1 0 – 5 = 5 1 0+ 5 = 1 5

Учреждение образования

«Белорусский государственный педагогический университет

имени Максима Танка»

Факультет начального образования

Кафедра естественнонаучных дисциплин

(рег. № УМ )

СОГЛАСОВАНО СОГЛАСОВАНО

Заведующий кафедрой Декан факультета

естественнонаучных дисциплин начального образования

__________ Г.Л.Муравьева __________ Н.В.Жданович

__ ____________ 20___ г. __ ____________ 20 ___ г.

УЧЕБНО–МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

«МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И

ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ»

для специальностей

1-01 02 01 Начальное образование

1-01 02 02 Начальное образование. Дополнительная специальность

Составители: Муравьева Г.Л., кандидат педагогических наук, доцент

Урбан М.А., кандидат педагогических наук , доцент

Рассмотрено и утверждено на заседании Совета БГПУ __ __________2014 г.

протокол № ____

РЕПОЗИТОРИЙ БГ

ПУ

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Методика преподавания

математики и практикум по решению задач»

Составители:

Муравьева Г.Л., к.п.н., доцент

Урбан М.А., к.п.н., доцент

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Дисциплина «Методика преподавания математики и практикум по решению

задач» обеспечивает необходимую теоретическую, практическую и

методическую подготовку студентов – будущих учителей – к преподаванию

математики в начальных классах.

В соответствии с основными направлениями реформы общеобразовательной

школы Беларуси при изучении дисциплины «Методика преподавания

математики и практикум по решению задач» в значительной мере усилена

практическая направленность обучения, максимально учтены возрастные

особенности детей, начинающих обучение с шести лет. Большое внимание

уделено вопросам воспитания младших школьников в процессе изучения

математики.

Дисциплина «Методика преподавания математики и практикум по решению

задач» состоит из двух разделов: «Методика преподавания математики» и

«Практикум по решению задач».

При изучении раздела 1 «Методика преподавания математики»

прослеживаются связи между математикой и методикой ее преподавания;

используются знания, полученные по таким предметам, как педагогика,

психология и математика.

При изложении данного раздела необходимо знакомить студентов с

достижениями методической науки, показывать, как развивается методика

обучения математике в начальных классах в связи с изменением социально-

экономических условий в обществе.

Программа раздела 2 «Практикум по решению задач» адресована

студентам, которые имеют соответствующую подготовку по математике и

методике преподавания математики в начальных классах.

Теоретический и практический материал данного раздела призван

расширить и углубить представления студентов о распространенных

подходах к решению текстовых арифметических задач, совершенствовать

умение определять различные способы решения задач и умение выбирать

среди них наиболее оптимальные, организовывать методическую работу по

обучению решению задач на практике при проведении уроков математики в

начальных классах.

Изучение раздела «Практикум по решению задач» включает не только

рассмотрение и решение задач, предусмотренных программой начального


ПУ

курса математики, но и задачи, которые выходят за рамки начального курса

математики (задачи, при решении которых используются операции

нахождения нескольких процентов числа и нахождение числа по его

процентам; задачи на смеси и др.).

Цели и задачи учебно-методического комплекса по дисциплине

«Методика преподавания математики и практикум по решению задач»

Цели учебно-методического комплекса:

– освоение студентами современных методов обучения математике в

начальной школе, обучение студентов современным методам преподавания

математики в начальной школе;

– формирование у студентов умений и навыков, лежащих в основе

сознательного и творческого подхода к решению возникающих в практике

обучения математике учебно-воспитательных задач;

– расширение и углубление представлений студентов о распространенных

подходах к решению текстовых арифметических задач;

– совершенствование умений использовать основные способы решения

задач;

– формирование у студентов умений выбирать среди различных

методов решения задач наиболее оптимальный метод и организовывать

работу по его применению на практике при проведении уроков математики в


Задачи учебно-методического комплекса:

– сообщить студентам основные теоретические сведения по общим и

частным вопросам начального обучения математики;

– научить их применять приобретаемые знания и умения в практике

преподавания в начальной школе, самостоятельно работать с методической

литературой;

– обеспечить будущим специалистам достаточный объем методических

знаний по решению математических задач за курс начальной школы;

– выработать у студентов умение самостоятельно повышать уровень

своей методической подготовки.

СОДЕРЖАНИЕ

учебно-методического комплекса по дисциплине

«Методика преподавания математики и практикум по решению задач»

1. Теоретический раздел УМК по дисциплине «Методика преподавания

математики и практикум по решению задач». Данный раздел УМК по дисциплине «Методика преподавания математики и

практикум по решению задач» содержит курс лекций для теоретического

изучения учебной дисциплины в объеме, установленном типовым учебным

планом по специальностям 1 – 01 02 01 «Начальное образование», 1 – 01 02

02 - 02 «Начальное образование. Дополнительная специальность».


ПУ

2. Практический раздел УМК по дисциплине «Методика преподавания

математики и практикум по решению задач». Данный раздел УМК по дисциплине «Методика преподавания математики и

практикум по решению задач» содержит материалы для проведения

семинарских (практических) занятий, занятий по управлению

самостоятельной работы студентов в соответствии с типовым учебным

планом по специальностям 1 - 01 02 01 «Начальное образование», 1 - 01 02 02

- 02 «Начальное образование. Дополнительная специальность».

Материалы к семинарским занятиям. 2 курс.

Материалы к семинарским занятиям. 3 курс.

Материалы к практическим занятиям. 4 курс.

Управляемая самостоятельная работа студентов 2 курса.



3. Раздел контроля знаний УМК по дисциплине «Методика

преподавания математики и практикум по решению задач».

Данный раздел УМК по дисциплине «Методика преподавания

математики и практикум по решению задач» содержит материалы для

текущей и итоговой аттестации (контрольные работы, тесты, вопросы и

практические задания для зачетов и экзаменов), позволяющие определить

соответствие результатов учебной деятельности обучающихся требованиям

образовательных стандартов высшего образования и учебно-программной

документации образовательных программ высшего образования.

Контрольные работы и тесты. 4 курс.

Материалы к зачету. 4 курс.

Вопросы к экзамену и практическая часть. 3 курс.

4. Вспомогательный раздел УМК по дисциплине «Методика

преподавания математики и практикум по решению задач».

Данный раздел УМК по дисциплине «Методика преподавания

математики и практикум по решению задач» содержит:

1. «Методика преподавания математики и практикум по решению задач».

Учебная программа для высших учебных заведений по специальностям:

1 - 01 02 01 «Начальное образование»

1 - 01 02 02 - 02 «Начальное образование. Дополнительная

специальность»

2. Перечень учебных изданий, рекомендуемых для изучения

дисциплины.


ПУ

I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

Тема 1. Методика обучения математике как наука

Вопросы

1. Методика преподавания математики как предмет.

2. Методика преподавания математики как учебный предмет. Цели обучения

3. Связь МПМ с другими науками

Вопросы для самоконтроля

1. Методика преподавания математики как предмет

МПМ возникла как часть от дидактики в 18 веке. Она как наука имеет:

Свой объект изучения – процесс обучения математике;

Свой предмет – методические закономерности процесса обучения;

Свои задачи;

Свои источники (математика, история математики, дидактика,

требования общества, школьная практика, экспериментальные

исследования…);

Свои методы исследования (наблюдение, анкетирование, беседы,

изучение продуктов деятельности, эксперименты).

МПМ – это наука, которая, с одной стороны, обращена к конкретному

содержанию, отбору и упорядочиванию его, в соответствии с поставленными

задачами обучения, с другой стороны – к человеческой деятельности,

процессу усвоения этого содержания, управление которым осуществляет

учитель.

Выделим основные элементы процесса обучения:

1. Цели обучения (для чего мы учим).

2. Объект обучения (кого мы учим).

3. Содержание обучения (чему мы учим).

4. Методы обучения (как мы учим).

Процесс усвоения учащимися различного содержания (например,

математики, русского языка, т.д.) не может быть одинаковым. Подчиняясь

общим закономерностям, он имеет свою специфику, которая должна найти

выражение в определенных теоретических положениях, отражающих

особенности обучения конкретному предмету.

Объектом исследования МПМ является процесс обучения математике, в

котором можно выделить четыре основных компонента: цели, содержание,


ПУ

деятельность учителя и деятельность учащихся. Эти компоненты находятся

во взаимосвязи и взаимообусловленности, т.е. образуют систему, в которой

изменение одного из компонентов вызывает изменение других.

Предметом исследования МПМ является изучение названных компонентов в

их тесной взаимосвязи. Ее основная цель – выявить закономерности процесса

обучения математическому содержанию, обобщить важнейшие факты о нем

и на этой основе дать конкретные рекомендации практике обучения,

обеспечивающие ее высокую эффективность.

Задача МПМ как науки заключается в том, чтобы строить процесс

обучения математике на научных основах, выражением которых являлись бы

теоретические положения, и методических основах МПМ.

Теоретические основы МПМ – это система положений, лежащих в

основе построения процесса обучения математике, которые теоретически

обосновывают и характеризуют общие методические подходы к его

организации.

Требования к теоретическим основам МПМ:

1. Опираться на определенную теорию (психологическую, педагогическую,

математическую), отражая ее применительно к конкретному содержанию

обучения.

2. Являться обобщенными положениями, которые отражают не отдельный

случай из обучения математике, а общие подходы к процессу обучения

математике в начальных классах, к решению некоторой совокупности

вопросов в нем.

3. Отражать устойчивые особенности процесса обучения математике, т.е.

закономерности этого процесса или важные факты о нем.

4. Подтверждаться в практике экспериментами или опытом работы учителей.

В качестве методических основ МПМ выступают математические

теории, которые в переработанном, доступном виде находят отражение в

содержании данного учебного курса и могут быть использованы для

обоснования тех или иных методических подходов. К ним относятся:

количественная теория целых неотрицательных чисел, аксиоматическая

теория целых неотрицательных чисел, учения о позиционной системе

счисления и ее свойства, о величинах и их измерении, о выражениях без

переменной и с переменной, об уравнениях и неравенствах, геометрических

фигурах и их свойствах.

Покажем, на примерах, как методические основы используются при

обучении математике.

Отметим, что различают два уровня таких основ – для учителя и для

учащихся. Во многих случаях они не совпадают.


ПУ

Пример 1. Рассмотрим равенство (2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7).

Учащиеся: прибавление числа к сумме.

Учитель: ассоциативное свойство сложения (a + b) + c = a + (b + c).

Пример 2. Рассмотрим равенство 2 (7 + 4) = 2 7 + 2 4.

Учащиеся: умножение числа на сумму.

Учитель: дистрибутивный закон умножения относительно сложения.

Пример 3. Рассмотрим равенство 2456 = 2000 + 400 + 50 + 6.

Учащиеся: представление числа в виде сумму разрядных слагаемых.

Учитель: использование теоремы о возможности представления любого

натурального числа в виде суммы произведений однозначных чисел,

изображенных цифрами данного числа, на соответствующую натуральную

степень основания системы счисления (десять):

2456 103 + 4 10

2 + 5 10

1 + 6 10

0.

2. МПМ как учебный предмет

Как учебный предмет МПМ ставит перед собой задачи, которые входят в

содержание обучения любой методике (по Лернеру И.Я.):

Сформировать знания по МПМ

Сформировать методические умения

Приобрести опыт творческой деятельности

Опыт оценочной деятельности (то, что превращает знания в

убеждения).

В западных методиках последнее ставится на первое место (ASK-матрица).

Ценности и отношения WHY?

Умения и компетенции HOW?

Знание и понимание WHAT?

Attitudes

Skills

Knowledge


ПУ

Подчеркивая исключительную важность отношения к изучаемому предмету

(в нашем случае МПМ), можно привести любопытную (некорректную с

математической точки зрения) формулу:

IHP = (IA + AA) x A

IHP – Individual Human Performance

IA – Inborn Attributes

AA – Acquired Attributes

A – Attitudes

Таким образом, приоритетной целью ставится изменение в отношениях,

ценностях, установках учащихся. Только это может вдохновить людей на

саморазвитие.

A

Impact What we want to do

S

What we can do

K

What we know

Difficulty

МПМ как учебный предмет изучает проблемы:

Учитель и его методическая подготовка, методическая деятельность

(преподавание)

Особенности овладения учебным материалом школьниками,

процесс усвоения знаний (учение)

Основные компоненты методической системы обучения

математике (по А.М.Пышкало и М.И.Моро), а именно

Цели обучения

Содержание обучения Организационные формы

обучения


ПУ

Методы обучения Средства обучения

Цели обучения

А) Образовательные

Образовательные цели направлены на овладение знаниями, умениями и

навыками, предусмотренными программой начального обучения математики.

Б) Воспитательные

Математика имеет большой воспитательный потенциал.

С помощью математики можно формировать начатки

материалистического мировоззрения легко показать, что число, счет,

измерение, десятичная система счисления, геометрическая фигура

взяты из практической жизни и постоянно используются человеком.

С помощью определенных методов обучения можно учить учиться,

т.е. вооружать методами самостоятельного познания (работа с книгой,

решение проблемных ситуаций, моделирование и т.д.). Это

соответствует современной концепции обучения в течение всей жизни

(Long-life-learning), поскольку делает познание человека относительно

не зависимым от присутствия учителя и обеспечивает развитие и

обучение взрослого человека в формах саморазвития и самообучения.

При определенных методиках обучения воспитываются

положительные свойства личности (самостоятельность, настойчивость,

целеустремленность, трудолюбие и т.п.).

Воспитывается положительное отношение к учению (attitude) (Last

but not least).

В) Развивающие

МПМ способствует становлению личности младшего школьника благодаря

ее воздействию на основные психические процессы: познавательный

интерес, мышление, память, воля, внимание и т.д.)

Довоенная программа МПМ выдвигала в основном образовательные цели. В

60-х годах приоритетными стали цели развивающие (развитие приемов

умственной деятельности). Современная МПМ в качестве приоритетных

рассматривает воспитательные цели (положительное отношение к

математике, овладение приемами самопознания и т.п.). Последнее однако

часто расходится с реальной практикой школьного обучения, оставаясь

регламентированным лозунгом. Налицо информативная перегрузка

школьных программ, в том числе программ по начальной математике.


ПУ

Заметим, что для конкретного раздела (например, дроби), конкретной темы

(например, изучение табличного умножения) общие цели обучения

выступают в виде конкретных задач обучения (т.е. перечня того, чему нужно

научить и каковы воспитательные и развивающие возможности этого

учебного материала).

3. Связь методики преподавания с другими науками

МПМ имеет очень тесные связи с другими предметами

Во-первых, МПМ связана с математикой. На отбор содержания всегда

оказывал влияние уровень самой науки математики в соответствии с тем,

какие идеи математики являются в тот или иной период времени ведущими.

От того, какие математические идеи будут раскрываться в НКМ, зависят

методы ОМ.

Во-вторых, МПМ связана с педагогикой и психологией. При построении КМ

и отборе методов обучения, при установлении целей и задач обучения МПМ

опирается на те общие закономерности обучения, которые раскрываются в

педагогике и психологии. Осознанное усвоение МПМ и правильное

использование ее на практике возможно только тогда, когда в каждом

методическом приеме, в системе упражнений учитель видит проявление

педагогических и психологических закономерностей, когда учитель

опирается на них при разработке каждого урока, использует их, добиваясь

усвоения глубоких знаний каждым учеником.

В-третьих, МПМ имеет связи и с другими методиками. Учителю очень важно

учитывать это, чтобы правильно осуществлять межпредметные связи.

Задача МПМ – установить особенности проявления психологических

закономерностей при усвоении учащимися математического содержания и

разработать такие методы, приемы, средства и формы организации

деятельности учащихся, которые способствовали эффективному обучению.

Приведем примеры:

1. В психологии установлено: данная в условии задачи функция объекта

оказывает тормозящее влияние на усмотрение другой функции того

же объекта.

Пример 1. Если отрезок АВ является стороной квадрата (данная функция

объекта), то учащиеся не видят, что АВ является и стороной треугольника,

входящего в состав квадрата (другая функция объекта). А


ПУ

В В

Пример 2. Сколько треугольников на рисунке? А

чтобы ответить на этот вопрос, нужно сторону АВ

квадрата представить как сторону треугольников,

т.е. данный объект переосмыслить в плане других понятий.

2. В практике обучения для формирования прочных вычислительных

навыков обычно используют систему однотипных упражнений. В

психологических исследованиях установлено: если для формирования у

школьников определенного вычислительного навыка им предлагаются

однотипные упражнения, в которых имеются повторяющиеся компоненты,

то учащиеся перестают принимать во внимание некоторые из них, что

приводит к ошибочным действиям и результатам.

Пример 3. Если предложить ученикам 10 – 15 примеров на сложение двух

чисел, последние два – на вычитание, то можно ожидать. Что примеры на

вычитание они выполнят как сложение.

Рекомендации: упражнения на закрепление по определенной теме следует

предлагать «вразбивку», включая в них и упражнения из других тем.

3. Успешное обучение во многом зависит от организации внимания

учащихся.

Пример 4. В процессе проведения устного счета учителя оперяются в

основном на произвольное внимание учащихся (вид внимания, который

связан с сознательной постановкой цели и волевыми усилиями) и используют

для этой цели установку «Будьте внимательны!» В этом случае не

учитывается одна из психологических закономерностей: деятельность,

осуществляемая на основе произвольного внимания, требует значительных

усилий и быстро утомляет.

Поэтому действенность данной установки через какое-то время теряется

(обращение учителя к невнимательным ученикам – чтение нотаций). В

результате отрицательные эмоции, потеря времени и т.д.

В психологии установлено: внимание активизируется, если: а)

мыслительная деятельность сопровождается соответствующей моторной

деятельностью; б) объекты воспринимаются зрительно. Так же выявлены

условия для поддержания внимания:


ПУ

а) интенсивность, новизна, неожиданность появления раздражителей и

контраст между ними; б) ожидание конкретного события; в) положительные

эмоции.

Рекомендации: Реализовать эти условия можно с помощью различных

методических приемов: работа с карточками, использование «светофоров»

для контроля, математические диктанты, игровые ситуации, смена

упражнений для устного счета. Для мобилизации внимания отдельного

ученика надо использовать другие приемы (не следует его вызывать, а можно

предложить ему некоторое задание, например, контролировать правильность

решения примеров).

Отсюда, использование методических приемов позволяет организовать

деятельность учащихся на основе послепроизвольного внимания (т.е. в

соответствии с поставленной целью, но без волевых усилий).

4. Еще одна закономерность при формировании вычислительных

навыков: с увеличением объема материала уменьшается процент

сохранения его в памяти.

Поэтому давая установку на запоминание табличных случаев, необходимо

учитывать их количество. Из психологии известно, что активная

мыслительная деятельность способствует непроизвольному запоминанию.

Казалось бы, данная закономерность могла бы быть положена в основу

непроизвольному запоминания табличных случаев в процессе упражнений.

Но на практике это не подтверждается. Почему? Здесь могут быть различные

причины:

А) учащиеся должны запомнить большое число табличных случаев за

небольшой промежуток времени;

Б) их деятельность при выполнении таких упражнений носит однообразный

характер, и выполнение этих операций не требует от детей мыслительной

активности.

Считается, что в плане формирования вычислительных навыков действует

другая закономерность: запоминание во многом зависит от сознательного

намерения, определенной направленности деятельности в связи с

соответствующей установкой.


1. Какие основные элементы процесса обучения можно выделить в методике

преподавания математики?

2. Что изучает методика преподавания математик как наука?

3. Что является объектом процесса обучения математики?

4. Перечислите науки с которыми связана МПМ.


ПУ

Тема 2. Содержание и методы начального обучения математике

Вопросы

1. Цели начального обучения математике.

2.Методы обучения математике.

3.Предматематическая подготовка детей дошкольного возраста.

4.Содержание начального курса математики.


1. Цели начального обучения математике.

Начальное обучение математике является, с одной стороны, составной

частью общего начального обучения, а с другой – основой для дальнейшего

обучения математики и других дисциплин. Через начальное обучение

математике происходит первичное усвоение количественных отношений и

пространственных форм окружающего мира, вырабатываются умения

применять анализ, синтез, аналогию, обобщение и т.д. Обучение математике

не только приучает точно выполнять разнообразные алгоритмы, но и

формирует общие приемы поисковой деятельности, развивает гибкость и

критичность мышления, учит прогнозировать и оценивать свои действия.

Сформулируем основные цели начального обучения математике:

овладение математическими знаниями, которые необходимы для

практической деятельности, изучения других дисциплин и

продолжения образования;

развитие умений и навыков, необходимых не только для

математической деятельности, но и для полноценной жизни в

обществе;

выработка правильных представлений о возможностях математики в

познании и описании действительности;

воспитание таких качеств личности, как целеустремленность,

настойчивость в преодолении трудностей, самостоятельность,

критичность и вариативность мышления.

Материал подготовлен по источнику:

1. Учебные программы для общеобразовательных учреждений с

русским языком обучения. I – IY классы. Минск: национальный

институт образования, 2012.

2. методы обучения математике.

Метод обучения – это упорядоченные способы взаимосвязанной


ПУ

деятельности учителя и учащихся, направленные на достижение целей

обучения как средства образования и воспитания.

Рассмотрим следующие методы:

анализ и синтез; сравнение; классификацию; обобщение.

1. Анализ и синтез.

Анализ и синтез являются важнейшими мыслительными

операциями.

Анализ связан с выделением элементов данного объекта, его признаков

или свойств. Синтез – это соединение различных элементов, сторон объекта в

единое целое.

Способность к аналитико-синтетической деятельности находит свое

отражение не только в умении выделять элементы того или иного объекта,

его различные признаки или соединять элементы в единое целое, но и в

умении включать их в новые связи, увидеть новые функции.

Формирование этих умений может способствовать:

а) рассмотрение данного объекта с точки зрения различных понятий;

б) постановка различных заданий к данному математическому объекту.

Например;

1) Прочитайте по-разному выражение: 16 – 5.

2) По какому правилу записан каждый ряд чисел:

90, 80, 70, …

20, 50, 30, 60, 40, 70, …

2, 4, 6, 8, …

3) Как по-разному можно назвать квадрат?

4) Расположи числа в порядке возрастания.

5) Подбери пары чисел, разность которых равна 10.

Ценность приведенных упражнений в том, что:

- они помогают постепенно овладевать важнейшим механизмом мышления –

анализ через синтез, а также различными приемами учебной деятельности;

- их выполнение способствует развитию мышления учащихся (гибкость,

умение видеть объект в разных качествах и отношениях);

-они обеспечивают преемственность в обучении математике школьников

начальных и старших классов.

2. Сравнение.

Особую роль в организации продуктивной деятельности играет прием

сравнения. Формирование умения пользоваться этим приемом следует

осуществлять поэтапно, в тесной связи с изучением конкретного содержания:

- выделение признаков или свойств одного объекта;

- установление сходства и различия между признаками двух объектов;


ПУ

- выявление сходства между признакам трех, четырех и более объектов.

Например,

1. Прочитать числа: 22, 88, 33, …

В чем сходство? Запиши числа в порядке возрастания.

2. Поставь знаки < или >, чтобы получились верные неравенства:

6 + 3 … 10; 6 + 6 … 10,

5 + 4 … 10, 4 + 9 … 10.

Чем похожи неравенства первого столбика? Второго столбика?

3. В чем сходство и различие текстов задач?

- Коля поймал 2 рыбки, Петя – 6. На сколько больше поймал рыбок

Петя, чем Коля?

- Коля поймал 2 рыбки, Петя – 6. Во сколько раз больше поймал рыбок

Петя, чем Коля?

В обучении большую роль отводится выражениям, которые связаны с

переводом предметных действий на язык математики. В этих упражнениях

обычно соотносятся предметные объекты и символические. Например,

а) Какому рисунку соответствуют записи 3 2, 3 + 2?

б) Выполни рисунки, соответствующие данным записям:

3 2, 4 2 + 4 3, 3 + 7.

Показатель сформированности приема сравнения – умение детей

самостоятельно использовать его для решения различных задач, без

указания: сравни …, укажи признаки …, в чем сходство и различие … .

Например,

1) Убери лишний предмет …

2) Расположи числа в порядке возрастания: 15, 13, 18, 23, … .

3) Продолжи ряд чисел: 12, 23, 34, 45, 56, …


ПУ

3. Классификация.

Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними

сходство и различие – основа приема классификации. Предлагая задания на

классификацию необходимо выполнять условия:

1) ни одно из подмножеств не пусто;

2) подмножества попарно не пересекаются;

3) объединение всех подмножеств составляет данное множество.

Например,

1. Разбейте данные числа на две группы, чтобы в каждой оказались

похожие числа:

а) 33, 84, 75, 22, 13, 11, 44, 53; б) 91, 81, 82, 95, 87, 94, 85.

2. Разбейте данные выражения на две группы по какому-то признаку:

34 + 9, 45 + 20, 67 + 30, 65 + 9, 63 + 7, 26 + 7.

3. Убери «лишнюю» фигуру. Чем похожи все остальные фигуры? Как

можно назвать все эти фигуры? Разбей четырехугольники: а) с двумя

прямыми углами; б) с тремя прямыми углами; в) с четырьмя прямыми

углами.

4. Какая пара «лишняя»?

2 и 12, 1 и 11, 6 и 16, 8 и 18, 7 и 17,

4 и 14, 3 и 13, 5 и 15, 10 и 20, 9 и 19.

4. Аналогия.

Понятие «аналогия» - сходство в каком-либо отношении между

предметами, явлениями, понятиями, способами действий.

Для правильного умозаключения по аналогии необходимо выделить

существенные признаки объектов, в противном случае вывод может

оказаться неверным. Например, перенос способа умножения числа на сумму

при умножении числа на произведение.

Для использования аналогии необходимо иметь два объекта, один из которых

известен, второй сравнивается с ним по каким-либо признакам.

Например,

1. Найдите значения выражений:


ПУ

3 + 6 и 6 + 3; 7 + 4 и 4 + 7.

Каким свойством пользовались при выполнении задания? Можно ли

использовать переместительное свойство для умножения?

2. По какому правилу составлен каждый ряд чисел?

90, 70, 80, 60, 70, 50, 60, 40, 50, …

20, 50. 30, 60, 40, 70, 50, 80, 60, …

Запиши свой ряд чисел, используя это правило.

3. Составь и запиши 3 выражения к данному рисунку:

5. Обобщение.

Выделение существенных признаков математических объектов, их

свойств и отношений – основная характеристика приема обобщения.

Например,

1. Найди значение произведения, заменив сложением:

3 2

2 3

Чем похожи и чем отличаются равенства в каждом столбике? Если

множители переставить, то что можно сказать о произведении? Сделайте

вывод.

2. Сравни выражения, найдите общее в полученных неравенствах и

сделайте вывод:

2 + 3 … 2 3 3 + 4 … 3 4

Можно сделать вывод, что сумма последовательных чисел всегда меньше

произведения этих чисел. Однако, 0 + 1 … 0 1 и 1 + 2 … 1 2.

Отсюда вывод: сумма двух последовательных чисел, начиная с числа 2,

всегда меньше произведения этих чисел.

3. Проверь, будет ли делиться каждое слагаемое на число 2, и сделай

вывод:

(2 + 4) : 2 = 3 (4 + 4) : 2 = 4

(6 + 2) : 2 = 4 96 + 8) : 2 = 7

(8 + 10) : 2 = 9

Вывод: сумма делится на 2, если каждое слагаемое тоже делится на 2.


ПУ

3. Предматематическая подготовка детей дошкольного возраста.

Дети, пришедшие в первый класс из детского сада, должны иметь такую

подготовку:

1. Свойства предметов (цвет, размер, расположение, материал).

Геометрические фигуры (круг, многоугольники: треугольник,

четырехугольник, пятиугольник).

2. Взаимное расположение предметов в пространстве (наверху, внизу, слева,

справа, перед, за, один за другим, рядом, внутри, вне…). Направление

движения: (направо, налево, вперед…).

3. Сравнение предметов и величин по их свойствам (левее, правее, выше,

ниже, короче, длиннее, шире, уже, тоньше, раньше, сначала, потом, до,

после, быстрее, медленнее…).

4. Множества предметов. Множество и его элементы. Умение указать один,

каждый, все элементы. Выделение части множества. Сравнение множеств,

отношения «больше», «равно», «меньше» из соответствия элементов

множеств.

5. Число. Счет предметов. Геометрические фигуры. Название и чтение чисел

в прямом и обратном порядке в пределах 5, начиная с любого числа.

Сравнение чисел. Изображение и различие прямой и кривой линии.

4. Содержание начального курса математики.

В содержание начального курса математики традиционно включается:

Арифметический материал

Он занимает центральное место в программе начального обучения

математике. Его целью является знакомство с понятием числа – целыми

неотрицательными числами и дробями.

Из двух возможных подходов к определению понятия целого

неотрицательного числа (теоретико-множественного и аксиоматического) в

начальных классах актуален первый. Понятие числа вводится через изучение

свойств конечных множеств.

Арифметический материал затрагивает вопросы:

А) нумерация чисел

Б) арифметические действия (сложение и умножение – всегда выполнимы на

множестве целых неотрицательных чисел, вычитание и деление – частично

выполнимы).

В) сравнение чисел и выражений (установление отношений порядка)


ПУ

Геометрический материал

Начальный курс математики предусматривает знакомство с некоторыми

основными геометрическими фигурами. Причем в данном случае термин

«основные» имеет смысл, отличный от того, который вкладывается в него

в старшей школе при изучении систематического курса геометрии. Там

основными являются неопределяемые понятия, являющиеся базой

аксиоматической теории.

В нашем контексте под основными понятиями будем иметь в виду

геометрические фигуры, аналоги которых широко представлены в

окружающей действительности. К ним можно отнести:

Точка

Прямая

Кривая

Ломаная

Отрезок

Угол

Многоугольник (прямоугольник, квадрат, треугольник и т.д.)

Элементы многоугольников (вершины, стороны, углы)

Окружность

Круг

В ознакомительном плане можно показать прямоугольный параллелепипед,

куб, конус (эти фигуры были включены в программу МПМ до 60-х гг 20 в.)

Изучение геометрического материала тесно связано с арифметикой и

величинами. Например, одной из моделей понятия «десяток» является

отрезок длиной 10 см.

Особенностью изучения геометрического материала является то, что

программой не предусмотрено раскрытие логических связей между

геометрическими понятиями (родо-видовых отношений), вследствие чего от

детей не требуется знание определений (за исключением квадрата и

прямоугольника). Содержание понятий раскрывается через узнавание,

построение и эмпирическое исследование фигур. Причем, чем младше

ребенок, тем более приближенным к практической «ручной» деятельности

должна быть работа с геометрическими фигурами (исследования

А.В.Белошистой). Многие психологи (Дж. Брунер) считают, что овладение

подобной «интуитивной» геометрией в младшем возрасте является

превосходной базой для знакомства с Евклидовой геометрией в старшей

школе.


ПУ

Величины

Понятие величины и идея измерения величин раскрываются в тесной связи

с изучением всех остальных компонентов начального курса М.

В МПМ традиционно используется не очень удачный термин «именованное

число», которым обозначают значение величины после выбора некоторой

единицы измерения. Отношение понятий величина и именованное число

приблизительно соответствует соотношению понятий число и цифра.

В НШ изучаются следующие основные величины: длина, площадь, масса,

емкость, время. По отношению к ним ставится задача научить находить их

значения с помощью измерений специальными измерительными приборами.

По отношению к остальным (не основным) величинам, таким как скорость,

урожай, выработка и пр., такая задача не ставится, а их значения находятся с

помощью вычислений при решении задач.

Алгебраический материал

Изучается в связи с арифметическим и включает знакомство с

алгебраическими понятиями:

Переменная

Выражения с переменной (буквенные) и выражения без переменной

(числовые)

Уравнения (равенства с переменной) и числовые равенства

(равенства без переменной)

Неравенства с переменной и числовые неравенства (без

переменной)

Ряд упражнений и задач также направлен на знакомство с идеей

функциональной зависимости.

Современная методика предлагает расширить круг математических разделов.

Например, в отечественные учебники включены элементы комбинаторики,

логики, информатики, теории вероятности и т.п.


ПУ

Концентрический принцип структурирования

начального курса математики

Учебный материал в программе может располагаться линейно или

концентрически. Существуют и более сложные схемы – комбинированные.

Под линейным построением подразумевается такое расположение материала

в программе, которое основано на логической последовательности разделов

и принято в научных курсах. Применительно к арифметике линейное

построение было бы таким: нумерация многозначных чисел, сложение,

вычитание, умножение, деление. Так и изучали арифметику в России до

середины 19 века (учебник арифметики Л.Ф.Магницкого).

В современной начальной школе принято концентрическое построение

программы по математике: сначала изучаются числа первого десятка

(нумерация, сложение, вычитание), потом круг чисел расширяется –

изучаются числа второго десятка (нумерация, сложение, вычитание), потом –

первой сотни (нумерация, четыре арифметических действия), затем – первой

тысячи. Лишь после этого переходят к изучению нумерации и четырех

действий с многозначными числами. Такое расположение материала и

называется концентрическим, хотя правильнее было бы назвать его

спиральным: ведь на каждом новом витке изучается тот же вопрос

(например, сложение), что и ранее, но на более глубоком уровне.

Первый шаг к концентрическому построению программного материала по

арифметике был сделан И.Г.Песталоцци – он выделил для первоначального

изучения первую сотню чисел.

Глубокое переструктурирование содержания начального обучения

математике в отечественной методике связано с именем Петра Семеновича

Гурьева (1807–1884). В своей работе «Практическая арифметика» (1861) он

писал: «…чтобы идти в науке всегда в параллель с силами учащихся, следует

научить их сперва считать числа от одного до десяти, потом тотчас перейти к

сложению и вычитанию этих чисел…» «Таким образом, хотя сначала будет

пройдено мало, однако же целое, которое потом все более и более станет

развиваться не по прямой линии, а подобно концентрическим кругам,

распространяющимся от центра.»

П.С.Гурьев выделил два концентра: числа первого десятка и числа первой

сотни.


ПУ

Введение концентрического принципа расположения арифметического

материала явилось большим достижением методики арифметики и

сохранилось в школе до настоящего времени.

Можно выделить следующие основания для концентрического расположения

материала:

Психологические основания, связанные с особенностями развития

ребенка младшего возраста. Первоначальное обучение должно

учитывать те знания и умения, с которыми ребенок приходит в школу.

Поэтому не следует сразу вводить большие числа, не доступные

пониманию детей. Сначала надо обучить детей выполнять

арифметические действия над небольшими числами, когда любое

арифметическое действие можно продемонстрировать наглядно.

Математические основания, связанные с особенностями системы

счисления и правилами выполнения арифметических действий. Наша

система счисления десятичная, в основе названий многозначных чисел

лежат наименования чисел первого десятка, поэтому выделяется

концентр чисел первого десятка. Особо выделяются числа второго

десятка в связи с особенностями их устной нумерации. Далее

естественно выделяются остальные двузначные числа (концентр

«сотня»), трехзначные числа (концентр «тысяча») и многозначные

числа (при этом не выделяются концентры «миллион», «миллиард»,

поскольку понятие класса чисел, вводимое в последнем концентре,

позволяет нумеровать сколь угодно большие числа.

Методические основания, связанные с взаимообратимостью

действий. В психологии и методике признано, что уровень овладения

операциями сложения и вычитания как в практическом, так и в

умственном плане, зависит от глубины осознания ребенком факта

обратимости, взаимосвязи этих операций. Исследования Ж.Пиаже

подчеркивают, что обратимость как конкретной, так и умственной

(интериоризованной) операции является критерием ее

сформированности.

На основании осознания связи между арифметическими операциями

дети выполняют ряд вычислений. Например, вычитая из 9 число 7,

ребенок вспоминает, что 9 – это сумма 7 и 2, и если из этой суммы (9)

вычесть одно из слагаемых (7), то получится другое слагаемое (2).

Аналогично изучение умножения целесообразно связывать с

изучением деления.


ПУ

Т.о. в МПМ основными концентрами являются:

10 – нумерация однозначных чисел

табличное сложение и вычитание в пределах 10

20 – нумерация первых двузначных чисел (несоответствие устной и

письменной нумерации); понятие разряда.

табличное сложение и вычитание в пределах 20

приемы устных вычислений в пределах 20 (внетабличное сложение и

вычитание)

100 – нумерация остальных двузначных чисел (круглые десятки и

остальные двузначные числа)

приемы устных вычислений (внетабличное сложение и вычитание) в

пределах 100

табличное умножение и деление

внетабличное умножение и деление в пределах 100

письменное (в столбик) сложение и вычитание в пределах 100

1000 – нумерация трехзначных чисел (круглые сотни и остальные

трехзначные числа)

письменное сложение и вычитание в пределах 1000

письменное умножение (в столбик) и деление (углом) трехзначных

чисел

«Многозначные числа»

нумерация чисел, больших 1000. Понятие класса чисел.

Письменное сложение и вычитание многозначных чисел

Письменное умножение и деление многозначных чисел.

Следует помнить, что концентрический принцип характерен для

структурирования только арифметического материала, тогда как

алгебраический, геометрический материал и основные величины

излагаются линейно, в тесной связи с арифметическим материалом.

Начальный курс математики является органической частью школьного курса


Начальный курс математики включает в себя: арифметику целых

неотрицательных чисел и основных величин, элементы алгебры и геометрии.

Начальный курс математики имеет свои особенности.

1 особенность. Арифметический материал составляет главное


ПУ

содержание курса. Элементы алгебры и геометрии, величины не составляют

особых разделов курса математики, а органически связываются с

арифметическим материалом.

2 особенность. Материал НКМ вводится концентрически.

Рассматриваются четыре концентра: числа в пределах 10 (нумерация чисел,

цифры, действия сложения и вычитания); в пределах 100 (нумерация,

понятие разряда, позиционный принцип записи чисел, сложение, вычитание,

умножение и деление, приемы письменного сложения и вычитания), в

пределах 1000 (нумерация, три разряда, обобщение знаний об

арифметических действиях, приемы письменного умножения и деления);

многозначные числа (нумерация, два класса, обобщаются алгоритмы

письменных вычислений).

3 особенность. Вопросы теории и вопросы практического характера

органически связаны между собой. Многие вопросы теории вводятся

индуктивно, а на их основе раскрываются вопросы практического характера.

Например, дистрибутивный закон умножения относительно сложения

вводится на основе, решения задач, обобщения частных фактов, и только

после этого раскрывается прием умножения двузначного числа на

однозначное: 15 4 = (10 + 5) 4 = 10 4 + 5 4 = 60.

4 особенность. Математические понятия, свойства, закономерности

раскрываются в курсе в их взаимосвязи. Такое построении обеспечивает

более глубокое усвоение курса, т.к. учащиеся овладевают не только

отдельными вопросами, но одновременно и связями между ними. Например,

при изучении арифметических действий раскрываются их свойства, связи и

зависимости между их компонентами и результатами.

5 особенность. Курс математики строится так, чтобы в процессе

его изучения каждое понятие получило свое развитие. Например, при

изучении арифметических действий сначала раскрывается конкретный

смысл, затем свойства действий, связи меду компонентами и результатом

арифметических действий. Такой подход соответствует возрастным

особенностям младших школьников, обеспечивает доступность овладения

математическим материалом.

6 особенность. Целесообразно рассматривать в сравнении сходные

или связанные между собой вопросы. В этом случае можно выделить

существенное сходное и различное, что предотвращает ошибки, которые

допускают дети. Например, знаки + и −, сложение и вычитание, задачи на

увеличение и уменьшение числа на несколько единиц.


ПУ


1. Сформулируйте цели начального обучения математике.

2. Перечислите основные методы начального обучения математике.

3. Перечислите основные особенности начального курса математики.

4. Назовите особенности предматематической подготовки детей дошкольного

возраста.

Тема 3.1 организация и средства начального обучения математики

Вопросы

1. Урок математики.

2.Внеурочная работа с учащимися.


1. Урок математики

Урок как основная форма организации обучения математике.

Требования к уроку математики. Особенности структуры урока математики.

Основной тип урока математики – комбинированный урок. Объем каждого

вида работы. Структурные элементы урока (организационный момент,

проверка домашнего задания, устный счет, работа над новым материалом,

закрепление изученного материала, самостоятельная работа, итого урока,

рефлексия).

Определение целей урока

Цель урока определяет решение всех остальных вопросов, связанных с

организацией и проведением урока, т.е. ориентирует на отбор определенного

содержания, позволяет уточнить структуру урока, выбрать

предпочтительные методы и методические приемы.

Основные цели урока определяются при составлении тематического

планирования и написании учебников и учебных пособий авторами. Поэтому

учителю полезно познакомиться с тем, как обозначены цели уроков в

пособии для учителей. Тем не менее, учитель должен уметь вносить в цели

урока, предлагаемые в пособиях, свои коррективы, или самостоятельно

формулировать цели к уроку.

Учителю чаще всего приходится намечать не одну определенную цель, а

иметь в виду несколько (2-5) основных целей, которые должны быть

достигнуты на уроке. Это связано с тем, что:

А) на уроках математики в НШ арифметический материал рассматривается

вместе с алгебраическим, геометрическим материалом и величинами;

Б) теоретические и практические вопросы рассматриваются во взаимосвязи.


ПУ

Отсюда существенной является проблема выделения тех вопросов, которые

являются основными на данном этапе обучения. Причем, как правило,

преследуются следующие цели: по отношению к одному материалу ведется

подготовительная работа, по отношению к другому (новому) – ознакомление

с ним и первичное закрепление, по отношению к третьему (ранее

пройденному) – закрепление и обобщение материала.

Наряду с этими основными целями урока, определяющими его место и

значение в системе уроков математики, на уроке могут быть рассмотрены и

другие вопросы, связанные с закреплением пройденного, но это – резервный

материал, не относящийся к основным задачам урока. В качестве примера

покажем систему целей для одного из уроков математики 1 класса:

1. Познакомить с приемом прибавления однозначного числа к

двузначному некруглому числу без перехода через разрядную

единицу (новый материал).

2. Закреплять умение складывать и вычитать с основой на знании

нумерации двузначных чисел (ранее изученное).

3. Готовить к знакомству с задачами на движение (перспективный

материал).

Естественно, помимо этих основных целей на уроке могут решаться

составные задачи, задачи на смекалку, разбираться геометрический и

алгебраический материал и т.п.

Сказанное также не означает, что на каждом уроке обязательно должны быть

все названные линии (текущая, перспективная и закрепляющая). К примеру,

ряд уроков может не предусматривать работу над материалом, который будет

вводится позднее. Возможна ситуация, когда одной основной цели

подчиняются несколько уроков. Главное, чтобы сформулированные цели

определяли роль и место данного урока в системе уроков математики по

данной теме.

Типы и структура уроков математики в начальных классах.

Принимая во внимание логику учебного процесса и основные

дидактические цели, можно выделить такие типы уроков математики в

начальных классах:

А) урок изучения нового материала – здесь изучение нового является

основной дидактической целью урока, новому материалу отводится большая

часть времени, а другие структурные части урока тоже подчинены изучению

нового;

Б) урок закрепления знаний, умений и навыков;

В) урок контроля и проверки знаний, умений и навыков;


ПУ

Г) комбинированный урок – урок, имеющий несколько равноправных

дидактических целей, на котором один материал изучается впервые, другой –

повторяется и закрепляется.

Наиболее распространены в НШ комбинированные уроки, что объясняется

особенностями мыслительной деятельности детей младшего возраста, а

также спецификой построения начального курса математики.

Структурные части уроков математики сложились под воздействием разных

факторов: это и установившиеся традиции, исторический и современный

опыт, и логика самого процесса усвоения знаний, и особенности изучаемого

предмета. Так, устный счет как структурная часть урока с одной стороны,

уже традиция, а с другой стороны, обуславливается спецификой предмета.

Рассмотрим возможную структуру комбинированного урока:

А) оргмомент

Б) проверка д.з.

В) устный счет

Г) работа над пройденным материалом

Д) работа над новым материалом

Е) итог урока, д.з.

Возможен иной порядок структурных частей урока, например вначале

изучается новый материал, а потом закрепляется ранее пройденный.

На данном уроке учитель тратит приблизительно одинаковое время на

работу над пройденным материалом и на изучение нового материала.

Структура уроков изучения нового материала:




Г) повторение материала, необходимого для усвоения новых знаний

Д) работа над новым материалом

ознакомление с новым материалом

первичное закрепление нового материала

самостоятельная работа по новому материалу

Е) итог урока, д.з.

При этом повторение материала, необходимого для изучения нового,

может не выноситься в отдельную структурную часть (Г), а проводится в

течение проверки д.з. или устного счета.

Структура уроков закрепления знаний следующая:


ПУ




Г) воспроизведение знаний, умений и навыков, которые понадобятся для

выполнения заданий

Д) самостоятельное выполнение заданий

Е) проверка с.р.

Ж) итог урока, д.з.

Уроки проверки и контроля знаний, умений и навыков направлены на

устную или письменную проверку усвоенного материала. Структура

уроков, где осуществляется письменная проверка знаний, такова:

А) сообщение цели урока, ознакомление с содержанием контрольной

работы, краткая инструкция о порядке ее выполнения;

Б) самостоятельная работа учащихся (15-30 мин.)

В) сбор работ учащихся (за 3-5 минут до окончания работы учитель

предупреждает о необходимости окончания работы)

При этом следующий урок посвящается анализу типичных ошибок.

Если проверка проводилась в устной форме (опрос большого числа

учащихся), то учитель дает краткую характеристику ответам, намечает

пути преодоления недостатков, оценивает ответы (непосредственно после

ответа или в конце урока). Причем для оценивания в конце урока следует

наметить не более 2-3 учащихся, а остальных оценивать за отдельные виды

работы ходе урока.

Краткая характеристика основных этапов комбинированного урока

Проверка д.з.

Не обязательный этап урока.

+ и – на доске.

Целесообразность этого этапа (когда уместно) – на доске.

Формы проведения – подготовить к п.з.

Устный счет

Этот этап урока с одной стороны является данью традиции, с другой

стороны – чем-то вроде интеллектуальной разминки, которая настраивает

детей на рабочий лад, на занятия математикой.

Название этапа не следует воспринимать буквально и проводить его

исключительно в устной форме. Более того, проведение всего этапа в

устной форме, с опорой только на слух, приводит к тому, что:

А) дети крайне быстро утомляются


ПУ

Б) дети с преимущественно зрительной памятью и визуальным мышлением

(а их, как считают психологи, большинство) перестают активно работать.

Оправдали себя следующие формы сочетания слуховой и зрительной

(образной) информации:

1. задание и ответ формулируются устно

2. задание предлагается в письменной форме (на доске, таблице,

карточках), а процедура вычисления и ответ – устно

3. задание предлагается в устной форме, а ответ дается письменно (в

тетради, на карточках)

4. и задание, и ответ предлагаются письменно (доска, тетрадь,

карточки).

Последние две формы обеспечивают активное участие большинства детей

в работе, т.к. каждый должен записать полученный ответ.

Чем старше класс, тем больше заданий для счета дается в письменной

форме, т.к. детям приходится запоминать большие числа.

Если на устном счете решается текстовая задача, полезно записывать на

доске ее числовые данные, поскольку детям важнее запомнить условие.

Работа над новым материалом

На нее на комбинированном уроке обычно отводится 10-15 минут урока.

Работа над новым материалом чаще всего проводится по следующей

схеме:

1. Подготовительная работа к введению нового материала (м.б.

совмещена с проверкой д.з. или устным счетом)

2. Ознакомление с новым материалом:

А) устные упражнения и практические работы (чаще в 0-1 классе)

И/Или

фронтальная беседа и иллюстрация нового приема на доске (чаще во

2-3 классе)

Б) работа с учебником (разбор задания, посвященного введению

нового материала)

3. Закрепление нового материала.

А) первичное закрепление нового (1-2 сильных ученика у доски с

подробным пояснением)

Б) самостоятельная работа по новому материалу (1-2 задания)

Работа над пройденным материалом

Основная цель этого этапа урока – закрепление и совершенствование

усвоенных знаний и умений на максимально высоком для каждого ученика

уровне. Поэтому особое значение приобретают самостоятельная работа


ПУ

учащихся и дифференциация обучения. Пожалуй, это единственный этап

урока, где дифференциация обучения и выработка умения работать

самостоятельно являются реально достижимыми целями обучения.

Особенности организации самостоятельной работы.

Самостоятельная работа зависит от цели и содержания урока, может быть

различной продолжительности и, в принципе, проведена на любом этапе

урока (предпочтительнее на этапе работы с пройденным материалом). На

одном уроке чаще проводят 2-3 самостоятельные работы, причем одну из

них предпочтительнее проводить в конце урока. Содержание

самостоятельной работы может быть различное: первичное закрепление

нового материала, обобщение ранее пройденного, отработка

вычислительных приемов, создание проблемной ситуации и т.п.)

Предлагается следующая последовательность формирования умения

самостоятельно работать:

1) задание подробно объясняется и записывается на доске, после чего

оно записывается в тетрадь (в классе или дома)

2) задание подробно объясняется, но не записывается. Дети

записывают его самостоятельно (в классе или дома)

3) дети выполняют задание полностью самостоятельно, указывается

только его номер в учебнике (или запись на доске)

Самостоятельная работа на уроке предусматривает обязательную ее

проверку:

А) если работа проводилась с целью первичного закрепления нового

материала, то проверка проводится вслух, чтобы изучаемое правило было

еще раз повторено в ходе проверки;

Б) если работа была направлена на решение знакомых задач, то для

проверки достаточно выяснить, какое выражение (действия) составлено и

поставить 2-3 контролирующих вопроса для уточнения осознанности

выбора действия (чаще к ученикам, в знании которых учитель

сомневается);

В) если работа отрабатывала усвоенные ранее вычислительные приемы,

носила тренировочный характер, то можно ограничиться беглым

просмотром тетрадей с целью выяснения факта ее выполнения, а

непосредственно проверку решения совместить с проверкой тетрадей.

В ходе самостоятельной работы можно реализовать дифференциацию и

индивидуализацию обучения:

А) предлагая разным группам учащихся (или отдельным ученикам)

различные задания;

Б) предлагая более слабым группам учащихся (или отдельным ученикам)

дополнительную информацию в виде схем, вопросов, выражений,


ПУ

помогающую решить задание, предложенное классу.

В) предлагая более сильным группам учащихся (или отдельным ученикам)

дополнительные вопросы к тому же заданию.

Домашнее задание

Одним из типичных недостатков является перегрузка учащихся

домашними заданиями за счет:

А) большого объема заданий. Избегая этого, следует предлагать на дом

задание, на выполнение которого требуется не более 20-30 минут времени.

Б) сложности заданий (объективная характеристика). Решая эту проблему,

следует предлагать на дом задания, аналогичные тем, которые решались в

классе.

