08_kovac

7/25/2019 08_Kovac

1/15

Kova, S., Ahilej i dvosmislenosti u pojmu , Prilozi 6970 (2009), str. 8397 83

AHILEJ I DVOSMISLENOSTI U POJMUBESKONANOGA MERIEV PRISTUP

SREKO KOVAInstitut za filozofiju, Zagreb

UDK 1 Meri, M.161/162(091)

1(091)(497.5)18/19 Izvorni znanstveni lanakPrimljen: 5. 3. 2009.Prihvaen: 14. 5. 2009.

Saetak

Meri izvorite Zenonova paradoksa Ahilej vidi u dvosmislenostima pojma bes-konanosti. Te se dvosmislenosti prema njem (i tradiciji koju zapoinje Gregorius odSt. Vincenta) razrjeuju pojmom konvergentnoga geometrijskoga niza. Pritom Mer-

i daje opu ontoloku teoriju s prednou konanoga pred beskonanim, te razvijamodalno tumaenje diferencijalnoga rauna polazei od Newtonova pojma fluksije.

Kljune rijei: beskonanost, diferencijal, fluksija, formacijski moment, geometrij-ski red, intenzionalnost, konanost, Mate Meri, Zenon iz Eleje

Je li ono to u obinome, svakodnevnom iskustvu primjeujemo kaomnotvo, gibanje, prostor i vrijeme doista jest, te ako da, na koji nain jest i

kako je mogue? Iako na prvo od tih poznatih pitanja veina filozofa potvrd-no odgovara, mnogi se meusobno znatno razlikuju u svojim objanjenjimatoga odgovora. Podsjetimo takoer na to da vanu ulogu u rjeavanju spome-nutih pitanja ima i problem beskonanosti i beskonane djeljivosti prostorai vremena, te kako je jedan mogui, esto primjenjivani pristup navedenim

pitanjima analiza i rjeavanje Zenonovih paradoksa gibanja (Dihotomija,Ahilej, Strijela, Stadion). Jedan takav pristup, koji dosad jo nije bio ko-mentiran i prosuivan, jest onaj koji je dao Mate Meri (18501928)1u svo-

1 O gradianskome Hrvatu M. Meriu usp. Karall, K. (ur.):Mate Meri Miloradi,Be: Hrvatski akademski klub, 2000; Zenko, F.: Merievo razumijevanje i odreenje filo-zofije, Prilozi za istraivanje hrvatske filozofske batine, 15 (1989), str. 149160, Kova,S.: O Merievoj logici, uLogiko-filozofijski ogledi, Zagreb, Hrvatsko filozofsko drutvo,2005, str. 159170; Kova, S.: Meri o Hilbertovoj aksiomatskoj metodi, u Bani-Pajni,E., Girardi-Karulin, M. (ur.):Zbornik u ast Franji Zenku, Zagreb: Institut za filozofiju,2006, str. 123135.

7/25/2019 08_Kovac

2/15

7/25/2019 08_Kovac

3/15


nieno, moe se podijeliti neogranien broj puta.4

Meri se slae da se u pa-radoksu radi o dvosmislenosti (str. 51), no istie da samo matematika moetono i jasno razluiti razliita znaenja te rijei. Njegov je dojam da i Millima odreenu zadrku prema spomenutome rjeenju. Spominje i RichardaWhatelya, dublinskoga nadbiskupa (str. 49), koji tvrdi kako se Zenonov do-kaz ne moe prikazati u silogistikoj formi te da stoga u tome dokazu ne-ma nikakve suvisle veze izmeu premisa i zaglavka.5Za razliku o WhatelyaMeriu takvo rjeenje paradoksa nije potvrda korisnosti silogistike.

Meri skolastiku silogistiku dri potpuno neracionalnom, krivomi nespretnom.6Prema Meriu u paradoksu Ahilej u prvome planu uopenije silogistiki oblik zakljuka ili logiki oblik suda, nego provjera istinei odreenosti samih sudova, kao i provjera definicija u zakljuku upotri-

jebljenih pojmova (Termini). U tu svrhu potrebno je upotrijebiti mate-matika sredstva (egzaktna analiza i sinteza pojmova, str. 51). Prije negose prijee na logiku, metalogiku i metafiziku beskonanosti, potrebno jeraistiti matematiku pojma beskonanosti. Meri zamjera novoskolastici-

ma (osobito se, uz ostale, osvre na Constantina Gutberleta) da ine upravosuprotno. Oni polaze od konfuzne logike i fiktivne metafizike beskona-noga, kojemu zatim, neuspjeno, ele dati peat matematike egzaktnosti.

