光通信工学２03－1

通常のレンズ

フレネルレンズ

光通信工学 1. 復習 2. ポインティング・ベクトル 3. 光強度 4. 強度反射（透過）率

光通信工学２03－2

光波とは：式で書いた方が分かりやすいかも！ 偏光：電場Eの振動方向 偏波面：電場Eベクトルと波数ベクトルからなる平面

進行方向：+z軸

x方向の直線偏光

x軸

y軸

k

⊥ ⊥E H k

H

H：磁場の強さ +y軸

( )( )

,0,0

0, ,0x

y

E

H

=

=

E

H

平面波＆進行波：簡単・便利

電場Eベクトル

電場E（振動）ベクトル

磁場H（振動）ベクトル

磁場H ベクトル

+x軸

偏波面：x-z平面 右ねじ：電場E（＋） →磁場H（＋）

波数ベクトル ( )0,0, 0k= >k

( ) ( )( ) ( )

0

0

0 0

, cos

, cos

, 0

x

y

E z t t kz

H z t t k

E

HE

zH

ω φ

ω φ

η η

= − +

= − +

= >

振幅一定 赤：正実数

振動ベクトルを記述するときのお約束（平面波の場合） • 電場Eベクトルと磁場Hベクトルの向きは「右ねじ」で設定 • 現実には、電場Eと磁場Hは振動しているから向きも変化する • 詳細は省略するが、上記関係式は電場Ｅと電束密度Dの向きが

一致する「等方性質媒質」に限定される。（例：ガラス） • 参考文献：末田「光エレクトロニクス」p.136（昭晃堂）

波動インピーダンス：205

注意：電場Eも磁場Hも同じ位相速度の波。振動方向と振幅が異なる

光通信工学２03－3

前進波と後退波：光の場合 電場E

磁場H

( ) ( )( ) ( ) ( )

0

0

, cos

, cosx

y

E z t t kz

H

E

z t kzE t

ω φ

η ω φ

= − +

= − +

x

yz

進行方向ｋ：電場E→磁場H（右ねじ） 磁場H：ｋ→電場E

x

yz

後退波

前進波

電場E

磁場H

前進波：直線偏光

平面波：定数振幅（波の拡がり無限大、非現実的だけど）

磁場Hを-y方向

( )

( )( ) ( )( ) ( )

1 , 0

, ,0,0 , 0, , ,0 , 0,0, , 0

ωµ= × • =

= = = ± > yxE z t H z t k k

H k E k E

E H k

後退波：直線偏光

ベクトル表示をしましょう！

0k >

係数：205：μ：透磁率 磁場H：ｋ→電場E

( ) ( )( ) ( ) ( )

0

0

, cos

, cosx

y

E

E

E z t t kz

H z t t kz

ω φ

η ω φ

= + +

= − + +

赤：正実数

波動インピーダンス：205

光通信工学２03－4

ベクトル表示：光波の場合

電場E

x

z

進行方向ｋ：電場E→磁場H（右ねじ） 磁場H：ｋ→電場E

前進波

( )( )( )

, ,

, ,

, ,

x y z

x y z

x y z

E E E

H H H

k k k

=

=

=

E

H

k

( )

( )( )( )( )

( )

1 , 0

, ,0,0

0, , ,0

0,0, , 0

x

y

E z t

H z t

k k

ωµ= × • =

=

=

= ± >

H k E k E

E

H

k

関係式：電場Eと磁場Hと波数ベクトル

y電場E

E

k

前進波

H磁場H

磁場H

一般化

光通信工学２03－5

( )0,0, tzE=tE

反射と透過を考える：s偏光成分 senkrecht（垂直）

y

x

1θ 1θ

2θ

ik rkik

等位相面

簡単のため 電場E：境界面内方向成分（z軸）のみ 波数ベクトル：紙面内方向成分のみ

屈折率 媒質１：n1

屈折率 媒質１：n2

( ) ( )0,0, , , ,0 , 0, 0z x yE k k k= = = > • =E k k E k

入射波：平面波近似 波数ベクトルの位置依存性無

反射波：平面波近似

tk

( ) ( )0

1 1 , ,0y z x zk E k Eωµ ωµ

= × → −H k E

境界面：z-x

磁場H：202-9

透過波：平面波近似

非磁性体：ガラスなど 真空中の透磁率

0µ µ=

z軸：奥から手前

反射前後

ik → rk

( )0,0, rzE=rE( )0,0, izE=iE

これから反射波と透過波の振幅を求めましょう！但し、電場Eのみ。 Key words：振幅反射率、振幅透過率

光通信工学２03－6

( ) ( )( )

