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Facultad de Agronomía, UNCPBA. Introducción a la Matemática

88

UNIDAD Nº 3: FUNCIONES

“Una función no es ni una estadística de valores, ni una representación gráfica, ni un conjunto de cálculos,

ni una fórmula, sino todo ello al mismo tiempo” (COPREM)

A través de muchos siglos y de diferentes culturas, los matemáticos han buscado el mejor instrumento para expresar el cambio que se produce en las cosas al pasar el tiempo. Construyeron así el concepto de función. Las funciones son una herramienta útil para describir, analizar e interpretar situaciones provenientes tanto de la Matemática como de otras ciencias. Fenómenos estudiados por agrónomos, biólogos, economistas, etc., pueden expresarse mediante modelos funcionales. Las funciones sirven para modelizar y analizar estas situaciones y, en muchos casos, permiten predecir cómo será su evolución. En esta unidad trabajaremos, principalmente, con el concepto de función y la elaboración e interpretación de distintas formas de representación. Para finalizar nos centraremos en el estudio de dos tipos particulares de funciones (lineales y cuadráticas) y recordaremos como resolver sistemas de ecuaciones lineales. ¡Comencemos la última unidad! FUNCIONES En la unidad anterior vimos que el área de un rectángulo se calculaba como: hbA , el área

de un cuadrado como 2lA , el área de un círculo, 2rA , etc. Se observa que el área (A) depende de los valores que tomen la base y la altura, en el primer caso, el lado, en el segundo, y el radio, en el tercero. El área variará de acuerdo con como varíen también estos otros elementos. Podemos concluir que estos elementos son variables, siendo algunos de ellos dependientes de otros, y que entre ellos existe cierta relación. Sean dos variables numéricas relacionadas de forma que los valores de la variable dependiente, generalmente denotada “y”, dependan de los valores que tome la variable independiente, “x”, esta relación será una función si para cada valor que tome “x”, “y” toma un valor único. Por lo tanto, los ejemplos anteriores corresponden a funciones. Así, en el caso del área del rectángulo, esta es función de su base y de su altura, en el caso del cuadrado, el área es función del lado, y en el caso del círculo, es función del radio. Para representar las variables se emplean las letras finales del alfabeto, x, y, z, u, v, w, y para las constantes (que como su nombre lo indica, no varían) se emplean las primeras, a, b, c. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una relación, f, entre los elementos de un conjunto A y los elementos de un conjunto B, es una función de A en B si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

zyf)z;x(f)y;x()

f)y;x/(ByAx)

2 :Unicidad

1 :Existencia


89

En símbolos: xfy/BA:f . Que se lee: “función f definida de A en B, tal que y es igual a f de x” Las condiciones anteriores significan que:

1) todo elemento del conjunto A debe tener una imagen en el conjunto B 2) cada elemento de A puede tener una sola imagen en B

El conjunto A de todos los valores de la variable independiente para los que existe un valor de la variable dependiente se llama Dominio de la función (Dom f) El conjunto Imagen de una función (Im f) es el conjunto de todas las y que se generan al aplicar la función f a todos los elementos x del dominio. Las funciones son parte de nuestra vida. Veamos algunos ejemplos:

Lo que gana una persona que trabaja por hora depende del número de horas

trabajadas El sueldo es función de las horas.

A otra persona le pagan según lo que produce, o como comúnmente se dice,

“por cuenta propia” El sueldo es función de la producción.

En Física se estudia que a velocidad constante, el espacio recorrido depende

del tiempo empleado El espacio es función del tiempo.

La altura de los niños varía a medida que pasan los años. La altura es función de la edad.

Desde el punto de vista matemático en todas ellas se relacionan dos variables, una independiente y la otra que depende de ella, y para cada valor de la variable independiente existe un único valor de la variable dependiente. Por lo tanto, se cumple con la definición de función que enunciamos anteriormente. FORMAS DE REPRESENTACIÓN Una función se puede representar de diferentes formas: a través de un dibujo o un diagrama, de una expresión verbal, de una tabla de valores, de un gráfico, de una fórmula o ecuación, etc. Cada forma de representación tiene sus ventajas y sus inconvenientes, por lo que conviene conocer todas para seleccionar la más conveniente en cada caso. La representación gráfica de la función es el conjunto de todos los puntos del tipo xf;x . Para encontrar estos pares ordenados, correspondientes a los puntos de la gráfica, basta con darle valores a la variable independiente y encontrar sus respectivas imágenes y = f(x), es decir, el valor que le corresponde a la variable dependiente. Retomando el ejemplo del área de un cuadrado en función de su lado, intentemos representarlo de las distintas formas posibles:


