Vectores en Rn

Versin Agosto de 2010

Pontificia Universidad Catlica de Chile

ndice

1. Conceptos bsicos 11.1. Representacin grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Operaciones vectoriales 22.1. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Ponderacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3. Propiedades de la suma y la ponderacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4. Combinaciones lineales y conjuntos generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Producto punto, norma y distancia en Rn 73.1. Producto punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2. Norma y proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3. Distancia en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4. Rectas 134.1. Rectas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2. Rectas y conjuntos generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3. Ecuaciones de la recta en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5. Planos en R3 165.1. Planos y conjuntos generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2. Hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1. Conceptos bsicos

Definicin: Sea n N = {1,2,3, . . .}. Un vector en Rn es un conjunto ordenado de n elementos de R. Anotaremoslos vectores de Rn con parntesis redondos: (a1,a2, . . . ,an).

As, al considerar el conjunto {a1,a2,a3}, donde a1, a2 y a3 son nmeros reales, tendremos que

{a1,a2,a3}= {a3,a1,a2},

pues ambos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos (lo que define la igualdad de conjuntos). Pero losvectores (a1,a2,a3) y (a3,a1,a2) no son iguales a menos que los componentes correspondientes son iguales, es decir,a1 = a3, a2 = a1 y a3 = a2. Luego, estos vectores sern iguales slo si sus tres componentes son iguales (un conjuntono ordenado no tiene elementos repetidos, los vectores s).

En general, dos vectores (a1,a2, . . . ,an) y (b1,b2, . . . ,bn) de Rn son iguales si y slo si los componentes corres-pondientes de ambos vectores son iguales. En frmula:

(a1,a2, . . . ,an) = (b1,b2, . . . ,bn) a1 = b1 y a2 = b2 y y an = bn

Notacin: Segn el contexto, usaremos la notacin vectorial como una n-tupla ordenada (conjunto ordenado, conelementos separados por comas, escrito hacia el lado) o por columnas. As, un vector (a1,a2, . . . ,an) de Rn a veces seanotar

a1a2...

an

.

1.1. Representacin grfica

En R1, R2 y en R3 tenemos representaciones grficas de los vectores.Considerando un enfoque algebraico, comenzamos estableciendo un sistema de coordenadas adecuado (ejes coor-

denados, origen y unidad de medida). Luego, en R1, graficaremos los vectores sobre la recta real con flechas dirigidasdesde el cero hasta el (nico) nmero que compone el vector. En R2, se grafica el vector usando tambin una flechadirigida desde el origen hasta el punto del plano cuyas coordenadas coinciden con las componentes del vector. Demanera anloga se procede en R3.

a0

En R: En R2: En R3:

(a)

a

b(a,b) (a,b,c)

b

a

c

1

De esta manera, todos los vectores algebraicos nacen en el origen y quedan determinados completamente porsus componentes. Los puntos 0 de R, (0,0) de R2, (0,0,0) de R3 y, en general, (0,0, . . . ,0) de Rn sern anotamoscomo

0 (sin distincin en cuanto al nmero de componentes que tiene, pues esto se deduce segn el contexto).

El enfoque geomtrico para graficar vectores permite despegar los vectores del origen. Consideremos la repre-sentacin grfica de los vectores geomtricos (o vectores libres) en el plano (R2).

En este caso, partimos definiendo, a travs de una semirecta fija, la direccin horizontal positiva (ngulo cero) y,en la semirecta se define la unidad de medida. Luego, graficamos los vectores por flechas ubicadas en cualquier lugardel plano. Los vectores geomtricos quedan completamente definidos por el largo de la flecha y el ngulo que formacon el eje horizontal (el vector

0 tienen longitud 0 y no forma ngulo alguno con la horizontal). De esta manera,

flechas del mismo largo (largo distinto de cero) y que forman el mismo ngulo representan el mismo vector.

45

x

y

60

z

z

z

z

Entonces, un vector geomtrico es la familia de todos las flechas de la misma longitud que forman el mismongulo con el eje horizontal. Uniendo ambos enfoques, podemos pensar que un vector algebraico es la nica flechade la familia geomtrica que nace en el origen. Ms adelante profundizaremos en esta relacin.

En el espacio tridimensional, R3, los vectores geomtricos quedarn determinados por la longitud de la flecha ypor los tres ngulos (conocidos como ngulos directores) que el vector forma con tres direcciones fijas perpendicularesa pares (una rplica de los ejes coordenados X , Y y Z). Pero en R3 (y en general, en todo Rn con n 3) privilegiaremosel enfoque algebraico por su poder descriptivo.

2. Operaciones vectoriales

2.1. Suma

Consideremos dos vectores geomtricos x e y en el plano. Para obtener el vector suma x +y , se ubica elvector y a continuacin del vector x y la representacin grfica del vector x +y es la flecha que une el inicio dex con el final de y (mtodo del tringulo). De manera anloga puede ponerse x a continuacin de y para obtenerel vector y +x .

x

y

y

x +y

Mtodo del tringulo

x

y x

y +x

Mtodo del Paralelogramo

2

El Mtodo del Paralelogramo consiste en trasladar ambos vectores a un origen comn y copiarlos simultneamen-te a continuacin del otro, construyendo un paralelogramo cuya diagonal naciendo en el origen comn es el vectorsuma. Este mtodo nos permite comprobar la conmutatividad de la suma de vectores geomtricos (x +y =y +x ).

Algebraicamente, consideremos los vectores x = (x1,x2) y y = (y1,y2). El vector suma se obtiene sumandocomponente a componente:

x +y = (x1 + y1,x2 + y2).Notemos que el signo + que aparece en cada componente del vector suma denota la adicin de nmeros reales,

mientras que el signo + que aparece en el lado izquierdo de la igualdad representa la suma de vectores. Este fenmenoes muy comn en lgebra lineal, pero aunque en un comienzo puede resultar confuso usar el mismo smbolo paradistintos propsitos, esto resulta ms conveniente a largo plazo que definir nuevos smbolos para cada nuevo conceptodesarrollado.

Comprobemos, con un grfico simple, que la suma de vectores algebraicos coincide con la suma de vectoresgeomtricos en el plano.

x y

x1 y1

x1 + y1

x2

y2

x2 + y2

x1

x2

Aunque, por lo menos en R2, las definiciones geomtrica y algebraica de la suma vectorial son equivalentes,preferiremos el enfoque algebraico que volver triviales las demostraciones de las propiedades de la suma vectorial y,adems, es fcilmente generalizable a Rn.

