1

1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES En Estática se estudio el comportamiento de cuerpos rígidos y se analizaron las 4 fuerzas internas: Fuerza Axial, Momento, Cortante y Torsión, causadas por cargas externas, como el viento, los sismos, el peso propio de los elementos, etc. En la Mecánica o Resistencia de Materiales se estudia el comportamiento de cuerpos sometidos a varios tipos de cargas, y básicamente se determina una relación entre las fuerzas externas y las deformaciones internas producidas en el cuerpo como resultado de estas. Se supone que las deformaciones son pequeñas, y el diseño de la estructura depende del material y las deformaciones admisibles, las cuales deben satisfacer las condiciones de resistencia y servicio admisibles, que son reglamentadas por códigos de construcción. Supongamos una cercha de un puente sometido a unas cargas producidas por el paso de vehículos. Si se hace un corte a-b, como se observa, las fuerzas internas resultantes en el elemento cortado serán de tensión.

El elemento estructural del puente se alarga y el Esfuerzo que ocurren el interior, se representa como el volumen de un rectángulo como se aprecia en al figura anterior, de lados iguales a los de la sección del elemento y altura igual a la magnitud del esfuerzo, este volumen es la magnitud de la fuerza axial interna. El esfuerzo se define como la Fuerza por unidad de área o intensidad de la fuerza σ (sigma):

A

P=σ (Sigma) Intensidad de esfuerzo uniforme en una barra prismática cargada axialmente de

sección transversal arbitraria Esfuerzo de tensión se considera (+) Esfuerzo de compresión se considera (-) Los Esfuerzos normales actúan en dirección perpendicular a la superficie, mientras que los esfuerzos cortantes, actúan paralelos a la superficie. Las unidades usadas para el esfuerzo son:

L

σ

a b Tension

Diagrama de cuerpo libre: DCL L δ

T T

2

Unidades: [F/A] SI (Sistema Internacional):

211m

NPa =

233 10101

mNPakPa ==

2266 110101

mmN

mNPaMPa ===

299 10101

mNPaGPa ==

Sistema Inglés:

21pg

lbpsi =

23101

pglbksi = lbkip 10001 =

22 pie

lbópie

kips

Sistema M K S: (Metro, Kilogramo, segundo)

21

mkgf Nkgf 81.91 =

PROBLEMA 1.1: Determine esfuerzos los normales en las barras de acero AB y BC. σadm= 248 MPa Diagrama de cuerpo libre en el nudo B

3

50

54

kNFF BCAB ==

FAB = 66.67 kN FBC = 83.33 kN

( )( )

MPaA

F

AB

AB 95.35

4

050.0

1067.662

3

AB ===π

σ 4

22 d

rAππ ==

FAB

FBC

50 5

4

3

3

( )( )

MPaA

F

BC

BC 44.42

4

050.0

1033.832

3

BC ===π

σ

b) Hallar el diámetro en las barras d si σadm en el acero es 248 MPa.

mmP

d

mmP

d

7.2010*248*

10*33.83*44

5.1810*248*

10*67.66*44

6

3

6

3

==⋅

=

==⋅

=

πσπ

πσπ

Para fines constructivos se puede usar elementos con diámetro de 25 mm o 1 pg.

Esfuerzo medio sobre la sección: La ecuación A

P=σ es válida si la fuerza es uniformemente

distribuida y actúa en el centroide, sino pasa por el centroide se produce un momento flector. El esfuerzo en un punto Q de una sección transversal se define:

A

FLimA ∆

∆=→∆ 0

σ Cuando ∆A tiende a cero, se convierte en una integral.

F = ∫ ⋅A

dAσ

Para una barra delgada

La distribución de esfuerzos es mayor en las inmediaciones donde se aplican las cargas, y tiende a ser uniforme a distancias mayores a b , dondeb es la dimensión lateral más grande.

4

Concentración de esfuerzos: Se presentan en pernos, pasadores, agujeros, en las esquinas de elementos, filos, etc.