( ) ( )1 0 1 1 0 1

1 0

, exp

exp

, ,0 sin , cos ,0

0

iz

ix

i

iy

ix iy

i

E t j t

j t k x k y

k k n k n k

n k

E

E

ω

ω

θ θ

= −

= − −

= = −

= >

i

i

i

r k r

k

k

x

y

波数ベクトル 透過波

1θ 1θ

2θ

ik rk

tk1 2n n>

電場Eを複素数表示で記述：z成分のみ

入射電場Ｅ（z成分のみ）：平面波近似

反射電場Ｅ（z成分のみ）：平面波近似

( ) ( )( ) ( )1 0 1 1 0 1

, exp

, ,0 sin , cos ,0

rz rx ry

rx ry

rE t j t k x k y

k k n k n

E

k

ω

θ θ

= − −

= =r

r

k

透過電場E（z成分のみ）：平面波近似

( ) ( )( ) ( )2 0 2 2 0 2

, exp

, ,0 sin , cos ,0

tz tx ty

tx ty

tE t j t k x k y

k k n k n

E

k

ω

θ θ

= − −

= = −t

r

k

注意

0 00 1 2

0 1 2

, ,c ck n nc c cω

= = =

真空中の波数 屈折率

青：複素振幅（定数）

媒質１：n1

媒質２：n2

( ) ( ) ( )0,0, , , , , ,i iz iz izE E t E x y z t= ≡E r

添え字：Incident（入射） Reflection（反射）, Transmission（透過）

参照：202-10

( )0,0, rzE=rE

( )0,0, tzE=tE

光通信工学２03－7

( ) ( ) ( ), , , , @ 0iz rz tzE t E t E t y+ = =r r r

( ) ( ) ( )0

1, ,0 , 0,0, , , ,0x y z y z x zk k E k E k Eωµ

= = = −k E H

x

y 波数ベクトル 入射波

波数ベクトル 反射波

波数ベクトル 透過波

1θ 1θ

2θ

ik rk

tk1 2n n>

境界条件：結論のみ 境界条件の導出：205

電場Eの境界条件：電場Eの面内方向成分（z成分）が一致

媒質１側：入射波と反射波の合成波 媒質２側：透過波

磁場Hの境界条件：磁場Hの面内方向成分（ｘ成分）が一致

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), , , , @ 0

, , ,

ix rx tx

iy iz ry rz ty tz

H t H t H t y

k E t k E t k E t

+ = =

+ =

r r r

r r r

求めたい関係？ • 複素振幅反射率と複素振幅透過率

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

, exp

, exp

, exp

iz ix iy

rz rx ry

t

i

r

tz tx ty

E t j t k x k y

E t j t k x k y

E t

E

E

E j t k x k y

ω

ω

ω

= − −

= − −

= − −

r

r

r

入射電場E z成分のみ

反射電場E z成分のみ

透過電場E z成分のみ ,= = tr

i is sr t EE

E E

媒質１：n1

媒質２：n2

磁場Hは簡単！：202-12

注意：未知数が２個だから方程式が２個、

光通信工学２03－8

フレネルの式 Fresnel’s equation

( ) ( ) ( ), , , , @ 0iy iz ry rz ty tzk E t k E t k E t y+ = =r r r

202-14

1 0 1

2 0 2

cos

cos

θ

θ

+ =

= − = −

= −

i riy ry ty

iy ry

ty

tE E Ek k kk k n kk n k

関係式：電場Eの複素振幅 + =i r tE E E

複素振幅反射率と複素振幅透過率：実数 フレネルの式 Fresnel’s Equation：ｓ偏光成分

省略：p偏光成分：parallel（平行） 参考文献：本宮「波動光学の風景」 O plus E, 29, 11, p.1168 (2007) O plus E, 29, 12, p.1286 (2007)

