1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - ntuausers.ntua.gr/gbouck/downfiles/computational... · 1 2 3 4 b c d lvdt...

.. . .

μ 2006

... . .. . .

μμ 20020066

μμμ

μ’ μ μ 9 μ

μμ’’ μ μ 9 μμ μ 9 μ

Σημειώσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ - 1ο Μέρος (2006-07) 1

Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π.

1.1.2.2.3.3.

(( μ μ μ μ))

4.4. μμ5.5. μμ6.6. -- μμ μμμ μ



1.1.1977, :

« 10- μ μ μ μ μμ μ μ μ . μμ μ μ μμ »

(Desai & Christian in “Numerical Methods in Geotechnical Engineering”)

μ , 30 μ ,μ « » (desktop)

μμ . μ , μ μ

( . . μ )μ μ μ . μ

μ μ ( μ , ,, μ μ ,

.) μ μμ μ μ μ ,

μ ( μ ) ,μ .

μμ ,, 20052005………………..μμ μμ

μμ μμ

10 cycles of 2Hz sine wave with 0,25g amplitude

1,5m

1m

0,5m

0,75m

Nevada Sand = 1950 g/m3

Dr = 60%Kprot. = 6x10-3 m/s

Bonnie Silt = 1950 g/m3

Kprot. = 1x10-6 m/s

1m6m

28 m

1

2

3

4

B

C

D

LVDT

1m

BearingPressure150KPa

RIG

ID B

OX



1

2

3

4

B

C

D

LVDT

....

0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4a

(g)

AccB

0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

a (g

)

AccC

0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

a (g

)

AccD

R.P.I.FLACμ

1

2

3

4

B

C

D

LVDT

PrincetonR.P.I.FLAC

0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)

-0.3

-0.2

-0.1

0

(m)

LVDT

μ



1

2

3

4

B

C

D

LVDT

-- ru= u/ vo....

0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)

-0.2

00.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

r u =

u/

' vo

PPT3

0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)

-0.2

00.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

r u =

u/

' vo

PPT2

0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2r u

=

u/' vo

PPT1PrincetonR.P.I.FLAC

0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)

-0.2

00.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

r u =

u/

' voPPT4

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r u =

u/

' vo

μ VIDEO

. . . .

PLAY VIDEO

::

μ μ( μ Darcy ?)

μμ ( μ μ

? )



0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r u =

u/

' vo

Flow VectorsSettlement

μ μ

-- . . . .

PLAY VIDEOLiquefaction

0 1 2 3 4 5 6 7 8t (sec)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

a (g

)

μ

μ μμ – μ μ

μ ,μ μ .

, μ μμ μ - , μ -

μ (user’s manual) μ . , μ ,

μ , μ μμ μ μ .

μ ,μ μ μ μ

μ μ . μ , μ. . . μ μ μ

μ μμ μ

« μ ».



2.2.

μ μ μ μ:

( ) , μμ , μ

μ ’.

μ μμ μ μ μ

( μ 2.1). μ μ μμ , μ

μ « μ – » (trial-and-error) . μ μ

, μ μ ( μμ μ ),

μμ .

Oi

Ri

Oi

Ri

2.1 :

μ μ μ μ



( ) μ ,μ ( , , )

μ μ ( 2.1).

μ μ μ μ μμ ( . .) μ ( . .),

μ μ . μ ( . . μ

) μ μ.

μ ,- μ μ μ

μ μ μ μ μ μ μ .

μ , μ μ 2.2 « » (Winkler).

μ μ μμ μμ μ . , μ μ . .,

μ μ μ μμ μ μμ μ μ .

2.1:2.1:μ

.

μ[ . . 1- μ μ μ -

μ ]

μ[ . . μ ]

[ . . 1- ]

μ[ . . μ μ

μ( μ )]

[ . . μ , μμ

( μ )]

μ

2 2

2 2 0 (2.1) u ux y

2

2 (2.2) u utx

)4.2(02

2

kutum

)3.2(12

2

22

2

tu

Cxu



μ ,

(2.1), (2.2) (2.3) μ« », « » « » .

:

F (μ μ x y) G

μ ( ). μ ,

:

< 0 . .2-4 C = 0 . .

> 0 . .

u x u y

2 2 2

2 2u u u u uA B C D E Fu G

x y x yx y

2.12.1 ( )

μ!

μ!

(2.4)

2.2:2.2:μ μ μ μ μ

( . .).

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7( )( ) ( )( )



μ μμμ ,

μ ( μ 2.2 ).

μ , μμ μ , μ μ

μ (μ u1, u2,…u4 μ 2.2 ) μ , μμ , μ μ . ,

μ μμ x ( μμ μ μμ ) ,μ μ μ .