Deformación unitaria Normal ε (Épsilon) Si una barra mide una longitud L, donde=δ Alargamiento y =L Longitud inicial, se define la deformación unitaria normal producida por los esfuerzos normales como:

L

δε = Es adimensional

Para una barra en tensión la deformación unitaria en tensión produce un alargamiento y se considera (+), mientras que una barra en compresión, la deformación unitaria en compresión produce un acortamiento y se considera (-). PROBLEMA 1.2: Para la barra AB de acero del problema anterior calcular ε , si mm0.4=δ

%10.0/001.04000

4 ==== mmmL

δε

1.1. LÍNEA DE ACCIÓN FUERZAS AXIALES PARA DISTRIBUC IÓN UNIFORME DE ESFUERZOS. Consideremos una barra de sección transversal arbitraria

5

Tomando Momentos Mx y My de la fuerza P respecto a los ejes coordenados x e y, por estática debe existir equilibrio en la sección, pues sino la sección tendería a rotar, por lo tanto los momentos producidos por las fuerzas distribuidas deben ser iguales.

yPMx = xPMy −= El giro es (+) Contrarreloj Los Momentos de los esfuerzos se obtienen integrando sobre el área transversal.

dAdF σ=

∫= dAyMx yσ ∫−= dAxMy xσ

Igualando:

∫= dAyP yσ ∫−=− dAxP xσ

A

ydAy ∫=

A

xdAx∫=

La Ecuación anterior da la posición del centroide de un área. Se concluye que para tener tensión o compresión uniforme, la fuerza axial debe pasar por el centroide de la sección transversal. PROBLEMA 1.3: Determinar el esfuerzo de compresión y deformación unitaria en el tubo de aluminio mostrado.

mdi 09.0=

mde 13.0=

m4106 −×=δ

( )GPa

kN

A

P47.3

09.013.04

240

22

=−

== πσ

%06.00006.01

106 4

==×==−

m

m

L

δε

PROBLEMA 1.4 Fuente [1]: Obtener una fórmula para el esfuerzo máximo, maxσ . El peso

unitario se define comoV

Wpp=γ

6

a) Tomando en cuenta el peso propio de la varilla, y calculando el esfuerzo en la parte mas baja de la barra.

4

42

2

maxd

LdW

A

WppW

π

πγσ

+=+=

Ld

W γπ

σ +=2max

4 γ : Peso unitario

b) maxσ si mL 10= , mmd 10= , kNW 0.5= y 3

77m

kNacero =γ , hallar el esfuerzo.

)10(77)01.0(

)5(42max +=

πσ

MPa43.6477.066.63max =+=σ

El esfuerzo producido por el peso propio representa el 1.19% del esfuerzo, por lo tanto se suele despreciar. 1.2. ESFUERZOS CORTANTES PROMEDIO )(τ Tau Actúan paralelas o tangencialmente a la superficie de corte. Ocurren en pernos, pasadores, remaches, etc. Y todos aquellos elementos que traten de ser cortados y sean usados para unir elementos estructurales. Si se divide la fuerza P entre el área de la sección transversal del perno A, se obtiene una distribución de esfuerzos cortantes promedio, el cual se define como:

A

Vmed =τ Esfuerzo cortante promedio sobre la sección.

En el capítulo de Cortante se mostrará una distribución de esfuerzos más aproximada a la real. A continuación se presenta un perno sometido a fuerzas cortantes.

Ca

rga

Ca

rga

7

Perno en cortante simple: Perno en cortante doble: 1.3. ESFUERZOS DE APLASTAMIENTO ( bσ )

Los esfuerzos de aplastamiento ocurren en las platinas y abrazaderas de las conexiones. Siempre se diseña con pernos de alta resistencia, de tal forma que primero falle la platina. Los esfuerzos están uniformemente distribuidos sobre la platina.

td

P

A

P

bb ==σ

bA : Área de aplastamiento

8

t : Espesor de la platina d : Diámetro perno

PROBLEMA 1.5 Fuente [1]: Según la información dada encontrar:

mmd pasador 25=

t elemento estructural =15 mm mmnionplacat 20u =

mmanclajedeplatinat 10 = mmpernosd 15Anclaje =

Elemento Estructural: Acero A50 MPaadm 345=σ

Pernos y pasador: Acero alta Resistencia MPaadm 350=σ y MPaadm 207=τ

a) Hallar el esfuerzo de aplastamiento bσ en el elemento estructural.

paselestb dt

P

Apl

P

22==σ

9

MPaMPab 34533.133)025.0)(015.0(2

)10(100 3

<==σ

b) τ pasador (Cortante doble)

MPaMPad

P

d

P

Acorte

P

pospos

20786.101)025.0(

)10)(100(22

4

22 2

3

22<==

⋅=

⋅==

πππτ

c) bσ entre el pasador y las placas de unión.

MPaMPaApl

Pb 248100

)025.0)(020.0(2

)10(100

2

3

<===σ

d) bσ entre pernos de anclaje y platina de anclaje.