90

Verbalmente Enuncia la relación entre las variables. “El área de un cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la medida de su lado.” Ecuación

Expresa la relación matemática entre las variables. 2lA o lo que es igual: 2xy utilizando la terminología clásica de llamar y a la variable dependiente, y x a la independiente. La ecuación puede estar dada en forma explícita o en forma implícita. Hablaremos de “forma explícita” de una función cuando la ecuación que define la relación (X;Y) se expresa como

)(xfy ; por ejemplo: 24 2 xy . En cambio, hablaremos de “forma implícita” cuando la relación (X; Y) esta definida por una ecuación donde la variable independiente “y” no está despejada en un miembro de la igualdad; por ejemplo: 12 yx . ¿Puedes expresar esta ecuación en forma explícita? Tabla de valores Se obtiene asignándole valores a la variable independiente, sustituyéndolos en la ecuación de la función, y obteniendo así los valores de la variable dependiente. Veremos más adelante que tenemos que ser cuidadosos al asignarle valores a la variable independiente. En nuestro ejemplo, el área de un cuadrado en función de su lado, podemos entender de modo intuitivo que el lado, es decir la variable independiente, puede tomar sólo valores positivos, ¿estás de acuerdo? Profundizaremos luego sobre este concepto, el Dominio de la función.

Lado (cm) x 0

2

1 1 2 2,5 3 ......

Area (cm2) 2xy 002

4

1

2

12

112 422 25652 2 ,, 932 .......

Gráfico Para representar gráficamente una función podemos utilizar un sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas) compuesto por dos rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en el punto O, llamado “origen del sistema”. La recta que se ubica en posición horizontal recibe el nombre de “eje de las abscisas”, y la que se ubica en posición vertical es el “eje de las ordenadas”. Empleando una unidad de longitud adecuada se pueden subdividir los ejes, a partir del origen O, tomando como semiejes positivos los ubicados hacia la derecha de O y hacia arriba de O, según se trate del eje de las abscisas o del de las ordenadas. El plano que contiene a los ejes coordenados se denomina plano cartesiano, y en él es posible ubicar todos los puntos del plano. Cada punto se identifica por sus coordenadas, las que están dadas por pares ordenados de la forma (a;b) donde a es la abscisa del punto y b es su ordenada. (existe una correspondencia de uno a uno entre los puntos del plano y todos los pares ordenados de números reales ) En matemática, al graficar funciones en un sistema de coordenadas cartesianas, la variable independiente se sitúa sobre el eje de abscisas y la dependiente sobre el eje de ordenadas, por lo que también reciben la denominación de eje x y eje y, respectivamente.


91

Los valores de las variables se determinan sobre los ejes según una escala conveniente, decidida de antemano. En los ejes pueden utilizarse distintas escalas, o la misma, según conveniencia. En los ejes debe indicarse el nombre de la variable que se representa, y la unidad utilizada. Para realizar el gráfico de una función, cada par ordenado y,x de la tabla de valores representa las coordenadas de un punto del plano. El conjunto de todos los puntos así obtenidos es la representación gráfica de la función.

A veces no es sencillo seleccionar la escala adecuada. Para indicar que se saltea parte de la escala con el propósito de salvar espacio, se traza sobre el eje una doble raya, denominada interruptor. Valor de la función en un punto Dada una función y = f(x), se puede calcular el valor de la misma dado un valor de x=a. Entonces f(x=a) = f(a) es el valor de la función en el punto “a”. Ejemplos: Dado f(x) = 2x + 3 El valor numérico de f(x) 9 cuando x = 3 porque f(x = 3) = f(3) = 2x3 + 3 = 9 El valor numérico de f(x) 1 cuando x = –1 porque f(x = –1) = f(–1) = 2x(–1)+ 3=1 Puede observarse que la definición de función asegura que cualquier recta vertical corta al gráfico a lo sumo en un punto. La representación gráfica permite hacerse una idea muy clara de cómo es la función con sólo un golpe de vista.