В) трудности заданий (субъективная характеристика). В связи с этим

можно дифференцировать домашние задания. Например, отдельным

сильным ученикам предложить задания «со звездочкой», или

дополнительную творческую работу над решенной задачей. Слабым

ученикам можно уменьшить объем задания, предложить задание менее

сложное или дать дополнительные пояснения в виде схем, записей,

вопросов и т.п.

2. Внеурочная работа с учащимися

Внеурочная работа, направленная на ликвидацию пробелов в знаниях

учащихся. Внеклассная работа, направленная на углубление знаний

учащихся по математике (математический кружок, математический уголок,

конкурсы, викторины, олимпиады и т.д.).

1. Внеурочная работа, направленная на ликвидацию пробелов в знаниях

учащихся.

Неудовлетворительное усвоение учащимися программного материала

может объясняться различными причинами: пропусками уроков по болезни,

индивидуальными особенностями восприятия и запоминания учебного

материала и т.д. Цель проведения таких занятий – ликвидировать пробелы в

знаниях учащихся, а так же предварительно подготовить учеников к

изучению наиболее важных и сложных тем программы. Внеурочная работа с

такими учащимися может иметь различные формы и носить индивидуальный

характер. В индивидуальной беседе учитель может выяснить характер

затруднений, которые испытывает ученик при изучении программного

материала, а это должно позволить учителю скорректировать методику

индивидуальных занятий. В то же время учитель должен учитывать и

наиболее важные характеристики мышления школьников.


ПУ

1. Возможно, что у ученика конкретно-образное мышление развито больше,

чем у его одноклассников, поэтому он нуждается в большей степени в

наглядном представлении учебного материала.

2. Возможно, что темп усвоения нового материала у ученика ниже, чем в

целом у класса, поэтому учитель еще раз в доступной форме объясняет

ученику учебный материал, добавляя еще другие примеры.

3. Возможно, что недостаточное усвоение нового материала некоторыми

учащимися заключается в индивидуальных особенностях и необходимо

выполнить гораздо больше упражнений для того, чтобы усвоить

необходимый материал.

Внеурочную работу с учащимися полезно дополнять индивидуальными

карточками, дополнительными домашними заданиями и опираться на

помощь родителей. Особо следует учитывать, что внеурочные занятия с

отстающими учениками является дополнительной нагрузкой на учащихся.

2. Внеклассная работа, направленная на углубление знаний по

математике.

На лекции рассмотрим одну из форм внеклассной работы,

направленной на углубление знаний по математике – математический

кружок, который является одной из наиболее действенных и эффективных

форм внеклассной работы. В основе кружковой работы должен лежать

принцип добровольности. Программа работы математического кружка может

иметь разную направленность. Например, на занятиях кружка

рассматриваются задания, аналогичные темам, которые выполняются на

уроках, но более сложные; полезные, но не изучающиеся на уроках частные

приемы устного и письменного выполнения арифметических действий,

другие способы решения задач; вопросы, выходящие за рамки учебной

программы. Кружок – групповое занятие. Продолжить занятия 35 – 50 мин.

Большое место в работе кружка могут занимать дидактические игры.

Большой интерес вызывают у учащихся и другие способы внеурочной

работы: математические конкурсы, викторины, олимпиады, утренники,

смотры-конкурсы знаний по математике и т.д. С необходимым материалом,

опытом работы и методикой проведения можно познакомиться в

публикациях журнала «Пачатковая школа».


1. Назовите некоторые подходы к построению уроков математики

2. На каких аспектах урока следует сосредоточить внимание, анализируя его

с методической точки зрения?

3. Какие формы внеклассной работы, Вы можете привести?


ПУ

Тема 3.2. Организация и средства начального обучения математики

Вопросы

1. Учебники и учебно-методические комплексы.

2.Дидактические материалы.

3.Наглядные пособия.


1. Учебники и учебно-методические комплексы

Из изучения дисциплин педагогики известны основные принципы

построения учебников для начальной школы, общие требования, которым

должны удовлетворять их содержание и структура.

Учебник во все времена являлся не только важнейшим компонентом в

триаде «учитель – ученик – учебник», но и эффективным средством

реализации в практику школьного обучения актуальных научно-

методических идей. Пожалуй, лучше всего об этом было сказано в книге

«Теория учебника» В.П. Беспалько. Автор пишет: «Педагогическая наука

имеет только два выхода в практику: либо через деятельность учителя (если

он эту науку усвоил), либо через учебник (если он построен на ее основе).

Мобильность учителя в освоении педагогической науки и претворении ее в

практику минимальна: существует мнение, что для освоения новой методики

преподавания учителю требуется от 5 до 7 лет работы. Следовательно,

основной выход науки в практику – через учебник и методику его

построения».

Поскольку речь идет об обучении детей 6-летнего возраста, будет уместным

начать с принципа наглядности обучения.

Принцип наглядности

Наше понимание принципа наглядности для обучения детей младшего

школьного возраста требует уточнить его формулировку: не просто принцип

наглядности, а принцип сочетания «внешней» и «внутренней» наглядности.

В соответствии с этим принципом ребенку нужно предлагать не только

наглядность, отображающую внешнюю, конкретную сторону изучаемых

понятий и явлений, но и наглядность особого рода - ту специфическую

«внутреннюю» наглядность, которая ясно представляет ребенку

существенные, часто скрытые при непосредственном наблюдении черты в

исследуемых объектах. Инструментом такой «внутренней» наглядности

являются учебные модели. И вводим мы эти учебные средства – модели -

последовательно и систематически, сообразно умственным силам и


ПУ

возможностям первоклассника. Например, уже в ходе подготовки к введению

простой задачи дети упражняются не только в составлении «математических

рассказов» по сюжетным иллюстрациям, но и в выборе и даже

самостоятельном составлении схемы из геометрических фигур,

соответствующей рисунку. Пример подобного задания, где ребенок должен

выбрать схему, подходящую к рисунку, представлен на рис. 1.

Рис. 1. Пример задания на выбор схемы, соответствующей сюжетной

иллюстрации.

Принципы научности и доступности

Метод учебного моделирования, взятый нами за основу, позволяет в полной

мере реализовать в обучении детей оба эти принципа. Согласимся,

обеспечить сочетание научности введения понятий с одной стороны, и

понятности, ясности того «языка», на котором учебник «говорит» с детьми

при ознакомлении с этими понятиями, с другой стороны, – это очень

ответственная и непростая методическая задача. Однако именно учебная

модель соединяет в себе два этих начала: она наглядна, легко

воспринимается органами чувств ребенка, позволяет не только наблюдать, но

и действовать практически – и по этой причине математические понятия,

имеющие абстрактный характер, становятся для ребенка доступными и

ясными. Ведь, будучи представлены в модели, объекты изучения делаются

как бы «прозрачными»! С другой стороны, поскольку наглядной фиксации

подлежат именно существенные, наиважнейшие в научном плане свойства,

мы помогаем ребенку делать пусть наипростейшие, но верные

теоретические обобщения.

Например, при изучении нового типа простой задачи на увеличение числа на

несколько единиц мы предлагаем ребенку сравнить две похожие по внешним

признакам (сюжету условия) задачи, но разные с точки зрения их структуры.

Использование учебных моделей в виде схем позволяет ребенку

Лена купила 5 открыток, а конвертов – на 1 больше. Сколько конвертов купила Лена?

У Лены было 5 конвертов, а потом их стало на 1 больше. Сколько конвертов стало у Лены?


ПУ

быстрее «схватить» то отношение, по которому эти задачи отличаются (рис.

2).

Рис. 2. Пример задания на сравнение двух задач

Принцип сознательности и активности

Реализация этих важнейших дидактических принципов требует

использования такой методики обучения математике, которая направлена на

активизацию действий (как умственных, так и практических) самого ребенка

при изучении математических понятий. Работа с учебными моделями

обязательно включает в себя активные действия первоклассника по выбору,

построению или преобразованию самой модели в целях поиска решения

учебной задачи. В нашем учебнике используются, например, следующие

группы заданий: задания на объяснение модели, задания на выбор модели,

задания на построение модели, задания на преобразование модели.

Приведем примеры заданий на объяснение модели.

А) задания на объяснение модели в рамках содержательной линии

«текстовые арифметические задачи»:

- ребенку нужно объяснить схему (дать ответ на вопрос «почему схема

подходит?), предложенную в учебнике к сюжетной иллюстрации, тексту

задачи, числовому выражению или равенству;

- «обратные» задания на объяснение сюжетной иллюстрации, текста задачи

или выражения, соответствующего предложенной схеме(дать ответ,

например, на такой вопрос «почему рисунок подходит?).

Приведем примеры заданий на выбор модели.

А) задания на выбор модели в рамках содержательной линии «текстовые

арифметические задачи»:

- ребенку нужно выбрать схему, соответствующую сюжетной иллюстрации,

тексту задачи, числовому выражению или равенству;

- «обратные» задания на выбор сюжетной иллюстрации, текста задачи или

выражения, соответствующего предложенной схеме.

Б) задания на выбор модели в рамках содержательной линии «арифметика

целых неотрицательных чисел»:

Было – 5 конвертов

Стало - ?, на 1 больше

Открыток – 5

Конвертов - ?, на 1 больше


ПУ

- ребенку нужно выбрать число или числовое выражение, соответствующее

изображению, представленному на модели (в виде абака, «числовой фигуры»

и др.)

- обратные задания, где ребенку нужно подобрать к числу соответствующее

схематическое изображение на абаке.

Приведем примеры заданий на построение модели.

Б) задания на построение модели в рамках содержательной линии «текстовые

арифметические задачи»:

- ребенку предлагается самостоятельно выполнить на парте из

геометрических фигур схему к представленному в рисунке или с помощью

текста сюжету

- обратные задания, где ребенку нужно придумать и выполнить схему из

геометрических фигур на парте, а потом составить по ней «математический

рассказ».

Приведем примеры заданий на преобразование модели.

Б) задания на преобразование модели в рамках содержательной линии

«текстовые арифметические задачи»:

- сначала вносятся изменения в сюжетную иллюстрацию или текст задачи, а

потом ребенку предлагается изменить схему так, чтобы она соответствовала

измененному сюжету задачи.

- обратные задания, где ребенок сам вносит изменения в схему, а потом

предлагаются сюжеты задач, соответствующие измененной модели

Как видно, в нашем УМК ребенок постоянно выполняет практические

действия с наглядностью разного вида – как «внешней», так и «внутренней»,

и эти практические действия действительно являются основой для

последующей интериоризации действий, т.е. переводу их в мысленный план.

Принцип систематичности и последовательности

Это действительно последний по очереди из принципов, рассматриваемых

нами в этой статье, но далеко не последний по значимости принцип

обучения.

В новом учебнике этому принципу подчинена вся логика изложения

учебного материала. Темы, которые требуется рассмотреть в соответствии с

действующей программой по учебному предмету «математика»,

представлены в тесной взаимосвязи, следуя известному и до наших времен

актуальному правилу «от простого – к сложному».

Покажем это на примере ознакомления с задачей на увеличение числа на

несколько единиц с помощью учебного моделирования.

1 этап. Подготовка к введению задачи.


ПУ

Детям предлагается рассмотреть сюжетные иллюстрации и схемы,

которые моделируют процесс увеличения числа на несколько единиц

(например, рис. 3).

Рис. 3. Пример задания на подготовку к введению задачи на увеличение

числа на несколько единиц.

После анализа сюжетного рисунка и схемы вводятся слова,

обозначающие выявленные отношения между двумя множествами: «на два

больше», «столько же и еще два».

2 этап. Ознакомление с задачей.

Детям предлагается сразу несколько моделей задачной ситуации:

текстовая модель (условие и требование задачи в словесной форме или в

словесной форме с опорными рисунками), предметная модель (сюжетная

иллюстрация), краткая запись текста задачи и схема (рис. 4).

Было 3 ,

а на 2 больше.

Сколько было ?

На два больше.

Рис.

Столько же и еще два.

– 3

- ?, на 2 больше

Столько же и еще два


ПУ

Рис. 4. Пример задания на ознакомление с текстовой задачей на увеличение

числа на несколько единиц.

Поскольку процесс решения задачи в соответствии с концепцией

учебника – это процесс последовательной работы с серией различных

учебных моделей, то переход к математической модели – записи решения

задачи в виде равенства 3 + 2 = 5 – полностью осознается ребенком,

поскольку основан на понимании смысла выполняемых преобразований, что

было обеспечено использованием в сочетании «внешней» и «внутренней»

наглядности.

Учебно-методические комплексы.

Результативность обучения в значительной степени зависит качества

учебно-методических комплексов, используемых в учебном процессе. В

УМК входят: учебное пособие, сборник задач, дидактические материалы и

тесты, рабочая тетрадь (практикум) и учебно-методическое пособие для

учителей.

УМК по математике являются основными средствами обучения в

целостной системе школьного математического образования Республики

Беларусь. Реализация в УМК всех требуемых функций должна быть

направлена на все многообразие задач, решаемых в учебно-воспитательном

процессе. Вместе с тем в УМК должны отражаться две основные

составляющие обучения – содержательная и процессуальная. Поэтому

частнопредметные показатели, характеризующие УМК мы можем разделить

на теоретические (Т) и практические (П). Например, приведем следующий

перечень частнопредметных показателей:

Т1 – соответствие структуры, информационного объема представления

теоретического содержания возрастным и психологическим

особенностям восприятия ;

Т2 – соответствие форм и уровня абстрактности предъявления новой

учебной информации психологическим законам усвоения данного

возраста учащихся;

Т3 – постепенное усложнение изложения теоретического материала, уровня

его абстрагирования, доказательности;

Т4 – достаточное демонстрационное сопровождение изложения

теоретического материала; наличие и достаточность вопросов и

заданий для воспроизведения новых знаний, самостоятельного поиска

ответов в объяснительном тексте, самоконтроля степени усвоения

нового теоретического материала;


ПУ

Т5 – наличие в объяснительных текстах обобщений, описаний общих

подходов и методов применения теории, алгоритмов учебной

деятельности по решению отдельных видов математических задач,

условий для формирования алгоритмической культуры;

Т6 – наличие условий для формирования и развития языка и аппарата

математики;

Т7 – наличие возможностей организации самостоятельной познавательной

деятельности учащихся на всех этапах усвоения теоретического

материала;

П1 – обеспеченность каждой единицы учебной информации системой

упражнений, необходимой для формирования понятий, для овладения

новой терминологией, для получения, распознавания, воспроизведения,

осмысления и усвоения нового знания;

П2 – наличие учебных заданий, развивающих теоретические представления

учащихся, нацеленных на получение дополнительных свойств

изучаемых понятий, их конкретизацию, обобщение, классификацию,

систематизацию;

П3 – наличие и сбалансированность учебных заданий, соответствующих

различным видам учебной деятельности;

П4 – достаточность и сбалансированность учебных заданий,

соответствующих различным уровням усвоения нового материала по

каждой теме;

П5 – достаточность параллельных учебных заданий по каждой теме;

П6 – наличие учебных заданий, реализующих взаимодействие новых

понятий с ранее изученным учебным материалом;

П7 – наличие нестандартных по форме выполнения учебных заданий,

использование в них занимательных и познавательных сюжетов (о

здоровом образе жизни, о бережном отношении к материальным и

энергетическим ресурсам и т.д.);

П8 – наличие учебных заданий, выполнение которых формирует навыки

управления собственной учебной деятельностью, навыки проведения

учебного исследования, опыт творческой деятельности;

П9 – наличие дидактических возможностей для организации

самостоятельной учебно-познавательной учащихся на всех этапах

формирования практических умений и навыков.

Приведем показатели для оценки качества реализации одной из

содержательных линий по математике в начальных классах ―Числа и

вычисления‖:


ПУ

достаточность учебных материалов для формирования и развития

представлений о натуральных числах, о сравнении натуральных чисел,

о множестве натуральных чисел;


представлений об арифметических операциях и их свойствах, их

выполнимости на множестве натуральных чисел;


представлений об обыкновенных дробях:


вычислительных умений и навыков, в том числе с помощью приемов

самопроверки и самоконтроля;

достаточность учебных материалов для формирования прочных

навыков устных вычислений;

наличие учебных заданий обеспечивающих возможность

использования приемов рациональных вычислений, для развития

вычислительной культуры;

наличие учебного материала для обучения моделированию с

применением арифметических методов для решения текстовых задач;

достаточность и умеренность технических трудностей в системе

упражнений и задач.

2. дидактические материалы

В начальном обучении математики применяются различные

дидактические материалы: карточки с математическими заданиями, тетради с

печатной основой.

Карточки с математическими заданиями представляют собой сборники

задач и упражнений. Они дополняют учебные пособия и используются

учителем для организации индивидуальной работы с учащимися и контроля

за усвоением ими программного материала.

Тетради с печатной основой содержат упражнения, дополняющие

материал учебного пособия , который соответствует отдельным урокам.

Учащиеся могут пользоваться ими самостоятельно или с помощью учителя.

3. Наглядные пособия

Принцип наглядности является общедидактическим. Однако, в начальном

обучении математики имеет ряд особенностей. Например,

ученикам младшего школьного возраста легче усваивать учебный

материал с использованием наглядности, т.к. у них конкретно-образное


ПУ

мышление. И при изучении математики у учащихся формируется

словесно-логический тип мышления.

одна из целей математики – развитие у учащихся абстрактного

мышления. Вначале изучения математики используются натуральные

наглядные пособия (предметы из окружающего ребенка миро), потом

изобразительные наглядные пособия (образы предметов) и

символические наглядные пособия (предметы, отношения

изображаются символами – кружками, квадратами, отрезками и т.д.).

на наглядные пособия, которые используются в начальных классах,

большое влияние оказывает само содержание курса математики.

Приведем примеры наглядных пособий.

При усвоении нумерации чисел в пределах 20 и арифметических

действий с этими числами в качестве моделей используются:

Непозиционный абак и его разновидности

Непозиционные абаки позволяют моделировать число в максимально

приближенном к «реальности» виде. Для изображения единиц используются

единичные предметы, для изображения десятков – группы из десяти таких же

единичных предметов, для изображения сотен – группы из ста предметов.

Например, отдельный квадрат (круг, треугольник и др.) может обозначать

единицу, а полоска из 10 квадратов (кругов, треугольников) – десяток:

Сотня Десяток Единица

Термин «непозиционный» отражает одну специфическую черту абаков этого

вида. Поскольку в фокусе внимания при моделировании числа на этом абаке

оказывается состав числа, так сказать его «наполнение», то позиция (место),

которую занимает цифра в записи числа, оказывается несущественной

чертой, которую данный абак не отражает. Поясним сказанное на примере

изображения числа 23 разными способами на непозиционном абаке:


ПУ

Непозиционные абаки очень хорошо показывают детям, как число может

образовываться, из чего оно состоит. Поэтому эти виды абаков используются

в учебном пособии «Математика, 1 класс» на первых этапах изучения

нумерации, когда изучается нумерация чисел первого и второго десятка.

К непозиционным абакам можно отнести и другие модели, которые активно

представлены в учебном пособии. Это могут быть палочки и пучки по десять

палочек, модели в виде треугольника, на котором нарисованы десять

кружков, модели в виде карточек домино и ряд других. Например, число 23

может быть показано с помощью названных моделей следующим образом.

Заметим, что в названиях этих моделей нет единства (например, встречаются

термины «предметные модели», «образы чисел» и др.). Покажем

изображение числа 23 на таких моделях:

Числовая лесенка, лента чисел, числовой отрезок

Мы объединили данные виды моделей, поскольку у них есть одна общая

черта: они в основном моделируют последовательность натурального ряда

чисел. В учебном пособии они используются в качестве основы для

изучения табличного сложения и вычитания, а также некоторых свойств

арифметических действий. Покажем примеры применяемых в пособии

моделей для иллюстрации последовательности натурального ряда чисел:


ПУ

Числовая лесенка Лента чисел

0 1 2 3 4 5

Числовой отрезок

При организации работы над текстовой арифметической задачей в

качестве моделей в учебном пособии используются:

- изображения реальных предметов, о которых идет речь в задаче (яблоки,

птицы, конфеты и т.д.), причем количество изображений равно количеству

предметов в условии задачи, например:

- отдельные геометрические фигуры, символизирующие реальные предметы

(кружки, квадраты и т.п. ), причем количество фигур равно количеству

предметов в условии задачи, а также стрелки, показывающие способ

действия с фигурами, например:

- геометрические отрезки, разделенные на равные части по количеству

реальных предметов в задачной ситуации. Заметим, что постепенный

переход от моделирования с помощью отдельных палочек к моделированию с

помощью чертежа соответствует введению понятия «отрезок». Сначала

дети работают с моделями такого вида:

И только через несколько уроков им предлагается следующая модель:

- краткие записи условия задачи, которые сочетает в себе опорные слова

условия задачи

1 2 3 4 5 6 7 8

?

?


ПУ

и некоторые символы (например, стрелки или скобки), например:

Коля – 3 яблока

Сколько всего?

Лена – 2 яблока

Безусловно, учитель может использовать и свои модели, с помощью которых

он будет помогать ребенку решить примеры и задачи. Однако

самостоятельное конструирование учебных моделей осложнено тем, что сам

по себе язык учебного моделирования пока не разработан. В теории и

практике начального обучения математике могут встретиться разные

символы, обозначающие одно и то же явление или процесс. Например,

учителя могут использовать скобки разных форм, разные варианты кратких

записей, по-разному располагать отрезки на чертеже и т.п. В этой ситуации

важно, чтобы:

-во-первых, выбранная учителем модель отражала существенные

признаки задачи;

-во-вторых, выбранная учителем модель сочеталась с моделями,

предлагаемыми учебником, по которому работают дети, не противоречила

моделям в учебнике;

-в-третьих, чтобы модель была понятна всему классу и одинаково

воспринималась всеми учащимися – т.е. должна существовать

договоренность о значении модели внутри данной группы учащихся.


1. Назовите особенности построение учебных пособий по математике для

начальных классов.

2. Какие пособия входят в учебно-методический комплекс? Назовите

структуру и особенности их.

3. В чем состоит особенности реализации принципа наглядности при

начальном обучении математики?

4. Назовите наглядные пособия, которые используются в начальном

обучении математики.


ПУ

Тема 4. Методика изучения темы «Подготовительный период к

изучению чисел и арифметических действий»

Вопросы

1. Методика знакомства учащихся с образованием множества предметов,

обладающих общим свойством, с выделением части множества по

заданному свойству.

2. Изучение классификации предметов по одному, двум и трем свойствам.

3. Сравнение предметов по одному, двум и трем свойствам. Упорядочение

предметов во множестве, с помощью заданного отношения.

4. Методика обучения счету предметов в пределах 20. Количественный и

порядковый счет. Методика обучения сравнению численностей множеств.

Уточнение пространственных и временных представлений.

5. Система обучающих дидактических игр и методика их проведения.


1. Методика знакомства учащихся с образованием множества предметов,

обладающих общим свойством, с выделением части множества по

заданному свойству.

Методика знакомства учащихся с образованием множества предметов,

обладающих общим свойством, с выделением части множества по заданному

свойству состоит в рассмотрении различных упражнений. Например:

1.Закономерность в чередовании геометрических фигур. Свойства фигур:

цвет и форма.

1). Учитель ставит на наборное полотно геометрическую фигуру и просит

детей найти и положить такую же на парту. Называются свойства фигуры: ее

цвет и форма (жѐлтый круг). Некоторые представления о форме фигуры у

детей должны быть получены в дошкольной математической подготовке.

Предлагается положить рядом фигуру такой же формы, но другого

цвета. На наборном полотне и на партах у детей возможна, например,

такая иллюстрация:

Обсуждается, какими фигурами можно продолжить ряд, чтобы получился

―узор‖ (орнамент) из повторяющихся пар фигур. На партах и наборном

полотне выкладываются еще одна пара таких же фигур.

Ж К

Ж К Ж К


ПУ

Выясняется, сколько фигур одного цвета, сколько другого, сколько всего

фигур. Затем учитель может продолжить ряд в соответствии с

закономерностью, сопровождая добавление каждой пары фигур вопросами:

«Сколько жѐлтых (красных) кругов? Сколько всего кругов?»

2. Свойства фигур: форма и цвет.

1). Учитель выставляет на наборное полотно геометрическую фигуру и

просит детей найти и положить такую же на парту. Называются свойства

фигуры: ее цвет и форма (красный квадрат).

Предлагается положить рядом фигуру такого же цвета, но другой формы.

Выбор фигуры обсуждается. На наборном полотне и на партах у детей

появляется, например, такая иллюстрация:

Продолжить ряд нужно так, чтобы каждая следующая фигура отличалась

от предыдущих только формой. Один из возможных вариантов:

Выясняется, сколько фигур каждой формы, сколько всего фигур. Затем

предлагается под квадратом положить фигуру такого же цвета и другой

формы, под кругом – фигуру такой же формы и другого цвета и т.п.

Результат каждого действия обсуждается.

3.Свойства фигур: форма, цвет и размер.

1) Учитель выставляет серии предметов (их изображений), среди которых

один отличается по цвету (форме или размеру). Например, 3 красные и одна

белая роза; 3 картинки с изображением круглых тортов и 1 картинка с

изображением квадратного торта; 3 больших гриба и 1 маленький гриб.

Предлагается в каждом случае найти лишний предмет и обосновать выбор.

Аналогичная работа проводится с использованием дидактического

материала. Например, на доске устанавливаются несколько больших жѐлтых

треугольников и один большой жѐлтый квадрат; несколько маленьких кругов

красного и зелѐного цветов и один большой красный круг и т. п. Фигуры

К К

К К


ПУ

пересчитываются, выясняется, сколько фигур в каждом ряду, сколько фигур

определѐнного цвета, размера, формы.

2) Учитель выставляет на наборное полотно 5 картинок с изображением

объектов живой природы и 1 картинку с изображением объекта неживой

природы. Предлагается найти лишнюю картинку и убрать еѐ с наборного

полотна. Обсуждается основание классификации и образовавшиеся группы.

2) На наборное полотно выставляется 6 геометрических фигур,

отличающихся по цвету, форме и размеру. Предлагается выложить на парте

такую же цепочку. Работа сопровождается вопросами о взаимном

расположении фигур (какая фигура слева от…, какая фигура справа от…,

какая фигура между….) и вопросами о численности множеств с одним

общим свойством (сколько красных фигур, сколько квадратов, сколько

больших фигур и т.п.)

Затем учитель просит убрать лишнюю фигуру.

Обсуждаются разные решения: по признаку размера лишней фигурой

является большой красный круг, по форме – маленький красный

прямоугольник, по цвету – маленький жѐлтый квадрат. В каждом случае

выясняется характеристика образовавшихся групп с помощью отрицания

свойства: например, убрали жѐлтую фигуру, остались не жѐлтые фигуры и

т.п.

Затем, продолжая работу с 6 фигурами данного ряда, учитель предлагает

ответить на вопросы, предполагающие классификацию фигур по двум

свойствам (красные фигуры и квадраты):

- Сколько красных квадратов? (один)

- Сколько красных не квадратов? (два)

- Сколько не красных квадратов? (два)

- Сколько не красных не квадратов? (один)

2. Изучение классификации предметов по одному, двум и трем

свойствам.

З З К Ж


ПУ

Классификация предметов по одному, двум и трем свойствам изучается

на серии заданий. Например:

1) Классификация предметов по одному свойству.

1. На наборное полотно выставляется несколько почтовых открыток, которые

отличаются по форме (прямоугольные и квадратные), размеру (большие и

маленькие) и изображению (открытки с цветами к весеннему празднику и

открытки новогодней тематики).

Предлагается разделить открытки на две группы по выбранному

признаку.

Затем на наборное полотно выставляется несколько картинок с

изображением яблок. Фрукты отличаются по цвету и размеру.

На парте для обозначения яблок дети выкладывают круги

соответствующего цвета и размера.

Предлагается разделить фрукты на две группы по выбранному признаку

(например, по размеру – большие и маленькие; затем по цвету – красные и

зеленые).

3. сравнение предметов по одному, двум и трем свойствам.

Упорядочение предметов во множестве с помощью заданного

отношения.

Сравнение предметов по одному, двум и трем свойствам и

упорядочение предметов во множестве, с помощью заданного отношения

также рассматривается через серию заданий. Например:.

1) Установление отношений «больше на один», «меньше на один».

Весна Зима

Зима

Весна

З К

З


ПУ

1). На наборное полотно выставляется 5 кругов. Дети выкладывают столько

же кругов на парте. Предлагается под кругами положить столько же

квадратов. Уточняется количество квадратов (их 5). Затем учитель просит

добавить ещѐ один квадрат. Уточняется, каких фигур больше – кругов или

квадратов. Сообщается, что если одному квадрату не хватило круга для пары,

то квадратов на один больше, чем кругов. Выясняется, как получили на один

больше: положили столько же квадратов, да еще один.

Учитель предлагает добавить один круг. Делается вывод о том, что

квадратов и кругов стало поровну. Предлагается сделать так, чтобы

квадратов стало «без одного». Дети убирают один квадрат в сторону.

Сообщается, что если квадратов столько же, сколько кругов, но без одного,

то квадратов на один меньше.

2). На наборное полотно учитель выкладывает 7 кругов и просит детей

выложить столько же кругов на парте. Затем выполняется задание: разложить

эти круги в два ряда так, чтобы в первом (верхнем) ряду их было на один

больше.

3). На доске мелом изображается 4 треугольника и 6 кругов. Предлагается

определить, каких фигур больше. Для этого используется прием

«вычеркивания парами». Выясняется, что два круга осталось не зачеркнутым.

Делается вывод, что кругов столько же, сколько треугольников, да еще два

(на два больше). Треугольников столько же, сколько кругов, но без двух (на

два меньше).

Дети вместе с учителем работают с раздаточным материалом на парте.

Предлагается сделать так, чтобы кругов стало столько же, сколько

треугольников (поровну). Делается вывод, что для этого надо добавить 2

треугольника или убрать 2 круга.

Затем предлагается сделать так, чтобы кругов стало на один больше

(соответственно, треугольников – на один меньше).

4. Методика обучения счету предметов в пределах 20. Количественный и

порядковый счет. Методика обучения сравнению численностей

множеств Уточнение пространственных и временных представлений.

Рассмотрим примеры обучения счету предметов в пределах 20.

Количественный и порядковый счет. Методика обучения сравнению

численностей множеств. Например:

1) Сериация объектов разной природы.


ПУ

1). Предлагается посчитать цепочкой до 20 и перечислить числительные в

порядке, обратном счѐту.

2). Учитель вызывает к доске 5 детей, которых можно упорядочить по росту

и предлагает им построиться в ряд. Обсуждаются возможные варианты

построения: от самого высокого к самому низкому и наоборот. Дети

выполняют перестроение в соответствии с названными вариантами.

Затем на наборное полотно выставляются картинки с изображением

домов разной этажности, которые надо упорядочить по размеру. Обсуждение

результатов можно организовать с указанием цвета домов, а также с

называнием количества этажей (самый высокий – девятиэтажный дом, за ним

расположили пятиэтажный и т.д.).

Аналогичную работу можно организовать с другим наглядным

материалом (кочаны капусты, деревья и т.п.)

2)Сравнение множеств по количеству элементов

1). Предлагается посчитать цепочкой до 20 и перечислить числительные в

порядке, обратном счѐту.

2). На наборное полотно выставляются 5 картинок с пирожными. После

выяснения количества учитель просит положить на парту столько

прямоугольников, сколько пирожных на наборном полотне. Затем

предлагается для каждого пирожного приготовить тарелку. В результате

обсуждения тарелки заменяют кругами, раскладывая их в ряд под

прямоугольниками. Проводится беседа, целью которой является выяснение

того, что кругов столько же, сколько прямоугольников, их поровну, по 5.

Учитель просит детей закрыть глаза и добавляет ещѐ одно пирожное

(прямоугольник). Выясняется, что изменилось (прямоугольников стало

больше, чем кругов) и почему. Уточняется, что тарелок стало меньше, чем

пирожных.

Учитель предлагает детям закрыть глаза и добавляет одну тарелку.

Обсуждается, что тарелок стало столько же, сколько пирожных (их стало

поровну).

Учитель снова просит детей закрыть глаза и расставляет фигуры в

хаотичном порядке, добавляя ещѐ один круг. Выясняется, что для ответа на

вопрос о том, каких фигур больше надо расположить их одну под другой.

Можно также создать пары другим способом. Для этого дети убирают в

сторону пары «прямоугольник – круг». Если остается 1 круг, то кругов

больше, чем прямоугольников, а прямоугольников меньше, чем кругов.

Рассмотрим примеры формирования пространственных и временных

представлений.


ПУ

1) Пространственные представления «выше» – «ниже», «вверху» – «внизу»,

«слева» - «справа».

1) Учитель выставляет на стол кубики разных цветов и предлагает сложить

из них башню так, чтобы красный кубик лежал выше синего, но ниже

зелѐного. Выясняется, какой кубик вверху (внизу).

Предлагается сложить такую же башню из больших квадратов на парте.

Взаимное расположение квадратов (кубиков) меняется по заданию учителя

(например, красный квадрат ниже зелѐного, а зелѐный ниже синего).

Уточняется, какой квадрат вверху (внизу). Затем учитель просит справа от

башни положить большой жѐлтый круг (мяч), а слева – маленький красный

круг (мяч).

2) Пространственные представления «выше» – «ниже», «вверху» – «внизу»,

«слева» - «справа».

1) Учитель выставляет на стол кубики разных цветов и предлагает сложить

из них башню так, чтобы красный кубик лежал выше синего, но ниже

зелѐного. Выясняется, какой кубик вверху (внизу).

Предлагается сложить такую же башню из больших квадратов на парте.

Взаимное расположение квадратов (кубиков) меняется по заданию учителя

(например, красный квадрат ниже зелѐного, а зелѐный ниже синего).

Уточняется, какой квадрат вверху (внизу). Затем учитель просит справа от

башни положить большой жѐлтый круг (мяч), а слева – маленький красный

круг (мяч).

3) Пространственные представления «влево», «вправо», «вверх», «вниз».

«слева» - «справа», «между». Части суток и поры года.

1). На доске прямоугольная таблица (3 строки и 4 столбца). Учитель

предлагает положить красный круг в левый нижний угол таблицы, затем –

переместить круг на одну клетку вверх, затем – на одну клетку вправо, затем

– на одну клетку вверх и на две клетки вправо. Где оказался круг? Кто-

нибудь из учеников может предложить свое правило перемещения круга,

чтобы попасть в ту же клетку (правый верхний угол таблицы).

Можно в дополнение «записать» маршрут геометрической фигуры на

доске в виде стрелок:

2). Учитель демонстрирует картинки с изображением различных времѐн года

и просит детей ответить на вопрос, когда это бывает. Затем, после

обсуждения характерных признаков пор года, каждой из них ставится в

соответствие фигура (например, квадрат) определѐнного цвета (лето –

красный квадрат, зима – белый, осень – жѐлтый, весна – зелѐный). Учитель

на доске, а дети на парте выкладывают их в ряд в порядке следования


ПУ

картинок. Обсуждается взаимное расположение квадратов: какой квадрат

слева от белого, какой справа от жѐлтого, какой между белым и зелѐным.

Предлагается расположить их в правильном порядке, начиная с осени.

Работа сопровождается вопросами о том, что следует за осенью, какая пора

года предшествует весне, после какого сезона наступает лето и т.п.

3). Предлагается выложить на парте столько геометрических фигур, сколько

выставлено на наборном полотне (фигуры расположены в 2 ряда, в первом –

10 фигур, во втором – до десяти). По полученной иллюстрации ведется

беседа с использованием слов «слева» - «справа», «между», «над»- «под»,

«больше», «меньше».

4) Уточнение пространственных представлений «слева», «справа», «между»,

«впереди», «сзади», «находится за», «находится перед». Счѐт предметов

порядковыми числительными

1). На наборное полотно выставляются рисунки (модели) машин, которые

«едут» друг за другом. Уточняется, какая машина расположена слева от

жѐлтой, справа от жѐлтой, между красной и зелѐной. Выясняется, какая

машина движется впереди всех, а какая – сзади. Какая машина едет перед

жѐлтой, какая – за жѐлтой. Машины пересчитываются справа налево с

помощью порядковых числительных «первая», «вторая», «третья».

Учитель предлагает детям у себя на парте обозначить красным

прямоугольником красную машину, жѐлтым - жѐлтую, зеленым - зеленую.

На наборном полотне машины заменяются прямоугольниками. Для

обозначения направления движения используется стрелка, которая

направлена слева направо.

Детям предлагается переставить машины так, чтобы между жѐлтой и

красной машинами была зелѐная; чтобы слева от зеленой находилась красная

и т.п. В каждом случае машины пересчитываются порядковыми

числительными. Выясняется, какая машина является первой, второй, третьей

при счете справа налево.

На доске стрелкой задается другое направление движения: справа налево.

Разбирается, какая машина теперь едет впереди, какая – сзади; какая –

перед зелѐной, какая – за зелѐной и т.п.

Машины пересчитываются слева направо порядковыми числительными.


1. Назовите примеры на сравнение множеств предметов.


ПУ

2. Назовите задания на классификацию предметов по одному свойству, двум,

трем.

3. Назовите задания на формирование пространственных и временных

представлений.

Экран 5.1

Тема 4. Методика изучения понятия числа в концентре «Десяток»

Вопросы

1. Особенности знакомства учащихся с нумерацией однозначных чисел.

2. Изучение отношений равенства, "больше", "меньше".

3. Методика изучения табличных случаев сложения и соответствующих

случаев вычитания в пределах десяти.

4. Связь между сложением и вычитанием.

5. Наглядные пособия и методика их использования.


1. особенности знакомства учащихся с нумерацией однозначных чисел

Замена слов-числительных, названных в определенной

последовательности, математическими знаками позволяет познакомить

учеников с отрезком натурального ряда чисел.

Изучение этого понятия в начальных классах сводится к усвоению той

закономерности, которая лежит в основе построения натурального ряда:

каждое число в натуральном ряду больше предшествующего и меньше

следующего на 1.

Можно привести такие задания:

1. Предлагается найти среди картинок, выставленных на наборном полотне,

«лишнюю» картинку.

Выясняется, что лишней является картинка, на которой изображены две

стрелки (на всех остальных по одной) или картинка, на которой стрелка

показывает вправо (на всех остальных влево)

2. Учитель выставляет на наборное полотно красный квадрат. Выясняется,

сколько квадратов (один). Дети кладут на парту столько же красных

квадратов.


ПУ

Учитель добавляет зеленый квадрат. Выясняется, сколько квадратов

стало, когда добавили еще один (стало два квадрата). Дети кладут рядом с

красным зеленый квадрат. Уточняют, сколько квадратов на парте (два) и как

получили два квадрата (к одному добавили один).

Учитель сообщает, что два предмета надо обозначать цифрой «2» и

показывает эту цифру. Дети кладут карточку с цифрой «2» рядом с двумя

квадратами.

Уточняется, что нужно сделать, чтобы снова на парте был один квадрат

(убрать один квадрат). Выясняется, какой цифрой обозначим один квадрат.

Дети на парте отодвигают в сторону один квадрат и обозначают оставшийся

квадрат карточкой с цифрой 1.

3. Предлагается найти, чем похожи все картинки, что у них общего.

Выясняется, что на всех рисунках по 2 предмета (2=2). Учитель просит

положить столько же треугольников на парту и обозначить соответствующей

цифрой (2).

Затем предлагается положить столько кругов, чтобы их было на один

меньше, и обозначить их цифрой. Дети кладут один круг. Выполняется

задание: как сделать так, чтобы кругов и треугольников стало поровну.

Обсуждаются два варианта: добавить один круг (действие сопровождается

записью 1+1=2) или убрать один треугольник (2-1=1).

4. Учитель выставляет на наборное полотно два красных прямоугольника.

Выясняется, сколько прямоугольников (2). Дети кладут на парту столько же

красных прямоугольников.

Учитель добавляет зеленый прямоугольник. Выясняется, сколько

прямоугольник стало, когда добавили еще один (стало три прямоугольника).

Дети кладут рядом с красными прямоугольниками зеленый. Уточняют, как

получили три прямоугольника (к двум добавили один).

Учитель сообщает, что три предмета надо обозначать цифрой «3» и

показывает эту цифру. Дети кладут карточку с цифрой «3» рядом с тремя

прямоугольниками.

Уточняется, что нужно сделать, чтобы снова на парте было два

прямоугольника (убрать один).


ПУ

2. Изучение отношений равенства, больше, меньше

Для установления отношений больше, меньше, равно между числами

младшие школьники могут использовать предметные, графические и

символические модели.

Приведем примеры:

1. Дети выполняют задание: положить слева на парте столько кружков,

сколько предметов изображено на одной картинке (4); справа положить

столько квадратов, сколько предметов изображено на другой картинке (3).

Выясняется, каких фигур больше – кругов или квадратов. Для этого фигуры

располагаются удобным для сравнения способом (напротив каждого круга –

квадрат). Дети обозначают с помощью карточек с цифрами количество

кружков и квадратов. Числа сравниваются (на основе сравнения множеств) и

делается вывод о том, что четыре больше трѐх.

Учитель знакомит детей со знаками «>», «<». Дети отмечают, что знаки

«больше» и «меньше» направлены остриѐм (вершиной угла) к меньшему

числу. На доске делается запись 4>3. Учитель показывает, как нужно читать

эту запись: «четыре больше трѐх».

Дети на парте кладут знак «>» числами 4 и 3. Упражняются цепочкой в

чтении записи 4>3.

2. Учитель выставляет фигуры на наборном полотне, так что слева

располагаются 3 фигуры, а справа 4. Дети дублируют действия учителя на

парте. Выставляются карточки с числами 3 и 4. Учитель знакомит детей со

знаком «<». Составляется и читается запись 3<4 (три меньше четырѐх).

Дети кладут карточку со знаком «<» между числами 3 и 4.

Упражняются в чтении записей 3 < 4.

3. методика изучения табличных случаев сложения и соответствующих

случаев вычитания в пределах 10.

Смысл действий сложения и вычитания.

Конкретный смысл сложения и вычитания осознается детьми в процессе

действий с множествами предметов и геометрических фигур и находит

применение при решении задач.

В основе методики разъяснения смысла действия сложения лежит

определение суммы в количественной теории целого неотрицательного

числа. Суммой целых неотрицательных чисел а и b называется число

элементов объединения множеств, не имеющих общих элементов.

Пусть а = n(A), b = n(B) и А В = . Тогда n(A B) = n(A) + n(B) = a + b.

Например, на рисунке n(A) = 3, n(B) = 4 и А В = .

n(A B) = n(A) + n(B) = 3 + 4 = 7.


ПУ

Рис.

Рассмотрим предметные действия, которые выполняют младшие школьники

при решении простых задач в связи с усвоением смысла действия сложения

(рис ):

а) б)

в) г)

?

Рис.

В основе методики разъяснения смысла действия вычитания лежит

определение разности в количественной теории целого неотрицательного

числа.

Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется число

элементов в дополнении множества В до множества А.

Пусть а = n(A), b = n(B) и В А. Тогда Тогда n(A \ B) = n(A) − n(B) = a − b.

Например, на рисунке n(A) = 7, n(B) = 2 и В А.

n(A \ B) = n(A) − n(B) = 7 – 2 = 5.

Рис.

А В

3 4

7

Столько же Столько же

А В


ПУ

Рассмотрим предметные действия, которые выполняют младшие

школьники при решении простых задач в связи с усвоением смысла действия

вычитания (рис ):

а) б)

в) г)

Вычислительные приемы сложения и вычитания.

Изучение приемов сложения и вычитания проводится по следующему

плану:

а) изучение приемов присчитывания и отсчитывания по одному и группами;

б) изучение приема перестановки слагаемых;

в) изучение приема вычитания на основе связи между суммой и слагаемыми.

Изучение приемов присчитывания и отсчитывания по одному и

группами.

В процессе изучения нумерации чисел в пределах десяти учащиеся должны

прочно усвоить способы образования любого числа первого десятка

присчитыванием и отсчитыванием единицы и свободно выполнять сложение

и вычитания с единицей. Учащиеся должны подойти к выводу:

прибавить 1 к числу – значит назвать следующее за ним число;

вычесть 1 – значит назвать предшествующее ему число.

При изучении приемов присчитывания и отсчитывания группами

рекомендуется научить детей решить примеры в два действия вида:

а + 1 + 1, а – 1 – 1.

Можно предложить следующую серию заданий:

1) положите 4 красных круга, придвиньте еще 1 зеленый круг. Сколько

кругов получилось? Придвиньте еще один зеленый круг. Сколько кругов

получилось? Сколько вначале было красных кругов? Сколько зеленых

кругов придвинули?

2) объясните решение примера 3 + 1 + 1 с помощью треугольников;

3) объясните решение примера с помощью линейки (рис. ). Запишите этот

пример.

Рис.

Аналогично рассматриваются примеры вида: а – 1 – 1.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10


ПУ

В результате дети должны сделать вывод: если прибавить (вычесть) 1 и

еще 1, то всего прибавили (вычли ) 2.

Аналогично рассматриваются примеры вида:

а + 1 + 2; а + 2 + 1; а + 2 + 2; а + 1 + 3; а + 3 + 1;

а – 1 – 2; а – 2 – 1; а – 2 – 2; а – 1 – 3; а – 3 – 1.

б) Изучение приема перестановки слагаемых.

Для разъяснения приема перестановки слагаемых рекомендуется

использовать действия с предметными множествами (рис. ); сравнение

числовых равенств, состоящих из одинаковых слагаемых.

Например: Сколько всего фигур? Составьте примеры по рисункам.

а)

? ?

б)

? ?

в)

Рис.

Какой вывод можно сделать, сравнивая данные пары примеров?

2. Сравните:

4 + 3 3 + 4; 5 + 4 4 + 5.

3. Назовите состав числа 5.

При изучении состава чисел следует обращать внимание детей на то, что,

например,

5 это 1 и 4; 5 это 4 и 1;

5 это 2 и 3; 5 это 3 и 2.

Поэтому, можно предлагать задание на состав числа, например, в таком виде

(рис. ):

Рис.

В результате ученики должны сделать вывод: от перестановки

слагаемых сумма не изменяется.

5

1 2

? ?

3 4

? ?


ПУ

в) Изучение приема вычитания на основе связи между суммой и слагаемыми,

а так же усвоение состава чисел в пределах 10 так же используется при

объяснении приемов вычитания для случаев «− 5 », «− 6», «− 7», «− 8», «− 9».

Табличное сложение и вычитание.

Табличное сложение и вычитание изучается по следующему плану:

а) составление таблиц сложения и вычитания на основе усвоенных

вычислительных приемов;

б) формирование вычислительных навыков в процессе выполнения

различных упражнений и установка на заучивание таблиц сложения и

вычитания.

а) Составление таблиц сложения и вычитания на основе усвоенных

вычислительных приемов.

Таблицы сложения и вычитания в пределах 10 можно разделить на четыре

группы, каждая из которых связана теоретическим обоснованием и

соответствующим способом действия.

Таблицы сложения и

вычитания

Теоретическое

обоснование

Способ действия

а + 1

а − 1

Принцип построения

натурального ряда чисел

Присчитывание и

отсчитывание по единице

а + 2; а + 3; а + 4

а – 2; а – 3; а − 4

Смысл сложения и

вычитания


отсчитывания по частям

а + 5; а + 6; а + 7;

а + 8; а + 9

Переместительное

свойство сложения

Перестановка слагаемых

6 – а; 7 – а; 8 – а;

9 – а; 10 – а

Связь между суммой и

слагаемыми

Правило: если из

значения суммы вычесть

одно слагаемое, то

получим другое слагаемое

Частные случаи сложения и вычитания (сложение и вычитания с

нулем).

К частным случаям сложения и вычитания относятся случаи вида:

а + 0; 0 + а; 0 + 0; а – 0; 0 – 0.

Для знакомства детей со случаем а + 0 можно предложить ответить на

вопросы по рисунку :

а) б)

Рис.

Сколько кругов на первом рисунке?

Сколько кругов на втором рисунке?


ПУ

Сколько кругов на двух рисунках?

Запишите равенство, которое показывает как найти количество кругов

на двух рисунках.

На доске запись: 4 + 0 = 4.

Аналогично, можно подсчитать количество треугольников на двух рисунках,

и сделать запись: 0 + 5 = 5.

Учащиеся должны сделать вывод:

если к числу прибавить 0, то получиться тоже число;

если к 0 прибавить число, то получиться тоже число;

если к 0 прибавить 0, то получиться 0.

Для знакомства со случаем а − 0 можно предложить детям проблемную

ситуацию и сделать вывод самостоятельно.

4. связь между сложением и вычитанием.

Знакомство учащихся со связью между сложением и вычитанием происходит

с помощью серии заданий. Например:

1) деление отрезка на две части.

а) б)

3 + 4 = 7 7 – 3 = 4

7 – 4 = 3

2) решение примеров с помощью наглядности (рис. ).

3) решение примеров по образцу:

4 + 5 = 9 2 + 6 = ?

9 – 5 = 4

9 – 4 = 5

В результате ученики должны сделать вывод: если из значения суммы

вычесть одно слагаемое, то получим другое слагаемое.

9 – 5 = 9 - это

4 и 5 9 – 5 = 4


ПУ

На основании этого вывода рассуждения учеников могут быть,

например, такими: 8 – 5

8 это 3 и 5 или 5 и 3.

Значит, 8 – 5 = 3.


Формирование вычислительных навыков в процессе выполнения

различных упражнений и установка на заучивание таблиц сложения и

вычитания.

Изучая сложение и вычитание в пределах первого десятка, ученики должны

не только овладеть вычислительными приемами, но и усвоить таблицу

сложения и вычитания наизусть. Это может быть достигнуто благодаря

достаточно большому количеству упражнений, тренировке, большой

вычислительной практике. Ученикам должна быть дана установка на

запоминание таблиц. В этом случае, речь идет не о механическом

заучивании, а о сознательном усвоении таблиц сложения и вычитания.

Упражнения должны быть разнообразны по форме. Например,

а) устное решение примеров;

б) письменное решение примеров;

в) решение задач;

г) беглый устный счет (серия примеров, в которой результат предыдущего

примера является началом следующего примера);

д) решение примеров «с окошком»;

е) игровые упражнения (лото, занимательные квадраты, круговые примеры,

молчанка и т.д.).


1. В процессе выполнения каких заданий учащиеся усваивают конкретный

смысл действий сложения и вычитания?

2. Почему случаи сложения и вычитания с числами 2, 3, 4 рассматриваются

одновременно?

3. Какие приемы самоконтроля могут использовать учащиеся для проверки

результатов вычислений?

4. Почему случаи сложения и вычитания с числами 5, 6, 7, 8, 9

рассматриваются раздельно по времени?

