TAM SAYILARLA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ7.1.1.1. Tam sayılarla çarpma ve bölme işlemlerini yapar.7.1.1.2. Tam sayılarla işlemler yapmayı gerektiren problemleri çözer.7.1.1.3. Tam sayıların kendileri ile tekrarlı çarpımını üslü nicelik olarak ifade eder.

RASYONEL SAYILAR7.1.2.1. Rasyonel sayıları tanır ve sayı doğrusunda gösterir.7.1.2.2. Rasyonel sayıları ondalık gösterimle ifade eder.7.1.2.3. Devirli olmayan ondalık gösterimleri rasyonel sayı olarak ifade eder.7.1.2.4. Rasyonel sayıları karşılaştırır ve sıralar. RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER7.1.3.1. Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapar.7.1.3.2. Rasyonel sayılarla çarpma ve bölme işlemlerini yapar.7.1.3.3. Rasyonel sayıların kare ve küplerini hesaplar.7.1.3.4. Rasyonel sayılarla çok adımlı işlemleri yapar.7.1.3.5. Rasyonel sayılarla işlem yapmayı gerektiren problemleri çözer.

SAYILAR VE İŞLEMLERÜNİTE1

8 Sayılar ve İşlemler

TAM SAYILARLA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ

TAM SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ

Aynı İşaretli İki Tam Sayının Çarpımı

• (+2) . (+3) işlemini sayı doğrusunda ve sayma pullarıyla modelleyelim.

Sayı doğrusunda modelleme

Çarpma işlemi ardışık toplama işlemi olduğuna göre verilen işlem, 2 tane 3 sayısının toplamı anla-mına gelir. Bu model,

• (–2) . (–3) işlemini sayma pullarıyla modelleyelim.

Sayma pullarıyla modelleme

2 tane 3’lü + +1 pulu boş modele eklendiğinde 6 tane + +1 pulu elde edilir. Buna göre işlemin sonucu (+2) . (+3) = (+6) bulunur.

6 tane + +1 pulu elde edildiğinden, (+2) . (+3) = (+6) bulunur.

Boş modelde oluşturulan 2 tane 3’lü + – 0 pul çiftinden 2 tane 3’lü – –1 pulu çıkarılır. Buna göre işlemin sonucu (–2) . (–3) = (+6) bulunur.

• Aynı işaretli iki tam sayı çarpılırken sayıların mutlak değerleri çarpılır, çarpımın işareti her zaman pozitiftir.

şeklinde gösterilir.

(+2) . (+3) = (+6)

0 1 2 3 4 5 6 7–1–2–3–4–5–6–7

+ + + + + +

+ + ++ + +

+ –

+

+

–

–

+ –

+

+

–

–

+ +

+

+

+

+

+ –

+

+

–

–

+ –

+

+

–

–

ÖRNEK

Sayma pullarıyla modellenen yukarıdaki çarpma işlemini yazınız.

Çözüm: Modelde 3 tane 4’lü + – 0 pul çiftinden 3 tane 4’lü – –1 pulu çıkarılmış ve

sonuçta 12 tane + +1 pulu elde edilmiştir.

Modellenen işlem (–3) . (–4) = (+12)’dir.

+ + + + ++ ++ +– –– –– –

+ + + + ++ ++ +

+ + + + ++ ++ +

+ + + + ++ ++ +

– –– –– –

– –– –– –

– –– –– –

Sayılar ve İşlemler 9

TAM SAYILARLA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ

Ters İşaretli İki Tam Sayının Çarpımı

• (+2) . (–3) işlemini sayı doğrusunda ve sayma pullarıyla modelleyelim.

Sayı doğrusunda modelleme

Verilen işlem 2 tane (–3) sayısının toplamı anlamına gelir. Bu model,

• (–2) . (+3) işlemini sayma pullarıyla modelleyelim.

Sayma pullarıyla modelleme

2 tane 3’lü – –1 pulu boş modele eklendiğinde 6 tane – –1 pulu elde edilir. Buna göre işlemin sonucu (+2) . (–3) = (–6) bulunur.

Boş modelde oluşturulan 2 tane 3’lü + – 0 pul çiftinden 2 tane 3’lü + +1 pulu çıkarılır. Buna göre işlemin sonucu (–2) . (+3) = (–6) bulunur.

• Ters işaretli iki tam sayı çarpılırken sayıların mutlak değerleri çarpılır, çarpımın işareti her zaman negatiftir.

şeklinde gösterilir.

(+2) . (–3) = (–6)

0 1 2 3 4 5 6 7–1–2–3–4–5–6–7

– – – – – –

– – –– – –

+ –

+

+

–

–

+ –

+

+

–

–

– –

–

–

–

–

+ –

+

+

–

–

+ –

+

+

–

–

ÖRNEK

Sayma pullarıyla modellenen yukarıdaki çarpma işlemini yazınız.

Çözüm: Modelde 5 tane 5’li + – 0 pul çiftinden 5 tane 5’li + +1 pulu çıkarılmış ve

sonuçta 25 tane – –1 pulu elde edilmiştir.