)cm(A 2

)cm(l

2lA Eje de ordenadas

Eje de abscisas

y 1000 _ 950 _ 900 _ 850 _

0 200 400 600 x


92

Si se traza una recta perpendicular al eje x, en el gráfico de una función, esta recta debe cortar siempre a la curva (condición de existencia), y en un solo punto (condición de unicidad). DETERMINACIÓN Y EXPRESIÓN DEL DOMINIO Como se ha visto, el dominio de un función es el conjunto A, formado por todos los valores de la variable independiente para los que existe un valor de la variable dependiente. Por tratarse de un conjunto puede expresarse por comprensión, por extensión o usando intervalos, según el caso. Como trabajaremos generalmente con variables numéricas, el dominio será un conjunto numérico. Dominio continuo o discreto El dominio de una función es continuo si es un intervalo o una unión de intervalos de números reales; en particular, si es todo el conjunto R. Por ejemplo, el dominio de 2xy es el conjunto de los números reales y puede expresarse:

;Rx/xyDom

Diremos que el dominio de una función es discreto si es el conjunto de los números enteros o cualquier subconjunto de este. Por ejemplo, la función G, que a cada año (desde 2000 hasta 2004) le hace corresponder la ganancia anual de cierta empresa, tiene dominio discreto, ya que:

20042003200220012000 ,,,,GDom que es un subconjunto finito de los números naturales.

La gráfica de una función siempre puede representarse de izquierda a derecha.

La gráfica de una función nunca vuelve hacia atrás, pues eso significaría que para un valor de la variable independiente habría varios valores de la variable dependiente. No cumple con la condición de unicidad.

00 01 02 03 04 Tiempo (años)

Ganancia (miles de $)

100

200

300

400

500

y3 y2 y1 x

ES FUNCIÓN

NO ES FUNCIÓN

x

y y


93

- El dominio de definición de una función puede estar determinado por diversas causas:

El contexto del problema. Para la función 2lA , la variable independiente l no puede tomar valores negativos ya que no tiene sentido que la medida del lado de un cuadrado sea – 2 cm. Si en otra función la variable independiente fuese la edad de la persona, es claro que no podría ser menor que 0 ni mayor que 120, por ejemplo.

Las limitaciones analíticas de la fórmula, considerando imposibilidades matemáticas.

Para determinar el dominio de una función es útil tener en cuenta las siguientes limitaciones, aunque no son las únicas:

0 Si 2

0 Si 1

)x(P/xfDom)x(P)x(fy)

)x(Q/xfDom)x(Q

)x(P)x(fy)

Por ejemplo:

1) 4

132

2

x

x)x(fy tiene en su dominio aquellos valores para los cuales no se anula el

polinomio denominador, es decir:

2

4

4

042

2

x

x

x

x

,,,

,R

xxRx/x)f(Dom

2222

22

22

2) 8 xy tiene en su dominio aquellos valores que hacen que el radicando no sea negativo, es decir:

,xRx/x)f(Dom 88 INTERSECCIONES CON LOS EJES CARTESIANOS Se llaman ceros o raíces de una función f a los valores de x para los cuales se cumple que 0xf . Los ceros de una función son las abscisas de los puntos en los cuales su gráfica

tiene contacto con el eje de las x. Se llama ordenada al origen de una función f al valor b tal que bf 0 . En la gráfica, la ordenada al origen es la ordenada del punto de intersección de la función con el eje de ordenadas, por lo tanto, es un valor que toma la variable dependiente, y.

Ejemplo: Consideremos la siguiente función, y su gráfica: xx

y 43

3


94

- Gráficamente: Observando la gráfica podemos decir que la ordenada al origen de esta

función es y = 0, y que sus ceros, son x = 0, x = - 3,5 y x = 3,5 , aproximadamente.

- Analíticamente:

Ceros: 0xf 043

3

xx

Queda planteada una ecuación, y despejando x, se obtiene:

04

3

2xx 12120 321 x,x,x

Ordenada al origen: bf 0 0043

03

bb 0y

¿Qué método consideras mas preciso?

Recuerda: siempre deben coincidir el análisis gráfico y el analítico. MÁXIMOS Y MÍNIMOS Una función f alcanza un máximo local o relativo en x1 si f(x1) es mayor que todos los valores que toma la función en los puntos “próximos” a x1 , es decir, si xfxf 1 para

valores de x “cercanos” a x1. El punto máximo tendrá coordenadas )x(f;xM 11 En cambio, una función f alcanza un mínimo local o relativo en x2 si f(x2) es menor que todos los valores que toma la función en los puntos “próximos” a x2 , es decir, si xfxf 2 para

valores de x “cercanos” a x2. El punto mínimo tendrá coordenadas )x(f;xm 22 . Veámoslo gráficamente:

x

y

x1 x2

y2

y1

M

m


95

Ejemplo: Continuemos con la función del ejemplo anterior: - Gráficamente: Se observa un máximo relativo en el punto de abscisa x = - 2, pero su

ordenada no puede determinarse con exactitud, debido quizás a la escala utilizada, aunque podría estimarse como y = 5,3. Lo mismo ocurre con el mínimo relativo, que aproximadamente es el punto (2; - 5,3).