μ ,,

μ μ -

μ , μ μ.

μ μ μ μ .



3. μ :3. μ : μ μ μ μ

3.13.1 μ μ

μ 3.1 μ ., μ μ μ :

, μμ , μ μ

μ ( μ 3.1 ). ( . . μ , μμ ), μ μ

. μ μμ μμ

μ .

, μ μ μμ . μ , μ , μ

μ , μ μ ( μ 3.1 ).

μ μ μ μ μ , μ μ , μ

, μ 3.1 3.1 .

3.13.1: μ ( ) ( ) « »

( μ ) μ , ( ) « μ » μ ,μ μ , ( ) & ( ) « μ » μ ,

μ .

(H<HCR)

(H>HCR)

( ) ( )

( )

CR( )



c 2c 1H

cos i tan i tan

c 2b

c 1Hcos i tan i tan

Uc

KO .

C 1Hcosi sin i

c2 b

c 1Hcos i tan i tan

(c, )

(c, )μ ( ) ,

μ

(CU, =0)μ ( ) ,

(c, )μ

, μ

μμ « » « » CRCR::



μ μ μ , μ μ, μμ :

- μ μ ,μ μ ,

,, μ μ (FS) μ

( μ )μ .

μ , μ, μ μ μ

, μ :

f

w

R d

FSW X

OR

'nf

f ( )= ?

W

Xw

(3.1)

μ μ μ μ f ( ),

μ ( )μ .

μμ μ , f ( ), μ . ,

μ μ μμ W. Fellenius to 1927, μ μ

μμ .

μ μ 3.2. μ , μμ , μ

( μ ) .

μ μ , μ μ μ μ μ

μ μ μ .μ 3.3μ 3.3, μ

μ ,μ nn--22 (n= μ ).

, ( ) μμ .



+

12

i

3.2:3.2:( ) μ μ

( ) μ μ.

Wi =U = μ

= μi =

= , μ

i , Xi+1 =

n

i i+1E , E

iN

3.3:3.3:μ

nn

4n-2μ( 33nn )

n-1μ bi μμ

3n-1( 2n )

n-1iμ μ i μ

n-1μ

1μ μ

( c, )

nμ

μ

iEiN

iE

iN

iE

μ : μ , μ μμ i Ui μ



μ , μ ,

. « » i

i ( μ 3.2) « » i,ULT μ , :

FS μ ( μ ).

,μ ( ,

, .), μ μSu, μ ( =0)

μ . :

i ,ULTi

TT

FS

, μ μμ μ μ -

. , μ μ μ μ (Fellenius, 1927 μ Bishop, 1955) μ

(Janbu, 1973).

(3.2)

, μ , μc ,

μ . :

i Ui μi ( μ 3.2).

μ μ:

( μ ) μ ( μμ , , μ , .)

μ μ ( ,, .)

ii ,ULT i i i i i i i iT c l N tan c l ( N U )tan (3.4)

li μ ( μ 3.2).

i ,ULT i iT Su l (3.3)



3.23.2[ “Swedish method of slices” “Swedish method of slices” ““μμ FelleniusFellenius”” ]

H μ μμ (

μμ ) ( μ 3.4).

, μ i,μ ,

μ μ i, (3.2) (3.4). μ ,FS

μ , μ μ ., μ

.

, μ μ μ n-1 μ μ

[3n +(n-1) =] 4n-1, 4n-2 . μ μμ μ μ μ ,

μ μ .

i= i-1= i n

3n

n

4n

3n

n

4n

4n - (4n-2) = 2

μ

μ

μ iN

3.4:3.4:μ μ

μ .



μ

μ

μ iN

μ , μ ii, μ:

μ , μ μ (3.2) (3.4), μ μ:

i i i iN W cos U

ii ,ULT i i ii

T c l N tanT

FS FS, (3.1)

μ :

, :

n

i ,ULT1n

i w ,i1

R TFS

W X

n

i i i i i i1

n

i i1

[ c l tan (W cos u l )]FS

W sin

(3.5)

μ μ μμ .

μ μ « » μ , μ - μ 10 60%.

1 2 3 4 56

98

10

7

=18kN/m3

=33 (c=0)Su=30 kPa

μ-μ

:

( )( ) μ

, μμ Fellenius.

