$1 le cours d'analyse. première année [] [;] {89s}.pdf
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1-Intégrale de Riemann
Le programme ne précise pas si la définition de l'intégrale de Riemann doit figurer dans le cours. Certains collègues commencent ce cours directement avec la définition de la primitive d'une fonction, et
Ainsi, le théorème fondamental de l'analyse, qui établit le lien entre l'intégration et la dérivation, devient trivial.
A mon avis, ce cours est quand même l'occasion ou jamais de définir l'intégrale de Riemann. Même si on passe sur les détails, on peut donner les trois définitions de ce premier chapitre et évoquer l'interprétation géométrique qui est très liée à la définition des sommes de Darboux.
Subdivisions et sommes de Darboux
Définition Une subdivision d'ordre d'un intervalle est une partie
finie telle que
On notera l'ensemble des subdivisions de .
Exemple [subdivision équidistante] Lorsque avec , on
parle de la subdivision équidistante d'ordre de ; on la note parfois
. Le nombre est le pas (uniforme) de cette subdivision.
Définition La somme de Darboux inférieure resp. supérieure de
relativement à une subdivision sont définies par
resp.
1
où est la longueur du sous-intervalle .
Les sommes de Darboux sont des réels bien définis si la fonction est
bornée, .
Sauf mention du contraire, dans tout ce qui suit, les fonctions considérées seront toujours bornées sur l'intervalle en question, sans que cela soit nécessairement dit explicitement.
Remarque Etudier l'interprétation géométrique des sommes de
Darboux comme aire des rectangles de base , encadrant
l'épigraphe de de en-dessous resp. au-dessus.
Exercice Montrer qu'en ajoutant un point (entre et ) à , la somme de Darboux inférieure (resp. supérieure) croît (resp. décroît). En déduire qu'on a
et
Utiliser le résultat précédent et la subdivision pour montrer que
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Solution .
Remarque Lorsque pour , on dit que est plus fine que
. (C'est une relation d'ordre partiel sur .)
Fonctions Riemann-intégrables, intégrale de Riemann
Définition La fonction est Riemann-intégrable sur ssi les deux nombres
coïncident ; ce nombre est alors appellé l'intégrale de Riemann de sur
(ou de à ), et noté .
L'ensemble des fonctions Riemann-intégrables sur est noté .
Remarque L'existence de et est évidente: il suffit de constater
que les ensembles et sont non-vides
(prendre ) et majorés resp. minorés d'après l'exercice
précédent. On peut aussi montrer que et sont atteints lorsque
le pas de la subdivision, tend vers zéro. La taille de ce pas
induit la structure d'une base de filtre sur , permettant de considérer
la limite de et en .
Remarque Revenir sur l'interprétation géométrique de et , en considérant la limite de subdivisions de plus en plus fines.
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Remarque La ``variable d'intégration'' dans est une ``variable muette'', elle peut être remplacée par n'importe quelle autre variable (qui n'intervient pas déjà ailleurs dans la même formule).
Donnons encore une propsition d'ordre plutôt technique, avant d'énoncer une condition d'intégrabilité suffisante dans tous les cas que nous allons rencontrer.
Proposition (Critère d'intégrabilité de Riemann.) Une fonction est
Riemann-intégrable sur ssi pour tout il existe une subdivision
telle que .
Démonstration Par déf. de et ,
et . Avec , il vient que
. Donc si
, on a la subdivision souhaitée. Réciproquement,
si une telle subdivision existe pour tout , alors et coïncident évidemment.
Théorème Toute fonction monotone ou continue sur un intervalle est Riemann-intégrable.
Démonstration Si est monotone, le et est atteint au bord de
chaque sous-intervalle . On a donc
. Il suffit donc de choisir le pas de la subdivision assez petit,
, pour que ceci soit inférieur à un donné, d'où l'intégrabilité d'après le critère de Riemann. Pour une fonction continue, la démonstration est admise dans le cadre de
ce cours. A titre indicatif: est à remplacer par
, où sont les points de l'intervalle fermé et borné
en lesquels la fonction continue atteint son maximum et minimum. On
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utilise maintenant le fait qu'une fonction continue sur y est
uniformément continue , pour donné il existe (indépendant du
point ) tel que . Donc, pour , on a
. Ceci devient aussi petit que voulu, car on peut prendre des subdivisions équidistantes pour lesquelles
, il suffit donc de prendre assez petit. Pour montrer qu'une fonction continue est uniformément continue sur un
intervalle borné , on peut utiliser que l'ensemble des boules ouvertes
telles que , est un recouvrement ouvert
de , dont on peut extraire un recouvrement fini d'après le théorème
de Heine-Borel. Le minimum de ces correspond au de l'uniforme continuité (au pire pour au lieu de ). (Pour une démonstration du théorème de Heine-Borel, voir ailleurs...)
Corollaire De même, une fonction (bornée!) continue sauf en un nombre fini de points, ou monotone sur chaque sous-intervalle d'une partition finie
de , est Riemann-intégrable . (On peut en effet utiliser l'additivité des
sommes de Darboux , pour
qui entraîne celle de et de même pour .)
Remarque [fonction de Dirichlet] La fonction de Dirichlet,
n'est pas Riemann-intégrable, car on a
En effet, sur chaque il existe un point irrationnel, donc
, mais aussi un point rationnel, d'où . Ainsi et
est somme des longeurs des sous-intervalles et donc égale à .
Remarque Le pas uniforme des subdivisions équidistantes simplifie beaucoup l'expression des sommes de Darboux (exercice!).
On peut montrer que pour , on a
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La réciproque est vraie si est continue.
Sommes de Riemann
Les sommes de Darboux ne sont pas très utiles pour le calcul effectif d'une intégrale, par exemple à l'aide d'un ordinateur, car il est en général assez difficile de trouver les inf et sup sur les sous-intervalles. On considère plutôt
ou
Plus généralement:
Définition Si vérifie , on appelle
une subdivision pointée et
la somme de Riemann associée à la subdivision pointée . Si on pose
de plus , on a
c'est de là que vient la notation .
Théorème Si , alors les sommes de Riemann tendent
vers , independamment du choix des , lorsque la subdivision devient de plus en plus fine.
Démonstration Par définition, il est évident que
. Soit et tel que .
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Alors on a aussi , quel que soit le choix des , et a
fortiori pour tout . D'où le résultat.
Si est continue, atteint son minimum et maximum sur chaque
en un certain et . On obtient donc les sommes de Darboux comme cas particulier des sommes de Riemann, en associant à chaque
des points tels que .
En particulier, lorsque la fonction est monotone, par exemple croissante,
sur un sous-intervalle , alors et . Les sommes de
Riemann et données en début de ce paragraphe coïncident donc avec les sommes de Darboux inférieure et supérieure pour une fonction croissante.
2-Propriétés de l'intégrale de Riemann
Proposition Pour , on a
En particulier, on a
Démonstration L'inégalité est conséquence immédiate de la
définition de resp. . Pour montrer , il suffit de prendre
.
Théorème [de Chasles] Soit . Alors,
et on a la relation de Chasles :
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Démonstration Pour tout , on a évidemment
et . Ceci entraîne
. Le même s'applique à . Ainsi l'intégrabilité sur
et implique celle sur , et la relation de Chasles.
Réciproquement, tout qui contient se décompose en avec
, et on a les mêmes relations pour les sommes de
Darboux. Pour passer à et , on peut toujours supposer , quitte à l'ajouter, sans perte de généralité. On en déduit le théorème. (Exercice: détailler cette démonstration.)
Définition Pour , on définit
et pour , .
Remarque Avec ces conventions, la relation de Chasles est valable quel
que soit l'ordre de (par exemple aussi pour ). C'est en effet la principale motivation pour ces définitions, ce qui laisse deviner l'utilité et importance de cette relation dans les applications. Il convient d'être très vigilant concernant cette généralisation lorsqu'on utilise des inégalités (telles que celles de la Prop. ), qui ne sont
généralement valables que pour .
Proposition est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel
des fonctions de dans , et , est une
forme linéaire sur . Autrement dit, et surtout
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Et :
Démonstration Les sommes de Darboux ne sont pas linéaires (car et ne sont pas additives). Passons donc par les sommes de Riemann, dont
la linéarité, , est évidente, ce qui
donne, par passage à la limite , le résultat souhaité. (Exercice: détailler ceci...)
Proposition Pour , ( ), on a:
(1)
(2)
et (3)
Démonstration (1): et .
(2): .
(3): on a , avec le (2) donc et .
Remarque La réciproque du (1) est évidemment fausse,
n'implique pas . (Contre-exemple: sur .)
Remarque Dans le cas , , on a que est l'aire de l'épigraphe
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Théorème [de la moyenne] Soit (fonction continue de
). Alors
Démonstration étant continue, on a
D'après l'éq. ,
D'après le thm. des valeurs intermédiaires appliqué à (continue) entre
et , on a (ou ) tel que
3-Intégrale de Riemann et primitives
En principe il est possible de calculer des intégrales en utilisant simplement la définition en terme des sommes de Darboux. Or, ceci est généralement assez lourd et difficile. De plus, ayant fait le calcul de l'intégrale sur un intervalle, il faut le refaire pour chaque autre intervalle à laquelle on s'intéresse (à moins de pouvoir faire un changement de variables plus ou moins compliqué).
Exemple Calculer pour et , en utilisant des
subdivisions équidistantes de .
Solution Comme est une fonction croissante sur , elle est intégrable et les sommes de Darboux coïncident avec les sommes de Riemann
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Pour , cette somme est bien connue: , et donc
Pour , il faut utiliser , d'où
(Pour trouver la valeur de , on peut utiliser , et
observer que la pemière expression est la valeur de en . En permutant somme et dérivées, on calcule alors la dérivée de la somme
géométrique égale à , puis sa limite en .)
On voit que la méthode se généralise à n'importe quel , mais pour
les choses se compliquent. Aussi, pour calculer avec
, il faut faire des changements de variables pour se ramener au cas ci-dessus.
L'objet de ce chapitre est d'introduire la notion de primitive d'une fonction, qui permettra d'éviter ce genre de calcul, en utilisant les conclusions du présent et les méthodes des suivants chapitres.
Primitive d'une fonction continue
Soit et une fonction numérique définie sur .
Définition Une fonction est une primitive de dans ssi est dérivable sur , et
dans .
Proposition Si et sont deux primitives de , alors est une
constante sur tout intervalle .
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Démonstration Soit . On applique le théorème des accroissements
finis à la fonction , dérivable sur comme somme de fonctions dérivables. On a donc
Donc , ce qui est une constante, indépendante de qui peut parcourir l'ensemble des points de .
Remarque Le mot «intervalle» est essentiel dans cette proposition: si
est réunion d'intervalles (ouverts) disjoints, peut être différent sur chacun des intervalles.
Existence d'une primitive
Théorème Toute fonction continue possède une primitive ,
donnée par .
Démonstration Vérifions que la fonction convient.
D'abord, cette intégrale existe pour tout car continue sur
donc . Calculons
(relation de Chasles )
D'après le thm. de la moyenne , tel que
Donc
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(NB: Si ou on ne peut considérer que la limite à gauche ou à
droite, tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_inline4476# ou .)
Remarque Ce résultat permet d'identifier l'intégration comme une anti-
différentiation (à une constante près), puisque pour .
Intérêt de la primitive
D'après le thm précédent, est une primitive de , et
d'après la proposition , toute primitive de est égale à , à une
constante près. Donc, si est une primitive quelconque de , alors
, et
en utilisant la relation de Chasles .