- Analíticamente: Verifiquemos que xfxf 1 para valores de x “cercanos” a x1 = - 2.

Como valores cercanos podemos tomar, por ejemplo, x2 = - 2,1 y x3 = - 1,9.

353

1624

3

2 3

1

,xf

31351243

12 3

2 ,,,

xf

21 xfxf y también 31 xfxf

631359143

91 3

3

,,

,xf

El punto máximo tiene coordenadas 352,;M

Análogamente encontramos que el punto mínimo tiene coordenadas: 352,;m

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Una función RA:f (A es un intervalo de R) se dice que es creciente si al aumentar los valores de la variable x también aumentan los valores de f(x). En símbolos:

212121 xfxfxxSi).f(Domx,x f(x) es CRECIENTE Una función RA:f (A es un intervalo de R) se dice que es decreciente si al aumentar los valores de la variable x , disminuyen los valores de f(x). En símbolos:

212121 xfxfxxSi).f(Domx,x f(x) es DECRECIENTE

y f(x2) f(x1)

x1 x2 x

y=f(x)


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Si una función no es ni creciente ni decreciente, es constante, y al aumentar los valores de la variable x, los valores de f(x) ni aumentan ni disminuyen, se mantienen constantes, toman un único valor. En símbolos:

212121 xfxfxxSi).f(Domx,x f(x) es CONSTANTE Ejemplo: Continuemos con la misma función de los ejemplos anteriores: - Gráficamente: Podemos ver que la gráfica de una función es creciente a la izquierda de un

máximo y decreciente a su derecha, y decreciente a la izquierda de un mínimo, y creciente a su derecha. En este gráfico la función es creciente en ;; 22 , y decreciente

en 22; . En ningún intervalo de su dominio es constante. - Analíticamente: Debemos verificar que en los intervalos encontrados observando el

gráfico se cumpla que: En los intervalos de crecimiento, si 2121 xfxfxx .

En los de decrecimiento, si 2121 xfxfxx .

Consideremos el intervalo de decrecimiento, 22; . Tomemos, arbitrariamente, x1 = -1,

y x2 = 1. Encontremos sus respectivas ordenadas: 3

111 xf y

3

112 xf . Y como

– 1 < 1, y 3

11

3

11 se verifica que 2121 xfxfxx , por lo tanto podemos

afirmar que en dicho intervalo la función es decreciente. Análogamente se verifica el crecimiento.

y f(x1) f(x2)

x1 x2 x

y =f(x)

y F(x1)=f(x2)=k

x1 x2 x

y = f(x) = k


97

FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS Si la gráfica de una función puede ser realizada con un solo trazo, “sin levantar el lápiz”, diremos que dicha función es continua. Su gráfica no presenta interrupciones ni saltos. Si en cambio la gráfica presenta “saltos”, diremos que es discontinua. Veamos un ejemplo: El siguiente gráfico muestra el costo de una llamada telefónica, en función de su duración.

Este tipo de funciones suelen denominarse escalonadas, debido a los saltos finitos en sus gráficas. Por supuesto, esta función es discontinua. Pero también existen discontinuidades infinitas. Veamos algunos ejemplos:

Ambas gráficas son discontinuas en x = 0. El gráfico de la izquierda presenta lo que denominaremos un salto infinito, mientras que el de la derecha, posee un punto al infinito. En ambos casos el eje y, de ecuación x = 0, es una asíntota vertical, una recta a la cual la gráfica se acerca, pero nunca la corta. ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE SU GRÁFICA Con todo lo visto hasta el momento, uno puede analizar, estudiar, interpretar una función conociendo su representación gráfica. Veamos un ejemplo. - En el siguiente gráfico representamos las temperaturas de una ciudad a medida que transcurre el tiempo.