MPadt panclplatiancl

b 85.117)015.0)(010.0(4

45cos)10(100

4

45cos100 030

===σ

e) τ pernos anclaje.

( )MPa

A

P

perpernos 04.100

4

015.0)(4

45cos)10(100

4 2

03

===π

τ

1.4. PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES El comportamiento mecánico de los materiales se establece experimentalmente en laboratorio. A continuación se presentan conceptos relacionados con las propiedades físico-mecánicas: Máquina de prueba en tensión: Se coloca una probeta y se miden los esfuerzos y deformaciones Extensómetro: Dispositivo que mide el alargamiento durante la aplicación de la carga. Método de carga y probetas: Se encuentran estandarizados. Las principales organizaciones normativas en USA estipulan composiciones químicas y propiedades físicas de las probetas y materiales a ensayar. Entre las principales entidades se tiene: ASTM: (American Society for Testing and Materials) ASA: (American Standars Asociatian – Sociedad Americana de normas) ICONTEC: Instituto colombiano de Normas Técnicas. Prueba estática: La carga se aplica despacio y la velocidad no afecta el comportamiento de la probeta Prueba dinámica: La carga se aplica rápido y a veces cíclica, se mide la velocidad de la carga.

10

Prueba de compresión del concreto: Se realiza en construcciones donde se fundan grandes volúmenes de concreto. Se deben evaluar y usar la frecuencia de ensayos según se estipula en el C.5.6 del NSR98. La Probeta estándar generalmente se ensaya a una edad de 7, 14 y 28 días. Dimensiones del Cilindro de Concreto (Medidas en pulgadas.) 1.5. RELACIÓN ESFUERZO – DEFORMACIÓN

- Esfuerzo nominal, convencional o de ingeniería: se usa el área inicial de la probeta

- Esfuerzo verdadero: Se usa el área real de la sección trasversal donde ocurre la falla

- El Esfuerzo nominal < Esfuerzo verdadero, por lo tanto el Área nominal > Área verdadera

- Deformación unitaria axial promedio ε Cociente del alargamiento δ entre las marcas de calibración y la longitud calibrada L

Los primeros Diagramas Esfuerzo – Deformación fueron realizados por Jacob Bernoulli. (1654 - 1705), los cuales describen las características particulares de cada material.

Acero estructural: ( )etcSiSMnCFe .,,,+ Según el contenido de Carbono se clasifica: <0,15% Bajo Carbono 0.15% – 0.29%: Acero dulce – estructural (A36 – 36ksi) 0.30% – 0.59%: Acero mediano 0.60% – 0.70%: Acero alto Carbono. Mayor resistencia, baja deformabilidad Entre mayor contenido de C se tiene: − Mayor resistencia − Baja ductilidad − Baja Soldabilidad (material se agrieta) Curva esfuerzo – Deformación (o de ingeniería) para aceros dulces. El ensayo se realiza con la máquina universal. A continuación se presenta una foto de una máquina universal y un esquema de la curva esfuerzo deformación para el acero (No esta a escala).

11

Máquina Universal. Fuente: http://images.google.com.co

Curva Esfuerzo – Deformación del acero.

Descripción de la curva Esfuerzo – Deformación Punto A: Límite proporcional o elástico, al descargar el material vuelve a su estado inicial Pendiente OA: Módulo de elasticidad E (Ley de Hooke εσ E= ) Tramo AB: Zona plástica o de fluencia, se incrementa la deformación sin incrementos de esfuerzo, presentando un comportamiento plástico. La Resistencia a la fluencia yσ se define

como la carga para producir fluencia. Tramo BC: Endurecimiento por deformación, hay cambios en la estructura cristalina del material (strenght hard). La Resistencia última uσ es la carga máxima que puede soportar, o

carga de falla, representado por el punto C en el diagrama.

12

Tramo CD: Se reduce la resistencia y aumenta la deformación. Aquí ocurre la Estricción o Disminución del área y por lo tanto la carga que puede soportar, aunque el material esta bajo un incremento de esfuerzo. A continuación se presenta una curva esfuerzo deformación para un acero de alta resistencia.