As, dados dos vectores x = (x1,x2,x3, . . . ,xn) e y = (y1,y2,y3, . . . ,yn) de Rn, obtenemos el vector suma reali-zando la suma componente a componente:

x +y = (x1 + y1,x2 + y2, . . . ,xn + yn).

2.2. Ponderacin

Dados un vector geomtrico x y c un nmero real constante, queremos definir el vector ponderado cx . Paraesto, comencemos pensando en la natural interpretacin de los vectores 2x y x = (1)x .

El vector 2x debe corresponder a x +x . Es decir, el vector 2x debe formar el mismo ngulo con la horizontalque x (misma direccin) y su longitud es el doble que la de x . En tanto, el vector x debe cumplir el papel de uninverso aditivo, es decir, se debe cumplir que

x +(x ) =0 ,luego el vector x debe tener la misma longitud que el vector x y debe apuntar en la direccin diametralmenteopuesta a la de x . Combinando ambos argumentos, el vector 2x debe apuntar en la direccin opuesta a la de x ysu longitud debe ser el doble de la de x .

3

x 2x x

b

2x

En general, el vector cx tiene una longitud que es |c| veces la longitud de x (por qu el valor absoluto?) yapunta en la misma direccin o en la direccin opuesta a la de x , segn sea c positivo o negativo.

Algebraicamente, si x = (x1,x2, . . . ,xn) Rn, obtenemos el vector ponderado de x por c multiplicando cadacomponente por c:

cx = (cx1,cx2, . . . ,cxn).

2.3. Propiedades de la suma y la ponderacin

Sean x , y , z vectores de Rn y sean c y d dos costantes reales. Entonces:

(i) x +y =y +x .

(ii) x +(y +z ) = (x +y )+z .

(iii) x +0 =0 +x .

(iv) x +(x ) = (x )+x =0 .

(v) c(x +y ) = cx + cy .

(vi) (c+d)x = cx +dx .

(vii) c(dx ) = (cd)x .

Nota 1: La resta vectorial se define a travs de los inversos aditivos

x y =x +(y ) .

Consideremos una vez ms el paralelogramo con lados x e y .

y

x

z

El vector x +y est marcado en rojo como antes, pero hemos marcadotambin la otra diagonal del paralelogramo, vector al que hemos llamado z .Notemos que

x +z =y .Por tanto,

z =y x .As, una de las diagonales del paralelogramo es la suma de los lados y la otraes la resta de los lados.

4

Nota 2: Al ponderar cualquier vector x Rn por cero, se obtiene el vector cero. De hecho,

0x = (0+0)x = 0x +0x ,

es decir,0x = 0x +0x

y restando a ambos lados de la igualdad 0x , obtenemos0 = 0x .

Nota 3: Podra definirse sin ningn impedimento la multiplicacin de dos vectores componente a componente. Porqu esto no se hace? (Para quien est interesado, podra ser de ayuda el concepto de divisores del cero).

2.4. Combinaciones lineales y conjuntos generados

Las dos operaciones definidas para los vectores son la suma y la ponderacin, cualquier trabajo posterior que serealice con vectores se basar en estas dos operaciones y sus propiedades. El concepto de combinacin lineal unificaambas operaciones y es central en la generacin de nuevos vectores a partir de vectores conocidos.

Definicin: Sean x 1, x 2, . . . , x r, r vectores de Rn. Un vector x Rn es una combinacin lineal (c.l) de{x 1,x 2, . . . ,x r} si existen constantes reales c1,c2, . . . ,cr tales que

x = c1x 1 + c2x 2 + + crx r.

Los nmeros c1,c2, . . . ,cr se conocen como los coeficientes de la c.l.

Ejemplo:

Si v = (3,1) y w = (7,8), entonces:

2v w = 2(3,1) (7,8)= (6,2) (7,8)= (1,10)

y

12w 3v = 1

2(7,8)3(3,1)

=

(72,4

) (9,3)

=

(11

2,7

)

Entonces, tenemos que los vectores (1,10) y( 112 ,7

)son combinaciones lineales de los vectores

v y w .

w

v

2v w

12w 3v

Definicin: Sean x 1, x 2, . . . , x r, r vectores de Rn y A = {x 1,x 2, . . . ,x r}. El conjunto generado por A se definecomo

A = {c1x 1 + c2x 2 + + crx r : c1,c2, . . .cr Rn}= el conjunto de todas las c.l. de los vectores de A.

5

Ejemplo:Consideremos el conjunto A = {(1,3,3),(3,9,6),(0,0,5)}. Entonces (1,3,3) A y tambin se tiene que

(1,3,3) A, pues(1,3,3) = 1 (1,3,3)+0 (3,9,6)+0 (0,0,5).

Ahora, (0,0,7) / A. Pero, (0,0,7) s pertenece a A, pues

(0,0,7) = 0 (1,3,3)+0 (3,9,6)+ 75(0,0,5).

Por ltimo, (2,0,2) / A y (2,0,2) tampoco pertenece a A, pues si intentamos escribir (2,0,2) como c.l. de losvectores de A, tendremos que

(2,0,2) = c1(1,3,3)+ c2(3,9,6)+ c3(0,0,5) = (c1 +3c2,3c1 9c2,3c1 +6c2 +5c3),

y debemos encontrar los valores de c1, c2 y c3 que deben cumplir

c1 +3c2 = 2 (1)3c1 9c2 = 0 (2)

3c1 +6c2 +5c3 = 2 (3)

De la ecuacin (2), se tiene que c1 = 3c2. Pero al reemplazar esta relacin en la ecuacin (1), se obtiene que 0 = 2.Lo que no es posible. Por tanto, no existen constantes c1, c2 y c3 tales que

(2,0,2) = c1(1,3,3)+ c2(3,9,6)+ c3(0,0,5),

es decir, (2,0,2) / A.Nota: Cuando el conjunto A contiene al menos un vector distinto del vector

0 , entonces el conjunto generado por A

tiene infinitos elementos. Pero si A = {0 }, entonces A= {0 } nuevamente.

6

3. Producto punto, norma y distancia en Rn

Como ya vimos, no suele definirse una multiplicacin de vectores componente a componente, pues esta operacinno tiene propiedades fundamentales para el trabajo con vectores. Por ejemplo, al definir la multiplicacin componentea componente, muchos vectores no tendrn inversos multiplicativos y, por tanto, la solucin de ecuaciones vectorialesque incluyan multiplicaciones ser incierta y, a veces, imposible. An as, ciertos tipos de multiplicacin de vectores(producto punto y producto cruz) son definidos y juegan un importante papel en la descripcin geomtrica de Rn.

