1. bentuk tak tentu a. bentuk ∞ lambang ∞ disebut tak terhingga
TRANSCRIPT
1. Bentuk Tak Tentu a. Bentuk ∞
Lambang ∞ disebut tak terhingga malambangkan jumlah atau nilai yang sangat besar sehingga tidak dapat dihitung dan tidak diketahui jumlah atau nilainya secara pasti ∞ bukan merupakan bilangan seperti 1 , 2 , 3 , ... tetapi mempunyai beberapa sifat aljabar Sifat sifat Aljabar ∞
b. Bentuk !
!
Kita ketahui untuk 𝑎 ∈ 𝑅 maka !
!= 1 dan 𝑎×1 = 𝑎
Karena ∞×𝑎 = ∞ maka seharusnya !
!= 𝑎 bertentangan dengan !
!= 1
sehingga bentuk !! disebut bentuk tak tentu atau tidak terdefenisikan
c. Bentuk ∞−∞ Kita ketahui untuk 𝑎 ∈ 𝑅 maka 𝑎 − 𝑎 = 0 Karena ∞+ 𝑎 = ∞ maka seharusnya 𝑎 = ∞−∞ bertentangan dengan 0 = ∞−∞ sehingga bentuk ∞−∞ disebut bentuk tak tentu atau tidak terdefenisikan
Jika 𝑎 ∈ 𝑅 maka i. ∞×𝑎 = ∞
ii. ∞×∞ = ∞
iii. !!= 0 atau !
!= ∞
iv. ∞ = ∞
d. Bentuk !
!
Kita ketahui untuk 𝑎 ∈ 𝑅 maka 𝑎×0 = 0 dan !
!= 1
Karena 𝑎×0 = 0 maka seharusnya 𝑎 = !
! bertentangan dengan !
!= 1
sehingga bentuk !! disebut bentuk tak tentu atau tidak terdefenisikan
e. Bentuk 0.∞ Kita ketahui untuk 𝑎 ∈ 𝑅 maka 𝑎×0 = 0 dan !
!= 1
Misalkan 0.∞ = 0 Karena 0.∞ = 0 maka seharusnya ∞ = !
! bertentangan dengan !
!= 1
sehingga bentuk 0.∞ disebut bentuk tak tentu atau tidak terdefenisikan
2. Defenisi Limit a. Defenisi Lambang →
Lambang → artinya mendekati 𝑥 → 𝑎 dibaca nilai variabel 𝑥 mendekati 𝑎 tetapi 𝑥 ≠ 𝑎 sehingga Nilai 𝑥 < 𝑎 dikatakan 𝑥 mendekati 𝑎 dari kiri atau ditulis 𝑥 → 𝑎! Nilai 𝑥 > 𝑎 dikatakan 𝑥 mendekati 𝑎 dari kanan atau ditulis 𝑥 → 𝑎!
Contoh : 𝑥 → 2 dibaca nilai variabel 𝑥 mendekati 2
𝑥 → 2! 𝑥 → 2! 1,50 2,50 1,60 2,40 1,70 2,30 1,80 2,20 1,90 2,10 1,91 2,09 1,92 2,08 1,93 2,07 1,94 2,06 1,95 2,05 1,96 2,04 1,97 2,03 1,98 2,02 1,99 2,01
Tabel 1
b. Pengertian Limit Secara Intuitif Misalkan : 𝑓 𝑥 = 2𝑥 maka
𝑥 → 2! 𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑥 → 2! 𝑓 𝑥 = 2𝑥 1,50 3,00 2,50 5,00 1,60 3,20 2,40 4,80 1,70 3,40 2,30 4,60 1,80 3,60 2,20 4,40 1,90 3,80 2,10 4,20 1,91 3,82 2,09 4,18 1,92 3,84 2,08 4,16 1,93 3,86 2,07 4,14 1,94 3,88 2,06 4,12 1,95 3,90 2,05 4,10 1,96 3,92 2,04 4,08 1,97 3,94 2,03 4,06 1,98 3,96 2,02 4,04 1,99 3,98 2,01 4,02 2,00 4,00 2,00 4,00
Tabel 2
Gambar 1 Pada gambar 1 terlihat Jika 𝑥 mendekati 2 dari kiri atau 𝑥 → 2! maka 𝑓 𝑥 → 4 Jika 𝑥 mendekati 2 dari kanan atau 𝑥 → 2! maka 𝑓 𝑥 → 4 Jika 𝑥 = 2 maka 𝑓 𝑥 = 4 karena 𝑓 𝑥 = 2𝑥 terdefenisikan pada 𝑥 = 2
Pengertian
Misalkan 𝑓 𝑥 = 4, 𝑥 < 2
2, 𝑥 > 2 digambarkan dengan grafik di bawah ini
Gambar 2 Pada gambar 2 terlihat Jika 𝑥 mendekati 2 dari kiri atau 𝑥 → 2! maka 𝑓 𝑥 → 4 Jika 𝑥 mendekati 2 dari kanan atau 𝑥 → 2! maka 𝑓 𝑥 → 2 Jika 𝑥 = 2 nilai 𝑓 𝑥 tidak terdefenisikan Karena Jika 𝑥 mendekati 𝑎 dari kiri atau 𝑥 → 𝑎! nilai 𝑓 𝑥 → 𝐿!"