CURVA ESFUERZO - DEFORMACIÓN PARA UN ACERO DE ALTA RESISTENCIA

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

110000

120000

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050 0,055 0,060

ε

σ

Fuente: Datos tomados de Mecánica de Materiales - Gere, James M. [1]

Propiedades de la Resistencia:

yσ : Esfuerzo de fluencia = 248 MPa (A36 – 36ksi), 345MPa (Grado 50 – 50ksi), 550 MPa

(80ksi para aceros de alta resistencia)

uσ : Resistencia última: uσ ≈ 400 MPa (A36)

uσ ≈ 448MPa (Grado 50)

Acero templado: yσ = 620MPa – 690MPa

Normalmente 6.12.1 −≈y

u

σσ

si 2.1<y

u

σσ

la ductilidad baja

Valores típicos de deformación:

Ey

y

σε = ≈ 0.001 – 0.002 (0.01% – 0.20%)

SHε ≈ 0.01 – 0.03 (1% – 3%)

uε ≈ 0.10 – 0.20 (10% – 20%)

13

≡fracturaqε % Elongación ≈ 0.20 – 0.30 (20% – 30%)

Propiedades de la rigidez: E: Módulo elástico esta entre 200 y 210 GPa , para todos los aceros, independiente del tipo de acero.

10030

EEESH −=

Al superar el límite elástico, los cristales que componen el acero, se empiezan a deslizar unos respecto a otros en planos orientadas a 45º en la dirección de la deformación o la dirección de los esfuerzos principales. El acero pasa instantáneamente de SHy εε a , donde la sigla “y” quiere

decir yield o fluencia y SH quiere decir strenght hard, o endurecimiento en por deformación. Resistencia y Módulo de Elasticidad del Concreto. El código NSR-10 en el capítulo C.8.5.1 MÓDULO DE ELASTICIDAD DEL CONCRETO –especifica que Ec debe determinarse experimentalmente a partir de las curvas esfuerzo-deformación obtenidas para un grupo representativo de cilindros estándar de concreto, como la pendiente de la línea secante trazada desde el origen hasta el punto en la curva esfuerzo-deformación correspondiente a un esfuerzo de 0.45f´c en compresión.

El módulo de elasticidad del concreto es sensible al módulo de elasticidad del agregado. La norma NTC 4025 (ASTM C469C.8.8) describe métodos para la determinación del módulo de

14

elasticidad del concreto. También se indica cómo medir el módulo de Poisson, sino se tienen datos experimentales, se puede usar 0.20 En caso de que no se disponga de este valor experimental, para concretos cuya masa unitaria varíe entre 1440 y 2560 kgf/cm3, puede tomarse como las que se estipulan en los comentarios de este capítulo del código. Es común usar la ecuación del capítulo C.8.5.1, que arroja un valor para concreto de densidad normal de:

MPaenf´c7004Ec = Con valores de rigidez a flexión EI bajos, se obtienen mayores deflexiones. Para disminuir la deflexión, se recomienda usar valores experimentales y así aumentar el valor de Ec. La relación modular n = Ea/Ec tiene un rango de valores entre 11 para concreto de 21 MPa o 3000 psi a 6 para concretos de 6000 psi o 41 MPa dependiendo del módulo de elasticidad que se tome. Es decir, que la deformación es menor que la de fluencia, y los esfuerzos en el acero llegan a ser hasta 11 veces los del concreto para la misma deformación. Esfuerzo de fluencia dinámico: Es el aumento de la velocidad de carga y por tanto de resistencia, es el reportado, ya que este esfuerzo es mayor que el estático. Según la norma ASTM

sV ac

001.0arg = , s: segundo.

Esfuerzo de fluencia estático: Velocidad de carga lenta. Ductilidad : Habilidad del material para soportar grandes deformaciones inelásticas sin una pérdida significativa de resistencia. El material A es más dúctil que el material B. Para diseño A es mejor que B, ya que en una sección todo el material debe llegar a la fluencia y eventualmente a su resistencia última. Efecto de la temperatura: yσ y uσ disminuyen al aumentar la

temperatura, E también disminuye. Para To < 260º C la disminución es lenta Para To > 260º C la reducción es lineal y alcanza el 80% a los 420º C Tº < 0º C: la resistencia aumenta ligeramente Tenacidad: Energía almacenada en el elemento estructural bajo la curva εσ − hasta la fractura. Representa la capacidad del material para resistir fracturas frágiles. Se mide con el ensayo de Charpy-Vnotch.

15

La tenacidad es importante en fatiga de materiales, materiales sometidos a bajas Tº, cuando el material no puede fluir o cuando se tiene secciones muy gruesas. Por conservación de energía se tiene:

EEE += 21 La Energía para romper el espécimen se halla por diferencia de altura. Se desprecian las pérdidas por fricción en las conexiones.

