1_Από Την Άλγεβρα Των Υπολογισμών Στα Υπολογιστικά...
DESCRIPTION
Μια νέα ερευνητική περιοχή που αναπτύχθηκε ιδιαίτερα τις τελευταίες τέσσερις δεκαετίες και η οποία είναι αφιερωμένη : α) σε μεθόδους επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων μέσω συμβολικών αλγορίθμων, και β) στην υλοποίηση των αλγορίθμων αυτών σε υλικό και λογισμικό ηλεκτρονικών υπολογιστών, είναι η Υπολογιστική Άλγεβρα (Computer Algebra). Η Υπολογιστική Άλγεβρα έχει εφαρμογές σε επιστήμες όπως Μαθηματικά, Φυσική, Επιστήμη των Υπολογιστών, Μηχανική καθώς και στην Εκπαίδευση. Τα προγράμματα τα οποία κάνουν χρήση των μεθόδων της Υπολογιστικής Άλγεβρας, ονομάζονται Υπολογιστικά Συστήματα Άλγεβρας (Computer Algebra Systems). Στην εργασία αυτή θα αναφερθούμε : στην ιστορική εξέλιξη των συστημάτων αυτών και στους παράγοντες που συντέλεσαν στην ανάπτυξη τους, στις κατηγορίες που χωρίζονται τα συστήματα αυτά, στα κύρια χαρακτηριστικά τους, στα μειονεκτήματα τους καθώς και στον ρόλο που μπορούν να παίξουν στην εκπαίδευση.TRANSCRIPT
-
pi pi pi
pi. pi
pi
54006 Email : [email protected]
. pi pi pi
pi : ) pi pi , ) pi pi,
pi (Computer Algebra). pi pi pi , , pi pi,
pi. pi pi
pi , pi
(Computer Algebra Systems). : pi pi
pi , pi ,
, pi pi
pi pi.
1. pi pi pi .
pi pi
pi pi
pi pi pi .
pi pi
pi 13 pi 250 pi.., pi pi 6. pi pi , pi pi
pi , . pi
pi pi ,
. pi pi
.
pi pi al jabr pi pi pi pi Kitab al jabr wal mugabala ( pi ) pi 825 .. pi pi pi , Ibn Musa Al-Khwarizmi (780-850 ..). pi pi pi . Al-Khwarizmi, pi pi pi ,
al jabr pi pi
-
pi, mugabala pi , pi pi . Al-Khwarizmi Liber Algorismi ( Al-Khwarizmi), pi pi pi algorismi, pi algorithm .
pi pi Al-Khwarizmi 19 , .
pi pi
Leonardo Fibonacci, Scipione del Fero, Niccolo Tartaglia Gerolamo Cardano pi pi , Ludovico Ferrari pi pi 4 . pi pi Rene Descartes ( ), Carl Friedrich Gauss ( pi pipi), Niels Abel Evariste Galois ( pi pipi ). 20 pi pi pi , pi pi
, , modules, , .
pi 1939 pi pi, pi pi pi pi
. pi
pi , pi
pi pi pi
pi pi pi pi,
, , pi , , ,
, pi, pi, ..pi..
pi pi pi pi
pi pi pi
(pi , pi , pi) pi .
pi
pi pi pi pi
pi pi pi pi
pi pi
pi. pi pi pi pi
pi pipi pi
pi pi pi : ) ( (hardware) (software)) pi, ) pi pi pipi pi.
pi pi pi 4 pi pi M Epi Ypi pi (Computer Algebra). pi pi pi pi [2], pi , pi,
pi (pi pi
-
), pi pi
(pi , pipi pi, Groebner ), pi (pi pi ), pi (pi Smith Jordan ), , ,
, , pi,
( , , ), pipi ... pi pi pi pi pi
pi , pi , pi
, pi pi ,
pi (interfaces), pipipi pi hardware pi .
pi pi
( , , , ..), , pi pi ( pi, VLSI , pi , pi ..), (pi, pi /, pi ..), pi ( , ).
2. pi . pi pi pi ,
pi () (Computer Algebra Systems). pipi pipi
pi, pi .
pi : ) pi (general purpose CAS) pi pi pi pi pi.. Macsyma, Reduce, Maple, Mathematica, .., ) pi (special purpose CAS) pi pi
pi.. PARI ( ), DELiA ( ) ... pi pi pi (packages) pi pi pi
pi pi.. CALI pi REDUCE pi pi , Control System Professional pi MATHEMATICA pi pi ...
pi pi 3 pi : ) pi pi, ) pi pi pi, pi
, ) pi pi pi . pi pi
pi LISP (pi pi
-
1960/61) pi.. pi SAINT LISP 1960 . , , pi
MAPLE MATHEMATICA, pi C, pi pi pi pi pi . pi
pi pi pi, pi
pi . pi pi
pi
.
pi pi
1961 SAINT 1964-66 ALTRAN, MATHLAB pi 1966-67 SIN 1968 -
REDUCE http://www.rrz.uni-koeln.de/REDUCE
pi . pi
pi ,
pi, pi
.
