1 dinamika materijalne tacke
DESCRIPTION
uiililTRANSCRIPT
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 1
DINAMIKA TAKE
ZADATAK I ISTORIJSKI RAZVOJ MEHANIKE
OSNOVNI ZAKONI DINAMIKE
DIFERENCIJALNE JEDNAINE KRETANJA MATERIJALNE TAKE
Dekartov koordinatni sistem
Polarno cilindrini koordinatni sistem
Prirodni koordinatni sistem
PRAVOLINIJSKO KRETANJE TAKE
Sila je konstantna. Vertikalni hitac i slobodni pad
Sila zavisi samo od vremena
Sila zavisi od rastojanja
Sila zavisi samo od brzine
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 2
Dinamika je deo teorijske mehanike u kome se izuavaju zakoni kretanja materijalnih tela pod dejstvom sila.
ZADATAK I ISTORIJSKI RAZVOJ DINAMIKE
Dinamika:
a) dinamika take,b) dinamika sistema materijalnih taaka,c) dinamika krutog tela
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 3
Osnovne zakone dinamike postavili su:
Sir Isaac Newton (1643-1727) potpuno formulisao osnovne zakone
dinamike klasina mehanika naziva se i
Njutnovom mehanikom
Galileo Galilei (1564-1642) uveo pojam brzine i ubrzanja prvi formulisao zakon inercije zakon slobodnog pada tela
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 4
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 5
Nicolaus Copernicus(1473-1543)Daniel Bernoulli
(1700-1782)
Jonhannes Kepler(1571-1630)
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 6
Karl Friedrich Gauss(1777-1855)
Leonhard Euler(1707-1783)
Joseph Louis Lagrange(1736-1813)
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 7
Prvi zakon - zakon inercijeTelo ostaje u stanju mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja sve dok pod dejstvom sila ne promeni to stanje.
Trei zakon zakon o jednakosti akcije i reakcijeDejstvo akcije jednako je protivdejstvu (reakciji) ili dva tela deluju jedno na drugo silama koje su istog intenziteta, istih pravaca a suprotnih smerova.
OSNOVNI ZAKONI DINAMIKE
Drugi zakon osnovna jednaina dinamikePromena kretanja proporcionalna je sili koja dejstvuje i vri se u pravcu dejstva sile.
amttvvmF
vrrr ==
0
0lim
amFvr =
2112 FFrr =
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 8
Prvi zakon - zakon inercije
Telo ostaje u stanju mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja sve dok pod dejstvom sila ne promeni to stanje.
OSNOVNI ZAKONI DINAMIKE
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 9
Drugi zakon osnovna jednaina dinamike
Promena kretanja proporcionalna je sili koja dejstvuje i vri se u pravcu dejstva sile.
amttvvmF
vrrr ==
0
0lim
amFvr =
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 10
Veliina koja zavisi od koliine materije jednog tela i koja odreuje njegovu inertnost zove se masa tela.
Inertnost je svojstvo materijalnih tela da bre ili sporije menjaju brzinu svog kretanja pod dejstvom datih sila.
Materijalnom takom naziva se materijalno telo kod koga se pri prouavanju posmatranog kretanja njegove dimenzije mogu zanemariti.
Drugi zakon osnovna jednaina dinamike
spoljna sila
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 11
Masa je pozitivna skalarna veliina koja je karakteristika tela
Masa i teina su dva razliita pojma. Teina je sila kojom Zemlja privlai telo, a masa je konstanta, karakteristika tela, koja postoji i u besteinskom stanju (kada je teina jednaka nuli).
Drugi zakon osnovna jednaina dinamike
281.9 smg =
gGm =
gmGvv =
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 12
Masa i teina su dva razliita pojma. Teina je sila kojom Zemlja privlai telo, a masa je konstanta, karakteristika tela, koja postoji i u besteinskom stanju (kada je teina jednaka nuli).
Drugi zakon osnovna jednaina dinamike
a=0, v=const slobodan pad
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 13
Ubrzanje estice je:
a) direktno proporcionalno rezultanti sila koja deluju na esticu,b) istog smera kao rezultanta sila koja deluju na esticu,c) obrnuto proporcionalno masi estice.
FR
m
a
m
estica ima svojstva:- geometrijska svojstva take- masu m.