5. Какие наглядные пособия можно использовать для формирования

вычислительных навыков?


ПУ

Тема 4. Методика изучения понятия числа в концентре «двадцать»

Вопросы

1. Особенности изучения нумерации и отношений равенства, "больше",

"меньше". Понятие разряда. Вспомогательная роль величин.

2. Методика изучения приемов устного сложения и вычитания.


1. особенности изучения нумерации и отношений равенства, больше,

меньше. Понятие разряда. Вспомогательная роль величин.

При изучении нумерации в концентре «Сотня» выделяют два этапа:

1 этап – числа 10 – 20; 2 этап – числа от 21 – 100.

Это связано с особенностями образования числительных второго десятка,

усвоение которых у учащихся первого класса вызывают затруднения. При

назывании чисел второго десятка можно выделить одну закономерность, а

при записи этих чисел – другую. Такой порядок изучения обусловлен тем,

что названия чисел второго десятка образуются из тех же слов, что и

названия разрядных чисел (20, 30, …, 90). Однако слова «два», «три», и т.д. в

числительных двенадцать и т.д. обозначают число единиц, в в числительных

двадцать и т.д. обозначают число десятков (кроме слов сорок и девяноста).

Кроме того, при написании только чисел второго десятка порядок называния

и порядок записи не совпадает: сначала называются единицы, а пишется

первым десяток. Например, называя число двенадцать мы произносим

сначала количество единиц, а затем – десятков (две – на- дцать), а записывая

число, сначала пишем 1, обозначающую десяток, а потом цифру 2,

обозначающую единицы. При чтении и записи чисел от 21 до 99 порядок

этот совпадает. Например, число 35. Читаем и пишем сначала число десятков

– 3, потом число единиц – 5.

Но вместе с тем, нумерация чисел до 20 и свыше 20 имеет и много схожего:

устная и письменная нумерация этих чисел опирается на десятичную

группировку единиц при счете и на принцип поместного значения цифр при

записи чисел.

Устная и письменная нумерация в пределах 20

Задача обучения нумерации в пределах 20 заключается в том, чтобы

сформировать понятие о счетной единице, научить детей читать и

записывать двузначные числа в пределах 20. Эти умения и навыки опираются

на ряд понятий, связанных с особенностями десятичной системы счисления:

на понятия о разряде, о записи двузначных чисел в пределах 20 при помощи


ПУ

10 цифр, о названии чисел с помощью небольшого количества слов, на

поместный принцип и т.д.

При изучении нумерации двузначных чисел в пределах 20 рассматривают

устную и письменную.

Задача изучения устной нумерации – показать учащимся, как:

1) единицы множества группируются в десятичные,

2) составляется название чисел,

3) ведется счет единицами и группой единиц.

Задача изучения письменной нумерации состоит в том, чтобы на основе

принципа о поместном значении цифр научить детей записать любое число и

прочитать записанное число.

Образование счетной единицы – десяток.

Для знакомства учеников со счетной единицей «десяток», можно

использовать:

1) десять палочек, которые связываются в пучок (рис. );

2) десять кубиков, которые складываются в ряд (рис. );

3) треугольник, на который наклеены 10 кругов (рис. ), прямоугольник с 10

точками (рис. ) или абак (рис. а) и б)) и т.д..


ПУ

Отсчитывая, например, по десять палочек завязывая их в пучки,

учащиеся узнают, что десять единиц образуют десяток. Так же можно

показать, что десяток можно получить и из других предметов. Например,

десяток яиц, десяток пуговиц и т.д.

Составление двузначных чисел в пределах 20

Для знакомства с числами в пределах 20 учитель может использовать

следующую наглядность (рис. ):

Рис.

На десяток кубиков учитель кладет еще один кубик и называет

полученное число: один – на – дцать. Далее учитель просит детей с помощью

других наглядных пособий показать число «одиннадцать», а так же из других

рисунков выделить те, на которых есть одиннадцать предметов.

Чтение и запись чисел в пределах 20

Для записи чисел в пределах 20 можно использовать таблицу – абак,

имеющую вид:

Данная таблица состоит из двух разрядов: десяток и единицы. А так же имеет

два ряда карманов: один для палочек, другой – для карточек с цифрами.

При обучении записи чисел необходимо с учениками провести анализ

числа на слух, показать его на таблице - абаке и записать на доске и в

тетрадях.

Познакомившись, например, с числом 13 при изучении устной

нумерации, детям предлагается показать это число в таблице. В первом ряду

на место десятков дети выкладывают одну палочку, а на место единиц – 3

палочки. Во втором ряду под соответствующем количеством палочек,

десяток единицы

1 3 РЕПОЗИТОРИЙ БГ

ПУ

выкладываем карточки с цифрами. Далее учитель показывает, как в тетради

записывается это число. При этом обращается внимание на то, что каждая

цифра должна писаться в своей клеточке.

На основании нескольких таких упражнений дети должны сделать

вывод: чтобы записать число в пределах 20, сначала записывают число

десятков, а затем – число единиц;

Упражнения в чтении чисел должно сопровождаться объяснением, почему

мы так читаем число. Например, прочитайте число 17.

Ученик должен рассказать, что цифра 1 стоит на 2-ом месте справа и

обозначает 1 десяток, цифра 7 стоит на 1-ом месте справа и обозначает 7

единиц, значит 17.

Приведем примерную схему анализа числа в пределах 20:

1) прочитайте число;

2) назовите число единиц каждого разряда;

3) замените число суммой разрядных слагаемых;

4) назовите число, предшествующее при счете данному, и число,

следующее при счете за данным;

5) назовите наименьшее и наибольшее числа, которые имеют столько же

разрядов, что и данное число;

6) укажите, сколько всего цифр понадобилось для записи данного числа и

сколько среди них различных.

Разложение чисел на сумму разрядных слагаемых

После изучения устной и письменной нумерацией чисел в пределах 20,

учитель показывает разложение числа на сумму разрядных слагаемых.

Для этого можно использовать любое наглядное пособие. Например,

используя рисунок ,

учитель спрашивает у детей:

Сколько кубиков в нижнем ряду? (10)

Сколько кубиков в верхнем ряду? (4)

Запишите, как можно найти, сколько всего кубиков в двух рядах. (10 + 4)

Далее учитель обращает внимание детей на таблицу (рис. ). Рассматривая

эту таблицу, делают записи в тетради и на доске: 14 = 10 + 4.

Сравнение чисел в пределах 20

Для сравнения чисел в пределах 20 используется свойство натурального ряда

чисел:

если одно число идет при счете раньше второго, то первое число меньше

второго;

если одно число идет при счете позже второго, то первое число больше

второго.


ПУ

Некоторым ученикам можно показать и другой способ сравнения чисел.

Например: надо сравнить числа 19 и 15. Анализируя числа, делаем вывод,

что число десятков у этих чисел одинаковое, поэтому можно сравнить

количество единиц (9 > 5), значит: 19 > 15.

2. методика изучения приемов устного сложения и вычитания в

пределах 20.

Сложение и вычитание на основе нумерации чисел в пределах 20

При изучении нумерации чисел в пределах 20 дети знакомятся со

сложением и вычитанием. Можно выделить два случая сложения и

вычитания, основанных на нумерации чисел:

1) а ± 1. Данный случай основан на свойстве натурального ряда чисел (12 + 1;

15 + 1; 13 – 1; 19 – 1); в качестве наглядного пособия может выступать лента

чисел;

2) 10 + 8, 18 – 10; 18 – 8. Данный случай основан на разложении двузначного

числа на сумму разрядных слагаемых; в качестве наглядного пособия может

выступать абак, таблица или любое другое пособие.

Вычислительные приемы сложения и вычитания в пределах 20 без

перехода через десяток

К вычислительным приемам сложения и вычитания в пределах 20 относятся

случаи:

Приемы сложения и

вычитания в

пределах 20

Теоретическое


Способ действия

12 + 1; 12 – 1

1 + 12

Принцип построения

натурального ряда

чисел; переместительное



отсчитывание по единице

10 + 6; 16 – 10; 16 – 6

6 + 10

Разрядный состав чисел

в пределах 20;

переместительное


Разложение числа на

сумму разрядных

слагаемых

12 + 2; 16 – 2

2 + 12

Смысл сложения и

вычитания;

переместительное



отсчитывания по частям

18 – 12 Смысл вычитания Отсчитывания по частям


ПУ

Основным способом введения этих вычислительных приемов является показ

образца действия, который разъясняется:

а) на предметном уровне;

б) с использованием моделей десятков и единиц (например, непозиционный

абак),

а затем закрепляется в процессе выполнения тренировочных упражнений.

Например, рассмотрим введение на предметном уровне вычислительных

приемов:

1) 12 + 2;

2) 16 – 2.

Предлагаем ученикам выложить на парте 12 кругов и добавить еще 2

круга (рис. ):

Рис.

Сколько кругов получилось?

1) Предлагаем ученикам выложить на парте 16 кругов и отодвинуть 2

круга в сторону (рис. ):

Сколько кругов получилось?

Рассмотрим введение этих же приемов с использованием модели

десятков и единиц.

Предлагаем ученикам самим показать на непозиционном абаке

решение примеров 12 + 2 и 16 – 2 (рис. ):

Можно познакомить детей с этими случаями и так:

12 + 2 = ? 16 – 2 =?

2 + 2 = 4, значит 12 + 2 = 14 6 – 2 = 4, значит, 16 – 2 = 14.

В этом случае используется прием аналогии.

Аналогично рассматривается и остальные приемы.

Рассмотрите эти приемы самостоятельно. Приведите рассуждения детей.

Свойства прибавление суммы к числу и вычитание суммы из числа

Изучение каждого свойства можно проводить по следующему плану:

1) суть свойства раскрывается через решение задач с использованием

наглядности;

2) применение свойств при решении тренировочных упражнений;


ПУ

3) нахождение рациональных приемов вычислений.

Рассмотрим, как можно провести ознакомление детей со свойством

прибавление суммы к числу.

На уроке учитель предлагает решить задачу:

У Иры 6 красных карандашей, в коробке лежат 1 зеленый и 3 синих.

Сколько карандашей у Иры?

На наборном полотке с помощью геометрических фигур дети выкладывают

соответствующее количество карандашей (рис. ) и записывают

различные способы решения задачи:

а) 6 + (1 + 3) = 10 (рис. )

б) (6 + 1) + 3 = 10 (рис. )

в) (6 + 3) + 1 = 10 (рис. )

Дети должны сделать вывод: чтобы к прибавить сумму к числу можно:

1) к числу прибавить вычисленную сумму;

2) к числу прибавить первое слагаемое суммы и к полученному

результату прибавить второе слагаемое;

3) к числу прибавить второе слагаемое суммы и к полученному

результату прибавить первое слагаемое.

Необходимо обратить внимание на то, что в первом классе скобки не

вводятся, поэтому вся методика изучения данного свойства должна

проходить только через наглядность.

Аналогично рассматривается и свойство: вычитание суммы из числа.

Табличное сложение и вычитание в пределах 20

Приведем основные случаи табличного сложения и вычитания с переходом

через десяток:

Таблица сложения и Теоретическое Способ действия


ПУ

вычитания в

пределах 20


8 + 6 Смысл действия

сложения. Правило

прибавления суммы к

числу

Присчитывание по

частям

15 – 9 Смысл действия

вычитания. Вычитание

числа из суммы

Отсчитывания по частям

Основной целью изучения табличного сложения и вычитания с

переходом через десяток является прочное усвоение детьми этих таблиц.

Эффективность ее во многом зависит от того, как ученики усвоили состав

чисел в пределах 10 и разрядный состав двузначных чисел.

Например, для усвоения состава числа 10 можно предложить

следующие задания:

1) Назови состав числа 10 (рис. ).

2) Сколько треугольников на первой полоске (рис. )?

Сколько треугольников нужно дополнить на вторую полоску, чтобы

получить 1 десяток?

3) Дополни до 1 десятка числа: 4, 6, и т.д.

4) Дополни белые треугольники черными до десяти (рис. ).

5) Вставить числа в «окошки», чтобы получились верные равенства:

7 + + 4 = 14 6 + + 1 = 11

Рассмотрим введение табличного случая сложения 8 + 6, который

основан на сочетательном свойстве сложения или правиле прибавления

суммы к числу.

На парте ученики выкладывают 8 белых квадратов и 6 серых

квадратов. Два серых квадрата добавляют до белых квадратов и оставшиеся


ПУ

4 серые квадраты укладывают под получившемся десятком квадратов (рис.

).

а)

?

б)

Рис.

На доске появляется одна из записей:

8 + 6 = 14 или 8 + 6 = 8 +(2 + 4) = (8 + 2) + 4 = 10 + 4 = 14

2 4

Вторая запись появляется тогда, когда дети познакомятся со скобками.

Алгоритм сложения однозначных чисел с переходом через десяток:

1) найти число, которое является дополнением большего слагаемого до

десятка;

2) разложить меньшее слагаемое на сумму двух слагаемых, одно из которых

является найденное число;

3) к числу 10 добавить оставшиеся единицы второго слагаемого.

Пользуясь вычислительным приемом, ученики постепенно составляют

таблицу сложения в пределах 20. Затем все рассмотренные случаи сводятся в

общую таблицу, которую учащиеся должны прочно усвоить. В этой таблице

20 случаев. Она включает в себя сложение одинаковых слагаемых (6 + 6, 7 +

7 и т.д.) и случаи прибавления меньшего числа к большему (3 + 8, 5 + 9 и

т.д.). Для прибавления большего числа к меньшему используется

переместительное свойство сложения.

Для вычитания однозначного числа из двузначного с переходом через

десяток можно выделить два вычислительных приема:

1) В этом случае ученик должен правильно

выполнять следующие операции:

а) представлять уменьшаемое в виде суммы двух слагаемых, одно из которых

равно вычитаемому;

б) вычитать из данной суммы слагаемое, равного вычитаемому (в основе

этой операции лежит свойство: если из суммы вычесть одно слагаемое, то

останется другое).

15 – 9 = 6 9 6


ПУ

2) В этом случае используется прием

отсчитывания по частям и ученик должен правильно

выполнять следующие операции:

а) вычитать из данного двузначного числа его разрядные единицы (в

результате выполнения этой операции всегда получается число 10);

б) представлять вычитаемое в виде суммы двух слагаемых, одно из которых

равно числу единиц уменьшаемого (в основе этой операции лежит знание

состава однозначных чисел);

в) вычитание из 10 второго слагаемого этой суммы ( в основе этой операции

лежит знание таблицы вычитания в пределах 10).

Для усвоения таблицы сложения и вычитания в пределах 20 учитель

может использовать ряд методических приемов. Например,

1) следует предлагать ученикам группу примеров, в которых можно было бы

увидеть связь между сложением и вычитанием:

7 + 6 = 13 13 – 6 = 7

6 + 7 = 13 13 – 7 = 6

2) необходимо выделять примеры на сложение равных слагаемых, т.к. они

легче запоминаются и могут служить опорой для других примеров:

6 + 6 = 12 8 + 8 = 16

6 + 7 = 13 8 + 7 = 15

6 + 5 = 11 8 + 9 = 17

3) использование игр: молчанка, лото, занимательные квадраты и т.д.

4) обязательное включение групп примеров на сложение и вычитание без

перехода через десяток6

16 + 4 = 20 20 – 16 = 4

4 + 16 = 20 20 – 4 = 16

5) включение примеров с окошечками:

6 + = 10 18 − = 10

6 + = 11 18 − = 9

6) решение текстовых задач (простых и составных).


1. В процессе выполнения каких заданий учащиеся усваивают конкретный

смысл действий сложения и вычитания?

2.Назовите вычислительные приемы сложения и вычитания без перехода

через десяток.

15 – 9 = 6 5 4


ПУ

3. Назовите вычислительные приемы сложения и вычитания с переходом

через десяток.

4. Назовите свойства, на которых основаны вычислительные приемы

сложения и вычитания.

5. Какие наглядные пособия (модели) можно использовать для формирования

вычислительных навыков?

Тема 8. Методика изучения понятия числа в концентре «сотня»

1. Устная и письменная нумерация в пределах ста.

2. Изучение отношений «равно», «больше», «меньше».

3. Изучение устного сложения и вычитания двузначных чисел

4. Изучение письменного сложения и вычитания двузначных чисел

5. Методика изучения табличных случаев умножения и соответствующих

случаев деления.

6. Внетабличное умножение и деление

7. Деление с остатком

1. Устная и письменная нумерация в пределах миллиона

Задача обучения нумерации заключается в том, чтобы сформировать понятие

о новой счетной единице – десятке, научить детей читать и записывать

двузначные числа, обобщить знания о нумерации целых неотрицательных

чисел. Эти умения и навыки опираются на ряд понятий, связанных с

особенностями десятичной системы счисления: на понятия о разрядах, о

записи бесконечного ряда чисел при помощи 10 цифр, о названии чисел с

помощью небольшого количества слов, на поместный принцип и т.д.

При изучении нумерации двузначных чисел рассматривают устную и

письменную.


1) единицы множества группируются в десятичные,

2) образуются числа из этих десятичных групп,


4) ведется счет единицами и группами единиц.


принципа о поместном значении цифр научить детей записать двузначное

число и прочитать записанное число.

В качестве наглядных пособий при изучении нумерации двузначных чисел

должны использоваться абаки (рис. )

а) классный б) индивидуальный


ПУ

Рис.

и таблица разрядов (рис. ).

Десятки Единицы

2 6

Рис.

Образование счетных единиц

С помощью абака учитель показывает как образуются счетные единицы:

единицы, десятки.

10 единиц = 1 десятку

Работа с абаком должна быть продолжена до образования 1 сотни.

Составление этой таблицы и ее усвоение имеет большое значение. Дети

усваивают:

1) название счетных единиц (разрядов);

2) порядок их расположения;

3) единичное отношение двух смежных разрядов;

4) условное изображение счетных единиц на абаке.

Составление двузначных чисел и разложение их на десятичные группы

На этом этапе ученики должны научиться составлять и называть числа,

составленные из различных счетных единиц. Для этого необходимо:

использовать абак. Называя счетные единицы, из которых составляется

число, надо откладывать их на абаке или рисовать в тетради. Это помогает

ученикам запомнить название разрядов и их расположение на абаке.

Например,

а) какое число получится, если взять 4 десятка и 8 единиц?

б) какое число составит 1 десяток и 3 единицы?


ПУ

Одновременно с составлением чисел из данных разрядных единиц ученики

знакомятся и с обратной операцией – разложение данного числа на

разрядные слагаемые.

Например,

а) сколько в числе 65 десятков, единиц? Покажите это число на абаке.

б) назовите, из каких счетных единиц состоит число 23 единицы. Покажите

это число на абаке.

Понятие о разрядах

С разрядами (единицы, десятки) дети уже знакомы, изучая числа от 1 до 20.

Обобщая эти знания, ученики делают вывод:

− простые единицы это единицы первого разряда; откладываются на абаке на

первой спице справа; пишутся на первом месте справа;

− десятки это единицы второго разряда; откладываются на абаке на второй

спице справа; пишутся на втором месте справа.

В результате на доске учитель вычерчивает разрядную таблицу:

Десятки Единицы

2 1

Ученики должны твердо усвоить по таблице разрядов: название разрядных

единиц, их последовательность расположения и место каждого разряда.

Для запоминания места каждого разряда в таблице можно предложить

следующие упражнения:

а) на каком месте справа стоят десятки? Единицы?

б) какие разрядные единицы стоят на первом месте справа: на втором месте

справа?

в) какое число обозначает цифра 6, стоящая на втором месте от правой руки?

Обучение записи и чтению двузначных чисел

Обучение учеников записи и чтению двузначных чисел включает в себя два

этапа:

1 этап. Запись круглых двузначных чисел , например: 60, 30, и т.д.

При обучении записи чисел необходимо с учениками провести анализ числа

на слух, показать его на абаке и записать на доске и в тетрадях.

Например, запишите число 40.

1) Определите, из каких разрядов состоит число, единицы какого разряда

отсутствуют.

2) Покажите это число на абаке. На каком месте должна стоять цифра 4?

3) Единицы, какого разряда отсутствуют? Чем же мы можем занять это

место?

4) Запишите это число на доске и в тетрадях.


ПУ

Упражнения в чтении чисел, состоящих из круглых десятков должно

сопровождаться объяснением, почему мы так читаем число.

Например, прочитайте число 60.


обозначает 6 десятков, значит шестьдесят.

2 этап. Запись и чтение двузначных чисел, состоящих из двух

разрядов.

При обучении записи чисел необходимо, чтобы дети раскладывали число на

разряды.

Основным приемом обучению записи и чтению таких чисел является

анализ числа на слух, показ на абаке, запись в таблице разрядов и классов.

Приведем примерную схему анализа числа:


2) назовите число единиц каждого разряда;

3) назовите общее число единиц каждого разряда;




6) назовите наименьшее и наибольшее числа, которые имеют столько же

разрядов, что и данное число;

7) укажите, сколько всего цифр понадобилось для записи данного числа и

сколько среди них различных;

8) используя все цифры данного числа, запишите наименьшее и

наибольшее числа.

Разложение двузначных чисел на разрядные слагаемые

Упражняясь в разложении чисел на разрядные слагаемые, позволяет

ученикам осознать значение каждой цифры числа. Задания можно предлагать

в таких формулировках, например:

1) разложите число на разрядные слагаемые;

2) представьте число в виде суммы разрядных слагаемых.

Рассмотрим задание: разложите число 76 на сумму разрядных слагаемых.

Для выполнения этого задания ученик должен определить, что:

данное число состоит из 7 десятков и 6 единиц

поэтому, 76 = 70 + 6.

Огромную роль в осознании детьми состава числа играет и обратная

операция: запись числа, если они представлены в виде суммы разрядных

слагаемых. Например, 20 + 5 = 25.


ПУ

2. Изучение отношений «равно», «больше», «меньше»

При изучении многозначных чисел обобщаются знания детей о способах

сравнения чисел:

1) на основе свойства натурального ряда чисел (например, 56 < 57);

2) На основе сравнения количества единиц соответствующих разрядов,

начиная с высшего (например, 67 > 13).

3. Изучение устного сложения и вычитания двузначных чисел

Основными задачами изучения данной темы являются:

1. Знакомство с вычислительными приемами и формирование умения

применять их при сложении и вычитании в пределах 100.

2. Закрепление навыков табличного сложения и вычитания в пределах 10.

3. Формирование навыков табличного сложения и вычитания в пределах 20.

4. Усвоение связи между компонентами и результатом действия.

Основой вычислительных приемов сложения и вычитания в пределах

100 является знание разрядного состава двузначного числа и умение

представлять его в виде суммы разрядных слагаемых, знание свойств

арифметических действий и навыки табличного сложения и вычитания в

пределах 10.

Сложение и вычитание круглых десятков

Сложение и вычитание круглых десятков сводится к сложению и

вычитанию однозначных чисел, которые выражают число десятков. При

объяснении можно использовать прием сравнения. Например,

2 ед. + 3 ед.= 5 ед 2 дес. + 3 дес. = 5 дес.

2 + 3 = 5 20 + 30 = 50

Дети должны сделать вывод: десятки складывают и вычитают, как

единицы

Объяснение решения нескольких примеров сопровождается

иллюстрацией и записью. Например,

50 + 30 50 – 30

5 дес. + 3 дес. = 8 дес. 5 дес. – 3 дес. = 2 дес.

50 + 30 = 80; 50 – 30 = 20.


ПУ

Свойство прибавления числа к сумме (сочетательное свойство)

Изучение каждого свойства строится примерно по одному плану:

1) используя наглядные пособия, надо раскрыть суть самого свойства;

2) научить детей применять его при выполнении различных упражнений;

3) научить, пользуясь знанием свойства, находить рациональные приемы

вычислений с учетом особенностей каждого конкретного случая.

Рассмотрим, как можно провести ознакомление детей с сочетательным

свойством.

(5 + 3) +4 = 5 + (3 + 4) =

8 + 4 = 12 5 + 7 = 12

Можно записать так: 5 + 3 + 4 = (5 + 3) + 4 = 5 + (3 + 4)

Устные приемы сложения.

1) Сложение вида 34 + 2. Сложение вида 34 + 20.

34 + 2 = 34 + 20 =

30 4 30 4

2) Сложение вида 34 + 6.

34 + 6 =

30 4

? ?


ПУ


28 + 6 =

2 4


1 способ 2 способ

34 + 21 = 34 + 21 =

30 4 20 1 20 1

5) Сложение вида 36 + 24, 36 + 64.


36 + 24 = 36 + 24 =

30 6 20 4 20 4



27 + 35 = 27 + 35 =

20 7 30 5 30 5

Правило 1: К числу 27 нужно прибавить число 35.

Сначала складываю десятки, получаю 50. Потом складываю единицы, получаю 12.

К 50 прибавляю 12, получаю 62.


ПУ

Устные приемы вычитания.

1) Вычитание вида 34 – 2. Вычитание вида 34 – 20

34 – 20 = 34 – 2 =

30 4 30 4

2) Вычитание вида 30 – 2.

30 – 2 =

20 10


32 - 5 =

2 3

Правило 2: К числу 27 нужно прибавить число 35.

Сначала к 27 прибавляю 30, получаю 57. Потом к 57 прибавляю 5, получаю 62.


ПУ



54 – 23 = 54 – 23 =

50 4 20 3 20 3

5) Вычитание вида 50 – 23, 100 – 23.

50 – 23 =

20 3


53 – 25 =

20 5

Правило: Из числа 53 нужно вычесть число 25.

Сначала из 53 вычитаю 20, получаю 33. Потом из 33 вычитаю 5, получаю 28.


ПУ

4. Изучение письменного сложения и вычитания двузначных чисел

Сложение двузначных чисел.

В концентре «Сотня» начинается работа по формированию навыков

письменного сложения.

Приступая к изучению данной темы, необходимо проверить:

1) знание терминологии этого действия: слагаемые и сумма, знак сложения –

плюс;

2) умение правильно читать и записывать двузначные числа;

3) знание разрядного состава числа и соотношение разрядных единиц;

4) сформированность навыков табличного сложения и умение пользоваться

ими;

6) особые случаи сложения: а + 0, 0 + а; 0 + 0;

7) знание свойств сложения: переместительное свойство, сочетательное

свойство (прибавление суммы к числу и числа к сумме).

Выполнение письменного сложения двузначных чисел требует от учащихся

предельного внимания, аккуратной записи, а также применение целого ряда

условий, которые обеспечивают успешность вычисления, а именно:

1. Включение на каждом уроке упражнений на повторение вопросов 1 -6

и создание определенного настроения на вычислительную работу.

2. Соблюдение принципа постепенного усложнения примеров:

− решение примеров без перехода через разряд: +

43

12

;

− решение примеров с образованием круглого десятка: +

68

12

;

− решение примеров с переходом через разряд: +

57

18

;

− решение примеров с образованием сотни: +

73

27

.

3. Особое внимание следует уделять примерам на сложение, в которых:

во втором слагаемом больше цифр, чем в первом.

4. Нахождение суммы трех слагаемых закрепляет навыки не только

письменного сложения двузначных чисел, но и устного сложения

однозначных чисел и двузначных чисел с однозначными.

5. Проверка примеров на сложение на данном этапе происходит на основе


ПУ

переместительного свойства сложения и еще двух способов:

а) из полученной суммы вычитаем первое слагаемое, в результате должно

получиться второе слагаемое;

б) из полученной суммы вычитаем второе слагаемое, в результате должно

получиться первое слагаемое;

6. Соблюдение количественной меры решаемых примеров. Практика

показывает, если ученик решает сразу более 5 примеров, то количество

допускаемых ошибок возрастает.

7. Осуществление систематического контроля и анализ ошибок. Контроль

позволяет вовремя обратить внимание на пробелы учеников и организовать

целенаправленную индивидуальную работу.

Сначала решаются примеры, в которых слагаемые уже расположены в

столбик, а потом предлагаются такие примеры, в которых слагаемые

записаны в строчку, и учащимся приходится самим записывать их для

вычисления в столбик.

Подписывание слагаемых друг под другом ставит ученика перед

необходимостью приводить в соответствие одноименные разряды, тем

самым закрепляется знание состава чисел.

На этих примерах учащиеся упражняются в практическом применении

переместительного свойства сложения (удобнее меньшее слагаемое

прибавлять к большему).

Пояснения, которые сопровождаются при решении примеров на сложение в

столбик, могут быть подробными и краткими. При подробном пояснении

ученик называет разряды тех чисел, которые складывает. При кратком

пояснении называются только результаты сложения.

Рассмотрим на примере как знакомить детей с письменным

сложением.

Фрагмент урока: Письменное сложение вида 32 + 24.

32 + 24 =

десятки единицы единицы десятки

?


ПУ

При сложении числа удобно записывать друг под

другом, или в столбик.

Рассуждай так:

Пишу десятки под десятками, единицы под

единицами

Складываю единицы, получаю 6. Пишу 6 под единицами.

Складываю десятки, получаю 5. Пишу 5 под десятками

Читаю ответ - 56

Приведем алгоритм сложения в столбик. Например, решите пример 36

+ 46.

1) Запишу пример в столбик.

Второе слагаемое пишу под первым – единицы под единицами, десятки под

десятками.

Между слагаемыми поставлю знак плюс.

Под вторым слагаемым проведу черту.

Начинаю складывать единицы.

2) Складываю единицы: 6 единиц плюс 6 единиц получится 12 единиц.

12 единиц это 1 десяток и 2 единицы.

2 пишу под единицами, а 1 запоминаю (над разрядом десятков поставлю

точку).

3) Складываю десятки: 3 десятков плюс 4 десятка получится 7 десятков,

да

еще 1 десяток, который запомнили, получится 8 десятков.

8 пишу под десятками.

4) Получили ответ: 82.

Вычитание двузначных чисел

В концентре «Сотня» начинается работа по формированию навыков

письменного вычитания.


1) знание терминологии этого действия: уменьшаемое, вычитаемое и

разность, знак вычитания – минус;

2) умение правильно читать и записывать двузначные числа;


4) сформированность навыков табличного вычитания и умение пользоваться

ими;

5) особые случаи вычитания: а − 0, 0 – 0.

32 +24 —

56

Внимание! При письменных вычислениях сложение начинают с единиц.


ПУ

Выполнение письменного вычитания двузначных чисел требует от

учащихся предельного внимания, аккуратной записи, а также применение

целого ряда условий, которые обеспечивают успешность вычислений, а

именно:

1. Включение на каждом уроке упражнений на повторение вопросов 1–5



− решение примеров, когда не нужно занимать единицу предшествующего

разряда:

−

14

58

;

− решение примеров, когда нужно занимать единицу предшествующего

разряда

: −

14

50

или –

14

51

или –

14

100

.

3. Особое внимание следует уделять примерам на вычитание, в которых

уменьшаемое содержит единицу с нулями. В каждом случае полезно

подробно комментировать и демонстрировать на абаке процесс занимания и

замены единицы высшего разряда десятью единицами соседнего, низшего

разряда.

4. При проверке примеров на вычитание можно использовать два

способа:

а) полученную разность складывают с вычитаемым, в результате должно

получиться уменьшаемое;

б) из уменьшаемого вычитают полученную разность, в результате должно

получиться вычитаемое.







Пояснения, которые сопровождаются при решении примеров на

вычитание в столбик, могут быть подробными и краткими. При подробном

пояснении ученик называет разряды тех чисел, которые вычитает. При

кратком пояснении называются только результаты вычитания.


ПУ

Рассмотрим на примере как знакомить детей с письменным

вычитанием.

Фрагмент урока: Письменное вычитание вида 45 – 23

45 – 23 =

При вычитании числа удобно записывать друг под другом, или в столбик.

Рассуждай так:

Пишу десятки под десятками, единицы под

единицами

Вычитаю единицы, получаю 2. Пишу 2 под

единицами.

Вычитаю десятки, получаю 2. Пишу 2 под десятками

Читаю ответ – 22.

Приведем алгоритм вычитание в столбик. Например,

решите пример 68 − 29.


Вычитаемое пишу под уменьшаемым – единицы под единицами, десятки под

десятками.

Между уменьшаемым и вычитаемым поставлю знак минус.

Под вычитаемым проведу черту.

Начинаю отнимать единицы.

2) Вычитаю единицы: из 8 единиц отнять 9 единиц нельзя. Поэтому в

разряде десятков занимаю 1 десяток (над разрядом десятков поставлю точку).

1 десяток это 10 единиц.

10 единиц да еще 8 единиц это 18 единиц.

45 - 23 —

22

десятки единицы единицы десятки

Внимание! При письменных вычислениях вычитание начинают с единиц.


ПУ

18 – 9 = 9.

9 пишу под единицами.

3) Вычитаю десятки: осталось 5 десятков.

5 – 2 = 3.

Получили 3 десятков.


4) Получили ответ: 39.

4. Методика изучения табличных случаев умножения и

соответствующих случаев деления.

Теоретическая подготовка к изучению

табличного умножения и деления.

После усвоения учениками конкретного смысла действий умножения и

деления (на примере решения простых задач или практической

деятельности) и освоения новой терминологии (навзания компонентов и

результата новых арифметических действий) изучается табличное

умножение и деление.

К табличному умножению и делению относятся случаи умножения

однозначных натуральных чисел (кроме 1; естественно, и кроме 0 – это не

натуральное число) на однозначные натуральные числа (кроме 1), и

соответствующие случаи деления.

При составлении таблицы умножения и деления используются следующие

вычислительные приемы:

1) прием нахождения произведения сложением 2 3 = 2 + 2 + 2;

2) прием нахождения результата по предыдущему или последующему

действию 2 4 = 2 3 + 2, 2 4 = 2 5 – 2;

3) прием группировки 2 8 = 2 5 + 2 3;

4) прием перестановки 2 9 = 9 2;

5) прием деления как нахождения одного из множителей 2 8 = 16, 16 :

2 = 8, 16 : 8 = 2.

Перед введением каждого нового приема повторяется или изучается его

теоретическая основа.

Прием нахождения произведения сложением: его теоретической основой

является конкретный смысл умножения, который осваивается детьми

раньше. Поэтому конкретный смысл умножения перед составлением каждой

новой таблицы только повторяется.


ПУ

Прием нахождения результата по предыдущему или последующему

действию и прием группировки: его теоретической основой является

сочетательное свойство сложения, которое изучается во 2 классе (с. 87) до

знакомства с умножением и делением. Формулировка этого свойства для

детей такова: два любых слагаемых можно заменить их суммой: 50 + 7 + 2 =

50 + (7 + 2) = 50 + 9 = 59. Данное свойство тоже только повторяется перед

составлением новой таблицы.

Прием перестановки множителей: его теоретической основой является

переместительное свойство умножения. Это свойство является новым для

детей, оно изучается сразу после введения первых случаев табличного

умножения числа 2 и числа 3 (начало 3 класса, с. 20). Детям предлагается

подсчитать, сколько квадратов находится внутри прямоугольника.

Применяется два способа счета: по рядам и по столбцам. Появляются два

равенства: 4 + 4 + 4 = 4 3 и 3 + 3 + 3 + 3 = 3 4. В связи с тем, что

подсчитывается одно и то же количество квадратов, то между первым и

вторым произведением ставится знак равенства: 4 3 = 3 4. Формулируется

правило: от перемены мест множителей произведение не изменяется. Дается

его буквенная запись: a b = b a.

(Напомним, что изученное правило позволяет изменить требования к записи

решения задач на умножение. Теперь можно позволить детям записывать

множители в любом порядке.)

Прием деления как нахождения одного из множителей: его теоретической

основой является связь между умножением и делением. Она показывается

детям в два этапа. Сначала на основе предметной деятельности ученики

составляют по примеру на умножение два примера на деление (2 кл. с. 128-

129): 5 3 = 15; 15 : 3 = 5; 15 : 5 = 3. Во 2 классе также даются названия

компонентов и результата деления. Потом (3 кл) дается словесная

формулировка этой связи: если произведение разделить на один из

множителей, то получится другой множитель.

Данная связь закрепляется следующим образом:

1) применяется при нахождении неизвестных множителей в

уравнениях: чтобы найти неизвестный множитель, надо

произведение разделить на известный множитель – 3 кл., с. 21;

2) служит для проверки правильности выполнения умножения:

умножение проверяется делением. Если произведение разделить на

один из множителей и получится второй множитель, то умножение

выполнено правильно – 3 кл., с. 64.

Изучение таблицы умножения и деления.


ПУ

Таблица умножения (деления) изучается постепенно, начиная со 2 класса.

Постепенность составления таблицы умножения чисел 2 и 3 во втором

классе объясняется необходимостью одновременного освоения или

уточнения теоретических основ вычислительных приемов.

Таблицу умножения числа 2 целесообразно составлять вместе с учениками:

2 2= 2 + 2 = 4

2 3 = 2 + 2 + 2 = 2 2 + 2 = 6

2 4 = 2 3 + 2 = 8

2 5 = 2 4 + 2 = 10

2 6 = 2 5 + 2 = 12

2 7 = 2 6 + 2 = 14

2 8 = 14 + 2 = 16

2 9 = 16 + 2 = 18

Для иллюстрации табличных случаев можно использовать так называемые

числовые фигуры или прямоугольники, разбитые на различное число

квадратов (подготовить сообщение к практическим занятиям)

После на доске и в тетради слева записывается итоговый вариант таблицы

умножения двух:

2 2 = 4 4:2 = 2

2 3 = 6 6:2 = 3 6:3 = 2

2 4 = 8 8:2 = 4 8:4 = 2

2 5 = 10 10:2 = 5 10:5 = 2

2 6 = 12 12:2 = 6 12:6 = 2

2 7 = 14

Вместе с детьми составляются второй и третий столбец таблицы (на

основании связи между умножением и делением).

Аналогично составляется таблица умножения числа 3.

После этих случаев умножения изучается переместительное свойство

умножения (российские учебники – 2 класс, с. 138, бел. учебники – 3 кл., с.

21). Это позволяет составить еще по одному столбцу таблицы умножения:

умножение на 2 и на 3. В дальнейшем (начиная с числа 4) дети сразу

осваивают 4 столбца таблицы: умножение числа 4, умножение на 4, деление

на 4, деление, в результате которого получается 4.


ПУ

Важно, чтобы дети поняли, что заучивать наизусть нужно только первый

столбец. Результаты остальных примеров связаны с примерами первого

столбца.

Составление второго столбца на основании переместительного свойства

умножения позволяет заметно сократить число предназначенных для

заучивания наизусть случаев. Например, первый столбец таблицы

умножение числа 6 можно сразу начинать с записи 6 6 = 6 5 + 6 = 36,

поскольку случай 6 5 уже изучен детьми при составлении второго столбца

таблицы умножения числа 5:

5 6 = 30 6 5 = 30 30:6 = 5 30:5 = 6.

В конце изучения дается сводная таблица умножения ( 3 кл., с.94)

Изучение особых случаев умножения и деления.

Умножение

Умножение 1 и на 1, 10 и на 10, 0 и на 0 изучается особо.

Умножение 1 и на 1.

Умножение 1 на число в таблицу не включают, поскольку результат не

требует специального запоминания (находится по простым правилам).

Правило умножения 1 на число объясняется через сложение:

1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 (3 кл, с. 23)

Умножение на 1 специфично: его нельзя обосновать как сумму, в которой

одно слагаемое. По этой причине невозможно использовать ни прием

замены произведения суммой (говорить «возьмем 5 один раз»), ни

перестановку множителей (ведь выражение 5 1 – это не произведение).

Поэтому данное правило просто сообщается детям и в дальнейшем

используется при вычислениях. (3 кл., с.23)


Умножения 0 на число в таблицу не включают по тем же причинам: не

требуется специального запоминания. Кроме того, 0 – не натуральное число,

и не является табличным случаем по определению.

Умножение нуля дается также, как умножение 1 – через сложение:

0 4 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

Умножение на 0 специфично: его нельзя обосновать как сумму, в которой

нет слагаемых. По этой причине невозможно использовать ни прием

замены произведения суммой (говорить «возьмем 5 ноль раз»), ни


ПУ

перестановку множителей (ведь выражение 5 0 – это не произведение).

Поэтому данное правило просто сообщается детям и в дальнейшем

используется при вычислениях. (3 кл., с.23)


Умножение числа 10 на число объясняется с помощью замены

отвлеченного числа 10 именованным:: 10 2 = 1 дес. 2 = 2 дес. = 20.

Умножение на 10 объясняется на основании умения умножать 10 на число: 2

10 = 10 2 = 20.

При решении подобных примеров, дети могут найти и сформулировать

правило: чтобы умножить число на 10, нужно приписать к нему справа 0.

(3 кл., с. 29)

Деление

Деление на 1 и на число, равное делимому, деление 0 и невозможность

деления на 0, деление на 10 также изучается особо.

Деление на 1 и на число, равное делимому.

Деление на 1 может вводиться:

1) на основе знания связи между умножением и делением: если 1 4 = 4, то

4 : 1 = 4.

2) можно порекомендовать воспользоваться вычитанием:

4 – 1 – 1 – 1 – 1. Число 1 берется вычитаемым 4 раза, значит 4 : 1 = 4.

3) можно опираться на конкретный смысл деления (4 конфеты раздали

по 1 детям. Сколько ребят получили конфеты?)

Деление на число, равное делимому (4:4 = 1) также может вводится

разными способами:

1) на основании знания связи между умножением и делением: если 1 4

= 4, то 4 : 4 = 1

2) можно воспользоваться вычитанием: 4 – 4. 4 является вычитаемым

1 раз, значит, 4 : 4 = 1.

3) можно опираться на конкретный смысл деления (4 конфеты раздали

по 4 конфеты детям. Сколько ребят получили конфеты?)

(3 кл.)

Деление 0 и невозможность деления на 0.


ПУ

Деление 0 на любое число, не равное 0, рассматривается на основе связи

между умножением и делением. Если 0 5 = 0, то 0 : 5 = 0.

Невозможность деления на 0 сообщается детям в виде правила «на нуль

делить нельзя» и поясняется на примерах:

Пусть надо 8 : 0. Это значит, нужно найти число, которое при умножении

на 0 даст 8. Такого числа не существует, значит, делить на 0 нельзя.

Деление на 10.

Деление круглого числа на 10 может быть дано следующими способами:

1) на основе знания связи между умножением и делением: если 4 10 =

40, то 40 : 10 = 4;

2) на основе деления по содержанию именованных чисел: 40 : 10 = 4

дес. : 1 дес. = 4

4. Внетабличное умножение и деление

К внетабличному умножению и делению относятся следующие случаи:

умножение двузначного числа на однозначное; умножение однозначного

числа на двузначное; деление двузначного числа на однозначное; деление

двузначного числа на двузначное.

1 этап.

Умножение и деление круглых чисел.

30 2 = 3 дес. 2 = 6 дес. = 60

80 : 4 = 8 дес. : 4 = 2 дес. = 20

Теоретической основой этих приемов являются: разрядный состав

чисел и табличные случаи умножения и деления.

Для случая 2 30 применяется переместительное свойство умножения.

Кроме этого для случая 2 30 учебник рекомендует так называемый

«прием последовательного умножения: 2 30 = 2 3 10 = 6 10 = 60. При этом

правило умножения числа на произведение, которое является теоретической

основой данного приема, рассматривается позднее. С нашей точки зрения,

это не удачно с точки зрения методики.

При делении круглых чисел учитель может поступать по-разному:


ПУ

прием подбора: 60 : 20 – это значит найти число, которое при

умножении на 20 даст 60. После перебора нескольких вариантов,

дети находят нужное число.

Прием замены отвлеченных чисел именованными: 60 : 20 = 6 дес. : 2

дес. = 3

Прием так называемого «последовательного деления», который

предлагается в учебнике, не удачен с точки зрения методики, так как

детям еще не дана его теоретическая основа: правило деления числа

на произведение. По этому приему 60 : 20 = 60 : (2 10) = 60 : 10 : 2 =

3

2 этап. Умножение и деление некруглых чисел.

При умножении двузначного числа на однозначное теоретической основой

является правило умножения суммы на число. Последовательность введения

этого правила может быть следующей:

Запись примера с числами в пределах 10: (3 + 4) 2

Схематическая иллюстрация записанного примера (три квадрата и 4

треугольника в двух рядах).

Нахождение результата действия по иллюстрации двумя способами.

1 способ: найдем, сколько всего фигур в ряде, и умножим на число рядов: (3

+ 4) 2 = 7 2 = 14.

2 способ: найдем, сначала найдем, сколько квадратов, потом – сколько

треугольников, результаты сложим: (3 + 4) 2 = 3 2 + 4 2 = 6 + 8 = 14.

Сравнение записей и вывод: чтобы умножить сумму на число,

можно каждое слагаемое умножить на это число, а результаты

сложить.

После этого вычислительный прием обосновывается следующим образом.

Пусть надо

36 2.

1. Представим 36 в виде суммы разрядных слагаемых 30 и 6.

2. Умножим на 2 каждое слагаемое: 30 на 2 будет 60, 6 на 2 будет 12.

3. Результаты сложим: 60 и 12 будет 72.


ПУ

Полезно предложить детям заменить множитель 36 не суммой разрядных, а

суммой любых слагаемы, и убедиться, что результат от этого не измениться.

При этом дети отмечают несомненное удобство первого способа.

Для деления двузначного числа на однозначное теоретической основой

является правило деления суммы на число. Последовательность введения

этого правила:

1. Запись примера с числами в пределах 10: (6 + 4): 2.

2. Составление житейской ситуации, соответствующей выражению, и

ее схематическая иллюстрация. Например: девочка разложила в две

тарелки 6 яблок и 4 груши. Сколько фруктов на каждой тарелке?

3. Нахождение результата по иллюстрации двумя способами:

1 способ: найти, сколько всего фруктов у девочки, и разделить на два (6 +

4) : 2 = 10 : 2 = 5

2 способ: найти, сколько яблок в каждой тарелке и сколько груш в каждой

тарелке. Результаты сложить.

(6 + 4) : 2 = 6 : 2 + 4 : 2 = 3 + 2 = 5

Сравнение записей и формулировка правила: чтобы разделить сумму

на число, можно каждое слагаемое разделить на это число, а

результаты сложить.

После этого вычислительный прием обосновывается следующим образом.

1 этап. Делимое заменяется суммой разрядных слагаемых

96 : 3 = (90 + 6) : 3 = 90 : 3 + 6 : 3 = 30 + 2 = 32.

2 этап. Делимое заменяется суммой удобных слагаемых.

52 : 2 = (40 + 12) : 2 = 40 : 2 + 12 : 2 = 20 + 6 = 26.

Или

28 : 2 = (20 + 8) : 2 = (10 + 18) : 2 = (14 + 14) : 2.

Проанализировав вычисления во всех случаях, дети приходят к выводу:

удобнее первым слагаемым делать круглое число, а второе слагаемое при

этом должно быть наименьшим.

В итоге дети осваивают следующий алгоритм:


ПУ

Пусть надо 45 : 3.

1. Заменю делимое суммой удобных слагаемых, которые делятся на

делитель. Для этого выделим в делимом наибольшее число десятков,

которое делятся на 3. Это 30. Тогда второе удобное слагаемое – 15.

2. Получим сумму 30 и 15, которую нужно разделить на 3.

3. Применим правило деления суммы на число и разделим 30 на 3, а

потом 15 на 3.

4. Полученные разультаты 10 и 5 сложим. Получаем 15.

Деление двузначного числа на двузначное.

При делении двузначного числа на двузначное применяется прием подбора.

Пусть нужно 96 : 16. Дети должны подобрать число, которое при умножении

на 16 даст 96. После нескольких проб они получают результат – 6.

Можно посоветовать усовершенствовать подбор и начинать его всегда с числа

5. Далее пробовать числа в зависимости от результата сделанной пробы.

5. Деление с остатком

После изучения внетабличного умножения и деления изучается деление с

остатком. Эта тема имеет большое значение в связи с уточнением

житейского опыта детей (деление с остатком в жизни распространено

намного больше, чем деление без остатка). Кроме этого, деление с

остатком необходимо для изучения алгоритмов письменных вычислений.

Особенность деления с остатком заключается в том, что по двум данным

числам (делимому и делителю) находятся два числа (частное и остаток).

Введение деления с остатком начинается с практических действий разбиения

множества на равновеликие подмножества. Например, 14 тетрадей делятся

между учениками по 4 тетради. Получается, что 3 ученика получило тетради,

и 2 тетради остались не разделенными. Решение записывается: 14 : 4 = 3 (ост.

2).

После этого, анализируя составленные примеры на деление нескольких

последовательных чисел на один делитель, дети приходят к выводу, что

остаток всегда меньше делителя.

6 : 3 = 2 (ост. 0)

7 : 3 = 2 (ост. 1)

8 : 3 = 2 (ост. 2)

9 : 3 = 3 (ост. 0)


ПУ

Далее разбираются случаи деления, где делимое меньше делителя. Например,

3 : 5 = 0 (ост. 3). Подобные случаи важны и для изучения алгоритмов

письменных вычислений.

В итоге формулируется сам алгоритм деления с остатком. Пусть надо 29 : 9.

1. Найдем наибольшее число до 29, которое делится на 9 без остатка.

Это 27.

2. Разделим 27 на 9 – это 3.

3. Найдем, сколько единиц не разделили: 29 – 27 = 2.

4. Сравню остаток с делителем: 2 < 9.

Для закрепления знаний очень полезны примеры с окошками следующих

видов:

46 : ? = 7 (ост. ? )

46 : 6 = (ост. ? )

46 : ? = 7 (ост. 4)

? : 6 = 7 (ост. 3)

Тема 8. Методика изучения понятия числа в концентрах «тысяча» и

«многозначные числа»

Вопросы

1.Особенности изучения нумерации трехзначных и многозначных чисел

(устная и письменная нумерация). Понятие класса. Вспомогательная роль

величин.

2. Изучение отношений "равно", "больше", "меньше".

3. Методика изучения приемов сложения и вычитания многозначных чисел.

4. Методика изучения приемов умножения и деления многозначных чисел.


1. особенности изучения нумерации трехзначных и многозначных чисел

(устная и письменная нумерации)

Устная и письменная нумерация в пределах миллиона

Задача обучения нумерации заключается в том, чтобы сформировать понятие

о новой счетной единице – тысяче как единицы второго класса, научить

детей читать и записывать многозначные числа, обобщить знания о

нумерации целых неотрицательных чисел. Эти умения и навыки опираются

на ряд понятий, связанных с особенностями десятичной системы счисления:

на понятия о разрядах и классах, о записи бесконечного ряда чисел при


ПУ

помощи 10 цифр, о названии чисел с помощью небольшого количества слов,

на поместный принцип и т.д.

При изучении нумерации многозначных чисел рассматривают устную и

письменную.


1) единицы множества группируются в десятичные, затем в тысячные

группы, 2) образуются числа из этих десятичных групп,


4) ведется счет единицами и группами единиц.


