1 corso di laurea magistrale in psicologia clinica, dello sviluppo e neuropsicologia esame di...
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Corso di Laurea magistrale in Psicologia Clinica, dello Sviluppo e Neuropsicologia
Esame di Analisi Multivariata dei Dati
L’anova fattoriale betweenMercoledì 23 ottobre 2013
A cura di Matteo Forgiarini
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L’anova betweenIl test anova
Spesso per scopi di ricerca siamo interessati a stabilire se due popolazioni indipendenti in media mostrano valori statisticamente diversi per la stessa variabile osservata – misurata su scala ordinale.
Nelle precedenti analisi abbiamo affrontato e risolto questo problema mediante il t-test: abbiamo confrontato le due medie osservate sui due differenti campioni e analizzando la significatività del valore t sperimentale, abbiamo potuto decidere se accettare o rifiutare l’ipotesi nulla di uguaglianza delle due medie.
Ma...
Se si volessero confrontare contemporaneamente i valori medi di più di due campioni?
Ad esempio, in riferimento al file “competenze.sav”, è possibile domandarsi se i soggetti nati prima del 1948, tra il 1948 e il 1954 e i dopo il 1954, abbiano in media la stessa pressione massima.
È un tipo di domanda frequente in molte ricerche: di fatto stiamo cercando di capire se il fattore “età” influisce sulla variabile “pressione massima”; ovvero se nelle 3 differenti fasce di età i soggetti hanno in media la stessa pressione o se le medie differiscono significativamente.
In questo caso non è possibile utilizzare i modelli di regressione perché la V.I. non è quantitativa.
Per rispondere a questo tipo di domande occorre utilizzare il test anova.
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L’anova between
Occorre utilizzare l’anova ogni volta che:
•Si vuole sapere se una V.D. (misurata su scala a rapporto o a intervallo) presenta valori medi uguali nei diversi livelli di un a V.I. (misurata su scala qualsiasi).
Cioè:
•Si vuole sapere se una variabile categoriale influisce su una variabile quantitativa.
•Ogni livello della V.I. forma un gruppo di soggetti: dunque ogni livello della V.I. ha un proprio valore medio della V.D.
•La V.I. ha più di due livelli: dunque occorre confrontare contemporaneamente più di due medie.
•Se la V.I. ha 2 livelli, è indifferente utilizzare l’anova o il t-test (cfr. diapositive successive).
Indicando con µ1, µ2, … µk le medie della V.D. nei k livelli della V.I., l’ipotesi nulla del test anova risulta:
H0: µ1= µ2=…= µk
H1: µ i≠ µj per almeno una coppia di livelli della V.I. (i e j indicano 2 generici livelli della V.I.)
Il test anova
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L’anova betweenIl t-test e l’anova
Se la V.I. presenta due livelli, il t-test e l’anova permettono di rispondere allo stesso tipo di domanda, infatti:
In riferimento al file “competenze.sav” ipotizziamo di dividere in due grandi classi di età (di uguale numerosità) i soggetti e di chiederci se i soggetti giovani in media hanno la stessa pressione massima dei soggetti più anziani.
Statistics
anno di nascita100
0
1951,00
Valid
Missing
N
50Percentiles
Abbiamo selezionato l’opzione per ottenere il valore – ovvero la mediana - della variabile “anno di nascita” che divide il campione totale in due sotto-campioni di uguale numerosità. Possiamo quindi costruire una nuova variabile per eseguire il t-test e l’anova.
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L’anova between
Con “ricodifica in una nuova variabile” a partire dalla variabile “nascita” creiamo la variabile “nasc_2f”, creiamo cioè una variabile che indica le due fasce di età dei soggetti: la nuova variabile assume valore 1 per soggetti nati prima del 1951 e assume valore 2 per tutti gli altri soggetti più giovani.