Ainsi, la connaissance d'une primitive quelconque d'une fonction sur
un ensemble permet de calculer l'intégrale de sur n'importe quel
intervalle , en appliquant la formule
Ainsi, bien que cela soit possible, on n'utilise dans la pratique quasiment jamais la définition de l'intégrale de Riemann en terme de sommes de Darboux , pour la calculer. Sauf exceptions, on cherchera toujours une
primitive de par les méthodes qui seront développées dans la suite, pour appliquer la formule ci-dessus.
4-Pratique du Calcul intégral
Nous allons ici aborder quelques méthodes pour calculer des primitives d'une large classe de fonctions.
Intégrale indéfinie
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Soit continue. On note l'une quelconque des primitives
de , définie à une constante près que l'on ajoute toujours explicitement.
Exemple . Ici, , on peut donc avoir des
constantes différentes sur et sur . Autrement dit, est une fonction constante sur chaque sous-intervalle de .
On dit que est l'intégrale indéfinie de , alors que s'appelle intégrale définie.
Remarque On utilise la notion d'intégrale indéfinie comme synonyme de primitive. On pourrait faire une distinction plus rigoureuse en définissant
l'intégrale indéfinie comme l'une quelconque des fonctions de la
forme , ou n'est pas spécifié. (C'est ainsi qu'on la détermine et qu'on l'utilise, dans l'esprit du sous-chapitre qui précède.) Les deux définitions sont équivalentes au détail près qu'on n'obtient alors pas toutes les primitives par les intégrales indéfinies: en effet, en changeant la borne inférieure on ne peut pas obtenir toutes les
constantes, si est borné ou si les primitives de sont bornées, si
est finie.
Primitives des fonctions usuelles
Par dérivation, on vérifie aisément la validité des relations données dans le tableau . De même, on vérifie par dérivation (règle de chaîne!) que
avec
Tableau: Primitives des fonctions usuelles
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Cette formule sera étudiée plus en détail dans le paragraphe . Elle permet d'utiliser les formules élémentaires ci-dessus pour toute une classe de fonctions élémentaires «composées». Son application notamment au
cas (et donc ) est immédiate et donne:
Exercice Généraliser le formulaire précédent, en remplaçant dans
l'intégrand par .
Intégration par parties
Proposition Pour , on a
ou encore, avec et en utilisant les intégrales définies:
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Démonstration On a
D'où (en absorbant la constante d'intégration dans les intégrales indéfinies) la première partie de la proposition. La deuxième partie s'obtient en prenant la valeur en moins la valeur en .
Remarque Cette relation est souvent utilisé pour diminuer
successivement le degré d'un polynôme qui multiplie une fonction
que l'on sait intégrer. Elle sert aussi pour l'intégration des expressions faisant intervenir les fonctions trigonometriques, où l'on retombe sur la fonction d'origine après deux intégrations.
Exemple Calculons la primitive . On posera deux fois
successivement :
Exemple Calculons la primitive . On posera successivement
, puis :
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On met tous les dans le membre de gauche et obtient après division par 2:
Formule de Taylor avec reste intégral
Comme application importante de l'intégration par parties, démontrons le Théorème [formule de Taylor avec reste intégral]
Pour et , on a
(4)
(Rappel: on note les fonctions fois continûment dérivables sur .)
Cette formule de Taylor avec reste intégral est historiquement la première parmi les différentes formules de Taylor (cf. chap. , page ), trouvée par Monsieur Brook Taylor (1685-1731).
Elle sert pour le calcul de développements limités qui seront étudiés au chapitre suivant. Elle donne une approximation polynômiale de la fonction
au voisinage de : en effet, si est proche de , alors les termes de la
forme deviennent très petits, d'autant plus que est élevé. Le dernier terme, appelé «reste intégral» du développement, tend encore
plus vite vers zéro que (comme on le démontre au chapitre ).
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Démonstration Pour , la formule est vraie: en effet, elle s'écrit dans ce cas
ce qui exprime simplement le fait que est une primitive de , lorsque
.
Supposons maintenant ( ) vraie pour un certain , et que
admette une dérivée continue sur . Ainsi, les deux facteurs dans le reste intégral vérifient les conditions suffisantes pour pouvoir faire
une intégration par partie, avec et
. Alors
La borne supérieure du crochet donne zéro et pour la borne inférieure les
signes se compensent, on a donc
et en reportant ceci dans ( ), on trouve la formule au rang .
Changement de variable d'intégration
Proposition Soit continue et un difféomorphisme, une
bijection telle que et soient continûment dérivables. Dans ce cas,
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avec
Autrement dit, est une primitive de . En terme d'intégrales définis, on a
Démonstration Il faut et il suffit de montrer que a comme dérivée
. Or, d'après la règle de chaîne, on a
Or, et (ce qui se montre en dérivant
). Donc
Pour une intégrale définie, on a donc
ce qui revient au même que la formule donnée dans l'énoncé avec
et .
Applications -- Disposition pratique:
Ce théorème permet de calculer si l'on sait calculer , ou réciproquement. Il est à la base de tout «l'art de l'intégration », qui
consiste à trouver les bons changements de variables .
Dans la pratique, on écrit alors
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On écrit symboliquement , et on substitue ces deux équations dans l'intégrale en question:
Puis, ayant trouvé la primitive du membre de droite, on retourne à la
variable en substituant .
Exemple Calculons la primitive sur l'intervalle . Posons . C'est justifié car est une bijection différentiable
de sur , et la fonction réciproque est également dérivable à l'interieur de cette intervalle. D'où
N.B.: En terme des définitions de la proposition, on a travaillé avec
plutôt qu'avec ; c'est souvent plus ainsi qu'on procède dans la pratique.
Remarque Il faut s'assurer que la fonction est effectivement une bijection, généralement en considérant ses propriétés de monotonie. Dans le cas echéant, il faut découper l'intervalle d'intégration en des sous-
intervalles sur lesquels est monotone.
Formule de la moyenne généralisée.
Comme application intéressante des changements de variable, considérons le
Théorème [de la moyenne, généralisé.] Soient et sur ][a,b. Alors,
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Exercice Démontrer ce théorème, en étudiant la fonction
pour justifier le changement de variable .
Solution: La fonction est bien définie ( intégrable car continue) et
dérivable sur , avec sur . Donc est strictement
croissante sur ][a,b, et idem pour , qui est donc bijection de sur
. est dérivable et . Ainsi on peut faire le changement de variable pour passer de à :
En utilisant le théorème de la moyenne pour ,
on a le résultat cherché, avec (puisque ).
Intégration de fractions rationnelles: décomposition en éléments simples
Dans ce (long) chapitre, on montre comment on trouve une primitive pour
toute fraction rationnelle , où sont de polynômes. On procède par étapes, en illustrant la théorie à l'aide de l'exemple
La première partie de ce chapitre est plutôt algébrique: nous citons et utilisons ici plusieurs théorèmes importants d'algèbre sans démonstration, qui n'a pas sa place dans ce cours d'analyse.
Division euclidienne
1 étape: On utilise le
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Théorème [et définition: division euclidienne]
Soient , . Alors il existe un unique couple de tel que
et
On dit que est le quotient et le reste de la division euclidienne de par .
Ainsi on peut écrire
avec . Le polynôme s'appelle partie entière de la fraction rationnelle.
Exemple On effectue la division euclidienne comme suit:
On a donc
Polynômes irreductibles
2 étape: On considère donc dorénavant une fraction rationnelle
telle que . Pour procéder, on pose
Définition Les polynômes irréductibles (sur ) sont les polynômes de
degré 1 et les polynômes de degré 2 sans racine réelle ( avec
). Un polynôme est unitaire ssi le coefficient du terme de plus haut degré est 1.
On se servira du
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Théorème Tout polynôme de se décompose de manière unique en un produit de la forme
c'est à dire d'une constante qui est le coefficient du terme de plus haut
degré de , et de polynômes irréductibles unitaires: sont les racines
(distinctes) de , leurs multiplicités, et les facteurs de degré 2 sont
sans racine réelle ( avec ).
On utilise cette décomposition pour le polynôme au dénominateur de la fraction rationnelle. On suppose de plus que le numérateur n'a pas de facteur commun avec le dénominateur, sinon on simplifie par ce facteur commun.
Exemple Pour trouver la factorisation , on commence par chercher des racines ``évidentes'' en tâtonnant (i.e. en essayant pour les valeurs
0, ,...). On trouve que et , donc
divise . On effectue la division euclidienne
Or, , par conséquent,
En effet, est un trinôme du 2 degré à discriminant négatif.
Pôles et éléments simples
3 étape
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Définition On dit que , est une fraction rationnelle irréductible ssi les polynômes et sont sans facteur commun. On appelle pôles de la fraction rationnelle irréductible les racines du polynôme .
Soit la décomposition irréductible de .
On appelle éléments simples de espèce relatifs aux pôles , les fonctions rationnelles du type
où les sont des constantes réelles. On appelle éléments simples de espèce relatifs aux polynômes
irréductibles , les fonctions rationnelles du type
où les sont des constantes réelles.
Exemple Décrire les éléments simples de
éléments simples de espèce : · le pôle de multiplicité 2 2 éléments simples :
· pôle de multiplicité 1 1 éléments simple : .
éléments simples de espèce : · 1 seul, associé au facteur
irreductible : .
Attention : il faut toujours d'abord s'assurer de la décomposition complète
du dénominateur! Par exemple, aurait pu être écrit comme
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; ce qui ne permet pas de voir immédiatement les éléments simples.
Théorème Soit une fct. rationnelle irréductible . Alors
1. Si , (div.euclidienne de par ), on a
dans .
2. se décompose de manière unique comme somme de tous les éléments simples relatifs à :
Exercice Donner la structure de la décomposition en éléments simples de
. On a
(*)
NB: quand on ne demande que la structure de la décomposition, on peut
laisser les indéterminées.
Calcul des coefficients d'une décomposition en éléments simples
4 étape: (la plus dure...)
(a) : POUR LES PÔLES SIMPLES DE MULTIPLICITÉ 1
On multiplie l'éq. (des) par , et on prend : dans le membre
de droite ne survit que , dont la valeur est donné par le membre de
gauche, avec (simplifié).
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Par exemple, appliquons ceci au calcul de : En multipliant (*) par
, on a
et en posant ,
(b) : LES COEFF. DES PÔLES DE MULTIPLICITÉ
Pour trouver le coefficient qui correspond à un pôle d'ordre , on
multiplie par , puis on prend : de manière analogue à ce qui précède, on trouve le coeff. recherché.
Dans notre exemple, on détermine ainsi en multipliant par :
et en prenant , .
(c) : LES COEFF. DES FACTEURS QUADRATIQUES
On peut appliquer la même méthode, mais avec les racines complexes de
ces facteurs . Pour celà, on multiplie par le facteur
, puis on prend égal à une des racines complexes du
facteur, pour trouver (avec la partie réelle et imaginaire) les coeff. et
: Dans notre cas,
les racines sont donc les 2 racines 3 non-triviales de l'unité, .
(En effet, il convient de vérifier que est vraiment un pôle en calculant
.)
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En multipliant (*) par
et en prenant , on trouve ainsi
ce qui donne (partie réelle et imaginaire) les coefficients et après un petit calcul. Cependant, ici ce calcul de nombres complexes est un peu lourd et on utilisera plutôt une autre méthode, par exemple celle des limites.