:



FS = μ./ .= 66.51053.0941.0830.0719.0614.054.04

-4.03-14.02-25.01

μ.(kN m)/m

μ(kN m)/m

ui(kPa)

li(m)

i(deg)

Wi(kN/m)

tan ici(kPa)

μ

FS = μ./ .= 66.51053.0941.0830.0719.0614.054.04-4.03-14.02-25.01

μ.(kN m)/m

μ(kN m)/m

ui(kPa)

li(m)

i(deg)

Wi(kN/m)

tan ici(kPa)

μμ



o μ μ , μ μ μ, μ . μ μ μ

μ ( . . ), μ μ μ μ

( . . μ 3.5).

, μ μ, μ

μ / . . . . . .

3.5:3.5:μ μ μ

=39 (c=0), = 20 kN/m3 ( ) = 21.6 kN/m3

( ).

~ 30 m

15m



3.3 μ3.3 μ BishopBishopH μ μ μ

( μ 3.5). μ i,

μ , μμ i (3.3)-(3.4). , FS

μ , μ μ.

H μ Bishop μ μ μ Felleniusμ , :

( )( ) μ( . μ 3.6). μ μ

μ , μμ ( . . μ

μ μμ μ 1/2 1/3 ).

( )( ) μ , μ -μμ , μ μ μ . ,

μ ( 2-3 μ ).

μ

μ

μ iN

3.6:3.6:μ μ

μ μ Bishop.

i=0 n

3n

n

4n

3n

n

4n

4n - (4n-2) = 2



μ

μ

μ iN

μ μ μ μ Bishop μ . μ ii, μ :

μ , μ μ (3.2) (3.4), μ μ :

i ,ULTii i ii

WN U tan

cos FS

ii ,ULT i i ii

T c l N tanT

FS FS, (3.1)

μ :

:

n

i ,ULT1n

i w ,i1

R TFS

W X

n

i i i i i i i i1

n

i i1

[ c x tan (W u x )] / m ( ,FS )FS

W sin

:

i ii i i

tan tanm ( ,FS ) cos 1

FS

1 2 3 4 56

98

10

7

=18kN/m3

=33 (c=0)Su=30 kPa

μ

μ :

( )( ) μ

, μμ μ

Bishop.

:

. ,μ FS

μ μFellenius

::



FS1=FS0=

μ(kN m)/m

mimi

FS1 = μ./ .=

FS2 = μ./ .=

66.510

53.09

41.08

30.07

19.06

14.05

4.04

-4.03

-14.02-25.01

μ(kN m)/m

μ.(kN m)/m

ui(kPa)xi(m)i(deg)

Wi(kN/m)tan ici(kPa)

μ

FS1=FS0=

μ(kN m)/m

mimi

FS1 = μ./ .=

FS2 = μ./ .=

66.510

53.09

41.08

30.07

19.06

14.05

4.04

-4.03

-14.02-25.01

μ(kN m)/m

μ.(kN m)/m

ui(kPa)xi(m)i(deg)

Wi(kN/m)tan ici(kPa)

μ μ



3.43.4 JanbuJanbu

H μ μ , 1973 , μ . Janbu (

μ Trondheim ) μ μ μ μ ,

μ 3.1( ) ( ).

μ μ :

(A) μ( μ 3.7)

( ) μ ( )μ μ μ

.

, μ μ μ.

μ :ii ii i i i i

i

TT cos ( N U )sin ( U )

tan(3.6)

3.7:3.7:μ

μ μ Janbu.

Ei=Ei+1 n

3n

n

4n

3n

n

4n

4n - (4n-2) = 2



i i i 1 i i i ii

ii i i 1

i

W ( X X ) T sin ( N U )cos

TW ( X X )

sin

:

μ :

, μ μ (3.6),

n n

ii i i i1 1

i ,ULTi

n

i ,ULT i1

n

i i i 1 i i1

T cos ( N U )sin

TFS

T cosFS

[W ( X X )] sin cos

, μ

n n n

i i i i i i i i1 1 1

o n

i i i1

c x W cos tan u x tanFS f

W sin cos

FS μ Ti,ULT (3.4)μ (3.5), μ :iN

n n n

i i i i i 1 i i i i i1 1 1

n

i i i 1 i i1

c x [W ( X X )] cos tan u x tanFS

[W ( X X )] sin cos

μ ( ) μ Janbu, μ μ:

( ) ( i-Xi+1)fo,

:

fo μ 3.8 μ μ

( ).



3.8:3.8:μ

μ μ Janbu.

μμ (μ μμ μμ ) ( )

( ) μ , μ μ Janbu.

o : . μμ

.

1 2 3 4 56

98

10

7

=18kN/m3

=33 (c=0)Su=30 kPa



FS = fo( μ./ .)= 10987654321

foμ.(kN m)/m

μ(kN m)/m

ui(kPa)

i(deg)

Wi(kN/m)

tan ici(kPa)

μ

μμ

FS = fo( μ./ .)=10987654321

foμ.(kN m)/m

μ(kN m)/m

ui(kPa)i(deg)Wi(kN/m)

tan ici(kPa)



3.53.5

μ μ , menu μ

μ μ μ . μ( , μ , .) 3.1. ,

μ 3.9.