Ipotizziamo di volere sapere se la variabile pressione sanguigna assume in media lo stesso valore nei due livelli della variabile nasc_2f. Ovvero ci stiamo chiedendo se la variabile età influisce sulla variabile pressione sanguigna. Per rispondere a questa domanda possiamo usare sia il t-test sia l’anova, perché?
Perché stiamo confrontando contemporaneamente i valori medi di 2 livelli della V.I.
H0: µ1= µ2 H1: µ1≠ µ2
Il t-test e l’anova
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L’anova between
Independent Samples Test
,926 ,338 -2,160 98 ,033 -6,163 2,853 -11,825 -,501
-2,155 96,161 ,034 -6,163 2,860 -11,840 -,487
Equal variancesassumed
Equal variancesnot assumed
pressione massimaF Sig.
Levene's Test forEquality of Variances
t df Sig. (2-tailed)Mean
DifferenceStd. ErrorDifference Lower Upper
95% ConfidenceInterval of the
Difference
t-test for Equality of Means
Eseguiamo il t-test per campioni indipendenti utilizzando come variabile di gruppo “nasc_2f” e come variabile dipendente “pressione massima”.
Il t-test risulta significativo, è possibile rifiutare l’ipotesi nulla e concludere che la pressione sanguigna nelle persone “più giovani” è significativamente maggiore che negli “anziani”.
Group Statistics
52 133,46 13,854 1,921
48 139,63 14,676 2,118
nasc_2f1,00
2,00
pressione massimaN Mean Std. Deviation
Std. ErrorMean
Il t-test e l’anova
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L’anova between
ANOVA
pressione massima
948,187 1 948,187 4,667 ,033
19912,173 98 203,185
20860,360 99
Between Groups
Within Groups
Total
Sum ofSquares df Mean Square F Sig.
Il test dell’anova risulta significativo (p-value<0,05): come per il t-test, possiamo concludere che in media la pressione sanguigna nei soggetti “più giovani” è statisticamente maggiore rispetto ai soggetti “più anziani”. È interessante notare che il livello di significatività ottenuto è il medesimo che abbiamo ottenuto con il t-test.
È importante notare però che l’anova si basa sul test F: infatti vengono confrontate le varianze tra i gruppi (between) ed entro i gruppi (within).
Il t-test e l’anova
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L’anova betweenL’anova between
Come ipotizzato all’inizio, dividiamo ora i soggetti in tre grandi fasce di età di numerosità omogenea.
Statistics
anno di nascita100
0
1948,00
1954,00
Valid
Missing
N
33,33333333
66,66666667
Percentiles
Dagli output notiamo che un terzo dei soggetti è nato prima del 1948, un terzo tra il ’48 e il ’54 e il restante 33% è nato dopo il 1954.
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L’anova between
Possiamo quindi costruire una nuova variabile “nasc_3f” che divide i soggetti in tre grandi fasce di età e che assume:
Valore 1 se i soggetti sono nati prima del 1948,
Valore 2 se i soggetti sono nati dal 1948 al 1954
Valore 3 se i soggetti sono nati dopo il 1954.
Possiamo quindi eseguire il test dell’anova e confrontare le medie della variabile “pressione massima” all’interno dei tre livelli di età che abbiamo creato.
L’anova between
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L’anova between
H0: µ1= µ2= µ3
H1: esiste almeno una coppia di livelli in cui le medie della “pressione sanguigna” hanno una differenza statisticamente significativa.
ANOVA
pressione massima
1703,670 2 851,835 4,313 ,016
19156,690 97 197,492
20860,360 99
Between Groups
Within Groups
Total
Sum ofSquares df Mean Square F Sig.
Il test risulta significativo (p-value<0,05). Possiamo rifiutare l’ipotesi nulla e concludere che la variabile età ha influenza sulla variablile pressione sanguigna: in altri termini esiste una coppia di livelli della V.I. per i quali le due medie di gruppo hanno una differenza significativa. Ma...
Con 3 livelli della V.I. esistono 3 coppie di medie, qual è la coppia che rende significativo l’anova? Ne esiste più di una? Andiamo a scoprirlo...
