1. abril – Álgebra - 5to
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INTRODUCCIONTRANSCRIPT
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I.E.P. “Leonardo de Vinci” Mes: Abril
Sub – Área: Álgebra 5º Secundaria
EXPONENTES Y RADICALES
b.b.b.b.......b = bn ; n N
“n” veces
exponente natural
Exponente nuloa° = 1; a 0
Exponente negativo
n >0
a 0
Exponente fraccionario
Multiplicación de bases iguales
am . an = am + n
Potencia de un producto(ab)n = anbn
Raíz de raíz
División de bases iguales Raíz de un producto
Raíz de raíz
Consecuencia Potencia de potencia
Además
Nota:
Potencia de exponente
definimos
tenemos
2
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
1. Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
2. Reducir:
a) 1 b) a c) b
d) e)
3. Efectuar:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Reducir:
a) 3 b) 9 c) 27d) 81 e) 243
5. Calcule:
a) b) c) 9
d) 3 e)
6. Si: xx = b + 1 simplificar:
a)0 b) x c) xb
d) 2x e) N.A.
7. Reducir:
Mx xx x xx
xx
2 3 2 3
6 1
a)5/6 b) 6/5 c) 2d) 5 e) 3
8. Simplifique:
a) 77 b) 75 c) 712
d) 7 e) 1
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A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A
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1. Efectuar:
a) b) c) 1
d) e)
2. Reducir:
a) b) c) 1
d) 2 e) 4
3. Al reducir:
se obtiene:
a) 0.25 b) 0.75 c) 0.5d) 2.5 e) 2
4. Reducir:
a) 4 b) 8 c) 15d) 20 e) 25
5. Calcular:
a) 27 b) 28 c) 29d) 31 e) 33
6. Calcular:
a) b) c)
d) 16 e)
7. Efectuar:
a) 0,5 b) 1 c) 1,5d) 2,5 e) 3,5
8. Calcular:
a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25
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EXPONENTES Y RADICALES
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I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
1. Reducir:
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b.b.b.b.......b = bn ; n N
“n” veces
exponente natural
Exponente nuloa° = 1; a 0
Exponente negativo
n >0
a 0
Exponente fraccionario
Multiplicación de bases iguales
am . an = am + n
Potencia de un producto(ab)n = anbn
Raíz de raíz
División de bases iguales Raíz de un producto
Raíz de raíz
Consecuencia Potencia de potencia
Además
Nota:
Potencia de exponente
definimos
tenemos
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a) abc b) a2b2c2 c) anbncn
d) an+bn e) anbncn – n
2. Simplificar:
a) 2 b) 3 c) 5d) 4 e) 8
3. Simplificar; x > 0
a) x6 b) x8 c) x12
d) x21 e) x25
4. Simplificar:
a) 5 b) 6 c)
d) 3 e) 15
5. Simplificar: x > 0
a) 0 b) 1 c) 2d) x e) 4
6. Reducir:
a) 5 b) 7 c) 9d) 12 e) 18
7. Indicar el exponente final de “x”, si: x > 0, en:
a) 7n b) c)
d) e)
8. Reducir:
a) b) 11 c) 10
d) 7 e) -11
1. Expresar como una potencia de 2.
a) 216 b) 217 c) 2117
d) 28 e) 1024
2. Reducir:
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a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) 16
3. Simplificar:
a) b) 3 c) –3
d) - e)
4. Reducir:
a) 3 b) 9 c) 10d) 8 e) 6
5. Simplificar:
a) 2 b) 4 c) 16d) 512 e) 256
6. Reducir:
a) 5 b) 25 c) 625d) 1024 e) 125
7. Simplificar:
; x 0
a) 1 b) x c) x2
d) x3 e) x3 +1
8. Simplificar:
a) x b) x2 c) x3
d) x4 e) xn
Un POLINOMIO es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.
