1 la antiderivada
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CÁLCULO 2CÁLCULO 2
La Antiderivada y La Integral Indefinida.
Departamento de Ciencias
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Temperatura del Cuerpo 8°C
Temperatura del Refrigerador= 5°C
¿Qué pasa con la temperatura del cuerpo?
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Ley de Enfriamiento de Newton
El calor transferido hacia el cuerpo o viceversa es
Si la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande
( )adT
K T tdt
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¿Cuál es la altura h(t) del agua en cualquier instante de tiempo t ?
Si la altura disminuye a razón de:
dh 1 t20
dt 25 50
Vaciado de un Tanque
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Se Conoce PidenRC de la temperatura de un cuerpo Función Temperatura
Razón de cambio de la altura Función Altura
¿Qué tienen en común?
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Respondemos:
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LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante
resuelve problemas vinculados a la
gestión e ingeniería a partir de
Ecuaciones Diferenciales (ED) con una
condición inicial, usando el cálculo de las
integrales inmediatas y las reglas básicas
de integración indefinida.
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Distancia Velocidad
Ingresos Ingresos Marginales
Costo Costo Marginal
Población Razón de Crecimiento de la población
Derivada
AntiderivadaAntiderivada
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1. Antiderivada
Ejemplo 1: 2( ) 3 f x xPara , la función: es una3( ) F x x
antiderivada, pues:
'3 2'( ) =3 ( )
'( ) ( )
F x x x f x
F x f x
( ) ( ) para todo F x f x x I
Una función F recibe el nombre de primitiva o
Antiderivada de f en un intervalo I si:
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2( ) 3f x x
31( ) +1 F x x
32 ( ) +2 F x x
33( ) - 1 F x x
34 ( ) - 2 F x x
+C;
C es una costante cualquieraiF x x 3( )
Son antiderivadas
De la misma forma, son antiderivadas las siguientes funciones:
Puesto que:
2'( ) 3 ( )
'( ) ( )
iF x x f x
F x f x
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Significado geométrico:
Si es una antiderivada de en I , cualquier otra
antiderivada de f en I es una curva paralela al gráfico de
( )F x C
Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces la antiderivada general de f sobre I es:
( )F x ( )f x( )y F x
Teorema Teorema
Donde:C es una constante
2. Interpretación Geométrica
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Miembros de la familia de Antiderivadas de
23x
3x3x 1
3x - 13x - 2
de es es
Dando valores a la constante C, obtenemos una familia de funciones
cuyas gráficas son traslaciones verticales de una a otra.
2( ) 3f x x 3( )F x x C
x
y
Del Ejemplo 1, la antiderivada general
2( ) 3f x x
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Las primitivas difieren en una constante Las primitivas difieren en una constante
Integrando Derivando
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3. La Integral Indefinida
( ) ( )f x x C)d F(x
Constante de Integración
Variable de IntegraciónSímbolo de
Integral
Diferencial de x
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( ) ( )f x dx F x C
La Integral Indefinida de una función f(x) es la
antiderivada general de la función.
F es una antiderivada de f en un intervalo
Conclusión:
NOTACION NOTACION
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(4 )(.1. ( ) ( ) ))) (( )( fx x g x xg x d dx dxf
f x d x fC dC x x ( ) ( ) (4 ). (2 ).
( ) ( ) ( ) ( )A Af x g x dx f x dx xB dxB g
Las constantes pueden salir y entrar del signo de la integral indefinida.
La integral indefinida de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las integrales indefinidas.
4. Propiedad de Linealidad
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5. Integración Inmediata
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Integrales Inmediatas
dx x c 1
1
nn xx dx c
n
1ln | |dx x c
x
x xe dx e c
ln
xx aa dx c
a
cossenxdx x c cos xdx senx c
2sec tanxdx x c
2sc cotc xdx gx c 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
sec tan secx xdx x c csc t cscxco xdx x c tan ln | cos | ln | sec |xdx x c x c
t ln | se |co xdx nx c sec ln | sec tan |xdx x x c
c ln | c t |cs xdx cs x co x c
2 2
1 xdx arcsen c
aa x
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Encontrar las siguientes Integrales:
EJEMPLOS:
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Ejemplo:
2
4
df xx
dx (0) 5f
Ecuación Diferencial Condición Inicial
6. Ecuación Diferencial (ED)
Es aquella condición que se expresa 0 0( )f x yCondición Inicial:
Esta condición permite determinar la Solución Particular de la ED.
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Resolución de EDEjemplo:
2 1
2
dfx
dx x
Resolver la siguiente Ecuación Diferencial
Esta solución se denomina Solución General pues depende de una constante C
Para resolverla se integra ambos miembros, obteniendo:
3
( )3
xf x x C
Si: (0) 5f
Se reemplaza la CI en la SG:3
( )3
xf x x C
Obteniendo:30
(0) 0 5 53
f C C
La solución particular es:3
( ) 53
xf x x
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Se tiene un tanque con área seccional constante de 50 m2 y un agujero de un área seccional constante de 0.05 m2, localizado en la parte inferior del tanque.
h
El tanque se llena con agua hasta una altura de h metros y se deja vaciar, la altura del agua disminuye a razón:
120 ,
25 50
dh t
dt
Determinar la altura del agua en cualquier instante t.
7. Problema: Vaciado de un Tanque
Ecuación Diferencial
Si su altura es de 5 metros.
Condición Inicial
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Pasos para Resolver la ED:
( ) ( )y x x x C)f d F(
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En equipos de 4 estudiantes desarrollar los ejercicios indicados por el docente de los niveles 1, 2 y 3.
TRABAJO EN EQUIPO
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# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL
1515.33 PURC
PURCELL, EDWIN J.
Cálculo Diferencial E Integral
Pearson Educación
2515
STEW/P 2007
STEWART, JAMES
Cálculo De Una Variable:
Transcendentes Tempranas
Thomson Learning
3 515.15/LARS
LARSON, RON Cálculo Mcgraw-Hill
BIBLIOGRAFÍA