Modellenen işlem (–5) . (+5) = (–25)’dir.

+ + + + +– – – – – – – – – –

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

– – – – – – – – – –

– – – – – – – – – –

– – – – – – – – – –

– – – – – – – – – –

10 Sayılar ve İşlemler

TAM SAYILARLA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ

ÖRNEK

ÖRNEK

Bir Sayıyı (–1)’e Bölme

Herhangi bir sayý –1’e bölündüğünde sayýnýn iþareti deðiþir. Yani sayý pozitifse negatif, negatifse pozitif olur.

a : –1 = –a5 : (–1) = (–5)(–23) : (–1) = 23

Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulun.

a) (–5) . (–7) b) (+8) . (–4) c) (–10) . (+9) d) (+6) . (+3)

Çözüm: a) (–5) . (–7) = 35 (aynı işaretli sayıların çarpımı pozitiftir.)

b) (+8) . (–4) = (–32) (ters işaretli sayıların çarpımı negatiftir.)

c) (–10) . (+9) = (–90) (ters işaretli sayıların çarpımı negatiftir.)

d) (+6) . (+3) = 18 (aynı işaretli sayıların çarpımı pozitiftir.)

ÖRNEK9 . (–1) + 0 . (–10) – (–7) . 1 iþleminin sonucu kaçtýr?

Çözüm: –9 + 0 – (–7) = –9 – (–7) = –9 + (+7) = –2’dir.

Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulun.

a) (+18) : (–3) b) (–16) : (–4) c) (–15) : (+5) d) (+20) : (+10)

Çözüm: a) (+18) : (–3) = (–6) (ters işaretli sayıların bölümü negatiftir.)

b) (–16) : (–4) = (+4) (aynı işaretli sayıların bölümü pozitiftir.)

c) (–15) : (+5) = (–3) (ters işaretli sayıların bölümü negatiftir.)

d) (+20) : (+10) = (+2) (aynı işaretli sayıların bölümü pozitiftir.)

Bir Sayıyı (–1) ile Çarpma

Herhangi bir sayý –1 ile çarpýldýðýnda sayýnýn iþareti deðiþir. Yani sayý pozitifse negatif, negatifse pozitif olur.

a . –1 = –a(–5) . (–1) = (+5)4 . (–1) = (–1) . 4= (–4)

TAM SAYILARLA BÖLME İŞLEMİ

• Aynı işaretli iki tam sayı birbirine bölünürken sayıların mutlak değerleri bölünür, bölümün işare-ti her zaman pozitiftir.

• Ters işaretli iki tam sayı birbirine bölünürken sayıların mutlak değerleri bölünür, bölümün işare-ti her zaman negatiftir.

Sayılar ve İşlemler 11

TAM SAYILARLA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ

TAM SAYILARLA PROBLEMLER

ÖRNEK

Sıcaklığı –17˚C olan sıvı 6 dakika süreyle ısıtıldığında sıcaklığı +7˚C’a çı-kıyor. Geçen sürede her bir dakikadaki sıcaklık artışı sabit olduğuna göre bu sıvının bir dakikadaki sıcaklık artışı kaç derece selsiyustur?

Çözüm: 6 dakika süre sonunda sıcaklık

+7 – (–17) = +7 + 17 = +24˚C artış gösterir. Sıvının 1 dakikadaki sıcaklık artışı, (+24) : 6 = +4˚C olur.

ÖRNEK

Efe, Mert ve Melih 10 soruluk bir yarışmaya katılmıştır. Efe 7 doğru 3 yanlış, Mert 4 doğru 6 yanlış, Melih 2 doğru 8 yanlış yapmıştır. Yarışmada doğru yanıtlar 10 puan kazandırıp yanlış yanıtlar 5 puan kaybettirdiğine göre alınan sonuçları bulun.

Çözüm:

Efe 7 . (+10) + 3 . (–5) = (+70) + (–15) = 55 puan

Mert 4 . (+10) + 6 . (–5) = (+40) + (–30) = 10 puan

Melih 2 . (+10) + 8. (–5) = (+20) + (–40) = –20 puan

ÖRNEK

Deniz yüzeyinden atladıktan sonra geçen her dakika 20 m derinliðe dalan bir dalgýç 4 dakika sonra deniz seviyesinin kaç metre altýnda olur?

Çözüm: Deniz seviyesi 0 kabul edildiðinde 20 m derinlik, (–20) sayısıyla ifade edilir. Buna göre dalgıç denizin, (–20).4=–80 m altýnda olur.

ÖRNEK

Deniz seviyesinden yükseldikçe atmosferdeki sıcaklık her kilometrede ortalama 5˚C düşmekte-dir. Bir dağcı 3000 m tırmandıktan sonra dağın zirvesine ulaşıyor. Zirvede ölçtüğü sıcaklık –6˚C olduğuna göre tırmanmaya başladığı yerdeki sıcaklık kaç derece selsiyustur?

Çözüm: Dağcının tırmanmaya başladığı yerdeki sıcaklık “S” olsun.