Prema obziru na matematiku beskonanosti Meri se kritiki osvrena neka starija i novija shvaanja diferencijalnoga rauna, te eli u vir-tualnom, modalnom smislu oivjeti Newtonove pojmove fluente ifluksije (na tu emo se problematiku jo vratiti), nasuprot Leibnizovuinfinitezimalizmu. Kritizira sebi suvremeno asimptotistiko shvaanjediferencijala (primjerice u Eugena i Ulricha Dhringa, s kojima se inae pomnogoem slae u kritici krivih shvaanja beskonanosti). Zanimljivo je dase Meri nigdje u poglavlju o paradoksu Ahilej i pojmu beskonanostine osvre na novoutemeljenu teoriju skupova, s novim pojmom realno-ga kontinuuma (Cantor, Dedekind, Weierstra), iako je upravo ta teorijaotvorila nove mogunosti za pristup, uz ostalo, i Zenonovim paradoksima

4 Mill, J. S.: System of Logic: Ratiocinative and Inductive, London: Longmanns, 1959,V, VII-1, str. 535.

5 Usp. Whately, R.:Elements of Logic, New York: Jackson, 1834. (prema londonskomeizd. 1926), str. 337.

6 Pritom upuuje na svoj rad Utrum in dialectica Aristotelea recte distinguantur figuraemodique syllogismi, u Compte rendu du quatrime Congrs Scientifique International desCatholiques, Troisime section: sciences philosophiques, Fribourg, 1898, str. 380407. Usp.na prikaz i komentar u knjiziLogiko-filozofijski ogledi(cit. u bilj. 1).

7/25/2019 08_Kovac

4/15

86 Kova, S., Ahilej i dvosmislenosti u pojmu , Prilozi 6970 (2009), str. 8397

gibanja (kao to pokazuju istraivanja Zenonovih paradoksa koja su uslije-dila). No injenica je da ni ta teorija, pod uvjetima Merieva odbacivanjaaktualne beskonanosti (o em e jo biti rijei), ne moe ponuditi neko zaMeria zadovoljavajue rjeenje.U Organistik der Geometrie7Meri od-

bacuje Dedekindov pojam beskonanosti u kojoj njezin pravi dio moe biti,kako parafrazira Meri, jednako velik kao i cjelina (Organistik,str. 18).8

Nadalje, Meria je od Cantora mogla dodatno odvratiti i injenica da seupravo novoskolastik Gutberlet u svojoj, kako ju Meri zove, teologijskoj

matematici (str. 80) oslanjao na Cantorovu teoriju transfinitnih brojeva,premda ne uvijek uz Cantorovo slaganje.9

Kako Meri ulazi i u jezikoslovnu stranu problema (pojam besko-nanoga), vjerojatno motiviran i Millovom napomenom o dvosmislenostirijei beskonano, spomenimo da se referira na uvenoga indologa i po-redbenoga jezikoslovca Friedricha Maxa Mllera (str. 53) u njemakome

prijevodu (Das Denken im Lichte der Sprache, 1888). Mllerova postavkao nedjeljivu jedinstvu jezika i miljenja, nasuprot razdvajanju logike i

gramatike, svakako je u Meria naila na pozitivan odjek.Napokon, Meri na vie mjesta upuuje na umsku algoritmiku, ko-

ja ini krajnji teorijski okvir na pretpostavkama kojega on i razvija svojuteoriju beskonanosti i svoje rjeenje Zenonova paradoksa. Stoga kao va-no Merievo ishodite u onodobnome stanju istraivanja treba spomenuti

7 Meri, M.: Organistik der Geometrie, Horvtkimle bei Moson, Ungarn: vlast. na-

klada, 1914. V. i Modernes und Modriges, poglavlje VII (Die prinzipiellen Irrtmer dernichteuklidischen Geometrie: zur Begrndung der wissenschaftlichen Form).

8 Meri tu upuuje na Dedekindov spis Was sind und was sollen die Zahlen, 2. (ne-promijenjeno) izdanje iz 1893. (Braunschweig: Vieweg und Sohn), str. XVII (Ein SystemSheit endlich, wenn es sich so in sich selbst abbilden lt, da kein echter Theil von Sin sich selbst abgebildet wird; im entgegengesetzten Falle heit Sein unendliches System).

Spomenimo da, neposredno prije toga, Meri kritizira Bokoviev dokaz da prostor nemoe biti beskonano velik (17). Taj se Bokoviev dokaz nalazi u njegovu spisuDe naturaet usu infinitorum et infinite parvorum, Romae, 1741, str. 7, kao i u Theoria philosophiae na-

turalis, Zagreb: SN Liber, 1974, str. 257(zahvaljujem Ivici Martinoviu na referencijama).9 Cantor je prigovorio Gutberletovu izvoenju aktualne beskonanosti iz diferencijal,jer oni mogu biti samo potencijalno beskonani. Za Cantora su aktualno beskonano maleveliine samo papirnate veliine. Prema Thiele, R.: Georg Cantor (18451918), uKoet-sier, T., Bergmans, L. (ur.),Mathematics and the Divine: a Historical Study, Elsevier, 2005,str. 523547, v. str. 537538. Usp. i Newstead, Anne: Intertwining metaphysics and mathe-matics: the development of Georg Cantors set theory 18711887,Review of ContemporaryPhilosophy, 7 (2008), str. 3355.