μ 3.2.

μ μ μ, μ

:

- μ μ ,

- μ μ - μ ,

- μ ,

- .

μ μ μμ ( μ ) μ .

Js = seepage force due to flow through the slope

3.1:3.1:μ μ μ

μ μ



FS

i

0

U.S. CorpsEngineers

SpencersimplifiedBishop

Fellenius

μ c

3.9:3.9: μ μ

μ .

3.2:3.2: μ μ

9. Bell, J.M. (1968). “Dimensionless Parameters for Homogeneous Earth Slopes”,J. Soil Mech. Found. Eng. Div. ASCE, 95(SM6), pp.1253-1270.

6. Janbu, N. (ed.) (1973). “Slope Stability Computations”, Embankment Dam Engineering, Casagrande Memorial Volume, Wiley, New York, pp. 47-86.

7. Morgenstern, N.R. and Price, V.E. (1965). “The Analysis of the Stability of General Slip Surfaces”, Geotechnique, 15(1), pp. 79-83.

8. Spencer, E. (1967). “A Method of Analysis of Embankments Assuming Parallel Interslices Technique”, Geotechnique, 17(1), pp. 11-26 .

10. Sarma, S.K. (1976). “Stability Analysis of Embankments and Slopes”, J.Geotech. Eng. Div. ASCE, 108(GT6), pp. 835-850.

5. Bishop, A.W. (1955). “The Use of the Slip Circle in the Stability Analysis of Slopes”, Geotechnique, 5(1), pp. 7-17.

4. Fellenius, W. (1927). “Erdstatische Berechnungen”, W. Ernst und Sohn, Berlin.

3. Lambe, T.W. and Whitman, R.V. (1969). “Soil Mechanics”, John Wiley and Sons.

2. Das, M.B. (1999). “Principles of Foundation Engineering”, PWS Publishing.

1. Budhu, M. (2000). “Soil Mechanics and Foundations”, John Wiley and Sons.



μμ μ- ( - μ ;). μ ,

g μ ( ) μ ( ) μ ,

μ μ ( . . 2000 C-8). ( μ ) μ μ μ

g μ μ , :

2 2V Ha ag* g ( 1 ) ( )g g

, μ μ μ, :

1 H

V

atan [ ]g a

μ μ 3.10 ( μμ μ μ « μ » μ …).

3.10:3.10:μ -

μ : ( ), ( ).

VH

gVg* g*

V

H

g

Vg*g*



1

2

horizontal distance (m)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

verti

cal d

ista

nce

(m)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

μ 12.0m μ=6m 31 . :

1. μμ – μ =18kN/m3, c=0, =402. μ =20kN/m3, c=15kPa, =25 , Su=30kPa

μ

μ μ

.

.

1

2

μμ 11. . . μ 0.0m, μ

FS IA μ μ :

) FELLENIUS (Ordinary Method of Slices)) SIMPLIFED BISHOP) JANBU) SPENCER) MORGENSTERN-PRICE ( - μ ),

) MORGENSTERN-PRICE ( - μ-μ μ μ )

μ : μ μ μ SLOPE/W (Student Edition) , μ GEO-Studio 2004 (Student Edition):

http://www.geo-slope.com/products/student.aspx



μμ 22μ FS IA , μ μ ,

μ :6.0m ( x 15m), 9.0m (x = 20m),

10.5m ( x = 25m), 12.0m ( x 35m)

μ ) , ) μ .

μμ 33μ μ 1 2,

, - μ 1.5.

μ : 2 μμ .

FS = .

3. “ ” “ ”

μ

2.

••

μ –μ

1.



μμ 44μ μ

μ . μ μμ μ 1

μ

μ :

= 0.20g ( « »):

V = +0.10g



4. μ4.4. μμ4.1

μ μ ( . .), μ μ ,μ ( . .) μ μ μ

μ μ . μ , μ. . μ , μ . .

μ μμ μ μ μ , μ

( . .μ μ ).

μ μ μ μ ,μ ( . .

2.1) μ μ μ μ μμ μ μ μ .

μ , 1 u(x) μ( μ 4.1):

(4.1)2 1

x 0 2 1

u udu u ulimdx x x x x

μ μ μ μ ( μ ) , μ μ

μ μ μ , μ μ 1

2 μ . μμ , μ μ

μ ( μμ μ μμ ) μ ui=u(Xi) μ μ μ μ

( . . μ Gauss).