1968 MATHLAB-68 Mathlab 1968 -
MACSYMA http://www.macsyma.com
pi
1970s muMATH
1980 MAPLE http://www.maplesoft.com
pi
1980s DERIVE pi , muMATH
1984
SINGULAR http://www.mathematik.uni-kl.de/pub/~zca/Singular
pi pi
1988
SMP, MATHEMATICA http://www.wolfram.com
pi
1989 -
MuPAD http://www.mupad.de http://www.sciface.com
pi
1991 -
AXIOM http://www.nag.co.uk
Stratchpad. pi , pi pipi
pi pi
CAYLEY
1980s MAGMA http://www.maths.usyd.edu.au:8000/u/magma
pi ,
, ,
pi, ...
1986-1997
GAP, GAP 2 (2000) http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~gap
, pi,
pi
FORM pi 1990-1996
LiE http://www.mathlabo.univ-poitiers.fr/~maavl/LiE
pi Lie
1992 MACAULAY 2 http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2
1980s - 2000
PARI ftp://megrez.math.u-bordeaux.fr/pub/pari
-
pi :
) pi. pi pi pi,
pi : ) pi pi , ) pi pi , ) pi .
pi pi pi pi bits pi pi pi 8, 16, 32, 36, 48 64 bits. pi pi pi
pi pi pi
pi.
. pipi pi pi Fibonacci pi 100 pi Fortran 95
program fibonacciimplicitnone! VariablesINTEGER4::f,f1, f2,i! Bodyoffibonaccif1= 1; f2 =1; i= 3; f =f1+f2;Do WhileHMod Hf, 100L = 0Lf1= f2; f2 =f; f= f1+f2; i= i+1EndDoPrint,f,iendprogramfibonacci
pi pi
708252800 96Pressanykeytocontinue
f, f1,f2,i pi Integer*4 ( 312 1 ), Integer*8 ( 632 1 ) pi pi :
8284360270132553400 522Pressanykeytocontinue
2 pipi pipi pi pi pi
100, pi . pi pi Mathematica pi :
-
f1= 1;f2= 1;i= 3;f =f1+f2;While@Mod@f, 100D 0,f1= f2;f2= f;f= f1+f2;++iD;
fi
9969216677189303386214405760200
150
150 Fibonacci 100, pi pi 31 , pi pi pi pi Fortran 95. pi pi pi Fortran 95 pi pi pi pi Fortran 95 pi (4 bytes (. 32 bits) 8 bytes (. 64bits)).
. pi pi pi
Mathematica
In[1]:= 30!2^26+20^20Out[1]= 108810175621190533915703125
In[2]:= 30!H2^301LOut[2]= 382760259469251166863360000000
1549411
pi pi
pi pi
pi pi .
pi pi pi pi
pi pi pi (word) 32 bits 312 1 2147483647 =
1
0
li
ii
d s d b
=
= pi pi pi
:
s d0 d1 dl-1d ........
pi pi :
[ ]0 1 1lsl d d d pi pi pi
pi . pi
pi pi :
-
LINK1 LINK2
pi LINK1 pi ( pi) pi LINK2 pi pi. pi pi pi pi
pi . pi pi pi pi
2 : ) pi pi , ) pi pi . 2 pi pi , pi pi
. pi pipi pi
pi pi pi
. pi pi pi pi
pi pi (numerical stability) pi pi pi.
) (interactivity) pi pipi pi pi
pi, pi pi
pi pi , pi pi pi.
. pi 3 : ) pi , ) pi, ) pi.
In[1]:= A= 881, 2, 3
-
In[2]:= Expand@HxyL Hx+yL^3DOut[2]= x4+ 2x3y 2xy3 y4
3) pi - ,
In[3]:= Solve@x^2-5 x +60, xDOut[3]= 88x 2>
In[6]:= Solve@8x1-x2+2*x3+x4-2,
-2*x1+x2-3*x3-5 *x44,
x1-x2+x3+6 *x40,
2*x1+3*x2+5 *x3-7 *x4 1
In[7]:= Solve@8x1+x2- x3+x5 1,
-x1-x2+2*x3-x4+x5 ==2,
2*x1+2*x2-3*x3 +3*x4 +x5 0,
x1+x2-3*x4+2*x53
4) pi pi,
In[8]:= A= 881, 1, 1
-
5) pi ,
In[11]:= LimitASin@xDx
,x 0EOut[11]= 1
In[12]:= LimitA!!!!!!!!!1+x !!!!!!!!!1x
x,x 0E
Out[12]= 1
In[13]:= LimitA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x26 x+9x3
, x 3, Direction 1EOut[13]= 1
In[14]:= LimitA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x26 x+9x3
, x 3, Direction 1EOut[14]= 1
6) pi pi ,
In[15]:= SumA 1k2, 8k, 1, Infinity
-
9) pi ,
In[23]:= DSolve@y@xD==a y@xD+ y@xD, y, xD
Out[23]= ::y FunctionB8x>
In[24]:= DSolve@8y@xD==-z@xD, z@xD==-y@xD
In[25]:= RSolve@8F@n+2D F@n+1D +F@nD, F@1D 1, F@2D 1>
) pi pi pi , pi pi
pi . In[1]:= N@Pi,100D
Out[1]= 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068
) pi pi pi pi
(XY plots, XYZ plots, polar plots, log plots ..) pi format pi .