Varianza within
Varianza between
Gradi di libertà
L’anova between
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L’anova between
Per capire quale coppia di fasce di età ha reso significativo l’anova, occorre eseguire i test post hoc.
I test post hoc confrontano contemporaneamente le n*(n-1)/2 coppie di medie della V.D. (con n pari al numero di livelli della V.I.). Ma...
Il confronto contemporaneo altera il livello di significatività dei test: il livello alfa (generalmente pari a 0,05) viene “gonfiato” rendendo quindi più elevato il rischio di commettere l’errore di I tipo. Occorre quindi mettere in atto strategie che permettano di controllare il valore di alfa: negli esempi proposti verrà usata la correzione di Tukey.
I problemi che si incontrano confrontando contemporaneamente più di 2 medie, sono gli stessi problemi che impediscono di usare il t-test quando la V.I. ha più di 2 livelli: anche in questo caso il livello alfa si gonfierebbe e aumenterebbe dunque il rischio di commettere l’errore di I tipo.
L’anova between
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L’anova between
Multiple Comparisons
Dependent Variable: pressione massima
Tukey HSD
2,669 3,317 ,701 -5,23 10,57
-7,433 3,586 ,101 -15,97 1,10
-2,669 3,317 ,701 -10,57 5,23
-10,102* 3,500 ,013 -18,43 -1,77
7,433 3,586 ,101 -1,10 15,97
10,102* 3,500 ,013 1,77 18,43
(J) nasc_3f2,00
3,00
1,00
3,00
1,00
2,00
(I) nasc_3f1,00
2,00
3,00
MeanDifference
(I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval
The mean difference is significant at the .05 level.*.
Notiamo che la media 2 risulta significativamente diversa dalla media 3. Gli scarti tra media 1 e media 2 e tra media 1 e 3 non risultano invece significativi.
Dagli output possiamo notare che il test anova è risultato significativo poiché una coppia di medie presenta uno scarto statisticamente significativo e rende quindi falsa l’ipotesi nulla di uguaglianza delle 3 medie.
L’anova between
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L’anova between
Oltre alle applicazioni fino ad ora affrontate, l’anova permette di rispondere a domande più complesse: infatti è possibile inserire contemporaneamente più di un avariabile indipendente.
Ovvero...
È possibile eseguire l’anova su disegni fattoriali tramite i quali viene testata, oltre agli effetti principali dei singoli fattori sulla variabile dipendente, anche l’interazione tra i fattori stessi.
Infatti se sulla variabile dipendente agiscono 2 fattori contemporaneamente è possibile che essi interagiscano tra loro e che l’effetto di un fattore sulla variabile dipendente sia “modulato” dall’altro fattore, ovvero è possibile che l’effetto del fattore 1 assuma valori differenti nei diversi livelli del fattore 2.
Ipotizziamo di testare l’ipotesi che la pressione sanguigna sia influenzata contemporaneamente dal sesso dei soggetti (livello1=femmina;livello2=maschio) e dall’essere fumatori o no dei soggetti stessi.
Stiamo testando un anova between fattoriale 2X2.
L’anova between fattoriale
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L’anova between
Per testare i modelli anova fattoriali, occorre scegliere il modello lineare generalizzato univariato; nei fattori fissi, inseriamo il “genere” e la variabile “fuma”; inoltre l’analisi dei grafici risulta interessante e utile alla comprensione: selezioniamo “plots” e inseriamo i due fattori per ottenere due diverse linee; infine “aggiungiamo” il grafico desiderato.
L’anova between fattoriale
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L’anova between
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable: pressione massima
10596,207a 3 3532,069 33,717 ,000
1729967,459 1 1729967,459 16514,249 ,000
616,785 1 616,785 5,888 ,017
8907,754 1 8907,754 85,033 ,000
59,637 1 59,637 ,569 ,452
9847,069 94 104,756
1836589,000 98
20443,276 97
SourceCorrected Model
Intercept
genere
fuma
genere * fuma
Error
Total
Corrected Total
Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.