磁場Hの境界条件：磁場Hの面内方向成分（ｘ成分）が一致

細かい計算手順は省略

青：複素振幅（定数）

202-13

2 21 12/ 11 1 2 2

2 21 2 2 2 1 1

2/ 11 1 12 2

1 1 2 2 1 1

cos sincos coscos cos cos sin

2 2 cos 2coscos cos cos sin

θ θθ θθ θ θ θ

θ θθ θ θ θ

≡

≡

− − −−= = → →

+ + + −

= = → →+ + + −

iy ty n n ns

iy ty

iy n n

r

i

t n

y yis

i t

k k nn nrk k n n n

k ntk k n n

EE

EE n

( )i r tiy tyk E kE E− =

光通信工学２03－9

入射波

反射波

入射波

反射波

位相シフトがπの場合、入射波と反射波は反射点で位相シフト。山なら谷、谷なら山

反射光の位相変化（s偏光） 屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相は不変 屈折率の低い媒質から高い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相がπシフト

位相シフトがなければ、入射波と反射波は反射点で位相ずれ無し。山なら山、谷なら谷

実はp偏光でも状況は同じであるが、やや座標系が複雑になるためちょっと解釈が難しい。 参考文献：河合「光学設計のための基礎知識」p.145、オプトロニクス社

屈折率低い

屈折率高い

屈折率高い

屈折率低い

これから光強度について考えましょう！ なんとなく、明暗情報は振幅に比例しそうですが。

透過波

光通信工学２03－10

定義：ポインティング・ベクトル（平面波に限定されない）

( )( )

,0,0

0, ,0x

y

E

H

=

=

Ε

H

( ) ( ){ }2

0 22

0cos 1 cos 2 2 22zS t kz t kzE Eω φ ω φ

η η= = − + = + − +S

光強度について考える：簡単な例

向き：エネルギー流

大きさ：単位断面積・単位時間当たりのエネルギーの流量

10-9

10-6

10-3

1

1015

1012

109

106 100

周波数 波長 Hz m

電磁波の種類 光は電磁波

1018

( )0,0, zS= × =S E H

γ線

X線

紫外線

可視光線

赤外線

マイクロ波

短波

152 10 Hzfω π=

注意：ポインティング・ベクトルは光強度ではありません

ポインティング・ベクトル（Poynting vector）：平面波の場合

高速振動項：検出不可

( )( ) ( )

0

0

cos

cosx

y

E t kz

H

E

t zE k

ω φ

η ω φ

= − +

= − +

平面波：振幅・波数ベクトルに位置依存性無

電場Eベクトル：x成分のみ

磁場Hベクトル：y成分のみ

赤：正実数

進行方向ｋ：電場E→磁場H（右ねじ）

光通信工学２03－11

( ){ }2

2

0

200

1 cos 2 2 22

2 2

z

z

E

S tE k

E

z

S

ω φη

η η

= + − +

→ = = =S

電場E振幅の自乗に比例：直感的

( )0,0, zS= × =S E H２．単位時間当たりのエネルギー流量

ポインティング・ベクトルとは １．単位断面積を通過する

３．ポインテイング・ベクトルの向き ４．高速に振動する項を周期時間平均して除去 ５．単位断面積当たり光強度が求められる

周期時間平均：零

本講義では、波数ベクトルの向きとポイティング・ベクトルの向きが必ず一致するような場合「等方性媒質（ガラスなど）」のみを扱う。 異方性媒質では等位相面の進行方向とエネルギーの進行方向は一致しない：参考：末田「光エレクトロニクス」p.136、昭晃堂（省略）

