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Capítulo 1
1. Aritmética e Expressões Algébricas O estudo de cálculo exige muito mais que o conhecimento de
limite, derivada e integral. Para que o aprendizado seja satisfatório o
domínio de tópicos de aritmética e álgebra é essencial. Soma de fração,
potenciação e até mesmo produtos notáveis podem passar despercebidos
pelos alunos que estudaram o ensino fundamental há algum tempo e não
lembram. Este capítulo aborda tais assuntos de forma sintética e com
exemplos detalhados para melhor entendimento do leitor. Ao fim do
capítulo o leitor será capaz de realizar as operações aritméticas e
algébricas, tais como potenciação e radiciação, resolver problemas de
logaritmo utilizando suas propriedades, analisar problemas com módulo
e reconhecer polinômios.
1.1. Ordem e Precedência dos Cálculos
Sempre que você se deparar com uma expressão numérica para
resolver, é necessário respeitar a seguinte ordem de prioridade:
a) Agrupamentos prévios pelo uso de traço de frações, radical,
parênteses, chaves e colchetes. No caso de agrupamentos com múltiplos
por parênteses resolver do interno ao externo;
b) Potenciação e radiciação;
c) Multiplicação e divisão;
d) Adição e subtração.
Exemplos:
1) 2 + 1 × 2 −6
2 × 5 + 3 =
2 + 2 − 3 × 5 + 3 =
2 + 2 − 15 + 3 = −8
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Note que neste exemplo não existem parênteses, chaves ou
colchetes, portanto a ordem de resolução deve ser primeiramente multiplicação e/ou divisão e depois as somas e subtrações. Nos exemplos 2 e 3, com a presença de parênteses, as operações dentro dos parênteses têm prioridade. De forma semelhante, no exemplo 4, com a presença do radical, este deve ser resolvido primeiro.
2) ( 2 + 1). 2 −6
2 . (5 + 3) =
3 . 2 −6
2 . 8 =
6 − 3 . 8 = 6 − 24 = −18
3) (( 2 + 1) . 2 −6
2) . (5 + 3) =
( 3 . 2 −6
2) . 8 =
( 6 − 3) . 8 = 3 . 8 = 24
4) 12
4 + 2 . √7 + 2 =
12
6 . √9 =
2 . 3 = 6 1.2.Operações com Números Fracionários 1.2.1 Soma e Subtração
Para a soma ou a subtração de duas frações deve-se observar se os denominadores são iguais ou diferentes. Os procedimentos de cálculo variam de acordo com os denominadores apresentados. 1.2.1.1. Denominadores iguais
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Neste caso, os numeradores devem ser somados ou subtraídos, de acordo com os sinais operatórios, e o valor do denominador mantido. Exemplos:
1) 2
5+
4
5 =
6
5
2) 2
3 +
5
3−
4
3 = =
2 + 5 − 4
3=
3
3 = 1
3)28
10−
3
10+
5
10=
28 − 3 + 5
10=
30
10= 3
4) 9
8+
2
8−
1
8 =
9 + 2 − 1
8=
10
8
1.2.1.2. Denominadores diferentes
Neste caso, deve-se determinar com antecedência o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) entre todos os denominadores das frações envolvidas, de modo a igualar os denominadores e aplicar a regra acima. Exemplo:
1) 2
3+
9
4 = ?
Solução: O MMC é obtido a partir da fatoração simultânea dos denominadores, como segue abaixo:
4,3 2
2,3 2
1,3 3
1,1 2.2.3 12
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O MMC então é igual a 12. Prossegue-se adotando o MMC como denominador comum para as duas frações. Novos numeradores são obtidos para ambas as frações dividindo-se o MMC pelo antigo denominador e multiplicando este resultado pelo antigo numerador, como exemplificado a seguir:
2 9 (12 3) 2 (12 4) 9 8 27 35
3 4 12 12 12 12
2) 2
5+
8
9−
7
12 = ?
Solução:
5,9,12 2
5,9,6 2
5,9,3 3
5,3,1 3
5,1,1 5
1,1,1 2 2 3 3 5 180
2 8 7 (180 5) 2 (180 9) 8 (180 12) 7 72 160 105 127
5 9 12 180 180 180 180 180 180 180
2 8 7 (180 5) 2 (180 9) 8 (180 12) 7 72 160 105 127
5 9 12 180 180 180 180 180 180 180
OBS: Para efetuar a soma de frações com denominadores diferentes podemos utilizar qualquer múltiplo comum. A forma mais simples de encontrar um múltiplo comum é multiplicar todos os denominadores. 3)
2
5+
8
9−
7
12 =
(9 . 12) . 2 + (5 . 12) . 8 − (5 . 9). 7
5 . 9 . 12
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=108 . 2 + 60 . 8 − 45 . 7
540=
216 + 480 − 315
540 =
=381
540=
3 . 127
3 . 180=
3
3 .
127
180= 1 .
127
180=
127
180
1.2.2 Multiplicação de Frações O produto de duas ou mais frações é o produto dos seus
numeradores dividido pelo produto dos seus denominadores. Observe que, nos exemplos abaixo, nós simplesmente multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador. Em certos casos, é possível simplificar. Exemplos:
1) 1
10 .
3
5 =
1 . 3
10 . 5 =
3
50
2) 3
14 .
21
15=
3 . 21
14 . 15 =
63
210 =
3 . 21
10 . 21 =
3
10 .