0 1 2 3 4

1 0,75 0,50 0,25

Duración (minutos)

Costo ($)


98

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo (h)

Tem

pe

ratu

ra (

ºC)

Observamos que:

En el eje de las abscisas representamos el tiempo, variable independiente, y lo

medimos en horas. En el eje de las ordenadas representamos la temperatura, variable dependiente, y la

medimos en grados centígrados. El tiempo varía entre 0 h y 9 h, por lo que el dominio de la función sería [0; 9]. La temperatura varía entre 10 ºC y 16 ºC, entonces la imagen de la función sería [10;

16]. La relación que liga la temperatura con el tiempo es una función, ya que cumple con

su definición (¿la recuerdas?). Alcanza la máxima temperatura, 16ºC, a las 4 hs, por lo tanto la función posee un

Máximo Relativo en (4; 16). Alcanza la mínima temperatura, 10ºC, a las 7 hs, entonces hay un Mínimo Relativo en

(7; 10). Hasta la primera hora la temperatura no varía, por lo tanto en el intervalo (0; 1) la

función es Constante, igual a 12 ºC. La temperatura aumenta en los intervalos (1; 4) y (7; 9), por lo tanto allí la función es

Creciente. La temperatura desciende en el intervalo (4; 7), y allí la función es Decreciente.

Sintetizando la información podemos decir que: 9090 ;xRx/x)f(Dom

16101610 ;yRy/y)fIm(

RELATIVOMÍNIMO;m

RELATIVOMÁXIMO;M

107

164

EDECRECIENTFUNCIÓN;

CRECIENTEFUNCIÓN;;

74

9741

CONSTANTEFUNCIÓN; 10

Recuerda que los Máximos y Mínimos son Puntos, mientras que el Crecimiento y Decrecimiento se analiza en Intervalos del Dominio.


99

TRASLACIÓN DE GRÁFICAS

Traslación Vertical Traslación Horizontal La gráfica de kxfy se obtiene desplazando la gráfica de f(x), k unidades hacia arriba si k es positivo o hacia abajo si k es negativo.

La gráfica de kxfy se obtiene desplazando la gráfica de f(x), k unidades hacia la derecha si k es negativo o hacia la izquierda si k es positivo.

Ejemplo: Consideremos la gráfica de la función y = x3, y apliquémosle traslaciones:

Traslación Vertical Traslación Horizontal Gráfico Ecuación Gráfico Ecuación

23 xy

32 xy

3xy

y = f(x) + k

y = f(x)

y = f(x) - k y = f(x) y = f(x - k) y = f(x + k)


100

DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES Hasta aquí hemos trabajado con el concepto de función, a través de tablas, gráficos y fórmulas; observando los gráficos de las funciones vemos que éstos presentan distintas formas. Las funciones se pueden clasificar según la forma de sus gráficos y las operaciones que aparezcan en sus ecuaciones y a las cuales estén sometidas las variables. Se obtienen así distintas familias de funciones. Funciones

Funciones Algebraicas

Racionales

Enteras o Polinómicas

ejemplos

Lineal, cuadrática, cúbica, etc.

Fraccionarias Irracionales

Funciones Trascendentes

Exponencial Logarítmica

Trigonométricas ejemplos

Seno, coseno, tangente, etc.

A continuación sintetizaremos en un cuadro la información sobre estas funciones. Encontrarás sus ecuaciones, algunos ejemplos, y sus gráficas. No profundizaremos en los distintos tipos de funciones, pero es importante que empieces a conocerlas. Hemos repasado de manera bastante exhaustiva el concepto de función. En el trabajo práctico trabajarás con funciones, utilizando todas sus formas de representación, analizándolas lo más completamente posible, y resolviendo situaciones problemáticas. Recuerda: las funciones son una muy útil herramienta en nuestra vida.


101

Funciones Algebraicas Racionales Irracionales

Enteras o Polinómicas Fraccionarias

012

21

1 axaxa....xaxa)x(f nn

nn

)x(Q

)x(P)x(f n x)x(f Lineal Cuadrática Cúbica

bxm)x(f cxbxa)x(f 2 dxcxbxa)x(f 23

12 xy 2xy 3xy 1

2

x

xy xy

Funciones Trascendentes Exponencial Logarítmica Trigonométricas

xak)x(f xlog)x(f a Seno Coseno Tangente xy 2 xlogy 3 senxy xcosy tgxy


102

FUNCIÓN LINEAL - ECUACIÓN DE LA RECTA La función lineal es la más simple de las funciones, y de suma utilidad ya que su representación gráfica es una recta. La función lineal una función polinómica de primer grado, con un término lineal (de grado 1) y un término independiente (de grado cero, independiente de "x").