X1 X2X

x 0

du u ulimdx x x

4.1 1 μ

μ . .

4.14.1 1 μ

μ . .



4.2 μ

2.1, μ μ 1 , 2 , 3 4 . ,

, . ..

, μ μ μ μ ( . .

Taylor μ μ ). , μ μμ Taylor.

.- μ 4.2, μ μ , μu μ (i-1, j) (i+1,j)

μ Taylor:

2 2 3 3 4 4

i 1, j i , j 2 3 4

2 2 3 3 4 4

i 1, j i , j 2 3 4

u ( x ) u ( x ) u ( x ) uu u x ....x 2! 3! 4!x x x

u ( x ) u ( x ) u ( x ) uu u x ....x 2! 3! 4!x x x

(4.2 )

(4.2 )

( ) μ x y

u

u

x

x y

y

( ) μu

4.2

μ 1- 2-μ μ . ..

4.4.22

μ 1- 2-μ μ . ..



( ) μ (4.2 ) (4.2 ) μ μ μ

u x:

i 1, j i , ji

i , j i 1, ji

i 1, j i 1, j 2i

u uu( ) O( x )x x

u uu( ) O( x )x x

u uu( ) O[( x ) ]x 2 x

(4.3 )

(4.3 )

(4.3 )

forward-, backward central-difference μ .

( xn)n+1 ( x)

μ Taylor. μ μ xn, μ μ μ μ x (

μ ).

.- (4.2 ) (4.2 )μ u x:

μ ( ;) μ μ μu x:

μμ μ μ μ . .

2i 1, j i , j i 1, j 2

2 2

u 2u uu O[( x ) ]x ( x )

(4.4)

3i 2 , j i 1, j i 1, j i 2 , j 2

3 3

u 2u 2u uu O[( x ) ]x 2( x )

(4.5)

4i 2 , j i 1, j i , j i 1, j i 2 , j 2

4 4

u 4u 6u 4u uu O[( x ) ]x ( x )

(4.6)

::4.3 ( ), ( ) ( );



4.3 μ μ

μ μ. . μ μ μ μ :

μ μμ

( μ 4.3).

μμ μ . q(x)

μμ μ :

q(x) = -k W(x) (4.7)

W(x) μ. μ

4.7 μ (μ SI):

2

W ( x ) mq( x ) kN / mk kN / m

7

6

5

4

3

2

i=1

8

W

X

E, I

L

X q(X)

4.3μ μμ μ

μ . .

4.4.33μ μμ μ

μ . .

.. -- ( ;) μ:

, μ μ . 4.7,

= μ μW = μ ( μ )q(x) =

μ, μ ( -) .

μ μ μ μμ . . ( . 4.3 4.6) , 4.9 μ i

:

2 2

2 2

4

4

d d WEI q( x )dx dx

d W k W ( x ) 0EIdx

(4.8)

(4.9)

i 2 i 1 i i 1 i 2i4

W 4W 6W 4W W k W 0EI( x )



..-- . 4.10i μ (8) μμ μ ( μ 4.3), i=1 8.

μ μ ,μ W-1 W10.

μ (W1 W8) μ ,(W-1, W0 W9, W10) μ μ( =1) (i=8). μ μ ,

μ μ μ μ , μ μ μ .

μ ,μ :

( ) μ μ ( μμ ) :

2

2x 0

3

3x 0

d WM( x 0 ) 0 EI 0dx

d WQ( x 0 ) 0 EI 0dx

(4.11 )

(4.12 )

,4

i 2 i 1 i i 1 i 2k xW 4W ( 6 )W 4W W 0

EI(4.10i)

( ) μ μ , :

2

o o2x L

3

3x L

d WM( x L ) M EI Mdx

d WQ( x L ) 0 EI 0dx

(4.13 )

(4.14 )

μ μ , 4.11 4.13:

0 1 2W 2W W 0

1 0 2 3W 2W 2W W 02

o7 8 9

M xW 2W WEI

6 7 9 10W 2W 2W W 0

(4.11 )

(4.12 )

(4.13 )

(4.14 )

, μ 4.10i (i=1 8) 4.11 4.13 . μ , μ

:



, μ 4.10i (i=1 8) 4.11 4.13 . μ , μ

:

:K W F

4

4

4

4

4

4

4

4

0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 01 2 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0

k x1 4 6 4 1 0 0 0 0 0 0 0EI

k x0 1 4 6 4 1 0 0 0 0 0 0EI

k x0 0 1 4 6 4 1 0 0 0 0 0EI

k x0 0 0 1 4 6 4 1 0 0 0 0EIK

k x0 0 0 0 1 4 6 4 1 0 0 0EI

k x0 0 0 0 0 1 4 6 4 1 0 0EI

k x0 0 0 0 0 0 1 4 6 4 1 0EI

k x0 0 0 0 0 0 0 1 4 6 4 1EI

0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 00 0 0 0 0 0 0 1 2 0 2 1

2oM xEI

T

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10W W W W W W W W W W W W W

T2oM xF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0EI

μ 4.4 μμ μ μ μ μ L=21m,

μ D=0.80m, μ k=6 M /m/m =1 m. ,μ 4 15 μ

« » ( μ ).