21
21=
3
10 . 1 =
3
10
3) 10 .5
3 +
2
5−
1
4 =
50
3+
2
5−
1
4=
(5 . 4). 50 + (3 . 4 ). 2 − (3 . 5 ). 1
3 . 5 . 4
=1000 + 24 − 15
60=
1009
60
4) 10 . (5
3 +
2
5) −
1
4 = 10 (
5 . 5 + 3 . 2
3 . 5 ) −
1
4= 10. (
25 + 6
15) −
1
4=
= 10 .31
15−
1
4=
310
15−
1
4=
4 . 310 − 15 .1
15 . 4=
1240 − 15
60=
1225
60
= 245
12
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1.2.3. Divisão de Frações No caso de divisão entre frações procede-se multiplicando
a primeira fração pelo inverso da segunda: 𝑎𝑏𝑐𝑑
=𝑎
𝑏 ÷
𝑐
𝑑 =
𝑎
𝑏 ×
𝑑
𝑐 =
𝑎 × 𝑑
𝑏 × 𝑐
Exemplos:
1)
1725
=1
7 ÷
2
5=
1
7 ×
5
2 =
5
14
2)
172
=1
7÷ 2 =
1
7 ∙
1
2 =
1
14
3)4
23
= 4 ÷2
3 =
4
1 ∙
3
2 =
12
2 = 6
4)2
13
−
132
= 2 ∙ 3 −1
3∙
1
2 = 6 −
1
6 =
36 − 1
6 =
35
6
Nos casos acima a primeira fração deve ser mantida e é multiplicada pela inversa da segunda fração. 1.3. Expressões Algébricas
Recebe o nome de expressão algébrica a expressão matemática na qual se faz uso de letras, números e operações aritméticas. As letras constituem a parte variável da expressão, pois elas podem assumir qualquer valor numérico. Continuam válidas todas as regras da aritmética. Exemplos:
1) 2 𝑥
3−
7
𝑥 =
𝑥. (2 𝑥) − 3 . 7
3 . 𝑥 =
2 𝑥2 − 21
3 𝑥
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2) 2 𝑥 + 𝑦
𝑥−
4 𝑥
𝑦=
𝑦. (2 𝑥 + 𝑦) − 𝑥 . ( 4 𝑥)
𝑥 . 𝑦=
2 𝑥 𝑦 + 𝑦2 − 4𝑥2
𝑥 𝑦
Observe nos exemplos que os denominadores são
diferentes, portanto fazemos o MMC entre eles, como estamos em um caso algébrico o MMC é, simplesmente, a multiplicação entre eles.
É comum necessitar simplificar as expressões algébricas para a resolução de problemas. Técnicas como agrupamento, evidência do fator comum, etc., são normalmente adotadas para a simplificação e/ou fatoração das expressões. Exemplos:
Utilize as técnicas de agrupamento e evidência dos fatores comuns para simplificar as expressões algébricas abaixo: 1) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦 = (𝑥 − 3 . 𝑥) + (2 . 𝑦 + 𝑦) = = 𝑥(1 − 3) + 𝑦 (2 + 1) = −2 𝑥 + 3 𝑦
Nesse exemplo foram agrupados todos os termos com “x” em um parênteses e todos os termos com “y” em outro. Quando as operações são algébricas podemos somar ou subtrair termos semelhantes, nesse caso “x” e “3x” são semelhantes, logo podemos subtraí-los. 2) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦 + (−3). (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 2 𝑦 + (−3 𝑥 − 3 𝑦) = (𝑥 − 3 𝑥) + (2 𝑦 − 3𝑦) = 𝑥(1 − 3) + 𝑦(2 − 3) = −2 𝑥 − 𝑦 3) 𝑥 − (2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦 ) = 𝑥 − (2 𝑦 + 𝑦 − 3𝑥) = 𝑥 − (3 𝑦 − 3 𝑥) = 𝑥 + 3𝑥 − 3 𝑦 = 4𝑥 − 3𝑦
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4) 𝑥 + 2 (𝑦 − (3 𝑥 + 𝑦)) =
𝑥 + 2 ( 𝑦 + (−1) (3𝑥 + 𝑦)) =
𝑥 + 2 ( 𝑦 + (−3𝑥 − 𝑦)) =
𝑥 + 2 ( 𝑦 − 𝑦 − 3𝑥) = 𝑥 + 2(−3𝑥) = 𝑥 − 6𝑥 = −5𝑥
A fatoração consiste em representar um número ou uma expressão algébrica como produto, respetivamente, de outros números ou de outras expressões algébricas. Exemplos: 1) 6 𝑎 𝑏 − 12 𝑏 = 6 ∙ 𝑏 ∙ (𝑎 − 2) 2) 9 𝑥 − 3 𝑥 𝑦 = 3 ∙ 𝑥 ∙ (3 − 𝑦) 3) 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑎 𝑦 + 𝑏 𝑦 = 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦 (𝑎 + 𝑏) = = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑥 + 𝑦)
1.3.1 Simplificação de Frações Algébricas Para simplificar frações algébricas devemos seguir a
seguinte regra: fatorar o numerador e o denominador e assim, dividir o numerador e denominador em seus fatores comuns.
