1. DIBUJO TÉCNICO: TRAZADOS GEOMÉTRICOS.

1.1. ÚTILES Y MATERIALES DE DIBUJO TÉCNICO:

A) FORMATOS NORMALIZADOS DE PAPEL:En  el  dibujo  técnico  el  tamaño  del  papel  está  establecido  por  una  norma  internacional.  A  partir  de  unrectángulo de papel de 1m2 de superficie (llamado formato A0), se obtienen el resto de tamaños, dividiendoel papel por la mitad. Así pues, un A4 es la mitad de un A3, por ejemplo.

 

A 2

A4

A 6 A 3

A 6 A 5

A 1

Rectángulo  A0 dividido  en  el resto de formatos. 

FORMATOS

A0 841 x 1189

A1 594 x 841

A2 420 x 594

A3 297 x 420

A4 210 x 297

A5 148 x 210

A6 105 x 148

B) LÁPIZ DE GRAFITO: Está formado por una “mina” o barra de mineral de grafito mezclado con arcilla, que vaprotegida por una cubierta de madera. Dependiendo del porcentaje de grafito o arcilla, tendremos una mina“blanda” (grasa, de trazo oscuro)  o “dura” (seca, de trazo gris).

El lápiz de grafito va numerado para indicar su grado de dureza. La numeración escolar americana, de origen francés, es sencilla pero limitada (0, 1, 2, 2´5, 3, 4). La europea, de origen inglés (que es la que nos interesa), tiene 20 números que van del gris claro al negro. Se utiliza la letra " H" (“hard”, duro en inglés) para señalar los lápices duros y la " B" (“black”, negro en inglés) para lápices blandos. Hay también un lápiz marcado como " F" (“firm”, firme, fuerte).  

Además  de  estas  dos  numeraciones,  algunos  lápices  llevan  en  su  extremo  un  código  de  color  para reconocerlo con facilidad (rojo, azul, negro, verde, etc.). Ejemplo, el lápiz HB:  

El portaminas normalizado es un instrumento muy útil para trazar líneas con un grosor definido: 0´3, 0´5, 0´7, etc. generalmente finas.

El lapicero de barra es un portaminas que se utiliza de forma parecida al lápiz tradicional, ya que tiene minas del mismo grosor: 2 mm.

C) LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN: Son dos instrumentos de dibujo con forma de triángulo rectángulo.

- LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: Tienen un ángulo recto y dos agudos. Los lados que forman 90º se llaman “catetos” (cateto significa perpendicular) y el lado restante (lado mayor) se llama “hipotenusa”. La hipotenusa es, por tanto, el lado opuesto al ángulo de 90º.

90º  90º 

45º      45º  30º      60º 

ESCUADRA:  Triángulo  rectángulo ISÓSCELES, con dos lados iguales y uno desigual.   

Como  los  ángulos  agudos  son iguales,  su medida  es  de  45º,  de modo que:  

   45º + 45º + 90º = 180º

CARTABÓN:  Triángulo  rectángulo ESCALENO, que tiene  los tres  lados desiguales.  

En  este  caso,  los  ángulos  agudos son  respectivamente de 30º y 60º, de modo que: 

  30º +60º + 90º = 180º RECUERDA: 

Los ángulos interiores de un triángulo suman 180º 

- TRAZADO DE PARALELAS: Utilizamos las hipotenusas de la escuadra y del cartabón (señaladas en rojo) como se indica en los dibujos, para aprovechar su mayor longitud.

1. Vamos a trazar rectasparalelas a la recta “m”. Acercamos la hipotenusa de la escuadra hacia la recta.

2. Después acercamos lahipotenusa del cartabón para apoyarla en la escuadra.

3. Trazamos las paralelas a larecta m desplazando la escuadra sobre el cartabón.

4. El cartabón puede sersustituido por una regla:

Observa: Cuando desplazamos la escuadra, sujetamos el cartabón. Cuando trazamos las líneas, sujetamos la escuadra.

m

m m

- TRAZADO DE PERPENDICULARES: Se gira la escuadra 90º haciendo “bisagra” con el vértice del ángulo recto.