y = f(x) = m x + b La función lineal (que se identificará indistintamente como “y” o como “f(x)”) posee dos variables (“x” e “y”) como ya vimos al estudiar el concepto de función, y dos parámetros: “m”, que es el coeficiente del término lineal, y que se denomina “pendiente de la recta”; “b”, que es el valor numérico del término independiente y se llama “ordenada al origen”. ¿Qué significan estos parámetros? Ordenada al origen La ordenada al origen indica el valor en donde la recta corta al eje “y”. Es el valor de “y”

cuando “x” es cero (esto se puede constatar en la ecuación respectiva). 0fb Dos rectas con la misma ordenada al origen, cortan al eje de las “y” en el mismo valor. Ejemplo: y = 4x+2 con y = -2x+2 Si una recta posee una ecuación donde no aparece el término independiente (y = mx) entonces la ordenada al origen es cero y la recta corta al eje “y” en el centro del sistema de coordenadas (b = 0) Pendiente La pendiente de una recta es la inclinación que posee la misma con respecto al eje “x”. Se calcula como el cociente entre la variación de “y” por cada unidad que se desplaza en “x”. La pendiente explica cuánto crece (o decrece) la función, y al multiplicar esa pendiente por los distintos valores de “x” (mx), y sumar ese producto a la ordenada al origen (b), se va construyendo la función (mx+b). Según la definición anterior, la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma esa recta con el semieje positivo de las “x”.

x

ym

mx

ytg

y

x

x

y


103

Una pendiente positiva (y = 3x+4) significa que la función es creciente desde – hacia +. Una pendiente negativa (y = –5x+2) significa que la función es decreciente desde – hacia +. Cuanto mayor sea el módulo de la pendiente, mayor será la inclinación de la recta; la recta será “más vertical” porque y/x es mayor (será mayor el y por cada x). y = 5x+4 tiene mayor inclinación que y = 2x+4 y = –3x+1 tiene mayor inclinación que y = –2x+1 Cuanto menor sea el módulo de la pendiente, menor será la de la recta; la recta será “más horizontal” porque y/x es menor (será menor el y por cada x). Si la pendiente es uno, la recta forma un ángulo de 45 con el eje x (y / x = 1 porque y = x). La recta con pendiente cero no posee inclinación (y/x = 0 solamente si y=0 para todo x), por lo que es totalmente horizontal y representa una constante (Ejemplo: y = 3). Si dos o más rectas poseen la misma pendiente, entonces son paralelas. 21 mm y = 3x +4 es paralela a y = 3x+5.

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes mantienen una relación de 2

1

1

mm

donde m1 y m2 son las pendientes de las rectas perpendiculares entre sí. Note que las pendientes de dos rectas perpendiculares poseen signos distintos (una es creciente y la otra decreciente). y = 3x +4 es perpendicular a y = –1/3 x+2. La recta x=a (ejemplo: x=3) es una recta vertical. NO ES UNA FUNCION LINEAL, ya que el mismo valor de "x" (x=3) se transforma en distintos valores de "y", desde – hasta + (ver la definición de qué es una función). Gráfico de una función lineal Utilizando el significado geométrico de la pendiente y de la ordenada al origen, puede graficarse una función lineal sin la realización de una tabla de valores (x,y) –aunque, recordemos, siempre es válida esta herramienta también-. a. Un punto de la gráfica está determinado por la ordenada al origen (sobre el eje “y”). b. A partir de ese punto (0;b), la pendiente indica cuánto se debe variar en el eje “y” por cada unidad de “x”.

Si la pendiente es negativa, entonces la variación en “y” será hacia abajo (decreciente). Si la pendiente es un número fraccionario, puede utilizarse el numerador como variación en “y”, y el denominador como variación en el eje “x”.

Deteminados dos puntos en un plano, se puede trazar la recta, ya que por dos puntos sólo pasa una única recta. Ejemplos: En y = 3x + 2 a partir del punto (0;2) aumento 3 en “y” para desplazarme 1 en “x” hasta el punto (1;5). En y = 3x–5 a partir del punto (0;–5) aumento 3 en “y” para desplazarme 1 en “x” hasta el punto (1;–2).