R Squared = ,518 (Adjusted R Squared = ,503)a.
Testando un modello fattoriale con due variabili indipendenti verranno eseguiti 3 test f: un test per l’effetto principale del fattore 1, un test per l’effetto principale del fattore 2 e un test sull’interazione tra i due fattori.
Dall’analisi degli output, possiamo notare che gli effetti principali dei due fattori risultano significativi (p-value<0,05): la media della pressione sanguigna dei maschi risulta statisticamente diversa da quella delle femmine; similmente i non fumatori hanno una pressione media differente dai fumatori.
Risulta interessante notare che l’interazione tra i fattori risulta non significativa: i due fattori in modo indipendente hanno influenza sulla V.D., ma l’effetto di ogni fattore non varia nei diversi livelli dell’altro fattore: il fattore “genere” influisce in ugual misura per i fumatori e per i non fumatori; similmente è possibile concludere che il fattore “fuma” influisce sulla V.D. con la stessa forza in modo indipendente dal genere dei soggetti.
Effetti principali
Interazione
L’anova between fattoriale
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L’anova between
fumatore non fumatore
fuma
120
125
130
135
140
145
150
Est
imat
ed M
arg
inal
Mea
ns
genere del soggettomaschio
femmina
Estimated Marginal Means of pressione massimaÈ possibile notare la mancanza di interferenza tra i fattori anche osservando il grafico che spss ha prodotto: le linee sono quasi parallele: infatti la riduzione di pressione nei soggetti non fumatori ha quasi la stessa entità per i maschi e per le femmine.
Dicendo che le linee sono “quasi” parallele, considerando che l’interazione non risulta significativa, affermiamo che il “quasi” identifica una differenza tanto piccola da non rendere significativo l’effetto di interazione.
L’anova between fattoriale
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L’anova between
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable: pressione massima
3945,062a 7 563,580 3,065 ,006
1777436,257 1 1777436,257 9667,234 ,000
1404,369 1 1404,369 7,638 ,007
627,491 3 209,164 1,138 ,338
1690,121 3 563,374 3,064 ,032
16915,298 92 183,862
1881902,000 100
20860,360 99
SourceCorrected Model
Intercept
genere
città
genere * città
Error
Total
Corrected Total
Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.
R Squared = ,189 (Adjusted R Squared = ,127)a.
Analizziamo ora un modello anova fattoriale che permetta di capire se la pressione sanguigna (V.D.) è influenzata dal genere dei soggetti (fattore 1) e contemporaneamente dalla residenza in diverse città lombarde (Bergamo, Milano, Cremona e Varese) (fattore 2).
Dall’analisi degli output, notiamo che il fattore genere risulta significativo (p-value<0,05); il fattore “città” risulta invece non significativo (p-value>0,05): possiamo quindi concludere che la pressione sanguigna dei soggetti non è influenzata in modo significativo dai differenti stili di vita delle 4 città lombarde.. Contemporaneamente la pressione dei soggetti maschi risulta statisticamente diversa da quella dei soggetti femmine.
Ma...
Notiamo che l’interazione tra i due fattori risulta significativa (p-value<0,05): possiamo quindi concludere che il fattore “genere” influenza la pressione sanguigna in modo differente nelle 4 città.
Esaminiamo il grafico...
L’anova between fattoriale
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L’anova between
maschio femmina
genere del soggetto
130
135
140
145
Est
imat
ed M
arg
inal
Mea
ns
città di provenienzabergamo
cremona
varese
milano
Estimated Marginal Means of pressione massima
Le quattro rette non risultano parallele: la riduzione media della pressione sanguigna delle femmine rispetto ai maschi non è omogenea nelle 4 città lombarde considerate. In particolare a Milano si può notare che le femmine hanno in media una pressione maggiore dei soggetti maschi.
L’anova between fattoriale