Drugi zakon osnovna jednaina dinamike
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 14
Mm
1F F2
F3
1F
F2
F3
FR
FR
m
a
m
RFamrv =
321 FFFFRrrrr ++=
=
= ni
iR FF1
rr
= iFam rv RFmarv 1=
Aksioma o slaganju sila (zakon o nezavisnosti dejstva sila):Ako na telo (taku) dejstvuje sistem sila, onda se primenom aksiome o paralelogramu dolazi do rezultante sistema, koja je predstavljena zavrnom stranom poligona sila.
Drugi zakon osnovna jednaina dinamike
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 15
Trei zakon zakon o jednakosti akcije i reakcije
Dejstvo akcije jednako je protivdejstvu (reakciji) ili dva tela deluju jedno na drugo silama koje su istog intenziteta, istih pravaca a suprotnih smerova.
2112 FFrr =
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 16
SI Meunarodni sistem jedinica (Systeme Internationale d'Unites)masa m (kg) kilogram,duina L (m) metar,vreme t (s) sekund,brzina v (m/s) metar u sekundi,Ubrzanje a (m/s2) metar u sekundi na kvadrat,sila F (N) Njutn / Newton 2s
mkgN =
11 Poznat je zakon kretanja materijalne take, a treba odrediti silu koja deluje na materijalnu taku (prvi zadatak dinamike).
22 Poznate su sile koje deluju na materijalnu taku, a treba odrediti zakon kretanja materijalne take (drugi ili osnovni zadatak dinamike).
Osnovni zadaci dinamike take
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 17
Diferencijalne jednaine kretanja materijalne take
Dekartov koordinatni sistem
ktzjtyitxtrrvrr
)()()()( ++=kZjYiXFrvrr ++=
ktzjtyitxtvr&v&r&r )()()()( ++=
ktzjtyitxtvtar&&v&&r&&&r )()()()()( ++==
ZzmYymXxm
===
&&&&&&
Diferencijalne jednaine kretanja materijalne take u odnosu na Dekartov koordinatni sistem:
),,,,,,(),,,,,,(),,,,,,(
tzyxzyxZZtzyxzyxYYtzyxzyxXX
&&&&&&&&&
===
O
r(t)
x
y
z
ji
k
y(t)x(t)
z(t)
Z
X
YM
F
m
Frmr&&r =
Poto je:
= iFrm r&&r
===
i
i
i
ZzmYymXxm
&&&&&&
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 18
Diferencijalne jednaine kretanja materijalne take u odnosu napolarno cilindrini koordinatni sistem
Komponente ubrzanja:
radijalno
cirkularno
.)(,)(,)(
tzztt
===
2 &&& =a
( ) &&&&&&&&& +=+== 21211 22dtdaczaz &&=
kFcFFF zcrrrrr ++= 00
z
c
r
FzmFm
Fm
==+
=
&&&&&&
&&&)2(
)( 2
( )
( )( )
==+
=
zi
ci
ri
FzmFm
Fm
&&&&&&
&&&)2(
)( 2
aksijalno
Or
x
z
z
Mm
c0
r0
c0
r0
k
k
FC
Fr
FZ
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 19
Diferencijalne jednaine kretanja materijalne take u odnosuna prirodni koordinatni sistem
U zavisnosti od lune koordinate s:
s
Mm
T
FT
MO
0
N
FN
FB
aT
v
aN
B
a =0N
Famrr =
)(tss =sv &=
0
22
===
==
B
kkN
T
aRs
Rva
sdtdva
&
&&
0
2
==
=
B
Nk
T
F
FRsm
Fsm&&& ( )
( )0
2
==
=
B
Nik
Ti
F
FRsm
Fsm&&&
Frmr&&r =
BB
NN
TT
FamFamFam
==={
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 20
Pravolinijsko kretanje take
Dovoljni uslovi:
Neka se taka kree pravolinijski, du ose x.
Potreban uslov:Rezultanta sila mora imati konstantan pravac koji se poklapa sa linijom putanje take.
Pretpostavimo da su jednaine zadovoljene tokom perioda kretanja take od intervala t0 do vremena t1.