3.1. Producto punto

Definicin: Sean x = (x1,x2, . . . ,xn) e y = (y1,y2, . . . ,yn) vectores de Rn. Se define el producto punto de x y dey porx y = x1y1 + x2y2 + + xnyn.

Nota: El producto punto tambin recibe el nombre de producto escalar debido a que al realizar esta operacin entredos vectores se obtiene como resultado un nmero real o escalar.

Ejemplos:1. Geomtricamente, el producto punto entre dos vectores

se relaciona directamente con el ngulo que forman losvectores. Por ejemplo, los vectores u = (4,2) y v =(1,2) son perpendiculares (ngulo de 90) y esto setraduce en que el producto punto es cero

u v = 4 (1)+2 2 = 0.

Los vectores u = (4,2) y w = (3,3) no son per-pendiculares. Su producto punto es u w = 18. Msadelante veremos cul es el ngulo que forman u y w(que no es 90).

uv

w

2. Una interpretacin fsica del producto punto. Pongamosun peso de 4 en el punto x = 1 y un peso de 2 en elpunto x = 2. Entonces los vectores u y v resumen lainformacin de los pesos y sus ubicaciones respectiva-mente. Y si el eje X es un balancn, ste se equilibraponiendo el pivote en x = 0, pues al calcular el momen-to del sistema (fuerza por brazo) con respecto al origen,tenemos que es

M = 4 (1)+2 2 = 0

y momento = 0 indica equilibrio.

b b24

21

3. Si el vector p = (p1, p2, p3, p4) almacena los precios de 4 productos y el vector c = (c1,c2,c3,c4) almacenael nmero de unidades de cada producto que se venden o compran, segn ci sea positivo o negativo, entoncesel producto p c entrega el ingreso total; un producto punto igual a cero significa libro balanceado.

7

Propiedades del producto punto

Sean x , y y z vectores de Rn y sea c una constante real. Entonces:

(i) x y =y x .

(ii) x (y +z ) =x y +x z .

(iii) c(x y ) = (cx ) y =x (cy ).

(iv)0 x = 0.

(v) x x 0.

(vi) x x = 0 x =0 .

Estas propiedades son claras cuando describimos los vectores por coordenadas.

Producto punto y combinaciones lineales

Consideremos la siguiente combinacin lineal (para hacer ms evidente la relacin que queremos establecer,escribimos los vectores como columnas):

4110

122

= 4

9135

+2

1013

3

1234

Ahora, notemos que 41 = 4 9+ 2 1 3 (1) , es decir, 41 = (4,2,3) (9,1,1). Y tambin tenemos que10, 1, 22 son productos punto. De esta manera, al hacer una c.l. de vectores de R4, se realizan 4 productos punto,uno por cada componente del resultado.

En general, en una c.l. de vectores de Rn se hacen n productos punto.

8

3.2. Norma y proyecciones ortogonales

Definicin: La norma (o longitud) de un vector x Rn es la raz cuadrada del producto x x :

x =x x .

Esta definicin es clara en R2 y en R3, donde podemos realizar esquemas grficos para comprobar que geomtri-camente, la norma de un vector coincide con la longitud de la flecha que lo representa.

(a,0)

(0,b) (a,b)

(a,0,0)

(0,b,0)

(0,0,c)

(a,b,c)

(a,b,0)

En R2, tenemos que la flecha que representa al vector (a,b) esla hipotenusa del tringulo rectngulo de lado a y b. Luego,usando el Teorema de Pitgoras, la longitud de la flecha es

a2 +b2. Pero

a2 +b2 =

(a,b) (a,b)= (a,b).

Ahora, en R3, usaremos dos veces el Teorema de Pitgo-ras para calcular la longitud de la flecha que representa elvector (a,b,c). Primero, considerando el tringulo rectn-gulo de lados a y b en la base del paraleleppedo, tenemosque la longitud de la flecha que representa al vector (a,b,0)es

a2 +b2. Consideramos, ahora, el tringulo con vrtices

(0,0,0), (a,b,0) y (a,b,c), cuyos catetos miden

a2 +b2 yc. Entonces la longitud de la flecha del vector (a,b,c) es

a2 +b2 + c2 =

(a,b,c) (a,b,c)

= (a,b,c)

En general, tenemos que la norma del vector x = (x1,x2, . . . ,xn) Rn es

x =

x21 + x22 + + x2n.

Propiedades de la norma

Las propiedades de la norma se heredan de las del producto punto, debido a la definicin. Si x e y son vectoresde Rn y si c es una constante real, entonces:

1. x 2 =x x 0

2. x = 0 si y slo si x =0

3. c x = |c| x , pues cx =(cx ) (cx ) =

c2(x x ) =

c2

(x x ) = |c| x

4. x +y 2 = x 2 +y 2 +2x y , pues

x +y 2 = (x +y ) (x +y ) =x (x +y )+y (x +y )= x x +x y +y x +y y= x 2 +y 2 +2x y

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El siguiente teorema relaciona el producto punto con la norma.

Teorema. (Desigualdad de CauchySchwarz) Sean x e y vectores de Rn. Entonces

|x y | x y

y la igualdad se cumple si y slo si existe una constante real 0 tal que x = 0y .

Demostracin. Sea un nmero real cualquiera. Como

0 x y 2

= x 2 + y 2 +2x ( y )= x 2 + 2y 2 2 x y ,

entonces tenemos que para todo R la funcin cuadrtica

y 2 a

2 +2x y b

+x 2 c

es positiva o cero. Es decir, el discriminante de esta funcin cuadrtica debe ser menor o igual a cero. Entonces

0 = b2 4ac 0 (2x y )2 4y 2x 2

4y 2x 2 4(x y )2

y 2x 2 (x y )2

y x |x y |

Por ltimo,y x = |x y | = 0

lo que significa que la funcin cuadrtica tiene una nica raz real, llammosla 0. Para ella tendremos que x 0y 2 = 0, es decir, x = 0y . 2

Tenemos dos consecuencias directas de la desigualdad de Cauchy-Schwarz: la desigualdad triangular y la relacinentre el producto punto y el ngulo entre dos vectores.

Desigualdad triangular. Dados x e y en Rn, se tiene que

x +y x +y .

Pues

x +y 2 = x 2 +y 2 +2x y x 2 +y 2 +2x y (por Cauchy-Schwarz)= (x +y )2

ngulos entre vectores. Sean x e y vectores de Rn. Como nos interesa determinar el ngulo entre x e y , tienesentido asumir que ambos son distintos del vector cero. Entonces x 6= 0, y 6= 0 y, por la Desigualdad deCauchy-Schwarz,

|x y |x y 1.