(d) : LES AUTRES COEFF. DES PÔLES DE MULTIPLICITÉ
Ces coefficients peuvent aussi se calculer par la méthode du
changement de variable . Ceci nous ramène à un pôle en . Pour calculer les coefficients associés à ce pôle, on fait la division par les
autres facteurs de suivant les puissances croissantes en , à
l'ordre ; on s'arrête lorsque le reste ne contient que des termes de
degré supérieur ou égale à , de façon à pouvoir mettre en facteur .
Le quotient donne alors tous les coefficients associés au pôle .
Exemple Dans notre exemple, le changement de variable est
, donc
On divise alors par suivant les puissances croissantes, à l'ordre 1:
D'où:
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En divisant par , on a donc
et on déduit du premier terme que et .
NB: cette méthode est surtout intéressante s'il y a un pôle de multiplicité
élevée ( ) et peu d'autres facteurs dans , ou alors s'il s'agit dès le début d'un pôle en (ce qui évite le changement de variable).
(e) : MÉTHODES GÉNÉRALES POUR LES COEFF. RESTANTS (i) : méthode des limites
Cette méthode consiste à multiplier d'abord par la plus basse puissance qui intervient dans la décomposition en éléments simples, et de prendre la limite (où il suffit de garder les puissances les plus élevées). Ainsi, on a dans le membre de droite la somme des coefficients qui correspondent à cette puissance, qui permet de déterminer un coefficient en terme des autres.
Exemple Dans notre exemple, on multiplie par , la limite donne alors
et donc . (ii) : méthode des valeurs particulières
Une autre méthode consiste à simplement prendre des valeurs particulières pour (différents des pôles) et ainsi d'avoir un système d'équations qui permettra de déterminer les coefficients manquants.
Exemple Dans notre exemple, prenons :
et donc .
Remarque: dans le cas général, il faut ainsi créer un système d'autant d'équations (indépendantes) qu'il reste de coefficients à déterminer.
(iii) : par identification
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La méthode générique qui marche toujours mais qui n'est pas toujours pas la plus rapide, consiste à réécrire la somme des éléments simples sur
le dénominateur commun qui est , et d'identifier les coeff. des
mêmes puissances de du membre de gauche (coefficients de ) et du
membre de droite (les multipliés par une partie des facteurs de
).
Ainsi on obtient un système d'équations linéaires dont la solution donne les coefficients (manquants).
Application au calcul de primitives
Avec la technique étudiée dans ce chapitre, on peut intégrer toute fonction
rationnelle . En effet, on commence par simplifier par les
facteurs irréductibles de pour désormais pouvoir supposer
irréductible. Ensuite, au cas ou , on effectue la division euclidienne pour avoir
avec
Enfin, on décompose en éléments simples. On n'a donc plus qu'à trouver les primitives pour les deux types d'éléments simples,
et La première intégrale ne pose pas de problème, sa primitive est
si et si Considérons donc le 2e type d'intégrale. On l'écrit d'abord sous la forme
avec et . Ainsi, le premier terme est de la forme
, avec la primitive (resp. pour ).
Tout ce qui reste donc à calculer est la primitive ( ).
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Pour ce faire, on se ramène par un changement de variable à cette
intégrale avec et avec , en posant successivement ,
puis ).
Pour calculer , on pose , , . [justifier ce chgt de variable !] Alors
(rappel: ). Pour , une primitive est . Sinon, on fait une intégration par partie d'un facteur pour diminuer l'exposant de 2:
où la dernière ligne est obtenue en faisant passer toutes les
dans le membre de gauche puis en divisant par le coefficient . Avec
et , on a enfin
ce qui permet, avec , de calculer pour tout .
Remarque Dans la pratique, on effectue le changement de variables pour
passer de à en une seule fois.
Exemple On écrira par exemple
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avec .
Primitives des fonctions rationnelles de et
Définition On dit que est une fonction rationnelle de et s'il
existent des polynômes (en 2 variables) ( ,
idem pour ) tels que .
Exemple : ici, , .
Méthode d'intégration:
On distingue 3 cas (aide mnémotechnique: la nouvelle variable est chaque fois invariante sous la transformation considérée)
si , on pose (invariant, or )
si , on pose (invar., or )
si , on pose (invar., mais , chgt de signe)
Exemple . On pose , , donc
on arrive ainsi à une simple fraction rationnelle à intégrer, et on substituera finalement dans le résultat.
Autres fractions rationnelles
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Dans les cas suivants, on peut encore se ramener à la recherche d'une primitive d'une fraction rationnelle:
Théorème
a) :
on pose . Avec , , on retrouve une fraction rationnelle en .
b) avec :on pose
et on retrouve encore une fraction rationnelle en .
c) :On transforme la racine en une des formes suivantes:
: on pose alors
: on pose alors
: on pose alors ou
Dans chacun des cas, on retombe sur une fraction rationnelle d'un
des types qui précèdent (avec ou ).
Exemple : on a , on posera
donc , d'ou , et
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La notion de fonctions équivalentes devrait être connue du cours
d'Analyse 1, sous la forme . On la réintroduit ici en utilisant la nouvelle notion de fonctions négligeables, qui est très utile notamment dans le cadre des développements limités.
Fonctions négligeables
Dans ce qui suit, on considère des fonctions à valeurs dans ,
définis sur un voisinage pointé d'un point , au voisinage de sauf eventuellement en ce point même. (On rappelle que
constitue une base de voisinages de ).
Pour ne pas trop alourdir les notations, on convient qu'une égalité entre fonctions sous-entend la restriction à l'intersection des domaines de définition.
Définition La fonction est dite négligeable devant au voisinage de , ss'il existe un voisinage pointé de et une fonction de limite
nulle en , telle que (dans ). On écrit
t.q. et
On appelle la notation de Landau et la notation de Hardy.
Exemple On a .
Exemple La fonction nulle est négligeable devant toute fonction en tout point (prendre ). D'autre part,
(car ) dans un voisinage de .
Remarque Alors que la notation de Hardy paraît plus «logique», on utilise dans la pratique plus souvent celle de Landau, car elle permet l'abus de notation très pratique qui consiste à écrire
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au lieu de
Lorsqu'on utilise cette notation, chaque terme représente une fonction quelconque de , négligeable devant , mais à priori inconnue et
différente d'un éventuel autre terme . On prendra aussi garde de toujours préciser le point auquel la relation de
négligence s'applique. Ainsi on peut avoir mais pour différents.
Exemple Si est bornée et tend vers l'infini, alors .
Exemple On a ssi (car alors ), et l'opposé au voisinage de 0.
Exemple On a et pour tout . (Exercice: pourquoi?)
La proposition suivante permet de trouver autant d'exemples que l'on souhaite:
Proposition Si la fonction est définie dans un voisinage pointé de ,
alors .
Démonstration Exercice. (Il suffit d'utiliser ).
Remarque Le seul cas ou n'est pas défini dans un voisinage de est
celui ou a une infinité de zéros dans chaque voisinage ( aussi près que
l'on veut) de , par exemple pour .
Proposition La relation est transitive ,
et compatible avec la multiplication,
pour toutes fonctions .
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Démonstration Exercice. (Il suffit de substituer , , etc.)
Remarque Attention: la relation n'est pas compatible avec l'addition!
Par exemple, et , mais .
Remarque Dans la pratique, on utilise donc la notation (voire )
pour représenter une fonction quelconque, à priori inconnue, telle que
. On écrit ainsi par exemple ,
...
Attention: Il convient de garder en mémoire que le symbole correspond, chaque fois qu'il apparaît, à une nouvelle (autre) fonction .
On a ainsi par exemple , mais
seulement .
Noter aussi que pour , ( ), mais malgré cette
«égalité», !
Fonctions équivalentes
Définition On dit que est équivalent à au voisinage de ssi est
négligeable devant ; on écrit
Proposition Si est défini dans un voisinage pointé de , alors
.
Démonstration Exercice (utiliser la déf. pour m.q. ).
35
Remarque La présente définition de fonctions équivalentes est donc plus générale que celle en terme de limite, car elle s'applique aussi dans les
cas ou n'est pas bien défini, voir Rem. .
Proposition La relation est une relation d'équivalence , elle est
reflexive ( ), symétrique ( ) et transitive:
et
Démonstration Exercice (encore avec etc.).
Proposition [limites] Si , alors existe ssi existe, et si elles existent, ces deux limites sont égales.
Proposition [produit, quotient, puissance] On peut prendre le produit, quotient (lorsqu'il est défini) et une puissance quelconque d'équivalences .
Démonstration Exercice (avec etc.).
Remarque Dans le cas général, on ne peut additionner des équivalences:
mais .
Proposition [composée] Soit et t.q. alors
.
Démonstration exercice (comme avant, on trouve ).
Proposition [comment trouver des équivalents]
i) si
ii) , pour continue dans un voisinage (pointé) de .
Démonstration D'après la définition, si , alors
, donc . Utilisons ceci avec la définition de la
36
dérivée: , et en multipliant cette équivalence par , il vient le (i).
Le (ii) est équivalent à . Montrons que
. Soit donc ; on a . Or,
, donc et .
Développements limités : définition et propriétés
Les développements limités consistent grosso modo à trouver une approximation polynômiale à une fonction plus compliquée, au voisinage d'un point choisi. Ils ont de nombreuses applications dans d'autres sciences (physique,...), mais aussi dans les mathématiques elles-mêmes, en particulier en analyse numérique.
D.L. d'ordre en
Définition On dit que admet un ssi il existe un polynôme
et une fonction t.q.
et
On appelle alors la partie régulière du DL, et le reste
d'ordre , que l'on note aussi .
Exemple [fondamental] ,
donc admet un de partie régulière et de
reste .
Remarque On permet le cas , mais les seuls cas utiles sont ceux ou
(adhérence de ), par exemple ou .
Remarque Il faut insister sur le fait qu'un développement limité est une stricte égalité mathématique, il ne faut donc jamais «oublier» le reste en faveur de la partie régulière. D'ailleurs, dans certains cas le reste peut être plus intéressant que la partie régulière.
37
Remarque Comme la formule simplifie pour , on se ramène
souvent à ce cas en considérant , en faisant un changement
de variables , puis un , dans lequel on resubstitue
finalement .
Corollaire (Conséquences de la définition.) -- On se limite ici aux cas
ou est un intervalle, éventuellement privé du point .
Si admet un DL en , alors admet une limite en , égale à
. Si , cela implique que est continue en . Sinon,
admet un prolongement par continuité en (en posant
), dont le DL coïncide avec celui de .
Si admet et , alors est dérivable en et
.
Exemple Pour , , n'est pas définie en 0 mais
admet un (de partie régulière nulle et avec ) et donc
une limite (nulle) et donc un prolongement par continuité en 0. Pour
, ce prolongement est dérivable en 0 ( partie du corrolaire) (avec
), mais la dérivée n'est pas continue en 0 si : en effet
n'admet pas de limite en 0
pour .
Remarque L'exemple précédent montre que même si admet un DL à un ordre aussi élevé qu'on veut, cela n'implique jamais que la dérivée soit continue, et donc encore moins que la fonction soit deux fois dérivable! (Prendre arbitrairement grand dans l'exemple .)
Unicité du D.L.
38
Lemme [troncature] Si admet un de partie régulière , alors
admet , dont la partie régulière sont les termes de
degré de .
Démonstration Exercice facile: il suffit de montrer que les termes
avec peuvent s'écrire comme reste d'ordre :
avec
Théorème [unicité] Si admet un DL , il est unique, et sont uniques.
