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REGULADOR LINEAR QUADRÁTICO(LQR) COM AÇÃO INTEGRAL APLICADO AO

CONVERSOR BOOST COM CARGA NÃO LINEAR

ELIÉZIO FARIAS∗ ,VANDILBERTO.P.PINTO∗ , ANDRÉ S. LIMA∗ WASHINGTON LUIS A. SIQUEIRA∗

∗ Curso de Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Ceará

Campus Mucambinho–Sobral ,Ceará, Brasil

E-mails: [email protected], [email protected],

[email protected],[email protected]

Abstract The increasing development of control techniques as well as its economic feasibility and applicability, are increasing and

emphasizing the use of DC-DC converters in various branches of Electrical Engineering. In this article, the use of the LQR controller ap-

plied to a boost converter is presented. The Boost converter is in an elevator tension, characterized by having input and output voltage. The

Boost converter is in an elevator tension, characterized by having input and output voltage. From the plant obtained from the converter

topology, it is possible to obtain information on the stability of the system of this converter before and after the presence of external distur-

bances. A system is considered stable when, for finite inputs, there are finite answers. Otherwise, it becomes unstable.

In order to avoid such instability, it is necessary to add a controller with the system plant.

Keywords Optimal Control, Stability ,Power converter

Resumo A crescente evolução das técnicas de controle, bem como sua viabilidade econômica e aplicabilidade, vêm aumen-

tando e destacando a utilização de conversores CC-CC em variados ramos da Engenharia Elétrica. Neste trabalho, é apresentada

a utilização do controlador LQR aplicado a um conversor Boost com carga não linear. O conversor Boost trata-se de um eleva-

dor de tensão, caracterizado por ter entrada e saída em tensão e cargas não lineares são aquelas que, quando conectadas numa

fonte de tensão, solicitam desta uma corrente a qual não apresenta a mesma forma de onda da tensão. Essas correntes possuem

componentes harmônicos em frequências diferentes da fundamental, as quais, quando circulam através das impedâncias da linha

ou de equipamentos, provocam quedas de tensão que interferem no funcionamento dos demais equipamentos conectados à

mesma fonte de tensão. Desta forma, a disseminação do uso de carga não linear afeta a qualidade da tensão fornecida aos con-

sumidores de energia elétrica, aos residenciais, aos comerciais e principalmente aos industriais. A partir do modelo matemático

do conversor, é possível obter informações sobre a estabilidade do sistema deste conversor antes e depois da presença de pertur-

bações externas. Um sistema é considerado estável quando, para entradas finitas, existem respostas finitas; caso contrário, este

se torna instável. Do ponto de vista do conversor, alimentar cargas não lineares requer o uso de um sistema de controle robusto

para evitar a instabilidade.

Palavras-chave Controle ótimo, Estabilidade, Conversor de Potência

1. Introdução

O regulador linear quadrático (LQR) é um método

da teoria de controle moderno que faz uso da reali-

mentação de estados para analisar os sistemas dinâ-

micos [1]. É utilizado com o objetivo de garantir a

estabilidade do sistema frente a pequenas perturba-

ções, melhorando o tempo de resposta e sobressinal,

ao minimizar a energia desprendida no processo.

Uma propriedade interessante neste tipo de controla-

dor é que apresenta margens de ganho infinito e mar-

gens de fase superior a 60°, características estabele-

cidas como requisitos em aplicações de eletrônica de

potência [2].

O conversor Boost é amplamente utilizado em cir-

cuitos de correção de fator de potência e em diversas

outras aplicações que necessitam da elevação e regu-

lação de tensão, ou seja, a busca por modelos e for-

mas de controle deste conversor segue uma tendência

de aprimoramento e evolução [3].

Cargas não lineares são aquelas que têm sua cor-

rente não uniforme. Muitos equipamentos eletrônicos

possuem semicondutores como diodos e transistores,

que possuem características de conduzir corrente de

forma não linear, apresentando descontinuidade em

determinados momentos. O simples fato de ligar e

desligar uma lâmpada pode ser considerado como

uma carga não linear, já que isto faz com que ela

mude de valor.

A dificuldade da modelagem de cargas não linea-

res reside na complexidade da corrente que apresen-

tam em resposta às tensões impostas. Estas correntes,

frequentemente, têm formas muito diferentes se com-

paradas com a tensão aplicada, o que não ocorre com

cargas lineares. Por exemplo, em resposta às tensões

senoidais, acontecem correntes compostas por diver-

sos harmônicos. Além disso, estes harmônicos podem

causar ruídos na rede elétrica, fazendo com que a

tensão deixe de ser uma senóide.