принципа о поместном значении цифр научить детей записать любое число и

прочитать записанное число.

В качестве наглядных пособий при изучении нумерации многозначных чисел

должны использоваться абаки (рис. )

а) классный б) индивидуальный

Рис.

и таблица разрядов и классов (рис. ).

Второй класс – класс тысяч Первый класс – класс единиц

Сотни

тысяч

Десятки

тысяч

Единицы

тысяч

Сотни Десятки Единицы

6 5 4 3 2 1

Образование счетных единиц

С помощью абака учитель показывает как образуются счетные единицы:

единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч.

а)


ПУ


б)

10 десятков = 1 сотне

в)

10 сотен = 1 тысяче

Рис.

Работа с абаком должна быть продолжена до образования 1 тысячи

тысяч. В результате на доске появляется таблица:


10 десятков = 1 сотне

10 сотен = 1 тысяче

10 тысяч = 1 десятку тысяч

10 десятков тысяч = 1 сотне тысяч

10 сотен тысяч = 1 тысячи тысяч – 1 миллиону

Составление этой таблицы и ее усвоение имеет большое значение. Дети

усваивают:

5) название счетных единиц (разрядов);

6) порядок их расположения;

7) единичное отношение двух смежных разрядов;

8) условное изображение счетных единиц на абаке.


ПУ

Составление многозначных чисел и разложение их на десятичные

группы

На этом этапе ученики должны научиться составлять и называть числа,

составленные из различных счетных единиц. Для этого необходимо:

1) использовать абак. Называя счетные единицы, из которых составляется

число, надо откладывать их на абаке или рисовать в тетради. Это помогает

ученикам запомнить название разрядов и их расположение на абаке.

2) предлагать ученикам разрядные числа сначала только одного класса, а

позже двух классов.

Например,

а) какое число получится, если взять 4 сотни тысяч и 8 десятков тысяч?

б) какое число составит 1 сотня тысяч и 3 тысячи?

в) какое число составит 5 сотен тысяч и 6 десятков тысяч и 7 тысячи?

Одновременно с составлением чисел из данных разрядных единиц ученики

знакомятся и с обратной операцией – разложение данного числа на

разрядные слагаемые.

Например,

а) сколько в числе 765 тысяч сотен тысяч, десятков тысяч, единиц тысяч?

Покажите это число на абаке.

б) назовите, из каких счетных единиц состоит число 234 тысяч 789 единиц.

Покажите это число на абаке.

Понятие о разрядах

С разрядами (единицы, десятки, сотни) дети уже знакомы, изучая числа от 1

до 1000. Обобщая эти знания, ученики делают вывод:

− простые единицы это единицы первого разряда; откладываются на абаке на

первой спице справа; пишутся на первом месте справа;

− десятки это единицы второго разряда; откладываются на абаке на второй

спице справа; пишутся на втором месте справа;

и так далее до седьмого разряда.

В результате на доске учитель вычерчивает разрядную таблицу:

Сотни

тысяч

Десятки

тысяч

Единицы

тысяч


6 5 4 3 2 1

Ученики должны твердо усвоить по таблице разрядов: название разрядных

единиц, их последовательность расположения и место каждого разряда.

Для запоминания места каждого разряда в таблице можно предложить


а) на каком месте справа стоят десятки? Тысячи? Сотни? Сотни тысяч?


ПУ

б) какие разрядные единицы стоят на первом месте справа: на пятом месте

справа? На шестом месте справа?

в) какое число обозначает цифра 6, стоящая на третьем месте от правой руки?

При работе с этой таблицей необходимо обобщить знания учеников о

соотношении количества единиц:

1) двух смежных разрядов и 2) двух не смежных разрядов.

Например,

1) количество единиц третьего разряда в 10 раз меньше количества единиц

четвертого разряда и наоборот, количество единиц 6 разряда в 10 раз больше

количества единиц пятого разряда и т.д.

2) количество единиц третьего разряда в 100 раз меньше количества единиц

пятого разряда и наоборот, количество единиц 6 разряда в 1000 раз больше

количества единиц второго разряда и т.д.

Увеличение и уменьшение числа в 10, 100. 1 000 раз основывается на знании

о поместном значении цифры в записи числа. Учитель должен организовать

наблюдения детей за изменением значения цифры при перемещении ее в

записи числа, которое происходит, если приписать к числу или отбросить

один, два, три нуля (например, 4 и 40; 600 и 6).

Понятие о классах

На основании введенных состава числа из десятичных групп и

разрядов, можно познакомить детей с понятием о классе.

На абаке учитель показывает числа и просит учеников назвать их

(рис.).

а) б)

253 единицы 253 тысячи

Сколько в этом числе единиц? Сколько в этом числе тысяч?

Десятков единиц? Сотен единиц? Десятков тысяч? Сотен тысяч?

Вывод: счет ведется единицами. Вывод: счет ведется тысячами.

Далее учитель обращает внимание детей на то, что:

1) если считать единицами, то можно составить десятки единиц и сотни

единиц (в результате можно досчитать до 999 единиц);


ПУ

2) если считать тысячами, то можно составить десятки тысяч и сотни

тысяч (в результате можно досчитать до 999 тысяч).

При счете единицами получают 3 разряда: простые единицы, десятки

единиц, сотни единиц. Эти 3 разряда составляют первый класс – класс

единиц.

При счете тысячами получают 3 разряда: единицы тысяч, десятки

тысяч, сотни тысяч. Эти 3 разряда составляют второй класс – класс тысяч.

В результате такой работы на доске вычерчивается таблица:

Второй класс – класс тысяч Первый класс – класс единиц

Сотни

тысяч

Десятки

тысяч

Единицы

тысяч


6 5 4 3 2 1

На основе таблицы дети усваивают название классов, их порядок, какие

разряды входят в каждый класс.

По этой таблице проводится упражнения в записи и чтении чисел сначала

одного класса (498 тысяч, 498 единиц), а затем двух классов (381 тысячи 279

единиц). Данная работа должна сопровождаться с демонстрацией чисел на

абаке.

Дети должны научиться проводить анализ числа на слух, т.е. уметь

определить:

1) из каких классов состоит число;

2) из каких разрядов состоит число;

3) в каких разрядах отсутствуют единицы.

Обучение записи и чтению многозначных чисел

Обучение учеников записи и чтению многозначных чисел включает в себя

два этапа:

1 этап. Запись круглых чисел класса тысяч, например: 600 000,

391 000, 340 000, 506 000 и т.д.

При обучении записи чисел необходимо с учениками провести анализ числа

на слух, показать его на абаке и записать на доске и в тетрадях.

Например, запишите число 391 тысяча.

5) Определите, из каких классов состоит число, единицы какого класса

отсутствуют.

6) Покажите это число на абаке. На каких местах должны стоять цифры 3,

9, 1? Это единицы, какого класса?

7) Единицы, какого класса отсутствуют? Чем же мы можем занять эти

места?

8) Запишите это число на доске и в тетрадях.


ПУ

На основании нескольких таких упражнений дети должны сделать два

вывода:

1) чтобы записать число, состоящее из тысяч, сначала записывают

число тысяч, а затем приписывают к нему справа три нуля;

2) для того чтобы легче было записывать и читать многозначные

числа, надо при их записи отделять класс от класса небольшими

промежутками.

Упражнения в чтении чисел, состоящих из круглых тысяч должно

сопровождаться объяснением, почему мы так читаем число.

Например, прочитайте число 46 000.


обозначает 4 десятка тысяч, цифра 6 стоит на 4-ом месте справа и обозначает

6 тысяч, значит 46 тысяч.

2 этап. Запись и чтение многозначных чисел, состоящих из двух

классов – класса тысяч и класса единиц.

При обучении записи чисел необходимо, чтобы дети раскладывали число на

классы, записывали каждый класс, начиная с высшего, и между классами

делали небольшой промежуток.

При обучении чтению многозначных чисел необходимо, чтобы дети также

разбили число на классы, начиная с первого. Например, ученики могут

отделять класс от класса точкой, поставленной сверху.

Особо следует обратить внимание на числа, в которых отсутствуют единицы

какого-либо разряда. Например, 15 036, 10 125, 30 580, 700 021 и т.д.

Ученики должны знать, что если в числе отсутствуют единицы какого-

либо разряда, то при записи места таких разрядов занимают нули.

Основным приемом обучению записи и чтению таких чисел является

анализ числа на слух, показ на абаке, запись в таблице разрядов и классов.

Приведем примерную схему анализа числа:


10) назовите число единиц каждого разряда и каждого класса;

11) назовите общее число единиц каждого разряда;




14) назовите наименьшее и наибольшее числа, которые имеют

столько же разрядов, что и данное число;

15) укажите, сколько всего цифр понадобилось для записи данного

числа и сколько среди них различных;


ПУ

16) используя все цифры данного числа, запишите наименьшее и

наибольшее числа.

Разложение многозначных чисел на разрядные слагаемые

Упражняясь в разложении чисел на разрядные слагаемые, позволяет

ученикам осознать значение каждой цифры числа. Задания можно предлагать

в таких формулировках, например:

3) разложите число на разрядные слагаемые;

4) представьте число в виде суммы разрядных слагаемых.

Рассмотрим задание: разложите число 764 123 на сумму разрядных

слагаемых.

Для выполнения этого задания ученик должен определить, что:

1) данное число состоит из 764 тысяч и 123 единиц;

2) в классе тысяч имеются сотни тысяч, десятки тысяч, единицы тысяч, а

классе единиц – сотни, десятки и единицы; поэтому, 764 123 = 700 000 +

60 000 + 4 000 + 100 + 20 + 3.

Огромную роль в осознании детьми состава числа играет и обратная

операция: запись числа, если записано разложение его на сумму разрядных

слагаемых. Например, 20 000 + 500 + 2 = 20 502.

Интересным является и упражнения, в которых название классов записано

словами, например, 21 тыс. 42 = 21 042.

Преобразование состава числа

Умение выполнять преобразование состава числа необходимо

ученикам для изучения умножения и деления, которое невозможно без

разложения делимого на его части.

Для каждого числа ученик должен уметь:

1) определять общее количество единиц какого-либо разряда (в данном

числе содержится;

2) представлять число в виде суммы различных его частей.

Например, число 53 102:

1) содержит 531 сотен, 5 310 десятков;

2) 53 102 = 531 с + 2 ед.

или 53 102 = 5 310 дес. + 2 ед.

или 53 102 = 53 тыс. + 102 ед.

Преобразование состава числа сводится к двум операциям – раздроблению и

превращению одних разрядных чисел в другие.

Раздробление состоит в том, что данное число десятков, сотен, тысяч и т.д.

выражают в единицах. Например,

56 дес. = 560; 24 сотни = 2 400; 871 сотни = 87 100.


ПУ

Превращение состоит в том, что данное число единиц преобразуют в более

крупные разрядные единицы – в десятки, сотни и т.д. Например,

500 = 50 дес.; 21500 = 215 сотен; 421 300 = 4 213 сотен;

5 347 = 53 сотни + 47 ед.

2. Изучение отношений «равно», «больше», «меньше»

При изучении многозначных чисел обобщаются знания детей о способах

сравнения чисел:

3) на основе свойства натурального ряда чисел (например, 23 456 <

23 457);

4) На основе сравнения количества единиц соответствующих разрядов,

начиная с высшего (например, 456 789 > 451 340).

2. Изучение сложения и вычитания многозначных чисел

Сложение многозначных чисел.

В концентре «Многозначные числа» продолжается работа по формированию

навыков письменного сложения.


1) знание терминологии этого действия: слагаемые и сумма, знак сложения –

плюс;

2) умение правильно читать и записывать многозначные числа;


4) сформированность навыков табличного сложения и умение пользоваться

ими;

5) знание алгоритма письменного сложения и умение использовать его;

6) особые случаи сложения: а + 0, 0 + а; 0 + 0;

7) знание свойств сложения: переместительное свойство, сочетательное

свойство (прибавление суммы к числу и числа к сумме).

Выполнение письменного сложения многозначных чисел требует от


целого ряда условий, которые обеспечивают успешность вычисления, а

именно:

8. Включение на каждом уроке упражнений на повторение вопросов 1 -7



− решение примеров без перехода через разряд в классе тысяч: +

43217

126381

;


ПУ

− решение примеров с переходом через разряд только в классе тысяч: +

693217

126381

;

− решение примеров с переходом во всех разрядах: +

575839

126381

;

− решение примеров с переходом не во всех разрядах: +

515209

126381

.

10. Особое внимание следует уделять примерам на сложение, в которых:

− есть нули в слагаемых;

− во втором слагаемом больше цифр, чем в первом.

11. Нахождение суммы трех, четырех или пяти слагаемых закрепляет

навыки

не только письменного сложения многозначных чисел, но и устного

сложения однозначных чисел и двузначных чисел с однозначными.

12. Проверка примеров на сложение на данном этапе происходит на основе

переместительного свойства сложения.







Сначала решаются примеры, в которых слагаемые уже расположены в

столбик, а потом предлагаются такие примеры, в которых слагаемые

записаны в строчку, и учащимся приходится самим записывать их для

вычисления в столбик.

Подписывание слагаемых друг под другом ставит ученика перед

необходимостью приводить в соответствие одноименные разряды, тем

самым закрепляется знание состава чисел.

На этих примерах учащиеся упражняются в практическом применении

переместительного свойства сложения (удобнее меньшее слагаемое

прибавлять к большему).

Пояснения, которые сопровождаются при решении примеров на сложение в

столбик, могут быть подробными и краткими. При подробном пояснении


ПУ

ученик называет разряды тех чисел, которые складывает. При кратком

пояснении называются только результаты сложения.

Приведем алгоритм сложения в столбик. Например,

решите пример 36 381 + 46 229.


Второе слагаемое пишу под первым – единицы под единицами, десятки под

десятками, и т.д.

Между слагаемыми поставлю знак плюс.

Под вторым слагаемым проведу черту.

Начинаю складывать единицы.

6) Складываю единицы: 1 единица плюс 9 единиц получится 10 единиц.

10 единиц это 1 десяток и 0 единиц.

0 пишу под единицами, а 1 запоминаю (над разрядом десятков поставлю

точку).

7) Складываю десятки: 8 десятков плюс 2 десятка получится 10 десятков,

да

еще 1 десяток, который запомнили, получится 11 десятков.

11 десятков это 1 сотня и 1 десяток.

1 пишу под десятками, а 1 запоминаю (над разрядом сотен поставлю точку).

8) Складываю сотни: 3 сотни плюс 2 сотни получится 5 сотен, да еще 1

сотня, которую запоминали. Получится 6 сотен.

6 пишу под сотнями.

9) Складываю тысячи: 6 тысяч плюс 6 тысяч получится 12 тысяч.

12 тысяч это 1 десяток тысяч и 2 тысячи.

2 пишу под тысячами, 1 запоминая (над разрядом десятка тысяч ставлю

точку).

10) Складываю десятки тысяч: 3 десятка тысяч плюс 4 десятка тысяч

получится 7 десятков тысяч, да еще 1 десяток тысяч, который запоминали,

получится 8 десятков тысяч.

8 пишу под десятками тысяч.

11) Получили ответ: 82 610.

Вычитание многозначных чисел

В концентре «Многозначные числа» продолжается работа по

формированию навыков письменного вычитания.


1) знание терминологии этого действия: уменьшаемое, вычитаемое и

разность, знак вычитания – минус;




ПУ

4) сформированность навыков табличного вычитания и умение пользоваться

ими;

5) знание алгоритма письменного вычитания и умение использовать его;

6) особые случаи вычитания: а − 0, 0 – 0.

Выполнение письменного вычитания многозначных чисел требует от


целого ряда условий, которые обеспечивают успешность вычислений, а

именно:

7. Включение на каждом уроке упражнений на повторение вопросов 1–6



− решение примеров, когда не нужно занимать единицу предшествующего

разряда в классе тысяч: −

143217

586389

;


разряда в классе единиц: −

143217

586463

;


разряда в разряде сотен: −

143217

586189

;


разряда в классе тысяч: −

143217

526389

;


разряда и в классе единиц и в классе тысяч: −

143217

526381

.

9. Особое внимание следует уделять примерам на вычитание, в которых

уменьшаемое содержит несколько нулей или единицу с нулями. Для

облегчения решения таких примеров следует с учениками вспомнить

решение примеров вида: 100 – 36 (см. главу ). В каждом случае полезно

подробно комментировать и демонстрировать на абаке процесс занимания и

замены единицы высшего разряда десятью единицами соседнего, низшего

разряда.


ПУ

10. При проверки примеров на вычитание можно использовать два

способа:

а) полученную разность складывают с вычитаемым, в результате должно

получиться уменьшаемое;

б) из уменьшаемого вычитают полученную разность, в результате должно

получиться вычитаемое.

При проверки примеров на сложение на этом этапе, кроме

переместительного свойства, можно использовать еще два способа:

а) из полученной суммы вычитаем первое слагаемое, в результате должно

получиться второе слагаемое;

б) из полученной суммы вычитаем второе слагаемое, в результате должно

получиться первое слагаемое;







Пояснения, которые сопровождаются при решении примеров на

вычитание в столбик, могут быть подробными и краткими. При подробном

пояснении ученик называет разряды тех чисел, которые вычитает. При

кратком пояснении называются только результаты вычитания.

Приведем алгоритм вычитание в столбик. Например,

решите пример 36 381 − 18 229.


Вычитаемое пишу под уменьшаемым – единицы под единицами, десятки под

десятками, и т.д.

Между уменьшаемым и вычитаемым поставлю знак минус.

Под вычитаемым проведу черту.


6) Вычитаю единицы: от 1 единицы отнять 9 единиц нельзя. Поэтому в

разряде десятков занимаю 1 десяток (над разрядом десятков поставлю точку).

1 десяток это 10 единиц.

10 единиц да еще 1 единица это 11 единиц.

11 – 9 = 2.


7) Вычитаю десятки: осталось 7 десятков.

7 – 2 = 5.

Получили 5 десятков.


ПУ


8) Вычитаю сотни: 3 сотни минус 2 сотни получится 1 сотня.

1 пишу под сотнями.

9) Вычитаю тысячи: из 6 тысяч отнять 8 тысяч нельзя. Поэтому в

разряде

десятков тысяч занимаю 1 десяток тысяч (над разрядом десятков тысяч

поставлю точку).

1 десяток тысяч это 10 единиц тысяч.

10 единиц тысяч да еще 6 единиц тысяч это 16 единиц тысяч.

16– 8 = 8.

8 пишу под тысячами.

10) Вычитаю десятки тысяч: осталось 2 десятка тысяч.

2 – 1 = 1.

Получили 1 десяток тысяч.



3. Изучение умножения и деления многозначных чисел

Умножение на однозначное число

В концентре «Многозначные числа» продолжается работа по

формированию понятия умножения, зависимости между компонентами

умножения и изменение произведения в зависимости от изменения

множителей, формированию навыков письменного умножения.


1) знание терминологии этого действия: множители, произведение, знак

умножения – точка;



4) сформированность навыков табличного умножения и умение пользоваться

ими;

5) особые случаи умножения: а 0, 0 а, а 1, 1 а;

6) сформированность навыков внетабличного умножения и умение

пользоваться ими;

7) знание алгоритма письменного умножения и умение использовать его.

8) знание свойств умножения: переместительное свойство, дистрибутивное

свойство (умножение суммы на число и число на сумму).

При знакомстве с письменным умножением на однозначное число полезно:


ПУ

а) рассмотреть устные вычисления, в основе которых лежит свойство

умножения суммы на число. Например,

2314 2 = (2000 + 300 + 10 + 4) 2 =

= 1000 2 + 300 2 + 10 2 + 4 2 =

= 4000 + 600 + 20 + 8 = 4628.

б) продемонстрировать на абаке (рис. ).

число 2314 2314 2 =

Выполнение письменного умножения многозначных чисел на

однозначное требует от учащихся предельного внимания, аккуратной записи,

а также применение целого ряда условий, которые обеспечивают успешность

вычислений, а именно:

1. Включение на каждом уроке упражнений на повторение вопросов

1-8 и создание определенного настроения на вычислительную работу.


− решение примеров без перехода через разряд в классе тысяч: 132 412 2;

− решение примеров с переходом через разряд только в классе тысяч:

161 321 2;

− решение примеров с переходом во всех разрядах: 26 798 3;

− решение примеров с переходом не во всех разрядах: 59 387 6.

3. Особое внимание следует уделять примерам на умножение, в

которых в первом множителе содержится в середине один или несколько

нулей

(350 267 9, 60 038 7).




5. Осуществление систематического контроля и анализ ошибок.

Контроль позволяет вовремя обратить внимание на пробелы учеников и

организовать целенаправленную индивидуальную работу.

Пояснения, которые сопровождаются при решении примеров

умножения многозначного числа на однозначное в столбик, могут быть


ПУ

подробными и краткими. При подробном пояснении ученик называет

разряды тех чисел, которые умножает. При кратком пояснении называются

только результаты умножения.

Приведем алгоритм умножения многозначного числа на однозначное

столбик. Например, решите пример 36 381 9.


Второй множитель пишу под первым – единицы под единицами.

Между множителями поставлю знак умножения.

Под вторым множителем проведу черту.


2) Умножаю единицы: 1 единицу умножить на 9 получится 9

единиц.


3) Умножаю десятки: 8 десятков умножить на 9 получу 72 десятка.

72 десятка это 7 сотен и 2 десятка.

2 пишу под десятками, а 7 запоминаю (над разрядом сотен поставлю точку).

4) Умножаю сотни: 3 сотни умножить на 9 получится 27 сотен.

27 сотен прибавить 7 сотен, которые запомнили, получится 34 сотен.

34 сотен это 3 тысячи и 4 сотни.

4 пишу под сотнями, а 3 запоминаю (над разрядом тысяч поставлю точку).

5) Умножаю тысячи: 6 тысяч умножить на 9 получится 54 тысячи.

54 тысячи прибавить 3 тысячи, которые запомнили, получили 57 тысяч.

57 тысяч это 5 десятков тысяч и 7 тысяч.

7 пишу под тысячами, а 5 запоминаю (над разрядом десятки тысяч поставлю

точку).

6) Умножаю десятки тысяч: 3 десятка тысяч умножить на 9

получится

27 десятка тысяч.

27 десятка тысяч прибавить 5 десятка тысяч, которые запомнили, получится

32 десятка тысяч.

32 десятка тысяч это 3 сотни тысяч и 2 десятка тысяч.


3 пишу под сотнями тысяч.


Умножение на единицу с нулями

При умножении на единицу с нулями, необходимо опираться на знании о

поместном значении цифры в записи числа.

123 10 = 1 230, т.к. если умножить 1 единицу на 10, получится 1 десяток,

значит, если 123единиц умножить на 10, то получим 123 десятка, или 1 230.


ПУ

123 100 = 12 300, т.к. если умножить 1 единицу на 100, получится 1 сотня,

значит, если 123единиц умножить на 100, то получим 123 сотен, или 12 300.

123 1000 = 123 000, т.к. если умножить 1 единицу на 1000, получится 1

тысяча, значит, если 123единиц умножить на 1000, то получим 123 тысяч,

или 123 000.

На основе решения таких примеров ученики могут сделать вывод: чтобы

умножить число на единицу с нулями, достаточно приписать к первому

множителю справа столько нулей, сколько их во втором множителе.

Умножение на единицу с нулями записывается всегда только в строчку.

Здесь же решаются примеры с использованием переместительного свойства

умножения, когда в первый множитель содержит единицу с нулями.

Например, 100 58 = 58 100 = 5 800.

Умножение чисел, оканчивающихся нулями

При умножение чисел (первый множитель оканчивается нулями)

необходимо опираться на знание разрядного состава числа. Например,

240 3 = 24 д. 3 = 72 д. = 720;

2400 3 = 24 с. 3 = 72 с. = 7200;

24 000 3 = 24 т. 3 = 72 т. = 72 000;

Свойство: произведения на число

Данное свойство необходимо для объяснения случая умножения на круглые

десятки.

Познакомить учеников можно через практические действия. Для этого

можно предложить ученикам подсчитать количество кубиков

а) б)

Рис.

Сколько кубиков на первом рисунке? (8 2 = 16 куб.)

Сколько кубиков на втором рисунке? (16 3 = 48 куб)

Запишите с помощью выражения: (8 2) 3 = 48 куб.

Предложите другой способ подсчета числа кубиков на втором рисунке.

Например, (2 3) 8 = 48.

Для полученных равенств (8 2) 3 = 48 или (2 3) 8 = 48,

используя переместительное свойство умножения, получаем:

3 (8 2) = 48 или 8 (2 3) = 48.

Ученики делают вывод: чтобы умножить произведение на число, можно

первый множитель умножить на это число, а потом умножить на второй


ПУ

множитель; или сначала умножить второй множитель на это число, а

потом умножить на первый.

Данное свойство можно предложить учениками использовать в устных

вычислениях. Например,

1) 4 13 25 = 13 (4 25) = 1 300;

2) 25 16 = 25 4 4 = 400 и т.д.

Умножение на круглые числа

Умножение на круглые числа можно пояснить на примерах:

а) 121 40 = 121 (4 10) = (121 4) 10 = 484 10 = 4 840;

б) 243 200 = 243 (2 100) = (243 2) 100 = 486 100 = 48 600.

Таким образом,

умножение числа на круглые десятки сводится к умножению этого

числа на число десятков и на 10, а

умножение на круглые сотни сводится к умножению – сначала на

число сотен, а потом на 100.

Для решения более сложных примеров можно использовать запись в

столбик.

Умножение на двузначное число

Умножение числа на двузначное число сводится к использованию

разложения числа сумму разрядных слагаемых и свойства: умножение числа

на сумму.

Например, 248 42 = 248 (40 + 2) = 248 40 + 248 2,

т.е., умножение числа 248 на 42 сводится:

1) к разложению второго множителя на сумму разрядных слагаемых;

2) к умножению данного числа на 40 – это произведение называют первым

неполным произведением, потом на 2 – это произведение называют вторым

неполным произведением, и к сложению полученных произведений.

Далее учитель показывает решение этого примера по действиям:

Учитель знакомит детей с записью этого примера в столбик и

алгоритмом умножения на двузначное число:

Алгоритм умножения на двузначное число:

1) запишу пример: второй множитель под первым, единицы

под единицами, десятки под десятками;

2) умножу число 248 на 2 единицы, получу 496 единиц –

первое неполное произведение;

3) умножу число 248 на 4 десятка, получу 992 десятка –

второе неполное произведение, начинаем подписывать с

десятков;

4) найду сумму неполных произведений;

248

42 496 + 992 10416


ПУ

5) получили ответ: 10416.

Умножение на трехзначные числа

Аналогично учитель знакомит с умножением на трехзначные числа.

Например, 354 268.

Число 2832 – первое неполное произведение;

число 2124 – второе неполное произведение;

число 708 – третье неполное произведение, а

число 94872 – произведение чисел 354 и 268.

Деление на однозначное число


1) знание терминологии этого действия: делимое, делитель, частное, знак

деления – две точки;



4) сформированность навыков табличного деления и умение пользоваться

ими;

5) особые случаи деления: 0 : а, 0 : 0, а : 1;

6) сформированность навыков внетабличного деления и умение пользоваться

ими;

7) знание алгоритма письменного умножения и умение использовать его.

8) знание свойств деления: деление суммы на число.

При изучении деления на однозначное число ученики должны усвоить

основные элементы процесса письменного деления углом и его порядок:

− деление начинается с высших разрядов делимого;

− от деления каждого разряда в частном получаются единицы

соответствующих разрядов;

− если какой-нибудь разряд делимого не делится нацело и в частном не

получается единиц соответствующего разряда, то ставят нуль;

− найдя цифру частного, умножают ее на делитель и узнают, какое число

разделили;

− путем вычитания находят остаток;

− остаток не должен быть больше делителя;

− раздробив остаток и присоединив к нему единицы очередного разряда

делимого, составляют новое неполное делимое, с которым поступают так же,

как с первым неполным делимым, и т.д.

354

268 2832 + 2124 708 94872


ПУ

При объяснении письменного деления в столбик учитель предлагает

ученикам решить примеры, в которых каждый разряд делимого делится

нацело, без остатка, например, 4 682 : 2.

Сначала решение записывается в строчку, используя разложение

делимого на сумму разрядных слагаемых и свойства деление суммы на

число:

4 682 : 2 = (4 000 + 600 + 80 + 2) : 2 = 4 000 : 2 + 600 : 2 + 80 : 2 + 2 : 2 =

= 2 000 + 300 + 40 + 1 = 2 341.

Далее учитель знакомит с записью решения этого примера углом.

Деление сопровождается подробными объяснениями и подробными

записями.

Можно выделить последовательность рассмотрения случаев деления

многозначного числа на однозначное число:

1) деление четырехзначного числа на однозначное при четырехзначном и

трехзначном частном;

2) деление пятизначного числа на однозначное при пятизначном и

четырехзначном частном;

3) деление шестизначного числа на однозначное при шестизначном и

пятизначном частном;

4) частные случаи деления (нули на конце или в середине частного);

5) письменное деление с остатком;

6) деление с остатком, когда на конце частного нуль.

Приведем примерный алгоритм решения примера 8736 : 6

1) запишу пример углом;

2) определю первое неполное делимое: 8 тысяч, 8 делится на 6, значит, в

частном будет 4 цифры;

3) найду первую цифру частного: 8 тысяч поделить на 6 получится 1 тысяча,

1 запишу в частном;

4) узнаю, сколько тысяч разделили: 1 6 = 6, 6 тысяч разделили;

5) узнаю, сколько тысяч не разделили: 8 – 6 = 2,

2 тысячи не разделили;

6) 2 тысячи это 20 сотен, к 20 сотням прибавляем 7 сотен, получится 27 сотен

– это второе неполное делимое;

7) найду вторую цифру частного: 27 сотен делю на 6, получится 4 сотни,

запишу 4 в частном;

8) узнаю, сколько сотен разделили: 4 6 = 24, 24 сотни разделили;

9) узнаю, сколько сотен не разделили: 27 – 24 = 3, 3 сотни не разделили;

10) 3 сотни это 30 десятков, к 30 десяткам прибавлю 3 десятка, получится 33

десятка – это третье неполное делимое;


ПУ

11) найду третью цифру частного: 33 десятка делю на 6, получится 5

десятков, запишу 5 в частном;

12) узнаю, сколько десятков разделили: 5 6 = 30, 30 десятков разделили;

9) узнаю, сколько десятков не разделили: 33 – 30 = 3, 3 десятка не разделили;

13) 3 десятка это 30 единиц, к 30 единицам прибавлю 6 единиц, получится 36

единиц – это четвертое неполное делимое;

14) найду четвертую цифру частного: 36 единиц делю на 6, получится 6

единиц, запишу 6 в частном;

15) узнаю, сколько единиц разделили: 6 6 = 36, 30 единиц разделили;

16) узнаю, сколько единиц не разделили: 36 – 36 = 0, все единицы разделили;

17) получили ответ: 1456.

В дальнейшем, когда ученики достаточно четко поймут значение и смысл

каждой отдельной вычислительной операции, в этот алгоритм вносятся

некоторые упрощения, делающие его более кратким.

Запись деления на первых порах должна быть подробной, в дальнейшем

можно показать и такую запись:

и рекомендовать проводить деление в строчку: 8736 : 6 = 1456.

Среди примеров должны быть и примеры на деление, в которых получается

остаток. Например,

Учитель обращает внимание учащихся на то, что остаток всегда меньше

делителя.

Особое внимание должно быть уделено на те случаи деления, в

которых в частном пишутся нули – в середине и в конце:

Для того чтобы ученики не допускали ошибок, связанных с пропуском нулей

в частном, они должны твердо усвоить, что если какой-нибудь разряд

делимого не делится на делитель, то в частном не будет единиц этого

разряда, а значит, в частном на месте этого разряда надо написать нуль.

Для предупреждения ошибок при выполнении деления углом используют ряд

методических приемов:

2587 8 18 323 27 3

2863 7 63 409 0

160240 4 24 40060 0

7261 2 12 3630 6 1


ПУ

1) умение по первому неполному делимому определить количество цифр

в частном;

2) обозначить точками места каждого разряда в частном;

3) умение определить приближенное значение частного до фактического

деления данного числа;

4) учение проводить проверку деления путем умножения частного на

делитель.

Деление на единицу с нулями

Рассмотрим два примера: 5780 : 10 и 4361 : 10.

Разделить 5780 на 10 – это значит узнать, сколько раз 10 содержится в 5780

или сколько десятков в этом числе. В числе 5780 содержится 578 десятков,

значит, 5780 : 10 = 578.

Разделить 4361 на 10 – это значит узнать, сколько раз 10 содержится в 4361

или сколько десятков в этом числе. В числе 4361 содержится 436 десятков,

значит, 4361 : 10 = 436 (ост. 1).

Аналогично ученики рассуждают при делении на 100, 1000.

Можно сформулировать правило: для того, чтобы разделить на единицу с

нулями, достаточно отделить в делимом справа столько цифр, сколько

нулей в делителе; тогда оставшиеся цифры делимого изобразят частное, а

оставшиеся – остаток.

Деление числа на единицу с нулями записывается всегда только в строчку.

Деление на круглые десятки, сотни, тысячи

В тех случаях, когда делимое и делитель оканчиваются нулями, последние не

зачеркиваются, не сокращаются, числа делятся такими, какими они даны.

Учащиеся должны научиться находить цифру частного на основе

зависимости между умножением и делением. Например,

а) 480 : 60 = 8, т. к. 8 60 = 480;

б) 3 500 : 700 = 5, т. к. 5 700 = 3 500.

При делении на круглые десятки выделяют два случая:

1) первые две цифры делимого изображают число, делящееся на

делитель, например,600 : 20; 720 : 30;

2) первые две цифры делимого не делятся на делитель и приходится

отделять в делимом три цифры, например, 2 160 : 60.

Деление на круглые сотни изучается аналогично, т. е. сначала

рассматриваются такие случаи, когда в делимом первые 3 цифры составляют

число, делящееся на делитель, например, 900 : 300; 4 800 : 200; а затем

решаются примеры, в которых в делимом приходится отделять 4 цифры,

чтобы найти первую цифру частного, например, 253 800 : 600.

Деление на двузначное число


ПУ

Чтобы разделить любое многозначное число на двузначное, надо уметь

делить двузначное число на двузначное, трехзначное число на двузначное

при однозначном частном.

Например, чтобы разделить 7840 на 32, приходится делить:

1) 78 на 32; 2) 144 на 32; 3) 160 на 32.

Деление двузначного числа на двузначное ученики изучили в концентре

«Сотня» и результат находят путем подбора или на основе взаимосвязи

умножения и деления.

При объяснении приема деления трехзначного числа на двузначное при

однозначном частном особое внимание необходимо уделить упрощенному

способу, как быстро и правильно находить цифру частного (делить десятки

делимого на десятки делителя и подбирать цифру частного, внося в нее

соответствующие поправки).

Объяснение можно провести на следующей серии примеров:

1) 560 : 80

В этом случае, для нахождения цифры частного достаточно разделить число

десятков делимого на десятки делителя: 56 : 8 = 7.

2) 428 : 60

В этом случае при наличии в делимом единиц способ нахождения цифры

частного остается тот же: десятки делимого делят десятки делителя: 42 : 6 =

7.

3) 378 : 42

В этом случае делитель 42 близок к круглому числу 40, поэтому для того,

чтобы быстро найти частное, разделив 37 десятка на 4 десятка, получим 9.

Полученную цифру 9 проверяем, будет ли она верна при делении 378 на 42.

Умножаем устно 42 на 9. Получается 378. Значит, цифра 9 будет частным

при делении данных чисел. Запишем цифру 9 в частное.

4) 245 : 35

В этом случае цифра частного не стразу находится путем деления десятков

делимого на десятки делителя. Поэтому приходится при проверке этой

цифры уменьшать ее на 1. При делении 24 десятков на 3 десятка, получаем 8.

Проверяя эту цифру, получим: 35 8 = 280. Поэтому уменьшая цифру на 1,

получим 7. Проверяем и ее: 35 7 = 245. Найденное и проверенное число 7,

записываем в частное.

5) 472 : 59

В этом случае делитель 59 близок к круглому числу 60, поэтому для того,

чтобы быстро найти частное, разделив 47 десятка на 6 десятка, получим 8.


ПУ

Полученную цифру 8 проверяем, будет ли она верна при делении 472 на 59.

Умножаем устно 59 на 8. Получается 472. Значит, цифра 8 будет частным

при делении данных чисел. Запишем цифру 8 в частное.

При решении примеров на деление трехзначного числа на двузначное,

ученики должны увидеть закономерность:

- если делитель оканчивается цифрой 1, 2, 3, или 4, то надо округлять

делитель до меньшего круглого десятка;

- если делитель оканчивается цифрой 6, 7, 8, или 9, то надо округлять

делитель до высшего круглого десятка, т.е. приходится цифру десятков

делителя увеличить на 1.

После того как ученики овладели навыками деления трехзначного

числа на двузначное, учитель переходят к рассмотрению примеров на

деление любого многозначного числа на двузначное.


1. Какие вопросы темы «Нумерация» концентра «Тысяча» необходимо

повторить, приступая к изучению нумерации многозначных чисел?

Подберите соответствующие упражнения для повторения.

2. Обоснуйте преемственность изучения нумерации чисел в концентрах

«Тысяча» и «Многозначные числа».

3. Какие знания лежат в основе умения читать и записывать

многозначные числа?

4. Какие наглядные пособия можно использовать при знакомстве

учащихся с нумерацией многозначных чисел?

Тема 8. Обучение учащихся решению простых задач

Вопросы

1.Функции простых задач в начальном обучении математике.

2.Классификация простых задач.

3.Особенности обучения решению простых задач каждого типа.

1. Функции простых задач в начальном обучении математике.

Под текстовыми задачами подразумевают задачи, имеющие житейское,

физическое содержание и решаемые с помощью арифметических действий.

Эти задачи занимают в начальном курсе математики важное место.

Включение арифметических задач в программу по математике для 1 – 4

классов обусловлено следующими причинами:


ПУ

1. Используемые в текстовых задачах житейские понятия и представления

являются исходным материалом для формирования у учащихся

первоначальных абстракций и математических понятий и позволяют увидеть

учащимся за математическими понятиями и отношениями реальные

жизненные явления.

2. Обучая учащихся решению задач определенных типов, учитель имеет

возможность формировать у них общие методы решения задач,

определенный круг умственных умений и логических операций.

3. Арифметические задачи выполняют воспитательные функции: учащиеся

знакомятся с явлениями окружающей действительности, имеющими важное

мировоззренческое значение и являющимися основой для формирования

моральных качеств.

Рассмотрим возможный план работы учащихся над задачей:

1) анализ текста задачи;

2) схематическая запись условия;

3) поиск решения задачи; составление плана решения;

4) решение задачи – вычисление числового значения выражения;

5) истолкование результата вычислений, т.е. получение ответа на вопрос

задачи;

6) проверка полученного ответа.

В понимании процесса решения задачи важную роль играет различение

следующих вопросов и ответов на них:

1. Что значит решить (решать) задачу?

2. Как можно решить (решать) задачу?

Решить (решать) задачу – значит осознанно научить учащихся

устанавливать связи между данными и искомыми величинами, заданные

условием задачи, на основе чего выбрать, а затем выполнить арифметические

действия и дать ответ на вопрос задачи, предусматривая постепенное

усложнение задач. Чтобы добиться этого, учитель должен предусмотреть в

методике обучения решению задач одного вида ступени, имеющие свои

цели.

1 ступень - учитель ведет подготовку к решению задач – учит устанавливать

связи между данными и искомыми величинами.

2 ступень – знакомство учащихся с решением задач – выбор

соответствующего действия.

3 ступень – формирование умения решать задача определенного вида.

Учащиеся должны научиться решать задачу данного вида независимо от ее

конкретного содержания.


ПУ

Как можно решить (решать) задачу? Этот вопрос не имеет

однозначного ответа. Путей, методов, способов, приемов перехода от

условия к вопросу, к выполнению требования любой задачи существует

бесконечно много.

2. Классификация простых задач.

В начальном обучении рассматривают простые задачи на сложение,

вычитание и умножение и деление. Приведем следующую классификацию

простых задач;

1. задачи, раскрывающие смысл операции сложения;

2. задачи, раскрывающие смысл операции вычитания;

3. задачи, раскрывающие связь между сложением и вычитанием;

4. задачи на увеличение числа на несколько единиц;

5. задачи на уменьшение числа на несколько единиц;

6. задачи на разностное сравнение;

7. задачи на взаимосвязь между компонентами и результатами действий

(сложение и вычитание);

8. задачи, раскрывающие смысл операции умножения;

9. задачи, раскрывающие смысл операции деления;

10. задачи, раскрывающие связь между умножением и делением;

11. задачи на увеличение числа в несколько раз.

12. задачи на уменьшение числа в несколько раз.

13. задачи на кратное сравнение.

3. Особенности обучения решению простых задач каждого типа.

Структура задачи. Задачи на нахождение суммы.

1.Это – картинка Это - задача

2.

3.

Условие – это то, что известно:

Вопрос – это то, что нужно узнать:

Решение – это как будем узнавать:

Ответ – это то, что узнали:

Рис. Три яблока и две груши в вазе

Сколько всего фруктов в вазе?

В вазе 3 яблока и 2 груши.

Сколько всего фруктов в вазе?

3 + 2 = 5

5 фруктов


ПУ

2.

Схема помогает найти решение задачи:

2.

Схема:

Решение: 5 – 2 = 3

Ответ: 3 птицы

3. Задачи на нахождение суммы со словом «столько же».

4 + 1 = 5 Ответ: 5 грибов.

(на клетчатой бумаге)

Рис. В корзинке 4 боровика и 1 лисичка

В корзинке было 4 боровика, положили еще 1 лисичку. Сколько грибов стало в корзинке?

На ветке было 5 птиц. Улетело 2 птицы. Сколько птиц осталось на ветке? Сколько всего фруктов в вазе?

Рис. Пять птиц: три сидят на ветке, две улетают.

В одной коробке 4 кубика, а в другой коробке столько же кубиков. Сколько всего кубиков в двух коробках?

Рис. В одной коробке 4 кубика, они видны, другая коробка закрыта. На коробках надписи «кубики».

столько же

1 коробка – 4 кубика 2 коробка – столько же кубиков Всего - ?

на клетчатой бумаге


ПУ

4. Задачи на увеличение числа на несколько единиц («стало на …

больше»)

Сначала во дворе гуляло 5 детей,

а потом их стало на 3 больше.

Сколько детей стало во дворе?

5. Задачи на уменьшение числа на несколько единиц («осталось на …

меньше»)

Бабушка пожарила 10 котлет.

После обеда котлет осталось на 6 меньше.

Сколько котлет осталось после обеда?

6. Задачи на увеличение числа на несколько единиц

7. Задачи на уменьшение числа на несколько единиц

Рис.

5 детей гуляют во дворе. Вдалеке

видны еще 3 ребенка Было – 5 детей Стало - ?, на 3 больше

Еще три

Было – 10 котлет Осталось - ?, на 6 котлет меньше

Без шести

В верхнем ряду – 4 мяча

В нижнем ряду – 6 кубиков

На два больше.

Рис.

Столько же и еще два.

В верхнем ряду – 5 мячиков

В нижнем ряду – 3 ракетки

На два меньше

Рис.

Столько же, но без двух


ПУ

8. Задачи на нахождение суммы со словами «столько, сколько…»

Было 5 красных машин,

3 синие машины, а белых столько, сколько

красных и синих вместе.

Сколько было белых машин?

9. Задачи на увеличение в косвенной форме.

В саду 10 груш. Груш на 4 меньше, чем яблонь. Сколько в саду яблонь?

10.Задачи на уменьшение в косвенной форме

В классе 12 мальчиков. Мальчиков на 2 больше, чем девочек. Сколько в

классе девочек?

Красных - 5 машин Синих – 3 машины Белых - ?, столько, сколько

Груш – 10, на 4 меньше Яблонь - ?

Груш – 10 Яблонь - ?, на 4 больше

?

10

4

?

10 4

Чтобы решить задачу, рассуждай так: Груш было на 4 меньше, чем яблонь.

Значит, яблонь было на 4 больше, чем груш.

Мальчиков – 12, на 2 больше Девочек - ?

Мальчиков – 12 Девочек - ?, на 2 меньше

?

12

2

12

?

2


ПУ

11.Задачи на разностное сравнение. На сколько больше?

Посадили 5 сосен и 3 ели. На сколько больше посадили сосен, чем елей?

При решении задачи полезно вспомнить: чтобы узнать, на сколько кругов

больше, чем квадратов, нужно убрать столько кругов, сколько

квадратов

12. Простые задачи на нахождение первого слагаемого

В вазе было несколько груш. Добавили еще 2 груши. Стало 7 груш. Сколько

груш было в вазе

13. Простые задачи на нахождение второго слагаемого

В кормушке было 3 синицы. Прилетело несколько соек. Стало 7 птиц.

Сколько соек прилетело?

14.Простые задачи на нахождение уменьшаемого

Чтобы решить задачу, рассуждай так: Мальчиков было на 2 больше, чем девочек.

Значит, девочек было на 2 меньше, чем мальчиков.

На столько больше

Дети должны запомнить! чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, нужно от большего числа

отнять меньшее.

Было – ? Добавили – 2 груши Стало – 7 груш

Было -?

7

Было – 3 синицы Прилетело – ? соек Стало – 7 птиц

7

Прилетело -?


ПУ

Лена взяла из пенала 2 фломастера. В пенале осталось 4 фломастера. Сколько

фломастеров было в пенале?

15.Простые задачи на нахождение вычитаемого

Было 6 котят. Несколько котят убежало. Осталось 4 котенка. Сколько котят

убежало?

16.Обратная задача

1.Было 15 яблок и 5 груш. Сколько всего яблок и груш?

2.Было всего 20 яблок и груш. Яблок – 15. Сколько груш?

3.Было всего 20 яблок и груш. Груш – 5. Сколько яблок?

Чем задачи похожи? Чем задачи отличаются?

Задачи 2 и 3 называются ОБРАТНЫМИ задаче 1.

17.Простые задачи, раскрывающие смысл действия умножения

В пенале 2 ручки. Сколько карандашей в трех таких пеналах?

Ручек

в 1 пенале

Количество

пеналов

Всего ручек

2 3 ?

Рассуждай так: Для решения задачи нужно по 2 взять 3 раза. Значит,

нужно 2 умножить на 3.

2 + 2 + 2 = 6 (р.) 2 3 = 6 (р.)

18.Задачи на смысл действия деления (по содержанию)

Было 6 мандаринов. Их раздали детям по 2 мандарина каждому. Сколько

детей получило мандарины?

Было – ? фломастеров Взяла – 2 фломастера Осталось – 4 фломастера

Осталось - 4

Было -?

Взяла - 2

Было – 6 котят Убежало – ? котят Осталось – 4 котенка

Убежало -?

Было - 6

Осталось - 4


ПУ

Мандаринов

у 1 ребенка


детей

Всего

мандаринов

2 ? 6

Рассуждай так: в задаче нужно узнать, сколько раз по ДВА содержится

в ШЕСТИ. Значит, нужно 6 разделить на 2.

19.Задачи на смысл действия деления (на равные части)

Было 6 мандаринов. Их раздали 3 детям, поровну каждому. Сколько

мандаринов получил каждый ребенок?

Мандаринов

у 1 ребенка


детей

Всего

мандаринов

? 3 6

Рассуждай так: беру ТРИ мандарина и раздаю по одному каждому

ребенку. Потом беру еще ТРИ мандарина и раздаю по одному каждому

ребенку. Делаю так, пока не закончатся все мандарины.

В задаче нужно узнать, сколько раз по ТРИ содержится в ШЕСТИ.

Значит, нужно 6 разделить на 3.


1. Назовите функции простых задач в начальном обучении математике.

2. Приведите примеры простых задач на сложение.

3. Назовите классификацию простых задач на умножение и деление.

Тема 9. Обучение учащихся решению составных задач

Вопросы

1.Знакомство с составными задачами.

2.Запись решения первых составных задач.

3. Этапы работы над составной задачей.

1.Знакомство с составными задачами.


ПУ

К составным задачам относятся текстовые задачи, для решения которых

требуется два или более связанных между собой арифметических действий.

Задача. Андрей, Борис, Витя соревновались в плавании на 100 м. Андрей

проплыл 60 м, Борис – 70, Витя – 80. Сколько осталось проплыть каждому?

Для решения этой задачи нужно выполнить три арифметических действия, но

это – не составная задача, а три простых, объединенных вместе (конъюнкция

простых задач). Ответы в каждом действии не связаны между собой.

Задача. Первый пробежал 120 м, второй – в два раза больше, третий – на 30 м

больше второго. Сколько пробежал третий?

Здесь ответы связаны между собой. Искомое одной простой задачи является

данным другой.

Известно, что выбор действия в простой задаче был основан на практическом

действии. Выбор действий в составной задаче – более сложная

интеллектуальная деятельность. Основой для выбора действий (составления

выражений) является составление плана решения (что узнаем сначала, что

узнаем потом).

Первоначально (в теч. первого месяца) нужно вооружить учеников

признаком, по которому они отличат составную задачу от простой: простая

задача решается одним действием (сразу), а составную задачу сразу решить

нельзя.

Особенности работы над первыми составными задачами.

Подготовка к введению первых составных задач включает в себя:

* решение простых задач;

* упражнения в постановке вопроса к данному условию задачи, или по

данному условию и решению задачи;

* решение простых задач с недостающими и лишними данными;

* решение простых задач с двумя вопросами, не связанным между

собой;

* решение простых задач с двумя связанными между собой вопросами;

* решение пар простых задач, связанных сюжетом и числовыми

данными, когда искомое первой задачи является данным другой;

* решение пар простых задач, связанных сюжетом и числовыми

данными, когда в одной из задач не хватает данных (они находятся после

решения другой задачи).

Возможны следующие варианты введения первых составных задач.

1. В одной коробке – 6 карандашей, в другой – на 2 карандаша меньше.

Сколько карандашей в двух коробках?

Здесь создается проблемная ситуация, поскольку для решения задачи не

хватает числовых данных условия


ПУ

2. Было 8 птиц. Прилетело 2 птицы, а потом улетело 4 птицы. Сколько

птиц осталось на ветке?

Эти задачи проще, поскольку для решения в условии имеются все числовые

данные. Такие задачи вариативны и легки. Дети могут сразу составить к ним

выражение самостоятельно. При этом легче осознается структура составной

задачи.

Учитель сам решает, с каких задач лучше начинать. Если класс ―сильный‖,

следует отдать предпочтение первому варианту. С более ―слабыми‖

учащимися целесообразнее работать по второму варианту.

