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INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA Curso 2018/2019 Esther Madera Lastra

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1. CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA

Definición: Dada una función )(xf , se denomina primitiva de esta función a otra )(xF tal que )()(' xfxF

Esta definición indica que el cálculo de primitivas constituye el proceso inverso al cálculo de derivadas. Es decir, hallar la primitiva de una función es buscar otra función que, al ser derivada, resulte la original.

Si )(xF es una primitiva de )(xf , entonces cualquier otra primitiva de )(xf es de la forma CxF )(

Definición: Se llama integral indefinida de )(xf al conjunto de todas las primitivas de )(xf y se expresa así: dxxf )( .

Se debe cumplir que )()( xFdxxf )()(' xfxF

Ejercicio 1: Calcula la primitiva de estas funciones

2. TABLA DE INTEGRALES INDEFINIDAS


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3. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

dxxfkdxxfk )()(

Obviamente •• dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Ejercicio 2: Resuelve las siguientes integrales inmediatas:

4. CÁLCULO DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN

Cuando se trate de determinar la primitiva de una función que pase por un determinado punto ),( ba , sólo existirá un valor

de la constante de integración, C , para la que esa condición se cumple. Una vez hallada la integral indefinida, )(xF ,

debemos calcular C imponiendo que baF )(

Ejercicio 4: Halla las funciones que se piden.


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5. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE

Se trata de integrar una función f(x) compuesta, en la que se sustituye la variable x por otra variable, t, de tal manera que el integrando pase a ser otra integral, g(t) que ahora es mucho más sencilla. Finalmente, una vez integrada la función, hay que deshacer el cambio. En ocasiones, derivaremos con respecto de t y otras veces con respecto de x, dependiendo lo que nos resulte más sencillo. El cambio de variable nos lo suelen dar.

Veamos un ejemplo de lo que significa el cambio de variable en funciones trigonométricas.

Hacemos tsenx , y al derivar, dtxdxcos . Despejando x

dtdx

cos

Cuando una integral presenta radicales en su integrando, el método de cambio de variable es muy eficaz si se propone

un cambio que permita simplificar los radicales. El cambio adecuado es: ntradicando , donde n es el índice de la raíz

que se quiere simplificar. Veamos un ejemplo.

Hacemos 321 tx Despejamos x:

2

13

tx Derivamos en función de x

2

3 2dttdx y sustituimos. A veces es más cómodo derivar al principio:

dttdx 232

El resultado es

Cambios de variables usuales:


4

Ejercicio 5: Realiza estas integrales (de manera inmediata) o por medio del cambio de variable.


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6. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Para resolver estas integrales se aplica el método de integración racional o descomposición en fracciones simples. Este método permite resolver cualquier integral racional, siempre que en numerador y denominador sólo haya polinomios.

Si el grado del numerador es mayor que el del denominador, dividimos e integramos el polinomio resultante de manera inmediata. El resto será de grado menor que el denominador. Tenemos varios casos.

Caso 1: Todas las raíces son reales simples.

dxxx

x

2

6142

Las raíces del denominador son -1 y 2

Resolviendo,

Y tenemos una integral inmediata cuyo resultado es

Caso 2: Raíces reales múltiples.

Las raíces del denominador son -1 (simple) y 1 (doble).

Las soluciones son

Ejercicio 9: Calcula las siguientes integrales racionales.


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7. INTEGRACIÓN POR PARTES

El método de integración por partes permite resolver integrales cuyo integrando es un producto en el que al menos uno de los factores resulta fácil de integrar. A los factores del integrando se les asignan las expresiones u y dv. La expresión dv le corresponderá a la función que sea fácil de integrar, pues aplicaremos la siguiente fórmula:

duvvudvu

Ejemplo: Csenxxxxdxxxdxsenxx coscoscos

xu dxdu

dvsenxdx vx cos

A veces tendremos que integrar por partes dos veces.

Ejercicio 10: Resuelve las siguientes integrales por partes.

a) b) c)

d)

e) f)

g)

h) i)

9. ÁREA BAJO UNA CURVA.