2. Modelagem do conversor Boost

A modelagem matemática do conversor, operan-

do no modo contínuo, será apresentada em espaços

de estados. O circuito elétrico da Figura 1 representa

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

4159

o conversor Boost, onde se levaram em conta as re-

sistências série parasitas do indutor e do capacitor

( r e rL C ). Este circuito apresenta duas etapas de ope-

ração, as quais são descritas a seguir, devido ao cha-

veamento do interruptor controlável SB que se en-

contra aberto ou fechado dependendo do sinal obtido

da modulação PWM.

Figura 1. Conversor Boost.

O sinal PWM mostrado na Figura 2 apresenta

um nível lógico alto que permanece por certa fração

de tempo do período T de chaveamento e este per-

centual do período chamou-se de razão cíclica D ,

desta forma representa o intervalo de tempo em que o

interruptor conduz corrente elétrica por SDT . Na

outra fração de tempo do período, complementar à D , o interruptor permanece em corte.

Figura 2. Sinal PWM aplicado à chave.

Cada etapa de operação apresenta um conjunto de

equações de estado. A seguir, os estados Lx e Cx

correspondem à corrente elétrica no indutor e à ten-

são no capacitor, respectivamente, logo seus termos

derivativos são dados por:

LL

CC

dix

dt

dvx

dt

(1)

(2)

2.1 Etapa 1 de operação do conversor Boost

Na primeira etapa de operação do conversor, mos-

trado na Figura 3, o interruptor conduz e o indutor

armazena energia elétrica.

Figura 3. 1ª etapa da operação.

A representação para a etapa 1 de operação na

forma de espaço de estados é dada por(Dupont,

2010):

01

1 00

( )

RLxL x LL L

VixCxC

C R RrC

(3)

00( )

xR LLvxR r CL C

(4)

2.2 Etapa 2 de operação do conversor Boost

Na segunda etapa de operação do conversor, mos-

trado na Figura 4, o interruptor não conduz e o indu-

tor transfere energia elétrica para a carga LR junta-

mente com a fonte de alimentação contínua iV .

Figura 4. 2ª etapa de operação.

A representação para a etapa 2 de operação na

forma de espaço de estados é dada por(Dupont,

2010):

[( ) ]

( ) ( ) 1

01

( ) ( )

L C L L C L

L C L CL L

i

C CL

L C L C

r r R r r R

L R r L R rx x LV

x xR

C R r C R r

(5)

0( )

LL C L

CL C L C

xR r Rv

xR r R r

(6)

2.2 Média do espaço de estados

Obtido as equações referentes a cada estado de

operação do conversor, é necessário ponderá-las ao

longo do período de comutação para que a média do

espaço de estados seja obtida. As equações (12) e

(18) são ponderadas utilizando as seguintes equa-

ções:

(1 )1 2A A D A D (7)

(1 )1 2B B D B D (8)

(1 )1 2C C D C D (9)


4160

Onde D é a razão cíclica e )1( D seu com-

plementar. Resolvendo as equações acima se têm as

seguintes matrizes do sistema linearizado:

)()(

)1(

0

1

)(

1

)(

)1(

)(

)1(1

)(

)1(1

CL

L

CL

CL

CLCL

L

CL

L

CL

CL

L

rR

R

rR

DrRC

LB

rRCrRC

DR

rR

DR

LrR

DrRr

LA

(10)

(11)

(12)

Um passo importante na modelagem de converso-

res é a introdução de perturbações, conhecidas por

pequenas variações CA nos valores médios das vari-

áveis. Desta forma, cada variável da modelagem pas-

sa a ser representada como seu valor médio somado à

perturbação, como mostrado nas seguintes equações:

MED pert MED pert

Med pert MED pert

x x x Y Y Y

u u u D D D

(13)

(14)

A modelagem, utilizando o modelo com perturba-

ções, é considerada não linear e necessita de trata-

mento e aproximações adicionais para ser descrita

como linear. Para que as equações possam ser linea-

rizadas é necessário que as perturbações sejam dadas

em valores bem menores que os valores médios das

variáveis. Após a anulação de termos e aproxima-

ções, tem-se que as matrizes que representam o mo-

delo linear e invariante no tempo para pequenas per-

turbações são dadas por(Dupont, 2010):

0

(1 ) (1 )1 1

( ) ( )

(1 ) 1

( ) ( )

1( ) ( )

( )

(1 )

( ) ( )

L C LL

L C L C

L

L C L C

L C LLeq Ceq

L C L C

LLeq

L C

L C L

L C L C

R r D R Dr

L R r L R rA

R D

C R r C R r

R r RL x x

R r L R rB

Rx

C R r

xR r D Rv

R r R r

( )

L L CLeq pert

C L C

R rx D

x R r

(15)

(16)

(17)

Onde Leqx e Ceqx são os valores de equilíbrio das

variáveis de estado e serão calculados, logo a seguir,

em função dos parâmetros de operação do conversor

Boost.