Démonstration (par recurrence). Pour , et
sont déterminés de façon unique. Supposons que le
de est unique, et que admet un ,
. D'après le Lemme qui précède,
avec est
un de . D'après l'hypothèse de récurrence, ainsi que le
reste sont uniques. Or, . Ce coefficient, et
sont donc également uniques.
Remarque Autre démonstration: soit
, avec
et . En considérant de
l'équation précédente, on a . Si , on peut alors soustraire
de cette équation, la diviser par (pour ), et on repart du début avec une équation du même type mais avec diminué d'un
39
rang, de laquelle on déduit , etc... Quand enfin on arrive à , ayant identifié le terme constant et soustrait des deux membres,
l'équation devient , d'où également l'unicité des restes.
Corollaire paire (par rapport au pt. ) pair,
.
Démonstration paire , donc (en
comparant partie régulière du de et de ).
Existence des D.L. -- Formules de Taylor
Dans ce paragraphe, on affirme l'existence du D.L. pour les fonctions suffisament dérivables, et on précise en même temps une expression explicite des coefficients de la partie régulière en terme des dérivées de la fonction au point du D.L.
Théorème [de Taylor-Lagrange] Si est fois continûment dérivable
sur , alors admet un de partie régulière
(de coefficient ), avec le reste de Lagrange d'ordre ,
Remarque A titre mnemotechnique, le reste d'ordre a donc la même
expression qu'un terme d'ordre de la partie régulière, sauf que le «coefficient» n'est pas une constante dans la mesure ou le point ci-dessus dépend de .
Démonstration Avec l'hypothèse de ce théorème, nous avons déjà démontré la formule de Taylor
40
avec le reste intégral d'ordre ,
dans le chapitre (page ), comme application de l'intégration par parties . Pour que cette formule corresponde effectivement à un D.L., il
faut montrer que est négligeable devant , lorsque . Pour cela, utilisons le théorème de la moyenne généralisée, avec
pour . Il existe donc tel que
Cette dernière intégrale vaut
d'où la formule du reste de Lagrange (avec ).
étant continue donc bornée sur , on a que tend
vers zéro, c'est à dire .
Remarque On peut montrer que le théorème reste vrai sous la condition
moins forte que existe et soit fois dérivable sur .
Par exemple, , admet un de partie régulière nulle et de
reste . La dérivée n'est pas définie en
0, mais le reste peut néanmoins s'exprimer comme avec . La formule avec reste intégral reste en effet vraie dans ces conditions,
mais le est en général une intégrale impropre, définie comme
, qui converge (C'est à dire cette limite existe et elle
est finie), car la primitive s'exprime en termes de qui est continue par hypothèse.
(Dans l'exemple précédent, on a l'intégrale impropre qui
converge car la primitive admet une limite en 0.)
41
Remarque Dans le cas particulier (mais fréquent) où , et en posant
avec , la formule de Taylor-Lagrange s'appelle formule de MacLaurin:
Une autre version de la formule de Taylor, nécessitant une hypothèse moins forte, mais donnant un résultat plus faible, est le
Théorème [Taylor-Young] Si existe, alors admet de partie régulière
Nous en admettons ici la démonstration, on peut p.ex. consulter [Ramis & al, Cours de Math Spé, III] .
Application : D.L. de quelques fct élémentaires
En utilisant la formule de Taylor, on obtient les DL(0) des fonctions
élémentaires donnés ci-dessous, où représente
une fonction inconnue de la forme , avec .
42
Les fonctions et ont comme DL les termes en
puissances paires resp. impaires de , ce sont donc ceux de ,
mais avec des signes + partout. (En effet, et
.)
Opérations sur les D.L.
Combinaison linéaire, produit et quotient de D.L.
Proposition Si admettent des de partie régulière resp. ,
alors et admettent des de partie régulière
resp. des termes de degré de .
Si , admet un de partie régulière obtenue par division
selon les puissances croissantes, à l'ordre .
Démonstration Il suffit de remplacer par leur D.L. et de développer les expressions. (Exercice: détailler ceci!)
Exemple Obtenir le de par division des de et .
Solution: on trouve
.
Intégration d'un D.L.
Proposition Si est dérivable et admet un , de partie
régulière , alors admet un de partie
régulière .
Remarque On ne peut en général dériver un DL, même si dérivable. Ex:
admet mais n'a pas de limite en 0 donc pas de DL à aucun ordre.
43
Composée de D.L.
Proposition Si admet un de partie régulière et admet un
de partie régulière , alors admet un de partie
régulière obtenue par les termes de degré de (polynôme composé).
Exemple avec .
Application des D.L. : Etude locale d'une courbe
On considère définie sur admettant un de
partie régulière , t.q. .
Alors la tangente à la courbe de a pour équation ,
et la position de par rapport à est donnée par le signe de :
cas: pair.
le point est dit ordinaire
au dessus de , en-dessous de ,
Si extremum; dans ce cas: minimum et
convexe, et maximum et concave au voisinage de .
cas: impair.
est un pt. d'inflexion, traverse en .
Convexité et concavité à droite et à gauche de selon le signe de
(cf. ci-dessus).
Exercice Faire un dessin représentatif pour chacun des 4 cas possibles (
pair/impair, et )
44
D.L. en
Définition On dit que , (resp. ), admet un
(resp. ) ssi t.q.
(avec toujours une fonction de la forme , ).
Donc admet un ssi admet un ; c'est ainsi
qu'on détermine dans la pratique les (même si on n'écrit pas
explicitement le changement de variables ).
Corollaire Si admet un , alors admet une limite finie en
(comme dans le cas d'un ).
Remarque Si s'écrit comme différence de deux fonctions qui
n'admettent pas une limite finie, peut quand même admettre un lorsque ces deux fonctions sont équivalentes en l'infini. Pour le trouver, on met en facteur une fonction équivalente (généralement une puissance de
), pour pouvoir faire un D.L. de l'autre facteur (différence de deux DL). Si suffissament de termes des deux DL s'anullent, il est possible que le produit soit un D.L. au sens strict (sinon c'est un D.L. généralisé).
Exemple de : Séparément les deux
racines n'admettent pas de . Or, , et en utilisant
on a
, En
développant, on a , d'où le résultat cherché.
45
Application : étude d'une branche infinie en
Pour trouver l'asymptote (si elle existe) à la courbe d'une fonction , on
cherche un de la fonction . Si ,
alors , donc la droite d'équation
est asymptote à .
Remarque On peut renoncer à l'introduction de la fonction , et faire le «
» directement à partir de la fonction . Cependant, l'expression
n'est pas un au sens strict de la
définition, à cause du premier terme qui n'est pas un polynôme en .
La position de par rapport à au voisinage de l'infini se déduit du signe
de . Pour le connaître, on peut chercher le prochain terme
non-nul dans le de . Si avec ,
alors on a . Le signe de indique donc
la position de par rapport à : pour , est au-dessus de au
voisinage de , sinon en-dessous. Le même raisonnement s'applique au
voisinage de , en tenant compte du signe de : ici c'est qui indique si est au-dessus ou en-dessous de .
Si la courbe a une convexité ou concavité définie au voisinage de , est convexe ssi elle est au-dessus de , sinon concave; c'est tout à fait
analogue à l'étude locale en un point , sauf que l'asymptote joue le rôle de la tangente.
Notons que peut ne pas admettre de avec assez grand pour déterminer la position par rapport à , comme c'est le cas pour
; ici on peut toutefois affirmer que est au-dessus de
.
46
Sous-sections
Introduction -- définitions générales
Une équation différentielle (ED) d'ordre est une équation faisant
intervenir une fonction ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre . Par exemple, une telle équation pourrait être
Dans le 2e exemple, il est sous-entendu que est fonction de , ou plutôt
que signifie l'application : c'est en effet une égalité entre fonctions.
Définition L'équation différentielle d'ordre la plus générale peut toujours s'écrire sous la forme
ou est une fonction de variables. Nous ne considérons que le cas
ou et sont à valeurs dans . Une solution à une telle équation
différentielle sur l'intervalle est une fonction (une fonction
qui est fois continûment dérivable) telle que pour tout , on
ait .
Exercice Vérifier que
• est une solution à la 1e équation sur tout , pour tout
fixé;
• est une solution à la 2e équation, sur , pour tout
.
47
Remarque Pour des raisons qui seront développés dans la suite, on dit aussi ``intégrer l'ED'' au lieu de ``trouver une solution à l'ED''.
Dans ce chapitre, on donnera des méthodes pour trouver l'ensemble de toutes les solutions à une certaine classe d'équations différentielles.
Equations différentielles du ordre
Définition Une équation différentielle est du 1er ordre si elle ne fait
intervenir que la première dérivée .
Eq.diff. à variables séparées
Définition Une équation différentielle de 1er ordre est dite à variables séparées si elle peut s'écrire sous la forme
Une telle équation différentielle peut s'intégrer facilement: En effet, on
écrit , puis, symboliquement,
(On écrit ici explicitement la constante d'intégration arbitraire (qui est déjà implicitement présente dans les l'intégrales indéfinies) pour ne pas l'oublier.)
Il s'agit donc d'abord de trouver des primitives et de et de , et
ensuite d'exprimer en terme de (et de ):
C'est pour cette raison que l'on dit aussi «intégrer» pour «résoudre» une équation différentielle.
Exemple Résoudre sur l'équation différentielle
. On peut «séparer les variables» ( et ) en divisant
par , ce qui est permis ssi (car d'après l'énoncé). On a
48
avec , soit ( )
(On a simplifié en utilisant que .) En prenant l'exponentielle de cette equation, on a finalement
avec : en effet, le signe de tient compte des deux
possibilités pour , et on vérifie que est aussi solution
(mais pour laquelle le calcul précédent, à partir de la division par , n'est pas valable.)
Détermination de la cte. d'intégration
La constante d'intégration est fixée lorsqu'on demande que pour un
donnée, on ait une valeur donnée de . (On parle d'un problème aux valeurs initiales.) On arrive au même résultat en travaillant dès l'intégration de l'équation différentielle avec des intégrales définis:
La fonction ainsi obtenue est directement telle que , sans passer par la détermination de la constante d'intégration.
Equations différentielles linéaires
Définition Une équation différentielle d'ordre est linéaire ssi elle est de la forme
avec
49
Proposition L'application qui à la fonction associe la nouvelle
fonction , est une application linéaire .
Démonstration En effet,
et pour tout ,
Définition L'équation différentielle
s'appelle équation homogène associée à .
Proposition L'ensemble des solutions à est le noyau de
l'application linéaire , c'est donc un sous-espace vectoriel de .
L'ensemble des solutions à est donné par
avec
les solutions sont de la forme , ou est une solution particulière
de , et parcourt toutes les solutions de l'équation homogène .
50
Démonstration La première partie est évidente. En ce qui concerne la
partie, d'une part toute fonction de la fome est solution de : en
effet, . D'autre part, soient et
solutions à , alors on peut voir comme la solution particulière et
toute autre solution vérifie ,
donc la différence est bien une solution à , donc un
élément de .
Principe de superposition
Si , une solution particulière est donnée par ,
où est une solution à (pour ).
C'est une conséquence directe (voire la définition) de la linéarité de l'opérateur .
On reviendra sur ce principe très important (voire fondamental notamment en ce qui concerne les lois de la nature) dans les cas particuliers des équations différentielles linéaires du 1er et du 2nd ordre.