21 EEE −=

21 mghmghE −= Aluminio: No posee un punto claro de fluencia claramente definido como el acero. Estructuralmente se tiene que el esfuerzo de fluencia varía entre )41070(6010 MPaksiyF −−= y el

esfuerzo último esta entre )55040(8020 MPaksiFu −−= . Método del corrimiento: Se utiliza para determinar σ y en materiales sin un punto de fluencia claro o definido. El método consiste en trazar una línea paralela a la parte recta de la curva con corte de las ordenadas de 002.0=ε , como se observa en la siguiente gráfica.

Porcentaje de alargamiento:

% de alargamiento = ( )100*0

0

L

LL f −

0L : Longitud calibrada original

fL : Distancia entre marcas de calibración en la fractura

Porcentaje de reducción de área: Mide la cantidad de estricción

% Reducción área = ( )100*0

0

A

AA f−

0A : Área transversal original

fA : Área final en la fractura

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Elasticidad: Propiedad por medio de la cual un material recupera sus dimensiones, en la curva esfuerzo deformación es un segmento rectilíneo. Plasticidad: Característica de un material que sufre deformaciones unitarias elásticas más allá del límite elástico. Un material cargado en el intervalo plástico cambia la estructura y no recupera longitud original. Acero templado: Acero de alta resistencia producido calentando el acero a la temperatura de austenizacion )1600( 0 F> y luego enfriándolo rápidamente con agua o aceite. Flujo plástico: Los Materiales cargados durante mucho tiempo desarrollan deformaciones ε

adicionales.

Creep: Flujo plástico del concreto. Por ejemplo la contra flecha en vigas de puentes, las calzadas cóncavas hacia arriba, para contrarrestar la deformación por creep. 1.6. ELASTICIDAD LINEAL, LEY DE HOOKE Y RELACIÓN DE POISSON Ley de Hooke: Robert Hooke: (Inglés 1635 - 1703) primero en investigar propiedades elásticas de alambres.

εσ E= Unidades [F/A] [psi] [Pa] σ = Esfuerzo axial ε = Deformación unitaria axial E = Módulo de elasticidad ó Young (pendiente) Para un Material lineal – elástico en el proceso de Carga – descarga, este recupera la longitud original siempre y cuando no se supere el esfuerzo de fluencia y no haya deformaciones permanentes.

17

Limitaciones: Relación Esfuerzo-Deformación unitaria longitudinal desarrollada en tensión o compresión solo para el caso de fuerza o esfuerzo uniaxial. A continuación se presenta módulos de elasticidad usados en los materiales de construcción típicos. Acero: E = 30000ksi (210GPa) Alumínio: E = 10600ksi (73 GPa) Plásticos: E = 100 – 2000ksi (0,7 – 14 GPa)

Concreto [ ]MPacfEC 4700 ′= NSR -10 – C.8.5 Normas Colombianas de Diseño

Sismo resistentes. Donde: cf ′ es la resistencia del concreto a la compresión Relación de Poisson νννν(nu): (1781 - 1840). Matemático francés, su nombre era Simeon Dennis. Su trabajo más importante fue una serie de escritos de integrales definidas y sus avances en las series de Fourier. El coeficiente de Poisson se puede medir como la razón entre el alargamiento longitudinal producido en un elemento prismático, divido por el acortamiento de una longitud situada en un plano perpendicular a la dirección de la carga aplicada. Un Alargamiento axial de la barra implica una contracción lateral, y solo es aplicable a materiales elásticos.

La Deformación unitaria lateral es proporcional a la deformación unitaria axial. Deben existir ciertas condiciones:

1. La Fuerza axial debe ser constante en toda la longitud 2. El Material debe ser homogéneo, la densidad es igual en todas las partes. 3. Las propiedades elásticas son iguales en todas las direcciones perpendiculares al eje

longitudinal. -Material Isótropo: Tiene guales propiedades en todas las direcciones, por ejemplo el Acero. -Material Anisótropo: Las propiedades difieren en varias direcciones, como la Madera. -Material Ortotrópico: Las propiedades son iguales en una dirección y las propiedades en las direcciones perpendiculares son iguales pero diferentes a la primera, por ejemplo el concreto reforzado. La formula de Poisson es

εε ′

−=−=AxialUnitariaDef

LateralUnitariaDefv

18

Convención: Barra en tensión: Deformación axial (+) Deformación lateral (–) Barra en compresión: Deformación axial (–) Deformación lateral (+) Otras consideraciones son:

- La relación de Poisson siempre es positiva (+) - Para Materiales isótropos Poisson varía entre 35.025.0 << V - Para el concreto Poisson varía 2.01.0 << V - 5.0max =V (Teórico)

- Para el Acero estructural en fluencia plástica 5.0=V - V permanece constante solo en el intervalo elástico lineal

1.7. LEY DE HOOKE Y CAMBIO DE VOLUMEN Consideremos el siguiente paralelepípedo, con paralelogramos en todas las caras, de dimensiones iniciales a, b, c. el elemento se somete a un esfuerzo de tensión σ, y por lo tanto sufre alargamiento axial, y reducción de sus dimensiones transversales. Aunque el volumen permanece constante.

L

δε =

zz

yy

xx

cvc

bvb

a

εεδεεδ

εδ

−=′=

−=′==

Las dimensiones finales serán:

)1( ε+a ; )1( εVb − ; )1( εVc − Por lo tanto:

)1)(1)(1(0)1)(1)(1( εεεεεε VVVVVabcfV −−+=−−+=

Desarrollando el producto anterior y asumiendo que las deformaciones son muy pequeñas, ya que el material se encuentra en el rango elástico lineal, se puede suponer que 3ε y 2ε tienden a cero.

0V : Volumen inicial

19

−−

−−

−−

=

Z

y

x

EEE

EEE

EEE

z

y

x

σσσ

νν

νν

νν

εεε

1

1

1

fV : Volumen final.

)1(0 εε VVfV −+=

002000)21(00 VVVVVVVVVfVV −−+=−−+=−=∆ εεεε

)21(0 VVV −=∆ ε Cambio de volumen.

Cambio de volumen unitario e: Dilatación ó expansión Representa el cambio de volumen por unidad de volumen. Se define como:

oV

Ve

∆= zyxe εεε ++=

)21()(21

VE

Ve Zyx −=++−= εσσσ Esfuerzo Uniaxial

Si 5.0max ≤V Materiales ordinarias

Si 5.0max >V e sería negativo y no es posible para una barra en tensión.

Estado de Deformación triaxial. La relación de Poisson permite generalizar y expresar la Ley de Hooke, para un estado de carga triaxial. Si se considera elementos sometidos a fuerzas que actúan en los 3 ejes coordenados, se producirán esfuerzos σx, σy y σz., y estos esfuerzos producen de la misma manera deformaciones en todas las direcciones εx, εy y εz.. Para relacionar los esfuerzos con las deformaciones, se consideran el efecto de los esfuerzos actuando en forma separada y después se aplica el principio de superposición, es decir la suma algebraica de los efectos, debido a que se trabaja en el rango elástico.

EEEz

EEEy

EEEx

Zyx

Zyx

Zyx

σσνσνε

σνσσνε

σνσ

νσε

+−−=

−+−=

−−=

PROBLEMA 1.6 [1]: Un tubo de Acero de alta resistencia es sometido a la carga axial P. Se tiene los siguientes datos:

mL 2.1= GPaE 207= MPay 345=σ

mdi 11.0= 30.0=v

mde 15.0= kNP 623=

20

Hallar: a) Acortamiento δ

L

δε = Lεδ = , pero E

σε =

( ) 34527.76

11.015.04

)10(623

22

3

MPaMPaA

P <−=−

=−= πσ

( )( )toacortamien 0.44mm-0.00044m

)10(207

2.110*27.769

6

−==−== δσδE

L

b) Deformación Unitaria Lateral ε ′

410*1.12.1

)00044.0(3.0 −===

−−=−=′LL

νδδννεε

c) Incremento diy ∆∆de

( )15.0*10*1.1 4−=′=∆ dede ε mde 510*65.1 −=∆

( )11.0*10*1.1 4−=′=∆ didi ε mdi 510*21.1 −=∆ d) Incremento espesor de la pared t∆

mtdt 64 10*2.22

11.015.0*10*1.1 −− =

−=′=∆ ε

Alternativamente

2

didet

∆−∆=∆

e) Incremento del volumen V∆

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ])3.0(210.00044-11.015.04

2121 220 −−=−=−=∆ πνδνε

LALVV

compresionen volumen deReduccion -1.44cm)10(44.1 336 =−=∆ − mV f) Expansión e:

( ) ( ) ( ))3.0(212.1

00044.02121 −−=−=−= νδνε

Le

material del en volumen 0.0157 Reduccion )10(5.1 4−−=e

21

1.8. ESFUERZOS INTERNOS BAJO CUALQUIER ESTADO DE CARGA La mayor parte de elementos estructurales están en condición de cargas complejas. El siguiente cuerpo esta bajo varias cargas P1, P2 y P3, si se realiza un corte como se observa en la figura, salen dos fuerzas cortantes y una axial.