7/25/2019 08_Kovac

5/15


matematiara i filozofa Hermanna Schefflera (18201903),10

koji je, iakou ovome poglavlju nije izriito spomenut, glavni oslonac, izvor i inspiratorMerieve algoritmike.11

2. Pojmovno-jezina analiza beskonanosti i konanosti

Ve je iz Merieve specifine koncepcije algebarske logike s odgova-rajuom savrenom semiotikom jasno da jezik, prema Meriu, moe i

treba savreno odgovarati logici i umskoj algoritmici.12Ovdje pak vidimokako je za Meria openito svaki jezik osobita, bolja ili loija misaonaalgoritmika. Meri razlikuje vie jezike (indogermanske) i nie, barbar-ske idiome, svaki kao odreenomu stupnju napretka u izgraenosti jezi-ka najprikladniju simboliku i sredstvo miljenja. No s druge strane, uizvornome jeziku, prije nego je iskvaren praznom, neuspjelom, krivo nau-enom frazeologijom, otkriva i naravnu misaonu djelatnost duha, koja sezbiva sa sigurnou pravoga prirodnoga instinkta, tako da nije neobinoto se u etimologiji mogu pronai iznenaujui tone temeljne misli (str.52, 53). Stoga Meri analizira etimologiju njemake rijei Ende od indo-europskih korijena anta i d, koji upuuju na prijekid (rez, prijelom) nekedjelatnosti, i zatim etimologiju predmetka i dometka un- i -lich (u unen-dlich) (str. 5354), te u tim analizama pronalazi pravi smjer razumijevanja

beskonanosti, kako se to zatim potvruje i pojmovnom analizom.

U samoj pojmovnoj analizi Meri pokazuje da je ono konano ono

drugo (a to moe biti bilo koja stvar, Ding), to je u svom bivanju, tijeku,prekinuto, okonano. Konanost je prekinutost bivanja. Tu Meri najprijeupozorava na dva naina kako se stvar moe misliti i izrei. (1) Miljivase stvar moe misliti kaojesua. Tada je ona upravo ono to jest, ni manjeni vie od toga. To gramatiki odgovara imenici, koja nema stupnjevanja(komparacije). (2) Miljiva se stvar moe misliti kao bivajua, kao ampli-tuda za razliite stupnjeve. To pak gramatiki odgovarapridjevu, koji se,kako upozorava Meri, moe nainiti od svake imenice, te koji uvijek ima

stupnjevanje. Sada Meri pokazuje kakoprirok (predikat) o stvari kaopo-

10 Scheffler, H.:Naturgesetze und ihr Zusammenhang mit den abstrakten Wissenschaf-ten, 4+3 sv., Leipzig: Foerster, 18761881.

11 Usp. u Meri, M.: Organistik der Geometrie.12 V. Utrum in dialectica Aristotelea, str. 381 i Kova, S.:Logiko-filozofijski ogledi,

str. 162163.

7/25/2019 08_Kovac

6/15


staloj(Gewordenes) kazuje da je onajesueprekinuto na nekom, viem iliniem, stupnju bivanja. Na najviem je stupnju (emu gramatiki odgovarasuperlativ) stvar dovrena, okonana, i tada je ne samo relativno konananego upravo apsolutno konana (voll-endlich, voll-endet) (str. 55).

Rezultati koje Meri izvodi ve iz te svoje uvodne, pojmovno-jezineanalize, dalekoseni su. Sve to uope jest, jest konano, i to bilo relativnokonano, bilo apsolutno konano. Beskonano je samo ono to biva (to

je neokonano, nedovreno, potencijalno). Aktualna beskonanost je sto-

ga za Meria najoitija contradictio in adjecto (str. 56), jer je aktualnoupravo ono to je gotovo, uinjeno. Vremenski odreeno, ono aktualno jedovrena prolost, a ono beskonano vjena budunost (str. 57). Stoga seMeri okomljuje na skolastike (izriito na Otta Zimmermanna), koji misleda je beskonanost Boji atribut, dok je, prema Meriu, Bog upravo apso-lutno konaan (najvii stupanj, superlativ, apsolutan kraj i dovretak,ne moe postati veim) (str. 56, 58).

3. Formacijski moment umjesto diferencijala

Meri prelazi na daljnje, matematiko raiavanje dvosmislenostipojma beskonanosti. U stvari, matematiki konkretizira svoje shvaanjekonanosti (kraja) kao prijeloma bivanja na primjeru problematike diferen-cijalnoga rauna. I tu e konanost, sada matematiki odreena, dobiti pred-nost pred beskonanou.

Meri razlikuje vrijednost sve (All, Allwert), kao odreenu, vrstu

vrijednost, od , neogranieno veega kao beskonanoga primicanja pre-ma vrijednosti sve. Takoer razlikuje vrijednost nita, 0, kao odreenu,

vrstu vrijednost, od kao neogranieno manjega, kao beskonanoga

primicanja prema vrijednosti 0 (str. 5961).U okvirima tih razlikovanja Meri ak vei dio svoga teksta posveuje

tomu kako bi, nasuprot prevladavajuemu stavu, pokazao da diferencijalniraun nije tek infinitezimalni, beskonano aproksimativni raun, nego raun

s konanim, odreenim, apsolutno egzaktnim rezultatima (str. 78, 69).To je i u skladu s Merievim opim shvaanjem istine ne tek kao priblinejednakosti nego kao zbiljske egzaktne jednakosti (str. 69).13