Tada sledi da su:
Xxm =&&0,0 == ZY
0,0 == zy &&&&00, zconstzyconsty &&&& ====
Da bi kretanje bilo du ose x, mora biti ispunjeno:0,0 == zy &&
Uslovi u konanom obliku: iFF RRrr = ivv rr 00 =
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 21
Putanja take moe biti pravolinijska ili krivolinijska
Integracija diferencijalnih jednaina kretanja, u optem sluaju kada sila zavisi od poloaja take, njene brzine i vremena je matematiki sloen zadatak.
Xxm =&&
Slede primeri karakteristinih sluajeva pravolinijskog kretanja take.
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 22
Pravolinijsko kretanje take pod dejstvom konstantne sile
constFFxm == ,&&
mFx =&&
dtmFdtxxd
dtxdx === &&&&&&
1CdtmFxd += &
1CtmFx +=&
0,0 vxt == &0110 ,0 vCCm
Fv =+= 0vtmFx +=&
M Fv00M
x
xx0
O
Zakon promene brzine take:Poetni uslov za brzinu:
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 23
Odreivanje zakona kretanja materijalne take:
Pravolinijsko kretanje take pod dejstvom konstantne sile
M Fv00M
x
xx0
O
dtvdttmFdx 0+=
20 cdtvdttmFdx ++=
20
2
2Ctvt
mFx ++=
0,0 xxt ==02200 ,00 xCCvm
Fx =++= 002
2xtvt
mFx ++=
0vtmFx +=&
Poto je:
dtdxx =&
Poetni uslov: Zakon kretanja:
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 24
Slobodni pad u bezvazdunom prostoru
Poetni uslovi su:
M
G
0M
m
y
h
====
00
00vy
yt &
gygmym
==
&&&&
Zakon promene brzine:
1Cgty +=&0,0,0 10 ==== Cvyt &
gty =&
Zakon kretanja:
22
21 Cgty +=
0,0,0 2 === Cyt2
21 gty =
Smatra se da je polje Zemljine tee homogeno, tj. sila tee je konstantna ne menja se sa vremenom.
Otpor vazduha se zanemaruje.
Diferencijalna jednaina kretanja:
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 25
Vreme padanja (T) take sa visine (h):
Neka je: t=T, y=h, tada je:
Brzina kojom taka pada vez poetne brzine na Zemlju:
ghghggTyTt Tt 2
2 ==== =&ghy 2=&
ghTgTh 2
21 2 ==
Ako bi taka u poloaju M0 imala poetnu brzinu v0 vertikalno nadole, tada je:
0vgty +=&tvgty 0
2
21 +=
Slobodni pad u bezvazdunom prostoru
M
G
0M
m
y
h
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 26
Vertikalan hitac u bezvazdunom prostoru
Poetni uslovi su:
Projektovanjem na osu y:
====
00
00vy
yt &
gmamrr =
M
0M
m
y
hG
v0
1M
gy =&&1Cgty +=&
1010 0 CvCgv =+=gtvvgty +=+= 00&
212
21 CtCgty ++=
0000 221 =++= CCCg
221 2
002 gttvtvgty =+=
Ako je taki u poetnom poloaju saoptena poetna brzina vertikalno navie, tada je takvo kretanje vertikalni hitac.
Diferencijalna jednaina kretanja:
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 27
Najvea visina (h) do koje taka dolazi:
Vreme (t1) za koje se postie najvea visina
M
0M
m
y
hG
v0
1M
Poetna brzina take da bi dostigla visinu h:
10 tty ==&
gvtgtv 0110 0 ==
2
21
101gttvhy tt ===
2
200
0 2 gvg
gvvh =
gvh
20
21=
ghv 20 =
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 28
Pravolinijsko kretanje take pod dejstvom sile koja zavisi samo od vremena
)(tFF =)(tFxm =&&
dtxdx&&& =
+= 1)(1 CdttFmx&
11 )(1 Ctm
x +=&= dttFt )()(1
211 )(1 CtCdttm
x ++= = dttt )()( 12212 )(
1 CtCtm
x ++=
M F0M
x
xm
Zakon promene brzine:
Zakon kretanja:
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 29
Pravolinijsko kretanje take pod dejstvom sile koja zavisi samo od rastojanja
)(xFF =)(xFxm =&&
1)(1 CdxxFm
xdx += &&11
2 )(121 Cxf
mx +=&
= )()( 1 xfdxxF
'11 )(
2 Cxfm
x +=&
'11 )(
2 Cxfmdt
dx +=
2'11 )(
2Cdt
Cxfm
dx +=+
2
'11 )(
2Ct
Cxfm
dx +=+
M F0M
x
xm
Ako se uvede transformacija:
Zakon promene brzine:
Zakon kretanja:
dxxdx
dtdx
dxxd
dtxdx
&&&&&& ===
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 30
Padanje tela sa velike visine u bezvazdunom prostoru
2rmMfF =
m masa tela,M masa Zemlje,f univerzalna gravitaciona
konstanta.6.67 1011 m3 / s2 kg
Privlana sila F (Njutnov zakon opte gravitacije):
Sva tela privlae jedna druga silom koja je upravno proporcionalna proizvodu mase tih tela a obrnuto proporcionalna kvadratu rastojanja meu njima.