1) ,
In[1]:= PlotAx25 x+6, 8x, 1, 5
- In[2]:= ParametricPlot@8Cos@tD, Sin@tD
-
4) pi ,
In[6]:= Table@8x, x^2
-
pi, pi pi a
pi pi.
7) In[13]:= Plot3DAE0.2 "#############x2+y2 CosA!!!!!!!!!!!!!x2+y2 E, 8x, 9 Pi2,9 Pi2
-
pi
pi pi :
In[8]:= diffAx33 x2+6 x2, xEOut[8]= 6 6x+ 3x2
In[9]:= diffAx33 x2 +6 x2x21
,xE
Out[9]= H1+x2L H6 6x+ 3x2L 2xH2+ 6x 3x2 +x3L
H1+ x2L2
pi pi :
) pi pi , ) pi, , pi pi pi pi ,
) pi,
) pi pi pi pi,
) pi pi, pi pi,
) pi pi pi , pi, ..pi.,
) , ) pi.
. pi :
2 1p pi p pi .
p=2,3 . pi pi Mathematica p.
In[1]:= i = 1;While@PrimeQ@2Prime@iD- 1D,++iD
Print@i, "th prime=", Prime@iDD5th prime=11
p=11 pi . In[4]:= FactorIntegerA2111E
Out[4]= 8823, 1
-
. pi pi
VanDermonde
( )
2 11 1 1
2 12 2 2
2 11 2 3 3 3
2 1
11
, ,..., 1
1
n
n
nn
n
n n n
x x x
x x x
D x x x x x x
x x x
=
pi pi Mathematica pi pi pi pi pi pi pi..
In[1]:= A={{1,x1,x1^2},{1,x2,x2^2},{1,x3,x3^2}};
In[2]:= Factor[Det[A]]
Out[2]= -((x1 - x2) (x1 - x3) (x2 - x3))
In[3]:= A={{1,x1,x1^2,x1^3},{1,x2,x2^2,x2^3},{1,x3,x3^2,x3^3},{1,x4,x4^2,x4^3}};
In[4]:= Factor[Det[A]]
Out[4]= (x1 - x2) (x1 - x3) (x2 - x3) (x1 - x4) (x2 - x4) (x3 - x4)
pi pipi pi pi pi
:
( ) ( ) ( ) ( )1 2, ,
, ,..., 1 nn i j i ji j i ji j i j
D x x x x x x x< >
= =
pi pi pi pi
pi : ) pi pi , ) pi pi, ) pi pi pi pi, ) pi pi pi pi.. pipi ,
) , ) pi pi , pi pi
pi,
) pi pi pi pi .
pi pipi,
pi , .
pi pi,
pi pi .
-
pi pipi
pipipi pi. pi
pi , pi
pi pi,
pi pi
pi pi pi
pi pi . pi
; pi pi pi . pi pi ,
, pi pi pi pi
. pi pi
pi pi pi pi
( ), pi .
,
, pi
, pi,
pi pi pi pi
pi pi, pi ,
pipi pi pi.
pi pi pi
. ...,
pi 5 pi pi, pi
Mathematica. pi , ..,
pi http://anemos.web.auth.gr/mathematica/index4.htm http://users.auth.gr/~epsom/Symbolic/index.htm . pi pi . Internet pi pi pi pi
pi pi :
/, pi pi http://www.inf.uth.gr/greek/coursedesc_308.htm http://www.inf.uth.gr/greek/coursedesc_408.htm pi pi pi
http://eclass.di.uoa.gr/D231/ pi
http://www.math.uoi.gr/~nglinos/sm/ma644.html pi
http://www.math.uoc.gr/~marios/sy03/
pi , pi pi
pi (ACM Communications in Computer Algebra, Journal of Symbolic Computation), (International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC)), pi pi
Association for Computing Machinery pi http://www.sigsam.org/ .
, pi , pi ,
pi pi pi ,
-
pi pi , pipipi pi
pi pi
, Internet ( ), pi pi
pi . pipi pi
. pipi
pi , pi .
[1] K. O. Geddes, S.R. Czapor and G. Labahn, 1995, Algorithms for Computer Algebra, Kluwer Academic Publisher. [2] J. Grabmeier, E. Kaltofen and V. Weispfenning, 2003, Computer Algebra Handbook, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. [3] N. P. Karampetakis and A.I. Vardulakis, 2006, Special issue on the use of computer algebra systems for computer aided control system design, International Journal of Control, Vol.79, Issue 11, pp.1313-1320. [4] R. Mankiewicz, 2002, , . [5] . , 1999, , pi. [6] .. pi, . . pi, 2004, Mathematica, . [7] The MacTutor History of Mathematics archive, http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/ .