1. Partiendo del trazado de paralelas,hacemos el giro de 90º a la escuadra, apoyándonos en su vértice “O”.

2. Sujetando bien el cartabón, giramosla escuadra: la hipotenusa estará perpendicular.

3. Trazamos las perpendiculares a larecta m desplazando la escuadra sobre el cartabón.

‐ DIBUJAR UN CUADRADO: Haciendo paralelas y perpendiculares podemos dibujar con facilidad rectángulos. Pero para hacer cuadrados es necesario trazar antes una diagonal del mismo, que se obtiene con un cateto de la escuadra:

1. Por  el método  ya  conocido,  dibujamos  dos  rectas  perpendiculares,obteniendo un vértice del cuadrado: 

2. Desplazando un poco la escuadra,pasamos un cateto por el vértice:

3. Usamos el cateto para dibujarla diagonal del cuadrado:

4. Trazamos desde cualquier punto de la diagonal un par de rectas paralelas a las dosprimeras, cerrando así la figura:

- ÁNGULOS: Mostramos algunos ejemplos de ángulos, partiendo de una recta horizontal.

1. Ajustamos la escuadra a lalínea y el cartabón a la escuadra:

2. Desplazamos la escuadra un poco: 3. Si situamos el cartabón sobre la escuadra,obtenemos 4 ángulos: 60º, 120º, 30º y 150º

m m

O

m

O

RESULTADO

120º 150º

1. DIBUJO TÉCNICO: TRAZADOS GEOMÉTRICOS.

1.2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS EN EL PLANO: EL PUNTO Y LA LÍNEA.

1.2.1. EL PUNTO Y SU REPRESENTACIÓN.

Podemos definir el PUNTO como la señal más pequeña que se puede dibujar sobre le plano. Es, por tanto, la unidad mínima de comunicación visual (o bien la unidad mínima de representación). El punto es conceptualmente tan pequeño, que su forma es irrelevante. En la medida en que lo reconocemos como triángulo, cuadrado, círculo o simple mancha irregular, deja de ser punto para convertirse en una forma.

Geométricamente, el punto no tiene medida, y queda definido como el lugar donde se cortan dos líneas. Se puede representar de varias formas, unas más recomendables que otras, y va acompañado de una letra mayúscula (A, B, C, D, etc.) para localizarlo mejor. Algunos ejemplos:

SE RECOMIENDAN: NO SE RECOMIENDAN (dan lugar a imprecisiones):

D E F C D

A B C A B

1.2.2. LA LÍNEA Y SU REPRESENTACIÓN.

Podemos definir la LÍNEA como una sucesión de puntos sobre el plano.

- Cuando esta sucesión de puntos se produce en una sola dirección, nos encontramos con la LÍNEA RECTA.

- Cuando la dirección varía paulatinamente (poco a poco), nos encontramos con la LÍNEA CURVA.

Para distinguirla del punto, la línea se acompaña con una letra minúscula (a, b, c, d, etc.).

LA RECTA LA CURVA

m a

1.2.2. TIPOS DE LÍNEAS.

Podemos clasificar las líneas en dos grandes grupos: - Las simples: RECTA y CURVA. - Las compuestas: formadas por segmentos de rectas y/o de circunferencias.

A) La línea RECTA

Longitud de la recta:

Línea recta Semirrecta (Media recta) Segmento de recta

r Es infinitamente larga (símbolo ∞),y por tanto, no se puede medir.

A m

Es una recta limitada por un punto. También es infinitamente larga. La definimos como la recta que parte de un punto y se extiende hacia el infinito.

A B

Es una recta limitada por 2 puntos. Por tanto, tiene medida. La definimos como la parte de la recta comprendida entre dos puntos. Se puede nombrar así: AB

Situación de la recta sobre el plano:

VERTICAL HORIZONTAL INCLINADA

m n t

Posición entre dos RECTAS del plano:

PARALELAS SECANTES

Dos rectas son secantes cuando se CORTAN, es decir, tienen un punto en común, aunque esto suceda fuera del papel.

Dos rectas contenidas en un plano son paralelas cuando por más que se prolonguen, no se cortan (no tienen un punto en común).