2. Запись решения первых составных задач.

Традиционно решение первых составных задач оформляется по действиям.

Однако с 1969 года требуется учить составлять выражение к задаче. Запись

выражением позволяет лучше увидеть связь искомого со всеми данными

задачи. Ученик должен овладеть и тем, и другим способом записи решения

(имеем в виду, что это разные формы записи одного способа решения, а не

два разных способа решения задачи).

На практике оправдали себя следующие формы записи решения задачи:

а) выражением 6 + (6 – 2) = 10– карандашей в двух коробках

б) постепенным составлением выражения

(6 – 2) – карандашей во второй коробке.

6 + (6 – 2) = 10 – карандашей в двух коробках.

в) по действиям с пояснениями

1) 6 – 2 = 4 (кар.) – во второй коробке

2) 6 + 4 = 10 (кар.) – в двух коробках.

г) по действиям с вопросами

1) Сколько карандашей во второй коробке?

6 – 2 = 4 (кар.)

2) Сколько карандашей в двух коробках?

6 + 4 = 10 (кар.)

Однако основным является решение задачи по действиям по следующим

причинам:

1) Иногда задачу нельзя решить выражением, пока не составлены

действия.

2) Составные задачи во 2-3 классах решаются с краткими пояснениями

к каждому действию, что обеспечивает осознанность действий.

3) Все устные задачи всегда решались только по действиям.


ПУ

Ответ к задаче пишется подробно, если нет пояснения к последнему

действию. Если же к последнему действию написано пояснение, то

развернутый ответ не нужен.

3. Этапы работы над составной задачей.

После введения первых составных задач ученики постепенно овладевают

основными этапами работы над ними. При этом основной целью работы над

составной задачей является составление плана решения (основы для выбора

действий или записи выражения). Для достижения этой цели реализуются

следующие этапы:

1. Анализ текста задачи.

2. Интерпретация условия задачи.

3. Поиск решения задачи и составление плана решения.

4. Составление выражения (запись действий) и вычисление результата.

5. Истолкование результата.

6. Проверка полученного ответа.

7. Творческая работа над решенной задачей.

Другие варианты расположения этапов работы над задачей принципиально

не отличаются от данного.

Анализ текста задачи.

1. Задаются вопросы общего характера о сюжете задачной ситуации. (О

чем говорится в задаче?)

2. Задаются вопросы к объектам задачной ситуации, в ответ на которые

ученик называет числовое данное. (Какое расстояние было между

городами? – 600 км)

3. Задаются вопросы к числовым данным, в ответ на которые ученик

называет объекты задачной ситуации (Кто двигался со скоростью 18

км/ч? – первый велосипедист. Что обозначает число 600? –

расстояние между городами).

4. Выясняются неявные данные. (Что можно сказать о времени

движения поездов, если они выехали одновременно и встретились?

Что означает выражение ―купили такие же тетради‖?)

5. Определяется требование задачи.

Интерпретация условия задачи.

К видам интерпретации условия задачи относятся краткие записи условия,

чертежи, символические и предметные иллюстрации. Следует помнить, что

интерпретация условия – не обязательный этап в работе над задачей.

Необходимость в ней возникает тогда, когда ученики затрудняются в


ПУ

решении задачи, и учитель должен искать дополнительные стимулы

активизации мыслительной деятельности учащихся.

Перечисленные виды интерпретации условия являются различными

моделями задачной ситуации, и как всякие модели (кроме устоявшихся

научных моделей) не имеют четкого алфавита (общепринятых обозначений)

и синтаксиса (фиксированных правил соединения элементов). Учитель

вправе выбирать и разрабатывать свои способы интерпретации условия.

Однако в методике сложились некоторые общие рекомендации к построению

интерпретаций условия, выполнение которых обеспечивает эффективность

указанного этапа работы над задачей.

Краткая запись условия. Является первым шагом ―дозированной помощи‖

взрослого человека ученику. Составляется учителем, вместе с учителем и

самостоятельно.

К первым составным задачам составляется кратка запись ―в строчку‖:

1 – 6 кар.

2 – ?, на 2 кар. меньше

К задачам с пропорциональными величинами чаще составляется краткая

запись ―в таблице‖:

Цена Количество Стоимость

1 50 р. 5 м ?

?

2 30 р. 7 м ?

В краткой записи условия задачи все несущественные признаки отброшены,

поэтому ученик легче выявляет ее математическое содержание, усматривает

функциональные зависимости и т.п.

Чертеж по условию задачи.

Следующий шаг в помощи взрослого ребенку при решении задачи –

составление чертежа. Чертеж приближает ребенка к математическому

содержанию задачи, поскольку отрезки наглядно представляют отношения,

данные в условии задачи. Отрезки можно складывать, умножать, сравнивать

между собой, переструктурировать. Последнее часто является решающим

моментом в обнаружении идеи решения задачи (особенно нестандартной).

Традиционно в школе чертежи используются к задачам на движение. Однако

они весьма эффективны при решении любой текстовой задачи. Более того,

чертеж помогает ребенку обобщить связи и отношения , представленные в


ПУ

задаче, усмотреть аналогию между данной задачей и задачами с другими

величинами, но с той же структурой.

Равенство величин в задачной ситуации передается равенством длин

соответствующих отрезков. Рассмотрим две ситуации и чертежи к ним.

1. Купили 5 метров шелка и 7 метров шерсти по той же цене.

В этой ситуации равными оказываются цены шелка и шерсти. Передадим это

равенство ―единичными‖ отрезками равной длины. Отложим соответственно

5 и 7 таких отрезков.

2. На равные суммы купили 5 метров шерсти и 7 метров шелка.

В этой ситуации равными оказываются стоимости купленной ткани.

Передадим это равенство ―итоговыми‖ отрезками равной длины.

(варианты чертежей)

Символическая иллюстрация

Символическое изображение из геометрических фигур (прямоугольников)

часто (но не всегда) оказывается ближе к идее решения задачи, поскольку

расположение прямоугольников на плоскости может быть более

вариативным , чем расположение отрезков. При этом равенство величин в

задачной ситуации передается равенством соответствующих площадей

прямоугольников.

Разберем несколько задачных ситуаций.

1. Купили 4 карандаша и 6 ручек по той же цене.

Здесь использование символической иллюстрации принципиально не

отличается от использования чертежа.

2. Купили 4 карандаша и столько же ручек. Цена ручки на 5руб. больше

цены тетради.

Здесь прямоугольники можно расположить так, что они будут только

―дублировать‖ чертеж. Но можно их расположить по-другому, что позволит

наглядно представить те связи и отношения, которые на чертеже проступают

не в столь явном виде.

Именно эта возможность переструктурировать изображение является

наиболее ценным в символической иллюстрации по сравнению с чертежом.

Общим для чертежа и символической иллюстрации является обобщенность

представленных связей и отношений задачной ситуации. По символической

иллюстрации (как и по чертежу) можно составить разнообразные задачи,

аналогичные по своей структуре. Т.е. одна и та же символическая

иллюстрация (чертеж) является моделью большого числа задач с

разнообразным житейским содержанием.


ПУ

Предметная иллюстрация.

Это интерпретация условия с помощью реальных предметов или их

изображений, позволяющая иногда получить ответ с помощью пересчета.

Применяется, в основном, в первом классе и (очень редко) при объяснении

новых задач слабоуспевающим учащимся в других классах начальной

школы.

Разберем задачные ситуации.

В одной вазе 5 конфет, а в другой вазе – на 2 конфеты больше.

Учитель выставляет на наборное полотно реальные предметы или их

изображения. При этом допускается со слабыми учениками получить ответ с

помощью пересчета предметов во втором множестве, а потом записать

решение задачи.

Купили 5 тетрадей по 3 коп. и 7 ручек по той же цене.

Учитель выставляет на наборное полотно реальные предметы или их

изображения с подписанными ценами.

Следует иметь в виду, что обучение продуктивно только в том случае, если

ученики испытывают (и преодолевают) интеллектуальное затруднение.

Поэтому каждый новый (более наглядный) вид интерпретации

рекомендуется использовать при необходимости, в случае затруднения

ребенка при решении задачи. Хорошим результатом можно считать

формирование у ребенка привычки самостоятельно (без подсказки со

стороны учителя) прибегать в случае затруднения к различным видам

интерпретации.

Поиск решения задачи и составление плана решения.

Поиск решения задачи – это беседа учителя с учениками или

самостоятельные рассуждения ученика, которые подводят его к выбору

решения задачи.

В методике выделяют следующие виды поиска решения задачи:

аналитический, синтетический и аналитико-синтетический.

Аналитический метод заключается в многократном использовании анализа.

Он позволяет расчленить составную задачу на систему простых задач. Поиск

решения идет при этом от искомого (содержащегося в вопросе задачи) к

данным, представленным в условии. Структура вопроса может быть

следующей: что нужно знать, чтобы определить искомое?

Приведем примеры аналитического метода поиска решения к следующим

задачам.


ПУ

1. В одной коробке 5 карандашей, а в другой – на 3 карандаша больше.

Сколько карандашей в двух коробках?

* Что нужно знать, чтобы найти количество карандашей в двух

коробках? (количество карандашей в одной и в другой коробках).

–что нам известно? (количество карандашей в первой коробке)

–что нам неизвестно? (количество карандашей во второй коробке)

* Что нужно знать, чтобы найти количество карандашей во второй

коробке? (сколько карандашей в первой коробке и на сколько карандашей

больше во второй коробке)

–что нам известно (и то, и другое).

Параллельно на доске ведется схема поиска решения:

?

5 кар. ? кар.

На 3 кар. больше

Поиск решения задачи аналитическим методом закончен.

2. Купили 5 тетрадей, заплатив за них 100 руб., и 7 ручек по той же

цене. Сколько заплатили за ручки?

После анализа текста и интерпретации условия учитель начинает беседу по

поиску решения аналитическим методом.

* Что нужно знать, чтобы найти стоимость ручек? (количество ручек и

их цену)

–что нам известно? (количество купленных ручек – 7).

–что нам неизвестно? (цена ручки).

* Что нужно знать, чтобы определить цену ручки? (цену тетради)

–известна ли нам цена тетради? (нет)

* Что нужно знать, чтобы определить цену тетради? (их количество и

стоимость)

–что нам известно (и то, и другое).

На доске появляется следующая схема поиска решения:

?

? руч. Цена ручки

Цена тетради

5 тетрадей 100 руб.

После этого составляется план решения задачи, который является итогом

беседы по поиску решения. Учитель выясняет, что будем находить сначала,


ПУ

что будем находить потом. При этом план решения задачи противоположен

последовательности вопросов при аналитическом методе поиска решения.

Синтетический метод основан на установлении связи между числовыми

данными условия задачи и получении на основании этого новых данных.

Затем устанавливаются связи между вновь полученными данными и так до

тех пор, пока не будет определено искомое. Структура вопроса может быть

следующая: зная а и в, что можно определить?

Покажем поиск решения задачи синтетическим методом на примере двух

задач.

1. У Пети 7 яблок, у Лены на 2 яблока меньше. Сколько всего яблок у

детей?

* Зная, что у Пети 7 яблок, а у Лена на 2 яблока меньше, что можно

определить? (сколько яблок у Лены).

* Зная, сколько яблок у Пети и сколько яблок у Лены, что можно найти

(сколько всего яблок у детей).

На доске составляется схема синтетического метода поиска решения:

У Пети 7 яблок на 2 яблока меньше

у Лены

Всего яблок

2. На первом участке пути за 5 часов машина проехала 300 км. На

втором участке пути машина двигалась с той же скоростью в течение

8 часов. Какова длина второго участка пути?

Зная, что машина двигалась 5 часов и преодолела 300 км, что можно

найти? (скорость движения на первом участке пути)

Зная скорость движения на первом участке пути, что можно сказать

о скорости на втором участке пути? (она такая же)

Зная скорость движения на втором участке пути и время движения

на втором участке пути, что можно найти? (длину второго участка

пути).

На доске составляется схема синтетического метода поиска решения задачи:

5 часов 300 км 8 часов

скорость 1

скорость 2

Расстояние 2

После составляется план решения задачи (что нахожу сначала, что – потом),

который при синтетическом методе соответствует последовательности

вопросов при беседе.


ПУ

При синтетическом методе возможны сочетания данных, которые не

продуктивны для идеи решения данной задачи, однако могли бы оказаться

полезными при другом вопросе или другом условии. Например, к последней

задаче могут быть предложены следующие сочетания: что можно

определить, зная что на первом участке пути машина двигалась 5 часов, а на

втором участке пути – 8 часов. Ответы (на сколько... сколько всего...)

оказываются невостребованными при решении задачи данным способом,

однако могли бы пригодиться при решении этой задачи другим способом (во

сколько раз больше время, во столько раз больше расстояние).

При аналитическом методе такие случайные сочетания исключены.

Синтетический метод по сравнению с аналитическим облегчает ребенку

поиск решения задачи, поскольку:

а) при нем данные называются, нужно только соединить их между собой;

б) план решения соответствует последовательности вопросов при беседе

Тем не менее для максимальной мыслительной активности учащихся следует

отдавать предпочтение аналитическому методу, во всяком случае начинать

поиск решения именно с него.

На практике чаще всего используется аналитико-синтетический метод. Он

сочетает элементы аналитического и синтетического методов. При этом

начинают, как правило, с аналитического метода.

1. Куплено на равные суммы 5 кг апельсинов и 8 кг яблок. Цена яблок

40 руб. за кг. Какова цена апельсинов?

* Что нужно знать, чтобы определить цену апельсинов? (их количество и

стоимость)

–что нам известно? (количество апельсинов)

–что неизвестно? (стоимость апельсинов)

* Что нужно знать, чтобы определить стоимость апельсинов? (стоимость

яблок)

–известна ли нам стоимость яблок? (нет)

Зная, что купили 8 кг яблок по 40 руб.за килограмм, что можно определить?

(стоимость яблок, а значит, и стоимость апельсинов).

Проверка решения задачи.

На практике зарекомендовали себя следующие способы проверки решения

задачи:

1. Сверка ответов.

А). Сверка с одним ответом, предложенным учителем.

Б). Тестовая проверка ответа задачи.


ПУ

Вариант А менее трудоемок для учителя. Его достоинства – оперативность и

простота использования. Недостатки – низкая мыслительная активность

учащихся, отсутствие возможности самопроверки.

Вариант Б допускает относительную возможность самопроверки, так как есть

варианты выбора правильного ответа. Несколько ответов заготавливаются

учителем заранее с учетом возможных ошибок детей и пишутся на доске (на

карточке). Ученику предлагается выбрать правильный ответ.

2. Прикидка ответов.

Это определение границ, в которых должен находиться ответ задачи.

Прикидка выполняется до решения задачи. Это весьма популярный способ

проверки правильности решения. Его достоинства – оперативность, легкость,

достаточная мыслительная активность учеников. Его недостатки –

неточность проверки.

К примеру, перед решением задачи ―Купили 5 м шелка, заплатив за него 300

руб, и 10 метров сукна по той же цене. Сколько стоит сукно?‖ можно

прикинуть, что за все сукно заплатят денег больше, чем за шелк, т.е. искомое

должно быть больше 300.

В этом случае прикидка ответа очень полезна с целью осознания детьми

функциональных зависимостей (в данном случае прямой

пропорциональности).

3. Решение задачи другим способом.

Его достоинства – высокая мыслительная активность, точность проверки. Его

недостатки – громоздкость, большие временные затраты, избирательная

применимость, возможность ―сбоя‖ в проверке из-за ошибки в вычислениях

при решении вторым способом.

Указанную выше задачу, к примеру, можно решить двумя способами. Один

из них доступен большинству учащихся.

(300 : 5) 10 = 600 (руб)

Второй способ может быть предложен сильными учащимися:

10 : 5 = 2 (раза)

300 2 = 600 (руб)

Некоторые задачи (например, задачи на встречное движение) должны

решаться двумя способами в соответствии с требованиями программы.

4. Решение обратной задачи.

Это составление и решение задачи, обратной данной. Под обратной

понимают задачу, в которое искомое первой задачи становится одним из

данных условия, а одно из бывших данных выступает в качестве искомого. К

одной задаче можно составить, как правило, несколько обратных. При этом

следует обращать внимание на то, чтобы сохранялись не только числовые


ПУ

данные, но и отношения, представленные в исходной задаче (к примеру,

отношение ―меньше‖ не следует заменять отношением ―больше‖ даже в

косвенной форме).

Рассмотрим задачу.

1. У Коли 5 яблок. У Васи – на 2 яблока больше. Сколько всего яблок у

мальчиков?

Чтобы составить обратные задачи, следует выделить все данные,

представленные в исходной задаче:

У Коли – 5 яблок.

У Васи – на 2 яблока больше.

Всего – ?

Участвовать в обратной задаче могут только эти данные и отношения между

ними. Это значит, что искомым не может быть число яблок у Васи, а только

разница между числом яблок у мальчиков (на сколько у Васи больше).

Обращая искомое (всего яблок) в данное, получаем следующие обратные

задачи:

а) У Васи и Коли – 12 яблок. У Коли – 5 яблок. На сколько яблок у Васи

больше чем у Коли? (а не ―сколько яблок у Васи‖ – в этом случае задача

решается одним действием).

б) У Васи и Коли – 12 яблок. У Васи – на 2 яблока больше. Сколько яблок у

Коли?

Отметим, что обратные задачи часто оказываются более сложными для

детей, чем прямые. В частности, решение последней задачи доступно не всем

второклассникам.

2. Цена яблок – 40 руб за кг, цена груш – на 5 руб больше. Купили 5 кг

яблок и 8 кг груш. Сколько денег заплатили за покупку?

Искомое задачи (560 руб) становится данным обратной задачи. Перечислим

все данные прямой задачи:

цена яблок 40 руб

цена груш на 5 руб больше

количество яблок 5 кг

количество груш 8 кг.

Стоимость фруктов – ?

Т.о. видно, что в качестве искомого ( или одного из данных) обратной задачи

может выступать только отношение ―на 5 руб больше‖, а не цена груш.

Покажем образцы обратных задач:

А) Купили на 560 руб яблок и груш. Яблок купили 5 кг по цене 40 руб за кг.

Цена груш на 5 руб больше. Сколько кг груш купили?


ПУ

Б) Купили на 560 руб яблок и груш. Яблок было 5 кг, а груш – 8 кг. Цена

яблок 40 руб за кг. На сколько больше была цена груш, чем цена яблок?

В) Купили на 560 руб яблок и груш. Цена яблок была 40 руб за кг, а цена

груш – на 5 руб больше. Груш купили 8 кг. Сколько кг яблок купили?

Г) Купили на 560 руб яблок и груш. Яблок было 5 кг, а груш – 8 кг. Цена

груш была на 5 руб больше цены яблок. Какова цена яблок?

Если решение задач А-В ненамного сложнее решения исходной задачи, то

решение задачи Г труднее дается ученикам. Сравним ее решение с решением

исходной задачи по трудоемкости:

Решение прямой задачи: Решение обратной задачи:

1) 5 40 = 200 (руб) 1) 5 8 = 40 (руб)

2) 40 + 5 = 45 (руб) 2) 560 – 40 = 520 (руб)

3) 45 8 = 360 (руб) 3) 5 + 8 = 13 (кг)

4) 200 + 360 = 560 (руб) 4) 520 : 13 = 40 (руб)

Одним из критериев того, что обратная задача составлена верно является

равенство количества действий.

Достоинства этого способа проверки: очень высокая мыслительная

активность учащихся, достоверность проверки. Недостатки: трудоемкость,

временные затраты, возможность ―сбоя‖ в проверке из-за ошибки в

вычислениях при решении обратной задачи.

5. Сопоставление ответа с данными условия.

Очень популярный способ проверки по причине того, что он обеспечивает

продуктивную мыслительную деятельность учеников и в то же время

достаточно экономный по времени, не громоздкий, доступный большинству

учащихся. Единственный недостаток – избирательная применимость. Не все

задачи можно проверить сопоставлением ответа с данными условия.

Рассмотрим задачу.

В одной коробке на 14 карандашей больше, чем во второй. Всего в коробках

84 карандаша. Сколько карандашей в каждой коробке?

Решением этой задачи являются следующие действия:

1) 84 – 14 = 70 (кар) – было бы в двух коробках, если бы не было

разницы в 14 кар.

2) 70 : 2 = 35 (кар.) – в первой коробке.

3) 35 + 14 = 49 (кар.) – во второй коробке.

Ученики часто ошибочно решают такие задачи следующим образом:

1) 84 : 2 = 42 (кар) – в первой коробке.

2) 42 + 14 = 56 (кар.) – во второй коробке.


ПУ

Однако, сопоставив полученные числа с данными условия дети убеждаются в

их ошибочности ( 56 + 42 = 98, а не 84, что требуется по условию).


1.Назовите основные приемы знакомства с составными задачами и их

методику.

2. Назовите основные приемы решения первых составных задач.

3. Назовите основные приемы и этапы работы над составной задачей.

Тема 10. Методика работы над задачами с пропорциональными

величинами

Вопросы

1. Представление о прямой и обратной пропорциональных

зависимостях.

2.Этапы знакомства с прямой и обратной пропорциональными

зависимостями в начальной школе.

3. Решение составных задач с пропорциональными величинами способом

отношений.

4. Методика работы над задачами на движение.

1. Представление о прямой и обратной пропорциональных

зависимостях.

Важнейшими видами функциональной зависимости, изучаемыми в

начальной школе, являются прямая и обратная пропорциональности.

Необходимость столь раннего уточнения представлений детей о прямой и

обратной пропорциональности связана с распространенностью таких

отношений в окружающей действительности (денежные расчеты в

магазине, обмен валюты, определение реального расстояния на

географической карте с помощью масштаба, поездки на транспорте и т.д.).

Рассмотрим две житейские ситуации.

1. Вы путешествуете за рубежом и меняете доллары на валюту

соответствующей страны. В Англии вы можете поменять 3 доллара

на 2 фунта. На сувениры родным и близким вы можете

израсходовать только 21 доллар. Сколько фунтов вы получите за 21

доллар?


ПУ

2. А и Б бегут с одной скоростью по беговой дорожке стадиона. А

стартовала первой. Когда она пробежала 9 кругов, Б пробежала 3

круга. Сколько кругов пробежит А, когда Б пробежит 15 кругов?

При поверхностном рассмотрении эти две задачи похожи. В каждой есть

данные и искомое, есть две связанные между собой величины (количество

долларов – количество фунтов; количество кругов А – количество кругов

Б). Обе ситуации представляют собой определенные функциональные

зависимости.

Однако первая ситуация представляет собой такой вид функциональной

зависимости, как пропорциональная зависимость. Здесь налицо кратность

отношений между величинами (во сколько раз больше долларов, во столько

же раз больше фунтов). Данная ситуация может быть проиллюстрирована

через умножение:

Фунт = 3/2 доллара.

Ф = 3/2 Д

Традиционно такая задача решается так: 2 21/3.

Вторая задача не описывает пропорциональную ситуацию, показывая лишь

линейную зависимость между величинами (на сколько больше, а не во

сколько раз больше одна величина, чем другая). Данная ситуация может быть

проиллюстрирована сложением, а не умножением:

А = Б + 6

Из вузовского курса математики известно, что если одна из трех величин

(например, цена, количество, стоимость) равна частному двух других и ее

значения постоянны, то значения двух других величин изменяются прямо

пропорционально.

a = b/c

Например, цена равна стоимость : количество. Если цена постоянна, то с

увеличением в несколько раз стоимости (числителя), во столько же раз

увеличивается значение количества (знаменателя). Следовательно,

стоимость и количество прямо пропорциональны (при постоянной цене).

Если же одна из трех величин равна произведению двух других и ее значения

постоянны, то две другие величины связаны обратно пропорциональной

зависимостью:

a = b c


ПУ

Например, стоимость = цена количество. Если стоимость постоянна, то с

увеличением в несколько раз цены (первого множителя) во столько же раз

уменьшается значение количества (второго множителя). Следовательно,

цена и количество обратно пропорциональны (при постоянной стоимости).

2. Этапы знакомства с прямой и обратной пропорциональными

зависимостями в начальной школе.

1. Решение простых задач, раскрывающих связи между

пропорциональными величинами.

Простые задачи, раскрывающие связи между пропорциональными

величинами, являются задачами, раскрывающими смысл операций

умножения и деления. Однако то, что их предметной областью являются

величины и их значения, создает некоторые трудности для учеников.

Такие задачи вводятся после того, как ученики усвоят конкретный смысл

умножения и деления.

Программой предусмотрено решение задач с такими группами

пропорциональных величин, как: цена, количество, стоимость; скорость,

время, расстояние; норма выработки, время работы, выработка; масса

одного предмета, количество предметов, масса всех предметов; объем

одного сосуда, количество сосудов, объем всех сосудов; урожайность,

площадь, урожай.

При решении этих задач ученики усваивают:

Связи между величинами (например, как найти стоимость, зная цену

и количество).

Терминологию (например, вместо «стоимость 1 предмета» – «цена

предмета»).

Первые образцы табличной формы краткой записи условия.

2. Решение составных задач с пропорциональными величинами

способом нахождения постоянной величины.

Составная задача с пропорциональными величинами не обязательно

отражает прямую или обратную пропорциональности. Например: Купили 5

м шелка ценой 7 руб. и 6 м сукна ценой 9 руб. Сколько заплатили за всю

покупку? Данная задача с пропорциональными величинами не имеет ни

одной постоянной величины (значения цены, количества, стоимости при

покупке одного и другого вида ткани различны).


ПУ

Однако данную задачу можно изменить так, что одна из величин

станет постоянной. Например: Купили 5 м шелка ценой 7 руб. и 6 м сукна

по той же цене. Сколько заплатили за всю покупку? Здесь постоянной

величиной является цена, значит количество и стоимость связаны между

собой пропорциональной зависимостью (какой? – прямой).

При решении задач на втором этапе ученики:

Усматривают особенности прямой и обратной пропорциональности

(отмечают постоянство одной из трех величин, а определенную

зависимость двух других).

Не делают вывод о кратном отношении величин

Среди большого числа разнообразных по структуре задач с прямой и

обратной пропорциональностью выделим три вида, наиболее популярные

в начальной школе:

а) задачи на нахождение четвертого пропорционального;

б) задачи на пропорциональное деление;

в) задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

Общими особенностями для всех этих задач является:

Из трех величин одна постоянная (т.е. налицо прямая или обратная

пропорциональность), но ее значение неизвестно.

Известны не менее двух значений одной из двух других величин

Например:

На 4-е пропорциональное: цена кол-во стоимость

? 5 20

один.

? 7 ?

На пропорциональное деление:

? 5 ?

один. 48

? 7 ?

На нахождение неизвестного по двум разностям

? 5 ?


ПУ

один. На 8 б.

? 7 ?

Отличаются названные виды задач следующим:

В задаче на четвертое пропорциональное для третьей величины (в

нашем случае стоимость) одно значение дано, а другое является

искомым.

В задаче на пропорциональное деление для третьей величины (в

нашем случае стоимости) известна сумма двух (или более)

значений, а сами значения являются искомыми.

В задаче на нахождение неизвестного по двум разностям для

третьей величины дана разность двух значений, а сами значения

являются искомыми.

В зависимости от того, какая величина постоянна, и какое значение

является искомым, каждый вид задачи может быть представлен

несколькими вариантами. Может быть 6 вариантов задач на нахождение 4-

го пропорционального – все они решаются в НШ. Есть 6 вариантов задач

на пропорциональное деление – в начальной школе решается только 4 из

них с прямой пропорциональностью. Из 6 вариантов задач на нахождение

неизвестного по двум разностям в начальной школе решаются только 2 –

при постоянной цене)

Все названные задачи на данном этапе (втором) решаются способом

нахождения постоянной величины.

3. Решение составных задач с пропорциональными величинами

способом отношений.

К концу обучения в начальной школе ученики:

делают более глубокий вывод о кратном отношении

пропорциональных величин (во сколько раз изменяется одна

величина, во столько же раз изменяется другая величина)

Этот вывод для уровня НШ вполне достаточен. От детей не требуется

умения постоянно применять данный вывод к решению задач. Однако

учебник 4 класса включает группу задач, которые ориентируют ребенка на

применение данного вывода. Эти задачи невозможно решить привычным


ПУ

способом нахождения постоянной величины (числа не кратны), что

стимулирует поиск новых способов решения.

Например, задача на 4-е пропорциональное: Из 2 м полотна получаются 3

наволочки. Сколько наволочек получится из 42 м полотна?

Эту задачу нельзя решить способом нахождения постоянной величины

(нормы расхода ткани), поскольку невозможно в НШ 2 разделить на 3.

Пользуясь чертежом или символической иллюстрацией дети приходят к

идее решения задачи способом отношений:

1) 42 : 2 = 21 (р.) – столько раз по 2 м содержится в 42 м.

2) 3 21 = 63 (н.) – столько наволочек получится из 42 м.

Естественно, что сильные учащиеся могут применять новый способ решения

и к тем задачам, которые легко решаются способом нахождения постоянной

величины. Это создает дополнительные возможности дифференциации

обучения.

4. Методика работы над задачами на движение.

В начальном курсе математики значительное место традиционно отводится

задачам на движение. Учитель должен понимать, что принципиально задачи

на движение не отличаются от других задач с пропорциональными

величинами, отражают те же «процессы» – прямо или обратно

пропорциональные зависимости между величинами.

Сложность работы с такими задачами связана с трудностью осознания

детьми самих понятий «скорость», «время», «расстояние».

Этапы знакомства с задачами на движение

1 этап. Решение простых задач на движение.

Простые задачи на движение появляются в 3 классе в связи со сложностью

исходных понятий. При объяснении понятия скорости широко

применяются практические и наглядные методы обучения.

Основная трудность данного этапа – переход детей от оперирования

словами «быстрее», «медленнее» к использованию терминов «большая

скорость» «меньшая скорость».

Для объяснения ученикам понятия скорости можно предложить

следующую серию вопросов:

Кто быстрее пройдет расстояние в 60 км – автомобилист,

велосипедист или пешеход?

Как вы понимаете слова «быстрее пройдет данное расстояние»?

(чаще всего дети отвечают: «Пройдет за меньшее время»).


ПУ

Почему автомобилист проедет это расстояние за меньшее время?

(он в час проезжает большее расстояние)

Автомобилист проезжает в час 60 км, велосипедист 15 км, пешеход

проходит в час 5 км.

Сообщается что путь, пройденный за 1 час (или другую единицу

времени) называется скоростью движения. Поясняются записи 15 км

в ч., 5 км в ч., 60 км в ч.

При решении простых задач на движение важно с первых дней активно

применять и табличные краткие записи и чертежи.

Рис.

В результате на данном этапе дети:

Уясняют связи между скоростью, временем и расстоянием.

Осваивают новую терминологию.

2 этап. Решение составных задач на движение

Среди большого числа составных задач на движение можно выделить

задачи на движение одного тела и на движение двух тел. Первые легче

воспринимаются ребенком, так как чаще всего представляют собой

конъюнкцию простых задач. Задачи же на движение двух тел сложнее, так

как чаще всего связаны с понятиями скорости сближения и скорости

удаления, физический смысл которых не сразу осознается детьми.

В современной программе представлены следующие виды задач на

движение двух тел:

Задачи на движение двух тел

Движение тел в противоположных движение тел в одном направления

направлении

сближение удаление сближение удаление

тел тел тел тел

Познакомьтесь с возможными интерпретациями каждого вида задач на

движение.(«Пачатковая школа, № 5, 1998, с. 20-21.


ПУ


1. Раскройте методику знакомства учащихся с задачами

,формирующими представления о прямой и обратной

пропорциональных зависимостях.

2.назовите основные этапы знакомства с прямой и обратной

пропорциональными зависимостями в начальной школе.

3. Раскройте методику обучения решению составных задач с

пропорциональными величинами способом отношений.

4. Раскройте методику работы над задачами на движение.

Тема 10. Методика знакомства с долями и дробями

Вопросы

1. Формирование представлений о долях и дробях

2. Образование и запись долей (дробей с числителем, равным 1)

3. Сравнение долей (дробей с числителем, равным 1)

4. Нахождение доли числа

5. Нахождение числа по его доли (дроби с числителем 1)

6. Образование и запись дробей

7. Сравнение дробей

8. Нахождение дроби числа

9. Нахождение числа по его дроби


Изучение долей и дробей в начальном курсе математики служит подготовкой

учеников к изучению дробей в средних классах. Поэтому задачи изучения

данной темы следующие:

Познакомить учеников с долями, с их образованием.

Научить называть и записывать доли с помощью дробей.

Научить сравнивать дроби;

Сформировать умение решать задачи на нахождение доли числа и

числа по его доли, а также дроби числа и числа по его дроби.


ПУ

Под долей подразумевают одну из равных частей целого, а дробь – это

символ, который используется для записи одной или нескольких долей.

Например, половина яблока – это одна вторая доля яблока, обозначается

дробью 1/2, три четвертые доли яблока записываются дробью 3/4.

Изучение данной темы организуется на наглядной основе, никаких правил

ученики не формулируют. Поэтому необходим демонстрационный и

индивидуальный материал, на котором можно показывать деление целого на

равные части. В качестве такого материала выступают:

* геометрические фигуры;

* набор равных квадратов (или кругов), среди которых один целый,

другой разделен на 2 равные части, третий – на 4 и т.д. (Заметим, что идея

использования квадрата, разделенного на равные части, для знакомства с

дробями принадлежит И.Г.Песталоцци).

* полоски бумаги.


Рассмотрим методику знакомства учеников с долями величины.

Для формирования представления учеников о получении доли используется

практическая деятельность (например, деление яблока на 2 равные части).

Учитель демонстрирует процесс деления яблока на модели круга и

показывает полученные две равные части. Сообщает ученикам, что каждая из

них называется одной второй частью или долей яблока. Поясняет, что для

записи этой части в математике используется новый знак деления –

горизонтальная черта. Яблоко разделили на две равные части – получили

запись 1/2. Читается: одна вторая. Ученики при этом на каждой половине

своих кругов записывают 1/2.

Затем дети упражняются в назывании и демонстрации 1/3, 1/4, 1/5 доли

круга, квадрата, прямоугольника. Ученики для этого перегибанием делят

свои геометрические фигуры на равные части и показывают

соответствующие доли. Полезно тут же определить, сколько таких долей в

целом. Например, если квадрат поделен на 8 частей, то одна восьмая доля

квадрата в целом квадрате содержится 8 раз.

На данном этапе полезно параллельно употреблять слова ―половина‖,

―треть‖, ―четверть‖.


Сравнение отвлеченных дробей в начальной школе невозможно, поскольку

дробь воспринимается ребенком как одна или несколько долей величины.

Это значит, что при сравнения , например, дробей 1/2 и 1/5 следует


ПУ

добавлять: что больше – одна вторая или одна пятая отрезка (пирога,

полоски, яблока). Сравнение долей, а также долей и целого организуется,

таким образом, на основе практической деятельности по сравнению частей

круга, полоски , отрезка.

На основе зрительного сравнения долей отрезка, ученики размещают дроби в

порядке убывания или возрастания. Отмечается, что меньшая доля

получается при делении целого на большее число равных частей, и наоборот.


В средней школе дети находят долю числа действием умножения. Найти 1/5

от 20 – это значит 20 умножить на 1/5. В начальной школе такой подход

невозможен. Доля числа находится только на основе практической

деятельности ребенка по делению целого на равные части.

На первом этапе проводится практическая работа по делению на равные

части непрерывных множеств (полоски бумаги, ленты, отрезки). Например,

дети получают полоски бумаги длиной 12 см. Нужно найти, какую длину

будет иметь 1/2 часть полоски. Перегибанием эти полоски делятся на две

равные части. Выясняется, что длина получившейся половины – 6 см.

Учитель поясняет, что в математике решение этой задачи можно записать

так: 1/2 часть 12 см, 12 : 2 = 6 (см).

На втором этапе решаются задачи на нахождение доли числа, когда число

является характеристикой дискретного множества. Например, ―У девочки 6

орехов. Третью часть орехов она съела. Сколько орехов съела девочка?‖

Дается пояснение: чтобы найти третью часть орехов, надо разделить все

орехи на три равные части. Решение при этом можно записать так: 1/3 часть

6, 6:3 = 2 (ор.).

На третьем этапе вводятся задачи, предметной областью которых являются

отвлеченные числа. Например, ―Найди 1/4 часть числа 20‖. Поясняется, что

для нахождения одной четвертой части числа нужно разделить число на 4

равные части. Решение имеет такой же вид: 1/4 часть 20, 20:4 = 5.

Постепенно дети подводятся к выводу: частное от деления 20 на 4 является

одной четвертой частью 20. И обратно: доля числа находится действием

деления.

Заметим, что параллельно с решением задач на нахождение доли числа

закрепляется новая запись действия деления. 20:4 = 5, или 1/4 часть 20 равна

5. Заметим, что в средней школе появятся новые записи для обозначения той

же процедуры: 20/4; запись в виде умножения 1/4 20 = 5.



ПУ

В средней школе дети находят число по его доли действием деления. Найти

неизвестное число, если 1/4 этого числа равна 8, значит 8 : ј.

В начальной школе основой решения подобных задач является практическая

деятельность. При этом выделяются этапы, аналогичные введению задач на

нахождение доли числа.

На первом этапе решение задач на нахождение целого по его доли вводится с

помощью практической работы с непрерывными множествами. Ученикам

предлагаются полоски бумаги. Дети сгибают полоски пополам, измеряют

длину получившейся части и записывают: 1/2 часть полоски – 6 см.

Предлагается, не измеряя, найти длину целой полоски. Ученики поясняют:

если половина полоски – это 6 см, то целая полоска состоит из двух таких

частей. Ее длина равна 6 2 = 12 см.

На втором этапе ученики решают задачи на нахождение числа по его доли,

если число обозначает дискретное множество, состоящее из отдельных

предметов (грибы, пуговицы и т.д.). Например, ―Коля нашел 5 боровиков, что

составляет одну третью часть всех грибов Коли. Сколько всего грибов нашел

Коля?‖. При этом решение задачи иллюстрируется с помощью предметной

или символической наглядности.

На третьем этапе решаются задачи с отвлеченными числами. Например,

―Одна третья часть неизвестного числа равна 4. Найти неизвестное число‖.

Постепенно дети приходят к выводу: ―Целое по его доли находится

действием умножения‖.


После усвоения учениками знаний о долях и их записи в виде дробей с

числителем 1 вводятся дроби, которыми обозначаются несколько долей

(дроби с числителем, большим 1).

Сначала необходимо вспомнить, сколько долей в целом. Для этого круг

делится на 4 равные части. Уточняется, что одна часть – это одна четвертая

доля круга, а всего в круге 4 такие части. Дети уже знают, что одну долю

записывают с помощью дроби 1/4.

Затем учитель предлагает взять не одну, а 3 такие доли. Учитель поясняет,

что три четвертые доли круга записываются с помощью дроби 3/4, а весь

круг содержит 4/4 доли. Таким образом, под чертой пишется число, которое

обозначает, на сколько долей делим целое, а над чертой – число, которое

показывает, сколько таких долей взяли. При этом термины ―числитель‖ и

―знаменатель‖ не вводятся.



ПУ

Сравнение дробей как отвлеченных чисел в начальной школе не проводится

по указанным выше причинам. Сравниваются, таким образом, несколько

равных долей одной величины с несколькими равными долями этой же

величины.

Для сравнения дробей с числителем, большим 1, используется чертеж или

символическая иллюстрация.

Сначала сравниваются дроби только с одним знаменателем. Анализ чертежа

позволяет ребенку поставить знак < или > между дробями.

Позже сильным ученикам можно предложить сравнить некоторые дроби с

разными знаменателями и числителями, отличными от 1. Сравнение

проводится только на основе иллюстрации.


В средней школе дробь числа находится умножением.

Решение подобных задач проводится на основе чертежей (символических

иллюстраций) и предусматривает те же этапы, которые отмечены нами в

решении задач на нахождение доли числа (работа с непрерывными

множествами; работа с дискретными множествами; работа с отвлеченными

числами).

Рассмотрим задачу: Собрали 2700 кг помидоров. 2/5 всех собранных

помидоров отправили в овощехранилище. Сколько помидоров отправили в

овощехранилище?‖

По чертежу ведется пояснение: чтобы найти 2/5 всех помидоров, нужно все

помидоры разделить на пять равных частей и взять две такие части. Запись

решения: 2700 : 5 2 = 1080 (кг).


В средней школе число по его дроби находится действием деления. Пусть

пять восьмых числа равны 20. Чтобы найти число, нужно 20 разделить на

пять восьмых.

Через некоторое время вводятся задачи на нахождение числа по его дроби.

Основой для их решения также является чертеж или иллюстрация.








ПУ





Тема 10. Элементы алгебры в начальном курсе математики

Вопросы

1. Цели изучения элементов алгебры в начальной школе.

2. Основные алгебраические понятия, изучаемые в младших классах.

3. Методика изучения выражений с переменной.

4. Методика обучения решению уравнений с одной переменной.

5. Методика обучения решению неравенств с одной переменной.

1. Цели изучения элементов алгебры в начальной школе.

Элементы алгебры включены в начальный курс математики с 1969 г.

Изучение элементов алгебры в начальной школе имеет двоякую цель. С

одной стороны, с помощью алгебраического материала опосредованно

совершенствуются, уточняются и обобщаются арифметические знания

младших школьников (понятие целого неотрицательного числа, свойства

арифметических действий над числами). С другой стороны, изучение

алгебраического материала позволяет непосредственно познакомить детей с

рядом важнейших алгебраических понятий (переменная, функция),

имеющих огромное значение в современной математике.

Рассмотрим непосредственно «алгебраические» цели и вытекающие из них

задачи обучения младших школьников.

Цели:

1. Формирование представлений о переменной и функциональной

зависимости.

2. Формирование представления о математических выражениях:

а) выражения без переменной (числовые выражения);

б) выражения с переменной.

3. Формирование представления о равенстве:

а) числовые равенства (равенства без переменной);

б) уравнения (равенства с переменной).

3. Формирование представления о неравенстве:

а) числовые неравенства (неравенства без переменной);

б) неравенства с переменной.


ПУ

2.Основные алгебраические понятия, изучаемые в начальных классах.

Числовые выражения

Основные понятия, которые изучаются: математические выражения

(числовые выражения и выражения с переменной), равенства, уравнения и

неравенства.

В математике под выражением понимают построенную по определенным

правилам последовательность математических символов, которые

обозначают числа и действия над ними. Числовые выражения

конструируются из чисел, знаков действий и скобок, а выражения с

переменной – из чисел, букв, знаков действий и скобок. Число, полученное в

результате выполнения действий, записанных в выражении, называется

значением выражения.

При изучении числовых выражений (как и выражений с переменной) дети

должны:

* научиться читать и записывать математические выражения;

познакомиться с правилами порядка выполнения действий в сложных

выражениях и в соответствии с ними находить значения выражений;

* научиться выполнять простейшие тождественные преобразования

выражений (без термина);

* научиться решать простые и составные задачи составлением

выражения и подбирать задачи, соответствующие заданному выражению.

Чтение и запись числовых выражений. Порядок действий в них.

Первые выражения, с которыми знакомятся дети – это простые выражения:

сумма и разность. При этом сначала дети работают над выражениями без

соответствующих терминов ―выражение‖, ―значение выражения‖. Вместо

этих терминов практикуется слово «пример». Последовательность

знакомства с новым выражением следующая:

А. С помощью практических действий на наборном полотне

иллюстрируются операции над предметными множествами.

Б. Называется и записывается соответствующее арифметическое действие.

В. Даются названия компонентам выражения и самому выражению.

Рассмотрим сказанное на примере ознакомления учащихся с суммой и

разностью.

Вначале, на этапах А и Б (1-е полугодие 1 класса), выражения 5 + 2, 3 – 1

составляются для символического описания предметных действий на

наборном полотне. На данном этапе названные выражения читают без

использования терминов «сумма», «слагаемые», «разность», «уменьшаемое»,

«вычитаемое»:

– к пяти прибавить два; из трех вычесть один;


ПУ

– пять увеличить на два; три уменьшить на один;

– пять плюс два; три минус один.

Далее, на этапе В (2-е полугодие 1 класса) дети знакомятся с названиями

компонентов и результата арифметических действий. Одновременно

усваивается двоякое значение терминов «сумма» и «разность».

Показывается, что суммой называется как результат действия сложения,

записанный справа от знака «равно», так и непосредственно выражение,

состоящее из чисел и знака «+», записанное слева от знака «=». Запоминанию

новой информации помогают таблицы:

1-е слагаемое 2-е слагаемое Сумма

5 + 2 = 7

С У М М А Значение суммы

Усвоение новой терминологии позволяет по-новому читать простые

выражения:

– сумма чисел пять и два; разность чисел три и один;

– сумма пяти и двух; разность трех и одного.

Следует иметь в виду, что в дальнейшем в сумме, разности, произведении и

частном числа чаще всего читают в родительном падеже, а вместо знаков ―+‖

и ―–―, ― ― и ―:‖ говорят ―сумма‖ и ―разность‖, ―произведение‖ и «частное‖

Например, выражение 32 + 78 читается так: ―сумма тридцати двух и

семидесяти восьми‖; выражение 433 – 96 читается так: ―разность четырехсот

тридцати двух и девяноста шести‖; 175 60 – произведение ста семидесяти

пяти и шестидесяти; 45 : 5 – частное сорока пяти и пяти.

Однако, учитель должен практиковать и другие способы чтения выражений.

К примеру, 32 увеличить на 78; к тридцати двум прибавить 78, 32 плюс 78.

При чтении разностей следует иметь в виду, что глагол вычесть требует

предлога из (из пяти вычесть три); глагол отнять требует предлога от (от пяти

отнять три)

Уже в первом классе дети изучают не только простые, но и сложные

выражения. Сложные выражения – это выражения, содержащие более 1

действия. Среди них различают выражения со скобками и без скобок.

Вначале, уже в 1-м полугодии 1-го класса, дети находят значения выражений,

состоящих из трех (и более) чисел, соединенных знаками «+» и «–«,

например: 3 + 1 + 1; 6 – 2 + 1. Подобные примеры дети решают на

протяжении всего первого года обучения. Учитель показывает, как нужно

читать такие выражения: «к трем прибавить один, и к полученному числу

прибавить еще 1», «шесть уменьшить на два, и полученный результат

увеличить на один». Решая эти примеры, дети интуитивно овладевают

правилом порядка действий в выражениях без скобок, содержащих действия


ПУ

одной ступени, хотя и не формулируют его. Словесная формулировка

правила осуществляется позднее (2 класс, с. 101).

Далее дети знакомятся с выражениями со скобками, содержащими действия

первой ступени (сложения и вычитания) (2 класс, с. 56).

В методике начального обучения математике существуют разные способы

первоначального введения скобок. Рассмотрим один из них.

1.Ученикам предлагается устно решить пример: от 7 (при этом можно

показать карточку с числом 7) отнять сумму чисел два и три (можно показать

карточку с записью 2 + 3). Ученики объясняют: поскольку нужно вычесть не

число, а сумму, сначала найдем эту сумму. 2 да три будет 5. Теперь от 7

отнимем 5 и получим 2.

2.Предлагается записать этот пример на доске и в тетрадях. Поскольку дети

еще не знакомы со скобками, запись, скорее всего, будет иметь вид: 7 – 2 + 5.

Учитель снова просит найти значение записанного выражения. Вероятнее

всего, дети получат разные результаты: те, кто будет считать слева направо,

получат ответ 10, остальные получат тот же ответ 2.

3.Выясняется причина сложившейся проблемной ситуации: ответ примера

зависит от порядка выполнения действий. Предлагаются различные варианты

выделения того действия, которое необходимо выполнить вначале (овал,

подчеркивание, цвет).

4.Вводится общепринятый символ выделения первого действия (скобки –

левая и правая).

5.Формулируется (через 1-2 урока, с. 58 2-й класс) правило порядка действий

в выражениях со скобками.

К середине 2-го класса вводятся термины «числовое выражение» и «значение

числового выражения».

Далее (конец второго класса) вводятся простые выражения с действиями

второй ступени (умножение и деление). Одновременно предлагаются и

сложные выражения вида 2 7 + 15, работа с которыми является

пропедевтической. Словесная формулировка правила порядка действий в

выражениях с действиями разных ступеней будет дана в 3 классе.

В третьем классе дети начинают работать с выражениями со скобками и без

скобок, содержащими действия разных ступеней. Параллельно осваиваются

соответствующие правила порядка действий.

Итак, правила порядка действий изучается в такой последовательности:

1. Порядок действий в выражениях со скобками.(2 кл., с. 58)

2. Порядок действий в выражениях без скобок, содержащих действия

одной ступени (только сложение и вычитание – 2 кл. с. 101; только

умножение и деление 3 кл. с. 40).


ПУ

3. Порядок действий в выражениях без скобок, содержащих действия

первой (сложение, вычитание) и второй (умножение, деление)

ступени. (3 кл., с. 41)

В работе над освоением порядка действий в каждом новым виде числовых

выражений можно выделить две части: вначале дети находят значения

выражения без словесной формулировки правила порядка действий; потом

дается словесная формулировка правила порядка действий, и значение

выражения определяется в соответствии с данным правилом. Отсюда

различают два способа чтения выражений:

Выражения со скобками.

А. На этапе первоначального знакомства с выражениями со скобками, когда

дети еще не выучили правила порядка действий, запись 10 – (5 + 4) читается

так: от десяти отнять сумму пяти и четырех (или из десяти вычесть сумму

пяти и четырех). Такой способ чтения сложных выражений следует

применять и в дальнейшем. Например, выражение 80 (3 + 17) прочитаем так:

80 умножить на сумму трех и семнадцати.

Б. После введения правила о порядке выполнения действий в сложных

выражениях дети начинают читать данные выражения другим способом,

используя следующий алгоритм:

* определи, какое действие выполняется последним;

* вспомни, как называется выражение с этим действием;

* назови, чем выражены компоненты этого действия.

Выражение 10 – (5 + 4) дети прочитают следующим образом: разность десяти

и суммы пяти и четырех. Выражение 80 (3 + 17) – произведение

восьмидесяти и суммы трех и семнадцати.

Возможен и такой вариант чтения выражений: Разность, где уменьшаемое –

10, а вычитаемое – сумма пяти и четырех. Произведение, где первый

множитель – 80, а второй множитель – сумма трех и семнадцати.

Выражения без скобок.

А. До введения правила порядка действий выражение 15 2 : 10 прочитаем

так: 15 умножить на два, и полученный результат разделим на десять; или –

произведение пятнадцати и двух разделим на 10.

Б. После введения правила порядка действий это выражение прочитаем так:

частное произведения 15 и двух и десяти.