m M
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 31
Padanje tela sa velike visine u bezvazdunom prostoru
2rmMfF =
mgF =
2
2
rmgRF =
2
2
)( yhRmgRF +=
2
2
)( yhRmgRym +=&&
M
0M
m
y
h
Fr
R
Zemlja
m masa tela,M masa Zemlje,f univerzalna gravitaciona
konstanta.
Privlana sila F (Njutnov zakon opte gravitacije):
Na povrini Zemlje, tj. za r = R:
Ako eliminiemo veliine f i M, sila F je:
2RmMfmg = 2gRfM =
Diferencijalna jednaina kretanja:
a slike je: yhRr +=
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 32
122
)(C
yhRdygRydy ++= && ydy
ydy &&&& =
1222
21 C
udugRy += &
122 1
21 C
yhRgRy ++=&
===
00
0yy
t & hRgRC +=
2
1
hRgR
yhRgRy ++=
222 1
21 &
++= hRyhRgRy112 2&
))(()(2 2
hRyhRyhRhRgRy ++
++=&
yhRy
hRgRy ++=
22&
yhRy
hRgRy ++=
2&
2
2
)( yhRmgRym +=&&
Integracijom se dobija:
Smena:dydy
yhRu=
+={
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 33
Brzina kojom taka padne na zemlju (v1):
hy =
hhRh
hRgRyv hy ++== =
21 &
Rh
hRgRv +=
21
Rh
hRgRv +=
2
12
hRRghv += 21
ghv 21 =Rh
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 34
Zakon kretanja
Smena:
yhRy
hRgRy ++=
2&
dydyy =&22 CdthR
gRy
yhRy
dy ++=+
22 Ct
hRgRy
yhRy
dy ++=+
dhRdyhRy
cossin)(2cos)( 2
+=+=
Integracijom jednaine dobija se:
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 35
2
2
2
2arccos)()(arccos)()(
2sin)(21)(cossin)(2
cos)()cos1)((
CthR
gRhR
yhRyhRyhR
yhRyhRy
hRhRdhRhR
hR
++=++++++=
+++=+++
2)(0,0 2hRCyt +===
+++++=
hRyhRyhRy
gRhRt arccos
2)()(
2 2
hRy
hRy
+=+ arcsinarccos2
++++
+=hR
yhRyhRygR
hRt arcsin)()(2 2
Zakon kretanja u implicitnom obliku:
Poetni uslovi:
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 36
Pravolinijsko kretanje take pod dejstvom sile koja zavisi samo od brzine
)(vFF =)(xFxm &&& =
dtxdx&&& =
)(xFdtxdm && =
+= 1)( CdtxFxdm &&
11 )( Ctxfm +=& = )()(1 xFxdxf &&&
)( 12 Ctfx +=&
212 )( CdtCtfdx ++= 213 )( CCtfx ++=
Integracijom prethodne jednaine:
gde je:
Reavanjem po brzini dobija se zakon promene brzine :x&
Ponovnom integracijom dobija se zakon kretanja
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 37
Slobodni pad tela u vazduhu
G
0M
m
yFw
wFGamrrr +=
wFGym =&&2yAcmgym &&& =
2ym
Acgy &&& =
= 21 ymg
Acgy &&&
=
2
1kygy&&&
Acmgk =
2
+=
12
1Cdtg
kyyd&&
Projektovanjem na osu y:
Diferencijalna jednaina kretanja:
k konstanta koja ima dimenziju brzine
Integracijom
Fw sila otpora,c konstanta zavisna od
oblika tela gustina vazduha,A povrina poprenog
preseka tela normalnog na pravac kretanja.