𝑓 𝑥 terdefenisikan/ada pada 𝑥 disekitar 𝑎 dan 𝑓 𝑥 boleh tidak terdefenisikan/ada pada 𝑥 = 𝑎 Jika 𝑥 mendekati 𝑎 dari kiri atau 𝑥 → 𝑎! nilai 𝑓 𝑥 → 𝐿 Jika 𝑥 mendekati 𝑎 dari kanan atau 𝑥 → 𝑎! nilai 𝑓 𝑥 → 𝐿 Jika ketiga hal di atas terpenuhi maka dikatakan limit 𝑓 𝑥 medekati 𝐿 atau 𝑓 𝑥 → 𝐿 ketika 𝑥 mendekati 𝑎 atau 𝑥 → 𝑎 dari kedua arah dan secara matematis ditulis
lim!→!
𝑓 𝑥 = 𝐿
Jika 𝑥 mendekati 𝑎 dari kanan atau 𝑥 → 𝑎! nilai 𝑓 𝑥 → 𝐿!" 𝐿!" ≠ 𝐿!" Maka lim!→! 𝑓 𝑥 tidak terdefenisikan karena nilai 𝑓 𝑥 dari kiri dan kanan tidak sama
Pada contoh halaman sebelumnya dimana 𝑓 𝑥 = 2𝑥 dan lim!→! 2𝑥 = 𝑓 2 = 4 maka 𝑓 𝑥 = 2𝑥 adalah fungsi kontinu karena 𝑓 𝑥 = 2𝑥 terdefenisikan pada 𝑥 = 2
Jika 𝑓 𝑥 terdefenisikan/ada pada 𝑥 = 𝑎 dan lim!→! 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎) maka dikatakan 𝑓 𝑥 adalah fungsi kontinu
Fungsi 𝑓 𝑥 dikatakan kontinu pada 𝑥 = 𝑎 jika
lim!→!
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎
Catatan : Untuk mendapatkan limit suatu fungsi 𝑓 𝑥 yang bersifat kontinu bisa dengan melakukan substitusi langsung lim!→! 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎
c. Defenisi Limit Secara Eksak
Secara grafik defenisi limit di atas dapat dilihat pada gambar 2
Gambar 2
Jika 𝑓 𝑥 terdefenisikan pada interval sekitar 𝑥 = 𝑎 maka dikatakan
lim!→!
𝑓 𝑥 = 𝐿
jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 dengan syarat 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿
3. Teorema Limit Fungsi Aljabar Jika 𝑛 bilangan bulat positif , 𝑘 konstanta , 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 memiliki limit di 𝑎 , maka
b. lim!→! 𝑘 = 𝑘
c. lim!→! 𝑥 = 𝑎 d. lim!→! 𝑘𝑓 𝑥 = 𝑘 lim!→! 𝑓 𝑥
e. lim!→! 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = lim!→! 𝑓 𝑥 ± lim!→! 𝑔 𝑥
f. lim!→! 𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 = lim!→! 𝑓 𝑥 . lim!→! 𝑔 𝑥
g. lim!→! =
! !! !
= !"#!→! ! !!"#!→! ! !
dengan 𝑔 𝑥 ≠ 0 h. lim!→! 𝑓 𝑥 ! = lim!→! 𝑓 𝑥 !
i. lim!→! 𝑓 𝑥! = lim!→! 𝑓 𝑥!
4. Teorema Limit Fungsi Tak Terhingga Jika 𝑛 bilangan bulat positif , 𝑘 konstanta , 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 memiliki limit di 𝑎 , maka
a. lim!→±!!!!= 0
b. lim!→! 𝑥! = ∞
c. lim!→!! 𝑥! =∞, 𝑛 genap−∞, 𝑛 ganjil