Las parejas de puntos más próximos de dos rectas paralelas guardan siempre la misma distancia (d).

PERPENDICULARES Dividen el plano en cuatro ángulos

iguales llamados ángulos rectos (90º).

Como la circunferencia está dividida en 360 partes iguales llamadas “grados”, cada ángulo recto medirá 90º (360º dividido entre 4). Símbolos:

OBLICUAS Dividen el plano en cuatro ángulos

iguales dos a dos. Dos agudos (<90º) y dos obtusos (>90º).

Las rectas concurrentes que se cortan fuera del papel son también oblicuas:

∞ ∞ ∞

∞ ∞m 

∞ ∞n  r

d

d d

90º 90º

90º 90º

P  t

r t

Perpendicular 

mP 

n

a 

b 

B) La línea CURVA:

Cerrada:

Circunferencia Elipse

Todos sus puntos están a la misma distancia (d) del Centro (O).

Curva cónica especial. Todos sus puntos tienen la misma suma de distancias (d) a los Focos (F1 y F2)

a + b = d

Abierta:

Arco: Semicircunferencia Parábola

Segmento de circunferencia Arco de 180º (Media circunferencia) Curva cónica especial (utilizada, por ejemplo, para diseñar las antenas parabólicas).

Posiciones entre DOS CIRCUNFERENCIAS:

Exteriores Secantes Tangentes exteriores

Distanciadas entre sí. Se cortan: Tienen 2 puntos en común.

Tienen un solo punto en común.

Tangentes interiores Interiores Concéntricas Interiores Excéntricas Tienen un solo punto en común. Tienen el mismo centro. Tienen distinto centro.

A 

O      B  A     O  BF 

O    F1 F2

d a    b 

O1 O2 

O1 O2 O1 O2

O1 O2 

A

B

O1 O2 T

T: “Punto de tangencia”

O1 O2 T 

T: “Punto de tangencia” 

Posiciones entre RECTA y CIRCUNFERENCIA:

Exteriores Secantes Tangentes

Distanciadas entre sí. Se cortan: Tienen 2 puntos en común.

Tienen un solo punto en común.

B) Las líneas COMPUESTAS: En este grupo englobamos diferentes tipos de líneas más o menos complejas, queestán formados por varios segmentos consecutivos de recta, o bien de circunferencia, o de ambos elementos (recta y circunferencia).

- Segmentos de recta:

Línea poligonal abierta Línea poligonal cerrada

Aquella en la que están unidos el primer y último segmento:

- Segmentos de circunferencia: Ejemplos de enlaces entre fragmentos de varias circunferencias.

Abiertas: Enlaces de semicircunferencias. Cerradas: Curvas “técnicas”.

Formadas por 4 arcos de circunferencia:

O1

t 

O1

s 

O1

e A

B

T

La línea poligonal abierta está constituida por segmentos de recta consecutivos (no alineaforman ángulos entre sí. Ejempl

dos) que os:

Línea “quebrada”

Polígono: figura plana limitada por tres o más segmentos consecutivos (no alineados) llamados lados.

Línea “ondulada”

Línea “espiral” de dos centros, A y B.

A B

T: “Punto de tangencia”

Llamamos ángulo a la parte del plano determinada por dos semirrectas que parten de un punto en común.

∞

∞V

ÓVALO: Sustituye a la elipse ya que se puede trazar con compás.

OVOIDE: forma de “huevo”.

- Segmentos de recta y Circunferencia: LÍNEAS MIXTAS (también llamadas “mixtilíneas”)

Abiertas o cerradas: APLICACIONES:

OVOIDE 

Los ENLACES de segmentos de recta y circunferencia sirven para diseñar todo tipo de objetos de uso cotidiano que luego se fabricarán en la Industria. Ejemplo: la cuchara.

1. DIBUJO TÉCNICO: TRAZADOS GEOMÉTRICOS. 1.3. LA CIRCUNFERENCIA:

- ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA:

- EJERCICIOS: 1. Trazar una circunferencia de la que conocemos el radio (25 mm.) y dos puntos de la misma A y B:

- LA CIRCUNFERENCIA es una línea curva cerrada y plana, formada por puntos que están a la misma distancia de otro punto fijo, llamado centro (O).