Fique atento: Só podemos simplificar os fatores (termos) que estejam multiplicando tanto o numerador quanto o denominador. Exemplos:
1) 2𝑥 − 4𝑦
2𝑥=
2 ∙ (𝑥 − 2𝑦)
2 ∙ 𝑥=
2
2∙
𝑥 − 2𝑦
𝑥=
= 1 ∙ 𝑥 − 2𝑦
𝑥=
𝑥 − 2𝑦
𝑥
2) 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥
𝑎 + 𝑏=
𝑥 (𝑎 + 𝑏)
𝑎 + 𝑏= 𝑥 ∙
𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏= 𝑥 ∙ 1 = 𝑥
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1.4. Potenciação A potenciação equivale a uma multiplicação de fatores
iguais. Podemos dizer também que é a quantidade de vezes que o número será multiplicado por ele mesmo. De um modo geral, sendo 𝑎 um número real e 𝑛 um número natural 𝑛 ≥ 2 definimos:
𝒂𝒏 = 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ … ∙ 𝒂 = 𝒑 (𝒏 𝒗𝒆𝒛𝒆𝒔 𝒐 𝒇𝒂𝒕𝒐𝒓 𝒂) 𝒂𝒏 = 𝒑
Onde: 𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒; 𝑛 = 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒; 𝑝 = 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 Exemplos: 1) 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 2) (−2)2 = (−2) × (−2) = 4 3) 33 = 3 × 3 × 3 = 27 4) (−3)3 = (−3) × (−3) × (−3) = −27 Um erro muito comum ocorre quando o aluno confunde e ao invés de multiplicar o um número n vezes por ele mesmo acaba multiplicando a base pelo expoente. Não esqueça também de fazer o jogo de sinais. 1.4.1. Propriedades
Considere 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos, 𝑛 e 𝑚 inteiros:
1) Potência de expoente nulo e igual a 1:
𝑎0 = 1 𝑒 𝑎1 = 𝑎
2) Potência de base igual a 1:
1𝑛 = 1
3) Potencia de expoente negativo:
𝑎−𝑛 =1
𝑎𝑛
4) Multiplicação de potências de mesma base:
𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
5) Divisão de potências de mesma base:
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𝑎𝑛
𝑎𝑚= 𝑎𝑛−𝑚
6) Multiplicação de potências de expoentes iguais:
𝑎𝑛. 𝑏𝑛 = (𝑎. 𝑏)𝑛
7) Divisão de potências de expoentes iguais:
𝑎𝑛
𝑏𝑛= (
𝑎
𝑏)
𝑛
8) Potência de uma potência:
(𝑎𝑛)𝑚 = (𝑎)𝑛.𝑚
Exemplos:
Nos exemplos a seguir, observe o uso das propriedades da potência nas expressões. 1)
24
2+
42
22+ (−3)−3 =
24−1 + (4
2)
2
+1
(−3)3=
23 + 22 +1
−27=
8 + 4 −1
27=
8.27 + 4.27 − 1
27=
216 + 108 − 1
27=
323
27
2)
(−3)−2 − (−3
7)
−3
=
1
(−3)2−
1
(−37
)3 =
1
(−3)2− (−
7
3)
3
=
1
(−3)2−
73
(−3)3=
=1
9− (−
343
27) =
346
27
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3)
𝑥3 𝑦 ( 𝑥 𝑦)−2 =
𝑥3 𝑦
(𝑥 𝑦)2 =
𝑥3𝑦
𝑥2 𝑦2=
𝑥3−2 𝑦1−2 =
𝑥1 𝑦−1 = 𝑥
𝑦
4) (𝑥3 +𝑥2
𝑥−3) . 𝑥−3 =
𝑥3. 𝑥−3 +𝑥2. 𝑥−3
𝑥−3=
𝑥3−3 + 𝑥 2−3−(−3) =
𝑥0 + 𝑥2 = 𝑥2 + 1
5)
2𝑥
3𝑥 . 6𝑥 =
(2
3 . 6)
𝑥
=
(12
3)
𝑥
=
4𝑥 = (22)𝑥 = 22𝑥
6)
2𝑥
3−2𝑥=
2𝑥 . 32𝑥 =
2𝑥 . (32)𝑥 =
2𝑥 . 9𝑥 =
(2 . 9) 𝑥 = 18 𝑥
7)
(𝑎2
𝑏3)
−3
. 𝑎 + 𝑏 =
𝑎−3.2
𝑏−3.3 . 𝑎 + 𝑏 =
𝑎−6. 𝑎1
𝑏−9+ 𝑏 = =
𝑎−5
𝑏−9+ 𝑏 =
𝑏9
𝑎5+
𝑏
1=
𝑏9 + 𝑎5. 𝑏
𝑎5
8)
𝑎2. (𝑎
𝑏)
−3
.𝑎
𝑏2=
𝑎2 . 𝑎−3
𝑏−3 .
𝑎
𝑏2=
𝑎2. 𝑎−3. 𝑎
𝑏−3. 𝑏2=
𝑎2−3+1
𝑏−3+2=
𝑎0
𝑏−1=
1
𝑏−1 = 𝑏1 = 𝑏
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Nos exemplos abaixo, determine o valor de 𝑥:
9) 3𝑥 = 9 → 3𝑥 = 32 ∴ 𝑥 = 2
10)
2𝑥 + 2𝑥+1 = 24 → 2𝑥 + 2𝑥 ∙ 21 = 24 → 2𝑥 ( 1 + 21) = 24 → 3 ∙ 2𝑥 = 24 →
2𝑥 =24
3 → 2𝑥 = 8 → 2𝑥 = 23 ∴ 𝑥 = 3
11) 6𝑥−2 + 5 ∙ 6𝑥−1 = 6𝑥 − 5
6𝑥
62+ 5 ∙
6𝑥
6− 6𝑥 = −5
6𝑥 + 5. 62 ∙6𝑥
6− 62. 6𝑥 = −62 ∙ 5
6𝑥 ∙ (1 + 30 − 36) = −36 ∙ 5 6𝑥 ∙ (−5) = −36 ∙ 5 → 6𝑥 = 36 →
6𝑥 = 62 ∴ 𝑥 = 2 1.5. Radiciação
A radiciação é uma operação matemática inversa da
potenciação, ou seja,
𝒔𝒆 √𝒂𝒏 = 𝒃 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒃𝒏 = 𝒂
Onde o símbolo √ é o radical; 𝑛 ≠ 0; a = radicando; b=raiz;
n=índice.
