05-004-201คณิตศาสตร์วิศวกรรม1(engineering mathematics i)...
TRANSCRIPT
ปรพินัธข์องฟงัก์ชนั(Integration)
การอินทิเกรต(ปฏิยานุพนัธ)์ เป็นการดำาเนินการท่ีตรงขา้มกับการหาอนุพนัธ ์กล่าวคือ จะกำาหนด แล้วใหห้า
รูปทัว่ไป ของปฏิยานุพนัธ ์เรยีกวา่ อินทิกรลัไมจ่ำากัดเขต ของ ซึ่งเขยีนแทนด้วยสญัลักษณ์
อ่านวา่ อินทิกรลัไมจ่ำากัดเขตของ เทียบกับ x หรอื อินทิกรลัของ
ซึ่ง เมื่อ C เป็นค่าคงตัวใดๆ
ตัวอยา่งตารางเปรยีบเทียบผลจากการหาอนุพนัธแ์ละการหาปฎิยานุพนัธ์อนุพนัธ(์differential) อินทิกรลัไมจ่ำ�กัด
เขต(indefinite integral)
1
ก�รห�ปฏิย�นุพนัธ ์(ก�รอินทิกรลัไมจ่ำ�กัดเขต)โดยก�รใช้สตูร
1. 2. เมื่อ เป็นค่าคงตัว
3. เมื่อ
4. 5. 6. เมื่อ > 0
ฟงัก์ชนัตรโีกณมติิ7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
ฟงัก์ชนัไฮเพอรโ์บลิก15. 16. 17. 18. 19. 20.
ฟงัก์ชนัพชีคณิตในรูปเศษสว่น21. 22. 23. 24. 25.
2
26. 27.
28.
ตัวอย�่งก�รห�ปฏิย�นุพนัธ ์(ก�รอินทิกรลัไมจ่ำ�กัดเขต) โดยใชส้ตูร
Ex.1 ใหห้า วธิทีำา
= = = ตอบ
Ex.2 ใหห้า วธิทีำา
= =
=
= ตอบ
Ex.3 ใหห้า วธิทีำา
= =
3
= = = ตอบ
Ex.4 ใหห้า วธิทีำา
= = = = ตอบ
Ex.5 ใหห้า วธิทีำา
= = = =
ตอบแบบฝึก 1: จงหาอินทิกรลัไมจ่ำากัดเขต1. =
2. =
3. =
4. =
5. =
6. =
4
7. =
8. =
9. =
10. =
11. =
12. =
13. =
14. =
15. =
ก�รอินทิเกรตโดยก�รแทน(Integration by Substitution)
5
การอินทิเกรตโดยการแทน เป็นเทคนิคการอินทิเกรตของฟงัก์ชนัที่ยุง่ยาก ซบัซอ้นมากยิง่ขึ้นโดยใชว้ธิกีารแทน หรอืเปล่ียนตัวแปร เพื่อทำาใหฟ้งัก์ชนัอินทิเกรตอยูใ่นรูปอยา่งง่าย สามารถใชส้ตูรพื้นฐานได้Ex.1 จงหา วธิทีำา ให ้
=
= =
= = ตอบ
Ex.2 จงหาวธิทีำา ให ้
=
= =
= = ตอบ
Ex.3 จงหา วธิทีำา ให ้
= = =
ตอบEx.4 จงหา วธิทีำา ให ้
= = =
ตอบ
6
แบบฝึก 2: จงหาอินทิกรลัไมจ่ำากัดเขตโดยการแทน1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
7
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
8
18.
19.
20.
ก�รอินทิเกรตโดยก�รแยกสว่น (Integration by Parts)จากสตูรการดิฟผลคณู
ดังนัน้ถ้าเรา ………………….1
ให ้ และ สมการท่ี1 เขยีนใหม ่
Ex.1 จงหา วธิทีำา ให้ ,
, =
== ตอบ
Ex.2 จงหา วธิทีำา ให้ ,
,
9
=== …………….a
ต้องหาให้ ,
, === ………………b
แทนค่า ที่ได้จากสมการ b ในสมการ a == ตอบ
แบบฝึก 3: จงหาอินทิกรลัไมจ่ำากัดเขต1. =
2. =
3. =
10
4. =
5. =
11
ก�รอินทิเกรตโดยก�รแทนค่�ด้วยตรโีกณ (Integration by Trigonometric Substitution)
ใชเ้มื่อลักษณะตัวถกูอินทิเกรตอยูใ่นรูปท่ีมพีจน์ , , ประกอบอยู ่โดยจะอยูท่ี่เศษหรอืสว่นก็ได้ เชน่ , เป็นต้น
การใชเ้ทคนิคการอินทิเกรตโดยวธิน้ีี จะเป็นการเปล่ียนตัวแปรเดิมใหเ้ป็นตัวแปรใหมท่ี่อยูใ่นรูปของฟงัก์ชนัตรโีกณมติิ ซึ่งเมื่อเปล่ียนแล้วจะทำาให้เครื่องหมายกรณฑ์(รากท่ี 2)หายไปและสามารถหาค่าอินทิกรลัได้ โดยวธิกีารอินทิเกรตแบบต่างๆ ขัน้ตอนในการทำามดีังน้ี
1. หานิพนธท่ี์อยูใ่นรูป , หรอื ในตัวถกูอินทิเกรตซึ่งบางขอ้อาจจะเหน็ชดั บางขอ้ต้องนำามาจดัก่อน
2. ใหส้มมุติ ดังน้ีถ้านิพนธอ์ยูใ่นรูป ให้สมมุติ หรอื
