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1Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables & X-hyper-arbres
I. Treillis démantelables : Définitions & propriétés
II. Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables
III. Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres
Treillis démantelables & X-hyper-arbres
Alain GélyLITA, Université Paul Verlaine, Metz
Journée des Treillis Lorrains Nancy
1er Décembre 2008
2Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
PLAN
I. Treillis démantelables : Définitions & propriétés
II. Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables
III. Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres
3Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables : Définitions & propriétés
J(T) = 1, 2, 3 M(T) = 4, 5, 6 Irr(T) = Ø
0
1 2 3
4 5 6
7
0
1 2
3 4
5
J(T) = 1, 2, 4 M(T) = 1, 3, 4 Irr(T) = 1, 4
Soit un treillis T
J(T) famille des éléments sup-irréductibles de T M(T) famille des éléments inf-irréductibles de T Irr(T) famille des éléments doublement-irréductibles de T
4Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables : Définitions & propriétés
0
1 2
3 4
5
J(L) = 1, 2, 4 M(L) = 1, 3, 4 Irr(L) = 1, 4
0
2
3
5
J(L) = 2, 3, 5 M(L) = 0, 2, 3 Irr(L) = 2, 3
0
5
J(L) = 5 M(L) = 0 Irr(L) = Ø
Ø
Étape 1 Étape 2 Étape 3 Étape 4
5Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables : Définitions & propriétés
6Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables : Définitions & propriétés
coeur (core)
7Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables : Définitions & propriétés
Caractérisation (Rival 74)
Soit T un treillis, les propriétés ci-dessous sont équivalentes
T est démantelable
l(Sub(T)) = |T|
Irr(S) ≠ Ø pour tout sous-treillis S de T
pour toute chaine C de T il existe un entier positif n et une chaine C =S
0 ... S
n = T de sous-treillis de T tq |S
i|=|S
i-1|+1 pour tout
i=1,2,...,n
8Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables : Définitions & propriétés
planaire démantelable démantelable planaire
9Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables : Définitions & propriétés
planaire démantelable démantelable planaire
note : planarité du diagramme de Hasse
note : planarité du diagramme de Hasse
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Treillis démantelables : Définitions & propriétés
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8
0
1 3 2 45
6
7
8
démantelable ∩ atomique planaire
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Treillis démantelables : Définitions & propriétés
Peut-on considérer un treillis démantelable comme obtenu à partir de la famille des cliques maximales d'un graphe ?
1 2 3 4
1234
12 23 34
2 3
G
12Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables : Définitions & propriétés
Peut-on considérer un treillis démantelable comme obtenu à partir de la famille des cliques maximales d'un graphe ?
1 2
34
1234
12 23 34
2 3
14
41
12 23 34
2 3
14
41
couronne (crown)
G
D. Kelly, I. Rival, Crowns, fences, and dismantlable lattices, Canad. J. Math. 26. (1974), 1257–1271
Un treillis est démantelable ssi
il ne contient pas de couronne
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Treillis démantelables : Définitions & propriétés
1
2
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4 5
12 23 34 45
2 4 5
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15
1 3
parallèle graphe cordés / treillis
démantelable
élément simplicial / graphe trivial
élément doublement irréductible/ treillis trivial
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Treillis démantelables : Définitions & propriétés
1 2 3
4 5
6
124 245 235 456
24 25 45
2 4 5
235
G un graphe triangulé
nécessaire non suffisant
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Treillis démantelables : Définitions & propriétés
1 2 3
4 5
6
124 245 235 456
24 25 45
2 4 5
235
G un graphe triangulé
nécessaire non suffisant
Intersection vide
Ensembles s'intersectant deux à deux
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Treillis démantelables : Définitions & propriétés
G graphe triangulé Graphes cliques-helly?
17Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables : Définitions & propriétés
1247 2457 2357 4567
247 257 457
27 47 57
1234567
1 2 3
4 5
6
7
7
18Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
PLAN
I. Treillis démantelables : Définitions & propriétés
II. Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables
III. Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres
19Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables
12 34 56
2 4 5
12345
1 3
{x} F X F
6
F une famille d'ensembles sur X tq
A ∩ B = Ø A B B A
pour A, B F , soit
Hiérarchie
20Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables
12 23 34 45
2 4 5
12345
1 3
A ∩ B ∩ C {A ∩ B , B ∩ C , A ∩ C}
{x} F X F
F une famille d'ensembles sur X tq
Quasi-hiérarchie
21Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables
12 23 34 45
2 4 5
12345
15
1 3
(1) Quasi-hierarchie treillis démantelable
A ∩ B ∩ C {A ∩ B , B ∩ C , A ∩ C}
{x} F X F
Quasi-hiérarchie
F une famille d'ensembles sur X tq
22Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables
A B C
A∩B
A∩B∩C
A∩C B∩C
(2) treillis démantelable Quasi-hiérarchie
Preuve par la contraposé
A B C
A∩B
A∩C
B∩C
(1) Quasi-hierarchie treillis démantelable
23Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables
" Main cluster structures dealt with in data analysis range from well-known hierarchies to quasi-hierarchies [14]. Between hierarchies and quasi-hierarchies are pyramids [16]. Between hierarchies and pyramids are 2-3 hierarchies [5] (...) "
Cluster structures and collections of Galois closed entity subsets,Mohammed Benayade, Jean Diatta
Discrete Applied Mathematics 156 (2008) 1295-1307
quasi-hierarchie
hypergraphe d'intervalle
hierarchie
planaire
non-planairedémantelable ∩ atomique ?
