0celosias simples

Celosas simples: Mtodo grfico de Cremona-Maxwell

P P

1 5 2 6 3 7 4

D1 D2 D3

1 2 3 4 L

5 8 6 9 7 8

Datos: P = 1kN 100 kp L = 1m E = 2,1106 kp/cm2

(1) Calcular los esfuerzos Ni (P) de cada una de las barras. (2) Dimensionar la diagonal 3-8 de acero S 275 JR, con lmite elstico e = 275 MPa y mdulo de Young E = 2,058105 MPa, usando un coeficiente de s = 1,15). (3) Calcular el desplazamiento del nudo 6. (4) Calcular el desplazamiento del nudo 2

(1) Para usar el mtodo de Cremona-Maxwell previamente debemos numerar las regiones:

2 3 4

9 7 5 10 8 6

1

CELOSAS SIMPLES

2

Con esta numeracin el diagrama de Cremona-Maxwell resulta simplemente:

9 2

6 78 1 3 10

4 5

Los resultados son:

barra esfuerzo tipo

Montantes (verticales)

2.10 1 9.8 2 7.6 3 4.5 4

P P 0 0

compresin compresin

Cordones superior e inferior (horizontales)

2.9 5 3.7 6 5.4 7

P P 0

compresin compresin

6.1 8.1 9 10.1 8

+P +P 0

traccin traccin

Diagonales 9.10 D1 8.7 D2 6.5 D3

+2P 0

2P

traccin

compresin

(2) La diagonal entre los nudos 3 y 8 corresponde a la barra nombrada como 6.5 en el diagrama de Cremona-Maxwell. Puesto que la barra est comprimida habr que calcularla teniendo en cuenta el efecto del pandeo.

(2a) Pre-dimensionado (A(0) | Ni /adm | = 2 kN / 240 MPa = 5,89 mm2). Examinamos varias tamaos de tubo estructural con el rea ms pequea posible:

[cm] [cm2] tubo 141,5 ic = 0,445 A = 0,59 = 141/0,445 317 tubo 161 ic = 0,532 A = 0,44 = 141/0,532 265 tubo 181 ic = 0,601 A = 0,53 = 141/0,601 235 tubo 201 ic = 0,673 A = 0,60 = 141/0,673 210 tubo 221 ic = 0,743 A = 0,65 = 141/0,743 190

ic: radio de giro o radio de inercia

EJEMPLO 1

3

Estas esbelteces calculadas nos permiten obtener el coeficiente:

() = 0,0002 2 0,0093 + 1,1084

tubo 141,5 317 317 18 tubo 161 265 265 13 tubo 181 235 235 10 tubo 201 210 210 7,5 tubo 221 190 210 6,6

0

2

4

6

8

10

12

0 50 100 150 200 250 300esbeltez

Coef

icie

nte

o

meg

a

(2b) Comprobacin de secciones [adm = e/seg 240 MPa]:

[mm2] [MPa] T N tubo 141,5 317 18 A = 59 = Nx/A 431 > adm tubo 161 265 13 A = 44 = Nx/A 417 > adm tubo 181 235 10 A = 53 = Nx/A 267 > adm tubo 201 210 7,5 A = 60 = Nx/A 177 adm tubo 221 190 6,6 A = 65 = Nx/A 144 adm

[(T) indica si se satisface el criterio de tensin, (N) indica si se satisface el criterio de esbeltez mxima fijado por la norma: < 200]. Como puede verse la seccin de tubo con tensin ms ajustada es la de 181, en caso de querer cumplir adems con la norma AE-95 deberamos usar una seccin 221.

(3) Calcularemos primero el desplazamiento en el nudo 6 (que en el diagrama de Cremona corresponde a la regin 1-8-9), para aadiremos una fuerza ficticia vertical F en el nudo y usaremos el teorema de Castigliano que relaciona el potencial interno o energa potencial elstica con el desplazamiento:

CELOSAS SIMPLES

4

( )( ) ( ) ( ) ( )

=

====

=

=

=13

1 00

13

1

2

60

2 i F

)F(i

i

ii

Fi i

ii

oF

elast

FFN

EAL,PN

EALF,PN

FFF,PW

Los esfuerzos Ni (P,0) son naturalmente los calculados en el apartado (2), mientras que los esfuerzos contenidos en el segundo trmino (el que contiene la derivada) se calculan mediante un nuevo diagrama de Cremona-Maxwell que involucra solo a F 1:

2

9 7 5 10 8 6

2F/3 1 F 1 F/3

El diagrama de cremona correspondiente es:

8 6 1

9 2 5 7 F

1 10

barra Esfuerzo / F tipo


2.10 1 9.8 2 7.6 3 2.5 4

2/3 + 1/3 + 1/3

0

compresin traccin traccin


2.9 5 2.7 6 2.5 7

2/3 1/3

0

compresin compresin

1 Recurdese que por el principio de superposicin si una estructura est solicitada por P1, P2, ..., Pn, los

esfuerzos de cada una de las barras cumplen Ni (P1, P2, ..., Pn) = ai1P1 + ai2P2 + ... + ainPn. De hecho estas aij tienen un sentido fsico interesante y estn relacionados con los llamados coeficientes de influencia bmn. [la relacin funcional es de hecho: bmn = akmakn].

EJEMPLO 1

5

6.1 8.1 9 10.1 8

+ 1/3 + 2/3

0

traccin traccin


+22/3 2/3 2/3

traccin compresin compresin

Si para simplificar consideramos que todas las barras tienen la misma seccin [A A1 = A2 = = A13 = 65 mm2], podemos calcular fcilmente el descenso del nodo 6:

( )

( ) ( ) ( )EAPL

EAPL

EALP

EALP

...

EAPL

EAPL

EAPL

EAPL

EAPL

EAPL

diagonales

eriorinfcordon eriorsupcordon testanmon

32672224211212

332220

32222

032

310

31

3200

31

32

6

+=++++++=

++

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

=

444444444 3444444444 21

4444 84444 7644444 844444 76444444 8444444 76

Substituyendo valores llegamos a que (6) = 3,9 mm.

(4) [Modo 1] Para el desplazamiento de nudo 2 se puede proceder anlogamente al caso anterior colocando una fuerza ficticia F adicional el nudo 2 [Por tanto en el nudo 2 tendremos aplicada una fuerza F2 = P+F]. Calculando un segundo diagrama de Cremona en para el efecto adicional de F se llega a:

barra Esfuerzo / F tipo


2.10 1 9.8 2 7.6 3 2.5 4

2/3 2/3 1/3 0

compresin compresin

traccin


2.9 5 3.7 6 3.5 7

2/3 1/3

0

compresin compresin

6.1 8.1 9 10.18

+1/3 +2/3

0

traccin traccin


+22/3 2/3 2/3

traccin compresin compresin

( )

( ) ( ) ( )EAPL

EAPL

EALP

EALP

EAPL

EAPL

EAPL

EAPL

EAPL

EAPL

diagonales

eriorcordon eriorcordon tesmon

326102224211222

332220

32222

...032

310

31

3200

32

32

infsuptan

2

+=+++++++=

++

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

=

444444444 3444444444 21

4444 84444 7644444 844444 76444444 8444444 76

CELOSAS SIMPLES

6

Substituyendo valores llegamos a que (2) = 4,6 mm. Obsrvese que esto es lo que caba esperar ya que la barra entre los nudos 2 y 6 est comprimida por un axil Nx = P, y que su acortamiento es 2-6 = PL/EA que de hecho coincide como caba esperar con la diferencia (2) (6):

( ) ( ) mm 7,0303

3267

32610

6262 ===

=

+

+=

EAPL

EAPL

EAPL

EAPL

(4) [Modo 2] Calcularemos el desplazamiento en el nudo 2 donde hay aplicada directamente una fuerza usando el teorema de Castigliano, sin usar fuerzas ficticias. Ahora la dificultad es de tipo matemtico ya que el potencial elstico debe ser tratado como una funcin de dos variables P1 [fuerza vertical aplicada en el nudo 2] y P2 [fuerza vertical aplicada en el nudo 2]; que son precisamente los valores de las dos nicas fuerzas aplicadas sobre la estructura. Pero existe la dificultad de que no conocemos la forma general de la funcin Welast(P1,P2) y por tanto previamente debemos calcularla. Para ello basta encontrar dos diagramas de cremona uno con P1 0 y P2 = 0 y otro con P1 = 0, P2 0. As se obtienen esfuerzos Ni = ai1P1 + ai2P2 siendo los coeficientes2:

barra coeficientes a1i

coeficientes a2i

tipo [P1>0 P2>0]


2.10 1 9.8 2 7.6 3 4.5 4

2/3 2/3 1/3 0

1/3 1/3 1/3

0

compresin compresin

?