จะใชเ้อกลักษณ์ ถ้านิพนธอ์ยูใ่นรูป ให้สมมุติ หรอื
จะใชเ้อกลักษณ์ ถ้านิพนธอ์ยูใ่นรูป ให้สมมุติ หรอื
จะใชเ้อกลักษณ์ 3. เปล่ียนโจทยใ์หอ้ยูใ่นรูปตัวแปรใหมคื่อ โดยการแทนค่า และสามารถ
หาค่าอินทิกรลัน้ีได้4. ผลลัพธท์ี่ได้ในขอ้ 3 จะอยูใ่นรูปตัวแปรใหมคื่อ ใหเ้ปล่ียนกลับมาเป็น
ตัวแปรเดิมที่โจทยใ์หม้า โดยต้องสรา้งสามเหล่ียมมุมฉาก แล้วหาด้านทัง้สามของสามเหล่ียมมุมฉากจากสิง่ที่สมมุติไวใ้นขอ้ 2 และจากทฤษฎีบทของ Pythagoras เพื่ออ่านค่า
12
ฟงัก์ชนัตรโีกณมติิที่ต้องการจากรูป แล้วแทนค่ากลับก็จะได้ผลลัพธท่ี์อยูใ่นรูปตัวแปรเดิมที่โจทยใ์หม้าEx.1 จงหาค่า วธิทีำา จะเหน็วา่ อยูใ่นรูป โดยม ี
ดังนัน้จงึสมมุติ ,
จะได้ = = = =
แทนในโจทย์ = = =
= = =
จาก
จะได้ =
= ตอบ
Ex.2 จงหาค่า วธิทีำา จะเหน็วา่ อยูใ่นรูป โดยม ี
ดังนัน้จงึสมมุติให ้
, จะได้
= = = = =
13
แทนในโจทย์ = =
= = = = =
จาก
จะได้ = = ตอบ
แบบฝึก 4: จงหาค่าอินทิกรลัต่อไปน้ี1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
ก�รอินทิเกรตโดยก�รแยกเป็นเศษสว่นยอ่ย (Integration by Partial Fractions)
14
มหีลักการทำาทัว่ๆไป คือ นำาเอาตัวถกูอินทิเกรตที่อยูใ่นรูปฟงัก์ชนัตรรกยะแท้ (ดีกรขีองตัวเศษน้อยกวา่ตัวสว่น) มาแยกเป็นผลบวกของเศษสว่นยอ่ยแล้วแยกอินทิเกรตทีละพจน์โดยใชส้ตูรอินทิเกรตต่างๆเชน่ วธิกีารทำาก็คือเอาตัวถกูอินทิเกรตไปแยกเป็นเศษสว่นยอ่ยได้ดังน้ี
= =
=
= วธิกี�รเขยีนผลบวกของเศษสว่นยอ่ย แยกได้เป็น 4 กรณี ดังน้ีกรณีท่ี1 ถ้าตัวประกอบของตัวสว่นเป็นตัวประกอบเชงิเสน้ที่ต่างกัน สมมุติเป็น เราจะเขยีนเป็นรูปผลบวกของเศษสว่นยอ่ย เศษสว่นได้ดังน้ี
เมื่อ เป็นค่าคงที่ท่ีต้องหาค่า
เชน่กรณีท่ี2 ถ้าตัวประกอบของตัวสว่นเป็นตัวประกอบเชงิเสน้ที่ซำ้ากัน สมมุติเป็น
ตัวประกอบ เราจะเขยีนเป็นรูปผลบวกของเศษสว่นยอ่ย เศษสว่น
ได้ดังน้ี
เมื่อ เป็นค่าคงที่ท่ีต้องหาค่า
เชน่
กรณีท่ี3 ถ้าตัวประกอบของตัวสว่นเป็นตัวประกอบกำาลัง 2 ท่ีต่างกัน สมมุติเป็น
15
เราจะเขยีนเป็นรูปผลบวกของเศษสว่นยอ่ย เศษสว่นได้ดังน้ี
เมื่อ เป็นค่าคงที่ท่ีต้องหา
ค่า
เชน่
กรณีท่ี4 ถ้าตัวประกอบของตัวสว่นเป็นตัวประกอบกำาลัง 2 ท่ีซำ้ากัน สมมุติเป็นตัวประกอบ เราจะเขยีนเป็นรูปผลบวกของ
เศษสว่นยอ่ย เศษสว่นได้ดังน้ี
เมื่อ เป็นค่าคงที่ท่ีต้องหาค่า
เชน่
ในโจทยบ์างขอ้อาจจะมตัีวประกอบของหลายกรณีปนกัน ก็ใหท้ำาไปตามหลักการของแต่ละกรณี
เชน่
Ex.1 จงหาค่า วธิทีำา ต้องแยกตัวประกอบของตัวสว่นก่อน ดังน้ี
เขยีนตัวสว่นในรูปเศษสว่นยอ่ยต้องหาค่า ทำาได้ 2 วธิี
วธิท่ีี 1 = = =
= = =
16
= = =
จะได้
วธิท่ีี 2 เทียบสมัประสทิธิ ์ ดังน้ี
จะได้ ......................................(1)………………………..(2)
แทนค่า ใน (1),(2) ได้ แทนค่า และ ใน (1) ได้
จะได้
ดังนัน้ =
= ตอบ
Ex.2 จงหาค่า วธิทีำา เน่ืองจากตัวเศษมดีีกรมีากกวา่ตัวสว่น ต้องเอา ไปหาร
= = =
17
เขยีนตัวสว่นในรูปเศษสว่นยอ่ย ต้องหาค่า
= = =
= = = เทียบสมัประสทิธิ ์ ดังน้ี แทนค่า ได้ จะได้ , , = =
ดังนัน้ = =
ตอบแบบฝึก 5 : จงหาค่าอินทิกรลัต่อไปน้ี1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
18
8.
19