1

Ecuación de Onda.

Profesor Civil Rodrigo Vergara

2003

2

IndiceEspectro de FrecuenciasLínea de Transmisión Ecuación de OndaSolución Ecuación de OndaRelación entre Voltaje y Corriente.Reflexión y Transmisión en una discontinuidad.Fin

3

Espectro de Frecuencias

Las aplicaciones de telecomunicaciones se dan a partir de la banda MF

Radio AM: 0,53-1,7 MHz (MF) Radio FM: 88-108 MHz (VHF) Telefonía Celular: 900 y 1800 MHz (UHF) Telecomunicaciones satelitales: 20 GHz (SHF)

Banda Frecuencia Long. De Onda DenominaciónELF < 3 kHz > 100 km Extremely Low FrequencyVLF 3-30 kHz 100-10 km Very Low FrequencyLF 30-300 kHz 10-1 km Low FrequencyMF 0.3-3 MHz 1000-100 m Medium FrequencyHF 3-30 MHz 100-10 m High Frequency

VHF 30-300 MHz 10-1 m Very High FrequencyUHF 0.3-3 GHz 100-10 cm Ultra High FrequencySHF 3-30 GHz 10-1 cm Super High FrequencyEHF 30-300 GHz 10-1 mm Extremely High Frequency

Banda Frecuencia Long. De Onda DenominaciónELF < 3 kHz > 100 km Extremely Low FrequencyVLF 3-30 kHz 100-10 km Very Low FrequencyLF 30-300 kHz 10-1 km Low FrequencyMF 0.3-3 MHz 1000-100 m Medium FrequencyHF 3-30 MHz 100-10 m High Frequency

VHF 30-300 MHz 10-1 m Very High FrequencyUHF 0.3-3 GHz 100-10 cm Ultra High FrequencySHF 3-30 GHz 10-1 cm Super High FrequencyEHF 30-300 GHz 10-1 mm Extremely High Frequency

4

Alta FrecuenciaCrece uso del espectro electromagnético Crecen requerimientos de BW para telecomunicaciones Equipos y sistemas diseñados para frecuencias cada vez más alta. Crece frecuencia Cambian valores y comportamiento de

componentes (Electrónica III) Los componentes usados a bajas frecuencias no

sirven. Hay que buscar otras formas de transportar señales

de alta frecuencia y de generar circuitos resonantes.

5

Transporte de señales de Alta Frecuencia

Si el de las señales a transportar es comparable con el tamaño físico del sistema de transmisión, se debe usar la teoría de Líneas de Transmisión para analizar su comportamiento.Las líneas de transmisión son usadas en muchas aplicaciones de alta frecuencia para el transporte de señales.

6

Líneas de Transmisión (L de T)

Definición Medio de propagación de ondas

electromagnéticas confinadas entre dos estructuras conductoras que forman un camino continuo desde un lugar a otro.

Ejemplos: Cables Coaxiales Cables Trenzados Guias de Ondas Strip Lines Fibra Óptica

7

Líneas de Transmisión Paralelas

8

Líneas de Transmisión Coaxiales

9

Líneas de Transmisión de Cinta (Strip Line)

10

Líneas de Transmisión Uniforme

Es aquella que tiene geometría de sección transversal constante (sin cambios) a lo largo del camino de propagación.En caso de que haya un cambio de geometría en cualquier punto, será considerada una “discontinuidad” en la línea.

11

Modelos de Línea de Transmisión

Resolución de las Ecuaciones de Maxwell con las condiciones de borde impuestas por la línea.Enfoque más riguroso

Modela la línea como circuitos con resistencias, inductancias y capacitancias distribuidas a lo largo de ella.Es fácil de visualizar.

