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1. LOS NÚMEROS REALES
Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos
números enteros. Su expresión decimal es exacta o periódica.
Números irracionales son los no racionales, es decir, los que no pueden
obtenerse como cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es
infinita no periódica. Por ejemplo, π = 3.14159265359
Al conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama
conjunto de números reales y se designa por R.
TEMA 1 – NÚMEROS REALES -
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1.1. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES EN LA RECTA
Representación de números racionales: Pueden existir dos casos:
o FRACCIÓN IMPROPIA: Cuando el numerador es mayor que el
denominador: Ejemplo: 7/5
1. Realizamos la división de 7 entre 5. El cociente y el resto nos
indica como descomponer la fracción impropia.
1. Siempre irá entre el cociente y el siguiente número. En este
caso entre 1 y 2.
2. Trazamos una línea inclinada desde el resultado del cociente.
Dividimos esa línea tantas veces como nos indique el
denominador.
3. Después unimos la última parte de la línea inclinada con el 1 de
la línea de abajo.
4. Trazamos una línea paralela desde la parte que indique el
numerador, en este caso desde el 2.
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o FRACCIÓN PROPIA: Cuando el numerador es menor que el
denominador: 2/3
5. Siempre irá entre el 0 y el 1.
6. Trazamos una línea inclinada desde el 0. Dividimos esa línea
tantas veces como nos indique el denominador.
7. Después unimos la última parte de la línea inclinada con el 1 de
la línea de abajo.
8. Trazamos una línea paralela desde la parte que indique el
numerador, en este caso desde el 2.
¡¡OJO!!Si hubiera que representar alguna fracción negativa la recta inclinada se
dibujaría hacia el otro sentido.
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1.2. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES EN LA RECTA
Para representar números irracionales en la recta numérica se debe recurrir a los
triángulos rectángulos. Se tienen que descomponer en cuadrados perfectos. Ahora
vamos a observar algunos ejemplos:
a) Representación de 2 , en un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos
miden 1, el valor de la hipotenusa es 2 . 22 112
b) Representación de 5 , en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y
2, el valor de la hipotenusa es 5 . 22 125
c) Representación de 11 , en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y,
2 el valor de la hipotenusa es 11 . 22 2311
Primero represento el número irracional 22 112
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1.3. INTERVALOS Y SEMIRRECTAS
¡¡OJO!! Se llama recta real a la recta que representa el intervalo (-∞, +∞)
¡¡OJO!! Los infinitos ya sean + ó – se representan siempre abierto, es decir entre
paréntesis.
Ejemplos:
a) (-2, 1) - | -2<x<1
-2 0 1
b) [-2, 1] -2≤x≤1
-2 0 1
c) (3,4] 3<x≤4
3 4
d) (-∞, 2) x<2
-∞ 2
e) [2, +∞) x≥2
2 +∞
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1.4. RAÍCES Y RADICALES
Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe como n a , a un número b que
cumple la siguiente condición: n a = b, si bn = a.
Se llama radical n a
Se llama radicando a
Se llama índice de la raíz n
Se llama raíz b
Ejemplos:
PECULIARIDADES
Raíces positivas:
o Indíce par: Tienen dos soluciones: positiva y negativa ±
o Indíce impar: Tienen una solución +
Raíces negativas:
o Indíce par: No existen