Exemplos:
1)
√164
= 𝑏 ⇔ 𝑏4 = 16 ⇔ 𝑏4 = (2)4 ⇔ 𝑏 = 2
Logo √164
= 2
2)
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√−273
= 𝑏 ⇔ 𝑏3 = −27 ⇔ 𝑏3 = (−3)3 ⇔
𝑏 = −3 𝑙𝑜𝑔𝑜 √−273
= −3
3)
√−16 = 𝑏 ⇔ 𝑏2 = −16
Como não existe um número que elevado a um expoente par seja
um número negativo então
√−16 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑖𝑎𝑠
Obs: Não existe raiz de um radicando negativo se o índice for par.
1.5.1. Propriedades Sejam 𝑛 ≠ 0 e 𝑚 ≠ 0
1) Raiz de radicando nulo:
√0𝑛
= 0
2) Raiz de índice unitário nulo:
√𝑎1
= 𝑎
3) Produto de radicais de mesmo índice:
√𝑎𝑛
. √𝑏𝑛
. √𝑐𝑛
= √𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑛
4) Divisão de radicais com mesmo índice:
√𝑎𝑛
√𝑏𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛
5) Potência de uma raiz:
( √𝑎𝑛
)𝑚 = √𝑎𝑚𝑛
6) Raiz elevada a expoente igual ao seu índice:
( √𝑎𝑛
)𝑛 = 𝑎
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7) Raiz de uma raiz:
√ √𝑎𝑛
𝑚
= √𝑎𝑛.𝑚
8) Multiplicação de raiz por uma constante
𝑎 √𝑏𝑛
= √𝑎𝑛𝑏𝑛
A raiz é apenas uma forma de representar a potenciação
com expoente fracionário. Assim, toda raiz pode ser escrita em
forma de potência como:
√𝑎𝑚 𝑛
= 𝑎 𝑚𝑛
Exemplos: 1) Utilizando as regras da potenciação, demonstre as seguintes
regras da radiciação:
𝑎) √0𝑛
= 0
√0𝑛
= 01
𝑛⁄ = 0
𝑏) √𝑎1 = 𝑎
√𝑎1
= 𝑎1
1⁄ = 𝑎1 = 𝑎
𝑐) √𝑎𝑛
. √𝑏𝑛
. √𝑐𝑛
= √𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑛
𝑎1
𝑛⁄ . 𝑏1
𝑛⁄ . 𝑐1
𝑛⁄ = (𝑎. 𝑏. 𝑐)1
𝑛⁄ = √𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑛
𝑑) ( √𝑎𝑛
)𝑚 = √𝑎𝑚𝑛
( √𝑎𝑛
)𝑚 = (𝑎1
𝑛⁄ )𝑚
= 𝑎1.𝑚
𝑛⁄ = 𝑎𝑚
𝑛⁄ = √𝑎𝑚𝑛
𝑒) √ √𝑎𝑛
𝑚
= √𝑎𝑛.𝑚
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√ √𝑎𝑛
𝑚
= √𝑎1
𝑛⁄𝑚
= (𝑎1
𝑛⁄ )1
𝑚⁄
= 𝑎1
𝑛⁄ .1 𝑚⁄ =
= 𝑎1
𝑛.𝑚⁄ = √𝑎𝑛.𝑚
Nos exemplos abaixo calcule as raízes indicadas: 2)
√−273
. √108 = √(−3)33 . √22. 33 = (−3). √22. 32. 3
= (−3). 2. 3 . √3 = −18 . √3
3)
√356 ∙
√3
√33 =
35
6⁄ ∙ 31
2⁄
31
3⁄=
356
+12
31
3⁄=
38
6⁄
31
3⁄= 3
86
−13 = 3
66 = 31 = 3
Simplifique as expressões abaixo, considerando 𝑎 > 0
4) √𝑎 . √𝑎 = 𝑎1
2⁄ . 𝑎1
2⁄ = 𝑎1
2+
1
2 = 𝑎1 = 𝑎
5) √𝑎3
. √𝑎3
= 𝑎1
3⁄ . 𝑎1
3⁄ = 𝑎1
3+
1
3 = 𝑎2
3⁄ = √𝑎23
6) √𝑎3
. √𝑎23= 𝑎
13⁄ . 𝑎
23⁄ = 𝑎
1
3+
2
3 = 𝑎3
3⁄ = 𝑎
7) (√𝑎3 )3
= (𝑎3
2⁄ )3
= 𝑎3.3
2 = 𝑎9
2⁄ = √𝑎9 = √𝑎8. √𝑎 = 𝑎4√𝑎
1.6.Racionalização de denominadores
Racionalização de denominadores é o processo para a
obtenção de uma fração com denominador racional equivalente a
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uma anterior que possuía um ou mais radicais no denominador.
Ou seja, é eliminação do radical do denominador.
A técnica consiste em multiplicar os termos desta fração
por uma expressão com radical, denominada fator racionalizante.
1° Caso: O denominador é um radical de incide 2
(raiz quadrada)
Neste caso o denominador tem a forma √𝑎 .