(pyramides, pseudo-hiérarchies)
2-3 hiérarchie
24Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables
" Main cluster structures dealt with in data analysis range from well-known hierarchies to quasi-hierarchies [14]. Between hierarchies and quasi-hierarchies are pyramids [16]. Between hierarchies and pyramids are 2-3 hierarchies [5] (...) "
Cluster structures and collections of Galois closed entity subsets,Mohammed Benayade, Jean Diatta
Discrete Applied Mathematics 156 (2008) 1295-1307
quasi-hierarchie
hypergraphe d'intervalle
hierarchies
démantelable ∩ atomique ? X-hyper-arbres?
25Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
PLAN
I. Treillis démantelables : Définitions & propriétés
II. Hiérarchies, quasi-hiérarchies, treillis démantelables
III. Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres
26Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres
démantelable ∩ atomique quasi-ultramétriques cordées / X-hyperarbres
Question : Y-a-t-il un lien entre les X-hyperarbres et les treillis atomiques démantelables (t.a.d) ?
?
Réponse :X-hyperarbres et t.a.d
sont équivalents
27Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres
Caractérisation : Un hypergraphe H = (X,E) est un hyper-arbre ssi les deux conditions suivantes sont vérifiées :
Le graphe d'intersection de H est cordé La propriété de Helly doit être vérifiée pour H
duchet 1978
( la fermeture par intersection d'un hyper-arbre est un hyper-arbre )
X = {a,b,c,d,e}E = {ade, abe, bce, cde}
ade
bce
abecde
28Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres
X-hyper-arbre : Un X-hyper-arbre est un hyper-arbre H=(X,E) tel que toute restriction H'=(Y,E), Y X soit un hyperarbre
exemple
X = {a,b,c}E = {a, ab, ac, b}
ab
ac
ba
c
b
X = {a,b,c}E = {a, ab, ac, b}
ab
ba
X = {a,b,c}E = {a, ab, ac, b}
ac
a
X = {a,b,c}E = {a, ab, ac, b}
29Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres
Exemple : hyper-arbre dont la restriction n'est pas un hyper-arbre
X = {a,b,c,d,e}E = {ade, abe, bce, cde}
ade
bce
abecde
Y = {a,b,c,d,e}E = {ade, abe, bce, cde}
ad
bc
abcd
30Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres
Soit F un système de fermeture,
mq si (F , ) est démantelable, alors F est un X-hyper-arbre
F est un hyper-arbre, en effet :
(1) Soient A,B,C F, A ∩ B ∩ C {A ∩ B , B ∩ C , A ∩ C} (quasi-hierarchie) propriété de Helly
(2) Supposons le graphe d'intersection de F non cordé
A1
A2
Ai
A1
A2 A
i Contradiction
Preuve (1/3)
31Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres
Soit F un système de fermeture,
mq si (F , ) est démantelable, alors F est un X-hyper-arbre
mq toute restriction de F est un hyper-arbre :
La restriction d'un système de fermeture est un système de fermeture
xA xB
xA∩B
Toute restriction (F' , ) de (F , ) démantelable est démantelable
xA B
A∩B
cas 1 cas 2
Preuve (2/3)
32Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres
Soit F un système de fermeture,
mq si (F , ) est démantelable, alors F est un X-hyper-arbre
A B
A∩B
Toute restriction (F' , ) de (F , ) démantelable est démantelableSupposons le contraire
B∩C C∩D D∩A
C D
présence d'une couronne pour (F' , ) sur X \ {x}
présence d'une couronne pour (F , ) sur X : contradiction
Preuve (3/3)
33Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
Treillis démantelables, hyper-arbres et X-hyper-arbres
Réciproquement, Soit F un système de fermeture,
mq si F est un X-hyper-arbre, alors (F , ) est démantelable
contraposé : si (F , ) n'est pas démantelable alors F n'est pas un X-hyper-arbre,
A1
A2
Ai
x1
x2
xn
restriction de X à { x1 , x
2 , ... , x
n }
graphe d'intersection non cordéil existe une restriction qui n'est pas un hyper-arbreF n'est pas un X-hyper-arbre
Preuve (1/1)
34Alain Gély - Journée Treillis Lorrain, 2008/12/01
CONCLUSION
Soit F un système de fermeture,
F est un X-hyper-arbre
(F , ) est démantelable
Conclusion
Application à la classification (cf. exposé François Brucker)
A suivre...
Merci.