13 I u logici je bit stavka (propositio) u kolikotnoj jednakosti pojmova (Utrum dialec-tica, str. 386).

7/25/2019 08_Kovac

7/15


Samimo u najkraim crtama Merievu argumentaciju. Napomenimonajprije da Meri, umjesto o diferencijalu, u pravilu govori o formacij-skome (varijacijskome) momentu, zadravajui oznaku dx.Radi se o

pojmovnome pomaku koji Meri objanjava na sljedei nain. Ponajpri-je, vrijednost formacijskoga momenta nije, prema Meriu, nedjeljivo(indivizibilno) kao aktualno beskonano malo, i to iz istoga razloga zbogkojega ne opstoji ni aktualno beskonano veliko. Nadalje, vrijednost forma-

cijskoga momenta nije ni infinitezimal, ,14nego upravo 0. Zato?

Razlog je tomu to Meri formacijski moment (dx) ne shvaa kao nekudiferenciju (diferencijal, prema Leibnizu), nego, pozivljui se na Newto-na, kao fluksiju. Fluksija je pritom samo jedan prijelom (Absatz)tijeka (struje, fluente, varijable), koji je, s jedne strane, kraj prethodno-ga tijeka, a s druge strane, u isti mah i virtualni poetak daljnjega tijekavarijable (str. 6465), kako objanjava Meri oito u oslonu na Newtona.15Kako formacijski moment za Meria nije nikakva diferencija, ne vrijedi

ni dx=x2x

1= . A kako formacijski moment nije drugo nego pri-

jelom (mjesto prijekida), te uope nije dio fluente, nego upravo samomoment, modalnost u njoj (str. 92), Meri uzimlje da vrijedi jedinodx= 0.

Dosljedno tomu Meri diferencijalni kvocijent, ne tumai kao

limes, lim

y

x, nego kao . Kvocijent po sebi je dodue potpuno ne-

odreen, sam nita ne kazuje, ali mu se za danu, definiranu funkcijuf, sy

14 Kao to je i u Merieva uzora H. Schefflera, Die Naturgesetze, Erster Theil. DieTheorie der Anschauung, Erste Abtheil., Leipzig: Foerster, 1876, str. 221, 23.

15 Newton kae: Quantitates mathematicas non ut ex partibus quam minimis con-stantes, sed ut motu continuo descriptas hic considero. Fluksiju Newton ipak najpriblinije(quam proxime) odreuje pomou prirasta u to manjim odsjecima vremena (Fluentium au-gmenta aequalibus temporis particularis quam minimis genita), no u njegovoj metodi fluksijati beskonano mali prirasti nisu potrebni jer ih iskazuje pomou crta njima proporcionalnihduljina (in methodo fluxionum non opus sit figuras infinite parvas in geometriam introdu-cere). The Mathematical Papers of Isaac Newton, VIII 16971722, D. T. Whiteside (prir.),Cambridge UP, 2008, str. 122124, 128. O Newtonovoj i Leibnizovoj teoriji diferencijal-noga rauna te openito o povijesti diferencijalnoga rauna v. iki, Z.:Kako je stvarananovovjekovna matematika, Zagreb: kolska knjiga, 1989, I. dio.

7/25/2019 08_Kovac

8/15


=f(x) vrijednost moe tono odrediti na uobiajen nain.16

Jednako vrijedi iza neodreeni beskonanosni kvocijent .

Meri se takvim pristupom suprotstavio prevladavajuemu shvaanjudiferencijalnoga rauna kao infinitezimalnoga i aproksimacijskoga. Dife-rencijalni je raun podveo pod svoj opi pojmovni okvir primata konanosti(nad beskonanou) i razumijevanja konanosti kao prekinutosti bivanja.Fluksija je u Meria upravo matematika konkretizacija bivanja, a forma-cijski moment (s nultom vrijednou) matematika konkretizacija prekinu-tosti bivanja. Primat konanosti oituje se u teorijsko-matematikome po-maku kojim umjesto neodreenih, samo beskonano bivajuih (werden-de) rezultata (limes), diferencijalni raun za Meria daje upravo konane,

potpuno odreene rezultate.17

4. Ahilej i beskonanost geometrijskoga reda

Ahilejev se paradoks prema Meriu moe rijeiti samo matematikimraiavanjem dvosmislenosti u pojmu beskonanosti, a ne, primjerice, kaou skolastika, razlikovanjem potencijalnoga i aktualnoga, pri em bi besko-nano mnogo beskonano malih dijelova (infinitezimala), koji ine nekukonanu veliinu, opstojali samo potencijalno, a zbiljski bi opstojale samo

16

Izraunavanjem, kako je poznato,

y

x=

f(x x) - f(x)

x

+

, te naposljetku, uvrta-vanjem x = 0 (u Meria stoji D umjesto ). Primjerice, lako je provjeriti da za funkcijuy

= ax2+ cs Meriem dobivamo, za x= 0,

y

x=

0

0= 2ax. To je ujedno i nain kako Meri

odbacuje argumentaciju E. i U. Dhringa da neodreeni kvocijent0

0

nita ne kazuje. S dru-

ge se strane Meri slae s njima u kritici indivizibila (str. 68). Usp. E. i U. Dhring,Neue