O fator racionalizante de √𝑎 é √𝑎 pois:
√𝑎 ∙ √𝑎 = 𝑎12 ∙ 𝑎
12 = 𝑎
12
+12 = 𝑎1 = 𝑎
Exemplos:
1) 30
√2=
30
√2 ∙
√2
√2=
30 ∙ √2
√2 ∙ √2=
30 √2
212 ∙ 2
12
= 30 √2
2 = 15 √2
2) 3
4 √6=
3
4√6 ∙
√6
√6=
3 ∙ √6
4 ∙ √6 ∙ √6=
3 √6
4 ∙ 612 ∙ 6
12
=3 √6
4 ∙ 6 =
√6
8
3) √𝑎
3
√𝑎 =
√𝑎3
√𝑎 ∙
√𝑎
√𝑎 =
𝑎13 ∙ 𝑎
12
𝑎12 ∙ 𝑎
12
= 𝑎
56
𝑎=
√𝑎56
𝑎
2° Caso: Quando no denominador há um número
somado ou diminuído à uma raiz quadrada
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Neste caso o denominador tem as formas: 𝑎 + √𝑏 ou 𝑎 −
√𝑏
O fator integrante de (𝑎 + √𝑏) é (𝑎 − √𝑏) e o fator integrante
de (𝑎 − √𝑏) é (𝑎 + √𝑏) pois:
(𝑎 + √𝑏) ∙ (𝑎 − √𝑏) = 𝑎 ∙ 𝑎 − 𝑎 ∙ √𝑏 + 𝑎 ∙ √𝑏 − √𝑏 ∙ √𝑏 = 𝑎2 − 𝑏
Exemplos:
1) 3
4 + √5=
3
4 + √5 ∙
4 − √5
4 − √5=
3 ∙ (4 − √5)
42 − (√5 ∙ √5)=
=12 − 3 √5
16 − 5 =
12 − 3 √5
11
2) 5
2 − √3=
5
2 − √3 ∙
2 + √3
2 + √3=
5 ∙ (2 + √3)
22 − √3 ∙ √3=
=10 + 5 √3
4 − 3 =
10 + 5 √3
1 = 10 + 5 √3
3) √𝑎 − 𝑏
√𝑎 + 𝑏=
√𝑎 − 𝑏
√𝑎 + 𝑏 ∙
√𝑎 − 𝑏
√𝑎 − 𝑏=
=(√𝑎 − 𝑏) ∙ (√𝑎 − 𝑏)
(√𝑎 + 𝑏) ∙ (√𝑎 − 𝑏)=
=√𝑎 ∙ √𝑎 − 𝑏 √𝑎 − 𝑏√𝑎 + 𝑏2
(√𝑎)2
− 𝑏2=
𝑎 − 2 𝑏 √𝑎 + 𝑏2
𝑎 − 𝑏2
3° Caso: O denominador é um radical de índice
genérico 𝒏
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Neste caso o denominador tem a forma √𝑎𝑛
.
O fator racionalizante de √𝑎𝑛
é √𝑎𝑛−1𝑛= 𝑎
𝑛−1
𝑛 pois:
√𝑎𝑛
∙ √𝑎𝑛−1𝑛= 𝑎
1𝑛 ∙ 𝑎
𝑛−1𝑛 = 𝑎
(1𝑛
+𝑛−1
𝑛)
= 𝑎1+𝑛−1
𝑛 = 𝑎𝑛𝑛 = 𝑎1 = 𝑎
Exemplos:
1) 5
√53 =
5
513
∙ 5
23
523
=5 √5
3
513
+23
=5 √5
3
51= √5
3
2) 1
√3 √33 =
1
312 ∙ 3
13
=1
3(
3+2 6
)∙ =
1
35 6
=
=1
35 6
∙3
16
316
=3
16
35+1
6
=√36
3
3) 2 + √2
4
√34 =
2 + √24
314
∙3
34
334
=(2 + √2
4) ∙ √334
3(
1+3 4
)=
=2 ∙ √27
4+ √2
4∙ √27
4
31=
2 √274
+ √544
3
4° Caso: O denominador é um radical de incide genérico 𝒏 e radicando elevado a uma potência genérica 𝒎 Neste caso o denominador tem a forma √𝑎𝑚𝑛
com 𝒎 < 𝒏
O fator racionalizante de √𝑎𝑚𝑛 é √𝑎𝑛−𝑚 =
𝑛 𝑎
𝑛−𝑚
𝑛 pois:
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√𝑎𝑚𝑛 ∙ √𝑎𝑛−𝑚𝑛
= 𝑎𝑚𝑛 ∙ 𝑎
𝑛−𝑚𝑛 = 𝑎
(𝑚𝑛
+𝑛−𝑚
𝑛)
= 𝑎𝑚+𝑛−𝑚
𝑛 = 𝑎𝑛𝑛 = 𝑎1
Exemplos:
1) 21
√725 = 21
725
∙ 7
35
735
=21 √735
7(
25
+35
)=
21 √735
7= 3 √735
2) 1
√373 = 1
√33 ∙ 33 ∙ 33 =
1
√333∙ √333
∙ √33
=
=1
3 ∙ 3 ∙ √33 =
1
32 ∙ √33
=
1
32 ∙ √33
=
1
32 ∙ 313
∙3
23
323
=
=3
23
32 ∙ 3(
13
+23
)=
√323
32 ∙ 31=
√323
33=
√93
27
1.7. Logaritmo
O logaritmo de um número positivo 𝑎 na base 𝑏, positiva e
diferente de 1, é o expoente 𝑐 que se deve elevar 𝑏 para obter 𝑎.
𝑠𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑐 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑏𝑐 = 𝑎
onde 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑒 𝑏 ≠ 1.
𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜; 𝑏 = 𝑏𝑎𝑠𝑒; 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜.
A notação do logaritmo decimal, de base igual a 10, é:
log 𝑎 = log10 𝑎
A notação do logaritmo natural, de base igual ao número
de Euler 𝑒 ≅ 2.71828, é:
ln 𝑎 = log𝑒 𝑎
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Nota: Não devemos confundir logaritmo natural e logaritmo
neperiano. Algumas vezes ambos são tratados como sinônimos,
mas na verdade o logaritmo neperiano refere-se a um logaritmo na
base 1 𝑒⁄ .
Exemplos: 1) log 100 = 𝑥 → 10𝑥 = 100 → 10𝑥 = 102 ∴ 𝑥 = 2 2) log 0,1 = 𝑥 → 10𝑥 = 0,1 → 10𝑥 = 10−1 ∴ 𝑥 = −1 3) 𝑙𝑜𝑔2 4 = 𝑥 → 2𝑥 = 4 → 2𝑥 = 22 ∴ 𝑥 = 2
4) 𝑙𝑜𝑔2 (1
32) = 𝑐 → 2𝑐 =
1
32→ 2𝑐 =
1
25→ 2𝑐 = 2−5
∴ 𝑐 = −5 5) 𝑙𝑜𝑔3 1 = 𝑥 → 3𝑥 = 1 → 3𝑥 = 30 ∴ 𝑐 = 0
6) 𝑙𝑜𝑔14
(2√2) = 𝑥 → (1
4)
𝑥
= 2 √2 →
(1
22)
𝑥
= 2 ∙ 212 → (2−2)𝑥 = 2
(1+12
)→
2−2𝑥 = 232 ∴ −2𝑥 =
3
2 → 𝑥 = −
3
2
7) ln1
𝑒= 𝑐 → 𝑒𝑐 =
1
𝑒→ 𝑒𝑐 = 𝑒−1 ∴ 𝑐 = −1
8) ln 𝑒 = 𝑐 → 𝑒𝑐 = 𝑒 → 𝑒𝑐 = 𝑒1 ∴ 𝑐 = 1 9) Calcule o valor de log 1,4 usando a definição de logaritmo e as
aproximações: 2 = 100,301 e 7 = 100,845. Solução:
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log 1,4 = 𝑥 → 10𝑥 = 1,4 → 10𝑥 =14
10→
10𝑥 =2 ∙ 7
10 → 10𝑥 = 2 ∙ 7 ∙ 10−1 →
10𝑥 = 100,301 ∙ 100,845 ∙ 10−1 → 10𝑥 = 100,301+0,845−1 10𝑥 = 100,146 ∴ 𝑥 = 0,146 → log 1,4 = 0,146 1.7.1. Propriedades 1) Logaritmo de 1 em qualquer base b é 0.
𝑙𝑜𝑔𝑏 1 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏0 = 0
2) Logaritmo da base é 1.
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏1 = 1
3) Logaritmo de um produto
𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎. 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐
4) Logaritmo de um quociente
𝑙𝑜𝑔𝑏 (𝑎
𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐
5) Logaritmo de uma potência
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎𝑛 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎
6) Mudança da base b para a base c
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
7) Igualdade de logaritmos de mesma base
𝑠𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑦 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 𝑦
8) Relações entre potências e logaritmos de mesma base.
log𝑏 𝑏𝑎 = 𝑎 𝑒 𝑏𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑎
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Exemplos:
1) 𝑙𝑜𝑔(0,1 ∙ √10) = 𝑙𝑜𝑔 0,1 + 𝑙𝑜𝑔 √10 = 𝑙𝑜𝑔10−1 + 𝑙𝑜𝑔1012
= −1 +1
2= −
1
2
2) 𝑙𝑜𝑔2 (1
16) = 𝑙𝑜𝑔2 1 − 𝑙𝑜𝑔2 16 == 𝑙𝑜𝑔2 20 − 𝑙𝑜𝑔2 24 = 0 − 4
= −4
3) 2𝑙𝑜𝑔2 4 = 4
4) 4𝑙𝑜𝑔2 4 = (22)𝑙𝑜𝑔2 4 = 22.𝑙𝑜𝑔2 4 = 2𝑙𝑜𝑔2 42= 2𝑙𝑜𝑔2 16 = 16
5) 𝑒−3 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑒𝑙𝑛 𝑥−3= 𝑥−3
6) 3 ln(𝑎) + ln(𝑏) − ln (𝑒) = ln (𝑎3 ∙ 𝑏
𝑒)
Resolva as equações abaixo: 7) log√2 𝑥 = −3
Solução:
(√2)−3
= 𝑥 → 𝑥 =1
(√2)3 → 𝑥 =
1
√23→
𝑥 =1
2 √2→ 𝑥 =
1
2 √2∙
√2
√2 → 𝑥 =
√2
4
8) 3 ln 𝑥 = 2 Solução:
ln 𝑥 =2
3 → 𝑒
23 = 𝑥 → 𝑥 = √𝑒23
9) 2 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 4 Solução: 𝑙𝑜𝑔2 𝑥2 = 𝑙𝑜𝑔2 22 ∴ 𝑥2 = 4 ∴ 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −2 , 𝑝𝑜𝑖𝑠 (−2)2 = (2)2 = 4
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Como o logaritmando 𝑥 não pode ser negativo, só 𝑥 = 2 é
solução da equação. 10) 3 𝑒4𝑥+8 = 1 Solução:
𝑒4𝑥+8 =1
3
Para isolar a variável 𝑥 na equação é necessário aplicar o logaritmo ln nos dois lados da equação, então:
ln(𝑒4𝑥+8) = ln (1
3) → 4𝑥 + 8 = ln 1 − ln 3 →
4𝑥 + 8 = 0 − ln 3 → 4𝑥 = −8 − ln 3 →
𝑥 = −8 − ln 3
4 ∴ 𝑥 = −2 −
1
4ln 3
1.7.2. Equação Logarítmica
A equação do tipo log𝑎 𝑓(𝑥) = 𝛼 é uma igualdade entre um
logaritmo e um número real. E para resolvê-la, basta aplicar a
definição do logaritmo.