3. Estratégia de Controle

A filosofia do projeto LQR é estabelecer um com-

promisso entre as energias do vetor de estado ( )x t e

do vetor de controle ( )u t , através da seguinte função

de custo a ser minimizada (Skogestad, 2005).

( )min ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]u t

J x t Q t x t u t R t u t dt

(18)

Sendo Q e R matrizes definidas positivas, Q > 0 e R

> 0. Supondo-se que o sistema seja estabilizável, ou

seja, controlável, a lei de controle que estabiliza o

mesmo e minimiza o critério é:

( ) ( )u t Kx t (19)

Sendo:

1 ´K R B P (20)

A matriz P, definida positiva, é solução da equação

de Ricatti a seguir (Skogestad, 2005): 1´ ´ 0A P PA PBR B P Q (21)

O diagrama de blocos do LQR é mostrado na Figura

3

Boost∫+-

( )u t

( )x t

( )r t ( )y t( )t

Kr

Figura 5. Diagrama de blocos do controle LQR

Utilizando-se a definição das matrizes aumentadas

tem-se:

( ) ( )0( )

( ) ( )0 0

x t x tA Bu t

t tC

(22)

Sendo:

( ) ( ) ( )u t Kx t K tI (23)

Observa-se pelo princípio da realimentação de esta-

dos que

Kr K KI

(24)

Sendo Kr um bloco matricial de ganhos, formado

pelas matrizes K e KI . Logo:

( ) ( ) 0( )

( ) 0 ( )

x t A BK BK x tIr t

t C t I

(25)

4. Projeto do controlador

Para iniciar o projeto do controlador LQR é neces-

sário encontrar os pontos de equilíbrio do conversor

Boost, resolvendo a seguinte equação:

0 AX BUeq eq (26)


4161

Y CX dUeq eq eq (27)

Onde as componentes do ponto de equilíbrio são:

eqX Vetor de estado de equilíbrio

eqU Vetor de entrada

eqY Vetor de saída de equilíbrio

Ceq

Leq

eq x

xX

eqeq vY 0

A matriz d apresentada na equação (27) é a ma-

triz de transmissão direta do sinal de controle e con-

siderada nula para este sistema. Assumindo que as

matrizes das equações (26) e (27) possuam inversas,

pode-se resolvê-las para encontrar:

0

( )

( (1 ) )(1 ) ( )

( ) (1 )

( (1 ) )(1 ) ( )

( ) (1 )

( (1 ) )(1 ) ( )

L C i

Leq L L C L C L

Ceq L L C i

L L C L C L

L L C ieq

L L C L C L

R r V

x R R D r D R r r

x R R r V D

R R D r D R r r

R R r V Dv

R R D r D R r r

(28)

(29)

Devem-se substituir os parâmetros do conversor

nas matrizes de equilíbrio, logo os parâmetros utili-

zados estão na tabela abaixo:

Tabela 1. Parâmetros de operação do Boost

Parâmetro Valor Parâmetro Valor

Tensão de entrada )( iV 40V C 947nF

Tensão de saída )( 0V 127V Cr 20mΩ

Frequência )( Sf 30kHz L 6mH

Potência na saída )( 0P 60W Lr 4mΩ

Razão cíclica )(D 68.5% LR 268.8Ω

Desconsiderando as resistências internas do capa-

citor e do indutor, Calcularam-se as matrizes A, B e

C, que descrevem o comportamento dinâmico do

sistema, logo se pode rearranjá-lo da seguinte forma:

5 6

0 50 21200

3,33 10 3930 1,58 10

L Li

C C

x xV

x x

(30)

0 0 1L

C

xv

x

(31)

Com os parâmetros, mostrados na tabela 1, pode-

se chegar aos seguintes valores de equilíbrio:

1.49

126.98

126.980

xLeq

xCeq

veq

No controle por realimentação de estados, o sinal

de controle depende das variáveis de estado, as quais

precisam ser medidas ou devidamente estimadas.