Grundmittel und Erfindungen zur Analysis, Algebra, Functionsrechnung und zugehrigen

Geometrie, Leipzig: Fues, 1884, str. 6874, 71.17 Meri skicira i primjenu svojega shvaanja diferencijalnoga rauna u geometriji imehanici. Tako mu je zakrivljenost krivulje u svakoj toki (koja ima veliinu 0) samo virtu-alna, modalna. To je povezano s odvajanjem paralelizma i asimptotizma, mijeanje kojihvodi neeuklidskoj geometriji (str. 7173). U mehanici Meri veliinu rada centripetalne silepri jednolikome krunome gibanju moe takoer shvatiti kao modalnu, virtualnu veliinu(str. 7374), a tako i mirovanje kao ravnoteu, kao dinamino izjednaenje (mc= m'c'), gdjeje brzina samo virtualna (7677).

7/25/2019 08_Kovac

9/15


konano male veliine (str. 9192). Naime, kako je Meri diferencijalizjednaio s 0, dosljedno je drao da mjesto prijeloma (granica) pri (bes-konanome) dijeljenju fluente uope nije (ni aktualan, ni potencijalan) diofluente, nego samo moment, modalnost u fluenti (str. 92). Prema tome,kako je zakljuio, infinitezimalni dijelovi ne opstoje ni aktualno (kako jeve gore spomenuto), ali ni potencijalno.18

Pravi temelj pogrjeke u Ahileju Meri vidi u pojmu beskonanos-ti geometrijskoga reda, i to u nerazlikovanju (ili skrivanju razlike) kon-

vergentnoga geometrijskoga reda (u kojem se svaki idui pribrojeni lanmnoi eficijentom qkojega je vrijednost manja od 1) od divergentnogageometrijskoga reda (u kojem qima vrijednost, prema Meriu, veu od 1,dakle ne jednaku 1) (str. 8384), i ak u nerazlikovanju aritmetikoga odgeometrijskoga reda, jer u zagonetci beskonana ralamba konanoga vre-menskoga razmaka (potrebnoga da Ahilej dostigne kornjau) na sve manjei manje vremenske dijelove, lako stvara privid kao da je rije o vjenome,

jednolikome vremenskome protijeku u jednakim vremenskom momentima

(str. 9697). Spomenimo da je pojam beskonanoga geometrijskoga reda urazjanjenju paradoksa Ahilej primijenio ve Gregorius od St. Vincenta(god. 1647), i da takav pristup nikako nije u kasnijim vremenima bio nepo-znat, iako Meri u tom smislu ne spominje nijednoga autora.19

18 aber die Unterbrechungsstelle, der Abschnitt, die Grenze, ist nicht selbst Teilder Fluente, sondern blo ein Moment, eine Modalitt in der Fluente. Diese selbst hat we-der in potentia, noch viel weniger in actu unendlich kleine, infinitesimale Teile, d. h. sie

besteht mit nichten aus Indivisibilien oder Atomen, will sagen aus absurden Phantasiege-bilden (str. 92).19 Gregory St. Vincent, Opus geometricumquadraturae circuli, knj. III (lat. i engl.),

prev. I. Bruce, zadnja promjena listopad 2007, http://www.17centurymaths.com/contents/gregoriuscontents.html. Usp. II, str. 9798/99. Grgurovo rjeenje spominje Leibniz u pismuFoucheru (Die philosophischen Schriften, C. I. Gerhardt (prir.), I, str. 415416, a navodi ga iJean-Henri-Samuel Formey uEncyclopdie, ou dictionnaire raisonn des sciences, des arts etdes mtiers, ur. Denis Diderot i Jean le Rond DAlembert, University of Chicago : ARTFL En-cyclopdie Projet (Winter 2008 Edition), Robert Morrissey (ur.), http://encyclopedie.uchicago.edu, Mouvement, sv. X, str. 831 (deseti je svezak inae izvorno objavljen 1765). Usp. Cajori,

Florian, History of Zenos arguments on motion, The American Mathematical Monthly 22(1915), str. 16, 3942, 4347, 7782, 109115, 143149, 179186, 215220, 253258, 292297 (deset nastavaka), usp. str. 7980 i 112113.Spominjemo da se i R. J. Bokovi bavioparadoksom Ahileja i kornjae, oslanjajui se na Grgurovo rjeenje, gdje je vidio potvrdusvojega zakona neprekinutosti (R. I. Boscovich,De continuitatis lege, prir. J. Talanga, Zagreb:kolska knjiga, 1996, 4152,str.4757). Danas esto nailazimo na objanjenje paradoksao Ahileju pomou geometrijskoga reda, npr. Slapniar, I.:Matematika 1, Split: Fakultet elek-trotehnike, strojarstva i brodogradnje, 2002, http://www.fesb.hr/mat, str. 243.

7/25/2019 08_Kovac

10/15


Premda je razjanjenje paradoksa Ahilej pomou pojma geometrij-skoga reda danas uobiajeno, zadrimo se nakratko na nainu kako Meriprikazuje to rjeenje. On izluuje dvije glavne toke u kojima u Ahilejudolazi do varke (privida) u zakljuivanju.