𝑆𝑒 0 < 𝑎 ≠ 1 𝑒 𝛼 ∈ ℝ, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 log𝑎 𝑓(𝑥) = 𝛼
𝑓(𝑥) = 𝑎𝛼
Exemplo:
1) Resolver a equação log2(3𝑥 + 1) = 4
Solução:
log2(3𝑥 + 1) = 4
3𝑥 + 1 = 24
3𝑥 = 16 − 1 ∴ 3𝑥 = 15 ∴ 𝑥 =15
3= 5, 𝑆 = {5}
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1.8. Módulo
A todo número real 𝑥 associa-se um valor absoluto, também
chamado de módulo, representado por |𝑥| definido por:
|𝑥| = {𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
O módulo de um número positivo ou nulo é o próprio número
|4| = 4 ; |0| = 0
O módulo de um número negativo é o oposto dele mesmo
|−3| = −(−3) = 3 ; |−√5| = −(−√5 ) = √5
De acordo com a definição acima, para todo 𝑥 ∈ ℜ tem-se
|𝑥| ≥ 0, ou seja, o módulo de um número real é sempre positivo ou
nulo. Geometricamente, o módulo um número real é, na reta
numérica, a distância entre este número e a origem.
O número -2 está a 2 unidades de medida à esquerda da
origem. Assim, sua distância à origem é 2. Dizemos, então, que o
módulo ou valor absoluto de -2 é 2, indicado por |−2| = 2.
O número 3 está a 3 unidades de medida à direita da
origem. Assim, sua distância à origem é 3. Dizemos, então, que o
módulo ou valor absoluto de 3 é 3, indicado por |3| = 3.
0 -2 3
2 3
ℜ
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Se considerarmos dois números reais 𝑥 e 𝑦 associados aos
pontos 𝑋 e 𝑌 na reta real, então |𝑥 – 𝑦| corresponde a distância
entre os dois pontos.
1.8.1. Propriedades 1) |𝑥| ≥ 0
2) |𝑥| = | − 𝑥|
3) |𝑥. 𝑦| = |𝑥|. |𝑦|
4) |𝑥/𝑦| = |𝑥|/|𝑦| com 𝑦 ≠ 0
5) |𝑥| = |𝑦| 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑥 = ± 𝑦
6) √𝑥𝑛𝑛= {
|𝑥| 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
; 𝑥 ∈ ℛ
Observação:|𝑥 ± 𝑦| ≠ |𝑥| ± |𝑦|
Exemplos:
1) De acordo com a definição e as propriedades do módulo,
calcule:
𝑎) |−3 + 5| = | 2| = 2
𝑏) √(−3)2 = |−3| = 3
𝑐) √(−3)33 = −3
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𝑑) |2 𝑥 + 1
𝑥| 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −3
|2 (−3) + 1
−3| = |
−5
−3| =
| − 5|
| − 3|=
5
3
Lista de Exercícios
Aqui estão questões relacionadas ao capítulo estudado. É
importante o esforço para resolver todas as questões. Em caso de
dúvidas, os monitores do programa estarão prontos para lhe
ajudar. Bons estudos!
1) Determine 2
3+ (
4
5) (
1
3)
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2) Qual valor da expressão 𝐸(𝑥) =1
1+1
1+1
1+𝑥
, para 𝑥 +1
2?
3) Encontre o valor de A
𝐴 =
1 −14 +
1
1 +14
1 +14 −
1
1 +14
4) Se A =
xy
yx ,
5
2x e
2
1y , então determine o valor de
A.
5) Determine o valor numérico da expressão
ax
xaxa
2
para a=5
3 e x =
5
4.
6) Qual o valor de 𝑚 = (2√8 + 3√5 − 7√2)(√72 + √20 −
4√2)?
7) Aplicando as propriedades das potências, simplifique
as expressões:
8) Calcule o valor das expressões:
9) Simplifique os radicais
41
943
732
36
2
743
7
9
10.10.3
10.10.10.12)
25.5
25.125)
243.3
1
3.27.9)
8
4.256)
dcba
3
2
4
3
42
4
1
33
1
4
1
3
825,0)5,0(.4)
82
1168)27)2(168)
c
ba
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a) √643
b) √576
c) √12
d) √273
e) √324
10) Simplifique as expressões:
a) √8 + √32 + √72 − √50
b) 5√108 + 2√243 − √27 + 2√12
c) 𝑎 √𝑎𝑏43+ 𝑏 √𝑎4𝑏
3+ √𝑎4𝑏43
− 3𝑎𝑏 √𝑎𝑏3
11) Efetue as operações:
a) √3. √12
b) √243
. √33
c) √43
√2 4
d) √
3
2
√1
2
e) (√12 − 2√27 + 3√75). √3
f) (3 + √2). (5 − 3√2)
g) (5 − 2√3)2
h) √20−√45+3√125
2√5
i) √√2 − 1. √√2 + 1
12) Qual o valor que se obtém ao subtrair 5
8−3√7 de
12
√7+3?