Заметим, что чтение выражений без скобок таким образом затруднительно

для ребенка, поэтому можно рекомендовать вначале заключить в скобки

первое действие, тем самым выделив наглядно компоненты частного: (15 2) :

10.


ПУ

Тождественные преобразования выражений.

Под тождественным преобразованием выражения понимают замену

данного выражения другим, значение которого равно значению данного

выражения.

В начальной школе без введения самого термина «тождественное

преобразование» ученики фактически выполняют ряд тождественных

преобразований в следующих случаях:

при непосредственном изучении свойств арифметических действий:

3 (2 + 4) = 3 2 + 3 4;

при применении изученных свойств в вычислительных приемах:

28 + 40 = (20 + 8) + 40 = (20 + 40) + 8;

при изучении конкретного смысла арифметических действий:

4 + 4 + 4 = 4 3; 7 4 + 7 = 7 5;

при применении знаний по нумерации чисел:

4 + 1 + 1 = 5 + 1;

при освоении правила порядка действий в сложных выражениях:

64 – 3 8 = 64 – 24

Отметим две методические трудности при работе над тождественным

преобразованием выражения.

1. Необходимо, чтобы дети поняли, что все выражения, соединенные знаком

«=», должны иметь одинаковые значения. Это предупредит ошибки вида:

64 – 3 8 = 24 =64 – 24 = 64 – 20 = 44 – 4 = 40.

2. Необходимо, чтобы дети поняли, что если в выражениях со скобками

скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить: (35 + 20)

+ 5 = 35 + 20 + 5; (10 4) : 5 = 10 4 : 5. Однако учитель должен иметь в виду,

что скобки, поставленные в данном случае учеником, не являются

ошибкой.

Использование выражений при работе над задачей.

С самого начала обучения дети решают простые задачи составлением

простых выражений. При введении составных задач (2 класс) начинают

параллельно применяться два способа оформления решения: с помощью

нескольких простых выражений (по действиям) и с помощью сложного

выражения (более сложный способ для учащихся). Ведущим из них

является решение задачи по действиям. Поэтому учитель не должен

превращать запись решения задачи выражением в самоцель.

Однако составление выражения по задаче является весьма полезным

упражнением как для уточнения представления о математическом

выражении, так и для обобщения способа решения задачи.

Дети выполняют следующие виды упражнений:


ПУ

Хозяйка купила 3 кг огурцов по 5 руб за кг и 6 кг помидоров по 4 руб за кг.

Сколько стоила покупка?

Составляют выражение, являющееся решением задачи: 5 3 + 4 6;

Составляют различные простые выражения, соответствующие парам

данных из условия задачи;

5 3; 4 6; 3 + 6; 6 – 3; 5 – 4.

Выполняют обратные задания: составляют задачи по предложенным

выражениям (составь задачу, которая бы решалась так: 3 4 + 5);

Поясняют, какую связь между парами данных задачи показывают

различные простые выражения (предлагаются готовые простые

выражения и текст задачи; нужно пояснить смысл каждого простого

выражения).

3.Методика изучения выражений с переменной

Понятие переменной относится к основным понятиям современной

математики. Знакомство с этим понятием способствует развитию

функционального мышления, так как с понятием переменной тесно связана

идея функциональной зависимости.

Введение переменной включает в себя:

А. Подготовительная работа.

* решение примеров с ―окошками‖;

* решение задач с пропущенными числовыми данными;

* заполнение таблиц на нахождение результатов действий, когда

значения компонентов меняются или когда один из компонентов остается без

изменений;

Б. Введение буквенной символики

* знакомство с буквами латинского алфавита как с символами для

обозначения переменной;

* использование буквенной символики для обобщения математических

знаний (обозначение буквами компонентов действий, запись арифметических

свойств).

Впервые дети встречаются с идеей переменной величины уже при

изучении темы «Десяток». Так, при составлении таблицы сложения в

пределах десяти, используются записи: + 1; + 2 и т.п. Детям

поясняется, что в «окошко» можно подставлять любые известные числа и

записывать соответствующие примеры.

Различают два вида примеров с «окошками»: примеры, где в «окошко»

нужно подставить определенное число: 2 + = 3; и примеры, где в «окошко»

можно подставлять разные числа: 6 + 4 = 6 + + .


ПУ

Решение задач с пропущенными числовыми данными.

Уже в первом классе детям иногда предлагаются условия задач с

недостающим одним числовым данным. Дети самостоятельно подбирают

различные числовые значения и записывают возможные решения таких

задач.

У Коли 5 Машинок, а у Пети … машинок. Сколько всего машинок у

детей? К задаче составляется выражение с «окошком»: 5 + ;

Далее вместо «окошка» подставляются различные числовые данные,

составляется и решается соответствующий пример: 5 + 2 = 7; 5 + 3 = 8 и т.д.

Уточняется сходство и различие решений (сходство: записаны суммы;

первые слагаемые одинаковы; различие: отличны вторые слагаемые и

значения сумм).

Весьма полезной для подготовки к рассмотрению идеи переменной и

множества ее значений является система упражнений по заполнению таблиц

(например, таких, как на с. 9 часть 4, 1 класс).

Различают следующие виды таблиц:

1. Таблицы, где представлены 2 различных значения компонентов, а

дети должны найти соответствующий результат действия (либо по

известным компоненту и результату действия найти неизвестный

компонент)

Слагаемое 4 5 12

Слагаемое 3 6 2

Сумма 8 9

2. Таблицы, где значения одного из компонентов постоянны. Эти

таблицы позволяют очень наглядно продемонстрировать идею

переменной и постоянной величины.

Слагаемое 4 4 4 4

Слагаемое 3 5

Сумма 8 10

Анализируя подобную таблицу, дети замечают, что значения одного

компонента (4) постоянны, а значения другого – меняются. Полезно

составить выражение с «окошком» по этой таблице: 4 + …. Можно также

видоизменить таблицу:

3 5

4 + 8 10

Введение буквенной символики.


ПУ

Ввести латинскую букву (начало 3 кл.) в качестве переменной можно

следующим образом. Сначала предлагается знакомое детям выражение с

―окошком‖:

+ 2. Затем в ―окошко‖ подставляются разные числа и записываются

полученные выражения: 3 + 2; 4 + 2; 0 + 2; 9 + 2 и др. Их сравнение

показывает, что эти выражения – суммы, в которых первое слагаемое

меняется, а второе остается неизменным. Учитель сообщает, что данные

выражения можно заменить одним. Для этого слагаемое, которое меняется,

обозначим буквой латинского алфавита. Получается выражение с

переменной а + 2, где а = 3, 4, 0, 9 и др.

При чтении выражений с переменными следует помнить, что названия букв

x, y, z мужского рода, а названия остальных латинских букв среднего рода.

Склонять названия букв в математике не принято. Например, выражение х +

25 прочитаем так: сумма икс и двадцати пяти; выражение р – 18 разность пэ

и восемнадцати.

Сразу после введения буквенная символика начинает регулярно

использоваться при работе над задачей. Например, предлагается задача: У

Лены 5 картинок, а у Веры а картинок. Сколько всего картинок у девочек?

Дети составляют выражение, являющееся решением задачи: 5 + а. (или 3 кл.,

с. 79)

Подобная работа является хорошей подготовкой к обучению решению задач

с помощью составления уравнений (рассмотрим ниже).

Работа над выражениями с переменной позволяет использовать буквенную

символику для обобщения арифметических знаний. Выделим следующие

группы упражнений:

1. Использование буквенных выражений для обобщения свойств действий.

Для этого ученики сначала решают примеры с числами, потом их сравнивают

и определяют , какой компонент может быть обозначен буквой. Составляется

выражение с переменной, объясняется, что оно обозначает.

Например, для случаев прибавления нуля арифметические знания

обобщаются так:

3 + 0 = 3; 5 + 0 = 5; 6 + 0 = 6; а + 0 = а

2. Использование буквенных выражений в тождественных преобразованиях.

Тождественные преобразования буквенных выражений позволяет точнее

выявить глубину математических знаний учеников. Детям предлагается,

например, закончить запись: 4 (3 + с) = 4 3 …. Или (а + 37) – а =.

Здесь для поиска ответа дети должны пользоваться не вычислениями, а

знанием свойств арифметических действий.

3. Сравнение буквенных выражений.


ПУ

Сравнение буквенных выражений тоже опирается на знание свойств

арифметических действий и ориентирует на поиск ответа без вычислений

а + 6 6 + а с – 13 с – 10

4. Методика обучения решению уравнений с одной переменной

А. Равенства и неравенства без переменной (числовые равенства и

неравенства)

Числовые выражения с самого начала рассматриваются в неразрывной связи

с числовыми равенствами и неравенствами.

В математике числовые равенства и неравенства делятся на истинные и

ложные. В начальных классах вместо этих терминов употребляют слова

«верные» и «неверные».

В ознакомлении с числовыми равенствами и неравенствами в начальной

школе выделяются два этапа.

1. Формирование представления только о верных равенствах и

неравенствах. На данном этапе равенством считают два равных по

значению выражения, соединенных знаком «=». Неравенством

считают два не равных по значению выражения, соединенных

соответствующим знаком ―<‖ или ―>‖. При этом термины

«равенство» и «неравенство» не употребляются. Говорится о

«верно решенном примере», «верно сделанной записи».

2. Формирование представления о верных и неверных равенствах и

неравенствах. На данном этапе дети усваивают, что любые два

выражения, соединенные знаком «=», называются равенством,

которое может быть верным или неверным (истинным или

ложным). Аналогично любые два выражения, соединенные знаком

«<» или «>‖, называются неравенством, которое может быть

верным или неверным (истинным или ложным).

Числовые равенства дети получают в результате:

Нахождения значений выражений (т.е. решения примеров);

Тождественных преобразований выражений;

Сравнения чисел и выражений.

Числовые неравенства получаются в результате:

Сравнения чисел и выражений.

Получение равенств путем нахождения значений выражений и их

тождественного преобразования затрагивалось нами при описании работы с

числовыми выражениями. Рассмотрим подробнее получение равенств и

неравенств при сравнении значений выражений.

Здесь можно выделить три этапа:

1. Сравнение двух чисел.


ПУ

А). Сравнение чисел на основе сравнения численностей

соответствующих множеств.

Б). Сравнение чисел на основе их положения в натуральном ряду.

В). Сравнение чисел на основе знания их состава. (5 – это 3 да 2, значит

5 > 2)

Г) Сравнение чисел на основе сравнения разрядов, начиная с высшего.

2. Сравнение числа и выражения.

А) На основе вычислений (5 + 3 > 5, т.к. 8 > 5)

Б) На основе рассуждений с последующей проверкой вычислением:

(К одному из двух равных чисел прибавили 3, а не нуль, значит, 5 + 3 >

5. Проверяем: 8 > 5).

3. Сравнение двух выражений.

А) На основе вычислений. 5 3 < 5 4, т.к. 15 < 20.

Б) На основе рассуждений с последующей проверкой вычислением.

5 3 < 5 4, т.к. слева 5 берется слагаемым 3 раза, а справа – 4 раза.

Проверяем: 15 < 20).

По образному выражению Л.Н.Скаткина, если вначале у детей действует

формула «вычисли – объясни – поставь знак», впоследствии ее сменяет

формула «подумай – поставь знак – объясни – проверь вычислением».

Равенства с переменной (уравнения)

Работа с равенствами и неравенствами подготавливает учащихся к

знакомству с уравнениями.

В начальной школе уравнения рассматриваются как верные равенства с

переменной. Решением уравнения называется поиск значения буквы

(неизвестного числа), при котором полученное выражение становится

верным равенством. Учащиеся начальных классов овладевают двумя

способами решения уравнений: подбором и на основе знания связи между

компонентами и результатами арифметических действий.

Можно выделить два направления в работе над уравнениями:

1. Обучение решению уравнений.

3. Обучение решению задач алгебраическим способом (с помощью

составления уравнений).

Особое значение в целях подготовки к введению понятия «уравнение» имеют


Переход от равенств к неравенствам и от неравенств к

равенствам;

Установление связи между компонентами и результатами

арифметических действий;

Сравнение чисел и выражений;


ПУ

Подбор пропущенных чисел в примерах с «окошками»;

Составление выражений по текстовым задачам;

Чтение сложных выражений (с опорой на последнее действие);

Определение верности равенств;

Определение границ значений переменной в выражениях вида 6 – а;

Прямые и обратные вычисления с помощью блок-схем алгоритмов.

Можно выделить следующие этапы обучения решению уравнений:

1. Введение термина «уравнение». (3 кл., с. 42). Переход от равенства

с «окошком» к равенству с латинской буквой (переменной). Решение

простых уравнений способом подбора.

4 + х = 6

х = 2

2. Решение простых уравнений на основе знания связи между

компонентами и результатом арифметических действий.

4 + х = 6 Проверка:

х = 6 – 4 4 + 2 = 6

х = 2

3. Решение сложных уравнений, правая часть которых задана

числовым выражением. (3 кл., с. 46)

14 + х = 50 – 4

4. Решение сложных уравнений, в левой части которых один из

компонентов задан числовым выражением. (3 кл., с. 46)

15 + 44 + а = 66

Для решения уравнений вида 3 и 4 ученики должны а)найти

значения числовых выражений; б)решить получившееся простое

уравнение.

5. Решение уравнений , один из компонентов которых – выражение с

неизвестным числом. (3 кл., с. 129)

(а + 8) 4 = 96

Для решения данных уравнений приходится неоднократно

применять правило нахождения неизвестных компонентов. Приведем

примерный образец рассуждений:

А) находится действие, которое выполняется последним и называется

записанное выражение;

Б) называются компоненты данного выражения: известный

компонент и компонент, который включает неизвестное число;

В) записывается, как найти компонент с неизвестным числом через

известный компонент и результат действия;


ПУ

Г) выполняются вычисления и записывается получившееся простое

уравнение;

Д) решается полученное простое уравнение.

6. Решение уравнений разнообразной структуры способом подбора: х

1 = х; х + 74 = 74 + х; у + у = 20; х + у = 340; 240 – а = с и т.п.

Параллельно с арифметическим способом решения, который является

основным в начальной школе, дети должны знакомиться со способом

решения задач путем составления уравнений. При этом непосредственно

решение «готовых» уравнений определенного вида проводится раньше,

чем использование таких уравнений при решении задач.

Для решения задачи с помощью уравнения необходимо:

Обозначить буквой неизвестное число (искомое или другое

неизвестное число).

Выделить в условии те связи, которые позволяют составить

равенство с неизвестным (уравнение). Записать полученное

уравнение.

Решить уравнение, абстрагируясь от содержания задачи.

Самым проблемным является второй шаг, а именно непосредственно

составление уравнения по данной задаче. Незаменимую помощь здесь

могут оказать следующие методические приемы:

А) Использование схемы, чертежа, символической иллюстрации.

Б) Иллюстрирование сюжета с помощью рычажных весов.

Заметим, что к задаче можно составить не одно, а несколько уравнений в

зависимости от характера выделенных связей. Учителю следует всячески

поощрять творческий подход детей к составлению разнообразных

уравнений к одной задаче.

Рассмотрим задачу. В двух классах учится по 30 человек. Из них 25

мальчиков. Сколько девочек учится в этих классах?

Для составления уравнения по задаче рассмотрим чертеж, который

позволит выделить различные связи между данными и искомым и,

соответственно, поможет составить разные уравнения к этой задаче.

Обозначим буквой х неизвестное число девочек. Дальнейшие рассуждения

можно проводить по-разному.

1 вар.

В условии сказано, что мальчиков 25. Поскольку девочек х, а мальчиков 25,

можно выразить все число детей так: 25 + х.

В то же время в условии сказано, что в двух классах учится по 30 человек.

Значит, можно выразить все число детей по-другому: 30 2.


ПУ

Из того, что значения двух составленных выражений равны (по смыслу

условия), составим уравнение: 25 + х = 30 2

2 вар.

В условии сказано, что мальчиков 25. Поскольку девочек х, а мальчиков 25,

можно выразить все число детей так: 25 + х.

В условии сказано, что все дети распределены в двух классах поровну, что

соответствует выражению (25 + х) : 2.

Поскольку в каждом классе по 30 человек, можно составить уравнение: (25 +

х) : 2 = 30.

В начальных классах с помощью уравнений обычно решаются как простые (3

кл.), так и составные (4 кл.) задачи. Однако действующие учебники (Столяр)

предлагают составлять уравнения только к задачам с отвлеченными числами

(например: Неизвестное число увеличили на 15 и получили 40. Найди

неизвестное число). Думается, что учитель должен внести свои коррективы и

периодически предлагать детям составлять уравнения и к сюжетным задачам.

4. Методика обучения решению неравенств с одной переменной

Младшие школьники не осваивают специальные методы решения неравенств

(в отличие от решения уравнений). Поэтому вся система заданий по работе

над неравенствами с переменной ориентирована на поиск числа, при котором

неравенство становится верным (без использования словосочетания «решите

неравенство»).

Подготовкой к введению неравенств с переменной являются задания с

окошками ( < 5; + 2 < 5), где предлагается подобрать в окошко число, при

котором «запись будет верной». (1, 2 кл.)

После введения буквенной символики неравенства принимают вид а + 2 < 5.

(3 кл.).

Особенностью начального обучения является то, что при поиске значений

переменной не всегда ставится задача указать все возможные значения.

Часто достаточным признается определение нескольких значений, при

которых неравенство верно. Например, в неравенстве 3 + а < 6 ученик может

указать все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству – это 1 и 2. В

неравенстве же 3 + а > 6 достаточно указать несколько возможных значений

(например, 4, 5, 10) и пояснить на словах, что данному неравенству

подойдут многие числа (а именно, большие 2).

Дети осваивают следующие способы поиска значений переменной:

Подбор значения путем подстановки.


ПУ

А) выбор подходящих значений из ряда чисел, предложенного

учителем.

Б) самостоятельный подбор значений.

Подбор значений путем рассуждений (на основе имеющихся

арифметических знаний). Например, нужно найти значение буквы в

неравенстве 45 + 2 > 45 + х. Ученик может рассуждать так: слева и

справа записаны суммы, в которых равны первые слагаемые.

Значит, значения сумм различаются потому, что не равны вторые

слагаемые. Поскольку левая сумма больше правой, второе слагаемое

левой суммы больше второго слагаемого правой суммы. Значит, х

должен быть меньше 2. Это числа 0 и 1.

Подбор значений путем приведения неравенства к равенству (для

сильных учеников). Пусть дано неравенство 5а < 40. Найдем, при

каком значении а 5а = 40. Это равенство верно при а = 8. Значит,

при а < 8 5а будет меньше 40.

Сложнее решать уравнения таким путем, если деление нельзя

выполнить без остатка. Например, 5а < 42. Преобразуем его в

равенство 5а = 42. Ближайшее число, которое делится на 5 без остатка

– 40. 40:5 будет 8. Попробуем подставить это число в неравенство. 5 8

< 42. Число 8 подходит. Значит, все числа, меньшие 8, тоже подойдут

данному неравенству.


1. Назовите цели изучения алгебраического материала в начальных

классах.

2. Назовите определения: выражений, уравнения, числового

неравенства.

3. Назовите способы решения уравнений.

Тема 10. геометрические фигуры и отношения между ними в начальном

курсе математики

Вопросы

1. Геометрические фигуры, изучаемые в начальной школе.

2. Методика знакомства учащихся со свойствами геометрических фигур.

3. Пропедевтика координатного метода.


ПУ

1.геометрические фигуры, изучаемые в начальной школе

Геометрический материал не выделяется в программе по математике для

начальных классов в виде самостоятельного раздела. Изучение элементов

геометрии тесно связано с изучением арифметики и алгебры.

Задачи изучения темы:

1. Формировать у учащихся представления о геометрических фигурах:

научить узнавать и выделять геометрическую фигуру;

научить расчленять фигуру на составные элементы (углы, вершины, стороны

и т.д.) –т.е. проводить анализ;

уяснить некоторые свойства геометрических фигур;

дать определения прямоугольнику и квадрату.

Вырабатывать практические умения и навыки построения геометрических

фигур – т.е. проводить синтез:

без чертежных инструментов;

с чертежными инструментами.

Вырабатывать практические умения в измерении геометрических фигур

(длина, периметр, площадь):

без измерительных приборов;

с измерительными приборами.

*Формировать творческие умения трансформировать геометрические фигуры

по заданным параметрам с целью получения новых геометрических объектов

(основа визуального, пространственного мышления):

разбиение фигуры на ряд других фигур (анализ);

воссоздание фигуры из ряда других фигур (синтез).

*Формировать начальные представление о геометрических преобразованиях:

параллельный перенос;

осевая симметрия;

центральная симметрия.

Формирование представления о геометрических фигурах.

Уже дошкольники получают первые представления о форме, размерах,

взаимном расположении предметов в пространстве. В процессе

манипулирования предметами они постепенно вычленяют среди других

свойств форму. В возрасте 5-6 лет по программе дошкольной подготовки

дети правильно показывают предметы, имеющие форму: шара, куба, круга,

квадрата, треугольника, прямоугольника, овала, трапеции (!), ромба (!).

Отметим, что количество изучаемых форм по программе дошкольной

подготовки превосходит количество форм фигур, изучаемых в начальных

классах. Однако уровень овладения этими понятиями у дошкольников

значительно отличается от требований начального образования:


ПУ

уровень обобщения понятий очень низкий (к примеру, квадрат,

прямоугольник, ромб воспринимаются как разные фигуры, нередко

они противопоставляются; не дается понятие многоугольник и т.п.)

в весьма незначительной степени исследуются свойства фигур.

В начальной школе делаются первые шаги по обобщению геометрических

понятий на основе более глубокого изучения свойств геометрических фигур.

Однако изложение начального курса геометрии еще далеко от принятого в

старшей школе аксиоматического подхода к определению геометрических

понятий.

Одним из ведущих отличий методики начального обучения геометрии от

изложения курса геометрии в старшей школе является проблема определения

геометрических понятий. Иногда учителя сообщают детям запомнившиеся

им из школьного или вузовского курса математики определения некоторых

геометрических понятий. Например, сообщают, что ―отрезок – это часть

прямой, ограниченная двумя точками‖ или ―угол – это часть плоскости,

ограниченная двумя лучами с общим началом‖. И в том, и в другом случаях

дети не владеют соответствующей математической базой, чтобы понять суть

определения.

Для того, чтобы понять преждевременность и нелепость таких попыток,

напомним, что определить понятие – значит точно выделить тот класс

объектов, который охватывается данным понятием. В процессе определения

понятия каждый раз одно понятие (например, ―квадрат‖) определяется через

другое, более широкое (―прямоугольник‖), которое в свою очередь может

быть определено через еще более широкое понятие (―параллелограмм‖ –

―четырехугольник‖ – ―многоугольник‖). Таким образом, давая определение,

мы сначала относим объект к определенному роду, а затем указывает

видовые отличия.

Понятно, что такую цепь определений нельзя продолжать бесконечно. В

конце концов мы приходим к понятиям, наиболее широким и общим, для

которых невозможно указать ближайший род. Такие понятия называются

основными (первичными или неопределяемыми). Наличие таких понятий

неизбежно как в науке геометрии, так и в школьном курсе геометрии.

Поэтому нелепо спрашивать у детей ―что такое точка?‖, ―что называется

прямой линией?‖, ―расскажи, что такое плоскость‖ и т.п., так как это –

основные понятия, они не определяются через указание рода и видового

отличия.

В методике обучения геометрии (в отличие науки геометрии) система

основных понятий меняется по мере овладения учащимися геометрическими

представлениями.


ПУ

Естественно, что в начальной школе система основных (неопределяемых)

понятий более обширна, чем в старшей школе. Например, такие понятия, как

―отрезок‖, ―многоугольник‖, ―угол‖ и т.д. являются в начальной школе

неопределяемыми. Отсюда нет смысла ставить вопросы ―что такое угол?‖,

―что называется многоугольником‖ и т.д. Однако вполне уместно

предложить детям сказать, что такое треугольник. Здесь ребенок может

попытаться дать определение через известное ему родовое, неопределяемое в

начальной школе, понятие: треугольник – это многоугольник, у которого 3

стороны.

2. Методика знакомства учащихся с геометрическими фигурами и их

свойствами

Точка. Прямая и кривая линии. Луч. Отрезок прямой. Ломаная линия.

Знакомство с указанными понятиями проходит на практической основе.

Никаких определений не дается. Впервые с понятиями точка, прямая и

кривая линии, отрезок дети знакомятся в 1 классе; с ломаной линией – во 2

классе. Отметим, что ломаную можно вводить и в 1 классе. Это зависит от

методических взглядов авторов учебников.

Дети получают представления о данных геометрических объектах в процессе

непосредственной практической деятельности.

Точка: дети завязывают узелок на нитке; протыкают дырочку на листе

бумаги; находят точку пересечения линий в тетради; дотрагиваются мелом

до доски и карандашом до бумаги и т.п.

Прямая и кривая: натянутая нить и провисшая нить, которые можно

бесконечно продолжить в двух направлениях; ровная линия сгиба листа

бумаги и неровная линия разрыва листа бумаги; изображения ровной дороги

и извилистой тропинки; след от движения предмета (карандаша, колеса) и

т.п. В отличие от ломаной, эти линии бесконечные.

В концентре ―Сотня‖ (3 класс) даются понятия параллельных,

пересекающихся прямых (с. 77), а также взаимно перпендикулярных прямых

(с. 69) (на основе полученных во втором классе представлений о прямых

углах). Отметим, что в данном случае можно обойтись без терминологии,

ограничившись исследованием свойств и описанием результата исследования

(есть прямые, которые не пересекаются, не имеют общей точки...)

Луч: вводится в 3 классе (по Столяру). Дается описание луча (это не

определение) – части, на которые точка О разбивает прямую линию,

называются лучами.


ПУ

Отрезок: отрезанная часть натянутой нити; разрезанная на части длинная

полоска бумаги; часть прямой линии между двумя точками, включая эти

точки. Это линия конечная.

Ломаная: натянутая между несколькими гвоздиками (пальцами рук) нить;

переломанная проволока; части узкой полоски бумаги, расположенные не по

прямой линии так, чтобы концы частей совпадали; край сложенной в

―гармошку‖ бумаги; изображение ломаной на бумаге из отрезков.

Многоугольники и их элементы (вершины, стороны, углы)

1 этап. Уточнение дошкольных представлений.

Уже в дочисловой период многоугольники используются в качестве счетного

материала, а также материала для проведения дидактических игр. Дети

называют фигуры, опираясь на дошкольные знания. При этом не

используется термин ―многоугольник‖, количество форм фигур ограничено,

исследование свойств и построения не проводятся.

2 этап. Вычленение элементов многоугольников (вершины, стороны,

углы).

Уже при изучении нумерации чисел первого десятка изучение каждого из

однозначных чисел сопровождается демонстрацией многоугольника с

соответствующим числом сторон. В каждой из фигур показываются

следующие элементы: вершины – до них дотрагиваются указкой (точки, где

соединяются стороны); стороны – проводят указкой от одного конца отрезка

до другого – (отрезки, соединяющие вершины) и углы – веерообразное

движение указкой от одной стороны к другой –(часть многоугольника между

двумя сторонами, включая эти стороны). Эти элементы только

показываются, поскольку определить их невозможно. При этом отмечается,

что в одном многоугольнике число вершин, сторон и углов одинаковое.

Существует два подхода к введению понятия ―многоугольник‖.

1. Понятие ―многоугольник‖ вводится как обобщение рассмотренных

частных случаев (треугольник, четырехугольник, пятиугольник), т.е.

после изучения нумерации однозначных чисел.

2. Понятие ―многоугольник‖ вводится до рассмотрения его частных

случаев, т.е. в начале изучения нумерации однозначных чисел. Для

этого противопоставляются понятия ―многоугольник‖ и ―круг‖.

Первый, в отличие от второго, имеет углы, ―не катится по столу‖.

Далее изучаются различные виды многоугольников.

Введение понятия ―многоугольник‖ позволяет в известной мере определять

геометрические понятия (треугольник, четырехугольник – это

многоугольник, у которого...)


ПУ

3 этап. Исследование свойств многоугольников. Определение

многоугольников.

Отметим, что по старым программам в начальной школе к определяемым

относились только два понятия: квадрат и прямоугольник. По современным

программам число определяемых понятий увеличилось.

Для исследования некоторых свойств многоугольников, а также для их

определения, необходимо дать представление о видах углов (прямой, тупой,

острый).

Угол. В концентре ―Сотня‖ (2 класс) уточняется представление об угле

многоугольника, заложенное в 1 классе. (с. 77)

Прямой угол. Вводится сразу после темы ―угол‖ за несколько уроков до

знакомства с прямоугольником. Дети получают модель прямого угла

перегибанием нелинованного неформованного листа бумаги дважды.

Пользуясь моделью прямого угла, дети устанавливают вид углов на

окружающих предметах, в частности, на чертежном треугольнике. При этом

дети пользуются словами ―прямой‖ и ―не прямой‖ угол. В качестве

пропедевтики можно использовать фразы ―больше прямого‖ и ―меньше

прямого‖ угла. (с. 78)

Острый угол, тупой угол. Вводятся сразу после урока, посвященного

прямому углу, как углы, меньшие или большие прямого угла. (с. 79)

Треугольник. Исследование треугольников с точки зрения соотношения их

сторон позволяет в 3 классе выделить равносторонние, равнобедренные,

разносторонние треугольники (с. 32). Отметим, что терминологию можно не

давать, ограничиться только описанием результата исследования (есть

треугольники, у которых все стороны равны...)

Исследование треугольников с точки зрения их углов позволяет в 3 классе

выделить остроугольные, прямоугольные, тупоугольные треугольники (с. 52-

53).

Выполнение ряда упражнений позволяет подметить некоторые свойства,

которые будут изучаться в старшей школе: средней линии треугольника,

медианы, высоты (без терминологии).

Прямоугольник. Квадрат. Относятся к определяемым понятиям в

начальном курсе математики. Однако эти определения отличны от тех,

которые даются в курсе геометрии старшей школы. В соответствии с

изложенным выше требованием давать определение понятия через род и

видовое отличие, мы имеем в старшей школе следующую цепочку

определений:

определяется параллелограмм как четырехугольник, у которого

противоположные стороны попарно параллельны;


ПУ

Исследуются следующие свойства параллелограмма: 1.равенство

противоположных сторон; 2.равенство противоположных углов;

3.точка пересечения диагоналей есть середина каждой из них.

определяется ромб как частный случай параллелограмма. Ромб –

параллелограмм, все стороны которого равны.

Исследуются следующие свойства: 1.Все свойства параллелограмма

2.Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его

углов.

определяется прямоугольник как частный случай параллелограмма.

Это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Исследуются следующие свойства: 1.все свойства параллелограмма.

2.Диагонали равны.

Важно, что понятия прямоугольник и ромб не определяется одно через

другое.

определяется квадрат как частный случай прямоугольника. Это

прямоугольник, у которого все стороны равны. Очевидно, возможен

и такой вариант: квадрат – это ромб, у которого все углы прямые.

Поскольку квадрат – это и параллелограмм, и прямоугольник, и ромб,

то исследуются свойства: 1. Все свойства параллелограмма; 2.

Свойства ромба; 3.Свойства прямоугольника.

Схематически имеем следующую цепочку понятий:

многоугольник

четырехугольник

параллелограмм

прямоугольник ромб

квадрат

В начальной школе такой подход невозможен по причинам, указанным выше

(недостаток математической базы, мало обобщений).

Во 2 классе мы определяем прямоугольник как четырехугольник, у которого

все углы прямые (с. 82), минуя ближайшее родовое понятие –

параллелограмм.

Однако понятие квадрата дается во 2 классе достаточно точно (с. 86) –

квадрат определяется как прямоугольник, у которого все стороны равны. Это

позволяет сразу уточнять представление о квадрате как о частном случае

прямоугольника.


ПУ

Выполнение ряда упражнений позволяет пропедевтически познакомиться с

некоторыми из перечисленных выше свойств прямоугольника и квадрата.

Параллелограмм. В начальной школе дается в 3 классе, после знакомства с

прямоугольником и квадратом во 2 классе, а также с параллельными

прямыми в 3 классе. К этому времени математической базы детей

достаточно, чтобы дать достаточно точное определение параллелограмма:

это четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны. (с.

120) (Может, без него можно обойтись?)

Круг и его элементы (окружность, центр, радиус)

1 этап. Уточнение дошкольных представлений.

Уже в дочисловой период круги называются и используются в качестве

счетного материала, а также материала для проведения дидактических игр.

На данном этапе понятие ―окружность‖ не дается. В качестве слов-

заменителей, например, при организации игры с обручами, используются

слова ―обруч‖, ―линия‖.

2 этап. Вычленение элементов круга (окружность, радиус, центр).

Определение и исследование свойств.

Заметим, что в курсе геометрии сначала определяется окружность как

множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки той же

плоскости. Потом определяется круг как часть плоскости, ограниченная

окружностью.

В 4 же классе (с. 118). окружность определяется как граница круга. Т.е.

сначала дается понятие ―круг‖, а потом – ―окружность‖.

Дать представление об окружности можно также через понятие ―замкнутая

кривая линия‖, которая получается после обведения карандашом круга.

Такие части круга (и окружности), как центр и радиус, даются без

определений, путем показа их учителем. (с. 119)

В процессе выполнения упражнений возможно пропедевтическое

ознакомление с некоторыми свойствами окружности, которые будут

изучаться в старшей школе:

1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно

провести одну и только одну окружность.

А)Через вершины любого треугольника можно провести окружность и

притом только одну.

Б)Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются

в одной точке.

2. Касательная к окружности перпендикулярна диаметру, проходящему

через точку касания.


ПУ

3. Множество всех вершин прямоугольных треугольников с заданной

гипотенузой есть окружность, диаметром которой является эта

гипотенуза.

4. В окружности хорды равной длины равноудалены от центра.

5. Из двух неравных хорд хорда большей длины расположены ближе к

центру.


1. Назовите цели изучения геометрического материала в начальных

классах.

2. Назовите определения: квадрата, прямоугольника..

3. Назовите способы построения прямых углов.

Тема 11. Методика знакомства учащихся с измерением длины и

системой мер длины.

Вопросы

1.Основные этапы знакомства учащихся с измерением длины отрезка.

Содержание основных этапов.

2.Порядок введения мер длины. Знакомство с измерительными

инструментами. Точность измерений.

3.Формирование системы мер длины. Арифметические действия над

величинами, выраженными мерами длины. Сравнение числовых значений

длин, перевод числовых значений из мелких единиц измерения в крупные и

наоборот.

1. Основные этапы знакомства учащихся с измерением длины отрезка.

Содержание основных этапов.

Программой математики начальных классов предусмотрено ознакомление

учащихся с величинами и их измерением.

Величины являются предметом рассмотрения многих наук, в том числе и

математики. Следует отметить, что понятие ―величина‖ – одно из основных

неопределяемых понятий в математике, физике, химии, биологии и других

науках. В начальном курсе математики формируются представления о

величине как о некотором свойстве предметов и явлений, которое связано с

измерением.

Программа требует ознакомления учеников начальных классов со

следующими основными величинами: длиной, массой, емкостью, временем и


ПУ

площадью. Кроме этого, в ходе решения задач ученики знакомятся с

группами пропорциональных величин: цена, количество, стоимость;

скорость, время, расстояние; норма выработки, время работы, вся выработка

и др.

При изучении основных величин ученики должны научиться находить

значение величины предмета (или протяженность явлений) с помощью

измерительных приборов. По отношению же к остальным

(пропорциональным) величинам не ставится задача обучить измерению этих

величин, их значения находятся, в основном, при решении текстовых задач.

Следует разводить для детей такие взаимосвязанные понятия, как ―величина‖

и ―число‖. Число возникает в связи с измерением величин. К примеру, при

измерении отрезка определенной меркой (в 1 см) мы получили число 7

(столько раз мерка укладывается в отрезке). Полученное число 7 в

математике называют мерой отрезка в сантиметрах. В начальной же школе

вместо понятия ―мера отрезка‖ употребляется понятие ―длина отрезка‖.

Таким образом, в школе мы называем длиной отрезка два несовпадающих, но

близких понятия: меру отрезка (численное значение величины) и его

свойство иметь меру (собственно длину).

Методика изучения разных величин в начальных классах имеет много

общего. В ней четко просматриваются следующие этапы:

1. Сравнение однородных величин ―на глаз‖ (наложением,

совмещением и т.п.

2. Введение эталона:

использование произвольных мерок;

использование стандартных единиц измерения.

3. Знакомство с измерительным прибором (линейка, палетка, весы и

т.п.), формирование измерительных умений.

4. Действия над числовыми значениями величин; перевод значений

однородных величин из одних единиц измерения в другие;

сравнение числовых значений величин.


ПУ

Методика изучения длины.

Задачи изучения темы следующие:

1. Уточнить представление учащихся о длине как свойстве физических

тел.

2. Познакомить с единицами измерения длины.

3. Сформировать умение измерять длину с помощью специальных

инструментов.

4. Научить выражать результаты измерения в разных единицах.

5. Научить выполнять арифметические действия над численными

значениями длин, а также сравнивать их.

Сравнение длин отрезков ―на глаз‖.

Изучение длины начинается с выяснения представлений детей о длине. С

этой целью классу предлагается сравнить 2 карандаша (дерева, столба,

веревки) разной длины. При этом следует стремиться к полному сравнению –

выделению общих (сопоставление) и отличительных (противопоставление)

свойств предметов. Сравнивая карандаши разных цветов ученики с

помощью совмещения доказывают, что один из них короче, а другой –

длиннее.

Аналогично (совмещением, наложением) дети убеждаются, что свойство

―иметь длину‖ характерно для различных предметов (книга, парта, стена,

машина и т.п.); при этом один из них часто оказывается короче (длиннее)

другого.

2. Порядок введения мер длины. Знакомство с измерительными

инструментами. Точность измерений.

Введение эталона. Использование произвольных мерок.

Детей необходимо постепенно подвести к необходимости введения эталона

измерения (мерки). Для этого предлагается, к примеру, сравнить длины двух

отрезков, начерченных мелом на доске (картинки на стенах, прутья на

веточках). Важно, чтобы предложенные для сравнения предметы

незначительно отличались по длине и были расположены так, что ―на глаз‖

их сравнить невозможно (нельзя приложить друг к другу начерченные

отрезки, прибитые картинки и т.п.).

При этом возникает определенная проблемная ситуация – как сравнить

отрезки по длине? Дети могут предложить выход самостоятельно: следует

воспользоваться какой-либо произвольной меркой, например, палочкой.

Сначала мерка откладывается по длине первого отрезка, потом – второго

отрезка. Далее результаты выражаются соответствующими числами и


ПУ

делается вывод о том, что длиннее тот отрезок, у которого результат выражен

большим числом.

Здесь уместно привести исторические сведения о том, что единицы

измерения люди не выдумывали, а принимали сначала в качестве мер части

своего тела, которые затем стали общепринятыми образцами. Например, в

Древнем Египте основной мерой длины был локоть или аршин – расстояние

от конца пальцев до согнутого локтя. Локоть делился на 7 ладоней, ладонь –

на 4 пальца. Однако уже в то время купцы заметили, что выгоднее нанимать

приказчиков с короткими руками, поскольку они при продаже за одну и ту

же ткань могут взять больше денег.

В Англии дюйм означает палец, длина сустава большого пальца равна

примерно длине трех ячменных зерен, фут – ступня, ярд – расстояние от носа

короля Генриха и до конца среднего пальца его вытянутой руки.

На Руси единицей измерения длины долгое время была маховая сажень,

равная расстоянию между расставленными в стороны руками.

Чтобы подвести учеников к осознанию необходимости введения единых

мерок, можно предложить измерить отрезки разными палочками, или длину

класса разными шагами, или длину двух лент разными ладонями. При этом

длина одной и той же ленты будет выражена разными числами. Дети могут

самостоятельно придти к выводу о том, что для объективного сравнения

длин нужна единая мерка.

Знакомство с общепринятыми мерками.

Далее учитель сообщает детям, что в качестве единой мерки измерения длин

договорились использовать 1 сантиметр и показывает модель сантиметра –

полоску такой длины.

Общепринятая система мер (метрическая система) была создана французами

в 1795 году, в период Великой французской буржуазной революции и

являлась одним из ее достижений (окончательная редакция и название

единиц – математик Ж.Лагранж и политический деятель Дювернуа). Однако

по понятным причинам всеобщего распространения в те времена она не

получила.

Первоначально были сделаны две платиновые пластинки длиной в 1 м и

шириной в 25 мм. Затем по их образцу были выпущены деревянные линейки

для академиков, потом – для студентов, до конца 19 века – для школьников.

В Россию и Беларусь линейка попала в 1812 году как военный трофей. И

только в 1899 году начался ее выпуск в нашей стране.

Тем не менее передовые ученые мира сразу оценили достоинства новой

системы мер. В России первым применил метр как единицу длины Н.И.

Лобачевский. Однако только в 1875 году в Париже 17 государств (в том


ПУ

числе и Россия) подписали соглашение о принятии метрической системы мер

в качестве Международной.

Ученики делают сами модель сантиметра и с ее помощью измеряют длины

различных предметов (парта, учебник, ручка и т.п.). Здесь можно поступать

двояко: пользоваться одной моделью, постоянно ее передвигая, и

пользоваться набором одинаковых моделей, выкладывая их вдоль

измеряемого предмета. Однако, и в том, и в другом случае, дети замечают,

что пользоваться моделями не очень удобно: они маленькие, неровно

укладываются по предмету, разлетаются от неосторожного движения т.п.

Возникает идея использования специального измерительного прибора.

Знакомство с измерительным прибором – линейкой.

Таким прибором сначала является бумажная лента с нанесенными на ней

делениями, равными по длине 1 см. Дети делают модель линейки

самостоятельно (для этого можно использовать урок труда). Берется полоска

бумаги длиной, к примеру, в 20 клеточек тетради. После чего ученики,

убедившись, что длина двух клеточек соответствует примерно 1 см, ставят

через каждые 2 клетки штрихи, начиная слева направо. Каждое деление

отмечается записью числа. При этом полезно сначала посчитать деления

порядковыми числительными и пояснить, что первый штрих обозначен

цифрой ноль именно потому, что до него не отложено ни одной мерки.

Далее изготовленной линейкой дети измеряют различные предметы и

убеждаются в том, что пользоваться ею намного удобнее, чем отдельными

мерками.

После подобной работы дети осознанно воспримут идею использования

типовой (фабричной) линейки. При этом они осваивают умение измерять с ее

помощью длины различных отрезков, состоящее из следующих действий:

а) положите линейку так, чтобы начало отрезка совпадало с нулевым

штрихом линейки;

б) число, которое стоит на линейке напротив конца отрезка, обозначает его

длину в сантиметрах.

Полезно определять приблизительную длину предметов. Например, если

конец полоски ближе к штриху в 6 см, то говорят, что длина полоски

приблизительно равна 6 см.

После этого ученики строят отрезки заданной длины (как этому научить,

будет сказано в лекции, посвященной геометрическому материалу).

Знакомство с другими единицами измерения длины.

В дальнейшем дети последовательно знакомятся с другими единицами

измерения длин (дециметр – 1 класс, метр – 2 класс, миллиметр, километр – 3

класс). При этом в каждом случае ставится проблема измерить отрезки


ПУ

(полоски), длины которых можно определить удобнее и точнее с помощью

новой единицы измерения. Кроме такой прикладной задачи, введение новых

единиц длины связывается с вопросами нумерации. Так, введение дециметра

в 1 классе хорошо иллюстрирует соотношение между первыми двумя

разрядами двузначных чисел. Введение метра соответствует появлению

третьего разряда – сотни и т.д.

К концу обучения в начальной школе дети должны выучить наизусть

таблицу мер длины:

1 км = 1000 м 1 дм = 10 см

1 м = 100 см 1 см = 10 мм

1 м = 10 дм

Учителю полезно знать и пояснить детям значения приставок:

кило- тысяча

санти- сотая

деци- десятая производные от метра

милли- тысячная.

3. Формирование системы мер длины. Арифметические действия над

величинами, выраженными мерами длины. Сравнение числовых

значений длин, перевод числовых значений из мелких единиц

измерения в крупные и наоборот.

Важным упражнением является перевод одних единиц в другие. Рассмотрим,

как при этом можно рассуждать.

Начинать следует с перевода больших единиц в меньшие. К примеру, нужно

3 м 4 см выразить в сантиметрах. Ученик сначала переводит в сантиметры 3

м – это 300 см. Затем добавляет 4 см – получает 304 см.

Сложнее научить осознанному переводу меньших единиц в более крупные.

Пусть нужно 326 см представить в дм и см. Для этого ученик выясняет,

сколько раз по 10 см (т.е. по 1 дм) содержится в 320 см. Выполняя деление по

содержанию с остатком, имеем 32 полных дециметра. Остались

неразделенными 6 см. В итоге имеем 32 дм 6 см.

Если нужно то же значение представить в метрах и сантиметрах, то вначале

выполняют деление по содержанию с остатком на 100 (сколько раз по 100

см, т.е. по 1 м, содержится в 326 см). Затем, учитывая, что 26 см остались

неразделенными, записывают результат – 3 м 26 см.

Сравнение числовых значений величин (в методике их традиционно

называют ―именованные числа‖), а также выполнение над ними

арифметических действий было рассмотрено в лекциях, посвященных


ПУ

вопросам нумерации, сравнения и операций над числами в соответствующих

концентрах.


1. Назовите основные этапы знакомства учащихся с измерением длины

отрезка.

2. Назовите способы измерения длины отрезка.

3. Назовите единицы измерения длины.

Тема 12. Методика знакомства учащихся с измерением площади и

системой мер площади.

Вопросы

1.Основные этапы знакомства учащихся с измерением площади. Содержание

основных этапов. Порядок введения мер площади.

2.Формирование системы мер длины. Арифметические действия над

величинами, выраженными мерами площади. Сравнение числовых значений

площади, перевод числовых значений из мелких единиц измерения в

крупные и наоборот.

1. Основные этапы знакомства учащихся с измерением площади.

Содержание основных этапов. Порядок введения мер площади.

Изучение площади геометрических фигур основано на привычном для

учеников представлении о том, что каждая фигура занимает определенное –

большее или меньшее – место на плоскости. На интуитивном уровне это

понятно уже дошкольникам, когда они, даже не совмещая предметы, говорят,

что лист березы больше листа клена, тарелка больше блюдца, книга больше

открытки и т.п. В начальной школе мы должны:

1. Уточнить представление учащихся о площади как свойстве

физических тел.

2. Познакомить с единицами измерения площади.

3. Сформировать умение измерять площадь с помощью специальных

инструментов.

4. Научить определять площади некоторых геометрических фигур с

помощью вычислений (прямоугольник).

5. Научить выражать результаты измерения в разных единицах.

6. Научить выполнять арифметические действия над численными

значениями площадей, а также сравнивать их.

Сравнение площадей ―на глаз‖.


ПУ

Вначале детям предлагается сравнить площади поверхностей окружающих

предметов (книга и стол, доска и таблица и т.д.). Для этого дети накладывают

один предмет на другой и убеждаются, что один предмет полностью

находится ―внутри‖ другого. Делается вывод о том, что этот предмет меньше.

Характерно, что при этом не используется термин ―площадь‖.

Потом сравниваются геометрические фигуры. В частности, это позволяет

сделать уже в 1 классе набор геометрических фигур. Совмещая большие и

маленькие квадраты, круги, треугольники, дети убеждаются, что при этом

меньшая фигура помещается внутри большей.

Полезно предложить детям проблемное задание: сравнить фигуры, которые

нельзя совместить так, чтобы одна из них поместилась внутри другой. Здесь

сравнение ―на глаз‖ можно провести с помощью ножниц: разрезать круг на

части и попытаться заполнить ими части прямоугольника.

2. Формирование системы мер площади. Арифметические действия

над величинами, выраженными мерами площади. Сравнение

числовых значений площади, перевод числовых значений из мелких

единиц измерения в крупные и наоборот.


Введение термина ―площадь‖ связано со сравнением площадей с

помощью эталона (мерки). По современным программам термин

―площадь‖ вводится в 4 классе. Вначале, после совмещения большей и

меньшей фигур, учитель сообщает, что в данном случае говорят:

―Площадь одной фигуры больше площади другой‖.

Далее детям предлагается сравнить площади фигур, которые нельзя (или

затруднительно) совместить (они нарисованы мелом на доске, или это две

картины, висящие на стенах и т.п.). Дети могут самостоятельно

предложить идею воспользоваться меркой: любой другой маленькой по

площади фигурой. Испробовав различные плоские фигуры (треугольники,

монеты, пуговицы) дети убеждаются, что удобнее всего пользоваться

квадратом, так как при этом можно заполнить всю поверхность фигуры

без ―пустот‖. Фигура, на которой поместится больше квадратов (их можно

обозначить числом), будет большей по площади.

Как и в случае сравнения длин, можно в данном случае поступать двояко:

пользоваться одним квадратом, фиксируя его местонахождение и


ПУ

передвигая, и пользоваться набором одинаковых квадратов. Безусловно,

практически выполнять сравнение таким образом, неудобно.

Сами дети могут усовершенствовать идею измерения с помощью мерки –

разбить сравниваемые фигуры на квадраты карандашом (мелом).

Чтобы показать детям необходимость введения единой мерки, можно

предложить сравнить площади прямоугольников, которые разбиты на

квадраты неравной площади (по 10 квадратов в каждой фигуре).

Несмотря на равенство числовых значений площадей каждого

прямоугольника, детям очевидно неравенство площадей фигур. Возникает

необходимость использование единой мерки (одинаковых квадратов).

Знакомство с общепринятыми мерками.

Учитель сообщает, что для измерения площадей небольших фигур в

математике используют квадрат со стороной в 1 см – квадратный сантиметр.

Первое время лучше пользоваться только сокращением 1 кв. см., так как

детям непонятен смысл записи см2 (не изучено возведение в степень).

После введения квадратного сантиметра дети пользуются им как

универсальной меркой и выполняют разнообразные упражнения по

нахождению площадей фигур. При этом определяются и сравниваются

площади прямоугольников, а также других фигур, состоящих из

прямоугольных частей.

Знакомство с измерительным прибором.

Для того, чтобы измерять площади было удобнее, можно пользоваться

специальным прибором - палеткой, прозрачной пластинкой, разделенной на

квадратные сантиметры. При этом измерение площади сводится к

следующим действиям:

а) положите палетку на фигуру;

б) посчитайте, сколько полных квадратных сантиметров поместилось на

фигуре;

в) посчитайте, сколько неполных квадратных сантиметров поместилось на

фигуре и разделите их количество на 2;

г) добавьте полученный результат к числу полных кв. см.

Получение формулы площади прямоугольника.