1) Kako kornjaa kree prva, jasno je da Ahilej prelazi svoj prvi dio pu-ta kad je kornjaa ve na drugome dijelu svoga puta. Nadalje, kad je kornja-a na k-tome dijelu svojega puta (za k > 1), Ahilej je na k1. dijelu svojega

puta. Dakle, kornjaa je prema poretku dijelova svojega puta uvijek za jedan

lan poretka dalje od Ahileja prema poretku dijelova njegova puta. To je op-enito tono ako se samo apstraktno promatra agregacija dijelova Ahilejevai kornjaina puta. Jasno je da svakomu dijelu puta pripada i odgovarai diovremena u kojem Ahilej, odnosno kornjaa, prelaze taj dio puta. No time

jo nije reeno da je ukupna duljina puta koju je kornjaa prela kad je nak-tome dijelu svoga puta vea od ukupne duljine puta koju je Ahilej preaokad je na k1. dijelu svojega puta, iako se lako stjee privid kao da je i toreeno.

2) Nadalje, umjesto da se dijelovi puta i vremena koje prolaze Ahilej ikornjaa, uzimlju kao dijelovi aritmetikoga reda, oni se uzimlju kao dije-lovi geometrijskoga, i to konvergentnoga reda, ime se skrauje promatranovrijeme utrke. To se dogaa tako to se drugi dio Ahilejeva puta izjednaujes kornjainim prvim dijelom puta, ali samo prema duljini puta, ne i premavremenu. Prema obziru na vrijeme, ako je Ahilej, primjerice, 100 puta briod kornjae, onda je prvi dio njegova puta, a ujedno i kornjain drugi dio

puta, 100 puta vremenski krai nego prvi dio kornjaina puta. Svaki je iduidio Ahilejeva i kornjaina puta 100 puta krai od prethodnoga, odnosno op-

enito, krai je puta, gdje je c2Ahilejeva, a c

1kornjaina brzina. Meri

govori o beskonanome aritmetikome vremenskome redu t= dt1+ dt

2+

, gdje dt1= dt

2= , koji je zamijenjen beskonanim konvergentnim ge-

ometrijskim redom, a to je u Ahilejevu sluaju sljedei red (vje put koji jekornjaa prela prije nego je Ahilej krenuo):

7/25/2019 08_Kovac

11/15


Taj se red samo beskonano, asimptotski pribliava vrijednosti

kao i Ahilejev, ali proiren prvim vremenskim lanom (uoavamo da

=m ). Ako se zaboravi na razliku izmeu beskonane konvergen-

cije geometrijskoga reda i mogue beskonane divergencije, kao i izmeubeskonanosti geometrijskoga i aritmetikoga reda, nastaje privid kao da

Ahilej doista ne moe prestii kornjau.

5. Komentar: intenzija i ekstenzija

Spomenuli smo da se Meri ne osvre na pojam beskonanosti kakose javlja u okviru transfinitne teorije skupova. Prema obziru na tu teoriju,opravdano se postavlja pitanje kako se konana crta moe sastojati od ne-

protenih toaka (duljine 0) (ili konaan vremenski razmak od neprotenih

trenutaka)? Skicirajmo ukratko Grnbaumovo rjeenje.20 Jedinica prote-nosti nije sama neprotena toka, nego jedinini toka-skup (unit point-set, Zenos Paradoxes, str. 181) koji kao svoj jedini lan ima samo jednutoku, koja je neprotena. Definira se da jedinini toka-skup ima duljinu 0.Crtovni je razmak (line interval) unija toka-skupova. U danome razmakuima neprebrojivo mnogo jedininih razmaka. Stoga se duljina ne odreujeu ovisnosti o kardinalnosti, nego o sadravanju lanova: dulji razmak sa-dri lanove koje ne sadri krai razmak koji je pravi dio prvoga razmaka(veu prostornu/vremensku protenost ini vea sadrajnost) (nav. mj., str.183184). Bitna je ovdje razlika izmeu teorijskoskupovnoga dodavanja

20 Grnbaum, A., Zenos metrical paradox of extension, u Salmon, W. C. (ur.),ZenosParadoxes, Indianapolis, Cambridge: Hackett, 2001., str. 176199. Usp. i Grnbaum, A.,Modern science and refutation of the paradoxes of Zeno, na nav. mjestu, str. 164175.

(moe se lako izraunati da je upravo to ono vrijeme koje je potrebno Ahile-ju da dostigne kornjau). Dodajmo da je kornjain geometrijski red