104

En y = –3x + 2 a partir del punto (0;2) disminuyo 3 en “y” para desplazarme 1 en “x” hasta el punto (1;–1). En el caso anterior y = –3x + 2 , también se puede hacer que a partir del punto (0;2) aumento 3 en “y” y retrocedo 1 en “x” hasta el punto (–1;5). En y = ¾ x + 2 a partir del punto (0;2) aumento 3 en “y” para desplazarme 4 en “x” hasta el punto (4;5). En y = –¾ x + 2 a partir del punto (0;2) disminuyo 3 en “y” para desplazarme 4 en “x” hasta el punto (4;–3). O lo que es lo mismo: aumento 3 en “y” para desplazarme –4 en “x” hasta el punto (–4;5). Forma explícita y forma implícita Tal como lo venimos expresando hasta el momento, se denomina “forma explícita" de una función cuando la ecuación que define la relación (X;Y) se expresa como y=f(x). Se denomina "forma implícita" cuando la relación (X;Y) esta definida por una ecuación donde la variable independiente “y” no está despejada en un miembro de la igualdad, como ser: x+y=1 Toda función lineal puede llevarse de la forma implícita a la forma explícita, y a la inversa. Ecuación de la recta dados un punto y la pendiente Si tenemos un punto P1 = (x1 ; y1 ) que pertenece a una recta con pendiente m, entonces se puede obtener la ecuación de esa recta, dado que: Ecuación explícita de cualquier recta: f(x) = mx +b Para este caso particular, f(x) = y1 ; y x = x1 ; entonces y1 = m x1 + b Despejando b = y1 – m x1 La ecuación de esa recta es f(x) = m x + (y1 – m x1 ) Ejemplo: Una recta con pendiente m=2 pasa por el punto P=(1;–3) Entonces –3 = 2 x 1 + b b = –3 – 2 x 1 = –5 La ecuación de la recta es: f(x) = 2 x – 5 Ecuación de la recta dados dos puntos Si tenemos dos puntos P1 = (x1 ; y1 ) y P2 = (x2 ; y2 ) que pertenecen a una recta, entonces se puede obtener la ecuación de esa recta, dado que: La pendiente de la recta, según fue definida, es

21

21

xx

yy

x

ym


105

Para este caso particular, para el punto P1 f(x) = y1 ; y x = x1 ; y para el punto P2 f(x) = y2 ; y x = x2

Entonces, hallada la pendiente y con uno de los dos puntos P1 y P2 , se puede utilizar la técnica desarrollada en el ítem anterior, resultando:

b = y1 – m x1 o bien b = y2 – m x2

f(x) = m x + (y1 – m x1 ) o bien f(x) = m x + (y2 – m x2 ) Ejemplo: Una recta pasa por los puntos P1 = (1;–3) y P2 = (–2;1) Entonces

b = –3 – (–4/3) x 1 = –5/3 o bien b = 1 – (–4/3) x (–2) = –5/3 La ecuación de la recta es: f(x) = –4/3 x – 5/3

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

cbxaxxf 2

donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero (parámetros).

El parámetro a se denomina coeficiente principal, b es el coeficiente del término lineal, y c es el término independiente.

El Dominio de estas funciones es R, y su representación gráfica es una curva llamada parábola.

En una parábola podemos identificar los ceros o raíces reales, que son las abscisas de los puntos de contacto entre su gráfica y el eje de las x; un eje de simetría vertical y, sobre él, un punto llamado vértice de la parábola, de coordenadas (xv ; yv), en el que la curva pasa de ser creciente a decreciente o viceversa, y es un máximo o un mínimo de la función. El sentido en que se orienta la parábola está dado por el signo del coeficiente principal o cuadrático. Así, si a>0 la parábola es “abierta hacia arriba” o cóncava, y su imagen será ;yv ; en cambio si

a<0, la parábola es “abierta hacia abajo” o convexa, y en este caso su imagen será vy; .

3

4

)2(1

13

m


106

Distintas formas de expresar la ecuación de la función cuadrática

- Forma polinómica

Se llama así porque la función está expresada por un polinomio:

- Forma factorizada

Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada:

se puede factorizar como:

siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común. x1 y x2 representan las raíces de f(x). En el caso de que el Discriminante Δ sea igual a 0 entonces x1 = x2 por lo que podríamos escribir:

En este caso a x1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

- Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

vv yxxaxf 2

Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (xv ; yv) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión, partiendo de la forma polinómica, se puede utilizar el método de “completar cuadrados” que se describe a continuación.