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Como

1 x y

x y 1,

para cualquier vector x y cualquier vector y existe un ngulo [0,] tal que

cos() =x y

x y .

De esta manera, podemos hacer la siguiente definicin.

Definicin: El ngulo entre los vectores x e y est dado por la frmula

= arccos( x yx y

).

Nota 1: Si los vectores x e y son paralelos, entonces el ngulo entre ellos es 0 (0) o (180), luego cos() = 1o cos() = 1 y, por tanto, x y = x y o x y = x y , es decir, se alcanza la igualdad en laDesigualdad de Cauchy-Schwarz. Entonces,

x e y son paralelos si y slo si existe una constante real 0 tal que x = 0y .

Nota 2: Si los vectores x e y son perpendiculares, entonces el ngulo entre ellos es 2 (90), luego cos() = 0 yx y = 0. Entonces,x e y son perpendiculares si y slo si x y = 0.

Con bastante frecuencia se usan los vectores con norma igual a uno para indicar una direccin particular. Parasimplificar la escritura les damos un nombre especial a estos vectores.

Definicin: Un vector es unitario si su norma es 1.

Nota 3: Si x 6=0 , entonces el vector x = 1x x =

xx es unitario y paralelo al vector

x .

Concluimos esta seccin estudiando las proyecciones ortogonales en Rn.

u

uv

z

v

Consideremos dos vectores u y v 6=0 . La proyeccin orto-gonal de u sobre v es el vector uv (ver Figura), que quedacaracterizado por dos propiedades:

1. uv es paralelo a v , luego uv = v , y

2. z es perpendicular a v , es decir, z v = 0.

Para determinar el vector uv , basta determinar la costante (por 1). Ahora, observando la figura, se tiene queuv +z =u , luego z =u uv =u v .Entonces, la propiedad 2 nos permite encontrar :

0 =z v = (u v ) v =u v v v =u v v 2.

11

Por tanto, =u vv 2 .

Luego, la proyeccin ortogonal de u sobre v es el vector

uv =u vv 2

v .

Es directo probar que si se reemplaza el vector v por cualquier ponderado no nulo de l, digamos w = v( 6= 0), entonces se tendr que uw =uv (demustrelo!).

3.3. Distancia en Rn

A continuacin vamos a definir formalmente la distancia entre dos puntos A y B de Rn.

Definicin: Dado un punto P en Rn. El vector que nace en el origen y termina en el punto P se conoce como el vectorde posicin de P. Anotaremos este vector por

OP o por p .

A

B

Ob

xa

La distancia entre los puntos A y B corresponder a la lon-gitud del vector x . Si a es el vector posicin del punto Ayb es el vector de posicin del punto B. Entonces,

a +x =b ,

por lo tanto,x =b a

y la distancia entre A y B, que anotaremos d(A,B), ser

d(A,B) = b a .

12

4. Rectas

A continuacin, describiremos vectorialmente la ecuacin de una recta en Rn y estudiaremos detalladamente lasdiversas formas de la ecuacin de una recta en R3.

4.1. Rectas en Rn

b

b

b

b

0

X

P1

P2

p1

p2

xd

`

Sea ` la recta que pasa por los puntos P1 y P2 (P1 6= P2). Paradescribir esta recta a travs de una ecuacin vectorial, usaremoslos vectores de posicin de los puntos que pertenecen a ella.Sea X un punto cualquiera de Rn y x su vector de posicin.Encontraremos condiciones sobre el vector x para que el puntoX pertenezca a la recta `.Si X pertenece a la recta se debe cumplir que el vector que uneP1 con X ,

P1X , debe ser paralelo al vector

P1P2 =

d 6=0 . Lue-

go, P1X =

d ,

donde es una constante real. Adems, se debe cumplir quep1 +

P1X =

x .

Juntando ambas condiciones, se tiene que

x =p1 +d , con R.

As, hemos determinado la ecuacin vectorial de la recta `. Esta ecuacin nos dice que el vector de posicin deun punto cualquiera de la recta ser la suma del vector de posicin de un punto conocido de la recta (p1) ms unponderado de un vector que est contenido en la recta (

d ).

El punto P1 se llama punto de posicin de la recta y el vectord se conoce como la direccin de la recta. Juntos,

el punto de posicin y la direccin, determinan de forma nica la recta. Notemos que los distintos valores que asume elnmero real permite obtener los distintos puntos de la recta, se conoce como el parmetro de la recta. Notemos,tambin, que si se conocen dos puntos de la recta P1 y P2, entonces cualquiera puede actuar como punto de posiciny la direccin de la recta ser el vector que une ambos puntos:

d =

P1P2.

Ejemplo: Determinemos la ecuacin de la recta en R5 que pasa por los puntos P1(1,0,1,1,4) y P2(3,0,4,3,1).

Simplemente debemos indicar el punto de posicin de la recta y su direccin. Tomemos como punto de posicinel punto P1 y el vector de direccin ser

d =

P1P2 =

p2 p1 = (3,0,4,3,1) (1,0,1,1,4) = (2,0,3,2,3)

Luego, la ecuacin de la recta buscada es

x = p1 +d

= (1,0,1,1,4)+ (2,0,3,2,3).

13

Encontremos algunos puntos de la recta. Para esto, damos distintos valores al parmetro .

= 0 = x = (1,0,1,1,4) =p1

= 1 = x = (1,0,1,1,4)+ (2,0,3,2,3) = (3,0,4,3,1) =p2

=3 = x = (1,0,1,1,4)3(2,0,3,2,3) = (5,0,8,5,13)

=16

= x = (1,0,1,1,4) 16(2,0,3,2,3) =

(2

3,0,

12,

23,92

)

De esta manera, los puntos P1(1,0,1,1,4), P2(3,0,4,3,1), P3(5,0,8,5,13) y P4( 23 ,0, 12 , 23 , 92

)pertenecen

a la recta.

Aprovechemos este ejemplo para aclarar que una recta puede ser representada por distintas ecuaciones vectoriales.Si en vez de tomar P1 como punto de posicin de la recta, hubiramos tomado P2, entonces la ecuacin vectorial de larecta hubiera sido

x = p2 +d

= (3,0,4,3,1)+ (2,0,3,2,3).