X eje allar perpendicu plano sobre normal fuerza :xF∆

idireccion laen x eje allar perpendicu plano sobre cortante fuerza:xiV∆

Dividiendo por ∆A, y haciendo que el diferencial de área tienda a cero, se obtienen las 3 componentes de los esfuerzos.

A

Fx

Ax ∆

∆=

→∆ 0limσ

A

V xy

Axy ∆

∆=

→∆ 0limτ

A

V xz

Axz ∆

∆=

→∆ 0limτ

Se usará la siguiente convención de signos:

( )( )

+

Compresion -

Tensión xσ

( )( )

++

eje del -) ( sdireccioneapuntan flechas las -

eje del )( sdireccioneapuntan flechas ,

lasxzxy ττ

El estado de esfuerzos en un elemento infinitesimal de volumen de lados ∆A, muestra las componentes, σx, σy y σz, que representan el estado de esfuerzos normales y las componentes τxy, τxz, τzy, τzx, τyx y τyz, que representan los esfuerzos cortantes. Para encontrar las fuerzas internas normales y cortantes en el elemento de esfuerzo, se multiplican los esfuerzos por el diferencial de área ∆A, y tomando el sistema de coordenadas en el centro del cubo, se plantean las ecuaciones de equilibrio para encontrar que los esfuerzos cortantes en las caras opuestas tengan la misma magnitud.

22

∑ ∑∑∑∑∑

===

===

0M 0M 0

0F 0F 0

Zy

zy

x

x

M

F

Por ejemplo, tomando momentos alrededor del eje z, en el centro del cubo:

( ) ( )yxxy

yxxy

zM

ττττ

=

=∆Α∆Α−∆Α∆Α

=∑0

0

De forma análoga se encuentra que xzzyxy ττττ == zxy . Por lo tanto el esfuerzo cortante no

debe ocurrir en dos planos perpendiculares, para que halla equilibrio. 1.9. DEFORMACIÓN UNITARIA CORTANTE γγγγ (Gama) Los esfuerzo cortantes que actúan sobre un elemento producen un cambio de forma, de paralelepípedo cúbico a un paralelepípedo oblicuo y las caras cuadradas se transforman en romboides.

23

xyγ Deformación cortante: Es una medida de distorsión, en unidades de grados o radianes.

Se utilizará la siguiente convención: Dirección positiva (+). Caras cuya normal está en dirección (+) de los ejes. Dirección negativa (-): Caras Cuya normal esta en dirección (-) de los ejes. Un paralelogramo rectangular cambia a un paralelepípedo oblicuo y un cuadrado a un romboide. El esfuerzo cortante τ: Es positivo si actúan sobre cara una (+) y actúa en dirección (+) o si actúa sobre la cara (-) y en dirección (-). Es negativo para cualquier otra combinación. La deformación cortante γ : Es positiva (+) si el ángulo entre dos caras positivas o negativas se reduce. Es negativa (-) si el ángulo entre dos caras positivas o negativas se incrementa. Ley de Hooke en Cortante - Diagramas γτ vs Existe una relación lineal entre la distorsión y el esfuerzo cortante.

γτ G= Donde: G: Módulo de elasticidad en cortante γ : Deformación unitaria angular de cortante o distorsión. Se usan ensayos como Corte directo, y torsión pura encontrar la relación esfuerzo – deformación.

Diagrama Esfuerzo – deformación unitaria cortante

También existe una relación entre el módulo de elasticidad el y el módulo de cortante

)1(2 v

EG

+=

Si se tiene: E = 200.000 MPa v = 0,3

24

Entonces: G = 76.900 MPa Acero dulce: G = 11.000ksi – 75 GPa Aluminio: G =4000ksi – 2.8 GPa Teoría de falla de Von Misses: Relaciona el esfuerzo cortante y el esfuerzo axial.

yy

y σσ

τ 557.08.1

==

1.10. ESFUERZOS ADMISIBLES, CARGAS ADMISIBLES Y ÚLT IMAS - FACTOR SEGURIDAD La Resistencia se define como la capacidad de un elemento o estructura para resistir o trasmitir carga. Para evitar la falla se deben mayorar las cargas, por ejemplo para diseño en acero se usa en el método de los estados límites con varias combinaciones de carga, por ejemplo: 1.2CM + 1.6CV (Cap. B del NSR -10), donde CM: Carga muerta y CV: Carga Viva, y además se debe reducir la resistencia por un coeficiente de reducción resistencia φ . La ecuación de diseño muestra que las cargas aplicadas deben ser menores a la resistencia del material.

sistenciaascFM Re arg φ≤ El conocimiento de los esfuerzos últimos se utiliza para:

1) Análisis de estructuras existentes y para predecir su comportamiento. 2) Revisión y chequeo de los esfuerzos 3) Diseño de nuevas estructuras.

