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1
Le oscillazioniMoto armonico semplice
Abbiamo già incontrato brevemente il moto armonico semplice in quanto utile per discutere la misura della massa di un corpo. Riassumiamo brevemente:
m
0 xMolla ideale: xF (positivo o negativo)
Visto che )()()( inerziaFmollaF (3. Legge di Newton)
amx 0 xmx
Soluzione generale: )cos()( tAtx m con (*)
Misurando e , si può determinare m
xcosx )(sin(*) ricordiamoci: xx sin)cos( bbaba )()(
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2
0 xmx
)cos()( tAtx con
22
T
periodo T
frequenza
pulsazione o frequenza angolare
ampiezza A
fase t+
costante o angolo di fase
1
T
<- Massimo valore del spostamento
x(t) può essere un spostamento, una differenza di potenziale, una pressione …
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3
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4
Qualsiasi movimento che si ripete a intervalli regolari è definito moto periodico o moto armonico.
Non solo
Ma anche:
Basta però studiare sen (o cos):
Qualsiasi altra funzione può essere creata da una sovrapposizione di sen con diversi A, ,
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5
Velocità nel moto armonico semplice
)(cos)( tAtxcon
)sin()cos()(
)( tAtAdt
d
dt
tdxtv
)cos()sin()( 2 tAtAdt
d
dt
dvta
)()( 2 txta
Nel moto armonico semplice l’accelerazione e’ proporzionale allo spostamento ma di segno opposto, e le due quantità sono legate dal quadrato della pulsazione
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6
m
0 x
Nel caso particolare di:
Abbiamo trovato che
m
0 xmx
Descrive I parametri rilevanti del sistema, e m
Ma e’ vero in generale, che per un qualsiasi sistema che segue
Il parametro risultante descrive le proprietà del sistema
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7
L’energia potenziale del sistema e’
m
0 x
221 xdxxdxxdxFxdFEpot
L’energia cinetica
tAmvmEkin22
212
21 sin
)sin()( tAtvcon
m
)()( tcosAtx
)(2221 tcosA
con
tA 2221 sin
ttAEEE potkintot222
21 cossin
221 A perchè 1cossin 22
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8
Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con =65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0.
Quali sono la pulsazione, la frequenza e il periodo dell’oscillazione risultante?
xF
amx 0 xmx
)cos()( tAtx m con
sradsradkg
mN/8.9/78.9
68.0
/65
HzHzrad
srad6.156.1
2
/78.9
2
sHz
T 64.056.1
11
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Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con =65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0.
Qual e’ l’ampiezza dell’oscillazione?
)cos()( tAtx cmA 11
Qual e la massima velocita’ del blocco oscillante, e dove si trova quando cio’ si verifica?
)sin()cos()(
)( tAtAdt
d
dt
tdxtv
s
mm
s
radAv 1.111.078.9max
La massima velocita’ istantanea si ha quando il blocco passa attraverso l’origine, x=0
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Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0.
Qual e’ l’ampiezza massima dell’accelerazione del blocco?
)cos()sin()( 2 tAtAdt
d
dt
dvta
2
22 1111.078.9
s
mm
s
radAamass
:)()( 2 txta La massima accelerazione si ha quando il blocco si trova nei punti estremi del suo percorso
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Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con =65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0.
Qual e’ la costante di phase del moto?
)cos()( tAtx
Ax )0( 10cos rad0
o qualsiasi angolo multiplo di 2
=> Funzione spostamento:
tts
radmtAtx 8.9cos11.008.9cos11.0)cos()(
Con x espresso in metri e t in secondi
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Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con =65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0.
Qual e’ la energia meccanica?
Per t=0:
JJ
mm
NxkvmEEE potcintot
39.0393.0
11.0650)0( 2
212
212
21
221 xkdxxkdxxkdxF
Quali sono l’energia potenziale e l’energia cinetica dell’oscilaltore quando la particella e’ a meta’ strada verso il massimo spostamento, ossia per ?Ax 2
1
JEAkAkxkE totpot 098.0412
21
412
21
212
21
JEE totcin 30.043
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Per t=0 lo spostamento x(0) di un oscillatore lineare come nella figura vale -8.50 cm, la velocita’ e’ v(0)=-0.920 m/s, e l’accelerazione a(o)=47.0 m/s2.