μ μ ….

μ μ μ μ :- μ μ ,- μ μ ,- μ μ μ ,- ..

μ μμ μ μ μ :- μ μ ,- μ μ ,- μ μ μ ,- ..



-0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005

W (m)

-21

-18

-15

-12

-9

-6

-3

0

()

. . (4 μ )

. . (8 μ )

. . (15 μ )

4.4μμ μ

μ . ., ,

( ) .

4.44.4μμ μ

μ . ., ,

( ) .



5.5. μμ μ μ μ , μ

μ μ μμ μ μ , μ

μ ’ . μ μ μ μ , μ μ μ μ

.

, μ μμ

μ μ . , μ μ - μ , μ

μ μ μ :

1: μ μ

2: μ

3: ( μ )

4: (global) .

BHMA 5: - μ ( ) ( )μ

1:1: μ μ μ μ

T μ μ μ . .μ μ μ μ μ

μ , μ ( . . μ 5.1),

μ μ μ μ , μ .

5.1 μ

μ ( . .)

5.15.1 μ

μ ( . .)

. .

s

t

s, t = μμ

s, t = μμ

( . .)

X

Y

X, Y = μμ

X, Y = μμ



μ , μ ( . . μ μ μ ) -

μ . ., μ μ . -, , μ

μμ μ μ

μ . ..μμ μ -

μ μ .

μ μ ( . . μ μμ ) , μ -

μ ( . . μ μμ ) .

μ . ., μ μ (t-s μ 5.1),

μ μ , μ μ (x-yμ 5.1). μ

μ μ μ μ (i μ 5.1)

( , J, K L μ 5.1) .

μ . ., μ μ (t-s μ 5.1),

μ μ , μ μ (x-yμ 5.1). μ

μ μ μ μ (i μ 5.1)

( , J, K L μ 5.1) .

μ . .μ . . μμ :

1- μ ( . . « » μ ):

2- μ ( . . μ μ μ ):

3- μ ( . . )

1 2 1 23

1 2

34

12

3

8

7

6

5

4

1 2

3

4 4

12

3

7

5

6

810

9



μ μμ μ μ . . μ , μμ μ ( ) . .,

:

μ :

, μ . . μ -μ ( μμ μ μ , , μμ ,

, .). μ μ μ μμ , μ μ μ ,

« μ » . . μ μ μμ . ..

I I

1 2

3

4 5

6

78

9

II

1 231 2

34

5

6

7

8 9

μ μ . . , μ μ . ..

μ , μ . ., μ « » μ 3-

μ :U= + x+ x2+ x3

x μ . ..

5.2 μ μ

. . μ . .

5.25.2 μ μ

. . μ . .

A

B

U(x)=U*(x)

A B

x1 2

U(x)

A1 2

U*(x)

43

U1

U3 U4 U2 U1

U2

( ) 4- μ . .( ) 2- μ . .

U(x)

B1 432

U2 U3 U4U1

U*(x)

( ) 2- μ . .



μ U μ μ (i=1,2,3, 4), , μ

( , , ) μμ U μ (U1. U2, U3 U4).

μ μ μ μ (i=1 & 2 . .), μ μ μμ :

U* = * + *x

μ μ μ μ .

μ 4- μ . ., μ μμ μ μ μ ( ) 2-

μ , μ μ.

μ μ . .,μμ μ μ (

) μ μ ., μ μ μ μμ μ

μ μ μ μ , U1 U2 μ

1 2.

μ μ . 5.1 μ 1 2, μ :

2:2: μμ

μ μ μ ( . .μ ) . . ,

μ , μ μ μ μ. . μ .