- Esta distancia se denomina radio (r).

- EL CÍRCULO es la superficie plana contenida dentro de la circunferencia.

A B

C

r

r

r

O

Cualquier punto, A, B o C, de la circunferencia está situado a la misma distancia “r” del centro O.

r (radio): es un segmento de recta que une el centro (O) con un punto cualquiera de la circunferencia.

c (cuerda): es el segmento (AB) que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

d (diámetro): es una cuerda (CD) que pasa por el centro de la circunferencia, y por tanto, el mayor segmento inscrito en ella. Su longitud es doble del radio (d = 2r).

A B

a (arco): es un segmento de circunferencia, es

s (semicircunferencia): es un s

decir, la parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos (AB).

egmento de circunferencia comprendido entre los puntos extremos de un diámetro (CD). Es por tanto, un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia.

D

C

O

c

d

a

s

r

A

B

Los datos son el radio y dos puntos A y B situados en el plano.

r

r

A

B O

Para resolverlo, imaginamos el trazado resuelto y analizamos la relación entre los elementos:

Como puede apreciarse, el centro O, que no conocemos, estará a 25 mm (el radio) de los puntos A y B.

Por tanto, trazamos con el compás desde A y B dos arcos de 25 mm que se cortan en el punto O, centro de la circunferencia que buscamos. Desde O, con radio r hacemos la circunferencia. El ejercicio puede tener una segunda solución si obtenemos O a la derecha de los puntos A y B.

r

A

B

r

r

1 r A

B

O

r

2

2. Dividir una circunferencia de 30 mm de radio en seis partes iguales. La solución a este ejercicio es biensencilla, ya que una propiedad matemática de la circunferencia es que su radio la divide en 6 partes iguales. Bastará por tanto, con tomar un punto cualquiera “A” de la misma y trasladar el radio seis veces sobre ella: B, C…

r

A

O

r

B

r

A

O

r

B

C

D

E

F

1 2

APLICACIONES DE ESTE TRAZADO: Formas poligonales.

DISEÑOS DECORATIVOS: Si al dividir en 6 partes iguales, trazamos una circunferencia por cada uno de los puntos, obtenemos el dibujo de una flor geométrica:

ESTRELLA ENTRELAZADA: Partiendo de la estrella de 6 puntas, unimos los vértices opuestos mediante segmentos (- - - - -), obteniendo así los vértices (A, B, C, D, E, F) de otra estrella interior más pequeña. Si borramos algunas líneas, podremos observar la figura geométrica entrelazada.

A

B

C

D

E

F

1. DIBUJO TÉCNICO: TRAZADOS GEOMÉTRICOS. (Libro, Tema 5)

1.4. LOS ÁNGULOS:

DEFINICIÓN: Llamamos ángulo a la región del plano comprendida entre dos semirrectas (llamadas lados) que parten de un punto en común (llamado vértice).

∞

∞

V l

l Ángulo

V: vértice, origen de los lados. l: lado.

∞: símbolo del infinito.

“NOTACIÓN”: Los ángulos se pueden nombrar de diversas formas: Por su vértice, por tres puntos, o por letras griegas. Ejemplos:

Por su vértice: Por tres puntos: Letras griegas: Se dibuja Se escribe Se dibuja Se escribe Se dibuja Se escribe

Â, Ô, etc…

AOB α B

No se utilizará todo el alfabeto griego, sino algunas letras: α, β, γ, δ, ε, λ, π, φ, ω…

SISTEMA DE MEDIDA: Los ángulos se miden según el escala sexagesimal, que divide la circunferencia en 360 partes iguales llamadas “grados”. Un grado se divide a su vez en 60 minutos y un minuto en 60 segundos:

1 revolución: 360º (grados) 1º: 60’ (minutos) 1’: 60’’ (segundos)

A A

O α

Letra Nombre ALFABETO GRIEGO

α Alfa ζ Dseta λ Lambda π Pi φ Fi

β Beta η Eta μ Mi ρ Ro χ Ji

γ Gamma θ Zeta ν Ni σ, ς Sigma ψ Psi

δ Delta ι Iota ξ Xi τ Tau ω Omega

ε Épsilon κ Kappa ο Ómicron υ Ípsilon

TIPOS DE ÁNGULOS:

AGUDO RECTO OBTUSO LLANO

< 90º 90º

>90º

180º

β π ω α

COMPLEMENTARIOS SUPLEMENTARIOS Ángulos de dos rectas que se cortan:

Suman 90º α + β = 90º

Suman 180º α + ω = 180º

Ángulos de una recta que corta a dos paralelas:

EJERCICIOS DE ÁNGULOS. Averiguar el valor del ángulo desconocido:

1 2 3 4

Solución: Los dos ángulos son complementarios, (suman 90º). Por tanto, α = 90º - 57º

α = 33º

Solución: Los dos ángulos son suplementarios, (suman 180º). Luego β = 180º - 112º

β = 68º

Solución: ω y 25º son iguales y opuestos, luego ω = 25º. Como β y ω suman 180º (suplementarios), β = 155º. Como α y β son opuestos e iguales, α = 155º.

Solución: Los ángulos λ y 35º son iguales: λ = 35º. Como ε y λ suman 180º (suplementarios), el ángulo ε = 180º - 35º = 145º.

α ω α β ε π

α

ω

La pareja de ángulos obtusos α y ω, son iguales y sellaman opuestos por el vértice. La pareja de ángulos agudos ε y π, también soniguales y se llaman opuestos por el vértice.

Se repite el esquema anterior: los ángulos opuestos son iguales. Además, los ángulos α y β son iguales y paralelos a los ángulos α y β.

α β

α

α α

β

β β De todo esto se deduce que los 8 ángulos en realidad se resumen en dos, de modo que conociendo uno se sabe el valor de los otros siete. Ejemplo β

Como α y β son suplementarios, si conocemos α (45º), β será: 180º - 45º = 135º

45º β

α

α α

β β

ε λ

35º

α 57º β

ω

α 112º β 25º

5 6 7 8

Solución: Los dos ángulos son iguaes. α = 36º

α

Solución: Variante del caso anterior, el ángulo α es loque resta hasta 360º del ángulo de 42º.

α = 360º - 42º = 318º

Solución: Los tres ángulos β, 2β y 30º suman 180º. Como 2β = β+β, tenemos el ángulo β tres veces, por lo que 3 β = 180º - 30º = 150º Luego β = 150º : 3 = 50º

Solución: Los seis ángulos ω (ω+ω+ω+3ω) suman 180º, por lo que su medida sería:

ω = 180º : 6 = 30º 3ω = 90º

TRAZADOS DE ÁNGULOS CON COMPÁS:

1. Hallar la semirrecta bisectriz a un ángulo:

MÉTODOS:

2. Trazar ángulos de 30º, 60º y 90º con el compás: La circunferencia se divide en seis partes iguales(ángulos de 60º) con su radio. De esta propiedad se obtiene el método para dibujar los ángulos de 30º, 60º y 90º. Partimos de una semirrecta de vértice O:

α

α α

α

α

36º

42º 2β

30º β ω ω

ω 3ω

La bisectriz es una semirrecta que divide un ángulo en dos partes iguales (dos ángulos iguales) desde su vértice:

b : :

α 2

α 2 V

V

A

B

C

A

B

V

A. Desde el vértice trazamos un arco que determina en los lados del ángulo los puntos A y B. Tomando desde ellos otra medida cualquiera (dos arcos que se corten), obtenemos el punto C de la bisectriz:

B. Desde el vértice V trazamos 2 arcos de radio cualquiera que determinan en los lados los pares de puntos A y B, C y D. Si unimos dichos puntos mediante dos segmentos que se corten, obtenemos el punto ctriz. E de la bise

A

B

C

D

V E

O

B

A

C

D

O

60º O

Desde O con un radio cualquiera se obtiene A y con el mismo radio, desde A obtenemos B.

60º

A

B

O

Repetimos el trazado del ángulo de 60º, pero añadimos un tercer arco desde B, obteniendo C.

30ºA

C B

En este trazado, desde O, vamos obteniendo puntos A, B, C y D con el mismo radio.