o Indíce impar: Tienen una solución –
La raíz de uno es uno, la raíz de menos uno es menos uno (a no
ser que tenga índice impar) y la raíz de cero es cero
√𝟖𝟏𝒏
= 𝟑 3n=81 Descompongo siempre a en una potencia de base b, es decir,
descompongo el 81 en base 3. 3n=34 La solución es n=4 (Cuando las bases son iguales
la solución es lo de arriba)
√𝒂𝟑 = 𝟓 53=a Resuelvo la potencia a=125
√−𝟐𝟕𝟑
= 𝒃 b3=-27 Descompongo el radicando, es decir “a”, entre el número
más pequeño que se pueda. b3=-33 La solución es b=-3 (Cuando los exponentes son
iguales, la solución es lo de abajo)
*Si al descomponer no me salen los exponentes iguales, simplifico hasta obtener uno
de los exponente con un “1” y resuelvo la potencia*
√𝟔𝟒𝟑
= 𝒃 b3=64 Descompongo el radicando, es decir “a”, entre el número más
pequeño que se pueda. b3=26 Como no son iguales los exponentes, simplifico entre
3 ambos exponentes y quedaría así: b=23 y ahora resuelvo la potencia b=8
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PROPIEDADES
1. FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES
√𝑎1𝑛= 𝑎
1𝑛 ⁄ Ejemplo: √3
4 = 31/4
√𝑎𝑚𝑛= 𝑎
𝑚𝑛 ⁄ Ejemplo: √325
= 32/5
2. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
√𝑎𝑝𝑛·𝑝= √𝑎
𝑛= 𝑎
1𝑛 ⁄ Ejemplo: 4 9 = 4 23 = 32/4 = 31/2 = 3
3. POTENCIA DE UN RADICAL
pn a = n pa pues: pn a =
n
pp
n aa
1
n pa
o Ejemplo: 432 = 122 = 212/2 = 26 = 64
4. RAÍZ DE UN RÁIZ
m n a = nm a* , pues: m n a = nmmn aa */1/1/1 = nm a*
o Ejemplo: 3 2 = 6 2
5. PRODUCTO DE RÁICES DEL MISMO ÍNDICE
√𝑎 · 𝑏𝑛
= √𝑎𝑛
· √𝑏𝑛
√15 · √20=√15 · 20 = √300
6. COCIENTE DE RAÍCES DEL MISMO ÍNDICE
√𝑎 ∶ 𝑏𝑛
= √𝑎𝑛
: √𝑏𝑛
√60: √20=√60: 20 = √3
7. PRODUCTO DE RÁICES DE DISTINTO ÍNDICE
√𝑎𝑛
· √𝑏𝑚
= √𝑎𝑚 · 𝑏𝑛𝑚𝑐𝑚 (𝑛,𝑚)
Se hace el mínimo común múltiplo de los índices y después al dividir se
eleva lo que hay.
√3 · √23
= √336· √226
= √33 · 226= √108
6
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8. COCIENTE DE RÁICES DE DISTINTO ÍNDICE
√𝑎𝑛
: √𝑏𝑚
= √𝑎𝑚: 𝑏𝑛𝑚𝑐𝑚 (𝑛,𝑚)
Se hace el mínimo común múltiplo de los índices y después al dividir se
eleva lo que hay.
√3: √23
= √336: √226
= √33: 226= √
33
22
6
= √27
4
6
9. EXTRACCIÓN DE FACTORES
o PARA LA EXTRACCIÓN DE FACTORES ES NECESARIO QUE LOS
EXPONENTES DE LA RAÍZ SEAN IGUAL O MAYORES QUE EL ÍNDICE, SINO ES ASÍ NO SE PUEDE EXTRAER FACTORES FUERA DE LA RAÍZ. SI SE PUDE EXTRAER, HAY QUE SEGUIR LOS SIGUIENTES PASOS:
√24003
1. DESCOMPONER EL RADICANDO: 2400= 25 · 52 ·3
√24003
= √25 · 52 · 33
2. DIVIDIR EL EXPONENTE DEL RADICANDO ENTRE EL ÍNDICE DE LA RAÍZ:
VIENDO LOS EXPONENTES, SE QUE SE PUEDE EXTRAER
SOLO EL 2:
DESPUÉS DE
EXTRAER:
21 √22 · 52 · 33
Y RESUELVO:
2√22 · 52 · 33
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10. Suma y resta de raíces
Dos radicales distintos no pueden sumarse si no es obteniendo sus expresiones
decimales aproximadas. Solo pueden sumarse radicales idénticos. Por ejemplo:
o 3 + 2
NO SE PUEDEN
o 7 - 3 7
En cambio si se podrían estos casos:
o 7 5 + 11 5 - 5 = 17 5
o 32 + 18 - 05 = 52 + 2*32 - 2*52 = 4 2 +3 2 -5 2 =2 2
11. Racionalización
Al proceso por el cual hacemos desaparecer los radicales del denominador se les
llama racionalización de denominadores.
CASOS DE RACIONALIZACIÓN
Raíces cuadradas: Multiplicamos arriba y abajo por la raíz del
denominador.
o Ejemplo: 2
1
2
1·
2
2=
2
2
Otras raíces:
o Ejemplo: 5 27
1
Racionalizamos elevando el radicando un número más
5 27
1·
5 3
5 3
7
7=
5 5
5 3
7
7=
√735
7
o (a+b) * (a-b) = a2 – b2
o A la expresión a - b se le llama conjugado de a + b y viceversa.