z軸 進行 方向

復習 • 波数ベクトル：電場E→磁場H（右ねじ） • 波数ベクトルの向きは波の進行方向 • 波数ベクトルの大きさは位相速度と関係

単位断面積当たりの光強度は電場E振幅の自乗に比例

k

( )0,0,

ω

=

=p

k

v

k

k

平面波：振幅一定 赤：正実数 青：複素数

022

0E E∝ =

平面波と光強度の関係：暗い赤から明るい赤に 注意：色は変化しない。色は角周波数で異なる。（201）

ポインティング・ベクトルの大きさから高速に振動する項を除くと 単位断面積当たりの光強度：単位：W/ｍ２

位相速度：201-13

光強度（単位：Ｗ）：平面波近似

光通信工学２03－12

光強度：整理しましょう！

ポインティング・ベクトル（Poynting vector）

向き：エネルギー流

大きさ：単位断面積・単位時間当たりのエネルギー流量 勘違いし易い：光強度ではありません。

= ×S E H

周期時間平均：高速振動項の除去

= ×S E H

単位断面積当たりの光強度：単位：W/ｍ２

光強度：単位：W

D S

参考：光エネルギー（真空中）

0 01 12 2emU ε µ= +E E H H

ある時刻、ある空間に蓄積された単位体積当たりのエネルギー

光ビーム

単位体積

光ビーム

ベクトルの向き

emU

断面積

真空中の誘電率 真空中の透磁率

光検出器

光強度：単位：W

単位：W = VA 電場E：V/m 磁場H：A/m

光エネルギーについては後日説明：208

S

光通信工学２03－13

強度反射・透過の考え方 ビーム的に扱う

02

2DD EIη

= =S

断面積

光強度

媒質１：n1

媒質２：n2

1θ

2θ

ik rk

tk

1 2n n>

iD rD

tD0D

0 1

0 2

coscos

i r

t

D D DD D

θθ

= ==

( )( )( )

21

21

22

2

2

2

η

η

η

=

=

=

i

r

i i

r r

t tt

I D

I D

I D

E

E

E

青：複素振幅

断面積 光強度：ビーム径を考慮

D

後日説明、波動インピーダンスの屈折率依存：205 1η −∝ n

光強度：電場E振幅の自乗、断面積に比例、波動インピーダンスに反比例 注意：同じ光強度でも電場E振幅、断面積、波動インピーダンスが異なる場合もある。

反比例

平面波近似

強度反射・透過率：フレネルの式を思い出しましょう！

2

2

2 2 21 2

2 2 22 1

rs

i

t t ts

i i

r

i

t t t

i i ii

IRI

I D n D

EE

E E EE

TD EI n ED

ηη

= =

= = = ≠

強度透過率：入射波と透過波のビーム径と屈折率の違いに注意！

光通信工学２03－14

2 21 12/ 11 1 2 2

2 21 2 2 2 1 1

2/ 11 1 12 2

1 1 2 2 1 1

cos sincos coscos cos cos sin

2 2 cos 2coscos cos cos sin

θ θθ θθ θ θ θ

θ θθ θ θ θ

≡

≡

− − −−= = → →

+ + + −

= = → →+ + + −

iy ty n n ns

iy ty

iy n n

r

i

t n

y yis

i t

k k nn nrk k n n n

k ntk k n n

EE

EE n

複素振幅反射率と複素振幅透過率：実数 フレネルの式 Fresnel’s Equation：ｓ偏光成分

フレネルの式 Fresnel’s equation

2 22 22 2 2

2 21 1 1

cos,cos

t trs s s s

i i i

r t

i i

I n DI nR r T tE EE EI I n D n

θθ

= = = = = =

強度反射率：入射波と反射波で断面積は同じ 強度透過率：入射波と透過波のビーム径と屈折率の違いに注意！

強度反射率・透過率

0 1 0 2cos , cosi r tD D D D Dθ θ= = =断面積：203-14

強度透過率：媒質１と２のビーム径と屈折率の違いに注意しましょう！

光通信工学２03－15

全反射：Total internal reflection

臨界角 Critical angle

x

y

媒質１：n1

媒質２：n2

波数ベクトル 入射波

波数ベクトル 反射波

波数ベクトル 透過波 仮想的な扱い

1θ 1θ

2 2πθ =

1 2

1 1 2 2

2

1 2 1

sin sin2

sin sin c

n nn n

n n

θ θθ π

θ θ

>=

== ≡

ik rk

スネルの法則 Snell's law

フレネルの式 Fresnel’s Equation

2 21 1

2 21 1

12 2

1 1

2 1

cos sin

cos sin2cos

cos sin

θ θ

θ θ

θ

θ θ

− −= =

+ −

= =+ −

≡

r

i

t

i

s

s

EE

E

nr

n

tn

n n n

E

全反射条件 1 1

1 2 1 1 2

sin sinsin

c c

n n n nθ θ θ θ

θ> → >

→ > >

1 2 1sin1, 2s s

n n nr t

θ = == =

臨界角：平方根が零

全反射条件：フレネルの式では平方根が零か虚数 虚数の意味（説明省略）：エバネセント波 参考文献：M.ボルン、E.ウォルフ（著）、草川・横田訳 「光学の原理Ｉ」p.73（東海大学出版会）