Qual e’ la pulsazione?
cos)0(
sin)0(
cos)0(
2
Aa
Av
Ax (I)
(II)
(III)
Tre equazioni, tre incognite
2
)0(
)0( x
a(III)/(I) => srad
m
sm
x
a/5.23
0850.0
/0.47
)0(
)0( 2
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Per t=0 lo spostamento x(0) di un oscillatore lineare come nella figura vale -8.50 cm, la velocita’ e’ v(0)=-0.920 m/s, e l’accelerazione a(o)=47.0 m/s2.
Quali sono la costante di fase e l’ampiezza A?
(II)/(I) =>
tancos
sin
)0(
)0(
A
A
x
v
461.00850.05.23
/920.0
)0(
)0(tan
m
sm
x
v
srad
mmx
A 094.025cos
0850.0
cos
)0(
25
0
0
Anche =1550 e’ una soluzione, con A=0.094 m
A deve essere una costante positiva => soluzione = -250 da scartare
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15
Un oscillatore armonico semplice angolare
Pendolo di torsione
Momento torcente di richiamo, che tende a contrastare la rotazione
Costante di torsione
m In questo caso, invece di
si trova I I = momento d’inerzia del disco oscillante
221 potE
Ci riccordiamo, per una molla: xF
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Come appare nella figura, un’asticella sottile omogenea, di lunghezza L=12.4 cm e massa m=135g, e’ sospesa al centro da un lungo filo. Se e’ misurato il suo periodo Ta di oscillazione angolare, che e’ risultato di 2.53 s. Un oggetto di forma irregolare, che chiameremo X, e’ stato poi appeso allo stesso filo, come nella figura, e si e’ trovato che il suo periodo Tb e’ 4.76 s.
Qual e’ il momento di inerzia dell’ oggetto X rispetto al suo asse di rotazione?
Abbiamo gia calcolato:
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La asticella “e composta” di due sbarre
Chiamiamo : sbarra di massa m’, lunghezza L’
asticella di massa m, lunghezza L
Con m=2m’, L=2L’
22
2
12
1
223
12
3
12)(2)( Lm
LmLmsbarraIasticellaI
242 1073.1124.0135.012
1mkgmkg
I
2
T
a
a
IT 2
b
b
IT 2
242
224
2
2
1012.653.2
76.41073.1 mkg
s
smkg
T
TII
a
bab
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19
Con un pendolo di torsione si possono misurare anche angoli molto piccoli
raggio di luce specchio
Si trova:
Lo specchio di torsione non si ferma mai, continuamente fa piccoli oscillazioni irregolari.
Misura: lo specchio ha in media un’energia cinetica di Tk 21
T = temperatura (assoluta)
k = costante di Boltzmann
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20
Boltzmann ha dimostrato che non solo lo specchio di torsione, ma qualsiasi sistema ha sempre energia cinetica pari a 1/2kT (= movimento termico) per ciascun grado di libertà.
Questo vale anche per gli atomi.
Nonché per interruttori o altri sistemi che possono assumere due minimi energetici
E perciò immagazzinare informazione.
Szillard (1927): per immagazzinare un bit di informazione occorre dissipare una energia pari a 1/2kT
Landauer: non è vero. Si deve dissipare energia pari a 1/2kT per cancellare un bit di informazione.