Para que este tipo de controle possa ser feito, deve-se

verificar a controlabilidade e a observabilidade do

sistema analisado. Um sistema é completamente con-

trolável se existir uma ação de controle irrestrita ca-

paz de transferir qualquer estado inicial para qual-

quer outra posição. Já a observabilidade refere-se à

capacidade de estimar uma variável de estado. Sendo

o sistema controlável e observável, pode-se definir

um sinal de controle por realimentação de estados

dado pela equação (19), onde K é o vetor de ga-

nhos, representado por (32), a ser determinado para

que o sistema seja estabilizado.

[ ]1 2K K K Kn (32)

Seja o sistema linear, contínuo e invariante no

tempo, sua representação em malha fechada é dada

por:

( )x A BK x (33)

Resolvido o problema do rastreamento assintótico,

o próximo passo para o projeto do controlador é a

obtenção do vetor de ganhos. O vetor de ganhos e

consequentemente a saída do controlador são defini-

dos basicamente pelas matrizes de ponderação Q e

R . Como auxílio, para determinar as matrizes Q e

R , existem métodos automáticos, como, por exem-

plo, um método baseado em algoritmos genéticos, os

quais são capazes de buscar a resposta dinâmica óti-

ma, de acordo com certos critérios de projeto, sem

muitos esforços analíticos. Neste trabalho serão utili-

zadas as metodologias apresentadas por (Johnson,

1987) para a escolha das matrizes de ponderação que

caracterizam o desempenho do sistema de controle.

Conhecido na literatura como método de Bryson ou

como quadrado do inverso, tem como idéia básica

normalizar as saídas e o termo de controle dentro da

função de índice de desempenho quadrático, onde as

matrizes de ponderação Q e R são definidas como:

0 0 0 01 1

0 0 0 0 0 02 2

0 0 0 0

q r

q rQ e R

q rne na

(34)

onde “ne” é o número de estados e “na” é o número

de atuadores no sistema de controle. O desempenho

desejado, do sistema obtido pelo ajuste das matrizes

de ponderações, é escolhido como (Bryson, 1969):


4162

1 1 e r

2 2( ) ( )qi ix ui i

(35)

Os valores de iu são baseados no máximo es-

forço de controle ou valor máximo de operação dos

atuadores. Já os valores de ix são baseados na fai-

xa/intervalo de operação dos estados.

Na Figura 6 é apresentado o fluxograma do pro-

grama implementado para o método de Bryson, con-

forme (Kwakernaak, 1972).

Figura 6. Algoritmo do Método de Bryson.

O comando lqr do Matlab necessita das matrizes

A , B , Q e R como parâmetros de entrada para

determinar automaticamente o vetor de ganhos Kr .

Desta forma, após analisar os resultados para o gráfi-

co da resposta dinâmica, do sistema para a entrada

degrau, obtiveram-se as seguintes matrizes de ponde-

ração:

1 0 0

0 10 0

60 0 10

3[10 ]

Q

R

(36)

(37)

A partir das matrizes de ponderação e das matrizes

aumentadas que descrevem o comportamento dinâ-

mico do sistema, se obtém o seguinte vetor de ganhos

para o controlador:

6.5891 0.0127 100K KI (38)

5. Resultados de simulação

O resultado da simulação do sistema em malha a-

berta, para entrada degrau unitário, é mostrado na

Figura 7, onde nota-se que o sistema, apesar de ser

estável, não segue a referência unitária e necessita da

ação integral ou do rastreamento assintótico com erro

nulo em regime permanente.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01-200

0

200

400

600V0 versus t

t Sec

V0

V0 malha aberta

Figura 7. Resposta do sistema sem controlador

A Figura 8 mostra os resultados obtidos para dife-

rentes valores da matriz Q, onde se alterou apenas o

elemento Q33. Após o fechamento de malha com o

acréscimo do controlador LQR, o sistema segue a

referência com rápido tempo de acomodação e ne-

nhum overshoot.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2V0 versus t

t Sec

V0

Q33=106

Q33=104

Q33=102

Figura 8. Resposta do sistema em malha fechada com atu-

ação do controlador LQR.

Na figura 9 analisou-se o comportamento da cor-

rente no indutor.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025xL versus t

t Sec

xL

Corrente no indutor

Figura 9. Variável de estado Lx .

Além da tensão na carga e da corrente no indutor

analisou-se a variável de estado referente ao erro

integrado, como mostrado na Figura 10.


4163

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

0.5

1

1.5x 10

-3 xe versus t

t Sec

xe

Erro integrado

Figura 10. Variável de estado ex .