Aqu hemos cambiado el nombre del parmetro por .Es claro que por como las hemos encontrado, las ecuaciones vectoriales

x = (1,0,1,1,4)+ (2,0,3,2,3) (1)x = (3,0,4,3,1)+ (2,0,3,2,3) (2)

representan la misma recta. Luego los vectores de posicin de los puntos P1, P2, P3 y P4 deben cumplir la ecuacin(2), determinemos los valores del parmetro que le corresponde a cada punto.

p1 = (1,0,1,1,4) = (3,0,4,3,1)+(2,0,3,2,3)= (2,0,3,2,3) = (2,0,3,2,3) = =1

p2 = (3,0,4,3,1) = (3,0,4,3,1)+(2,0,3,2,3)= (0,0,0,0,0) = (2,0,3,2,3) = = 0

p3 = (5,0,8,5,13) = (3,0,4,3,1)+(2,0,3,2,3)= (8,0,12,8,12) = (2,0,3,2,3) = =4

p4 =(2

3,0,

12,

23,

92

)= (3,0,4,3,1)+(2,0,3,2,3)

=(

73,0,7

2,7

3,

72

)= (2,0,3,2,3) = =7

6

Nota: La direccin de una recta es decisiva al determinar su relacin con otras rectas. As, dos rectas sern paralelas siy slo si sus vectores de direccin son paralelos y dos rectas sern perpendiculares si y slo si su vectores de direccinson perpendiculares.

Cal es el criterio que garantiza que dos ecuaciones vectoriales representen la misma recta? o, dicho de otraforma, cundo dos rectas son coincidentes? No basta slo con que la direccin sea la misma.

14

4.2. Rectas y conjuntos generados

b

b

O d

`0

`

p

P

La recta `0 pasa por el origen y tiene direccind . Luego,

x = d

es una ecuacin vectorial para `0. De esta manera, el conjuntogenerado d describe todos los vectores de posicin de lospuntos de la recta `0. Identificaremos la recta con el conjuntogenerado:

`0 = d .

Ahora, el conjunto

p + d = {p +d : R}

describe la recta `, que pasa por el punto P y es paralela a `0(su direccin es

d ).

As, toda recta se describe por el conjunto generado por su vector direccin ms el vector de posicin de la recta:

`=p + d .

4.3. Ecuaciones de la recta en R3

A continuacin, revisaremos todas las formas de la ecuacin de una recta en R3. Para esto, describiremos porcomponentes todos los vectores involucrados.

Sea `= p + d , con p = (p1, p2, p3) yd = (d1,d2,d3). Entonces un punto X(x,y,z) en el espacio pertenece

a la recta ` si y slo si su vector de posicin x = (x,y,z) cumple la siguiente ecuacin vectorial:

x =p +d ,

con R.

Por componentes, la ecuacin vectorial es

(x,y,z) = (p1, p2, p3)+ (d1,d2,d3).

E igualando ambos trminos de la ecuacin componente a componente, obtenemos las ecuaciones paramtricas de`:

x = p1 +d1y = p2 +d2z = p3 +d3

con parmetro R.

Despejando de todas las ecuaciones paramtricas, obtendremos las ecuaciones simtricas de la recta `. Cuandod1 6= 0, d2 6= 0 y d3 6= 0, las ecuaciones simtricas de la recta son

x p1d1

=y p2

d2=

z p3d3

(= )

15

Ejemplo: Determinemos las ecuaciones simtricas de la recta ` que pasa por los puntos A(3,5,9) y B(1,5,2).

Usamos A como punto de posicin yAB=

b a =(1,5,2)(3,5,9) = (4,0,11) como vector de direccin

de la recta. Luego, la ecuacin vectorial de ` es

(x,y,z) = (3,5,9)+ (4,0,11),luego

x = 3+4y = 5z = 911

Despejamos para eliminarlo y obtenemos

( =)x+3

4=

z911

como la segunda componente del vector direccin es cero, en la ecuacin paramtrica de y no aparece . Aun as,dentro de las ecuaciones simtricas, debemos indicar cul es la condicin para y. Entonces, las ecuaciones simtricasde la recta ` son

x+34

=z911 , y = 5.

(Todos los puntos de la recta tienen segunda coordenada igual a 5).

5. Planos en R3

La descripcin de un plano en el espacio se realizar, al igual que en el caso de la recta, a travs de una ecuacinvectorial.

Entonces debemos buscar una propiedad que caracterice inequvocamente todos los puntos de un plano dado. Adiferencia de una recta, un plano no queda determinado por un vector direccin, pues dentro de un plano claramentehay vectores que se dirigen en infinitas direcciones distintas. Pero aun as, ser una direccin la que nos permitirdescribir un plano.

b nx

0

Partiremos caracterizando los planos en el espacio que pa-san por el origen. Para esto, consideremos un vector fijon .Entonces todos los vectores x de R3 que son perpendicu-lares a n indican la posicin de los puntos que conformanel plano 0 por el origen. Luego, la ecuacin vectorial delplano 0 es n x = 0.Usando componentes, con n = (a,b,c) y x = (x,y,z), ob-tenemos la ecuacin cartesiana de 0:

ax+by+ cz = 0.

Claramente, el vector x = 0 = (0,0,0) cumple la ecua-cin de 0 y el plano pasa por el origen.El vector n se conoce como el vector normal del plano 0y slo nos interesa su direccin, no su longitud. De hecho,si n es un vector normal de 0, tambin lo son 2n y n .

16

El siguiente paso es describir los planos en general (que no pasan necesariamente por el origen). Nuevamente,la caracterstica de todos los vectores contenidos en el plano es que son perpendiculares a una direccin fija, queseguimos llamando n (normal al plano). Consideramos un punto fijo P del plano y queremos determinar la condicin(ecuacin vectorial) que debe cumplir un punto X del espacio para pertenecer al plano.

b

b

nx p

O P

X

x

p

El punto X pertenece al plano cuando el vector x p est contenido completamente en el plano. Por tanto,este vector debe ser perpendicular al vector normal n y la ecuacin vectorial del plano es

n (x p ) = 0.

De esta manera, el plano queda completamente determinado por su vector normal n y el punto de posicin P.Determinamos la ecuacin cartesiana del plano , poniendo n = (a,b,c), p = (p1, p2, p3) y x = (x,y,z):

a(x p1)+b(y p2)+ c(z p3) = 0,

o en su forma ms simple:ax+by+ cz = d,

donde d = ap1 +bp2 + cp3 =n p .

Nota 1: Un plano con ecuacin cartesiana ax+by+ cz = d pasa por el origen si y slo si d = 0.

