา่
ดงันนั
จากนนัเราต้องประมาณ คา่
ซงึ
จากนนัจะได้
และจากนนัก็จะได้
ตวัอยา่ง
Degree of accuracy หรือ precision ของ quadrature formula คือ จํานวนเตม็ทีมากทีสดุ n ที formula ให้
คา่ประมาณทีตรงกบัคา่จริง สําหรับ , 1, 2,...,kx i n=
Composite Numerical integration
Example: Simpson’s rule h = 2
Composite Simpson’s rule h =1
Composite Simpson’s rule h =1/2
โดยทวัไปจะได้วา่
หรือจดัรูปใหมจ่ะได้วา่
พิจารณา Error
แต ่
ดงันนัจะได้วา่
ดงันนัจะได้ วา่ Composite Simpson’s rule
Romberg Integration
พิจารณา composite Trapezoidal
โดยที
และ
จะได้
ให้
โดยทวัไปจะได้
การลูเ่ข้าหา คา่จริงยงัช้าอยูม่าก
ลองพิจารณา การประมาณตอ่ไปนี
จากนนัเขียนการประมาณ สําหรับ k+1 และ
จะได้วา่
จากทงั สองสมการจะได้
จงึนิยาม
และโดยทวัไป
ตัวอย่าง
จะได้วา่
Gaussian Quadrature
เรายงัจะหา สตูรหารประมาณคา่ อินทริกรัล จํากดัเขตในรูปของ
แตใ่นทีนีเราจะต้องคํานวณหา และ ทีเหมาะสมทีสดุ โดย
ทีให้คา่ประมาณ ได้เทา่กบัคา่จริงสําหรับพหนุาม kx สําหรับทกุๆ จํานวนเตม็บวก k ทีน้อยกวา่หรือเทา่กบั 2n‐1
( { }1,2,..., 2 1k n∈ − )
ข้อควรระวัง ในทีนี n เริมจาก 1
ตงัอยา่ง n =2
สตูรการประมาณคา่จะได้
และตวัแปรคิอ
และในการประมาณนี จะต้องได้คา่ประมาณทีเทา่กบัคา่จริงสําหรับ พหนุาม
แทนคา่ f(x) โดยพหนุามเหลา่นี จะ ได้ สมการ ไมเ่ชิงเส้น 4 ตวัแปร 4 สมการ ดงันี
ซงึคําตอบของสมการนีคือ
ดงันนัสตูรการประมาณ แบบ Gussian Quadrature ภายใต้ช่วงปิด [‐1,1] คือ
ในกรณีที n มีค่ามากกวา่ 2 การคํานวณ ก็จะคล้ายๆกนั เช่นถ้า n =3 จะต้องมีตงัแปรทีต้องคํานวณหา 6 ตวัแปร
ดงันนัสมการไมเ่ชิงเส้นทีได้ก็จะมี 6 สมการ และสการเหลา่นี สามารถถกูสร้างจากเงือนไขทีวา่
คา่การประมาณจะต้องได้เทา่กบัคา่จริง สําหรับพหนุาม kx สําหรับทกุๆ จํานวนเตม็บวก k ทีน้อยกวา่หรือเทา่กบั
2n‐1 ซงึในทีนี n = 3
สําหรับการประมาณ บนช่วงปิด [a,b]
เราสามารถใช้การเปลียนตวัแปร
ตัวอย่าง
ดงันนั ถ้า n = 2
สําหรับ n ทีมากกวา่ 2 จะได้คา่สมัประสทิธิ และ nodes ตามตารางนี