Si recordamos la suma de monomios, cuando estos no eran semejantes, no se podían sumar. En este caso lo que se obtiene es por tanto un polinomio.
Ejemplo.- Son polinomios las expresiones siguientes:
a) 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3 b) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5
En el primer caso el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de ellos es un término del polinomio, luego tiene tres términos., cada uno con varias letras,
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mientras que en el segundo caso el polinomio tiene 5 términos. Si un término sólo consta de un número se le llama término independiente (5 en el caso b y no existe en el caso a)
BINOMIO
Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio: x2y + 3ab2y3 binomios.
TRINOMIO
Cuando consta de tres monomios se denomina trinomio: -2x3 + 3x2 + 5 Con más de tres términos (monomios) ya se denomina en general polinomio.
POLINOMIO DE UNA VARIABLE
Un polinomio de una variable x es una expresión algebraica de la forma:
Donde:x: es la variable cuyo mayor exponente es n (n )
: son los coeficientes y pertenecen a R.
Ejemplos:P(x)= 7x4 – 2x3 + 8x2 + 7x – 5Q(x)= 5x3 –8x2 + 3
POLINOMIO DE DOS O MÁS VARIABLES
Un polinomio de dos o más variables es una expresión algebraica cuyos términos constan de más de una variable.
Notación Polinómica
P(x,y)= ax2 + bx + cy2
Donde: x e y son las variables a, b y c son las constantes
Ejemplos:
P(x,y)= x4 y3 – 3x y2 + 2x2 y + 6
Q(m,n)= 8m3 – 3m2n + 2mn2 – 6n3
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¡Al triunfo por el fracaso! Pues cada
experiencia descubre un error a evitar.
¡Al triunfo por el fracaso! Pues cada
experiencia descubre un error a evitar.
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VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO
Es el valor que toma el polinomio cuando a sus variables se les asigna valores particulares.
Ejemplo:
Si: P(x) = 2x + 5; hallar P(7)
Resolución :P(7) = 2(7) + 5
P(7) = 19
CAMBIO DE VARIABLE EN UN POLINOMIO
Consiste en reemplazar una nueva variable por otra, de tal manera que se obtenga un nuevo polinomio en función de la nueva variable.
Ejemplo : Sea P(x) = 3x - 1
Hallar P(x+2)
Resolución :Se cambia (x) por (x +2) y se obtiene:
P(x+2) = 3(x+2) –1
P(x+2) = 3x + 5
1. Si:
x 1 F(x) =
Calcular: F[F(x)]
a) x b) x2 c)
d) –x e) 8x
2. Si: P(x) = x2 – 1Hallar:
S = P[P(x)] – x2 P(x)
a) –x b) –x2 c) –x3
d) –x4 e) –x8
3. Si se cumple: P(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + ……. +
Además: 0 < x < 1Calcular: P(1-x)
a) x b) –x c)
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d) e)
4. Si: F(x) = x3 – 5x + m G(x) = x + 3
Hallar “m” si:
F[G(F(12))] = – 1
Indicar la suma de valores de “m”
a) 1 b) –1 c) –3d) 4 e) N.A.
5. Si: P(x) = ax2 + bAdemás: P[P(x)] = 8x4 + 24x2 + cHallar :
I = a + b + c
a) 12 b) 28 c) 30d) 40 e) 26
6. Dado los polinomios P y Q, tal que: P(x) = 1 + x + x2 + x3 + ……. + x10
Q(x) = 1 – x + x2 – x3 + ……. + x10
Halle la suma de:
a) 2006 b) -2006 c) 2005d) -2005 e) 2004
7. Si:
Hallar: F(1)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 10
8. Si: P[P[P(x)]] = 8x + 35
Además: P[F(x+2)] = 2x2 – 12x + 25
Calcular: F(7) = ??