2.9 5 3.7 6 4.5 7

2/3 1/3

0

1/3 2/3

0

compresin compresin

6.1 8.1 9 10.1 8

+1/3 +2/3

0

+2/3 +1/3

0

traccin traccin


+22/3 2/3 2/3

+2/3 +2/3 22/3

traccin ?

compresin

Con estos valores el calculo del desplazamiento 2 es como sigue:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

=

=

==

=

==

=

=

+=+

=

=

+

=

=

13

121

21

21

13

1

221121

2

21

13

1

22211

1211

212 2

,

iiiii

PPPPi i

iiii

PPPPi i

iii

PPPP

elast

LaaaAEP

EALPaaPa

EALPaPa

PPPPW

Substituyendo valores, P1 = P y P2 = P, e incluyendo el valor de los coeficientes:

2 Del primer cremona se obtienen a11, a12, a13, y del segundo se obtienen a21, a22, a23, .

EJEMPLO 1

7

( )

( )EAPL

EAPL

...

...

EAPL

EAPL

...

...

EAPL

EAPL

diagonaleseriorinfcordon

eriorsupcordon testanmon

32610

960122

9063

9036

90012

322

32

92

32

32

92

32

322

9820

31

32

94

32

31

91

032

31

91

31

32

940

31

31

91

31

32

9422

+=

+++

+++

+++

++=

=

++

+

++

+

++

++

+

+

++

++

+

+

+=

4444444444 84444444444 7644444 844444 76

44444 844444 7644444 844444 76

Resultado que vuelve a coincidir con el mtodo de la fuerza ficticia.

NOTA: Obsrvese que no habra sido correcto en el clculo de (2) tomar los valores del primer diagrama de Cremona, computar Welast(P) como:

( ) ( )=

=

13

1

2

2ii

elast AEPNPW [*]

y derivar esta funcin respecto de P. Ya que la derivada de la funcin definida no es la misma [*] funcin que la derivada que:

( ) ( )PPPPi

ielast

AEP,PN

PPP,PW

=

==

=

2

1

13

1

212

11 2 [**]

Celosas simples: Mtodo grfico de Cremona-Maxwell

H

L

La figura muestra una torre de celosa plana en K con una fuerza horizontal. Se pide:

(1) Determinar los esfuerzos de las barras cuando la fuerza horizontal vale 100 kN.

(2) Explicar que efecto tendra sobre el diseo de la torre: a. Cambiar el nmero de pisos manteniendo

iguales la tipologa en K y la altura total. b. Cambiar la proporcin entre el ancho y el alto.

(3) Determinar los perfiles ptimos para cada tipo de barra, usando perfiles L.

(4) Determinar los desplazamientos en los nudos.

H = 7,50 m L = 2,00 m

(1) Usaremos el mtodo de Cremona-Maxwell para determinar las reacciones. (1a) Clculo de reacciones. Tomando momentos respectivamente respecto a A y B:

MA = RBvL + FH = 0 RBv = F(H/L) = 375 kN MB = RAvL FH = 0 RAv = +F(H/L) = +375 kN

Adems de esas reacciones tenemos la reaccin horizontal en B, RBh = + F = 375 kN. (1b) Divisin por regiones y diagrama de Cremona-Maxwell:

6 4 4 3 2 6 5

5 9 7 7 9

8 8 2 12 10 3 10 12

11 11

15 13 13 15 14 14

18 16 16 18 17 17

1 1 F

100 kN

Sobre la distribucin de esfuerzos axiles entre las barras se tiene: 1) Todas las diagonales tienen el mismo valor absoluto del esfuerzo, aunque las diagonales de la mitad derecha estn traccionadas y las de la mitad de la derecha comprimidas.