3000 m = 3 km olduğuna göre,

S + 3 . (–5) = – 6

S + (–15) = –6

S = –6 – (–15)

S = –6 + 15

S = +9˚C bulunur.

12 Sayılar ve İşlemler

TAM SAYILARLA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ

TAM SAYILARDA ÜSLÜ NİCELİKLER

• Bir tam sayının kendisiyle tekrarlı çarpımı üslü nicelik olarak ifade edilir.

• Sıfırdan farklı her tam sayının 0. kuvveti 1’e eşittir.

a0 = 1 30 = 1 (–3)0 = 1 180 = 1 (–712)0 = 1

• Pozitif tam sayıların, tüm doğal sayı kuvvetleri pozitiftir.

23 = 2.2.2 = 8 44 = 4.4.4.4 = 256 33 = 3.3.3 = 27 54 = 5.5.5.5 = 625

• (–1) sayısının çift tam sayı kuvvetleri 1’e, tek tam sayı kuvvetleri (–1)’e eşittir.

(–1)n = 1 (n çift tam sayı) (–1)n = (–1) (n tek tam sayı)

(–1)12 = 1 (–1)75 = (–1) (–1)100 = 1

• Negatif tam sayıların, çift doğal sayı kuvvetleri pozitiftir, tek doğal sayı kuvvetleri negatiftir.

(–2)3 = (–2).(–2).(–2) = –8 (–4)4 = (–4).(–4).(–4).(–4) = 256 (–3)3 = (–3).(–3).(–3) = –27

an = a . a . a . ... . ataban

üs veya kuvvet

n tane144424443

Sayının üssü, tabandaki sayının kaç defa yan yana yazılıp çarpılacağını gösterir.

•

ÖRNEKAşağıdaki üslü ifadelerin değerlerini bulun.

a) (–5)2 b) (–43) c) –62 d) (–7)3

Çözüm: a) (–5)2 = (–5) . (–5) = 25 c) –62 = –6 . 6 = –36

b) (–43) = –4 . 4 . 4 = –64 d) (–7)3 = (–7) . (–7) . (–7) = –343

• Sıfırın sıfırıncı kuvveti tanımsız, diğer tüm doğal sayı kuvvetleri 0’a eşittir.

00 = tanımsız 04 = 0 025 = 0 0312 = 0 05 000 000 = 0

• Bütün tam sayıların 1. kuvveti, sayının kendisine eşittir.

a1 = a 71 = 7 (–7)1 = –7 (–63)1 = –63 9241 = 924

• 1 sayısının bütün kuvvetleri 1’e eşittir.

1n = 1 11 = 1 126 = 1 12 000 000 = 113856 = 1

• Negatif tam sayıların kuvveti alınırken, paranteze dikkat edilmelidir. Kuvvet parantezin dışında kal-mışsa, sonucun işareti kuvvetin tek veya çift doğal sayı olmasına bağlıdır.

Kuvvet çift sayı olduğu için, parantezin dışındayken sonuç pozitif, parantezin içindeyken sonuç negatif tam sayıya eşittir.

Kuvvet tek sayı olduğu için, her iki durumda da sonuç negatif tam sayıya eşittir.

(–2)2 = (–2) . (–2) = 4

(–22) = –2 . 2 = –4

(–22) = –2 . 2 = –4

(–23) = –2 . 2 . 2 = –8

Sayılar ve İşlemler 13

Alıştırma : Çarpalım – Bölelim

A Aþaðýda verilen çarpma işlemlerinin sonuçlarını bulun.

B Aþaðýda verilen bölme işlemlerinin sonuçlarını bulun.

1. (–8) . (–4) =

2. (–6) . (+3) =

3. (+7) . (–2) =

4. (–1) . (+15) =

5. (+9) . (–3) =

6. (–2) . 0 =

7. (+10) . (–7) =

8. (–5) . (–6) =

9. (–3) . (–1) =

10. (+13) . (+2) =

1. (–9) : (–3) =

2. (–24) : (+6) =

3. (+8) : (–1) =

4. (+15) : (–5) =

5. (–16) : (–8) =

6. (+4) : (+2) =

7. (–27) : (+9) =

8. (+64) : (–16) =

9. (–25) : (+1) =

10. (–18) : (–6) =

11. (+5) . (+2) . (–1) =

12. (–7) . (–6) . (+1) =

13. (+9) . (–3) . (–2) =

14. (–10) . (–5) . 0 =

15. (–8) . (+3) . (+2) =

16. (+1) . (–1) . (–1) =

17. 0 . (–4) . (+5) =

18. (+12) . (–3) . (+2) =

19. (+6) . (–7) . (–1) =

20. (–4) . (–3) . (–5) =

11. (–72) : (+4) =

12. (+100) : (–25) =

13. (+54) : (+18) =

14. (–20) : (+5) =

15. 0 : (–6) =

16. 19 : (–1) =

17. (–48) : (–8) =

18. (–28) : 0 =

19. (+75) : (–3) =

20. (–21) : 1 =