Carga Última Pu: Carga de falla, donde se rompe o empieza la restricción

A

Puu =σ Resistencia última a la tensión

requerida Re

a verdaderaResistenci FS seguridad deFactor

sistencia=

Por lo tanto el factor de seguridad FS>1.0 Esfuerzos de Trabajo o esfuerzo de trabajo: El Material permanece en el rango elástico

Esfuerzo admisible = seguridaddeFactor

fluencia a aResistenci

Tensión: y

yadm FS σ

σσ

*= Cortante

y

yadm FS τ

ττ

*=

fluencia de Esfuerzos :yτ,yσ

25

Esfuerzo último : Se usa en Materiales frágiles por ejemplo concreto y aceros de alta resistencia.

ultimos , *

*

esfuerzosFSFS v

admv

vadm === υυ

υ τστ

ττσ

σσ

Generalmente )(),()(),FS( yyuu FSFSFS τστσ >

Cargas admisibles: La Carga admisible es igual al Esfuerzo admisible por el área. Se tiene: Barras en tensión – Compresión: al transversArea :A ) (AP admadm σ=

Barras en cortante Area :A )( bAP admadm τ= aplastamiento

Barras en aplastamiento )( bbadm AP σ=

1.11. DISEÑO POR CARGAS AXIALES Y CORTANTES DIRECTO Diseño. Determinar las propiedades geométricas de la estructura para que soporte las cargas, es decir, encontrar la sección transversal más eficiente que resista dichas carga para esfuerzos uniformemente distribuidos sobre el área

admisible

actuante o itirsepor transm Carga

EsfuerzorequeridaArea =

1.12. DETERMINACIÓN DEL FS (Factor de Seguridad) Si el FS: es pequeño existe una posibilidad grande de falla. Si el FS: es grande el diseño se vuelve caro y no funcional. El factor de seguridad depende de muchos factores, entre los que se tienen:

1) Variaciones en las propiedades del material. 2) Numero de ciclos de carga que pueden esperarse durante la vida de la estructura o

maquina (fatiga). 3) Tipos de carga consideradas en diseño o que puedan ocurrir en el futuro y tipo de falla. 4) Incertidumbre en el método de análisis, deterioro por mantenimiento, e importancia del

elemento respecto a la estructura total. PROBLEMA 1.8: Para la estructura mostrada encontrar la mayor carga P que se puede aplicar.

pasadoresPernosmmd

mmd

DB

c

==

12

6

,

26

Cortante último en el conectores MPau 150=τ

Platina BD MPau 400=σ

Si se requiere un FS = 3, hallar la máxima carga P.

DCL Platina ABC

(2) 0

0

0

0

=−+

=

=−=

=

∑

∑

PCD

F

CD

F

yy

y

xx

x

( ) ( ) 012.025.0

0

=−

=∑y

c

DP

M

(1) 4286.0

33.2

y

y

DP

PD

=

=

DCL Platina BD

yy

y

x

B

xx

x

BD

F

D

M

BD

F

−=

==

=

=−=

=

∑

∑

∑

0

0

0

0

0

Perno B y D (Cortante simple) MPau 150=τ , A

FBDadm =τ .

adm

uFSττ

= MPaadm 503

150 ==τ (1) De AF admBD τ=

kNFBD 65.54

)012.0()10(50

26 =

= π

P=0.4286 (5.65)=2.42kN

27

Platina BD bajo carga axial.

Mpau 400=σ MpaFS

uadm 33.133

3

400 ===σ

σ

( ) kNAF admBD 60.9012.0*006.0*10*133.33 6 === τ

De (1) P = 0.4286*9.6 P = 4.12kN Perno en C: Cortante doble:

MPaadm 503

50 ==τ

De (2)

083.233.2 =−+ PP kNP 13.2=

( ) yCkNA

F ==

== 83.2)006.0(4

250)(10F 2

26adm

πτ