Дети должны научиться находить площади некоторых геометрических фигур

(прямоугольники и ―сводимые‖ к ним фигуры) с помощью вычислений, без

использования палетки.

Для этого используется модель прямоугольника. Дети замечают, что

количество кв. см., которые помещаются вдоль его длины, соответствует

численному значению длины в см, а количество рядов кв. см. соответствует


ПУ

численному значению ширины прямоугольника. Ученики могут сами

записать формулу S = ab.

На основании умения вычислять площадь прямоугольника, дети могут

справиться с рядом нестандартных заданий, когда им предлагается

определить, не пользуясь палеткой, площади таких фигур:

Последнее (вычислить площадь параллелограмма) оказывается возможным

при использовании ножниц – фигура трансформируется в прямоугольник

такой же площади, отсюда для нахождения площади исходной фигуры

достаточно найти площадь полученного прямоугольника.

Введение новых единиц измерения площади.

Введение таких единиц измерения площади, как кв. дм., кв. мм., кв.

км., га осуществляется на основании практической необходимости введения

более мелких (или крупных) мерок.

Постепенно составляется таблица мер площадей, которую дети не заучивают

наизусть, а в каждом отдельном случае определяют соотношение единиц с

помощью рассуждений. Например, нужно определить, сколько кв. дм. в

одном кв. м. Поясняется, что вдоль стороны квадрата длиной в один метр

помещается 10 квадратов со стороной в один дециметр. При этом будет 10

рядов таких квадратных дециметров. Отсюда на поверхности 1 квадратного

метра помещается 10х10, или 100 квадратных дециметров.

1 кв.см = 100 кв.мм

1 кв.дм = 100 кв.см 1 кв.дм = 10000 кв.мм 1 кв.км = 1000000 кв.м

1 кв.м = 100 кв.дм 1 кв.м = 10000 кв.см 1 га = 10000 кв.м

Чтобы детям легче запомнить соотношение ―необычных‖ единиц (гектар, ар),

можно использовать следующий чертеж:

1 м 10 м 100 м 1000 м

ар гектар


ПУ

квадратный

километр


1. Назовите основные этапы знакомства учащихся с измерением

площади фигуры.

2. Расскажите, как пользоваться палеткой?

3. Назовите единицы измерения площади.

Тема 12. Методика знакомства учащихся с измерением времени и

емкости и системой их мер.

Вопросы

1.Основные этапы знакомства учащихся с измерением времени. Содержание

основных этапов. "Естественные" и "искусственные" меры времени. Порядок

введения мер времени. Знакомство с часами разного типа. Формирование

системы мер времени. Арифметические действия над величинами,

выраженными мерами времени. Сравнение числовых значений времени,

перевод числовых значений из мелких единиц измерения в крупные и

наоборот.

2. Основные этапы знакомства учащихся с измерением массы, емкости.

Формирование системы мер массы, емкости.

1. Основные этапы знакомства учащихся с измерением времени.

Содержание основных этапов. "Естественные" и "искусственные" меры

времени. Порядок введения мер времени. Знакомство с часами разного

типа. Формирование системы мер времени. Арифметические действия

над величинами, выраженными мерами времени. Сравнение числовых

значений времени, перевод числовых значений из мелких единиц

измерения в крупные и наоборот

Формирование представлений о времени, восприятие промежутков

времени осложняется тем, что

* время необратимо, мы не можем вернуться назад на то время, которое

уже прошло;

* нельзя с помощью предметной деятельности (как с длиной, площадью,

массой, емкостью) сравнить продолжительность краткосрочных событий,

происходящих не одновременно;

* восприятие времени зависит от того, чем и как оно заполнено: чем

богаче и содержательней его заполнение, тем незаметнее оно протекает; чем


ПУ

беднее и однообразнее деятельность, тем более продолжительным кажется

нам время.

* единицы измерения времени не основаны на десятичной системе

счисления.

Задачи изучения темы:

1. Уточнить представления детей о времени.

2. Познакомить с единицами измерения времени и их соотношениями.

3. Научить определять время по часам, а день и месяц – по календарю.

4. Усвоить последовательность дней недели, месяцев в году.

5. Научить определять продолжительность событий с помощью

циферблата часов и через арифметические действия.

6. Сформировать умение выполнять с единицами времени

арифметические действия, сравнивать их, переводить в другие

единицы измерения.

Методика формирования временных представлений включает в себя

выявление имеющихся у учеников знаний о времени. Еще в дошкольном

возрасте, а также в подготовительный период, ученики называют дни недели,

время суток (утро, день, вечер, ночь), знают времена года, пользуются

понятиями старше, моложе, раньше, позже, сначала, потом, вчера, сегодня,

завтра, послезавтра. Многие ученики умеют пользоваться часами. Все это

помогает формировать у ребенка чувство времени.

Сравнение времени ―на глаз‖.

Возможно только при одновременном начале событий. Подобное сравнение

временных промежутков можно специально не рассматривать на уроках

математики. Оно хорошо иллюстрируется на уроках физкультуры (при

одновременном начале побеждает тот, кто был быстрее), труда (раньше

вырежет кружок, пришьет пуговицу тот, кто работает быстрее), в бытовых

ситуациях (при одновременном отъезде раньше приедет та машина, которая

движется быстрее). Подобные ситуации формируют и чувство времени, и

готовят к восприятию понятия скорости.


Использование эталона становится необходимым в том случае, когда

события происходят не одновременно. В классе полезно создать

соответствующую педагогическую ситуацию (дети по очереди пишут на

доске одно и то же слово, решают один пример и т.п.). При этом ―на глаз‖

сравнить время практически невозможно. Возникает идея использования

мерки. Ею может стать любое другое достаточно равномерно повторяющееся


ПУ

событие (хлопки руками, стук, счет). Длиннее оказывается тот промежуток

времени, который выражен большим числом.

Однако использование произвольных мерок, помогая решить проблему в

принципе, имеет ряд трудностей. Главнейшая из них – неточность измерений

и различие результатов как следствие этого. Для обоснования необходимости

введения единых мерок времени создается педагогическая ситуация, когда

ученик выполняет какое-либо действие у доски (решает пример, пишет

предложение), а учитель просит детей считать про себя). Результаты, скорее

всего, будут отличаться в связи с тем, что у каждого свой ритм счета.

Использование общепринятых мерок.

Учитель сообщает детям, что люди договорились пользоваться такими

мерками времени, как час и минута. В качестве эталона минуты могут на

уроке выступить песочные часы. Переворачивая их, дети могут, например,

точно измерить, что длиннее – первая перемена или вторая; что класс решал

дольше – примеры или задачу и т.п.

Однако, пользование песочными часами неудобно, так как требуется

постоянное присутствие того, кто измеряет и переворачивает часы, кроме

того, нужно держать в памяти промежуточные результаты (или постоянно

отмечать их фишками). Однако, самая серьезная трудность связана с тем, что

в случае сомнения результат невозможно проверить, повторив измерение, так

как время не обратимо.

Знакомство с измерительным прибором – часами.

Учитель сообщает детям, что для удобства измерений времени люди

пользуются часами – измерительным прибором со специальной шкалой и

двумя (тремя) стрелками. При пользовании часами уже не нужно

фиксировать (переворачивать) прибор через каждую минуту, в конце

события стрелка укажет на соответствующую цифру, которая поможет точно

определить истекшее время.

Историческая справка: Самыми древними часами, которые, к тому же,

никогда не ломались и не останавливались, было Солнце. Утро, день, вечер,

ночь – не очень точные мерки, но поначалу первобытным людям этого было

достаточно. Позднее люди стали определять время точнее днем – по Солнцу,

ночью – по звездам. Люди заметили, что звезды на небе медленно двигаются.

Все они как бы привязаны невидимыми ниточками к яркой звезде, которая

всегда находится на одном месте – Полярной звезде ( у некоторых народов –

Гвоздь Неба). Неподалеку от Полярной звезды находится Большая

Медведица, которая за сутки полностью обходит вокруг Полярной звезды

(делает полный круг), а за ночь – полкруга. Т.о. Большая Медведица


ПУ

выступала в функции часовой стрелки. Подобную функцию в солнечных

часах играла тень от шеста.

Солнечные часы известны с древности (на тер. Бывшего СССР – 7 век,

Армения). В 1736 году в Несвиже написан на латинском языке курс про

изготовление солнечных часов разных конструкций.

Водные часы (клепсидра) использовались в Китае, Индии, Египте в 16 веке

до нашей эры. Это был мерный сосуд, из которого за определенное время

вытекал определенный объем воды.

Песочные часы были распространены в начале мореплавания.

Первые упоминания про механические часы есть в византийских рукописях

(578 г). Первые механические часы были установлены в 10 веке на башне

городской ратуши в Магдебурге.

В России первые механические часы установлены на Спасской башне

Кремля в 1404 году.

Первоначальное знакомство с часами происходит при изучении чисел

первого десятка. Дети отмечают, что каждое из изучаемых чисел есть на

циферблате часов. Учитель поясняет, что каждая цифра обозначает

соответствующий час, если маленькая стрелка (часовая) показывает на эту

цифру, а большая (минутная) – на число 12.

Позднее (во втором классе) сообщается, что для более точного измерения

времени используется 1 час и 1 минута. Теперь подробно рассматривается

устройство циферблата часов. Отмечается, что он разделен на 12 больших

делений, а каждое большое деление – на 5 маленьких. Показывается, что за 1

минуту большая стрелка проходит 1 маленькое деление. Всего таких делений

на циферблате 5х12 = 60. Отсюда берется соотношение 1 час = 1 минуте.

Позднее (3 класс) вводятся сутки и секунда.

Для иллюстрации суток можно использовать чертеж:

полночь полдень полночь

0 1 2 3 4 12 19 24

С У Т К И

С помощью этого чертежа и циферблата часов поясняется, что при переходе

от 12-часового (шкала часов) до 24-часового (сутки) отсчета времени во

второй половине суток нужно к числу часов, которые показывают часы,

добавить 12. И наоборот, при переходе от 24-часового отсчета времени


ПУ

(электронные часы) к 12-часовому во второй половине суток нужно от числа

часов вычесть 12 часов.

Умение пользоваться измерительным прибором (часами) постепенно

совершенствуется:

ученики только определяют время по часам;

ученики определяют начало, конец и продолжительность событий,

если их начало совпадало с нулевой (12) меткой на шкале

циферблата;


если их начало совпадало с произвольной часовой меткой на шкале

(задачи на определение конца событий - с помощью сложения,

задачи на определение конца и продолжительности событий - с

помощью вычитания);


если их начало совпадало с произвольной меткой на шкале.

В 4 классе дети знакомятся с годом и веком.

Поясняется, что год – это время оборота Земли вокруг Солнца,

приблизительно равный 365 суткам и 6 часам. Поэтому за 4 года образуются

еще одни сутки. Отсюда каждый четвертый год – високосный, состоит из 366

суток.

Историческая справка: Древние египтяне первыми определили

продолжительность года с высокой точностью. Они знали, что лучшее время

для посевов было время после ежегодных разливов Нила. Жрецы заметили,

что между разливами проходит 12 полнолуний. Отсчитав 12 ―месяцев‖,

можно было определить начало нового разлива.

Но это было еще недостаточно точно. Жрецы также заметили, что ежегодно,

примерно одновременно с началом разлива, перед восходом солнца на

небосклоне появлялась яркая звезда. Пересчитали дни между этими

событиями – оказалось 365 дней. Египтяне разделили год на 12 месяцев по 30

дней, в конце года добавляли 5 дополнительных дней. Таким образом

появился первый календарь.

Со временем в календарях за основу взяли не новолуние (лунный календарь),

а число дней, необходимых Земле для полного оборота вокруг Солнца – 365,

25 (солнечный календарь). Лишние четверть суток (6 часов) стали все больше

и больше мешать. Наконец, Юлий Цезарь решил все это исправить. Он

приказал считать 46 год до н.э. состоящим из 445 дней, чтобы ―подогнать‖

подсчеты, а каждый последующий год должен был состоять из 365 дней, за


ПУ

исключением каждого четвертого года, который будет состоять из 366 дней с

учетом четверти суток трех предыдущих лет.

Интересно, что до 1700 г. началом года был день 1 сентября, а с 1700 г

Новый год отмечается 1 января.

Для ознакомления учеников с годов необходимо иметь в классе табель-

календарь. По нему определяется, что в году 7 месяцев по 31 дню, 4 месяца

по 30 дней, 1 месяц – 28 или 29 дней. Для того, чтобы детям было легче

запомнить, в каком месяце сколько дней, можно пользоваться

мнемоническим приемом (по косточкам рук, когда суставы больших пальцев

не учитываются).

Век – одна из наиболее трудных для восприятия детьми единиц времени,

поскольку век ребенку трудно представить. Однако ознакомление с этой

единицей измерения имеет исключительное пропедевтическое значение для

изучения курсов истории в средней школе, где век является основой

летоисчисления.

Упражнения в переводе единиц времени (и выполнении с ними

арифметических действий) интересны и полезны тем, что чаще всего

используется непривычная система счисления (60-ричная). К примеру, нужно

3 ч 12 мин. перевести в мин. Сначала дети переводят в минуты 3 часа (это

180 минут), потом добавляют к ним 12 мин., получают 192 мин.

Сложнее обратный перевод (192 минуты – это ...)

3. Основные этапы знакомства учащихся с измерением массы,

емкости. Формирование системы мер массы, емкости.Задачи

изучения темы:

1. Сформировать представление о массе и емкости.

2. Познакомить с единицами измерения массы и емкости и их

соотношениями.

3. Научить определять массу предметов и емкость сосудов.

4. Научить выполнять действия с численными значениями массы и

емкости (сравнивать, выполнять арифметические действия, перевод в

другие единицы).

5. Научить решать задачи с пропорциональными величинами масса

предмета – количество предметов – масса всех предметов; емкость

одного сосуда – количество сосудов – емкость всех сосудов.

При изучении массы необходимо внимательно относиться к терминологии. В

повседневной жизни при измерении массы с помощью весов часто


ПУ

пользуются термином ―вес‖. К примеру, учитель спрашивает ―Сколько весит

предмет?‖, в то время как уместнее спросить ―Какая масса предмета?‖

Разведение понятий ―вес‖ и ―масса‖ связано с введением новой

международной системы единиц измерения величин – системы СИ (SI –

sistem internatiohal). Ее основа – метрическая система мер. В системе СИ в

качестве основной единицы принята единица массы (а не веса) в 1 кг (масса

международного прототипа килограмма, хранящегося в Международном

бюро мер и весов в г. Севр, Франция).

Вес тела – сила, с которой Земля притягивает к себе тело; эту силу

определяют с помощью пружинных весов. Единицей измерения силы

является 1 ньютон (н) – по системе СИ. Один ньютон – эта сила, которая

массе в 1 килограмм сообщает ускорение, равное 1 м/сек2 (Р = mg).

Другая единица измерения силы – килограмм-сила (кГ, кгс) – есть сила, с

которой 1 килограмм массы притягивается к Земле, т.е. сообщающая массе в

1 кг ускорение 9,81 м/сек2. (1 кГ = 9,81 н). Таким образом, вес тела,

выраженный в кГ, численно совпадает с массой тела, выраженной в кг.

Отсюда следует популярное в житейской практике смешение понятий ―вес‖ и

―масса‖.

Масса тела – мера количества заключающегося в теле вещества, о которой

судят по весу тела: для данного места Земли масса пропорциональна весу.

Таким образом в начальном математическом образовании мы в результате

взвешивания (слово сохраняется) с помощью весов (слово сохраняется)

получаем массу тела, а не вес.

Сравнение масс ―на глаз‖ (―на руку‖).

Как и случае сравнения ―на глаз‖ длин, площадей идея заключается в

сравнении величин без эталона (мерки).

Сравнение предметов по массе должно начинаться уже в дочисловой период.

Это можно сделать, выполняя сравнение двух весьма сходных по размеру,

цвету, форме предметов (двух кубиков, двух портфелей и т.п.). При этом мы

выполняем полное сравнение – определяем признаки сходства

(сопоставление) и пытаемся найти признаки отличия (противопоставление).

Последнее сделать непросто, однако самостоятельно или с помощью учителя

дети берут предметы в руки – левую и правую – и выясняют, что один из них

– тяжелее, а другой – легче.

Специфичным для данного этапа при знакомстве с массой является

использование прибора – рычажных весов – когда они применяются без

эталона (гирек) и только иллюстрируют, какой предмет тяжелее (легче).

Удобство сравнения ―на глаз‖ с помощью рычажных весов очевидно в

случае, когда сравниваемые предметы незначительно отличаются по массе.


ПУ

Рычажные весы следует обязательно показать детям (хотя бы примитивную

модель из карандаша и пустых спичечных коробков), т.к. на идее

уравновешивания в начальной математике построен широкий круг задач, и

успешность решения их связана с осознанием детьми сущности этой идеи.


В классе создается педагогическая ситуация, когда требуется сравнить

предметы по массе, но их невозможно сразу положить на рычажные весы (к

примеру, предполагается, что два ученика находятся в разных квартирах и

могут общаться только по телефону; или сравниваемые предметы лежат на

первой и последней партах и по условиям их нельзя перемещать с этих парт).

Дети могут самостоятельно предложить использование ―мерки‖: на одну

чашку рычажных весов кладется предмет, на другую – равные по массе

―мерки‖ (горошинки, монетки, пуговицы и т.п.). Большим по массе

оказывается тот предмет, у которого оказывается большим численное

значение массы, выраженное одной меркой.

Чтобы подвести детей к необходимости выбора единой мерки, можно

предложить им сравнить на двух рычажных весах равные по массе предметы

(два одинаковых кубика, ластика), но при этом пользоваться разными

мерками (на одних весах – горошинки, на других – монетки). Возникает

проблемная ситуация, когда равные по массе предметы имеют разное

численное значение.

Использование общепринятой мерки.

Учитель сообщает детям, что в качестве единой мерки для массы

договорились использовать 1 кг и показывает гирю в 1 кг. Очевидно, что

введение в качестве первого знакомства именно этой мерки имеет ряд

трудностей. Естественнее было бы, учитывая всю предыдущую работу детей

с весами, познакомить сначала с 1 граммом (при этом моделями грамма

могут выступить как набор специальных гирек, так и старые советские

монетки). Первоначальное знакомство с кг – это, скорее, попытка

упорядочить житейский опыт детей, уточнить для ребенка те единицы

измерения, которыми он чаще пользуется на практике.

В результате знакомства именно с килограммом дети оказываются

лишенными возможности практически выполнять измерение масс предметов

по причинам чисто техническим (нет настоящих ―больших‖ рычажных весов,

соответствующих гирь, трудно организовать индивидуальную работу и т.п.)

и вынуждены осуществлять взвешивание ―мысленно‖, по рисункам на доске

и в учебнике. Это, безусловно, приводит к определенному формализму в

усвоении такой величины, как масса.


ПУ

Знакомство с измерительным прибором.

В качестве измерительного прибора выступают весы двух видов:

1. Рычажные весы, при работе с которыми применяется набор гирь

(разновесов).

2. Автоматические весы (весы с измерительной шкалой).

Взвешивание на рычажных весах основано на идее уравновешивания

измеряемого предмета и гири соответствующей массы (или набора гирь).

При этом полезно предлагать ситуации, которые являются пропедевтикой

идеи уравнения. К примеру, на одной чашке весов – дыня и гиря в 2 кг, на

другой чашке – гиря в 5 кг. По этой ситуации составляется уравнение х + 2 =

5. Решается задача вначале подбором, а в конце начального обучения – на

основания связи между компонентами и результатом арифметических

действий.

С автоматическими весами дети знакомятся позднее (4 класс). Знакомство с

ними предполагает знание других единиц измерения массы (грамм).

Введение новых единиц измерения массы.

В начальных классах дети знакомятся с кг, г, ц и т. Постепенно составляется

таблица мер массы и заучивается наизусть:

1 кг = 1000 г 1 т = 1000 кг

1 ц = 100 кг 1 т = 10 ц

На внеклассных занятиях можно сообщить детям, что существуют и другие

единицы измерения массы: фунт, равный 409 с половиной граммов, пуд,

равный 40 фунтам, или 16 кг и 380 г. В Америке и сейчас популярной

единицей меры массы является фунт, а урожайность с/х продукции

выражается в пудах.

Карат – это масса, равная массе зерна одного из бобовых растений (или 0,02

г). В каратах измеряются массы драгоценных камней. Каждому алмазу,

превышающему 20 каратов, присваивается имя, как человеку или городу.

Перевод единиц массы из больших в меньшие и наоборот аналогичен работе

с единицами длины. К примеру, нужно 3 кг 256 г выразить в г. Понимая, что

3 кг – это 3000 г, ученик записывает ответ – 3246 г. Сложнее обратный

переход – пусть нужно 3246 г выразить в кг и г. Сначала ученик выясняет,

сколько раз по 1000 г (т.е. по 1 кг) содержится в 3246. Потом замечает,

сколько граммов при этом остались неразделенными, и записывает ответ – 3

кг 246 г. При переводе в ц и кг исходное число нужно разделить на 100 (1 ц =

100 кг).

Знакомство с емкостью.

Отметим коротко, что знакомство с емкостью предполагает аналогичные

этапы. Вначале дети сравнивают емкости на глаз (отвечают на вопрос ―где


ПУ

воды больше?‖) При этом сравниваемые сосуды должны быть одинаковыми

по форме и размеру (две одинаковые банки), отличается только уровень

жидкости.

Педагогическая ситуация, связанная со сравнением емкости двух заметно

отличающихся по форме сосудов, приводит к идее использования мерки. В

качестве таковой вначале выступает любая маленькая емкость (ложка,

колпачок, стаканчик и т.п.). Далее осуществляется переход к единой мерке –

литру.

Полезно сообщить учащимся, что слово ―литр‖ происходит от фамилии

французского изобретателя лабораторной посуды, которого звали Клод-

Эмиль-Жан-Батист-Литр. Господин Литр в 1763 году предложил измерять

емкость жидкостей с помощью единицы измерения, которую в дальнейшем

назвали его именем. Единица измерения емкостей литр не входит в систему

СИ (там имеется объем с единицей измерения 1 куб. м). Однако, кроме

единиц системы СИ, десятичных кратных и дольных от них, допускается

применение единиц, исторически сложившихся и прочно вошедших в быт, и

единиц, специфичных для тех или иных областей измерений. К таковым и

относится литр как единица измерения объема жидкостей. 1 л = 1,000028 10 -

3 м

3, что приблизительно соответствует 1 дм

3.

После знакомства с литром организуется практическая работа по

определению емкости разных сосудов, по уравниванию количества воды в

разных сосудах. Это является основной для широкого круга задач, связанных

с переливанием жидкостей. К примеру, есть два сосуда в 5 и 3 л. Как с их

помощью отмерить 4 л воды?

Дети изучают только одну единицу измерения емкости – литр, поэтому не

выполняют преобразований одних единиц в другие.


ПУ

II. ПРАКТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

Часть 1

Методика преподавания математики

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1

Понятие "задача". Простая и составная задача. Этапы работы над

составной задачей (КДМ ПК)

Тест

1. Укажите, какая схема подходят к рисункам.

Схема 1 Схема 2

Ответ:

2. Составьте простую задачу, которая решалась вычитанием

(сложением).

Ответ:

3. Укажите рисунок, который соответствует условию задачи.

Вырезали 4 , 2 , а столько, сколько и вместе.

Сколько вырезали ?

а) б)


ПУ

Ответ:

4. Укажите схему, которая

соответствует краткой записи

задачи.

а) б)

Ответ:

Ответ:

5. Укажите рисунок, который соответствует схеме.

а б

в г

Схема 1.

Схема 2.

Ответ:

6. Укажите запись, которая соответствует схеме.

Схема 1.

Схема 2.

Ответ:

Желтых - 4 Синих – 2 Розовых - ?, столько, сколько

1. 6 – 3 2. 3 + 3 3. 8 – 4 4. 8 – 8


ПУ

7. Укажите правильную краткую запись к задаче.

Аня собрала 10 , а Вика – 6 . Сколько всего собрали девочки?

Краткая запись 1. Краткая запись 2.

8. Валя и Коля решили задачу. Кто решил задачу правильно?

В книге 10 страниц. Малыш прочитал 5 страниц. Сколько страниц осталось

прочитать?


СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (ОБЩАЯ

ХАРАКТЕРИСТИКА). АНАЛИТИЧЕСКИЙ И СИНТЕТИЧЕСКИЙ

СПОСОБЫ ПОИСКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (КДМ ТК)

Тест

1. Укажите, каким способом (аналитическим или синтетическим)

проведен поиск решения задачи. Составьте вопросы. В 7 одинаковых пакетах 14 л сока. Сколько литров сока в 2 таких пакетах?

Способ: Сначала узнаем,

Потом узнаем,

2.Составьте таблицу. Составьте вопросы.

На 4 платья потратили 12 м ткани, поровну на каждое. Сколько метров ткани

потратят на 6 таких же платьев?

1 0 – 5 = 5 1 0 + 5 = 1 5

Аня — 10 стаканов

Вика — 6 стаканов ?

Аня — 10 стаканов.

Вика — 6 стаканов.

Осталось — ?

14

7

? 2

?


ПУ

Что узнаем сначала?

Что узнаем потом?

3. Объясните по схемам разные способы определения количества

квадратов.

1 способ:

2 способ:

4. Объясните разные способы решения задачи. Решите задачу

рациональным способом.

Два пешехода одновременно вышли из деревни в противоположных

направлениях. Скорость первого пешехода 4 км/ч, а скорость второго – 6

км/ч. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 2 ч?

Способ 1:

сначала узнаем,

потом узнаем,

теперь можно узнать,

Способ 2:

сначала узнаем,

потом узнаем,

Решение задачи:

5. Выберите схему, которая соответствует задаче. Объясните.

12 м

? м


ПУ

В двух ящиках 180 помидоров. Количество помидоров в первом ящике

составляет половину помидоров во втором ящике. Сколько помидоров в

каждом ящике?

а б в

Ответ.

6. Выберите выражение, которое является решением задачи. Объясните.

В упаковке с тетрадей в клетку, а тетрадей в линейку в 3 раза меньше.

Сколько всего тетрадей в упаковке?

с 3 с : 3 с + с : 3 с + с 3

Ответ.

7. Составьте выражение, которое будет решением задачи.

В а одинаковых книгах со сказками 640 страниц. В одной книге со стихами

50 страниц. На сколько больше страниц в одной книге со сказками, чем в

одной книге со стихами?

Ответ.

8.Составьте и решите задачу.

Скорость, см/мин Время, мин Расстояние, см

Улитка 4

20

Жук 120 ?

Ответ.


РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СПОСОБОМ ЗАМЕНЫ, ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ, ОТ

КОНЦА И С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ «УСЛОВНЫХ МЕРОК» (КДМ ТК)

Тест

1. Укажите задачи, которые решаются способами:

замены

предположения

от конца

с использованием "условных единиц"

а) Ледокол вышел из порта к острову, который отстоит от порта на

расстоянии 840 км, и шел со скоростью 20 км/ч. На некотором расстоянии от

места назначения с ледокола взлетел вертолет и полетел на остров со

скоростью 220 км/ч сколько времени вертолет был в воздухе, если известно,

что со временем выхода ледокола из порта до посадки на острове его пилот

находился в пути 22 часа?

180 180 180

одинаковое


ПУ

б) Школьник сказал: "Будь у меня на 5 к. больше, чем сейчас, то у меня было

бы вдвое больше чем у сестры. У нас обоих один рубль". Сколько денег у

мальчика?

в) Рационализация процесса производства дала возможность увеличить

выпуск изделий цеха в октябре на 20 % по сравнению с сентябрем, в ноябре

на 5 % по сравнению с октябрем и в декабре на 10 % по сравнению с

ноябрем. В результате в декабре цех выпустил 11088 изделий. Сколько

изделий выпустил цех в ноябре, в октябре, в сентябре?

г) Для полярной станции сделан запас продовольствия на 420 дней на 15

человек. На самом деле в экспедиции оказалось на 3 человека меньше. На

сколько дней экспедиции хватит заготовленного продовольствия?

2. Решите задачу, используя указание к решению задачи.

На протяжении 796 м уложены трубы длиной 825 и 575 см. Сколько тех и

других труб уложено, если их общее число равно 98?

Указание. Предположить, что все 98 уложенных труб были трубы длиной по

575 см. Затем некоторое количество труб длиной 575 см заменить тем же

количеством труб длиной 825 см, чтобы сумма длин всех уложенных труб

стала 796 м.

Решение.

3. Составьте пояснения к решению задачи.

Школа приобрела 80 пар лыж на сумму 560 рублей. Часть лыж была куплена

по 9 рублей за пару, остальные – по цене 5 рублей за пару. Сколько пар лыж

одного и другого сорта было куплено?

Решение.

1) 5 80 = 400 (р.) –

2) 560 – 400 = 160 (р.)

3) 160 : (9– 5) = 40

4) 80 – 40 = 40 –

Ответ: 40 р.; 40р.

4. Решите задачу способом предположения.

В магазин привезли 34 ящика с яблоками трех сортов, причем в каждом

ящике были яблоки одного сорта. Обязательно ли среди них найдутся 12

ящиков с яблоками одного сорта?

Решение.

5. Решите задачу, используя пояснения к каждому действию.

Покупка стоимостью 3963 р была оплачена денежными знаками

достоинством в 25, 10 и 3 р. Десятирублевых купюр было на 8 больше, чем

двадцатипятирублевых, а трехрублевых на 15 больше, чем

двадцатипятирублевых. Сколько было денежных знаков каждого

достоинства?


ПУ

Решение.

1) – на столько меньше была бы стоимость покупки,

если бы при ее оплате было внесено столько же десятирублевых и столько же

трехрублевых купюр, сколько и двадцатипятирублевых.

2) – такова была бы стоимость покупки при указанном

предположении.

3) – денежное выражение трех разных купюр вместе.

4) – количество двадцатипятирублевых купюр,

внесенных за покупку.

5) – количество десятирублевых купюр.

6) – количество трехрублевых купюр.

Ответ:

6. Реши задачу двумя способами.

Старший брат идет из дома до школы 30 минут, а младший брат 40 минут.

Через сколько минут старший брат догонит младшего, если он вышел на 5

минут раньше?

Решение. (Первый способ).

Решение. (Второй способ).

Ответ:

А: 15 мин Б: 20 мин В: 25 мин Г: 10 мин

7. Реши задачу. Младший брат съел половину конфет, лежащих в вазе, средний – половину

оставшихся, а старший – половину остатка. После этого в вазе осталась 1

конфета. Сколько конфет было в вазе?

Указание. Задачу можно решать способом от конца.

Решение.


РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КРАТКОЙ ЗАПИСИ ИХ

УСЛОВИЯ И ГРАФИЧЕСКОЙ ИЛЛЮСТРАЦИИ (КДМ ТК)

Задание


ПУ

Задача. Длина двух кусков ткани 135 м. Из первого куска ткани сшили 6

палаток, а из второго куска – 3 таких же палатки. Сколько метров ткани было

в каждом куске?

Задания.

1. Составьте краткую запись условия данной задачи.

2. Составьте графическую иллюстрацию условия данной задачи.

3. Составьте задания, которые подготавливают учащихся к решению этой

задачи.

4. Опишите приемы, способствующие активизации поиска этой задачи.

5. Оформите решение этой задачи с записью по действиям (как с пояснением,

так и с вопросами), с составлением выражения, с составлением уравнения.


ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОЖИДАЕМОГО ВАРИАНТА ВЫБОРА

(МЕТОД ПРОБ) (КДМ ТК)

Задание

Задача.

На фабрике из 1000 листов бумаги сделано 120 тетрадей двух сортов. На

тетрадь одного сорта использовали по 8, а на тетради другого сорта – по 12

листов. Сколько тетрадей каждого сорта сделано?

Указание.

Решать задачу способом предположения и дальнейшей замены.

Задания.




задачи.





СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ (ОБОЩЕНИЕ)

(КДМ ТК)

Задание

Задача. Дедушка, который шел из деревни, на автобусную остановку, пройдя

за первый час 3 км, подсчитал, что если он будет двигаться с той же


ПУ

скоростью, то опоздает к автобусу на 40 мин. Поэтому остальной путь он

проходил со скоростью 4 км/ч. и прибыл на остановку за 45 мин. до отхода

автобуса. Найдите расстояние от деревни до станции.

Задания.




задачи.


5. Решите задачу двумя способами.

6. Оформите решения этой задачи с записью по действиям (как с пояснением,



НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ИХ ОТНОШЕНИЮ И СУММЕ (ИЛИ

РАЗНОСТИ)(КДМ ТК)

Тест

1. Решите задачу.

Три колхоза сдали государству 2565 т зерна. Первый сдал вдвое больше

зерна, чем два других вместе, а второй на 25 т больше третьего. Сколько

зерна сдал каждый колхоз?

Указание. Решая типовую задачу на нахождение двух чисел по их сумме

(2565) кратному отношению (2:1), можно узнать, сколько зерна сдал первый

колхоз и сколько зерна сдали два других вместе. Далее, решая типовую

задачу на нахождение двух чисел по их сумме и разности, можно узнать,

сколько зерна сдал второй колхоз и сколько третий.

Решение.

Ответ:

А: 1710 т; 440 т; 415 т Б: 1740 т; 420 т; 405 т

В: 1700 т; 430 т; 425 т Г: 171 т; 44 т; 45 т


Через сколько лет отец будет старше сына в два раза, если ему сейчас 45, а

сыну 13 лет?

Указание. Учитывая, что разность лет отца и сына остается постоянной,

сначала узнать, сколько лет будет сыну тогда, когда отец будет старше сына

в 2 раза. Для этого из условия данной задачи выделяется и решается


ПУ

вспомогательная типовая задача на нахождение двух чисел по их разности

(45-13=32) и кратному отношению (2:1).

Решение.

Ответ:

А:Через 19 лет Б: Через 17 лет

В: Через 18 лет Г: Через 20 лет


ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ПО ДВУМ

РАЗНОСТЯМ (КДМ ТК)

Задание

Решите задачу.

На одной овощной базе было в 2 раза больше картофеля, чем на другой.

После того как с первой базы взяли 210 т, на вторую привезли 80 т

картофеля, на первой базе осталось на 100 кг картофеля меньше, чем стало на

второй базе. Сколько тонн картофеля стало на каждой овощной базе?

Указание. Сначала выделить и решить вспомогательную типовую задачу на

нахождение двух чисел по их разности и кратному отношению, решая

которую можно узнать, сколько тонн картофеля было первоначально на

каждой базе.

Задания.




задачи.





ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ (КДМ ТК)

Задание


Из пункта А в пункт В вышел пассажирский поезд. Через 3 часа вслед за ним

вышел скорый поезд. Скорый поезд догнал пассажирский на середине пути

из А в В. В момент прибытия скорого поезда в В пассажирский поезд прошел


ПУ

13/16 всего пути. Сколько времени потребуется пассажирскому поезду на

прохождение расстояния от А до В?

Задания.




задачи.





ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ДРОБИ ОТ ЧИСЛА И ЧИСЛА ПО ЕГО

ДРОБИ

(КДМ ТК)

Тест

1. Объясните, как найти часть от числа используя задачу и ее решение.

Задача. С огорода было собрано 800 кг лука, 3

4 этого лука продали. Сколько

лука продали?

Решение. Будем считать, что весь лук составляет 4 четвертых части. Тогда на

1 четвертую часть приходится 800 : 4 200 кг лука, а на 3 четвертых —

200 3 600 (кг) лука.

Ответ. 600 кг.

Для того, чтобы найти часть от числа надо

2. Объясните, как найти число по его части, используя задачу и ее

решение.

Задача 1. Продали 140 ц лука, что составляет 2

5 всего урожая. Каким был

урожай?

Решение. Будем считать, что весь лук составляет 5 пятых частей. По условию


ПУ

на 2 пятые приходится 140 ц лука. Тогда на 1 пятую приходится 140:2 70

(ц) лука, а на 5 пятых — 70 5 350 (ц).

Ответ. 350 ц.

Для того, что найти число по его части нужно

3. Сколько килограммов в:

1

10 т = ……;

1

100 т = …..;

1

1000 т = ….. ?

4. Сколько минут в:

1

2 часа = ….;

3

4 часа = …. ;

3

20 часа = … ?

5. Сколько часов в:

2

3 суток = …. ;

5

6 суток = …. ;

7

12 = …. суток?

6. Найдите величину, 1

10 которой равна:

1) 6 сек; 2) 10 см; 3) 6 мин; 4) 100 м.

7. Найдите величину, 3

4 которой равны:

1) 75 кг; 2) 750 м; 3) 45 мин; 4) 18 ч.


Пятиклассники на устное решение задач потратили 1

5 урока, а на

письменную работу – 2

5 урока. Сколько минут ушло у школьников на устное

решение задач и на письменную работу?

Решение.

Ответ:

А: 20 мин Б: 18 мин В: 22 мин Г: 16 мин


Ширина прямоугольника равна 9 см, что составляет 3

4 его длины. Найдите

периметр прямоугольника и его площадь.

Решение.

Ответ:


ПУ

А: 46 см; 118 см2 Б: 48 см; 102 см

2

В: 42 см; 108 см2 Г: 68 см; 110 см

2


ЗАДАЧИ НА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ (КДМ ТК)

Тест

1. Известно, что работа выполняется за n часов. Какая часть работы

будет выполнена:

1) за 1 час;

2) за 2 час;

3) за k часов?

2. Верно ли, что если один выполняет работу за а час, а второй — за b

час, то эту работу выполнят они одновременно за а + b часов?

Ответ (зачеркните неверный ответ). Да Нет

3. Дополните решение задачи и запишите ответ.

Задача . На компьютерную верстку 900 страниц рукописи нового учебника

по математике лаборант Сайтов затратил 20 дней, а лаборант Файлов — 30

дней. Сколько времени займет компьютерная верстка этой рукописи, если

лаборанты будут работать вместе?

Решение. За один день лаборант Сайтов может набрать

а лаборант Файлов

Если лаборанты будут работать вместе, то за один день они наберут

Компьютерная верстка рукописи при совместной работе будет выполнена за

Ответ: .

4. Дополните решение задачи вопросами.

Задача. Две типографии получили заказ на выпуск учебника «Математика 5».

Первая типография может выполнить этот заказ за 20 дней, вторая — за 30

дней. За сколько дней совместной работы типографии выполнят заказ?

Решение. Примем объем работы, которую нужно выполнить за 1.

Определим, :

11: 20

20,


11:30

30.


1 1 3 2 5 1

20 30 60 60 60 12часть работы.


ПУ

Найдем :

1 121: 1 12

12 1 (дн.).

Ответ: 12 дней.

5. Решите задачу и запишите ответ.

Один рабочий берется выполнить работу за 3 часа, а другой за 15

4 часа.

1) Какую часть работы предполагает каждый из них выполнить за 1 час?

2) Какую часть работы выполнят они оба за 1 час?

3) За какое время смогут они выполнить работу, если будут работать вместе?

Ответ:


Один насос наполняет бак нефтью за 16 мин, другой — за 15 мин, а третий —

за 18 мин. Какая часть бака будет наполнена нефтью в течение 1 мин тремя

насосами?

Решение.

Ответ.

А: 133/720 Б: ¼ В: 30/53 Г: 1/9


ПОНЯТИЕ О ПРОЦЕНТЕ. НАХОЖДЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ

ПРОЦЕНТОВ ОТ ЧИСЛА. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО

ПРОЦЕНТУ. НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТНОГО ОТНОШЕНИЯ ДВУХ

ЧИСЕЛ (КДМ ТК)

Тест

1. Что называется процентом?

2. Как выразить проценты в виде десятичной дроби? в виде

обыкновенной дроби?

3. Как выразить десятичную дробь в виде процентов?

4. Как найти несколько процентов данного числа?


ПУ

5. По какой формуле можно вычислить p % числа a?

6. Как найти число по его процентам?

7. Как найти, сколько процентов одно число составляет от другого?

8. Как найти процентное отношение двух чисел?

9. Что называется процентным отношением двух чисел?

10. Представьте обыкновенную дробь в виде процентов:

1) 100

1 = …..; 2)

100

17 = ….; 3)

100

51 = ….;

4) 100

87 = …; 5)

100

101 = ….; 6)

100

129 = … .

11. Представьте обыкновенную дробь в виде процентов:

1) 10

7 = ….; 2)

5

2 = …. ; 3)

4

3 = ….;

4) 25

17 = …; 5)

20

11 = … ; 6)

50

33 = …..


В школьной олимпиаде по математике приняли участие 27

шестиклассников — это 60 % всех учеников, которые занимаются в

математическом кружке. Сколько шестиклассников, занимающихся в

математическом кружке, не принимали участие в олимпиаде?

Решение.

Ответ.

А: 18 Б: 20 В: 22 Г: 16


В суточную норму корма взрослого голубя входит зерновая смесь, в составе

которой 40 % пшеницы, столько же проса и 20 % бобовых. Найдите массу

зерновой смеси в суточном рационе голубя, если она содержит на 10 г проса

больше, чем бобовых.

Решение.

Ответ.

А: 50 г Б: 60 г В: 40 г Г: 35 г



ПУ

ЗАДАЧИ НА ИЗМЕНЕНИЕ ПРОЦЕНТНОГО СОДЕРЖАНИЯ ОДНОГО

ВЕЩЕСТВА В ДАННОМ ПРОДУКТЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ЕГО

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТНОГО

СОДЕРЖАНИЯ ОДНОГО ИЗ ВЕЩЕСТВ (КДМ ТК)

Задание

Реши задачу.

Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно. Что

первый сплав содержит 40 % олова, а второй – 26 % меди. Процентное

содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг

первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось

30 % цинка. Сколько олова содержится в полученном новом сплаве?

Указание. Так как в каждом из двух первых сплавов процентное содержание

цинка одинаково, то и в новом сплаве, полученном из первых двух,

процентное содержание цинка такое же, как и в каждом из двух первых.

Чтобы подсчитать количество олова в новом сплаве, можно первоначально

найти процентное содержание олова во втором сплаве, а затем найти его

количество в первом и во втором сплавах в отдельности и результаты

сложить.

Задания.




задачи.





ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ (КРАТНОЕ) ОТНОШЕНИЕ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ (КРАТНАЯ) ПРОПОРЦИЯ (КДМ ТК)

Тест


Если из одного танкера перекачать в другой 120 т нефти, то в обоих танкерах

нефти станет поровну. Если же из второго перекачать в первый 120 т, то в

первом станет в 4 раза больше нефти, чем во втором танкере. Сколько нефти

в каждом танкере?

Указание.

Обратить внимание, что в одном танкере больше нефти, чем в другом на

120 2=240 (т). Если же из второго танкера перекачать в первый 120 т, то в

первом танкере будет на 240 + 120 2=480 (т) больше, чем во втором. Далее

можно выделить и решить вспомогательную типовую задачу на нахождение

двух чисел по их разности (480) и кратному отношению (4:1).


ПУ

Решение.

Ответ:

А:520 т; 280 т Б: 540 т; 260 т

В: 510 т; 290 т Г: 530 т; 270 т


Осел и мул шли, нагруженные мешками с грузом. Осел жаловался на тяжесть

своей ноши. «Что же жалуешься, – сказал мул, – если ты отдашь мне один

мешок, то моя ноша станет в два раза тяжелее твоей, а если я отдам тебе

мешок, то наши ноши только сравняются». Сколько мешков было у каждого?

Указание. Обратить внимание на то, что передача одного мешка от одного к

другому влечет за собою изменение разности в количестве мешков у каждого

на 2. используя это, из условия задачи следует, что мул нес на два мешка

больше, чем осел. Если же осел передаст мулу один мешок, то у мула станет

на четыре мешка больше, чем у осла. С другой стороны, по условию сказано,

что у мула станет в два раза больше. Тогда нетрудно узнать сколько будет

мешков у каждого при условии, что осел передаст мулу один мешок. Для

этого необходимо решить вспомогательную типовую задачу на нахождение

двух чисел по их разности (4) и кратному отношению (2:1).

Решение.

Ответ:

А: 5; 7 Б: 6, 8 В: 7, 9 Г: 4, 6


ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ВЕЛИЧИН. ОБРАТНАЯ

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ВЕЛИЧИН (КДМ ТК)

Тест

1. Какие величины называются прямо пропорциональными?

2. Приведите примеры прямо пропорциональных величин.

3. Какие величины называются обратно пропорциональными?

4. Приведите примеры обратно пропорциональных величин.


ПУ


Сколько нужно сахара, чтобы сварить варенье из 10 кг клубники, если по

рецепту на 4 кг ягод нужно 5 кг сахара?

Решение.

Ответ.

А: 12,5 кг Б: 14 кг В: 18 кг Г: 14,5 кг


5 одинаковых станков с программным управлением выполнили работу за

168 ч. За какое время эту работу выполнят 14 таких станков?

Решение.

Ответ.

А: 60 ч Б: 64 ч В: 68 ч Г: 70 ч


Три машинистки, работая поочередно, перепечатали рукопись за 47 ч. Одна

из них печатает со скоростью 8 листов в час, другая – 6 листов, а третья – 10

листов в час. Какое время работала каждая из этих машинисток, если после

окончания работы оказалось, что все они перепечатали одинаковое

количество листов?

Указание. Так как каждая их трех машинисток выполнила один и тот же

объем работы, то промежутки времени работы этих машинисток обратно

пропорциональны производительности каждой из них.

Решение.

Ответ.

А: 15 ч; 20 ч; 12 ч Б: 16 ч; 21 ч; 13 ч

В: 14 ч; 19 ч; 11 ч В: 15 ч; 22 ч; 10 ч


Автомобиль проезжал в час на 48 км больше, чем велосипедист. Одно и то

же расстояние автомобиль проехал за 2 часа, а велосипедист за 8 часов.

Найдите их скорости.

Указание. Использовать обратно пропорциональную зависимость между

временем и скоростью для одного и того же расстояния. Решить типовую

задачу на нахождение двух чисел по их разности и кратному отношению.

Решение.

Ответ:


ПУ

А: 64 км/ч; 16 км/ч Б: 60 км/ч; 20 км/ч

В: 68 км/ч; 12 км/ч Г: 62 км/ч; 14 км/ч


ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ (КДМ ТК)

Задание


На двух машинах перевезли 21 468 кг груза. Первая машина сделала 4 рейса,

а вторая – 2 рейса. Сколько килограммов груза перевезла каждая машина,

если за каждый рейс машины перевозили груза поровну?

Задания.




задачи.





ЗАДАЧИ НА ДЕЛЕНИЕ ПРЯМО ПРОПОРЦИОНАЛЬНО ДАННЫМ

ЧИСЛАМ

(КДМ ИК)

Тест

1. Что значит разделить число c пропорционально числам p и q (т. е. в

отношении :p q)?

2. По какому правилу можно разделить число с пропорционально

числам p и q (т. е. в отношении :p q)?

3. По какому правилу можно разделить некоторое число

пропорционально данным числам?


ПУ

4. По какому правилу можно разделить число обратно пропорционально

данным числам?


В одной группе детского сада 12 детей, а в другой — 14. Как между

группами разделить 130 мандаринов?

Решение.

Ответ:

А: 60 и 70 Б: 50 и 80 В: 40 и 90 Г: 100 и 30

6. В таблицах указаны соответствующие значения прямо

пропорциональных величин т и п. Найдите неизвестное значение одной

из величин, обозначенное буквой у:

11) т п

22) т п

33) т п

у 26 95 у у 6,9

45 117 38 14 2,5 0,46

14) т п 25) т п 36) т п

у 26 95 у у 6,9

45 117 38 14 2,5 0,46

7. В таблицах указаны соответствующие значения прямо

пропорциональных величин а и b. Найдите неизвестное значение одной

из величин, обозначенное буквой х:

1

) а b

2

) а b

3

) а b

18 3 135 45 9,8 0,14

х 5 27 х х 2,5

4

) а b

5

) а b

6

) а b

0,56 2,8

7

13

5

25

3

24

1,6 х

х

7

4

4

36 х

4

32


ПУ

8. В таблицах указаны соответствующие значения обратно

пропорциональных величин т и п. Найдите неизвестное значение одной

из величин, обозначенное буквой у:

1) т п

2

) т п

3

) т п

у 119 369 у у 0,144

34 28 72 41 4,8 0,24

4) т п

5

) т п

6

) т п

0,0133 у у 11

81

3

22 у

0,105 9,5

11

4

3

16

5,6 0,3

9. Верно ли, что:

1) при увеличении скорости в 6 раз расстояние, которое проедет автомобиль

за тот же промежуток времени, увеличится в 6 раз;

2) если сторону квадрата уменьшить в 2 раза, то его периметр уменьшится в

2 раза;

3) если сторону квадрата увеличить в 5 раз, то его площадь увеличится в 5

раз;

4) если ребро куба увеличить в 2 раза, то его объем тоже увеличится в 2 раза;

5) при уменьшении цены одного пакетика конфетти в 1,1 раза, стоимость 10

таких пакетиков уменьшится в 1,1 раза;

6) если измерения прямоугольника увеличить в 4 раза, то его площадь

увеличится в 4 раза?

10. Являются ли обратно пропорциональными:

1) масса одного гвоздя определенного размера и количество их в одном

килограмме;

2) количество оборотов колеса на данном расстоянии и длина его

окружности;

3) количество телеграфных столбов на данном участке и расстояние между

ними;

4) скорость движения и время, необходимое для прохождения определенного

пути;

5) длина и ширина прямоугольника при данной площади;

6) количество продукции, изготовленной за смену, и продолжительность

смены?


Число 136 разделить на 4 слагаемых так, чтобы первые три из них были

прямо пропорциональны числам, 1, 3, 6, а два последних обратно

пропорциональны числам 5 и 3.


ПУ

Указание.

Выразить отношение четырех чисел в одинаковых частях.

Решение.

Ответ:

А: 6,8; 20,4; 40,8; 68 Б: 7,8; 22,4; 40,6; 64

В: 4,8; 18,4; 42,8; 78 Г: 2,8; 16,4; 36,8; 62


ЗАДАЧИ НА ДЕЛЕНИЕ ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНО ДАННЫМ

ЧИСЛАМ

(КДМ ИК)

Задание

Рассмотрите правило, по которому можно разделить число обратно

пропорционально данным числам?

чтобы разделить число обратно пропорционально данным числам, нужно

это число разделить прямо пропорционально обратным им числам.

Например, надо разделить число 45 обратно пропорционально числам 3,

4, 6.

Решение. Согласно сформулированному правилу, надо 45 разделить

пропорционально числам 1

3,

1

4 и

1

6 (т. е. в отношении

1

3 :

1

4 :

1

6).

Поскольку 1 1 1 4 3 2

: : : : 4 :3: 23 4 6 12 12 12

, то 45 надо разделить

пропорционально числам 4; 3 и 2. Сделаем это:

454 20

4 3 2;

453 15

4 3 2;

452 10

4 3 2.