13) Calcule o valor da expressão:
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2(𝑥2𝑦). 3(𝑥2𝑦3)
𝑥²𝑦²
14) Simplifique, sendo 𝑎. 𝑏 ≠ 0
a) (𝑎4..𝑏2)³
(𝑎.𝑏2)²
b) (𝑎4.. 𝑏3)3. (𝑎2. 𝑏)²
15) Calcule o valor das expressões:
a) 2−1−(−2)2+(−2)−1
22+2−2
b) 32−3−2
32+3−2
c) (
−1
2)
2.(
1
2)
3
[(−1
2)
2]
3
16) Considerando 3 1
11
1691
63
.x e
3 3
12
271
23
.y , os valores
de x e y são respectivamente:
a) 3
2
7 e 11/9
b) 2/45 e 11/25
c) 2/5 e 8/11
d) 5/8 e 11/36
e) 8/5 e 36/11
17) Seja 1
11
451
32
.m .O valor de m é igual a
a) 2/15
b) 4/15
c) 5/9
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d) 10/9
18) Racionalize o denominador de cada expressão abaixo:
a) 1
√3 i)
1+√2
−√2+1
b) 2
3√3 j)
√22
√22−√21−
√21
√22−√21
c) √2
√3
d) 𝑥𝑦
√𝑥2𝑦35
e) 1
1+√2
f) 2
√5−1
g) √2
3−√2
h) √3
√3−2
19) As indicações R1 e R2, na escala Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula
𝑅1 − 𝑅2 = log10
𝑀1
𝑀2
Em que M1 e M2 medem a energia liberada pelos terremotos sob a
forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois
terremotos: um correspondente a R1=8 e outro correspondente a
R2=6. Calcule a razão 𝑀1
𝑀2
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20) Calcule o valor de S:
𝑆 = log4 (log3 9) + log2( log81 3) + log0,8( log16 32)
21) Determine o valor de x na equação 𝑦 = 2log3(𝑥+4) para que y seja igual a 8.
22) Calcule o valor de
a) 3log3 2
b) 31+log3 4
c) 92−log3 √2
23) Desenvolva aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b e c são reais positivos)
a) log22𝑎𝑏
𝑐
b) log3𝑎³𝑏²
𝑐4
24) Se 𝑙𝑜𝑔2 = 𝑎 e log 3 = 𝑏, coloque em função de a e b os seguintes logaritmos decimais:
a) log 6 b) log 4
c) log 0,5 d) log 5
e)
25) Calcule o log24 6 em função de x e y, sabendo que o
log27 6 = 𝑥 que o log27 4 = 𝑦.
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26) Resolva as equações:
a) log4(3𝑥 + 2) = log4(2𝑥 + 5)
b) log5(4𝑥 − 3) = 1
27) Sejam |𝑎| = 10, |𝑏| = 2 e 𝑐 = −5, calcule as expressões:
𝑎) |𝑎2. 𝑏|=
𝑏) |𝑎
𝑐| =
𝑐) √𝑐22=
𝑑) √𝑐33=
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GABARITO
1) 𝟏𝟒
𝟏𝟓
2) 𝟓
𝟖
3) 𝟑𝟏
𝟗
4) −𝟏
𝟐
5) 𝟏𝟗
𝟑𝟓
6) 𝟏𝟖
7) a) 𝟑𝟐, b) 𝟏
𝟐𝟏𝟖𝟕, c) 𝟔𝟐𝟓, d)
8) a) 5, b) −𝟐𝟑
𝟏𝟔, c) 1
9) a) 4, b) 24, c) 𝟐√𝟑, d) 𝟖√𝟐, e) 18
10) a) 𝟕√𝟐, b) 𝟒𝟗√𝟑, c) 0
11) a) 6, b) 𝟐√𝟗, c) 𝟐𝟓
𝟏𝟐, d) √𝟑, e) 33, f) 𝟗 − 𝟒√𝟐, g) 𝟑𝟕 −
𝟏𝟎√𝟑, h) 7, i) 1
12) −𝟐𝟐 − 𝟐√𝟕
13) 𝟔𝒙𝟐𝒚𝟐
14) a) 𝒂𝟏𝟎𝒃𝟐, b) 𝒂𝟏𝟔𝒃𝟏𝟏
15) a) −𝟏𝟔
𝟏𝟕, b)
𝟒𝟎
𝟒𝟏, c) 2
16) a)
17) 𝟓
𝟗
18) a) √𝟑
𝟑, b)
𝟐√𝟑
𝟗, c)
√𝟔
𝟑, d) √𝒙𝟑𝒚𝟐𝟓
, e) −𝟏 + √𝟐, f) 𝟏+√𝟓
𝟐, g)
𝟐+𝟑√𝟐
𝟕,
h) −𝟑 − 𝟐√𝟑, i) −𝟑 − 𝟐√𝟐, j) 𝟏
19) 𝑴𝟏
𝑴𝟐= 𝟏𝟎𝟎
20) −𝟓
𝟐
21) 𝑿 = 𝟓
22) a) 2, b) 12, c) 𝟖𝟏
𝟐
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23) a) 𝟏 + 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒂 + 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒃 − 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒄, b) 𝟑 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒂 + 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒃 −𝟒 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒄
24) 𝒂) 𝒂 + 𝒃, b) 2a, c) – 𝒂, d) 1-a
25) 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟒 𝟔 = 𝒚
26) b) x=3 b) x=2
27) 𝒂) 𝟐𝟎𝟎, 𝒃) 𝟐, 𝒄) 𝟓, 𝒅) − 𝟓