EJEMPO 2: TORRE DE CELOSA EN K

9

2) Una situacin se da con los travesaos horizontales: todos tienen el mismo esfuerzo pero la mitad estn comprimidos (parte derecha) y la mitad traccionados (parte izquierda). 3) Finalmente los montantes no tienen todos el mismo esfuerzo. La mitad de ellos (parte derecha) estn traccionados . El esfuerzo en ambos grupos se incrementa en cada piso la misma cantidad.

barra tipo esfuerzo absoluto

valor (n = 5)

Barras verticales (montantes)

2.6 / 4.3 2.9 / 7.3

2.12 / 10.3 2.15 / 13.3 2.18 / 16.3

comp / trac comp / trac comp / trac comp / trac

0 nF 1 nF 2 nF 3 nF 4 nF

0 75,00 kN

150,00 kN 225,00 kN 300,00 kN

Barras horizontales (travesaos)

6.2 / 4.2 5.9 / 5.7

8.12 / 8.10 11.15 / 11.13 14.18 / 14.16

17.1

trac / comp trac / comp trac / comp trac / comp trac / comp

trac

F/2 F/2 F/2 F/2 F/2 F/2

50,00 kN 50,00 kN 50,00 kN 50,00 kN 50,00 kN 50,00 kN

Diagonales 6.5 / 4.5 9.8 / 7.8

12.11 / 10.11 15.14 / 13.14 18.17 / 16.17

comp / trac comp / trac comp / trac comp / trac comp / trac

nF nF nF nF nF

90,13 kN 90,13 kN 90,13 kN 90,13 kN 90,13 kN

Donde se han empleado el coefcientes n y n dependientes del nmero de pisos n:

90130417501 2 ,,

LH

n nnn=+===

(2) De los clculos anteriores se deduce que si la forma de la celosa en cada piso y variamos otros parmetros cambiarn el valor de los parmetros n y n, por tanto basta discutir, la solucin en funcin de estos parmetros:

a) Si aumentamos el nmero de pisos n, los esfuerzos de los travesaos quedaran inalterados. Los esfuerzos de las diagonales disminuiran al disminuir el valor de (siendo su valor lmite 0,50). En cuanto a los montantes verticales tenemos que los montantes superiores disminuiran su carga al disminuir n. Sin embargo, el montante ms desfavorable que es el inferior aguantara prcticamente la misma carga axial N = nF(n1) = (1 1/n)FH/L.3

3 Si suponemos el mismo perfil para todas las barras verticales y que la seccin necesaria de las diagonales

disminuye al aumentar el nmero de pisos podemos ver que existe un n0 que minimiza el peso de la estructura: P(n) = 2[AmH + AtL + nAtL/2 + nAD(n)LD] cumplindose que dP(n0)/dn = 2[AtL + A] :::

CELOSAS SIMPLES

10

b) Si tratamos de optimizar el peso tenemos contando el nmero de barras de cada tipo y el volumen de cada barra (AiLi) podemos estimar el peso de la estructura como:

Peso = [ ] [ ]nnDnVHDnDVnVHH HAHALAnLnALnALAn +++=+++ ,,,, 22)1(22)1(

Donde Ai es el rea de la barra ms desfavorable de cada grupo (horizontales, verticales y diagonales). Adems AH no depende del nmero de plantas, mientras que las otras dos tienen la forma:

2

0,,0,, 4111

+=

=

nLHAA

nAA DnDVnV

c) Si se vara la proporcin H/L el esfuerzo de los travesaos queda inalterado, pero disminuyen las reacciones necesarias en los apoyos para mantener el equilibrio y tambin disminuyen n y n, resultando unos esfuerzos menores en toda la estructura.

(3) Determinar los perfiles ptimos para cada tipo de barra, usando perfiles L.

(4) Usaremos para el clculo de desplazamientos el mtodo de Castigliano introduciendo cuando no exista una fuerza ficticia en la direccin deseada. Empezaremos con los desplazamiento horizontales.

Nudo 1 (n = 5, derecha). Es el nudo donde tenemos aplicados los esfuerzos por tanto no necesitamos crear ninguna fuerza ficticia, basta calcular:

( ) ( ) ( ) ( )+

==

+

==

=

=

=

=16

1 kN 100

16

1

2

kN 1001 2

n

i F

i

i

iin

i i

ii

F

elastH F

FNEA

LFNEALFN

FFFW

( )[ ]( ) [ ] ( ) ( )

+++

=

+++

+=+

+

++++++=

322312

3222

222221

42510

23

562

24

16

13222

21

21

21

21

2212102

LHAL

AL

LH

AH

EF

...

AL

nAL

nAH

nnEF

nEALF

...

...LLnEAF

n...n

HEA

F

D

/

tm

D

n

tm

n

diagonales

nD

n

travesaos

t

testanmon

nm

H

876

444 8444 76444444 8444444 76

Donde se ha usado que 623

231

1

2 nnnm

n

m

+=

=

0celosias simples

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