Bennett:: si deve dissipare energia solo se si prende informazione dall’esterno del sistema, altrimenti è possibile copiare e calcolare senza dissipare (reversible computing)
E 1/2kT
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21
H.S.Leff, A.F.Rex
Maxwell’s Demon: Entropy, Information, Computing
Princeton University Press
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22
Moto armonico semplice e moto circolare uniforme
Il moto armonico semplice e’ la proiezione di un moto circolare uniforme su un diametro della circonferenza su cui questo moto si svolge
)cos()( tAtx
)()()(
)( tsenAtcosAdt
d
dt
tdxtv
)()()( 2 tcosAtsenAdt
d
dt
dvta
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23
Onde
)cos()( tAtx
Se “la variabile” (spostamento, pressione, potenziale...) cambia solo con il tempo: oscillazione –
nel caso piu semplice: modo armonico semplice
Se “la variabile” cambia anche in funzione dell’spazio: onda
)sin()( tAtxo
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24
In generale, una onda non avrà forma sinusoidale:
Forma generica di una onda: txkhtxy ),(
h: funzione qualsiasi
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25
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26
Lunghezza d’onda e numero d’onde
xkyxy m sin)0,(
Per definizione y deve essere uguale per x=x1 e x=x1+
kxkyxkyxkyy mmm 111 sinsinsin
2k o
2
k numero d’onda angolare
unità1mrad
numero d’onda: 1
2
k
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27
Periodo, pulsazione e frequenza
tytyty mm sinsin),0(Si puo fare il discorso analogo per
T
2 Pulsazione o frequenza
angolare
unita’: radiante al secondo
2
1
Tfrequenza
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28
Velocita’ di un’onda in moto
t
x
txk costante
0 txkdt
d
0 dt
dxk
dt
dx
vTk
velocita’ dell’onda
txkytxy m sin),(
Onda che si muove nel verso in cui x aumenta
txkytxy m sin),( Onda che si muove nel verso delle x decrescenti
k
v
v
v
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29
x
y
Nessuna forza risultante sull’ elemento di filo
Piccolo elemento di filo
x
yT
T
Nessuna forza risultante sull’ elemento di filo
TLa tensione del filo
crea una forza
su ogni elemento del filo
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30
La tensione del filo crea una forza effetiva su un elemento di filo, se c’e una curvatura:
curvatura= differenza relativa fra due pendenze
x
y TT
dxdx
ydTT
2
2La massa di questo elemento e’ dx
2
2
2
2
dt
yddxadxdx
dx
ydT
adx
dy
bdx
dy
dx
dy
dxdx
dy
dx
d
dx
dy
Newtoncurvatura
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31
2
2
2
2
dt
yddxadxdx
dx
ydT
2
2
2
2
dt
yd
Tdx
yd
2
1v
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32
txkytxy m sin),(
txkkytxydx
dm sin),( 2
2
2
txkytxydt
dm sin),( 2
2
2
vTk
(A)
(B)
A/B = 2
2
k
2
2
22
2
.
1
dt
yd
dx
yd=> e’ vero che
v
v
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33
Il principio di sovrapposizione per le onde
Onde sovrapposte si sommano algebricamente a formare un’onda risultante:
),(),(),( 213 txytxytxy
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34
=> Interferenza di onde
txkytxy m sin),(1 txkytxy m sin),(2
sia
txktxkytxytxytxy m sinsin),(),(),( 21
Si puo’ dimostrare: 21
21 cossin2sinsin
21
21 sincos2),( txkytxy m
Quando due onde sinusoidali aventi stessa ampiezza e lunghezza d’onda si muovono concordemente nella stessa direzione lungo una corda tesa, esse interferiscono a formare un’onda risultante sinusoidale che si propaga sempre nella medesima direzione
con 21cos2 mm yy
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35
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36
Onde stationarie
txkytxy m sin),(2
txkytxy m sin),(1
txkytxkytxy mm sinsin),(
txkytxy m cossin2),(
21
21 cossin2sinsinSempre con
Se due onde sinusoidali de stessa ampiezza e lunghezza d’onda si muovono in versi opposti lungo una corda tesa, la loro interferenza genera un’onda stazionaria
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37
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38
L’ ultimo numero
iIl numero immaginario
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39
12 i
Numeri complessi: yixz x,y numeri reali
2cos
ii ee
i
ee ii
2sin
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40
Asse reale
Asse immaginaria
z
x
y
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41
1) Qualsiasi funzione puo’ essere costruita mediante una somma di
txkytxy m sin),(
2) “i” e’ l’ ultimo numero, nel senso che non esiste niente, che non possa essere rappresentato da i
Se non sappiamo come descrivere un fenomeno, usiamo “i”.