Ответ: 20; 15; 10.

Решите задачи.

1) Когда некоторое количество материи распределили между тремя

магазинами обратно пропорционально числам 7

4,

8

3и

5

2, то третий магазин

получил 11 310 м ткани. Сколько материи получил бы каждый магазин, если

бы ее распределяли на части прямо пропорционально данным числам?


ПУ

2) Поезд прошел половину пути и увеличил скорость на 1/3. В пункт

назначения поезд прибыл на 1/2 часа раньше. За какое время поезд прошел

весь путь?

Указание. Обратить внимание, что промежутки времени, затраченные

поездом на прохождение каждой половины пути, обратно пропорциональные

скоростям движения поезда на этих промежутках.

Задания.




задачи.




Часть 2

Практикум по решению задач

СЕМИНАРСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1

ЦЕЛИ И СТРУКТУРА НАЧАЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ (КДМ

ПК)

Опрос

Вопрос: Каковы, на ваш взгляд, основные цели обучения математике?

Варианты ответа:

1) Мировоззренческие: информативные, практические, воспитательные.

2) Развивающие – возможности математики как учебного предмета в

развитии мышления человека.

Вопрос: Если процесс обучения математике рассматривать как систему, то

какие ее компоненты вы бы выделили?

Варианты ответа:

1) Процесс обучения как система включает содержательную и

психологическую составляющие.

2) Процесс обучения как система включает содержательную и

технологическую составляющие.

3) Процесс обучения как система включает организационную и

психологическую составляющие.

4) Процесс обучения как система включает содержательную,

организационную и психологическую составляющие.


ПУ


ЦЕЛИ И СТРУКТУРА НАЧАЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ (КДМ

ТК)

Тест

Инструкция:

Прочитайте каждое высказывание, укажите номер документа, для которого

это высказывание является верным. Одно высказывание может быть верным

одновременно для нескольких документов.

Документы:

1. Концепция учебного предмета «Математика;

2. Образовательный стандарт учебного предмета «Математика» (1 – 11

классы);

3.Учебные программы для учреждений общего среднего образования с

русским языком обучения. 1–4 классы;

4. Нормы оценки результатов учебной деятельности учащихся

общеобразовательных учреждений.

Высказывания:

1)В этом документе определена система математических знаний, умений и

навыков, изучение которых необходимо для повседневной жизни,

продолжения образования, а также в будущей профессиональной

деятельности.

2) В этом документе прописаны цели изучения математики в системе общего

среднего образования.

3) В этом документе представлено содержание математического образования

через определение основных содержательных линий курса.

4) В этом документе прописаны требования с основным знаниям и умениям

учащихся 1 – 4 классов по учебному предмету.

5) В этом документе отражены требования к оцениванию учащихся.

6) В этом документе прописано количество часов, отведенных на изучение

каждой темы, раздела.

7) В этом документе отражено, что структура начального курса математики

имеет линейно-концентрическое строение.

8) В этом документе прописано, какие ошибки, допущенные учащимися в

работе, нужно считать существенными и несущественными.


ПУ

9) Этот документ чаще остальных используется учителями начальной школы

в профессиональной деятельности.

Ответы:

Высказывание 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Номер

документа 1 1,2,3 1,2,3 3 4 3 3 4 4


МЕТОДЫ И ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

МАТЕМАТИКЕ (КДМ ТК)

Тест

1. Разделите предложенные методы обучения на две группы: общие и

специальные (при обучении математике).

Методы обучения:

рассказ; беседа; демонстрация; иллюстрация;

упражнение; сообщение; дидактическая игра; анализ;

синтез; моделирование; абстрагирование; сравнение;

аналогия; классификация; конкретизация; обобщение

Общие методы Специальные методы

2. Соедините название и характеристику метода.

Название метода Характеристика

синтез

мысленное выделение,

фиксирование каких-либо свойств,

принадлежащих только данному

множеству объектов и

объединяющих эти объекты

воедино


ПУ

обобщение

фиксация одной из сторон

изучаемого объекта вне связи с

другими его сторонами

сравнение

рассуждение, при котором мысль

движется от известного к

неизвестному

абстрагирование установление сходств и различий

объектов изучения

классификация

построение моделей реально

существующих объектов,

процессов или явлений с целью их

изучения

конкретизация

отнесение единичного объекта к

соответствующей группе на основе

общих и существенных признаков

моделирование

мысленное отвлечение общих

существенных свойств,

выделенных в процессе

обобщения, от прочих

несущественных

3. Запишите названиеосновной формы организации обучения

математике учащихся начальной школы?

4. Перечислите формы организации обучения математике учащихся

начальной школы вне учебных занятий?

5. Запишите название формы организации обучения математике, при

которой обсуждение решения задачи происходит между двумя

учащимися?

6. Определи и запиши 3 отличия в организации учебных и

факультативныхзанятий.

1)

2)

3)

Ответы:

1.

Общие методы Специальные методы


ПУ

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%28%D0%BD%D0%B0%D1%83%D0%BA%D0%B0%29

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81

рассказ

упражнение

беседа

сообщение

демонстрация

дидактическая игра

иллюстрация

синтез

аналогия


классификация

абстрагирование


анализ

сравнение

обобщение

2.

Название метода Характеристика

синтез мысленное выделение,

фиксирование каких-либо свойств,

принадлежащих только данному

множеству объектов и

объединяющих эти объекты

воедино

обобщение фиксация одной из сторон

изучаемого объекта вне связи с

другими его сторонами

сравнение рассуждение, при котором мысль

движется от известного к

неизвестному

абстрагирование установление сходств и различий

объектов изучения

классификация построение моделей реально

существующих объектов,

процессов или явлений с целью их

изучения


отнесение единичного объекта к

соответствующей группе на основе

общих и существенных признаков


мысленное отвлечение общих

существенных свойств,

выделенных в процессе

обобщения, от прочих

несущественных

3. Урок (учебное занятие).


ПУ

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%28%D0%BD%D0%B0%D1%83%D0%BA%D0%B0%29

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81

4. Стимулирующие и поддерживающие занятия, факультативные

занятия, внеклассные мероприятия.

5. Парная форма.

6. Факультативные занятия:

1) посещаются по желанию;

2) имеют более гибкую структуру

3) предоставляют больше возможностей для самореализации учащихся


УРОК МАТЕМАТИКИ. ФОРМЫ, СПОСОБЫ И СРЕДСТВА

КОНТРОЛЯ И ОЦЕНКИ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ УЧАЩИХСЯ. НОРМЫ

ОЦЕНОК (КДМ ТК)

Тест

Инструкция:

Прочитайте внимательно условия и выполните задания.

1. Расположите структурные компоненты комбинированного урока в

правильной последовательности.

Проверка домашнего задания

Знакомство с новым материалом

Организационный момент

Первичное закрепление

Подведение итогов

Закрепление ранее изученного



Самостоятельная работа

Рефлексия

2. Отметьте типы уроков математики, используемые в начальной

школе.

Урок изучения нового материала

Урок закрепления знаний

Комбинированный урок

Урок проверки знаний, умений и навыков

Урок обобщения и систематизации знаний

3. Прочитайте характеристику этапа урока и запишите его

название.


ПУ

Учащиеся, взаимодействуя друг с другом и учителем, решают типовые

задания на новый способ действий с проговариванием алгоритма решения во

внешней речи.

4. Отметьте наиболее распространенную форму контроля знаний,

умений и навыков учащихся по математике используемую в

начальной школе.

устная;

письменная

5. Отметьте наиболее распространенный метод контроля знаний,

умений и навыков учащихся по математике используемый в

начальной школе.

беседа;

сообщение ученика;

контрольная работа;

объяснение;

изложение;

сочинение.

6. Укажите название нормативного документа, в котором описаны

правила, критерии и показатели оценивания результатов учебной

деятельности учащихся начальной школы.

7. Определите, в чем заключаются отличия недочета от ошибки в

письменной работе по математике?

Ответы:

1.

Организационный момент

Проверка домашнего задания


Знакомство с новым материалом

Первичное закрепление

Самостоятельная работа

Закрепление ранее изученного

Подведение итогов


Рефлексия


ПУ

2.

Урок изучения нового материала

Урок закрепления знаний

Комбинированный урок

Урок проверки знаний, умений и навыков

Урок обобщения и систематизации знаний

3. Первичное закрепление.

4.

Устная форма;

Письменная форма

5.

беседа;

сообщение ученика;

контрольная работа;

объяснение;

изложение;

сочинение.

6. Нормы оценки результатов учебной деятельности учащихся

общеобразовательных учреждений

7. Существенные ошибки приводят к абсурдному результату или

отсутствию результата вообще.


ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К СОСТАВЛЕНИЮ КОНСПЕКТА УРОКА ПО

МАТЕМАТИКЕ. ВНЕУРОЧНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ В

НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ (КДМ ТК)

Задание

Проанализируйте конспекты уроков математики в соответствии с

требованиями к их составлению.

Конспекты по темам:

1 класс: Прием вычитания по частям числа 3.

2 класс: Сложение двузначных чисел с переходом через разряд.

3 класс: Грамм.

4 класс: Устные приемы деления многозначного числа на однозначное.


ПУ


ЗНАКОМСТВО С УЧЕБНИКАМИ, УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИМИ

ПОСОБИЯМИ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ И УЧАЩИХСЯ НАЧАЛЬНЫХ

КЛАССОВ (КДМ ТК)

Семинар

Для обсуждения на семинаре следующие сообщения.

1. Специфические особенности учебника математики для учащихся

начальных классов.

2. Учебно-методический комплекс, его состав и назначение каждого

компонента.

3. Развитие абстрактного мышления на уроках математики в начальной

школе.

4. Возможности учебника математики для 1 – 4 классов в развитии

внутренней мотивации учащихся к изучению предмета.

5. Виды дидактических материалов по математике для учащихся 1 – 4

классов, их особенности и назначение.


МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА В КОНЦЕНТРЕ

«ДЕСЯТОК»(КДМ ТК)

Задание

Проанализируйте содержание учебников по математике для 1 класса

(авторов Муравьевой Г.Л., Урбан М.А. и Чеботаревской Т.М., Николаевой

В.В.). Приведите примеры заданий при работе над составом чисел первого

десятка, активизирующих мыслительную деятельность учащихся. Составьте

конспект фрагмента урока по работе над одним из таких заданий.


МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА В КОНЦЕНТРЕ

«ТЫСЯЧА» (КДМ ТК)

Задание

Проанализируйте содержание учебника по математике для 3 класса (авторов

Чеботаревской Т.М., Николаевой В.В.). Предложите по пять заданий

(укажите номер страницы учебника и задания) в соответствии с

классификацией:


ПУ

а) задания, знакомящие учащихся с новой счетной единицей;

б) задания, конкретизирующие принципы построения натурального ряда

чисел;

в) задания, направленные на закрепление разрядного состава чисел;

г) задания, связывающие отвлеченные и именованные числа.

Составьте конспект фрагмента урока по ознакомлению учащихся с

алгоритмом деления трехзначного числа на однозначное.


ОБУЧЕНИЕ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ПРОСТЫХ ТЕКСТОВЫХ

ЗАДАЧ НА СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ. ОБУЧЕНИЕ УЧАЩИХСЯ

РЕШЕНИЮ ПРОСТЫХ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА УМНОЖЕНИЕ И

ДЕЛЕНИЕ (КДМ ТК)

Задание


(авторов Муравьевой Г.Л., Урбан М.А.). Приведите примеры задач (укажите

номер страницы учебника и задания): на нахождение суммы, на увеличение

числа на несколько единиц, на нахождение неизвестного уменьшаемого.


(авторов Чеботаревской Т.М., Николаевой В.В.). Составьте конспект

фрагмента урока по работе над задачей на уменьшение числа в несколько

раз.


ОБУЧЕНИЕ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ СОСТАВНЫХ ЗАДАЧ.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ И СИНТЕТИЧЕСКИЙ МЕТОДЫ ПОИСКА

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (КДМ ТК)

Задание

Предложите свой вариант классификации составных задач в два действия на

все арифметические действия в теме «Сотня» из учебника по математике для

2 класса (авторов Муравьевой Г.Л., Урбан М.А.). В качестве отличительного

признака выберите количество данных в условии задачи и знак операции в

каждом действии. Составьте конспект фрагмента урока по работе над одной

из этих задач.



ПУ

ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ ДОЛИ ЧИСЛА И

ЧИСЛА ПО ЕГО ДОЛЕ (КДМ ТК)

Задание


(авторов Чеботаревской Т.М., Николаевой В.В.). Укажите номера страниц и

заданий, где предлагаются задачи на нахождение доли числа или числа по

его доле. Составьте конспект фрагмента урока по работе над одной из этих

задач.


ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, РАССМАТРИВАЕМЫЕ В

НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМТАИКИ. МЕТОДИКА ИХ ИЗУЧЕНИЯ

(КДМ ТК)

Задание


(авторов Чеботаревской Т.М., Николаевой В.В.). Укажите номера страниц и

заданий, где предлагаются задачи на пропорциональное деление.

Предложите модель условия каждой из этих задач.


ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

(КДМ ТК)

Задание

Составьте конспект урока математики по обучению учащихся чтению

числовых выражений.


ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ (КДМ ТК)

Задание


(авторов Муравьевой Г.Л., Урбан М.А. и Чеботаревской Т.М., Николаевой

В.В.). Приведите примеры заданий, иллюстрирующих вспомогательную

функцию элементов геометрии в начальной школе.


ПУ

Составьте конспектфрагмента урока по работе над задачей на построение

геометрической фигурыМатематика 4 класс (2 часть) с. 27 № 7

(Чеботаревская, Т.М. Математика : учеб.для 4 кл. общеобразоват.

учреждений с рус. яз. обучения : в 2 ч. / Т.М. Чеботаревская, В.Л. Дрозд, А.А.

Столяр ; пер. с белорус. яз. Л.А. Бондаревой. – Минск : Нар.асвета, 2008. – Ч.

2. – 134 с.).


МЕТОДИКА ЗНАКОМСТВА УЧАЩИХСЯ С ИЗМЕРЕНИЕМ ДЛИНЫ

И ПЛОЩАДИ И СИСТЕМОЙ ИХ МЕР (КДМ ТК)

Задание

Проанализируйте содержание учебника по математике для 4 класса

(Чеботаревская, Т.М. Математика : учеб.для 4кл. общеобразоват. учреждений

с рус. яз. обучения : в 2 ч. / Т.М. Чеботаревская,

В.Л. Дрозд, А.А. Столяр ; пер. с белорус. яз. Л.А. Бондаревой. – Минск :

Нар.асвета, 2008. – Ч. 1. – 135 с.

Чеботаревская, Т.М. Математика : учеб.для 4 кл. общеобразоват. учреждений

с рус. яз. обучения : в 2 ч. / Т.М. Чеботаревская, В.Л. Дрозд, А.А. Столяр ;

пер. с белорус. яз. Л.А. Бондаревой. – Минск : Нар.асвета, 2008. – Ч. 2. – 134

с.). Предложите свой вариант того, как можно проиллюстрировать

соотношение между мерами площади. Составьте конспект фрагмента урока

математики, в котором предложите свой вариант введения новой единицы

измерения площади – квадратного миллиметра.



(КДМ ТК)

Задание

Проанализируйте содержание учебника по математике для 4 класса

(Чеботаревская, Т.М. Математика : учеб.для 4кл. общеобразоват. учреждений

с рус. яз. обучения : в 2 ч. / Т.М. Чеботаревская,

В.Л. Дрозд, А.А. Столяр ; пер. с белорус. яз. Л.А. Бондаревой. – Минск :

Нар.асвета, 2008. – Ч. 1. – 135 с.

Чеботаревская, Т.М. Математика : учеб.для 4 кл. общеобразоват. учреждений

с рус. яз. обучения : в 2 ч. / Т.М. Чеботаревская, В.Л. Дрозд, А.А. Столяр ;

пер. с белорус. яз. Л.А. Бондаревой. – Минск : Нар.асвета, 2008. – Ч. 2. – 134

с.). Приведите примеры упражнений, ориентированных на закрепление у


ПУ

учащихся знаний о системе мер длины. Составьте конспект фрагмента урока

по работе с одним из таких заданий.



(КДМ ИК)

Семинар

Для обсуждения на семинаре следующие сообщения.

1. Методы и приемы обучения математике, способствующие активизации

мыслительной деятельности учащихся.

2. Изучение арифметических действий в концентре «Многозначные

числа».

3. Виды задач на движение и их отличительные особенности. Методика

работы над задачами на движение.

4. Методика работы с задачами на нахождение неизвестного по двум

разностям.

5. Применение наглядности и технических средств при работе над

задачами на нахождение доли числа и числа по его доле.

6. Методика знакомства учащихся с системой мер массы и таблицей мер

массы.

7. Виды внеклассной работы по математике, их краткая характеристика.


ПУ

III. РАЗДЕЛ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ

Содержание экзамена

по методике преподавания математики

14. Общая характеристика начального курса математики. Причины

концентрического построения программы по математики в начальных

классах.

15. Краткая характеристика каждого концентра программы.

16. Методы обучения математики.

17. Формы организации деятельности учащихся на уроке математике.

18. Урок как основная форма организации обучения математике.

19. Анализ урока математики

20. Обучение решению задач, раскрывающих смысл операции сложения.

21. Обучение решению задач, раскрывающих смысл операции вычитания.

22. Обучение решению задач, раскрывающих связь между сложением и

вычитанием.

23. Обучение решению задач на увеличение числа на несколько единиц.

24. Обучение решению задач на уменьшение числа на несколько единиц.

25. Обучение решению задач на разностное сравнение.

26. Обучение решению задач на взаимосвязь между компонентами и

результатами действий ( сложение и вычитание).

27. Обучение решению задач, раскрывающих смысл операции умножения.

28. Обучение решению задач, раскрывающих смысл операции деления.

29. Обучение решению задач, раскрывающих связь между умножением и

делением.

30. Обучение решению задач на увеличение числа в несколько раз.

31. Обучение решению задач на уменьшение числа в несколько раз.

32. Обучение решению задач на кратное сравнение.

33. Обучение решению задач, раскрывающих понятие доли и дроби.

34. Обучение решению задач, раскрывающих понятие функциональной

зависимости ( прямой и обратной пропорциональности).

35. Аналитикo - синтетический метод поиска решения задачи.

36. Обучение решению задач в два действия.

37. Обучение решению задач на движение.

38. Обучение решению задач на нахождение четвертого пропорционального.

39. Обучение решению задач на пропорциональное деление.

40. Обучение решению задач на нахождение неизвестного по двум разностям.

41. Методика обучения решению нестандартных задач.

42. Приемы работы с задачей на уроках математики.

43. Особенности изучения темы ―Сравнение предметов и множеств

предметов. Пространственные и временные представления‖.

44. Изучение нумерации чисел в концентре ―Десяток‖.

45. Изучение табличного сложения и вычитания в концентре ―Десяток‖.

46. Изучение нумерации чисел в пределах 20.


ПУ

47. Изучение табличного сложения и вычитания в пределах 20.

48. Изучение нумерации чисел в пределах 100 (20 – 100).

49. Изучение внетабличного сложения в пределах 100.

50. Изучение внетабличного вычитания в пределах 100.

51. Методика введения умножения и деления.

52. Методика изучения таблицы умножения и соответствующих случаев

деления.

53. Методика изучения приема внетабличного умножения.

54. Методика изучения приема внетабличного деления.

55. Изучение нумерации трехзначных чисел.

56. Обучение сложению трехзначных чисел.

57. Обучение вычитанию трехзначных чисел.

58. Обучение умножению трехзначных чисел.

59. Обучение делению трехзначных чисел.

60. Изучение нумерации многозначных чисел.

61. Обучение сложению многозначных чисел.

62. Обучение вычитанию многозначных чисел.

63. Обучение письменному умножению на однозначное число.

64. Обучение письменному умножению на двузначное число.

65. Обучение письменному делению на однозначное число.

66. Обучение письменному делению на двузначное число.

67. Методико-математические основы изучения алгебраического материала.

68. Методика изучения числовых выражений.

69. Методика изучения равенств и неравенств.

70. Формирование понятия переменной. Изучение неравенств с переменной.

71. Методика обучения решению уравнений.

72. Методико-математические основы изучения геометрического материала.

73. Методика ознакомления учащихся с геометрическими фигурами.

74. Методика обучения решению задач на построение.

75. Методико-математические основы изучения величин.

76. Обучение учащихся измерению длины.

77. Обучение учащихся измерению массы.

78. Обучение учащихся измерению площади.

79. Обучение учащихся измерению времени.


ПУ

IV. ВСПОИОГАТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ

Список основной и дополнительной литературы

по дисциплине «Методика преподавания математики и практикум по

решению задач»


по разделу 1 «Методика преподавания математики»

Литература основная

1. Артемов, А.Х. Система вопросов и упражнений для руководства

самостоятельной работой студентов по методике обучения математике в

начальных классах / А.Х. Артемов – Пенза, 1981.

2. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах:.

Учеб. пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений / Н.Б.

Истомина – М.: Издательский центр «Академия», 2002.

3. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальной школе:

Развивающее обучение / Н.Б. Истомина – Смоленск: Изд-во

«Ассоциация ХХI», 2005.

4. Истомина, Н.Б., Латохина, Л.Г., Шмырева Г.Г. Практикум по методике

преподавания математики в начальных классах / Н.Б. Истомина, Л.Г.

Шмырева – М.: Просвещение, 1986.

5. Методика начального обучения математике / Под общей ред.

А.А.Столяра и В.Л.Дрозда. – Минск: Вышэйшая школа, 1988.

6. Сманцер, А.П., Толстик, Н.В. Формирование у учащихся педагогических

училищ методических умений преподавания математики в начальной

школе: Монография / А.П. Смансер, Н.В. Толстик – Минск: БГПУ, 2005.

7. Чеботаревская, Т.М., Касабуцкий, Н.И., Столяр, А.А. Математика: учеб.

для 1-го кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения. В 4 ч. / Т.М.

Чеботаревская, Н.И. Касабуцкий – Минск: Нар. асвета, 2005.



Чеботаревская, Н.И. Касабуцкий, А.А. Столяр – Минск: Нар. асвета,

2006.

9. Чеботаревская Т.М., Дрозд В.Л., Столяр А.А. Математика: учеб. для 3-го

кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения. В 2 ч. / Т.М.

Чеботаревская, В.Л. Дрозд, А.А. Столяр – Минск: Нар. асвета, 2007.


кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения. В 2 ч. /


11. Чеботаревская, Т.М., Николаева, В.В. Математика во 2 классе / Т.М.

Чеботаревская, В.В. Николаева – Минск: Народная асвета, 2008.

12. Чеботаревская, Т.М., Николаева, В.В. Математика в 3 классе /



ПУ

13. Чеботаревская Т.М., Николаева В.В. Математика в 4 классе /


Литература дополнительная

1. Лабораторные и практические работы по методике преподавания

математики / Под ред. Е.И.Лященко – М.: Просещение, 1988.

2. Бантова, М.А., Бельтюкова, Г.В. Методика преподавания математики в

начальных классах / М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова – М.: Просвещение,

1984.

3. Методика начального обучения математике / Под ред. Л.Н. Скаткина –

М.: Просвещение, 1972.

4. Моро, М.И., Пышкало, А.М. Методика обучения математике в I-III

классах / М.И. Моро, А.М. Пышкало – М.: Просвещение, 1975.

5. Практикум по методике начального обучения математике / В.Л.Дрозд,

А.Т. Катасонова, Л.В. Савицкая и др. – Минск: Вышэйшая школа,1984.

6. Десятибалльная система. Безотметочное обучение / Мн: Изд-во

«Пачатковая школа», 2006.


по разделу 2 «Практикум по решению задач»


1. Дрозд, В.Л., Урбан, М.А. Задачник-практикум по решению

арифметических задач / В.Л. Дрозд, М.А. Урбан – Минск: Вышэйшая

школа, 1991.

2. Ефимчик, А.А., Дрозд, В.Л. Учись решать задачи / А.А. Ефимчик, В.Л.

Дрозд – Минск, 2003.

3. Научись решать задачи!: 300 текстовых арифметических задач с

решениями / В.Л. Дрозд, А.А. Ефимчик. – Минск: Ред. науч.-метод.

журн. «Пачатковая школа», 2004.

4. Узорова, О.В. 2500 задач по математике: 1-4 кл.: В 3 ч. / О.В. Узорова –

М., 2002.

5. Чеботаревская, Т.М. Занимательные задачи по математике для

младших школьников: В 2 ч./ Т.М. Чеботаревская, В.В. Николаева, Л.С.

Бондарева. – Мозырь, 2002.


1. Беденко, М.В. Сборник текстовых задач: 1 – 4 класс / М.В. Беденко – М.,

2003.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Байденко, В.И. Компетентностный подход к проектированию

государственных образовательных стандартов высшего профессионального

образования (методологические и методические вопросы): метод. пособие /


ПУ

В.И. Байденко. – М.: Исследовательский центр проблем качества подготовки

специалистов, 2006.

2. Жук, О.Л. Педагогические основы самостоятельной работы

студентов: пособие для препод. и студ. / О.Л. Жук и др.; под общ. ред

О.Л. Жук. – Минск: РИВШ, 2005.

3. Жук, О.Л. Педагогические технологии в современной теории и

практике образования: учеб.-метод. комплекс для студ., получающих пед.

специальность / О.Л. Жук. – Минск: БГУ, 2002.

4. Лобанов, А.П. Управляемая самостоятельная работа студентов в

контексте инновационных технологий / А.П.Лобанов, Н.В. Дроздова. –

Минск: РИВШ, 2005.

5. Образовательный стандарт. Высшее образование. Первая ступень.

Цикл общепрофессиональных и специальных дисциплин (утвержден

Министерством образования Республики Беларусь, 2008 г.).


ПУ

Министерство образования Республики Беларусь

Учебно-методическое объединение высших учебных заведений

Республики Беларусь по педагогическому образованию

УТВЕРЖДАЮ

Первый заместитель Министра

образования Республики Беларусь

_______________ А.И. Жук

_______________

Регистрационный № ТД -_____/ тип.

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И

ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Типовая учебная программа для высших учебных заведений

по специальностям:

1-01 02 01 Начальное образование;

1-01 02 02 Начальное образование. Дополнительная специальность

СОГЛАСОВАНО

Председатель учебно-методического

объединения высших учебных заведений

Республики Беларусь по педагогическому

образованию

________________ П.Д. Кухарчик

_____________________________

Начальник Управления высшего и среднего

специального образования

_______________ Ю.И. Миксюк

___________________________

Ректор Государственного учреждения

образования "Республиканский институт высшей

школы"

_______________ М.И. Демчук

__________________________

Эксперт-нормоконтролер

_______________ ________________

________________________________

Минск 2009


ПУ

С о с т а в и т е л и :

Г.Л Муравьева, доцент кафедры естественнонаучных дисциплин, кандидат

педагогических наук;

Н.В. Толстик, доцент кафедры естественнонаучных дисциплин, кандидат


М.А Урбан, доцент кафедры естественнонаучных дисциплин, кандидат


Е.В. Журавская, преподаватель кафедры естественнонаучных дисциплин

Р е ц е н з е н т ы :

А.С. Сидорчук, доцент кафедры математики и методики ее

преподавания учреждения образования "Гродненский государственный

университет имени Янки Купалы", кандидат педагогических наук;

Л.А. Латотин, заведующий кафедрой методики преподавания математики

учреждения образования "Могилевский государственный университет имени

А.А. Кулешова", кандидат педагогических наук

Р е к о м е н д о в а н а к утверждению в качестве типовой:

Кафедрой естественнонаучных дисциплин учреждения образования

"Белорусский государственный педагогический университет имени Максима

Танка" (протокол № 9 от 19 марта 2009 г.);

Научно-методическим советом учреждения образования "Белорусский

государственный педагогический университет имени Максима Танка"

(протокол № 4 от 20 марта 2009 г.);

Научно-методическим советом по педагогике детства учебно-

методического объединения высших учебных заведений Республики

Беларусь по педагогическому образованию (протокол № 3 от 10 апреля 2009

г.)

Ответственный за выпуск: О.В. Сурмач


ПУ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Дисциплина "Методика преподавания математики и практикум по решению

задач" обеспечивает необходимую теоретическую, практическую и

методическую подготовку студентов – будущих учителей – к преподаванию

математики в начальных классах.

В соответствии с основными направлениями реформы общеобразовательной

школы Беларуси при изучении дисциплины "Методика преподавания

математики и практикум по решению задач" в значительной мере усилена

практическая направленность обучения, максимально учтены возрастные

особенности детей, начинающих обучение с шести лет. Большое внимание

уделено вопросам воспитания младших школьников в процессе изучения



задач" состоит из двух разделов: "Методика преподавания математики" и

"Практикум по решению задач".

При изучении раздела 1 "Методика преподавания математики"

прослеживаются связи между математикой и методикой ее преподавания;

используются знания, полученные по таким предметам, как педагогика,

психология и математика.

При изложении данного раздела необходимо знакомить студентов с

достижениями методической науки, показывать, как развивается методика

обучения математике в начальных классах в связи с изменением социально-

экономических условий в обществе.

Программа раздела 2 "Практикум по решению задач" адресована

студентам, которые имеют соответствующую подготовку по математике и

методике преподавания математики в начальных классах.

Теоретический и практический материал данного раздела призван

расширить и углубить представления студентов о распространенных

подходах к решению текстовых арифметических задач, совершенствовать

умение определять различные способы решения задач и умение выбирать

среди них наиболее оптимальные, организовывать методическую работу по

обучению решению задач на практике при проведении уроков математики в


Изучение раздела "Практикум по решению задач" включает не только

рассмотрение и решение задач, предусмотренных программой начального

курса математики, но и задачи, которые выходят за рамки начального курса

математики (задачи, при решении которых используются операции

нахождения нескольких процентов числа и нахождение числа по его

процентам; задачи на смеси и др.).

Цели и задачи учебной дисциплины

Цели дисциплины:

– освоение студентами современных методов обучения математике в

начальной школе, обучение студентов современным методам преподавания


ПУ

математики в начальной школе;

– формирование у студентов умений и навыков, лежащих в основе

сознательного и творческого подхода к решению возникающих в практике

обучения математике учебно-воспитательных задач;

– расширение и углубление представлений студентов о распространенных

подходах к решению текстовых арифметических задач;

– совершенствование умений использовать основные способы решения

задач;

– формирование у студентов умений выбирать среди различных

методов решения задач наиболее оптимальный метод и организовывать

работу по его применению на практике при проведении уроков математики в


Задачи дисциплины:

– сообщить студентам основные теоретические сведения по общим и

частным вопросам начального обучения математики;

– научить их применять приобретаемые знания и умения в практике

преподавания в начальной школе, самостоятельно работать с методической

литературой;

– обеспечить будущим специалистам достаточный объем методических

знаний по решению математических задач за курс начальной школы;

– выработать у студентов умение самостоятельно повышать уровень

своей методической подготовки.

Данная типовая учебная программа предназначена для студентов

специальностей:

1-01 02 01 "Начальное образование";

1-01 02 02 "Начальное образование. Дополнительная специальность".

Требования к освоению учебной дисциплины

Требования к уровню освоения содержания дисциплины "Методика

преподавания математики и практикум по решению задач" определены

образовательными стандартами высшего образования первой ступени (ОСРБ

1 – 01 02 01 – 2008, ОСРБ 1 – 01 02 02 – 2008) по специальностям:

1-01 02 01 "Начальное образование";

1-01 02 02 "Начальное образование. Дополнительная специальность".

В результате изучения дисциплины обучаемый должен:

знать:

– цели, задачи, содержание и особенности построения начального курса

математики;

– основные требования к математической подготовке младших школьников;

– методы и приемы обучения математике;

– основные формы организации учебного процесса;

основные способы образования, чтения и записи целых неотрицательных

чисел;


ПУ

основные приемы устных и письменных вычислений;

– основные алгебраические и геометрические понятия, величины;

– понятие текстовой задачи;

– различные методы, способы решения и проверки решения задач;

– основные методические приемы обучения решению задач;

уметь:

– проводить анализ образовательных стандартов и программ, действующих

учебников, учебных пособий по математике для начальной школы, научно-

методической литературы;

– планировать процесс обучения (отбирать учебный материал, выбирать

соответствующие методы, средства и формы обучения) и осуществлять его;

– самостоятельно конструировать и выполнять различные виды

математических и методических заданий;

– проводить внеклассные занятия с математическим содержанием;

– решать любую задачу по курсу математики начальных классов различными

способами, обосновывать выполненное решение, отыскивать наиболее

рациональный способ решения;

– проводить разбор условия задачи, определять оптимальные методы поиска

способа решения задачи;

использовать различные методические приемы при обучении решению

арифметических задач.

Структура содержания учебной дисциплины


задач" реализуется через систему лекций, практических

(семинарских) занятий, лабораторных работ, педагогическую практику

студентов.

На лекциях сообщаются основные теоретические положения дисциплины с

опорой на результаты научных и методических исследований, а также на

передовой опыт учителей.

На практических (семинарских) и лабораторных занятиях по разделу

"Методика преподавания математики" студенты учатся работать с

методической литературой, выполнять разнообразные методические задания

(анализ программ, методических пособий, учебников, составление и анализ

упражнений и т.д.). На этих занятиях обсуждаются доклады-рефераты

студентов по различным темам дисциплины. При этом важно организовать

обсуждение различных подходов к решению одного и того же вопроса

методики преподавания математики. Здесь целесообразно использовать

материалы собственных наблюдений и личного опыта студентов,

приобретенных в ходе педагогической практики.

На практических (семинарских) занятиях по разделу "Практикум по

решению задач" предлагается выполнять разнообразные задания:

непосредственно решать задачи различными способами, разрабатывать

методические рекомендации по их использованию на разных этапах урока и


ПУ

при изучении программных тем; составлять различные типы математических

задач, работать с методическими пособиями и др.

Важнейшую роль в подготовке студентов играет педагогическая практика,

выполнение курсовых и дипломных работ, участие в работе спецкурсов и

спецсеминаров, в конкурсах студенческих работ, в научных конференциях и

др.

Некоторые вопросы дисциплины могут быть предложены студентам для

самостоятельного изучения с последующей проверкой их усвоения.

Методы (технологии) обучения

Рекомендуемыми методами (технологиями) обучения, адекватно

отвечающими целям изучения данной дисциплины, могут быть:

коммуникативные технологии, основанные на активных формах и

методах обучения (мозговой штурм, дискуссия, пресс-конференция, спор-

диалог, учебные дебаты, круглый стол и др.);

игровые технологии (деловые, ролевые, имитационные игры и др.).

Самостоятельная работа студентов

Содержание и формы управляемой самостоятельной работы

студентов, а также модель рейтинговой системы оценки знаний (кредитно-

модульной системы), обеспечивающие контрольно-оценочную деятельность

преподавателя за результатами обучения студентов, разрабатываются (или

выбираются и адаптируются) вузами и кафедрами в соответствии с целями и

задачами подготовки специалистов.

Курсовая и дипломная работа

Курсовая и дипломная работы по методике преподавания математики

выполняется по выбору студентов. Они дают возможность совершенствовать

профессиональные знания, умения и навыки по реализации форм, методов,

приемов обучения, расширить теоретические знания студентов в области

методики преподавания математики в начальных классах.

Согласно типовому учебному плану на изучение дисциплины

"Методика преподавания математики и практикум по решению задач" по

специальности: 1 – 01 02 01 "Начальное образование" максимально

отводится 302 часа, из них 140 часов – аудиторные занятия, в том числе 40

часов – лекции, 40 часа – практические занятия, 44 часа - семинарские

занятия, 16 часов – лабораторные занятия.


ПУ

Согласно типовому учебному плану на изучение дисциплины

"Методика преподавания математики и практикум по решению задач" по

специальности: 1-01 02 02 "Начальное образование. Дополнительная

специальность" максимально отводится 262 часа, из них 140 часов –

аудиторные занятия, в том числе 40 часов – лекции, 40 часа – практические

занятия, 44 часа - семинарские занятия, 16 часов – лабораторные занятия.

Примерный тематический план дисциплины

"Методика преподавания математики

и практикум по решению задач"


1-01 02 01 "Начальное образование",

1-01 02 02 "Начальное образование. Дополнительная специальность"

№

темы

Наименование разделов и тем

Аудиторные

Лек

ци

и

Прак

т.

Сем

ин

ар.

Лаб

ор

.

Все

го

Раздел 1 "Методика преподавания математики"

11.1 Методика обучения математике в начальных классах

как наука 2 2 4

1.2 Содержание и методы начального обучения

математике 2 2 2

11.3 Организация и средства начального обучения

математике 4 8 2 6

11.4 Методика формирования у учащихся понятия целого

неотрицательного числа 10 8 4 6

11.5 Методика обучения решению текстовых

арифметических задач 10 12 6 4

1.6 Методика изучения элементов алгебры и геометрии 8 8 2

1.7 Методика изучения величин 4 4 2 4

Всего часов по разделу 1: 40 44 16 100

Раздел 2 "Практикум по решению задач"

2.1 Общие вопросы методики обучения решению

составных задач 4

2.2 Решение текстовых задач разными способами 12

2.3 Решение текстовых задач разных типов 24

Всего часов по разделу 2: 0 40 40

Всего часов по дисциплине: 40 40 44 16 140

Раздел 1 "МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ"

На изучение раздела "Методика преподавания математики"


ПУ




отводится 100 аудиторных часов, в том числе: 40 часов – на лекционные

занятия, 44 часа – на семинарские занятия, 16 часов – на лабораторные

работы.

Содержание раздела 1

1.1 Методика обучения математике в начальных классах как наука Предмет методики обучения математике. Связь методики обучения

математике с другими науками.

1.2 Содержание и методы начального обучения математике Цели начального обучения математике. Методы обучения математике.

Предматематическая подготовка детей дошкольного возраста. Содержание

начального курса математики.

1.3 Организация и средства начального обучения математике Урок математики. Внеурочная работа с учащимися. Средства обучения

математике.

1.4 Методика формирования понятия целого неотрицательного

числа

Методика изучения темы "Подготовительный период к изучению

чисел и арифметических действий"

Методика знакомства учащихся с образованием множества предметов,

обладающих общим свойством, с выделением части множества по заданному

свойству. Изучение классификации предметов по одному, двум и трем

свойствам. Сравнение предметов по одному, двум и трем свойствам.

Упорядочение предметов во множестве, с помощью заданного отношения.

Методика обучения счету предметов в пределах 20. Количественный и

порядковый счет. Методика обучения сравнению численностей множеств.

Уточнение пространственных и временных представлений.

Система обучающих дидактических игр и методика их проведения.

Методика изучения понятия числа в концентре "Десяток" Особенности знакомства учащихся с нумерацией однозначных чисел

(устная и письменная нумерация). Изучение отношений "равно", "больше",

"меньше". Сложение и вычитание. Методика изучения табличных случаев

сложения и соответствующих случаев вычитания в пределах десяти. Связь

между сложением и вычитанием. Наглядные пособия и методика их

использования.

Методика изучения понятия числа в концентре "Двадцать" Особенности изучения нумерации двузначных чисел в пределах 20

(устная и письменная нумерация). Понятие разряда. Изучение отношений


ПУ

"равно", "больше", "меньше". Вспомогательная роль величин. Представление

числа в виде суммы разрядных слагаемых. Методика изучения табличного

сложения и соответствующих случаев вычитания в пределах двадцати.

Наглядные пособия и методика их использования.

Методика изучения понятия числа в концентре "Сотня"

Особенности изучения нумерации двузначных классах (устная и письменная

нумерация). Изучение отношений "равно", "больше", "меньше".

Вспомогательная роль величин. Методика изучения приемов устного

сложения и вычитания. Методика изучения приемов письменного сложения

и вычитания. Умножение и деление. Методика изучения табличного

умножения и соответствующих случаев деления. Особые случаи умножения

и деления. Связь между умножением и делением. Законы умножения

(переместительный закон; умножение и деление суммы на число). Устные

приемы внетабличного умножения и деления. Деление с остатком.

Наглядные пособия и методика их использования.

Методика изучения понятия числа в концентре "Тысяча" Особенности изучения нумерации трехзначных чисел (устная и

письменная нумерация). Изучение отношений "равно", "больше", "меньше".

Вспомогательная роль величин. Методика изучения приемов письменного

сложения и вычитания трехзначных чисел. Методика изучения письменных

приемов умножения и деления на однозначное число. Наглядные пособия и

методика их использования.

Методика изучения понятия числа в концентре "Многозначные числа" Особенности изучения нумерации многозначных чисел (устная и письменная

нумерация). Изучение отношений "равно", "больше", "меньше". Понятие

класса. Вспомогательная роль величин. Методика изучения приемов устного

сложения, вычитания, умножения и деления многозначных чисел.

Письменные приемы сложения и вычитания, умножения и деления

многозначных чисел. Наглядные пособия и методика их использования.

1.5 Методика обучения решению текстовых арифметических задач

Обучение учащихся решению простых текстовых задач Функции простых задач в начальном обучении математике. Классификация

простых задач. Особенности обучения решению простых задач каждого типа.

Обучение учащихся решению составных задач Особенности обучения решению задач в два действия. Методика введения

первых составных задач. Этапы работы над составной задачей.

Интерпретация условия задачи. Аналитический и синтетический методы

поиска решения задачи. Запись и проверка решения задачи. Творческая

работа над решенной задачей.

Методика знакомства учащихся с долями и дробями Методика формирования у учащихся понятия о доле и дроби. Обучение

сравнению дробей на практической основе. Обучение решению задач на

нахождение доли числа и числа по его доле. Наглядные пособия,

используемые при знакомстве учащихся с понятиями доли и дроби.


ПУ

Методика знакомства учащихся с понятием функциональной

зависимости Пропорциональные величины, рассматриваемые в начальном курсе

математики. Методика их изучения. Задачи на пропорциональность и

методика обучения их решению.

1.6 Методика изучения элементов алгебры и геометрии

Методика изучения алгебраического материала Цели изучения элементов алгебры в начальной школе. Основные

алгебраические понятия, изучаемые в младших классах. Методика изучения

числовых выражений, равенств и неравенств, понятия переменной,

выражений с переменной, уравнений и неравенств с переменной.

Методика изучения элементов геометрии

Геометрические фигуры, изучаемые в начальной школе. Методика

формирования геометрических понятий у учащихся. Геометрические

построения.

1.7 Методика изучения величин

Общие вопросы изучения величин в начальной школе

Методика знакомства учащихся с измерением длины и системой мер

длины Основные этапы знакомства учащихся с измерением длины отрезка.

Содержание основных этапов. Порядок введения мер длины. Знакомство с

измерительными инструментами. Точность измерений. Формирование

системы мер длины. Арифметические действия над величинами,

выраженными мерами длины. Сравнение числовых значений длин, перевод

числовых значений из мелких единиц измерения в крупные и наоборот.

Методика знакомства учащихся с измерением площади и системой мер

площади

Основные этапы знакомства учащихся с измерением площади. Содержание

основных этапов. Порядок введения мер площади. Формирование системы

мер длины. Арифметические действия над величинами, выраженными

мерами площади. Сравнение числовых значений площади, перевод числовых

значений из мелких единиц измерения в крупные и наоборот.

Методика знакомства учащихся с измерением массы и системой мер

массы Основные этапы знакомства учащихся с измерением массы. Содержание

основных этапов. Последовательность введения мер массы. Знакомство с

весами разного типа. Формирование системы мер массы. Арифметические

действия над величинами, выраженными мерами массы. Сравнение числовых

значений масс, перевод числовых значений из мелких единиц измерения в

крупные и наоборот.

Методика знакомства учащихся с измерением времени и системой мер

времени Основные этапы знакомства учащихся с измерением времени. Содержание


ПУ

основных этапов. "Естественные" и "искусственные" меры времени. Порядок

введения мер времени. Знакомство с часами разного типа. Формирование

системы мер времени. Арифметические действия над величинами,

выраженными мерами времени. Сравнение числовых значений времени,

перевод числовых значений из мелких единиц измерения в крупные и

наоборот.

Раздел 2 "ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ"

На изучение раздела "Практикум по решению задач"




отводится 40 аудиторных часов, в том числе: 40 часов – на практические.

Содержание раздела 2

2.1 Общие вопросы методики обучения решению составных задач

Понятие "задача". Простая и составная задача. Этапы работы над

составной задачей (анализ условия задачи, его интерпретация, поиск

решения, составление плана решения, запись решения, истолкование

результата (соотнесение результата с искомым), проверка решения,

творческая работа над решенной задачей). Варианты интерпретации условия:

краткая запись, чертеж, символическая иллюстрация. Способы решения

арифметических задач (общая характеристика). Аналитический и

синтетический способы поиска решения задачи.

2.2 Решение текстовых задач разными способами

Решение задач способами замены, предположения, от конца и с

использованием "условных единиц". Решение задач с использованием

краткой записи их условия и графической иллюстрации. Задачи на

определение ожидаемого варианта выбора (метод проб). Способы решения

арифметических задач (обобщение).

2.3 Решение текстовых задач разных типов

Нахождение числа по их сумме и разности. Нахождение чисел по их

отношению и сумме (или разности). Задачи на нахождение неизвестной

величины по двум разностям. Задачи на движение. Задачи на нахождение

дроби от числа и числа по его дроби. Задачи на совместную работу. Понятие

о проценте. Нахождение нескольких процентов от числа. Нахождение числа

по его проценту. Нахождение процентного отношения двух чисел. Задачи на

изменение процентного содержания одного вещества в данном продукте в

результате его преобразования. Задачи на нахождение процентного

содержания одного из веществ. Геометрическое (кратное) отношение.

Геометрическая (кратная) пропорция. Прямая пропорциональность величин.


ПУ

Обратная пропорциональность величин. Задачи на нахождение четвертого

пропорционального. Задачи на пропорциональное деление. Задачи на

деление прямо пропорционально данным числам. Задачи на деление обратно

пропорционально данным числам.


по дисциплине "Методика преподавания математики и практикум по

решению задач"


по разделу 1 "Методика преподавания математики"


14. Артемов, А.Х. Система вопросов и упражнений для руководства

самостоятельной работой студентов по методике обучения математике в

начальных классах / А.Х. Артемов – Пенза, 1981.

15. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах:.

Учеб. пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений / Н.Б.

Истомина – М.: Издательский центр "Академия", 2002.

16. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальной школе:

Развивающее обучение / Н.Б. Истомина – Смоленск: Изд-во

"Ассоциация ХХI", 2005.

17. Истомина, Н.Б., Латохина, Л.Г., Шмырева Г.Г. Практикум по методике

преподавания математики в начальных классах / Н.Б. Истомина, Л.Г.

Шмырева – М.: Просвещение, 1986.

18. Методика начального обучения математике / Под общей ред.

А.А.Столяра и В.Л.Дрозда. – Минск: Вышэйшая школа, 1988.

19. Сманцер, А.П., Толстик, Н.В. Формирование у учащихся педагогических

училищ методических умений преподавания математики в начальной

школе: Монография / А.П. Смансер, Н.В. Толстик – Минск: БГПУ, 2005.



Чеботаревская, Н.И. Касабуцкий – Минск: Нар. асвета, 2005.



Чеботаревская, Н.И. Касабуцкий, А.А. Столяр – Минск: Нар. асвета,

2006.


кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения. В 2 ч. / Т.М.



кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения. В 2 ч. /


24. Чеботаревская, Т.М., Николаева, В.В. Математика во 2 классе / Т.М.



ПУ

25. Чеботаревская, Т.М., Николаева, В.В. Математика в 3 классе /


26. Чеботаревская Т.М., Николаева В.В. Математика в 4 классе /



7. Лабораторные и практические работы по методике преподавания

математики / Под ред. Е.И.Лященко – М.: Просещение, 1988.

8. Бантова, М.А., Бельтюкова, Г.В. Методика преподавания математики в

начальных классах / М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова – М.: Просвещение,

1984.

9. Методика начального обучения математике / Под ред. Л.Н. Скаткина –

М.: Просвещение, 1972.

10. Моро, М.И., Пышкало, А.М. Методика обучения математике в I-III

классах / М.И. Моро, А.М. Пышкало – М.: Просвещение, 1975.

11. Практикум по методике начального обучения математике / В.Л.Дрозд,

А.Т. Катасонова, Л.В. Савицкая и др. – Минск: Вышэйшая школа,1984.

12. Десятибалльная система. Безотметочное обучение / Мн: Изд-во

«Пачатковая школа», 2006.


по разделу 2 "Практикум по решению задач"


6. Дрозд, В.Л., Урбан, М.А. Задачник-практикум по решению

арифметических задач / В.Л. Дрозд, М.А. Урбан – Минск: Вышэйшая

школа, 1991.

7. Ефимчик, А.А., Дрозд, В.Л. Учись решать задачи / А.А. Ефимчик, В.Л.

Дрозд – Минск, 2003.

8. Научись решать задачи!: 300 текстовых арифметических задач с

решениями / В.Л. Дрозд, А.А. Ефимчик. – Минск: Ред. науч.-метод.

журн. "Пачатковая школа", 2004.

9. Узорова, О.В. 2500 задач по математике: 1-4 кл.: В 3 ч. / О.В. Узорова –

М., 2002.

10. Чеботаревская, Т.М. Занимательные задачи по математике для

младших школьников: В 2 ч./ Т.М. Чеботаревская, В.В. Николаева, Л.С.

Бондарева. – Мозырь, 2002.


1. Беденко, М.В. Сборник текстовых задач: 1 – 4 класс / М.В. Беденко – М.,

2003.


ПУ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

6. Байденко, В.И. Компетентностный подход к проектированию

государственных образовательных стандартов высшего профессионального

образования (методологические и методические вопросы): метод. пособие /

В.И. Байденко. – М.: Исследовательский центр проблем качества подготовки

специалистов, 2006.

7. Жук, О.Л. Педагогические основы самостоятельной работы

студентов: пособие для препод. и студ. / О.Л. Жук и др.; под общ. ред

О.Л. Жук. – Минск: РИВШ, 2005.

8. Жук, О.Л. Педагогические технологии в современной теории и

практике образования: учеб.-метод. комплекс для студ., получающих пед.

специальность / О.Л. Жук. – Минск: БГУ, 2002.

9. Лобанов, А.П. Управляемая самостоятельная работа студентов в

контексте инновационных технологий / А.П.Лобанов, Н.В. Дроздова. –

Минск: РИВШ, 2005.

10. Образовательный стандарт. Высшее образование. Первая ступень.

Цикл общепрофессиональных и специальных дисциплин (утвержден

Министерством образования Республики Беларусь, 2008 г.).


ПУ

1 0 – 5 = 5 1 0+ 5 = 1 5

Documents