Equations différentielles linéaires du ordre
Définition Une équation différentielle linéaire (EDL) du 1er ordre est une équation différentielle qui peut s'écrire sous la forme
ou sont des fonctions continues sur un même intervalle , et on
demandera .
A cette équation différentielle on peut associer la même équation avec :
C'est l'équation homogène associée à (EDL), ou équation sans second
membre. (On la note aussi ou .)
Structure de l'ens. de solutions
51
Proposition L'ensemble des solutions à est un sev. des fonctions
. L'ensemble des solutions à (E) est obtenu en ajoutant à toutes les
solutions de une solution particulière quelconque de .
Démonstration On vérifie que la fonction nulle et fois une solution à
sont toujours des solutions à , donc c'est un s.e.v.
On vérifie que si on a deux solutions et à , alors leur différence est
solution à . Donc réciproquement on obtient tous les en ajoutant
à un quelconque tous les
Résolution de l'équation homogène associée
En effet, est une équation différentielle à var.séparées , en
l'écrivant . En l'intégrant, on obtient
et avec
Solution particulière par variation de la constante
On cherche la solution particulière sous la forme , avec une
fonction à déterminer (``variation de la constante''). On trouve que est solution ssi
(on peut intéger car c'est une composée de fct.continues , et on peut
oublier la constante car elle correspond à une solution de ). Une solution particulière est donc
52
et la solution générale est donc
Exemple Résoudre sur l'équation différentielle
Solution: Résolvons d'abord sur l'équation homogène
On obtient
La solution générale de est donc
(avec pour tenir compte des valeurs absolues, et étant solution aussi).
Cherchons ensuite une solution particulière de sous la forme
(tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_inline2302# est ici une fonction continûment dérivable sur ).
On a alors ce qui donne dans (E):
et comme dans la théorie générale (et c'est toujours ainsi par
construction), il ne reste que le terme en , soit:
On intègre par partie, en posant
ce qui donne
53
Sur , ; une solution particulière est donc obtenue pour ,
et la solution générale de est donné par
Remarque Si et sont deux solutions particulières à , alors est
solution de , et la solution générale à est
arbitraire
Changement de variable
De façon générale, pour résoudre une équation différentielle du 1er ordre, il faut trouver un moyen d'arriver à une équation différentielle à variables séparées . La méthode de la variation de la constante est en effet un moyen de passer de l'équation différentielle linéaire inhomogène (qui n'est pas à var.séparées) à une équation pour la nouvelle fonction
(où , solution homogène, est une fonction connue,
lorsqu'on a résolu ) qui est en effet à variables séparées.
C'est donc en fait un changement de variable qui fait passer de l'équation
pour à une équation plus simple pour , que l'on sait intégrer, et dont la
solution permet de remonter à .
De façon analogue, il existe souvent un changement de variable qui
permet de passer d'une équation différentielle quelconque pour à une équation différentielle linéaire pour une nouvelle fonction , que l'on sait
résoudre, et qui permet ensuite de trouver .
Exemple L'équation de Bernoulli devient une
équation linéaire ( ) pour .
L'équation de Ricatti admet la solution évidente
, et on trouve les autres solutions en posant ; ce qui donne en
54
effet une équation linéaire ( ) pour . (Exercice: resoudre ces deux équations différentielles.)
Equations différentielles linéaires du ordre à coefficients constants
On s'intéresse mainenant aux équations différentielles du 2e ordre, mais
seules aux EDL ou les coefficients sont des constantes réelles.
Définitions
Définition Une EDL du ordre à coeff. constants est une équation différentielle de la forme
ou ( ), et ( ouvert de ). L'équation homogène (ou sans second membre) associée est
D'après les résultats généraux on sait que l'ensemble des solutions à
est un e.v., et que la solution générale à est de la forme
(...).
Nous admettons les résultats supplémentaires:
Proposition
Pour tout et , admet une unique solution telle que
, .
Les solutions à sur forment un e.v. de dimension 2 (sur ), noté
.
Si sont deux solutions indépendantes de ( libre dans
), alors est une base de , c'est à dire
.
55
Pour , on définit le wronskien ,
Si pour un , alors pour tout , et c'est une CNS
pour que soit linéairement indépendant et donc une base de .
Résolution de l'équation homogène associée
On cherche la solution sous la forme , . On a donc et
, donc devient .
Définition L'équation
se nomme équation caractéristique de .
Proposition le signe de , on a les résultats suivants:
:
admet 2 racines réelles distinctes , et
est une base de . :
admet 1 racine double , et est une base
de .
:
admet 2 racines complexes conjuguées et (
, ), et est une base de
.
56
Dans chacun des cas, la solution générale à est donc
avec .
Démonstration
:
Il est clair que sont solutions à . Leur wronskien est égal à
donc sont indépendants et base de . :
On vérifie que est solution de : ,
et donc
car en effet
(comme ).
Le wronskien est égal à
donc sont indépendants et base de .
:On a
et donc
les coefficients étant la partie réelle et imaginaire de . Le
calcul est identique pour .
57
Le wronskien est égal à
car , donc sont indépendants et base de .
Ainsi, on a dans tous les cas possibles.
>>>>>Solution particulière à
On distingue encore 2 cas particuliers et une méthode générale:
ou et (un polynôme).
On cherche la solution sous la forme , ou est un polynôme. dont on peut préciser le degré:
- si n'est pas racine de , alors ;
- si est l'une des deux racines de , alors ;
- si est racine double de , alors .
• Remarques:
i) Cette méthode s'applique notamment pour , c-à-d. .
ii) On peut aussi chercher une solution sous la forme , où
est une fonction à déterminer; en remplaçant ceci dans , on obtient une équation différentielle pour , de laquelle on tire (qui doit
être égal à , modulo les ctes d'intégration qui correspondent à une solution homogène). Ce procédé est en fait équivalent à la méthode de la variation de la constante.
où .
On distingue encore une fois deux cas :
58
i) n'est pas racine de : Dans ce cas, les fonctions ,
ne sont pas solutions de . Une solution particulière de
sera de la forme , où les constantes se déterminent par identification.
ii) est racine de , donc les fonctions , sont
solutions de . Une solution particulière de sera de la forme
, où les constantes se déterminent par identification.
principe de superposition:
Si , une solution particulière est donnée par ,
où est une solution à (pour ). (Conséquence
de la linéarité de .)
Exemple Résoudre sur .
a) équation homogène: L'équation caractéristique est . La
solution générale de est donc .
b) solution particulière à : convient.
c) solution particulière à : En remplaçant
dans l'équation, on trouve
, donc et .
d) conclusion: la solution générale est .
méthode de variation des constantes.
Soient et deux solutions indépendantes de . On cherche une
solution particulière de sous la forme , où et sont des
fonctions vérifiant . Ainsi, , et devient
(car pour ).
59
Donc, sont solutions du système
Ce système se résoud aisément, ce qui donne , puis par intégration.
Exemple Résolvons . La solution de est
, (cf. exemple précédent)
Cherchons une solution particulière. Les solutions , sont
indépendantes, en effet leur wronskien vaut . Cherchons une
solution sous la forme , avec . sont solutions à
donc
avec les primitives
On a donc la solution particulière
et la solution générale en ajoutant . Le cours d'algèbre linéaire
60
[et interprétation géométrique]
Soit un sous-ensemble de .
Une fonction est appelée application vectorielle à valeurs dans .
Les deux fonctions et telles que
sont appelées les applications composantes de (ou: associées à) .
Le plan étant rapporté à un repère , on note le point dont les
coordonnées sont . Lorsque le paramètre parcourt , le
point décrit un sous-ensemble du plan, appelé la courbe de (ou:
associée à) . Le système d'équations
est appelé une représentation paramétrique de . On dit alors que est une courbe paramétrée.
Plan d'étude d'une courbe parametrée
On procède en 6 étapes, précisées ci-dessous:
1) Préciser le domaine de définition c'est à dire l'ensemble des points en lesquel les deux applications
composantes et sont définis. 2) Recherche de périodes et symétries
Si et , la fonction est -périodique: on peut alors restreindre l'étude à l'intersection de avec un intervalle de longueur , et on obtient ainsi toute la courbe. Si est symétrique et on a une des symétries suivantes:
(i) et ( et fcts paires de ),
(ii) et ( impaire et paire),
61
(iii) et ( paire et impaire),
(iv) et ( et impaires),
alors on restreint l'étude à , et on obtient toute la courbe (i) qui est parcourue 2 fois
(ii) en complétant l'arc par une symétrie par rapport à l'axe (iii) en complétant l'arc par une symétrie par rapport à l'axe (iv) en complétant l'arc par une symétrie par rapport à l'origine . 3) Rechercher les eventuelles branches infinies:voir chapitre 4) Faire un tableau de variations
pour et , en étudiant les signes de et . 5) Etudier les points particulierstels que points stationnaires (= singuliers), points doubles: voir chapitre 6) Tracer la courbeen s'aidant des résultats précédants, notamment en reportant aussi les points singuliers, tangentes et asymptotes.
Etude des branches infinies
Définition La courbe présente une branche infinie (ou: un arc infini), si
au moins une des coordonnées tend vers l'infini, pour , avec
.
Les cas suivants sont possibles:
et : admet la droite d'équation comme asymptote verticale
et : admet la droite d'équation comme asymptote horizontale
et : On étudie :
Si , alors admet une branche parabolique dans la direction
Si , alors admet une branche parabolique dans la direction
Si , on étudie la fonction :
62
Si alors admet la droite d'équation
comme asymptote, et la position de dépend du signe de .
(On peut utiliser un pour le trouver.)
Si alors admet une branche parabolique dans la
direction de la droite d'équation .
Si n'admet pas de limite, on ne sait pas conclure.
Si n'admet pas de limite, on ne peut conclure sur la nature de l'arc infini.
Etude de points particuliers
Définition On suppose que et sont dérivables en .
Le vecteur est appelé le vecteur dérivée de en . On
note aussi par .
Si , c'est à dire , le point est dit point
ordinaire. La droite de vecteur directeur et passant par est
appelée tangente à en . Une représentation paramétrique de est donc donnée par
et on peut en déduire facilement une équation de la forme (ou
si ) en exprimant dans la deuxième équation en terme de à l'aide de la première équation:
Si , c'est à dire , alors le point est dit stationnaire ou singulier.
63
Etude en un point stationnaire .
On suppose que les fonctions et sont au plusieurs fois dérivables.
Si et : Dans ce cas, la tangente à
en est la droite qui passe par de vecteur directeur le vecteur
de composantes .
Si , : On généralise le cas précédent. La
tangente à en est la droite qui passe par et qui a comme
vecteur directeur .
Position de par rapport à en un point
On designe par le premier entier tel que :
et par le premier entier strictement supérieur à tel que les vecteurs et ne soient pas colinéaires. (On peut écrire
car pour la dernière relation n'est pas satisfaite non plus.
Ecrivons la formule de Taylor-Young à l'ordre , le :
avec et .
En écrivant sous forme vectorielle, il vient:
64
Or, sont colinéaires à , donc
Etudions le vecteur dans le repère . Si
et designent ses composantes dans cette base, on a les
équivalences (au voisinage de )
et
Selon la parité de et de , on a les résultats suivants:
Définition
pair et impair: au voisinage de , et a le signe de :
traverse la tangente en , qui est un point de rebroussement de espèce.