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 38
2
1
1
11
=
++
ky
ky
B
ky
A&&& 2
1== BA
1112
1 Cgt
ky
yd
ky
yd +=
++
&&
&&
1ln2Cgt
ykykk +=
+&&
0,0 == yt &
1000ln
2Cg
kkk +=+ 01 =C
gtykykk =
+&&
ln2
kgt
ykyk 2ln =
+&&
+=
12
1Cdtg
kyyd&&
Poetni uslovi:
kgt
eykyk 2=
+&&
kgt
eykyk2
)( && =+
=
+ 11
22kgt
kgt
ekeyy &&
1
12
2
+=
kgt
kgt
e
eky&
=+=
kgtThk
ee
eekykgt
kgt
kgt
kgt
&
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 39
2Cee
eekdykgt
kgt
kgt
kgt
++=
zee kgt
kgt
=+
dzgkdtee k
gtkgt
=
+
+= 22
Cz
dzgky
2
2
ln Ceegky k
gtkgt
+
+=
2ln0,02
2 gkCyt ===
=kgtCh
gky ln
2
=+=
kgtkTh
ee
eekykgt
kgt
kgt
kgt
&Zakon kretanja:Integraljenjem jednaine sledi:
Smena:
Poetni uslovi:
+=
2ln
2 kgt
kgt
eegky
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 40
Vertikalni hitac u vazduhu
0M
m
y
h G
v0
1M
Fw
wFGamrrr +=
wFmgym =&&2yAcmgym &&& =
2ym
Acgy &&& =
+= 21 ymg
Acgy &&&
+=
2
1kygy&&&
Acmgk =
2
+=
+12
1Cdtg
kyyd&&
Projektovanjem na osu y:
Diferencijalna jednaina kretanja:
k konstanta koja ima dimenziju brzine
Integracijom
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 41
===kvarctgkCyt 010,0 &
gtkvarctg
kyarctgk =
0&
=kyarctg
kvarctg
gkt
&0
===kvarctg
gktytt 011 0, &
Nastaviti integraciju, tada poto je
+
=1
arctgarctgarctg
tada:
20
0
1k
yvky
kv
artgkgt
&
&
+
=
yvkyvk
kgttg &
&0
20
+=
1Cgtkyarctgk +=
&
+=
+12
1Cdtg
kyyd&&
Poetni uslovi:
Vreme penjanja tela t1:
Da bi se dobio zakon kretanja, iz prethodnog izraza treba izrazitiu funkciji vremena.
y&
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 42
+
=
+
=
kgt
kgt
kv
kgtk
kgtv
kgttg
kv
kgttgkv
ycossin
sincos
1 0
0
0
0&
dt
kgt
kgt
kv
kgt
kg
kgt
kvg
gkdy
+
=
cossin
sincos
0
20
2
20
2cossinln C
kgt
kgt
kv
gky +
+
=
+
=kgt
kgt
kv
gky cossinln 0
2
00,0 2 === CytPoetni uslovi:
Visina penjanja:
hytt
tyy
tt ===
= 1
1
)(
+= 2
20
21ln
2 kv
gkh
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 43
Ukupno vreme kretanja
Nakon dostizanja najvieg poloaja M1, taka se kree nanie
Kretanja navie i nanie se moraju prouiti posebno, tako da je ukupno vreme kretanja:
21 ttt += 1t2t
- vertikalni hitac- slobodan pad
=kgtCh
gky ln
2
+=
2ln
2 kgt
kgt
eegky
Vreme padanja t2 se dobija ako se umesto y u jednaini
zameni h iz jednaine
+= 2
20
21ln
2 kv
gkh
++= 2
200
2 1ln kv
kv
gkt
-
Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 44
Brzina v2 kojom taka padne u poetni poloaj
Vreme t2 iz jednaine
zameniti u jednainu
++= 2
200
2 1ln kv
kv
gkt
=+=
kgtThk
ee
eekykgt
kgt
kgt
kgt
&
2
20
02
1kv
vv+
=
Usled dejstva sile otpora brzina take pri padu na Zemlju je manja od poetne brzine take.
02 vv