Nota 2: La ecuacin de un plano no es nica. Recordemos que si n es un vector normal al plano, entonces todo vectorponderado cn (c 6= 0) tambin es un vector normal al plano, luego las ecuaciones n (x p ) = 0 y (cn ) (x p ) = 0 son dos ecuaciones que representan el mismo plano. Pero, adems, distintos puntos de posicin generarndos ecuaciones vectoriales distintas. Cmo se puede determinar si dos ecuaciones representan el mismo plano?

Nota 3: El vector normal a un plano determina su posicin relativa con respecto a otros planos. Dos planos sernparalelos si y slo si sus vectores normales son paralelos y sern perpendiculares si y slo si sus vectores normalesson perpendiculares.

17

Ejemplo:El plano 1 : 3x+ y 2z = 0 pasa por el origen y tiene vector normal n = (3,1,2) (los coeficientes que

acompaan a x, y y z). El vector 5n = (15,5,10) tambin es un vector normal de 1, luego, la ecuacin 15x+5y10z = 0 describe el mismo plano.

Ahora queremos determinar la ecuacin cartesiana del plano 2 que es paralelo a 1 y que pasa por el punto(7,3,1).

Claramente, la ecuacin de 2 ser 3x+y2z= d, donde la constante d se determina usando que el punto (7,3,1)debe satisfacer la ecuacin. Entonces

3 7+32 1 = 22 = d.Por lo tanto, la ecuacin buscada es

2 : 3x+ y2z = 22.

Ahora, consideremos un tercer plano, tambin paralelo a 1,

3 : 3x+ y2z =5.

Para determinar la ecuacin vectorial de 3 debemos encontrar un punto de posicin del plano. Para esto, fijamos losvalores de dos de las variables y, usando la ecuacin cartesiana, determinamos el valor correcto de la tercera variable.Por ejemplo: si x = 2 y z = 7, entonces y = 53x+2z = 53 2+2 7 = 3 y el punto P(2,3,7) pertenece a 3y su ecuacin vectorial es:

(3,1,2) ((x,y,z) (2,3,7)

)= 0.

5.1. Planos y conjuntos generados

En el ltimo ejemplo, manipulamos la ecuacin cartesiana de un plano para determinar un punto de l. Generali-zaremos este procedimiento para describir de una nueva manera los puntos de un plano.

Comencemos con un plano 0 que pasa por el origen y tiene vector normal n = (a,b,c). Entonces,

ax+by+ cz = 0

es la ecuacin cartesiana del plano 0. Usemos esta ecuacin para describir un punto cualquiera de este plano,X(x,y,z), como la combinacin lineal de ciertos vectores fijos. Como n 6= 0 , al menos una de sus componenteses distinta de cero. Si suponemos que a 6= 0 (si a = 0, usamos b o c), entonces podemos despejar la variable x (o y oz) en la ecuacin del plano, obteniendo:

x = ba y ca z,luego el vector posicin de X puede escribirse como

x = (x,y,z) =( ba y ca z , y , z

)

=( ba y , y , 0

)+( ca z , 0 , z

)

= y( ba , 1 , 0

)+ z

( ca , 0 , 1

)

Entonces, todos los puntos del plano 0 tienen vectores de posicin que son una combinacin lineal de los vectoresfijos v1 =

( ba , 1 , 0

)y v2 =

( ca , 0 , 1

). Identificamos el plano con el conjunto generado por estos vectores y

anotamos:0 = {v1 ,v2}=

{( ba , 1 , 0

),( ca , 0 , 1

)}.

18

Ejemplo: Escribamos el plano 0 : 3x+y2z = 0 como un conjunto generado. Para esto, despejamos de la ecuacincartesiana del plano una de las variables. En este caso, nos conviene despejar y (para no tener que trabajar confracciones). Entonces, como y =3x+2z, tenemos que un punto del plano tendr vector de posicin

x = (x,y,z) = (x,3x+2z,z) = (x,3x,0)+ (0,2z,z) = x(1,3,0)+ z(0,2,1).

Luego,

0 ={(1,3,0) , (0,2,1)}

.

No hay un nico conjunto generado que representa este plano: si despejamos x en la ecuacin cartesiana de 0,obtendremos otra descripcin del plano.

x = 13 y+ 23 z =x = (x,y,z) =

( 13 y+ 23 z , y , z

)

=( 13 y , y , 0

)+(

23 z , 0 , z

)

= y( 13 , 1 , 0

)+ z

(23 , 0 , 1

)

Luego,

0 ={(

13 , 1 , 0),(2

3 , 0 , 1)}

.

Los vectores v1 y v2 se conocen como vectores directores del plano 0 y ambos estn completamente contenidosen el plano. Ahora, para que dos vectores cualesquiera u1 y u2 de R3 generen un plano no podrn ser paralelos, puesen caso contrario slo generarn una recta.

Ahora, el conjuntop +

{v1 ,v2}

={p +v1 +v2 : , R

}

describe el plano que es paralelo al plano 0 ={v1 ,v2

}y que pasa por el punto P cuyo vector de posicin es

p .

Nota: En el caso de un plano que no pasa por el origen, tendremos que sus vectores directores (que estn completa-mente contenidos en l) son los vectores p +v1 y p +v2 (Haga un dibujo y explique este hecho).

Ejemplo: Consideremos el plano 0 ={(1,3,0) , (0,2,1)}

de los ejemplos anteriores, cuya ecuacin cartesiana

es 3x+y2z = 0, y el plano 3 : 3x+y2z =5 que es paralelo a 0 y que pasa por el punto P(2,3,7) (calculadoen la seccin anterior). Entonces

3 = (2,3,7)+{(1,3,0) , (0,2,1)}

Por otro lado, el plano

4 = (4,2,1)+{(1,3,0) , (0,2,1)}

tambin es paralelo a 0 y pasa por el punto (4,2,1), luego, su ecuain cartesiana es 3x+ y 2z = d, con d =3 4+(2)2 (1) = 12, es decir, 4 : 3x+ y2z = 12.

19

5.2. Hiperplanos

Terminaremos este captulo mencionando lo que es la versin de los planos en Rn: los hiperplanos.El punto de vista que ser rescatado para esta generalizacin ser el vectorial. Por esto, la caracterstica funda-

mental de los planos que trascender a ms dimensiones ser la de perpendicularidad a un vector fijo, que seguiremosllamando vector normal al hiperplano.

As, dado un vector fijo n de Rn, definimos el hiperplano 0 que pasa por el origen con vector normal n por laecuacin vectorial

n x = 0.En general, un hiperplano en Rn que pasa por el punto P (con vector de posicin p ) y tiene vector normal n

queda descrito por la ecuacinn (x p ) = 0.