65
pair et pair: au voisinage de , et , indépendamment
du signe de : ne traverse pas la tangente ; est un point de rebroussement de espèce.
impair et pair: au voisinage de , change de signe et :
touche la tangente ; est appele ``méplat''.
impair et impair: au voisinage de , et changent de signe:
traverse la tangente en , qui est appelé point d'inflexion.
Points doubles (ou multiples)
Définition S'il existe tels que , on dit que est un point double (ou multiple).
Pour trouver les points doubles, il faut donc résoudre le système
avec . (C'est en général un calcul assez lourd….)
Etude d'un exemple
Etudions la courbe définie par .
Domaine de définition: et sont définis sur
Recherche de symétries: il n'y a pas de symétries évidentes. ( est paire mais n'a pas de parité définie.) Etude de branches infinies .
: On a et , il faut donc étudier , et
: La droite d'équation est asymptote à la
courbe pour les deux arcs infinis .
66
: On a et (selon la signe de ). On étudie
donc , on a donc deux branches parabolique de
direction en
étude du signe de et :
donc a le signe de et a le signe de :
étude en
est un point stationnaire .
Calculons les derivées successives de et en pour connaître le vecteur directeur de la tangente et la nature du point:
Donc admet une tangente en de vecteur
directeur .
(Son équation est donc .)
Nature du point:
est non colinéaire à , on est donc dans le
cas , le point est un pt de rebroussement de espèce.
67
recherche de points doubles:
cherchons tel que ,
car . Donc
Le premier choix de signes est à exclure car il correspond à ,
soit . Donc sont les solutions à , soit
et .
Le point double est donc .
Tracé de la courbe: (cf. figure ci-dessous) on reporte les asymptotes, le pt. stationnaire avec sa tangente. En partant
de , au dessus de l'asymptote, on rejoint le pt. avec une
tangente horizontale, puis on repart pour vers ,
(brache parabolique de direction ) (pour ).
Pour au voisinage de , on vient de en-dessous de l'asymptote ,
et on rejoint le pt. singulier avec la tangente de vecteur directeur
, puis on repart de l'autre coté de cette tangente, en passant par le
pt. double (5,6), pour la branche parabolique de direction , quand
(pour ).
68
Figure: Graphe de la courbe étudiée, avec l'asymptote et le vecteur directeur de la tangente en le point de rebroussement.
Espaces vectoriels
Jusqu'à la fin du lycée, les mathématiques ( l'analyse comme la géométrie ) se pratiquent dans des espaces de dimension 2 ou 3 ( le plan ou l'espace physique). Très vite apparaît la nécessité de travailler dans des espaces de dimension supérieure, ne serait-ce que pour modéliser des problèmes faisant intervenir un nombre de variables plus grand que 2. Les espaces de dimension plus grande que 3 échappent totalement à la perception. Même si on peut, par projection sur et , entrevoir l'aspect d'objets mathématiques vivants dans ou plus, on ne peut les visualiser dans toute leur globalité. Aussi faut il un cadre théorique pour pouvoir aborder les dimensions plus grandes. La théorie des espaces vectoriels a pour objet de fixer cette théorie.
69
Définition Soient A et B des ensembles. On appelle loi externe sur B une
application . Par convention, si A et x B, on notera
.
Définition Soit (k,+,.) un corps et soit (E,+) un groupe abélien . Soit
aussi :k E E une loi externe sur E ( on utilisera la convention d'écriture précédente ). Le triplet (E,+,.) a une structure d'espace vectoriel sur k ( ou de k-espace vectoriel) si:
1 désignant l'unité de la seconde loi de k et x E: 1.x=x.
E .
E .
E . k est appelé le corps de base de l'espace vectoriel E.
Remarque Par abus d'écriture, on notera E le k-espace vectoriel (E,+,.).
Définition Soit k un corps. Un élément d'un k-espace vectoriel est appelé un vecteur.
Proposition Soit k un corps. Soit E un k-espace vectoriel . On note 0 le neutre de la loi + sur k, 0 aussi le neutre de la loi + sur E et 1 le neutre
de la loi . sur k. Soient v E et k. On a les propriétés suivantes:
0v=0 -1v=-v
Si v=0 et que 0 alors v=0.
Démonstration
On a: v+0v=(1+0)v=v. En soustrayant v des deux côtés de cette égalité, on obtient 0v=0. 0=0v=(1-1)v=1v+-1v=v+-1v. -1v est donc l'opposé de v. -1v est alors égal à -v.
Si =0 et que 0 alors existe dans k . On peut multiplier les deux membres de notre égalité de départ par . Cela donne v= .0=0.
70
Définition Soit k un corps et E un k-espace vectoriel . Soit V un sous ensemble de E. V est un sous espace vectoriel de E si:
(V,+) est un sous groupe de (E,+) .
Si k et si x V alors x V.
Proposition Soit k un corps. Un sous espace vectoriel d'un k-espace vectoriel est un k-espace vectoriel.
Démonstration Il suffit de vérifier les axiomes définissant les k-espaces vectoriels .
Proposition Soient k un corps, E un k espace vectoriel et V un sous ensemble de E. V est un sous espace vectoriel de E si et seulement si
k, x,y V, V.
Démonstration Le sens direct est évident. Pour la réciproque, il suffit de vérifier les deux points de la proposition précédente . Prenons, pour cela,
x V et k. Posons =- et y=x. Le vecteur , qui est élément de V, est égale au vecteur x- x qui est égale au vecteur nul. On en
déduit que 0 V. D'autre part, en prenant cette fois ci =1, et =-1, on a
=1x-1y=x-y. Le premier vecteur de cette série d'égalité est élément de V, il en est alors de même de x-y. Nous venons ainsi de vérifier que (V,+) était un sous groupe de (E,+). Terminons en
remarquant que si k =0 et que x,y V, alors le vecteur x+ y est élément de V. Mais il est égal à x. Donc x est élément de V, cqfd.
Dans toute cette section, k désigne un corps.
Définition Soit I un ensemble et soit A= une partie de k indicée par I. On dit que A est à support fini si l'ensemble des éléments i de I tels
que est non nul est de cardinal fini.
Définition Soit E un k-espace vectoriel . Soit A une partie de E. On
suppose que A= où I est un ensemble permettant d'indexer A. On appelle combinaison linéaire des éléments de A tout élément de E donné par
71
où est une famille à support fini de scalaires de k.
Remarque Comme la famille des est à support fini , il n'y a pas de problème de convergence de la somme précédente.
Définition - Proposition Soit E un k-espace vectoriel . Soit A un sous ensemble de E. L'ensemble des combinaisons linéaires des éléments de A est un sous espace vectoriel de E appelé sous espace vectoriel de E engendré par A. On notera Vect(A) le sous espace vectoriel engendré par
A. De plus, si A= x ,...,x , on notera Vect(A)=<x ,...,x >.
Démonstration Soient x et y deux éléments de E qui s'écrivent comme
combinaison linéaire d'éléments de A. Il existe donc des scalaires et
de k pour tout i I, tels que
Soient et k. Le vecteur x+ y s'écrit
qui est encore une combinaison linéaire d'éléments de A. x+ y est donc élément du sous espace vectoriel engendré par A et cela permet de conclure.
Proposition Soit A une partie d'un k-espace vectoriel E. Le sous espace vectoriel engendré par A est le plus petit sous espace vectoriel de E qui contient A.
Démonstration Tout sous espace vectoriel contenant A contient toute combinaison linéaire de vecteurs de A. Donc le sous espace vecoriel engendré par A est inclu dans tout sous espace vectoriel contenant A.
Définition Soit E un k-espace vectoriel. Soit aussi V un sous espace vectoriel de E ( qui peut éventuellement être égal à E). Soient A une
72
famille de vecteurs de V. Cette famille est une partie génératrice de V ou génératrice dans V si l'espace vectoriel engendré par A est égal à V, ou autrement dit si Vect(A)=V. On dit encore que A engendre V.
Définition Soit A une partie de E un espace vectoriel sur k. Indexons les éléments de A par l'ensemble I. A est appelée partie libre de E ou famille indépendante de vecteurs de E si pour tout sous ensemble à support fini
de k, l'égalité
implique que . Dans le cas contraire la partie A est dite partie liée dans E ou famille dépendante de vecteurs de E.
Proposition Si E est un k-espace vectoriel et que A est une partie liée de vecteurs de E alors l'un des vecteurs de cette partie s'écrit comme combinaison linéaire des autres vecteurs de A.
Démonstration Soit A la partie liée dans E considéré et soit I un ensemble
permettant d'indexé cette partie. Posons A= . La partie A est liée
dans E. On peut donc trouver un sous ensemble de scalaire de k non tous nuls tels que
Soit i I tel que 0. L'égalité précédente peut se ré-écrire:
soit en multipliant à droite et à gauche par :
On a ainsi bien écrit un des vecteurs de A comme combinaison linéaire des autres vecteurs de A
73
k désigne un corps.
Définition Soit E un k-espace vectoriel. Soit I un ensemble et soit A=
une famille d'éléments de E. Cette famille est une base de E si elle est à la fois libre dans E et génératrice de E tout entier . On notera
généralement les bases sous la forme d'une suite de vecteurs: (x ) .
Définition Soit E un k-espace vectoriel . Soit I un ensemble. Une famille
est dite:
libre maximale dans E si elle est libre dans E et que pour tout vecteur y
de E différent de x i I, la famille est liée dans E. génératrice minimale si elle engendre E tout entier et si, quand on la prive d'un de ses éléments, elle n'engendre plus E.
Proposition Soit E un k-espace vectoriel . Soit I un ensemble et A=
une famille de vecteurs de E. On a équivalence entre:
A est une base de E. A est libre maximale dans E. A est génératrice minimale dans E
Démonstration Montrons 1 2: Soit A= une base de E. A est donc libre et génératrice dans E. Montrons qu'elle est libre maximale . Soit y un vecteur de E qui n'est pas élément de A. Comme A est une base de E, A engendre E et on peut toujours trouver une famille à support fini
de scalaires de k tels que
La combinaison linéaire est donc nulle alors que ses coefficients
ne le sont pas tous. Ceci implique que la famille définie par
74
est liée et ce quelque soit y dans E. La famille n'est donc incluse dans aucune famille libre plus grande qu'elle même. Elle est donc bien libre maximale.
Montrons maintenant la réciproque, c'est à dire que 2 1. Soit une famille libre maximale dans E. Nous devons montrer qu'elle est génératrice. C'est à dire que si x est un vecteur de E, alors x s'écrit
comme combinaison linéaire des . Prenons donc un vecteur x de E.
Comme est libre maximale dans E, la famille est liée dans E. Cela signifie qu'il existe une famille à support fini
de scalaires de k non tous nuls tels que
Si =0 alors cela implique que la famille n'est pas libre dans E. est donc inversible et on peut écrire:
Comme x est quelconque dans E, la famille est bien génératrice dans E.
Montrons que 1 3. Soit A= une base de E. A est donc génératrice. Montrons que A est génératrice minimale. Supposons que ce
ne soit pas le cas. Il existe alors un vecteur x de A qui est combinaison linéaire des autres éléments de A. A ne peut alors être libre. A est donc nécessairement génératrice minimale.
Montrons enfin que 3 1. Considérons une famille A= de vecteurs de E. Supposons que cette famille est génératrice minimale et montrons que c'est une base de E. Il faut vérifier que A est une famille
libre. Si ce n'est pas le cas, il existe une famille à support fini de scalaires de k telle que
75
et telle que les ne sont pas tous nuls. Soit i I tel que 0. On peut
écrire x en fonction des vecteurs x , i i . Par conséquent, comme tout vecteur de E s'écrit en fonction de A, tout vecteur de E s'écrit en fonction
de A . Ainsi, A n'est pas génératrice minimale dans E. Cela est contraire à notre hypothèse de départ. Donc A est bien une base de E.