107

La parábola es simétrica respecto de una recta vertical, llamada eje de simetría, sobre la cual se encuentra su vértice. Entonces, la abscisa del vértice indica el valor por el que pasa el eje

de simetría de la curva, siendo su ecuación, por lo tanto: vxx

En el caso particular de que la función posea raíces reales, la abscisa del vértice puede

hallarse de la siguiente manera: 2

21 xxxv

, y su ordenada…..como se halla la imagen de

cualquier valor particular del dominio: )x(fy vv

En el caso de que la función no posea raíces reales, la abscisa del vértice puede hallarse de la

siguiente manera: a

bxv 2

Análisis del Discriminante La utilidad del análisis del discriminante radica en el signo que posee. Así si: > 0 la parábola corta al eje x en los dos puntos x1, y x2 que son los ceros de la función. = 0 la parábola posee su vértice sobre el eje x (y tiene una única raíz, que se denomina doble). < 0 la parábola posee en algún punto del plano su vértice, pero no corta al eje x (no posee raíces reales). SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones de rectas. Para este práctico se considerarán conjuntos formados por dos ecuaciones. Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones. Si lo pensamos gráficamente, es claro que dos rectas pueden: cortarse, ser paralelas o coincidir. En el caso que las rectas se corten entonces el sistema recibe el nombre de SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO. Obviamente, al cortarse dos rectas existirán dos coordenadas, una coordenada x y una coordenada y en el espacio cartesiano. Si las rectas del sistema fueran paralelas entonces el sistema recibirá el nombre de SISTEMA INCOMPATIIBLE. Es de esperar que no haya coordenadas (x, y) que indiquen que algo pueda estar pasando!


108

Finalmente si las rectas del sistema fueran coincidentes el sistema se llamará SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO. Aquí existen infinitos puntos (x, y) donde ambas rectas están coincidiendo. A continuación se da un ejemplo de cada uno de los tipos de sistemas mencionados:

Sistema Compatible Determinado y

y = 2x +4 LAS RECTAS SE CORTAN EN (-1,2)

y = -3x –1

2 -1 x

Sistema Incompatible y y =2x + 1

y =2x +4 4 1 x LAS RECTAS SON PARALELAS

Sistema Compatible Indeterminado

y

x + 2 = y

2x + 4 = 2 y 2 x LAS RECTAS COINCIDEN


109

En el campo matemático existen formas de comprobar los resultados, puede hacerse analíticamente siguiendo algún método en particular o puede hacerse gráficamente. Importante: La solución obtenida gráficamente debe ser coherente con la solución obtenida analíticamente MÉTODOS ANALÍTICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES Los métodos se explicarán sobre ejemplos de sistemas compatibles determinados. Analiza qué tipo de resultado se obtendría en el caso de sistemas incompatibles y compatibles indeterminados. La metodología a aplicar siempre es la misma. 1) MÉTODO DE IGUALACIÓN

3

02

yx

yx

a) Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.

x = - 2y (1)

x = 3-y (2) b) Se igualan los segundos miembros eliminando una incógnita

-2y = 3-y c) Se agrupa en el primer miembro la incógnita restante y se resuelve

-2y + y = 3 -y = 3 => y = - 3 d) Se reemplaza el valor obtenido en una de las expresiones halladas en el primer paso, reemplazando y = -3 en (1) se obtiene x = (-2) (-3) => x = 6 Por lo tanto la Solución de este sistema es el par ordenado (6 ; - 3). 2) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

1

42

yx

yx


110

a) Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones y se sustituye esta expresión en la otra:

y = 4 + 2x

x + [ 4+ 2x ] = 1 b) Se resuelve la ecuación resultante:

3x = -3 => x = -1 c) Se sustituye la expresión obtenida en el primer paso la incógnita resuelta:

y = 4 + 2x

y = 4+2(-1) => y = 2 S = (-1 ; 2). 3) METODO DE IGUALACION DE COEFICIENTES O REDUCCION

)2(846

)1(732

yx

yx

a) Multiplicar las ecuaciones por números convenientes de tal forma que una variable tenga

coeficientes numéricos iguales en valor absoluto. En nuestro ejemplo se multiplicaría la ecuación (1) por 4 y luego la ecuación (2) por 3:

8x + 12y = 28 18x - 12y = 24

b) Se suman o restan las ecuaciones (en el ejemplo se suman a fin de eliminar la variable y)

26x=52 => x = 2 c) Igual proceso se seguirá para encontrar y, eliminando x:

6x + 9y = 21 6x - 4y = 8 d) Se restan las ecuaciones para eliminar la variable x:

13 y = 13 => y = 1 S = (2 ; 1).


111

METODO GRAFICO PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Simplemente se trata de graficar en un mismo sistema cartesiano el par de ecuaciones que conforman el sistema. Observemos que la solución gráfica coincide con la analítica…y así debe ser!!!

3

02

yx

yx

1

42

yx

yx

846

732

yx

yx

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