La gran diferencia entre los planos y los hiperplanos es que estos ltimos no pueden graficarse. Pero an puedenhacerse clculos de distancia a un punto, interseccin con rectas u otros hiperplanos a travs de operaciones vecto-riales, puede determinarse la ecuacin cartesiana de un hiperplano y tambin se tiene que los hiperplanos pueden serexpresados como conjuntos generados (por n1 vectores que no solo deben no ser paralelos, sino que deben cumplirque ninguno de ellos pueda ser escrito como una combinacin lineal de los dems).

20

MAT1203 LGEBRA LINEALGUA N1 VECTORES EN Rn

SEGUNDO SEMESTRE 2010

1. Sean u = (1,2,2), v = (4,3,5) y w = (4,2,0). Encuentre u +v w , u (v +w ), u +w ,el ngulo entre u y v , el vector unitario en la direccin de u .

2. Hallar un vector unitario paralelo a la suma de los vectores a = (1,2,5), b = (2,1,1).

3. Dados los vectoresP = 2i+ 3 j k y Q = 4i 3 j + 2k, encontrar PQ en trminos de i, j, k y encontrar su

magnitud.

(R.: 2i6 j+3k , 7)

4. Demuestre que en un tringulo ABC, el centro de gravedad G tiene vector de posicin dado por

g =a +b +c

3,

donde a , b y c son los vectores de posicin de los vrtices A, B y C.

5. a) Se considera el 4ABC cuyos vrtices A, B y C tienen los siguientes vectores de posicin, respectivamentea = (1,1,1), b = (1,2,1) y c = (2,1,1). Calcule el rea de dicho tringulo y determine su centro degravedad g .

b) Demuestre que si a y b son vectores unitarios que cumplen a b = 12

2, entonces

a +b a b =

2.

6. Sean a y b dos vectores no paralelos. Se definen los vectores c = (m+ n 1)a +(m+ n)b y d = (mn)a +(2mn+1)b . Encuentre m y n tales que c = 3d .

7. Si a , b , c son vectores de R3, demuestre que

a) a +b a + b b) a +b c a + b + c c) a b a b

8. Dados a y b . Demuestre que

a +b 2 = a 2 +b 2 a y b son ortogonales.

9. Demuestre quea b = 1

4(a +b 2 a b 2).

10. Si a y b son unitarios y =](a, b), demuestre que

12a b=

sen2

.

21

11. Halle m en R tal que a = (m,2,1) y b = (2m,m,4) sean ortogonales.

12. Expresed = (2,1,3) como combinacin lineal de a = (1,1,1), b = (1,1,1), c = (2,1,0).

13. En Rn, dados a y b no nulos, se definen los vectoresc =ad =

b a

Calcule en R de modo que c y d sean ortogonales entre s (Mtodo de Gram - Schmidt).

14. Dado el tringulo ABC de vrtices A(1,4), B(6,5), C(7,2):

i) Es un tringulo issceles? Un tringulo rectngulo?

ii) Determine las coordenadas de su centro de gravedad G, su ortocentro H y su circuncentro S.

iii) Calcule la longitud de su altura trazada desde B, su rea y su circunradio.

iv) Determine la ecuacin de su transversal de gravedad y su bisectriz interior, trazadas desde B.

15. Dados los vectores u = (1,3,2) y v = (2,1,1) de R3

i) Para qu valores de k el vector (1,k,5) es combinacin lineal de u y v ?ii) Determine una condicin para que (a,b,c) sea combinacin lineal de u y v .

16. Dados u = i+ j k

v = 2i+ j+ k

a) Encuentre la proyeccin de u sobre v .b) Descomponga u en una suma de vectores, uno de los sumandos paralelo a u y el otro sumando perpen-

dicular a v .

17. Dados p = (1,2,1) y q = (2,1,3), se define el vector u = p +(1)q donde es real. Encuentre elvalor de para que u sea ortogonal al vector v = (1,2,2).

18. Siendo A(0,2,4), B(3,1,2), C(2,0,1), D(4,2,0), determinar un vector ortogonal tanto a AB como a CD.

19. Hallar el rea del paralelgramo determinado porOA = i j+2k y por OB = 3i+2k.

20. Las ecuaciones de los lados de un tringulo son

5x7y+27 = 0, 9x2y15 = 0, 4x+5y+11 = 0.

Encuentre los ngulos del tringulo.

21. Describa el grfico de la ecuacin x = 3 en R2 y en R3.

22. Describa el conjunto de puntos en R3 que satisfacen las ecuaciones simultneas x = 6; y = 3.

23. Determine el rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos A(0,2,2), B(8,8,2) y C(9,12,16).

22

24. Demuestre que siA ,

B son dos vectores cualesquiera diferentes de

0 y si

C = ||B ||A + ||A ||B , entonces

C forma ngulos iguales conA y con

B .

25. Determine de modo que el vector (1, ,2) forme un ngulo de 45 con el vector (1,1,3).

26. Determine de modo que el punto ( ,3) equidiste de los puntos (2,1) y (3,4).

27. a) Determine un vector u = (x,y,z) que sea combinacin lineal de a = (1,1,1) y b = (2,1,0) y que,adems, sea unitario y ortogonal a c = (2,1,3).

b) Si la normal a un hiperplano es n = (1,2,1,1,1) y el punto P(1,2,1,1,3) est en l, determine laecuacin de dicho hiperplano y su distancia al origen.

28. Si a y b representan las diagonales de un paralelogramo, construya dicho paralelogramo.

29. Demostrar vectorialmente que el segmento que une los puntos medios de 2 lados de un tringulo es paralelo altercer lado y su magnitud es la mitad de ste.