Définition - Proposition Soit E un k-espace vectoriel . Soit (e ) une base de E. Pour un élément x de E il existe une unique famille à support
fini de scalaire de k telle que
Le scalaire s'appelle la ième coordonnée du vecteur x relativement à la
base (e ) .
Démonstration Comme (e ) engendre E, il existe une famille à support
fini telle que Supposons qu'il existe une seconde
famille à support fini telle que Alors
Mais la famille (e ) est libre dans E. La seule possibilité pour l'égalité
precédente est que =0 I. Soit encore I. Cela établit bien l'unicité des coordonnées de x relativement à une base de E.
Définition Soit k un corps et E un k-espace vectoriel . E est un k-espace vectoriel de dimension finie si il possède une famille génératrice de cardinal fini. Dans le cas contraire, E est dit de dimension infinie.
Proposition Soit E un espace vectoriel sur un corps k. On suppose que E est de dimension finie . Alors E possède une base . De plus cette base est de cardinal fini.
76
Démonstration Comme E est de dimension finie, il possède une famille
génératrice finie A= . A étant de cardinal fini, on peut extraire de A la plus petite partie de A qui soit génératrice de E. Nommons A' cette sous partie de A. A' est alors génératrice minimale . C'est donc une base de E. A' est clairement de cardinal fini.
Remarque On commence à s'en douter: dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les bases ont même cardinal. Ce cardinal sera appelé la dimension de l'espace vectoriel. Le lemme qui suit a pour objet de préparer la démonstration de cette propriété.
Lemme Soit E un espace vectoriel sur un corps k. Soient e ,...,e des
vecteurs de E formant une base de E. Soient aussi v ,...,v des
vecteurs de E. Supposons que m>n. Alors v ,...,v forme une famille liée de vecteurs de E.
Démonstration Raisonnons par l'absurde et supposons que la famille v
,...,v est libre dans E. Comme (e ) engendre E, on peut trouver
des coefficients k pour i=1,...,n tels que v = . v étant non nul, on peut supposer, quitte à re-indexer les differents termes de la
somme, que 0. On est alors en droit d'écrire:
Soit encore:
Nous venons en fait de mettre e sous la forme e = où
k. Montrons par récurrence que l=1,...,m k tels que e = v
+...+ v + . Cela revient à montrer que e Vect(v ,...,v ,e
77
,...,e ). Supposons cette propriété vraie à l'ordre l et montrons la à
l'ordre l+1. On sait que v <e ,...,e > mais i=1,...,l e <v ,...,v
,e ,...,e >. Autrement dit i=1,...,l e <v ,...,v ,e ,...,e >. On
peut donc trouver des coefficients ,..., tels que v =
. On peut de plus supposer que l'un des
coefficients ,..., est non nul. Si cela n'était pas le cas alors la
famille v ,...,v serait liée dans E, ce qui est contraire à notre
hypothèse de récurrence. Supposons, quitte à re-indexer les e que est non nul. On a alors:
En multipliant chacun des membres de cette égalité par , on obtient
une écriture de e de la forme:
où est élément de k i=1,...,n. Ceci termine notre récurrence. Mais
comme n>m, chaque e s'écrit: e = où k i=1,...,n. On
déduit de cela que pour tout i=1,...,n, e <v ,...,v >. Mais comme
E=Vect(e ,...e ) , v est lié à la famille v i=1,...,n si p>n. Ce qui est en contradiction avec notre hypothèse de départ et prouve la proposition.
On peut maintenant formuler et démontrer le théorème fondamental suivant:
Théorème Soit k un corps et soit E un k-espace vectoriel . Si E est de dimension finie alors toutes les bases de E ont même cardinale.
Démonstration Comme E est de dimension fini, E possède au moins une base. Supposons qu'il en existe deux et montrons qu'elles ont même
cardinal.Soient e = (e ,...,e ) et f = (f ,...,f ) deux bases de E. Supposons que m>n. Comme e est une base de E, on peut appliquer le
78
lemmme précédent . Par conséquent f est liée . Ceci est impossible car f
est une base de E. Donc m n. En faisant le même raisonement en
permutant le rôle de e et celui de f, on obtient n m. On est alors en droit d'écrire: n=m.
Ce théorème démontré, la définition suivante a un sens.
Définition Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps k. Si E est réduit à son élément nul alors on dit que la dimension de E est 0. Sinon, on appelle dimension de E et on note dim E, le cardinal d'une base
de E.
Le théorème suivant est aussi vrai pour un k-espace vectoriel de dimension infinie. La démonstration cependant nécessite l'usage de l'axiome de choix . Nous nous y intéresserons dans le paragraphe ``Espaces vectoriels de dimension infinie''.
Théorème de la base incomplète Soient k un corps et E un espace
vectoriel de dimension finie sur k. Soit n=dim E et soit e=(e ,...,e ) une famille libre de E. On suppose que m<n. On peut alors trouver des
vecteurs f ,...,f dans E tels que (e ,...,e , ,...,f ) soit une base de E. On dit qu'on à complété la famille e en une base de E.
Démonstration Comme e n'engendre pas E, on peut trouver un vecteur f
dans E tel que f n'est pas élément de Vect(e ,...,e ). La réunion e forme donc une famille libre de E. Si cette nouvelle famille est génératrice de E, alors c'est une base de E et m+1=n. Le théorème est démontré. Si ce n'est pas le cas, on recommence le processus. On construit ainsi des
vecteurs f ,...,f . Ce processus s'arrête nécessairemant quand m+l=n. (Sinon on construit une famille libre de cardinal plus grand que la dimensio
k désigne un corps. Rappelons qu'un sous espace vectoriel d'un espace vectoriel E est un espace vectoriel pour la loi interne et la loi externe induites de E.
79
Définition Soit E un k espace vectoriel et soit V un sous espace vectoriel de E. Une base du sous espace vectoriel V est une base de V en tant qu'espace vectoriel.
Définition On dit qu'un sous espace vectoriel est de dimension finie si il est engendré , en tant qu'espace vectoriel, par une famille de cardinal fini.
Remarquons que si un sous espace vectoriel d'un espace vectoriel est de dimension finie alors ce sous espace possède des bases et que toutes ces bases ont même cardinal.
Définition La dimension d'un sous espace vectoriel de dimension finie est le cardinal d'une base de ce sous espace vectoriel.
Définition Soient V et V' deux sous espaces vectoriels du k-espace vectoriel E. On note V+V' l'ensemble somme de ces deux sous espaces vectoriels V et V':
Proposition Si V et V' sont deux sous espaces vectoriels du k-espace vectoriel E alors V+V' est aussi un sous espace vectoriel de E.
Démonstration C'est facile, il suffit de vérifier que si x et y sont éléments de E alors il en est de même de x-y .
Définition Soit E un k-espace vectoriel et soient V et V' deux sous espaces
vectoriels de E. On dit que V et V' sont en somme directe si V V'= .
On note V V' le sous espace somme de deux sous espaces supplémentaires.
Définition Soient V et V' deux sous espaces vectoriels du k-espace vectoriel E. On suppose que V et V' sont en somme directe dans E et que
V V'=E alors V et V' sont dit supplémentaires dans E. V est un supplémentaire de V' dans E.
Le théorème suivant est énoncé et démontré dans ce paragraphe dans le cadre de la dimension finie. Il est cependant encore vrai en dimension infinie mais la démonstration nécessite l'utilisation de l'axiome de choix . Celle ci sera établie dans le paragraphe ``espace vectoriel de dimension infinie''.
80
Théorème Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie . Soit V un sous espace vectoriel de E. Alors V possède un sous espace supplémentaire dans E.
Démonstration Soit n=dim E. Comme V est un sous espace vectoriel de E,
il est aussi de dimension finie. Posons k=dim V. Soient e ,...,e des vecteurs de V qui définissent une base de V. Cette famille, libre dans V, l'est aussi dans E. L'utilisation du théorème de la base incomplète nous
permet d'être assurer de l'existence de n-k vecteurs e ,...,e tels que
la famille (e ,...,e ) forme une base de E. Soit V' le sous espace vectoriel
engendré par e ,...,e . Il est clair que V V'= et que V+V'=E. V' est donc bien un sous espace supplémentaire au sous espace V.
Théorème Si V et V' sont deux sous espaces vectoriels de dimension finie du k-espace vectoriel E alors dim V+dim V'=dim (V+V')+dim V V'
Démonstration Remarquons que V V' est un sous espace vectoriel de V et
de V'. Posons m=dim V, m'=dim V'et k=dim V V'. Soit aussi (e ,...,e )
une base de V, que l'on complète en une base (e ,...,e ,f ,...,f ) de V
et en une base (e ,...,e ,f' ,...,f ) de V'. La famille e ,...,e ,f ,...,f
,f' ,...,f est donc une base de V+V'. On peut alors écrire les égalités: dim(V+V')=k+m-k+m'-k=m+m'-k=dim V+dim V'-dim V V'.
Définition
Un sous espace vectoriel de dimension un est appelé une droite vectorielle. Un sous espace vectoriel de dimension un est appelé une plan vectoriel.
Définition Soit p un entier positif. On appelle rang d'un système de
vecteurs v ,...,v de l'espace vectoriel E la dimension de Vect(v ,...v ).
Comme les vecteurs v ,...,v sont en nombre fini, la dimension du sous espace vectoriel qu'ils engendrent est nécessairement de dimension finie. La définition est donc correcte.
81
Comme nous l'avons déjà mentionné, les propriétés d'existence d'un supplémentaire pour un sous espace vectoriel, d'existence d'une base et le théorème de la base incomplète sont vraies en dimension infinie. Nous allons maintenant établir ces 3 propriétés.
Proposition Soit k un corps et E un k-espace vectoriel . Soit V un sous espace vectoriel de E. Soient aussi W1 un sous espace vectoriel de E tel
que V W= et W2 un sous espace vectoriel de E tel que V+W2=E. Alors il existe un supplémentaire W de V contenu dans W2 et contenant W1.
Démonstration Considérons l'ensemble A des sous espaces vectoriels de E contenant W1 et contenus dans W2. A n'est pas vide car W1 est élément de A. A est partiellement ordonné par la relation ``être inclu dans ou
être égal à'': . Considérons une partie totalement ordonné de A. Considérons ensuite la réunion des éléments de cette partie et notons la U. Comme la partie est totalement ordonnée, cette réunion est encore un sous espace vectoriel de E qui contient W1 et qui est contenu dans W2. Cette réunion a comme seul élément commun avec V le vecteur nul de E. U est de plus un majorant de cette partie pour la relation d'ordre donné par l'inclusion. A est donc un ensemble inductif . Appliquons le lemme de Zorn . Il existe un élément maximal pour A. Notons le W. W vérifie:
W V= .
W1 W W2.
W' A, W' W.