全反射：複素振幅反射率100%：あたりまえの結果 複素振幅透過率200％：非直観的！

透過率200%?

tk

複素振幅透過率：我々の直観とはマッチしない！

光通信工学２03－16

強度反射・透過率？：全反射

媒質１：n1

媒質２：n2

1θ

2θ

ik rk

tk

1 2n n>

iD rD

tD0D

強度反射・透過率

2 22 21 2 2

2 22 1 1

cos1, 0cos

tr trs s s

iis

ii i

tI DI nR r T tI I D n

E EE E

η θη θ

= = = → = = = →

光強度：断面積を考慮

( )( )( )

21

21

22

2

2

2

η

η

η

=

=

=

i

r

i i

r r

t tt

I D

I D

I D

E

E

E

複素振幅反射率と複素振幅透過率 • フレネルの式 • 断面積を考慮していない • 直感と矛盾

12

= →= →

r i

t i

s

s

rt

E EE E 2

0 12

0 2

cos

cos 0θ π

θ

θ =

= =

= → =i r

t t

D D D

D D D

全反射の場合：透過光の断面積は零

青：複素振幅

透過光の断面積は零：強度透過率も零（直感と一致） 強度反射率は100％（直感と一致）

光通信工学２03－17

直感的な理解：光のエネルギーは保存される

透過光の断面積は零：強度透過率も零（直感と一致） 強度反射率は100％（直感と一致） 全反射の場合

全反射でなくても 1+ =s sR T

振幅反射・透過率ではダメ 2 21, 1s s s sr t r t+ ≠ + ≠

重要 1. 振幅反射・透過率ではビーム断面積が考慮されていない。

2. 強度反射・透過率ではビーム断面積が考慮されている。従ってビーム断面積が考慮されている強度反

射・透過率の方が我々は馴染みやすいかもしれない。

2 22 21 2 2

2 22 1 1

cos1, 0cos

tr trs s s

iis

ii i

tI DI nR r T tI I D n

E EE E

η θη θ

= = = → = = = →

「反射率が50%なら透過率も50%だね」と言えるのは、強度反射・透過率

光通信工学２03－18

10 20 30 40

0

0.5

1

1.5

2

2.5n11.5, n21, n11.5

1θ

st

sr

10 20 30 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1n11, n21.5, n1.5

1θ

Brewster

sR

sT強

度反

射・

透過

率

振幅

反射

・透

過率

1s sR T+ =全反射

媒質１：n1

媒質２：n2

1θ

2θ

ik rk

tk

1 2n n>

iD rD

tD0D

全反射 透過側：ビーム径が零

入射側屈折率が大：全反射あり

垂直入射

計算例

光強度

( )( )( )

21

21

22

2

2

2

η

η

η

=

=

=

i

r

is i

rs r

ts t t

I D

I D

E

D

E

I E

pt

pr

pT

pR

説明省略：p偏光成分

s偏光成分

1 2n n>

詳細省略：透過波の断面積は常に小さい

1 21.5, 1, 1 1.5= = =n n n

全反射：振幅透過率200%? ビーム径を考慮していない反射・透過率

我々の直感とマッチしている 理由：ビーム径を考慮しているから

参考資料：授業では割愛

光通信工学２03－19

媒質１：n1

媒質２：n2

1θ

2θ

ik rk

tk

iD rD

tD0D

透過側屈折率が大：全反射なし

計算例 1 2n n<

1 1 2 2

1 2 1 2

1 2

sin sin

i r t

n nn nn n D D D

θ θθ θ

=< → >< → = <

スネルの法則： 屈折率の大小関係に注意

20 40 60 80

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1n11, n21.5, n1.5

1θ

pt

stpr

sr振幅

反射

・透

過率

全反射無：透過率＜１ 説明省略：p偏光成分

s偏光成分：負

20 40 60 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1n11, n21.5, n1.5

pT

sT

sR

pRBrewster

強度

反射

・透

過率

, , 1s p s pR T+ =

1θ

詳細省略：透過波の断面積は常に大きい。 透過側：ビーム径は非零（θ１＝π/2を除く）

我々の直感とマッチしている

水平入射 非現実的

1 21, 1.5, 1.5= = =n n n

参考資料：授業では割愛