a) 10 b) 20 c) 25d) 33 e) 37
1. Si P(x) = 2x + 3Q(x) = 3x – 1
Calcular: P(Q(1)) + Q(P(1))
a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24
2. Si: P(x) = x + 1Halle el valor de:
H = P(x + 5) – P(x – 2)
a) 7 b) 6 c) 5 + xd) x – 3 e) 4
3. Si el polinomio es mónico: P(x) = (a – 5)x2 + ax – a + 1Indique el valor de: E = P(3) + P(2) + P(-2)
a) 21 b) 20 c) 15d) 6 e) –4
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4. Sea el polinomio: P(x) = (x–1)6 + (x+1)5 + (x + 2)4 + 2(x-2)3+3Calcular: coef. (P) – 20 T.I. (R)
a) 8 b) 10 c) 6d) 14 e) 16
5. Calcular el primer coeficiente del polinomio: F(x) = (2a + 1)x7 + x5 – 4x4 + ax2 – 19x +3
si se sabe que la suma de los coeficientes es igual a su término independiente.
a) 12 b) 15 c) 7d) 18 e) 6
6. Si: P(x – 1) = x2 + 4Hallar: P(x)
a) x2 + 2x + 5 b) x2 – 2x + 5c) x2 + 2x – 5 d) x2 – 2x – 5e) x2 + 5
7. Halle “n” si en el siguiente polinomio: P(x) = (2x – 1)3 + 4x + 2n
se cumple: coef. (P) + T.I. (P) = 12
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0
8. Se define: x N
x; si x es par
si x es impar
El valor de:
será:
a) 1/3 b) 2/7 c) 6/5d) 3/7 e) 1/12
Teoría de Grados
GRADO
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F(x)
Esfuérzate por ser cada día mejor.
Esfuérzate por ser cada día mejor.
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Característica de toda expresión algebraica que puede ser de dos clases: relativo, cuando se
refiere a una sola variable y absoluto, cuando se refiere a todas sus variables.
GRADOS DE UN MONOMIO
a) Grado Relativo
Respecto a una variable es el exponente de dicha variable.
b) Grado Absoluto
Esta dado por la suma de los grados relativos de las variables.
Ejemplo:
Sea: M=(x,y) = 5x6y8
GRADOS EN UN POLINOMIO
a) Grado Relativo
Respecto a una variable, esta dado por el mayor exponente de dicha variable en el polinomio.
b) Grado Absoluto
Se calcula mediante el termino de mayor grado absoluto.
Ejemplo:
G.R.(x) = 10
G.R.(y) = 12
G.R.(P) = 18 (el mayor grado)
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POLINOMIOS ESPECIALES
1. Polinomio Homogéneo
Es aquel polinomio en el cual todos sus términos son de igual grado absoluto.
Ejemplo:
P x y x y x y x yG A G A G A
( ; ) . .. . . . . .
2 65 4
9
6 3
9
2 7
9
P(x;y) es homogéneo de grado: 9
2. Polinomio Ordenado
Un polinomio será ordenado con respecto a una variable, si los exponentes de dicha variable
están: aumentando o disminuyendo, a partir del primer término.
Ejemplo:
P(x) = x8 + x5 - 2x4 + 5x - 2
Es un polinomio ordenado en forma descendente (los exponentes de "x" disminuyendo a partir del
primer término)
3. Polinomio completo
Un polinomio será completo con respecto a una variable; si dicha variable posee todos los
exponentes, desde el mayor hasta el exponente cero, inclusive.
Ejemplo:
P(x) = 2x³ + x² + x4 - 2x + 6xº
P(x) es completo
Propiedad:
En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al
grado aumentado en la unidad.
Es decir, si, P(x) es completo;
Entonces: # de términos de P(x) = Grado + 1
Ejemplo:
P(x) = x16 + x15 + x14 + ....... + x2 + x + 1
G.A. (P(x)) = 16
Entonces: # de términos de P(x) = 16+1=17
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4. Polinomios Idénticos ():
Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a
sus variables. En dos polinomios idénticos los coeficientes de sus términos semejantes son
iguales.