Na Figura 11 pode-se comprovar que a ação inte-

gral consegue anular o erro em curto intervalo de

tempo, o qual equivale ao tempo de estabilização da

curva na Figura 8.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

0.5

1

1.5

t Sec

err

o)

Erro

Figura 11.Simulação do erro.

O sinal de saída do controlador, mostrado na Figu-

ra 12, é enviado para o comparador responsável por

gerar o sinal PWM. O comparador gera um sinal com

frequência constante, resultante da comparação entre

o sinal de controle com um sinal dente serra na fre-

quência de chaveamento que se desejar. Apesar de

apresentar frequência e amplitude constantes, o sinal

PWM pode ter sua largura de pulso alterada para

compensar variações na potência de saída do conver-

sor.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-3 Entrada U

t Sec

u(t

)

U=-(k1*xL+k2*xC+k3*xe)

Figura 12.Sinal de controle.

A Figura 13 mostra o esquemático do conversor

boost e do circuito de controle. Adicionaram-se, ao

conversor, mecanismos de perturbação na tensão de

entrada e na resistência, na saída do conversor. Na

tensão de entrada adicionou-se um gerador de impul-

so, acionado 0.8s depois que sistema foi alimentado.

A representação de uma carga não linear do ponto de

vista do circuito de controle, pode ser interpretada

como operação com plena carga, durante parte do

semiciclo da tensão, e com o dobro da carga plena,

durante outra parte do semiciclo da tensão, do con-

versor. O conversor foi projetado para alimentar uma

carga de 268.8Ω, no entanto, para tornar a carga não

linear, associaram-se em paralelos dois resistores

com o dobro desta resistência, onde através de um

interruptor pode-se variar a carga na saída do conver-

sor que assume o valor de 540Ω ou 270Ω.

Figura 13. Modelo do conversor em malha fechada.

A Figura 14 mostra a tensão na carga sem

perturbações. Pode-se notar que a tensão atinge a

referência de 127v em curto tempo de subida. Deve-

se atentar que apesar da tensão na saída do conversor

ser contínua, há uma ondulação que é uma

componente alternada em torno do valor médio. A

Figura 15 mostra, com detalhes, o sinal da Figura 14.

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Time (s)

0

62.5

125

Vcarga

Figura 14. Tensão de saída do conversor com carga linear.

Pode-se comprovar que o valor médio da tensão,

na Figura 15, é 127v. Além disso a ondulação assume

valores aceitáveis em relação ao valor calculado no

dimensionamento dos elementos armazenadores de

energia.

0.4061 0.4062 0.4063 0.4064

Time (s)

124

126

128

Vcarga

Figura 15. Ondulação do ripple de pico à pico da tensão na

carga.

Na Figura 16 mostra-se o sinal PWM aplicado no

gate do interruptor. Pode-se observar que o sinal

PWM está na frequência de 30KHz, frequência utili-

zada no chaveamento.


4164

0.4443 0.44435 0.4444 0.44445

Time (s)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

PWM

Figura 16. Sinal PWM aplicado ao interruptor.

A Figura 17 mostra a tensão de saída do conver-

sor com variações instantâneas na carga, ou seja,

carga não linear. Uma visão detalhada é mostrada na

Figura 18.

0 1 2 3 4 5

Time (s)

0

50

100

150

200

Vcarga

Figura 17.Tensão de saída do conversor com carga não li-

near.

1 1.002 1.004

Time (s)

120

130

140

150

160

170

180

Vcarga

Figura 18. Pico de tensão gerado pela variação da carga na

saída do conversor.

A partir da Figura 18, pode-se notar que a tensão

leva 2.5ms para estabilizar e retornar a referência de

127v. Este curto intervalo de tempo torna a variação

de quase 45v, em relação a referência, quase

imperceptível, na prática. Na Figura 19 mostra-se a

resposta do sistema para variação de 10% da tensão

de entrada do conversor. O sistema estabilizou em

torno de 3ms, intervalo de tempo satisfatório.

0.8 0.801 0.802 0.803 0.804

Time (s)

120

125

130

135

140

Vcarga

Figura 19. Perturbação na tensão de entrada do conversor.

6. Conclusão

Os resultados apresentados comprovam que o con-

trolador LQR com ação integral é capaz de solucio-

nar o problema do controle de conversores com carga

não linear. Os resultados da simulação justificam a

escolha deste método de controle por realimentação

de estados, onde se alcançou o rastreamento com erro

nulo e ótima rejeição à distúrbio aplicado ao conver-

sor Boost, com carga variável. Portanto, O circuito

de controle é robusto para evitar instabilidades e rá-

pido o suficiente para atuar como estabilizador de

tensão.

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4165

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