1

U*(x)

U1

U2

2x

5 11*1 2

2

U (x)= + x = 1 x ( . )

1

2

1 1 2

2 1 2

U xU x



5 21 1 1

2 2 2

U 1 x= ( . )

U 1 x

, μ μ :

. 5.2 1 2 :

1

1 1 1 12 1

12 2 2 2

2

a 1 x U Ux -x1= ( 5.3 )1 xa 1 x U U-1 11 x

μ . 5.1 5.3 :

12 1*

1 2

2

Ux -x1U (x) 1 x1 x U-1 11 x

1* 2 1

22 1 2 1

Ux x x xU (x) ( 5.4 )Ux x x x

1 2

1 2

μ (shape functions)

. . .μ , 1 2 μμ

μ μ 0 1:

1

2=1

2x

2=0

2(x)

1

1=0

2x

1=1

1(x)

5.3μ

μμ . . μ μμ

μ .

5.35.3μ

μμ . . μ μμ

μ .

:

( )μ μμ . . μ

μ (μ ), μ

μ μ;

( )μ

U(x); ;

:

( )μ μμ . . μ

μ (μ ), μ

μ μ;

( )μ

U(x); ;



U(x) ,μ μ , μ . 5.4 :

U [ N ] q ( 5.5 )

( x ) μ :

U [ μ μ ] x [1]

[ . μ ] x [( . μ ) x ( . μ )]

q [( . μ ) x ( . μ )] x [1]

, ux

Y, uy

1 2

3

μ , μ ( . .) 3- μ . ., . 5.5

. . . . : 1x

1 y

x 1x 2 x 3 x 2 x

y 1 y 2 y 3 y 2 y

3 x

3 y

uu

u N 0 N 0 N 0 u( 5.6 )

u 0 N 0 N 0 N uuu

- μ μ ;

. . μ μμ μ ( ’ μ ) μ

U(x). , μμ , μ x y μ 3- 3- μ

. . :

1

1

1x 2 x 3 x 2

1 y 2 y 3 y 2

3

3

xy

N 0 N 0 N 0 xx( 5.7 )

0 N 0 N 0 N yyxy

μ μ μ μ . .( ,, .) μ . . μ μ

μ μ μ ( . . 3- μ). μ μ μ

μ μ . ..



,

[K]m μ μ μμ . . (μ μ μ -μμ μ ),

[q]m μ μ (μμ -μ μ μ )

3:3: ( μ ) ( μ )

H μ μ μμμ . . μ

μ μ . .. μ μ, μ μ μ : μ

μ (theory of variations) μ ( μ μ ) (theory of weighted residuals).

μ μ. . m, μ μ μ n , n=( . μ

. .)x( . μ ):

m mmK q F

[F]m μ « » μ ( μ μ -μ μ μ )



μ μ Y Galerkin.- μ μ . .

. μ Galerkinμ μ μ μ .

μ μ μ, μ 4.3. μ

U μ :

4

4d U k U 0

EIdx

U* μ ,R, :

4

4d U * k U* R

EIdx μ μ μ

R μ . .. μ μ μ Galerkin, :

(5.8)

[F]m μ « » μ ( μ μ -μ μ μ )

jD

R N dD 0 j 1,2,3....r (5.9)

, D μ . ., Nj

μ μ r μ« μ » . . [r = ( μ. μ ) x ( μ. μ . μ )].

μ , μ μ 2- μ , μ μμ (μ μ μ ) r=2 x 2=4.

. 5.8 . 5.9, . . :

4

j4D

d U * k U * N dD 0 j 1,2,3....rEIdx

(5.10)

μ . 5.10 . . m :

r

j jj 1

U* N q

x 42ri

i j i4i 1 x1

d N k N N dx q 0 j 1,2,3....rEIdx

(5.11)



:

( . μ 5.4):

q1 = w1 μ μ 1 F1= 1 ( ) μ μ 1

q2 = 1 μ 1 F2= 1 μ 1

q3 = w2 μ μ 2 F3= 2 ( ) μ μ 2

q4 = 2 μ 2 F4= 2 ( ) μ μ 2

mm m m m111,1 1,2 1,3 1,4mm m m m

22 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2mm m m m

333,1 3,2 3,3 3,4mm m m m

44 ,1 4 ,2 4 ,3 4 ,4 4

Fqk k k kFqk k k kFqk k k kFqk k k k

4x2i

j ,i i j4x1

d N kk N N dxdx EI

, μ μ :

(5.12)

(5.11)

5.4μ μ . . μ

5.45.4μ μ . . μ

1

w2

2

w1

12

μ μ . .

μ . .

x

(x2)(x1)

2 3

1 11

2 1 2 1

2

12 1

2 1

2

1 13

2 1 2 1

21 1

42 1 2 1

x x x xN ( x ) 1 3 2x x x x

x xN ( x ) ( x x ) 1x x

x x x xN ( x ) 3 2x x x x

( x x ) x xN ( x ) 1( x x ) x x

-0.5

0

0.5

1

4

j jj 1

U* q N

1 3

2/l

4/ll=(x2-x1)



. 5.12 μ , μ μμ μ . . (x1<x<x2),

μ μ μ (integration points):

. .