Es decir, si:
Se cumple que:
a mb nc p
5. Polinomio Idénticamente nulo:
Es aquel que se anula para cualquier valor de sus variables. En todo polinomio identicamente
nulo reducido, sus coeficientes son iguales a cero.
Es decir si:
ax² + bx + c 0
Se cumple que:
abc
000
1. Hallar “n” si la expresión es de 1º grado. a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7
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2. Señalar el valor de “n” para el cual la expresión:
Es de 2do grado.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
3. Sea el polinomio: Q(x, y) = 3x3a+5+2x2a+1+ya+2+xa-1y4-2a + xa-2y2a-4
Hallar el grado absoluto que puede tomar dicho polinomio.
a) 9 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
4. Calcular el número de términos del siguiente polinomio completo y ordenado:
P(x) = m (xm)6 x5n + p + n(xm)4 x6n + 4p + ...... + p(xm)5 x4n + 5p + (xm)6 x5n + …..
a) 81 b) 82 c) 83d) 84 e) 86
5. Si el polinomio es idénticamente nulo. P(x) = (a2 – ab + b2) x3 + (b2 – 3abc + c2)x2 + (a2 – 5ac + c2)x + abc – 2
Halle: x = a2 (b +c)4 + b2(c + a)4 + c2(a + b)4
a) 230 b) 231 c) 332d) 234 e) 240
6. Si se verifica: P(x) = Q(x) P(x) = 2a(x2 +1) (x2 + 2) + 3ab (x2 +2)(x2+3) +c(x2 + 3) (x2 + 1) Q(x) = 4x2 + x2 – 12Hallar:
F = 4abc
a) 1 b) 60 c) 61d) 63 e) 62
7. Dado el polinomio completo y ordenado:
cuyo número de términos es (n+1). Determine “p”. Si : p R+
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7
8. Si a, b y c pertenecen al conjunto de los naturales y el desarrollo de: P(x) = a (xa + 1)b (cx +2)c, es un polinomio completo de 85 términos, cuyo término independiente es 72 y su coeficiente principal es 243, entonces el valor de (a+b+c) es:
a) 19 b) 21 c) 23d) 24 e) 81
1. Si el grado de la expresión
es 729
Hallar “n”
a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 9
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2. Sea el polinomio P(x, y) Donde:
P(x, y) = 2x2a –6 y5 – 3xa +2ya-4 + x3y2a-7 –xa-5 ya-9
Calcule el grado absoluto mínimo que puede tomar P(x, y)
a) 12 b) 13 c) 15d) 16 e) 17
3. En el siguiente polinomio: P(x, y) = 7xa+3 yb-2 z6-a + 5xa+2 yb-3 za+b
En donde: GR(x) – GR(y) = 3 GA(P) = 13Calcular: (a + b)
a) 5 b) 6 c) 7d) 11 e) 12
4. Hallar (ab) sabiendo que: P(x, y) = xa-2b ya+b – 15xby2b-a +2xa-by8
Es homogéneo.
a) 60 b) 10 c) 16d) –16 e) No existe dicho polinomio
5. Si: P(x) = xa+b + 2xb+c + 3xc+d + 4xd+4
Es completo y ordenado ascendentemente. Calcular: (abcd)
a) –12 b) 12 c) –6d) 6 e) –3
6. En la siguiente adición de monomios:
Calcular: (a + b + c)
a) 3 b) 5 c) 6d) 9 e) 14
7. Dado el monomio: M(x, y) = (a + b)x2a-2 y3b
Donde: Coef.(M) = G.R. (x) G.A. (M) = 27Hallar “ab”
a) 5 b) 7 c) 12d) 35 e) 42
8. En el siguiente polinomio: P(x, y) = xayb-1 + xa+1 yb – xa-2 yb+2 + xa+3 yb+1
En donde: G.R. (x) = 10 G.A. (P) = 13 G.R.(y) = ?
a) –8 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
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