7/25/2019 08_Kovac

12/15


(tvorenjem unije jedininih skupova) i aritmetikoga dodavanja jedininihduljina. Podjela razmaka definira se kao tvorba pravih nepraznih podsku-pova toga razmaka. Stoga je podjela razmaka beskonana, a ipak su jedini-ni razmaci (toka-skupovi) nedjeljivi, jer nemaju svojih pravih nepraznih

podskupova. ini se da takav pristup dobro logiki funkcionira, no, kakoupozorava sam Grnbaum, on ne opisuje na zor crte (ili vremena) (nav.mj., str. 197). Moglo bi se ak rei da uope ne opisuje vrijeme, ako vrijemeshvatimo iskljuivo onako kako ga doivljavamo u unutranjoj svijesti, kao

protijek vremena.Nasuprot takvu pojmu crte i vremena, kao ekstenzionalnih struktura ko-

je se sastoje u sadrajnosnim odnosima meu skupovima, Meri u nekolikokoraka sve dublje intenzionalizira21crtu i vrijeme kao aritmetike veliine.Crtovni razmak (put) i vrijeme, kao aritmetike veliine, u Meria sushvaeni ne samo (1) ekstenzionalno kao neke odreene (razgraniene),vee ili manje vrijednostinego i (2) dinamino, kaostanjenastalo prijeki-dom u bivajuem redu veliina (Werdereihe der Gren) (Organistik, str.166). Takoer, (3) veliina je i rezultat jaanja ili slabljenja danih veliina

prema nekom odnosu viestrukosti. Nadalje, Meri istie kako veliina nijesamo odreena brojana veliina nego je kao brojana (4) ujedno konkre-cija algebarske veliine (slovne veliine, Spezies) kao mogunosno-ga podruja (potencijalnosti) svih moguih brojevnih vrijednosti odreenekategorije, vrste. Oito su prema Meriu i put i vrijeme takve potencijalnoshvaene kategorije, tj. mogunosna, a ne samo ve zbiljski (aktualno) za-

dana podruja (str. 62, 63), te je veliina puta i vremena uvijek i odreenstupanj mogunosti (Organistik, str. 167). Naposljetku, i najvanije, danaaritmetika veliina nije samo neka potencija, konkretizirani stupanj mo-gunosti, nego je kao takva (5) i jedna formacija, cjelina (integral), modu-lirana kroz razvoj, tijek najprimitivnijih formacijskih momenata (str. 63,Organistik, str. 167). Tih se pet stupnjeva intenzionaliziranja poetne istoekstenzionalne veliine temelji naposljetku u najopenitijim praidejamaMerieve algoritmike preuzete uz neke modifikacije od H. Schefflera,

a to su bitak (Sein), bivanje (Werden), djelovanje (Wirken), vrstanje (Ar-

21 Intenziju ovdje uzimljemo u smislu u kojem se danas, primjerice, razlikuju in-tenzionalna i ekstenzionalna logika (to, jasno, potjee od razlikovanja intenzije iekstenzije, tj. sadraja i opsega pojma), a ne u Merievu aritmetikome smislu kaouviestruivanje (mnoenje) (Organistik, str. 166167).

7/25/2019 08_Kovac

13/15


ten), oblikovanje (Gestalten), koje se u aritmetici konkretiziraju na veliini(Gre) kao vrijednost, mjesto, odnos, vrsta i forma.22

Na taj nain, umjesto aktualne beskonanosti kao transfinitnoga sku-pa Meri dobiva beskonanost kao neokonanu, nedovrenu dinamiku,neokonan intenzitet, neokonanu potencijalnost i, napokon, neokonanumodalnost aritmetike veliine, dok mu je ono aktualno jedino na ovom ilionom stupnju okonana veliina.

Moe se ak rei da je intenzionalnost prostornih i vremenskih veliina

u Meria radikalizirana, jer Meri u svome tumaenju diferencijalnogarauna, kako smo spomenuli, insistira na mogunosti modalnoga razlikova-nja ak u nultoj vrijednosnoj toki.23U toki koja ima vrijednost 0 (prije-lom tijeka), tijek moe imati razliite momente, svaki izraziv svojim alge-

barskim izrazom. Tijek ima svoj moment (modalnost) na svakome mjestu(nulte vrijednosti) gdje ga prekinemo. Isto tako, kako smo pokazali, i omjernultih vrijednosti koji je sam po sebi potpuno neodreen, ima svoju intenzi-

ju, dobivajui u razliitim sluajima razliitu egzaktnu algebarsku odredbu.

22 Peterim umskim praidejama odgovara pet uzroka: 1. opstojnosni (causa materialis,Bestandursache), 2. uzorni (causa exemplaris), 3. djelatni (causa efficiens), 4. svrni (causafinalis), 5. oblikovni (causa formalis). U skladu se s time uzrokovanje zbiva na pet naina,svaki put u amplitudi izmeu dviju krajnosti, apsolutnoga nita i apsolutnoga sve. Te sukrajnosti 1. nita opstojnosti i svevrijednost, sve, 2. poetak, nulto stanje i punoa, okonano,egzemplar, 3. podrijetlo i konaan cilj, 4. elementarno i konana svrha, 5. amorfno i cjelokup-no, kozmos. Tim peterolanim (pentarhijskim) razdiobama odgovara i po pet analitikih ipet sintetikih radnja duha, od kojih je peta analitika radnja integracija (svoenje posebnosti

kao uzrokovane na svesustav kao uzrok), a peta sintetika radnja diferencijacija (specifi-kacija) kao obrat integracije (str. 5859, Organistik, str. 137141).Evo jo jedne formulacije za konkretizaciju peterih praideja u aritmetici na veliini:

1. terminat svevrijednosti, 2. stanje (stadij) dovrenoga stanja, 3. redukt ili alikvotsvestrukoga, 4. korijen (konkrement) svepotencije i 5. specimen (posebno uoblienje)sveoblikovanoga, otkuda aritmetike operacije: 1. zbrajanja i umanjivanja, 2. dodavanja ioduzimanja (potonje se dvije odnose na napredovanje ili vraanje u bivajuem nizu), 3. mno-enja i dijeljenja, 4. potenciranja i korjenovanja, 5. integracije i diferencijacije (Organistik,str. 165170).