30. Hallar una ecuacin del plano paralelo al vector 3i j+2k y que pasa por la recta de interseccin de los planosx+ y = 3 y 2y+3z = 4. (R. 2x3z = 2)

31. Comprobar que los tres planos 7x+4y+7z+1 = 0, 2x y z+2 = 0 y x+2y+3z1 = 0 se intersectan enuna recta.

32. Calcular p y q de modo que los planos 3x y+ pz = 9 y qx+2y+ z = 3 sean paralelos.

33. Hallar las ecuaciones del plano determinado por la rectax1=

y+62

=z+31 y el punto (4,3,2)

(R. x9y17z+3 = 0 )

34. Encontrar la ecuacin del plano tal que:

a) Pasa por (3,2,4) y es perpendicular a los planos 7x3y+ z5 = 0 y 4x y z+9 = 0( R. 4x+11y+5z10 = 0 )

b) Pasa por (2,1,1) y (3,2,2) y es perpendicular al plano

x+2y5z3 = 0(R. 7x6y z7 = 0 )

c) Pasa por (3,4,1), (1,2,5), (1,7,1)(R. 3x+2y+6z23 = 0 )

d) Pasa por la de los p lanos 3x4y+2z6 = 0, 2x+4y2z+7 = 0 y por el punto (1,2,3)( R. 43x24y+12z = 31 )

35. Encontrar la ecuacin del plano tal que:

a) Es paralelo al plano XY y pasa por (3,2,4)b) Es paralelo al eje Z y la interseccin con el eje x es 2 y con el eje y es 3.c) Es perpendicular al segmento (2,2,3) a (6,4,5) en el punto medio .d) Pasa por el origen y es paralelo al plano 3x+7y6z+3 = 0.e) Es paralelo al plano 3x6y2z4 = 0 y pasa a una distancia 3 del origen.

(R. a) z+4 = 0 b) 3x2y6 = 0 c) 4x+ y+4z15 = 0d) 3x+7y6z = 0 e) 3x6y2z21 = 0

23

36. Determine la ecuacin del plano P que pasa por el punto (3,0,7), que es perpendicular al plano 2x5y6z = 0y que es paralelo a la recta

x16 =

z23

; y = 3.

37. Dado el punto P0(1,1,1) y los vectoresu = i+ j k y v = 2i+ j+ k.

a) Encuentre la ecuacin vectorial del plano por P0 generado por los vectores u y v .b) Determine si el punto P(1,0,1) est sobre el plano .c) Encuentre la direccin normal al plano .

38. a) Demuestre que los puntos A(1,1,3), B(2,1,7) y C(4,2,6) son los vrtices de un tringulo rectngulo ycalcule su rea.

b) Encuentre la ecuacin del plano que contiene los tres puntos del ejercicio anterior.

39. En qu caso tres puntos distintos en R3 no definen un nico plano? Encuentre tres puntos con esa caractersticay encuentre al menos tres planos distintos que contengan dichos puntos.

40. Encontrar el ngulo formado por las rectas

l1 : x+ y3z = 1;2x y9z = 2

l2 : 2x+ y+2z =5;2x2y3 =2.

41. Comprobar que la rectax1

1=

y+22

=z3

4es paralela al plano 6x+7y5z8 = 0.

42. Hallar la ecuacin vectorial de la recta que contiene el punto (2,1,3) y es perpendicular al plano 4x3y+z =5.

43. Averiguar si las rectasx3

1=

y+82 =

z+611 y 3x+5y+7 = 0; y+3z10 = 0 son paralelas.

44. Comprobar que la rectax2

10=

2y211

=z5

7yace en el plano 3x8y+2z8 = 0.

45. Encontrar el punto en el cual la recta x = z+2;y =3z+1 corta al plano x2y z = 0. (R. (3,2,1))

46. Encontrar ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por el punto (1,1,3) y que es paralela a la recta 5x3z+11 = 0; 5y+2z11 = 0.

47. Encontrar la ecuacin de la recta:

a) Pasa por (1,4,4) y paralela a cada uno de los planos 6x+2y+2z+3 = 0 y 3x5y2z1 = 0 (R.x1

1=

y43

=z+26 )

b) Pasa por (2,4,3) y es paralela a la recta que pasa por (1,3,4) y (2,2,3) (R. x3y+14 = 0, yz1 =0 )

48. Encontrar el punto en el cual la recta x = z+2, y =3z+1, corta al plano x2y z = 0(R. (3,2,1))

49. Encontrar la ecuacin de la recta:

24

a) Pasa por (2,1,2) y es perpendicular al plano 3x5y+2z+4 = 0(R.

x23

=y15 =

z+22

)

b) Pasa por (2,1,3) y es paralela al eje x.(R. y+1 = 0, z3 = 0 )

c) Pasa por (2,3,4) y (5,2,1)(R.

x23

=y+3

5=

z45 )

50. Dados los planos P1 : 2x+3y z+1 = 0 y P2 :

x = 1+ s+2ty = 1 s+2tz = 2+ s+ t

, determine la ecuacin de la recta paralela

a la interseccin de stos y que pasa por el punto (0,1,2).

51. Determinar la interseccin de la recta que pasa por los puntos A(a ), B(b ) con el plano que pasa por los puntosC(c ), D(d ), E(e ), siendo a = (1,1,2), b = (2,0,1), c = (1,3,2), d = (1,2,3), e = (2,1,0).

52. Dado el punto P0(1,1,1) y el vectorl = i j k.

a) Encuentre la ecuacin vectorial de la recta L que pasa por P0 y tiene direccinl .

b) Encuentre un punto P sobre L distinto de P0 y verifique su resultado.

c) Decida si el punto (1,2,3) pertenece a L.

d) Escribe la ecuacin cartesiana de L.

53. a) Encuentre la ecuacin paramtrica de la recta que pasa por P0(1,2,2) y es perpendicular al plano XY .b) Encuentre la ecuacin del plano que pasa por el origen y que es paralelo al plano de ecuacin 3x y+

2z = 2.

54. Hallar la ecuacin de la recta que se apoya en las rectas l1, l2 y es paralela a l3 cuando l1 : x = 3z, y = z 2;l2 : x = 6z1, y =2z y l3 : x = 2z+8, y = 5z3.

55. Es verdad que las rectas l1 : x+2yz = 7, 2x+y+z = 6; y l2 : 3x+6y3z = 8, 2xyz = 0 son paralelas?En caso afirmativo, encontrar el plano que las contiene.

56. Calcule las coordenadas del punto de interseccin de la recta 14(x 2) = 12(y + 3) = 17(z 1) y el plano5x y+2z12 = 0.

57. Obtenga la ecuacin de la recta que pasa por el punto (3,6,4), que intersecta al eje Z y que es paralela al planox3y+5z6 = 0.

58. Encontrar la distancia del origen al plano que pasa por el punto (1,2,0) y que contiene la recta x23

=

y+15

=3z6

6.

59. Determine si las rectas{

x+2y z = 72x+ y+ z = 6 ,

{3x+6y3z = 8

2x y z = 0

son paralelas. Encontrar el plano que las contiene.

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60. Demuestre que el conjunto

S = {r = (x,y,z) R3/r a y r b },

con a = (1,2,1) y b = (1,0,2), describe los puntos de una recta. Determine un punto de posicin y el vectordireccin de esta recta.

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