Dada una función )(xf CONTINUA en ba , y POSITIVA, se puede hacer una aproximación del área comprendida

entre el eje X y la gráfica de la función en el intervalo ba , del siguiente modo:

a) Se divide el intervalo ba , en n partes iguales: bxxxxxa nn 1210 ...

b) La función )(xf es continua en los intervalos 1 , ii xx , ya que lo es en ba , . Se puede garantizar que la función

alcanza un valor máximo, iM , y un valor mínimo, im , en cada intervalo 1 , ii xx .

c) Se dibujan los rectángulos inferiores de base ii xx 1 y de altura im .

d) Se dibujan los rectángulos superiores de base ii xx 1 y de altura iM .

xdxln


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e) Se suma el área de los rectángulos inferiores y se obtiene una aproximación del área por defecto.

Área por defecto= nnn mxxmxxmxxmxx 1323212101 ...

f) Se suma el área de los rectángulos superiores y se obtiene una aproximación del área por exceso.

Área por exceso= nnn MxxMxxMxxMxx 1323212101 ...

Las sumas inferiores y superiores dependen de n , es decir, del número de intervalos que se tomen en ba , , y se tiene

entonces que:

g) Las sumas inferiores son una sucesión ... ..., , , , 321 nssss , que corresponderán a las distintas divisiones que se

hagan del intervalo ba , .

h) Las sumas superiores son una sucesión ... ..., , , , 321 nSSSS , que corresponderán a las distintas divisiones que se

hagan del intervalo ba , .

Se puede asegurar que el área del recinto está comprendida entre estas dos aproximaciones.

Si se hacen cada vez más intervalos en ba , , es decir, que n , entonces Área = nn

nn

Slímslím

10. INTEGRAL DEFINIDA.


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La integral definida se calcula mediante la Regla de Barrow. Se trata de hallar una primitiva con las técnicas que hemos estudiado, y calcularla y valorarla en los extremos a y b:

En las integrales definidas no aparece la constante de integración.

IMPORTANTE: En las integrales logarítmicas, utilizaremos valores absolutos para evitar logaritmos inexistentes. En la integración por cambio de variable, se resuelve la integral con respecto a la variable cambiada y habrá que deshacer el cambio o bien recalcular los límites de integración.

Ejercicio 11: Calcula las integrales definidas

a)

2

1

2 )523( dxxx b)

1

21

1dx

x c)

5

1

1dxx

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO: Si )(xf es continua en ba, , entonces la función integral,

t

a

dxxftF )()( es derivable en ba, y cumple que )()(' tftF , bat ,

11. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

12. CÁLCULO DEL ÁREA BAJO UNA CURVA

Dependerá de dónde esté situada la curva con respecto al eje horizontal. En general, el procedimiento será calcular los puntos de corte y esbozar la gráfica.


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Una integral definida puede resultar positiva, negativa o nula, pero el área nunca puede ser negativa ni nula. Siempre debe ser un número positivo, de ahí que utilicemos con frecuencia valores absolutos.

Ejercicio 12: Calcula el área limitada por la curva 21

1

xy

, las rectas x=2 y x=5 y el eje OX.

13. ÁREA LIMITADA POR DOS CURVAS

Existen varias posibilidades:


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En general, tendremos que resolver el sistema originado por ambas funciones para localizar sus puntos de corte. Una vez dibujemos ambas gráficas, decidiremos en cada caso qué hacer.

Ejercicio 13: Resuelve estos ejercicios

a)

b)

c)

d)

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD

2015

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5


11

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicio 10

Ejercicio 11

Ejercicio 12

2014

Ejercicio 13


12

Ejercicio 14

Ejercicio 15

Ejercicio 16

Ejercicio 17

Ejercicio 18

Ejercicio 19

Ejercicio 20

Ejercicio 21


13

Ejercicio 22

Ejercicio 23

Ejercicio 24

2013

Ejercicio 25

Ejercicio 26

Ejercicio 27

Ejercicio 28

Ejercicio 29


14

Ejercicio 30

Ejercicio 31

Ejercicio 32

Ejercicio 33

Ejercicio 34

Ejercicio 35

Ejercicio 36

2012

Ejercicio 37

Ejercicio 38


15

Ejercicio 39

Ejercicio 40

Ejercicio 41

Ejercicio 42

Ejercicio 43

Ejercicio 44

Ejercicio 45


16

Ejercicio 46

Ejercicio 47

Ejercicio 48

2016

Ejercicio 49

Ejercicio 50

Ejercicio 51

Ejercicio 52


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Ejercicio 53

Ejercicio 54

Ejercicio 55

Ejercicio 56

Ejercicio 57

Ejercicio 58

Ejercicio 59

Ejercicio 60

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