U gramatici se pet praideja pojavljuje u razlikovanju: 1. imenice (Heil), 2. pridjeva(heilig), 3. glagola (heiligen), 4. apstraktuma (Heiligkeit) i 5. modulara (Heiligtum)(Organistik, str. 171172).

Pritom je, openito, svako od pet naela ukljueno u iduem naelu, ali idue ujedno idodaje neto sasvim novo, jednu potpuno novu pra-ideju (Organistik,str. 172). Tako, pri-mjerice, za Meria ni mnoenje (multiplikacija) nije svedljivo na dodavanje (adiciju).

23 Vrjednotnost [Wertigkeit] diferencijala treba predoiti kao isto modalnu (str.69).

7/25/2019 08_Kovac

14/15


Spomenimo da je upravo to svojstvo kvocijenta upotrijebljeno i u novijevrijeme kako bi se razrijeio Ahilejev paradoks Strijela, prema kojem bi se

paradoksu strijela trebala gibati, iako u svakome trenutku svoga puta (vri-

jednosti 0) prevaljuje put vrijednosti 0, pa joj je brzina v = .24

Katkad se iznosi prigovor da matematika rjeenja Zenonovih paradok-sa promauju glavni cilj te iako su matematiki tona, ne daju metafizikorjeenje problema kako od Jednoga dolazimo do Mnogoga.25U svezi s tim

prigovorom napomenimo da rjeenje paradoksa Ahilej pomou razliko-vanja beskonanosti aritmetikoga reda od beskonanosti geometrijskogareda stoji u Meria u kontekstu filozofijsko-metafizike teorije, gdje sematematiki red, kao dodavanje, pokazuje u krajnjoj crti kao matematikakonkrecija druge umskoalgoritmike praideje, ideje bivanja, koja dodue

pretpostavlja bitak, ali nije na njega svedljiva. Traitelj metafizikoga obja-njenja moe ovdje ostati razoaran, no ini se da je tu negdje ipak kraj mo-guih daljnjih objanjenja. Meri metafiziki zainteresirana pitatelja, osimna studij H. Schefflera, moe izravno uputiti na refleksiju i samoosvjeta-vanje, promatranje dogaanja u vlastitu duhu, i dati mu osnovne smjerniceo tome to bi u takvu samopromatranju trebao primijetiti primjerice, da jesvaki akt duha samo jedna faza bivanja, kao i da je svaki takav akt samo

jedna posebnost (specimen) u sveuoblienosti (Organistik, 138139). Svakaod pet praideja, dakle i bivanje, i fluksija, prema Meriu su prvobitni, daljeneobjanjivi fenomeni koje nalazimo u duhu i njegovu spoznavanju. Meri

u osnovnim naznakama upuuje na neto to bismo mogli nazvati fenome-nologijom intencionalnih akata duha, a to treba stajati na poetku izgrad-nje njegove umske algoritmike. Implicitno, Meri upuuje na to da bi

24 Usp. Zangari, Mark: Zeno, Zero and indeterminate forms: instants in the logic ofmotion,Australasian Journal of Philosophy72 (1994), str. 187204. Prema Zangariju, Ze-non u Strijeli tvrdi da svakomu trenutku, koji je veliine 0, odgovora i put veliine 0, te da je

prema tome i brzina u tome trenutku 0. No, pokazuje Zangari, kako je ustvari neodreeno,

brzina u trenutku moe biti bilo koji realan broj. Za razliku od Meria, Zangari razlikuje

brzinu u trenutku (speed at an instant), od kvocijenta shvaenoga uobiajeno pomoulimesa.

25 Usp. Papa-Grimaldi, Alba: Why mathematical solutions of Zenos paradoxes missthe point: Zenos One and Many relation and Parmenides prohibition, The Review of Metap-hysics50 (1996), str. 299314.

7/25/2019 08_Kovac

15/15


intenzionalnost gibanja, mnotva, beskonanosti i konanosti, naposljetkutrebalo izvesti iz intencionalnosti duha.

ACHILLES AND THE AMBIGUITIES IN THE CONCEPT OF THEINFINITE MERIS APPROACH

Summary

Meri sees the origin of Zenos paradox Achilles in the ambiguities of the con-cept of the infinity. According to him (and to the tradition started by Gregory St.Vincent), those ambiguities are resolved by the concept of convergent geometricseries. In this connection, Meri proposes a general ontological theory with thepriority of the finite over the infinite, and, proceeding from Newtons concept offluxion, he develops a modal interpretation of differential calculus.

Key Words: infinite, differential, fluxion, formation moment, geometrical series,intensionality, finite, Mate Meri, Zeno of Elea

08_kovac

Documents