12

Modelo Circuital

La figura representa el modelo circuital para un trozo incremental de largo x de una L de T.Componentes R: resistencia distribuida (por unidad de largo) [Ω/m] C: capacitancia distribuida (por unidad de largo) [F/m] L: inductancia distribuida (por unidad de largo) [Hy/m] G: conductancia distribuida (por unidad de largo)

[Siemens/m]

13

Variaciones en la línea

V=V(x,t): diferencia de potencial entre conductores.i=i(x,t): corriente por los conductoresV/x: variación de V a lo largo de la líneai/x: variación de i a lo largo de la línea

V

i

xxV

V

xxi

i

14

Planteo Ecuación de Onda

Tomando los dos circuitos podemos anotar: Por LVK

Por LCK

ti

LRixV

ti

xLxiRxxV

VV

ti

LRixV

ti

xLxiRxxV

VV

tV

CGVxi

tV

xCxVGxxi

ii

tV

CGVxi

tV

xCxVGxxi

ii

[1]

[2]

15

Planteo Ecuación de Onda

Haciendo /x en [1]:

Haciendo /t en [2]:

xti

Lxi

RxV 2

2

2

xti

Lxi

RxV 2

2

2

[3]

[4]2

22

tV

CtV

Gxti

2

22

tV

CtV

Gxti

16

Planteo Ecuación de OndaSustituyendo [4] y [2] en [3]:

Esta expresión corresponde a la ecuación diferencial de la L de T para el voltaje a lo largo de la línea.

RGVtV

LGRCtV

LCxV

tV

CtV

GLtV

CGVRxV

2

2

2

2

2

2

2

2

RGVtV

LGRCtV

LCxV

tV

CtV

GLtV

CGVRxV

2

2

2

2

2

2

2

2

[5]

17

Línea sin PérdidasLínea sin pérdidas G=0 y R=0 y

donde

Es la velocidad de propagación de la L de T.

2

2

22

2

tV

v1

xV

2

2

22

2

tV

v1

xV

[6]

LC

1v

LC

1v [7]

18

Solución General Ecuación L de T sin pérdidas

2

2

22

2

tV

v1

xV

2

2

22

2

tV

v1

xV

[8]

vx

tFvx

tFtx,V 21

vx

tFvx

tFtx,V 21

[6]

19

Relación entre Voltaje y Corriente.

Para una línea sin pérdidas, [1] se transforma en

Reemplazando [8] en [9]

ti

LxV

ti

LxV

[9]

vx

tFv1

vx

tFv1

ti

L 21

vx

tFv1

vx

tFv1

ti

L 21[10]

20

Relación entre Voltaje y Corriente.

Integrando parcialmente [10] con respecto a t

La expresión f(z) no depende del tiempo. Como nos interesa concentrarnos en las funciones variantes en el tiempo, la podemos ignorar. Luego

donde

es la impedancia característica de la L de T.

[11] zfvx

tFvx

tFLv1

tx,i 21

zf

vx

tFvx

tFLv1

tx,i 21

[12]

vx

tFvx

tFZ1

tx,i 210

vx

tFvx

tFZ1

tx,i 210

CL

Lv1

Z0 CL

Lv1

Z0 [13]

21

Reflexión y Transmisión en una discontinuidad.

La mayoría de los problemas en L de Ts se refieren a uniones entre una L de T con: Otra L de T de diferente Z0. Una impedancia de carga. Algún otro elemento que introduzca una

discontinuidad.

Por LVK y LCK la corriente y el voltaje deben ser continuos en el punto de discontinuidad.

22

Reflexión y Transmisión en una discontinuidad.

V+: Voltaje Incidente

V-: Voltaje Reflejado

VL: Voltaje en la carga

I+: Corriente IncidenteI-: Corriente ReflejadoIL:Corriente en la carga

23

Reflexión y Transmisión en una discontinuidad.

0ZV

I

0ZV

I

0ZV

I

0ZV

I

LZV

I LL

LZV

I LL

LVVV LVVV

LIII LIII

24

Coeficientes de Reflexión y Transmisión

LVVV LVVV L00 Z

VZV

ZV L

L00 ZV

ZV

ZV L

0L

0L

ZZZZ

VV

0L

0L

ZZZZ

VV

0L

L

ZZ2Z

VV

LT0L

L

ZZ2Z

VV

LT

25

Ecuación de Onda.

Profesor Civil Rodrigo Vergara

2003