, , μ . .μ

( + + + = 1234 ).

. .

, , μ . .μ

( + + + = 1234 ).

k kA1234

a aA1234

U( x, y )dxdy U A , k , , ,

U( x, y )dxdy U A U U U5.5

μμ

. ..

5.55.5μ

μ. ..

4:4: ( (global) global) ..

μ

μ .. μ μ 5.6 5.7, μ

. ’ , μ . .:

μ μ ( . .) ( . .) μ ,

μ 5.6. μ :

m mmK q F

A. μ [ ]m {F}m μ. . ( μ 5.7).

B. μ [ ] μμ , μ μ μ

. μ μ μ , ’

μ ( μ 5.7).

K q F (5.13)



5

4

3

2

i=11

2

3

4

μ μμ

μ μμ

μ . .μ

μ . .μ

3

1 1

2 1

3 2

4 2

5 3

6 3

7 4

8 4

9 5

1 0 5

q wqq wqq w

qqq wqq wq

3 m ,1

m3 m ,2

4 m ,3

4 m ,4

w qq

qw q

q

μ μ. .

q5q6q7q8

qm,1qm,2qm,3qm,4

3

5.6μ

5.65.6μ

q(X)

μ μ. .

μ μ. .

1

2

k10,10k10,9k10,8k10,7000000

k9,10k9,9k9,8k9,7000000

k8,10k8,9k8,8k8,7k8,6k8,50000

k7,10k7,9k7,8k7,7k7,6k7,50000

00k6,8k6,7k6,6k6,5k6,4k6,300

00k5,8k5,7k5,6k5,5k5,4k5,300

0000k4,6k4,5k4,4k4,3k4,2k4,1

0000k3,6k3,5k3,4k3,3k3,2k3,1

000000k2,4k2,3k2,2k2,1

000000k1,4k1,3k1,2k1,1

q10

q9

q8

q7

q6

q5

q4

q3

q2

q1

F10

F9

F8

F7

F6

F5

F4

F3

F2

F1

X

=

[K] {q} {F}=

X

. . ( μ 5.6). . ( μ 5.6)3k5,5 = (k5,5) + (k5,5)

F5 = (F5) + (F5)

2 3

2 3

5.7μ . .

5.75.7μ . .

. . ( μ 5.6). . ( μ 5.6)2



BHMA 5BHMA 5:: -- μ ( )μ ( ) ( ) μ ( ) μ

. 5.13 μ [ ]μ μ . ..

, μ μμ ( . . μ )

1000 μ . μ ( μ μ μ ) 3x1000=3000 μ [ ]

3000x3000, μ 9,000,0000 .

μ μμ

, μ μ Gauss,μ μ μ

μ μ μ .

, ’ μ μμ ,μ μ μ

- μ μ ( μ incremental solution),

- ( μ itterative solution).

μ μ 6.1.

μ μ μμ . μ , μ

. 6.1 μ μ ({ q} {q})μ ({ q} {q}). μ μ -μ ,

μ . . μ μμ μ μ ….

μ μ μ μμ , . . μ [ ] μ

/ μ :

i iK( q ,F ) q F i 1,....., (6.1)

6.6. μμ -- μμμμ μμ(( .. .. .. .).)



( ) ( )(μ [ ])

( )( [ ]=[ ] )

( ) μ

6.1μ - μμ μ

6.16.1μ - μμ μ

:

μ μμ μ μμ ( μ )

, μμ ( μ . .)

μ μμ μμ μ :

μμ - P=0 ÷ 5000kN μ

μμ 6.1;

μ μ =104 k /m,

o=0.30m =0.80.

:

μ μμ μ μμ ( μ )

, μμ ( μ . .)

μ μμ μμ μ :

μμ - P=0 ÷ 5000kN μ

μμ 6.1;

μ μ =104 k /m,

o=0.30m =0.80.

1 ( )



μ μ . . . . ( . 4, 5 6) μ :

1. . : μ μ, , 2001

2. C. S. DESAI & J. T. CHRISTIAN: Numerical Methods in Geotechnical Engineering, McGraw Hill, 1977

3. P. TONG & J. N. ROSSETTOS: Finite-Element Method, basic Technique and Implementation, The MIT Press, 1977

4. O. C. ZIENKIEWICZ: The Finite Element Method, McGraw Hill, 1977



1 2 / 1 2 + 0 & 2 0 - ntuausers.ntua.gr/gbouck/downfiles/computational... · 1 2 3 4 b c d lvdt...

Documents