Montrons que W est un supplémentaire à V. Au regard de ce que l'on sait
déjà, il suffit de pouver que V+W=E. Soit x E=V+W2. x s'écrit: x=v+w
où v V et où w W2. Si on trouve w W et v' V tels que x=v'+w alors
c'est gagné. Si w W, w est trouvé. Sinon, on considére le sous espace
vectoriel X engendré par W et w . Ce sous epace vectoriel contient strictement W. Par conséquent, comme W est maximale dans A, X n'appartient pas à A. Mais X vérifie les points 2 et 3 précédents. Il ne
vérifie donc pas le point 1. Cela signifie qu'il existe un vecteur y X V. y est donc d'une part élément de V mais a d'autre part une écriture de la
forme y=w'+ w où k et où w' W. Si =0, alors y, élément de V, est
aussi élément de W. Cela est impossible car W A. Donc 0. Alors: w =
82
(y-w)'. Cela donne: x=v+ y- w'. Mais v+ y V et w' W. On a bien obtenu la décomposition voulue et notre théorème est démontré.
On peut formuler le corollaire immédiat à ce résultat:
Corollaire Soit k un corps et soit E un k-espace vectoriel . Soit V un sous espace vectoriel de E. Alors V possède un supplémentaire dans E.
Démonstration C'est immédiat via la proposition precédente.
Proposition Soit E un espace vectoriel (non réduit à ) sur le corps k. E possède une base.
Démonstration Soit A l'ensemble de toute les familles libres de E. A est
non vide car si v est un vecteur non nul de E alors v est une famille libre dans E. A est un ensemble partiellement ordonné par l'inclusion. Soit B une partie de A totalement ordonnée non vide. Alors la réunion des éléments de cette famille est encore un élément de A. Cette réunion, de plus, est un majorant de A. Donc A est inductif . A possède alors un élément maximal. Notons F cette famille libre de vecteurs de E et élément maximal de A. Cette famille est libre maximale dans E. C'est par conséquent une base de E.
Proposition Théorème de la base incomplète en dimension infinie Soit (e )
une partie génératrice de E. Soit I' un sous ensemble de I tel que (e
) est libre dans E. Alors il existe I' I'' I tel que (e ) soit une base de E.
Démonstration Remarquons qu'on a présupposer l'existence de partie génératrice dans E. Ceci est, d'après la propriété précédente , évident.
Considérons cette fois ci l'ensemble A des familles libres (e ) avec I' J
I. A est ordonné partiellement par l'inclusion. Si B est une partie de A totalement ordonnée pour l'inclusion, alors la famille réunion des éléments de B est encore élément de A. De plus, cette réunion majore B. On en déduit que A est inductif . D'après le lemme de Zorn, A possède un
élément maximal. Soit I' J I tel que (e ) soit l'élément maximal de A. Cette famille est libre. Montrons qu'elle est aussi génératrice. Il suffit
pour cela de remarquer que pour tout vecteur e , avec k n'appartenant
pas à J, la famille (e ) e est liée dans E. Par conséquent, comme
83
(e ) engendre E et que (e ) Vect((e ) ) alors (e ) engendre E. C'est donc bien une base de E.
Applications linéaires et espaces vectoriels quotients
Introduction Les applications linéaires sont parmi les plus importantes en mathématiques. Elles interviennent dans de nombreuses situations. En analyse, elles servent par exemple à approximer localement des fonctions ou des équations différentielles. En algèbre, on peut les utiliser pour représenter des équations. En géométrie, elles modélisent les symétries d'un objet... Nous étudierons dans cette leçon leurs principales propriétés. Nous verrons que ces dernières sont nombreuses et justifient l'intérêt qui leur est porté. Nous terminerons cette partie par une intrusion dans le monde des espaces vectoriels quotients. L'importance de ces derniers est liée en particulier au fait que pour un sous espace donné dans un espace vectoriel il n'existe pas de supplémentaire cannonique. Nous verrons que les espaces quotients permettent de définir pour un sous espace vectoriel donné un supplémentaire bien particulier. Dans tout ce chapitre k désigne un corps.
Définitions
Définition Soient E et F des k-espaces vectoriels et une application de E
dans F. est une application k-linéaire si pour tout x et y dans E et tout
et dans k, ( x+ y)= (x)+ (y). On notera (E,F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F. On utilisera, quand aucune confusion n'est à craindre, le mot ``linéaire'' à la place de ``k-linéaire''.
Définition Si est une application linéaire du k espace vectoriel E dans le k espace vectoriel F alors:
Si E=F est un endomorphisme. L'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel E sera noté (E).
84
Si est bijective est un isomorphisme.
Si E=F et que est bijective alors est un automorphisme. L'ensemble des automorphismes d'un espace vectoriel sera noté GL(E) (Groupe linéaire de E).
L'utilisation du mot groupe dans la définition précédente sera justifiée plus loin. Définition Deux espaces vectoriels sont isomorphes si il existe un isomorphisme entre ces deux espaces vectoriels. L'importance des isomorphismes entre les espaces vectoriels est la même que celle des isomorphismes en théorie des groupes ou que celle des homéomorphismes entre espaces topologiques. Des espaces vectoriels isomorphes auront les mêmes propriétés ``vectorielles''. Cette notion permettra de classer les espaces vectoriels. Toute propriété ``vectorielle'' vraie pour un espace vectoriel donné sera vraie pour un espace vectoriel qui lui est isomorphe. Proposition ``Etre isomorphe à'' est une relation d''équivalence sur l'ensemble des espaces vectoriels sur un corps k. Démonstration C'est facile. Définition Soit E un k-espace vectoriel. L'application qui à un vecteur x de E associe lui même est appelée application identique sur E ou Identité de
E. On la note Id ( ou Id quand aucune confusion n'est à craindre ): x
E, Id (x)=x. On vérifie immédiatement que cette application est linéaire.
Propriétés
Proposition Soient E et F des k-espaces vectoriels. Soit E' un sous espace
vectoriel de E et soit une application linéaire de E dans F. Alors (E') est un sous espace vectoriel de F. Le sous espace vectoriel de F image
de E par est noté Im .
Démonstration Soient y,y' (E'). Il existe donc x,x' E tels que y= (x) et
y'= (x'). Soient , k.Il suffit de vérifier que y+ y' est élément de
(E'). Mais y+ y'= (x)+ (x') = ( x+ x').
85
Définition Soient E et F deux k-espaces vectoriels. Soit une application
linéaire de E dans F. Le sous ensemble de E des vecteurs annulant est
appelé noyau de et est noté Ker .
Proposition Le noyau d'un application linéaire est un sous espace vectoriel de l'espace de départ de l'application linéaire .
Démonstration Soit l'application linéaire considérée. Notons E l'espace
vectoriel sur lequel est définie. Soient aussi x,y Ker , , k. Il suffit
là aussi de vérifier que x+ y Ker . Mais ( x+ y = (x)+
(y)=0. Ker est donc bien un sous espace vectoriel de E.
La propriété qui suit est extrêmement utile pour prouver l'injectivité d'une application linéaire.
Proposition Soient E et F deux k-espaces vectoriels. Soit une application linéaire définie de E dans F. On a équivalence entre:
Ker = 0 .
est injective.
Démonstration Remarquons que E et F étant des espaces vectoriels, ce
sont aussi des groupes pour leur loi interne respective et que , application linéaire de E dans F, est aussi un homomorphisme entre ces
deux groupes . Or on sait que dans ce cas préçis, l'injectivité de est équivalente au fait que son noyau est réduit à l'élément neutre du groupe de départ .
Définition Soient E et F deux k-espaces vectoriels et une application
linéaire de E dans F. Rappelons que Im est un sous espace vectoriel de F
. Si Im est un sous espace vectoriel de dimension finie dans F alors
86
on appelle rang de l'aplication linéaire la dimension de Im . On notera
rg le rang de .
Proposition Soient E et F des k-espaces vectoriels. Soit une application
linéaire de E dans F. Soit I un ensemble et A= une famille de
vecteurs de E indexés par I. Si A est une famille génératrice de E alors
(A)= est une famille génératrice de Im .
Démonstration Soit y Im . Il existe x dans E tel que y=f(x). Mais la
famille A est génératrice dans E. Donc il existe une famille de scalaires ( à support finie ) de k telle que
Comme est linéaire,
y étant quelconque dans Im , la propriété est démontrée.
Corollaire Si E et F sont deux k espaces vectoriels, que E est de dimension
finie et que est une application linéaire de E dans F alors est de rang fini dans F.
Démonstration Comme E est de dimension finie , E possède une famille A
génératrice et de cardinal fini. L'image de cette famille par est une
famille génératrice de Im qui est encore de cardinal fini. Par définition
d'un espace vectoriel de dimension finie, Im est alors de dimension finie.
Et le rang de étant la dimension de Im , est bien de rang fini.
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Proposition Formule du rang Si E et F sont des k-espaces vectoriels, que E
est de dimension finie , et que est une application linéaire de E dans F
alors vérifie: dim Ker f+rg =dim E.
Démonstration E étant de dimension finie, on peut trouver une base de
cardinal fini de Ker . Posons n=dim E et p=dim Ker . Soit
une base de Ker . Prenons un sous espace E' supplémentaire à Ker .
Cette base peut se complèter en une base de E où les
vecteurs forment une base de ce supplémentaire. L'image de
cette base par est génératrice de Im . Donc Im =Vect(f(e ),...,f(e
)). Cette famille est, de plus, libre dans Im : Si ,..., sont n-p
scalaires de k tels que alors . Mais ceci
implique que est élément de Ker . Cette somme est une somme de vecteurs qui sont dans un sous espace supplémentaire E' de
Ker . La somme est donc élément de E'. est alors dans E' Ker
. La seule possibilité est . Mais cette famille est libre dans E
donc =0 pour tout i=p+1,...,n. Ces scalaires ayant été choisis de façon
quelconque dans k, La famille f(e ),...f(e ) est libre dans Im .
C'est donc une base de Im et dim Im =n-p. Mais dim Im =rg .
L'égalité n=(n-p)+p équivaut donc à dim E= rg +dim Ker .
Corollaire Si E et F sont deux espaces vectoriels tels que E est de dimension finie et que F est isomorphe à E alors F est aussi de dimension finie et dim E=dim F.
Démonstration Comme E et F sont isomorphes , il existe un
isomorphisme :E F. étant, par définition, une application bijective,
elle est en particulier surjective et Im =F. Mais Im étant d'après la proposition précédente de dimension finie , il en est de même de F. On
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peut alors parler de la dimension de F. Cette dimension est égale à rg .
Mais comme est aussi injective, Ker = 0 et dim Ker =0. La
formule précédente appliquer au cas ici étudié donne rg =dim E. Donc dim E= dim F. E et F ont même dimension.
Mais la réciproque de ce théorème est aussi vraie.
Proposition Si E et F sont deux k-espaces vectoriels de même dimension alors ils sont isomorphes .
Démonstration Soit n la dimension de E. Soit (e ) une base de E et
soit (f ) une base de F. Choisissons pour l'application linéaire qui
envoie e sur pour tout i=1,...,n. Cela signifie qu'un point x de E
s'écrivant , (x) vaudra: . ainsi définie est bien linéaire. De plus son noyau est réduit à l'élément nul de E . Son rang est donc égal à n. Cela signifie que son image est de dimension n mais aussi
qu'elle est surjective. définie bien un isomorphisme entre E et F .
Terminons par la propriété suivante qui n'a rien de très surprenant:
Proposition Soient E, F, G trois k-espaces vectoriels . Soient et deux
applications linéaires définies l'une de E dans F et l'autre de F dans G.
Alors est une application linéaire définie de E dans G.
Démonstration Soient x et y deux éléments de E, et deux éléments de
k. La linéarité de puis celle de implique: ( x+ y)= ( (x)+
(y))= g (x)+ (y), ce qui démontre la propriété.
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