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Suma y restas de raíces (Conjugado): Multiplicamos arriba y abajo por
el conjugado, es decir, si tenemos una resta multiplicamos por una suma
y viceversa.
o Ejemplo:35
1
Conjugado35
1
·
35
35
=
√5+√3
(√5)2
−(√3)2 =
35
35
=
2
35
1.8. NÚMEROS APROXIMADOS. NOTACIÓN CIENTÍFICA
APROXIMACIONES Y ERRORES
Ejemplo: Al medir una piscina se obtiene 718900 litros.
Es decir 718900 dm3, es decir 718,900 m3. Pero sería más razonable decir
que tiene 719 m3. Entonces la última cifra significativa (9) designa unidades
de m3. Entonces el error absoluto es menor que medio metro cúbico (error <
0.5 m3).
o El error relativo es Er < 719
5.0<0.0007.
Ejemplo: Dado el número 3,784, Calcula el error absoluto y relativo al
redondearlo a las centésimas.
3,78
o El error absoluto es: Ea =|3,784 – 3,78|= |0,004|=0,004
o El error relativo es Er = 784,3
004,0= 0,0010570824524313
Se llaman cifras significativas las que se usan para expresar un número aproximado. Sólo se
deben utilizar aquellas cuya exactitud nos conste y de modo que sean relevantes para lo que
se desea transmitir.
Error absoluto de una medida aproximada es la diferencia entre el valor real y el valor
aproximado. Error absoluto = |Valor real – Valor aproximado|
El valor exacto, generalmente, es desconocido. Por tanto, también se desconoce el error
absoluto. Lo importante es poder acotarlo: el error absoluto es menor que… Una cota del
error absoluto se obtiene a partir de la última cifra significativa utilizada
Error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real.
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NOTACIÓN CIENTÍFICA
Los números en notación científica son aquellos que tienen un número decimal
multiplicados por una potencia de 10.
El número decimal siempre tiene que ser mayor o igual que 1 y menor que 10.
La potencia de 10, siempre debe tener un exponente entero.
Si el exponente es positivo, se pone la parte decimal sin la coma y se le pone
ceros ¿Cuántos? Pues el exponente menos el número de cifras que hay
después de la coma.
Si el exponente es negativo, se pone 0, y después ceros y después la parte
decimal sin la coma. ¿Cuántos ceros? Pues el exponente menos el número de
cifras que hay después de la coma.
Ejemplos
o 3,845 · 109 = 3.845.000.000
o 9,8 · 10-11= 0,000000000098
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Operaciones con notación científica
Suma y resta:
Para sumar y/o restar en notación científica, deben tener la misma potencia
de 10. Si no es así, debemos ponerlo en la misma potencia (Recomendable
pasarlo al exponente mayor).
o Si queremos poner un exponente más grande, movemos la coma hacía
la izquierda tantas veces como sea necesario:
3,845 · 105 0,03845 · 107
o Si queremos poner un exponente más pequeño, movemos la coma
hacía la derecha tantas veces como sea necesario:
0,03845 · 107 3,845 · 105
Una vez que las tenemos con la misma potencia, lo que hacemos es sumar y/o
restar los números decimales y dejar la potencia tal cual.
Ejemplo: 1,325 · 10 5 + 2,04 · 105 = (1,325 + 2,04) · 105 = 3,365 · 105
Multiplicación y división:
En la multiplicación, se multiplica los números decimales y se suman los
exponentes de las potencias:
Ejemplo:(1,325 · 10 5) x (2,04 · 105) = (1,325 · 2,04) · (105 · 105) = 2,703 · 1010
En la división, se divide los números decimales y se restan los exponentes de
las potencias:
Ejemplo:(10,32 · 10 9) : (2,4 · 105) = (10,32 : 2,4) · (109 : 105) = 4,3 · 104
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1.9. LOGARITMOS El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar
la base para obtener el número. Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1. No existe el logaritmo de cero.
2. El logaritmo de 1 es cero.
3. El logaritmo en base a de a es uno.
4. Producto de un logaritmo.
5. Cociente de un logaritmo.
6. Potencia de un logaritmo.
.
7. Raíz de un logaritmo.
8. Cambio de base de un logaritmo.
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9. Logaritmo neperiano ln
ln e = 1
ln 1 = 0
Ejemplos: