04 phys i stiliaris - eclass.uoa.gr · ΔΙΑΝΥΣΜΑΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ v dt duˆ dt dv...
TRANSCRIPT
ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗΜέση και Στιγμιαία Ταχύτητα ‐ ΕπιτάχυνσηΔιαφορικές & Ολοκληρωτικές Εξισώσεις ΚίνησηςΣταθερή ΕπιτάχυνσηΚατακόρυφη Ρίψη
ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ ΣΕΣΕ ΤΡΕΙΣΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣΔιάνυσμα Θέσης ‐ ΜετατόπισηΔιανυσματικός Ορισμός Ταχύτητας – ΕπιτάχυνσηςΚαμπυλόγραμμη ΚίνησηΕφαπτομενική και Κάθετη Συνιστώσα της Επιτάχυνσης
ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟΕΠΙΠΕΔΟΚυκλική ΚίνησηΚίνηση ΒλημάτωνΠαραμετρικές Εξισώσεις ‐ Εξισώσεις Τροχιάς
ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ
ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕυστάθιοςΕυστάθιος ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20166‐‐20120177
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 1
ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ
ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝΚΕΦΑΛΑΙΩΝ
ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕυστάθιοςΕυστάθιος ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20166‐‐20120177
ALONSOALONSOFINNFINN
GIANCOLIGIANCOLI HALLIDAYHALLIDAY‐‐RESNICK RESNICK WALKERWALKER
YOUNGYOUNGFREEDMANFREEDMAN
ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ
5.1, 5.2, 5.3, 5.1, 5.2, 5.3, 5.45.4
2.1, 2.2, 2.3, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.92.7, 2.8, 2.9
2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.92.6, 2.7, 2.8, 2.9
2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.62.5, 2.6
ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ ΣΕΣΕ ΤΡΕΙΣΤΡΕΙΣΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
5.5, 5.6, 5.8, 5.5, 5.6, 5.8, 5.115.11
3.5, 3.63.5, 3.6 4.1, 4.2, 4.3, 4.44.1, 4.2, 4.3, 4.4 3.1, 3.23.1, 3.2
ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ 5.9, 5.105.9, 5.10 5.2, 5.55.2, 5.5 4.74.7 3.43.4
ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ ΒΛΗΜΑΤΩΝΒΛΗΜΑΤΩΝ 5.75.7 3.7, 3.83.7, 3.8 4.5, 4.64.5, 4.6 3.33.3
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 2
ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ: : ΤΑΧΥΤΗΤΑΤΑΧΥΤΗΤΑ
ΜέσηΜέση ΤαχύτηταΤαχύτητα: : ΜετατόπισηΜετατόπιση ((ΔΔx) x) σεσε δοσμένοδοσμένο χρονικόχρονικό διάστημαδιάστημα ((ΔΔt)t)
tsvav Δ
Δ=
O x
A B
Δx
ΣτιγμιαίαΣτιγμιαία ΤαχύτηταΤαχύτητα: : To To όριοόριο τηςτης μέσηςμέσης ταχύτηταςταχύτητας vvavav γιαγια ΔΔt t 00
txlimvlimv
0tav0t ΔΔ
==→Δ→Δ dt
dxv =
∫∫∫∫ +=⇔=−⇔=t
t0
t
t0
t
t
x
x 0000
dtvxxdtvxxdtvdx
Υπολογισμός της μετατόπισης από την συναρτησιακή εξάρτηση της ταχύτητας από το χρόνο
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 3
ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ: : ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ
ΜέσηΜέση ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση: : ΜέσηΜέση αλλαγήαλλαγή τηςτης ταχύτηταςταχύτητας ((ΔΔv) v) σεσε δοσμένοδοσμένο χρονικόχρονικό διάστημαδιάστημα ((ΔΔt)t)
tvaav Δ
Δ=
ΣτιγμιαίαΣτιγμιαία ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση: : To To όριοόριο τηςτης μέσηςμέσης επιτάχυνσηςεπιτάχυνσης aaavav γιαγια ΔΔt t 00
tvlimalima
0tav0t ΔΔ
==→Δ→Δ dt
dva =
∫∫∫∫ +=⇔=−⇔=t
t0
t
t0
t
t
v
v 0000
dtavvdtavvdtadv
Υπολογισμός της ταχύτητας από τη χρονική εξάρτηση της επιτάχυνσης
O x
A B
Δx
Δv
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 4
ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ: : ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ
ΣτιγμιαίαΣτιγμιαία ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση:: ΔεύτερηΔεύτερη παράγωγοςπαράγωγος τηςτης θέσηςθέσης ωςως προςπρος τοντον χρόνοχρόνο
2
2
dtxda
dtdx
dtda
dtdva =⇔⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⇔=
dxadvvdtdxdtadvvdtadv =⇔⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⇔=
Υπολογισμός της ταχύτητας από τη χωρική εξάρτηση της επιτάχυνσης
∫∫∫ =−
⇔=x
x
20
2x
x
v
v00
0dxa
2vvdxavdv
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 5
ΟΜΑΛΑΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ
ΣτηνΣτην ομαλάομαλά επιταχυνόμενηεπιταχυνόμενη ευθύγραμμηευθύγραμμη κίνησηκίνηση ισχύειισχύει a = a = σταθεράσταθερά
)tt(avvdtavv 00
t
t0
0
−+=⇔+= ∫
[ ] ∫∫∫∫ −++=−++=⇔+=t
t0
t
t00
t
t000
t
t0
0000
dt)tt(adtvxdt)tt(avxxdtvxx
20000 )tt(a
21)tt(vxx −+−+=
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 6
ΟΜΑΛΑΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ
200
0
at21tvxx
tavvconsta
++=
+==
v=v(t)v=v(t) x=x(t)x=x(t)
a = cta = ct
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 7
ΟΜΑΛΑΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ
200
0
at21tvxx
tavvttanconsa
++=
+== ΑπαλοιφήΑπαλοιφή τουτου χρόνουχρόνου
20
20
20000
2
200
00
0
vva)xx(2
)vv()vv(v2a)xx(2a
)vv(a21
avvvxx
avvt
−=−⇒
−+−=−⇒
−+
−+=
−=
a)xx(2vv 020
2 −+=ΣτηΣτη σχέσησχέση αυτήαυτή καταλήγουμεκαταλήγουμε καικαι μεμετηντην ολοκλήρωσηολοκλήρωση::
)xx(a2vv)xx(a2vvdxavdvadxvdv 0
20
20
20
2x
x
v
v 00
−+=⇒−=−
⇒=⇒= ∫∫
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 8
ΟΜΑΛΑΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ
200
0
at21tvxx
tavvttanconsa
++=
+==ΑπαλοιφήΑπαλοιφή τηςτης επιτάχυνσηςεπιτάχυνσης
t2vvxx
t)vv(21tvxx
ttvv
21tvxx
tvva
00
000
2000
0
+=−⇒
−++=⇒
−++=
−=
t2vvxx 0
0+
=−
ΣτηΣτη σχέσησχέση αυτήαυτή καταλήγουμεκαταλήγουμε καικαιμεμε τηντην παρακάτωπαρακάτω ολοκλήρωσηολοκλήρωση, , κάνονταςκάνοντας χρήσηχρήση τουτου εμβαδούεμβαδού τουτουτραπεζίουτραπεζίου στοστο διάγραμμαδιάγραμμα v(t)v(t)::
t2vvxxvdtdxvdtdx 0
0
t
0
x
x0
+=−⇒=⇒= ∫∫
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 9
ΕΛΕΥΘΕΡΗΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗΠΤΩΣΗ
ΟιΟι εξισώσειςεξισώσεις τηςτης κίνησηςκίνησης γιαγια σταθερήσταθερή επιτάχυνσηεπιτάχυνση μπορούνμπορούν νανα εφαρμοστούνεφαρμοστούνστηνστην περίπτωσηπερίπτωση τηςτης ελεύθερηςελεύθερης πτώσηςπτώσης ((επιτάχυνσηεπιτάχυνση g = g = ‐‐9.8 ms9.8 ms‐‐22).).
ΚατακόρυφηΚατακόρυφη βολήβολή
200
0
gt21tvyy
tgvvga
−+=
−=−=
gr
0y0 =
0vr ΗΗ
ΥπολογισμόςΥπολογισμός μεγίστουμεγίστου ύψουςύψους ΗΗ
( )g2v
g2vg
21
gvvHg/vtyHy
gvt0v
20
200
00max
0
=−=⇒===
=⇒=
g2vH20=
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 10
ΔΙΑΝΥΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣΤΑΧΥΤΗΤΑΣ
1rr
2rr
kzjyixrrrr zyx ++=++=rrrr
ΔιάνυσμαΔιάνυσμα ΘέσηςΘέσης
( ) ( )
kzjyixr
k)zz(j)yy(i)xx(r
kzjyixkzjyixrrr
121212
11122212
Δ+Δ+Δ=Δ
−+−+−=Δ
++−++=−=Δ
r
r
rrrΜετατόπισηΜετατόπιση
ktzj
tyi
tx
tkzjyix
trvav Δ
Δ+
ΔΔ
+ΔΔ
=Δ
Δ+Δ+Δ=
ΔΔ
=r
r
ΜέσηΜέση ΤαχύτηταΤαχύτητα
kdtdzj
dtdyi
dtdx)kzjyix(
dtd
dtrdv
trlimv
0t++=++==⇒
ΔΔ
=→Δ
rr
rr
ΤαχύτηταΤαχύτητα
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 11
ΔΙΑΝΥΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ
kdtdzj
dtdyi
dtdx)kzjyix(
dtd
dtrdv ++=++==r
r
ΤαχύτηταΤαχύτητα
2z
2y
2x
zyx
vvvv
kvjvivv
++=
++=r
tv
tvva 12
av ΔΔ
=Δ−
=rrr
r
ΜέσηΜέση ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση
kdtdvj
dtdv
idtdv)kvjviv(
dtd
dtvda
tvlima zyx
zyx0t++=++==⇒
ΔΔ
=→Δ
rr
rr
ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση
2z
2y
2x
zyx
aaaa
kajaiaa
++=
++=r
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 12
ΔΙΑΝΥΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣΤΑΧΥΤΗΤΑΣ
ΚατάΚατά τητη κίνησηκίνηση τουτου σώματοςσώματος απόαπό τοτο ΑΑ στοστο ΒΒηη μετατόπισημετατόπιση ΔΔss πάνωπάνω στηνστην καμπύληκαμπύλη δίνεταιδίνεταιαπόαπό τοτο τόξοτόξο ΑΒΑΒ. .
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ΔΔ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ΔΔ
=⇒
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ΔΔ
ΔΔ
=ΔΔ
=
→Δ→Δ
→Δ→Δ
tslim
srlimv
ts
srlim
trlimv
0t0s
0t0tr
r
rrr
ΣτοΣτο όριοόριο αυτόαυτό τοτο ΔΔs s γίνεταιγίνεται ίσοίσο μεμε τοτο μέτρομέτρο ΔΔrr, , οπότεοπότε οο πρώτοςπρώτος όροςόροςαντιπροσωπεύειαντιπροσωπεύει έναένα μοναδιαίομοναδιαίο διάνυσμαδιάνυσμα, , εφαπτόμενοεφαπτόμενο στηστη διαδρομήδιαδρομή((καμπύληκαμπύλη) ) πουπου περιγράφειπεριγράφει τηντην κίνησηκίνηση τουτου σώματοςσώματος..
Tvr
vdtds
ΔtΔslim
udrrd
ΔsrΔlim
0Δt
T0Δs
==
==
→
→
rr
vudtdsuv TT ==
r
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 13
ΔΙΑΝΥΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ
ΕφαπτομενικήΕφαπτομενική ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση: : ΑλλαγήΑλλαγή στοστο μέτρομέτρο τηςτης ταχύτηταςταχύτηταςTar
Σώμα κινείται στην τροχιά C και τηχρονική στιγμή t έχει ταχύτητα v καιεπιτάχυνση a. Η επιτάχυνση a έχει πάντακατεύθυνση προς τα κοίλα της τροχιάς.
Μπορούμε να αναλύσουμε τηνεπιτάχυνση σε δύο κάθετες συνιστώσες: Σε μια εφαπτομενική στην τροχιά και σεμια κάθετη συνιστώσα.
Tar
x
y
Nar a
rCC
vr
ΚάθετηΚάθετη ΕπιτάχυνσηΕπιτάχυνση: : ΑλλαγήΑλλαγή στηστη διεύθυνσηδιεύθυνση τηςτης ταχύτηταςταχύτηταςNar
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 14
ΔΙΑΝΥΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ
vdtud
dtdvuv)u(
dtda
dtvda T
TT +==⇒=r
rr
Tu
Nu
'uT
rr 'uT
Tu Tud
x
y
dφ
Όταν η τροχιά δεν είναι ευθύγραμμη, τότε το μοναδιαίο διάνυσμα uT αλλάζειαλλάζεικατεύθυνσηκατεύθυνση και η παράγωγός του ωςπρος τον χρόνο υπολογίζεται ως εξής:
ρvu
dφρdφvu
dsdφvu
dtds
dsdφu
dtdφu
dtuddφuud NNNNNT
NT =====⇒=
dφuudφ1udφuud NNNTT =⋅==
όπου το μοναδιαίο διάνυσμα uN, το οποίο εισάγεται για να καθορίσει τηνκατεύθυνση της μεταβολής duT είναι κάθετο στο uT, δηλαδή κάθετο στηνεφαπτομενική διεύθυνση της τροχιάς. Έτσι:
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 15
ΔΙΑΝΥΣΜΑΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ
vdtud
dtdvuv)u(
dtda
dtvda T
TT +==⇒=r
rr
NT
2
NTNT aaρvu
dtdvuv
ρvu
dtdvua
rrr+=+=+=
ΕφαπτομενικήΕφαπτομενική επιτάχυνσηεπιτάχυνση aaTT:: ΡυθμόςΡυθμός αλλαγήςαλλαγής τουτου μέτρουμέτρου τηςτης ταχύτηταςταχύτητας..ΣεΣε περίπτωσηπερίπτωση ομαλήςομαλής καμπυλόγραμμηςκαμπυλόγραμμης κίνησηςκίνησης ((μέτρομέτρο ταχύτηταςταχύτητας v v σταθερόσταθερό)),,ηη εφαπτομενικήεφαπτομενική επιτάχυνσηεπιτάχυνση aaTT εξαφανίζεταιεξαφανίζεται..
ΚάθετηΚάθετη επιτάχυνσηεπιτάχυνση aaNN:: ΑλλάζειΑλλάζει τηντην κατεύθυνσηκατεύθυνση τηςτης ταχύτηταςταχύτητας. . ΣεΣε ευθύγραμμηευθύγραμμη κίνησηκίνηση ηη ακτίναακτίνα καμπυλότηταςκαμπυλότητας ρρ απειρίζεταιαπειρίζεται, , οπότεοπότε ηη κάθετηκάθετηεπιτάχυνσηεπιτάχυνση μηδενίζεταιμηδενίζεται..
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 16
ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ
RR
vr
θθ
ΚυκλικήΚυκλική ΚίνησηΚίνηση:: ΗΗ τροχιάτροχιά είναιείναι κύκλοςκύκλοςσταθερήςσταθερής ακτίναςακτίνας RR, , οπότεοπότε ηη ταχύτηταταχύτητα είναιείναιπάνταπάντα εφαπτομένηεφαπτομένη τηςτης κυκλικήςκυκλικής τροχιάςτροχιάς καικαικάθετηκάθετη στηνστην επιβατικήεπιβατική ακτίναακτίνα..
Το μέτρο της ταχύτητας θα δίνεται από:
dtdR)R(
dtd
dtdsv θ
θ =⋅==r
dtdθ
ω =
ΗΗ ποσότηταποσότητα ddθθ//dt dt ονομάζεταιονομάζεται γωνιακήγωνιακή ταχύτηταταχύτητα ωω
ΗΗ γωνιακήγωνιακή ταχύτηταταχύτητα είναιείναι διανυσματικόδιανυσματικό μέγεθοςμέγεθος μεμε μέτρομέτρο ωω, , διεύθυνσηδιεύθυνση κάθετηκάθετηστοστο επίπεδοεπίπεδο κίνησηςκίνησης καικαι φοράφορά καθοριζόμενηκαθοριζόμενη απόαπό τοντον κανόνακανόνα τουτου δεξιούδεξιού χεριούχεριού..
ΜονάδαΜονάδα γωνιακήςγωνιακής ταχύτηταςταχύτητας: : rad/s = srad/s = s‐‐11
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 17
ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ
RR
vr
θθ
Η κυκλική κίνηση στο χώρο μπορεί να περιγραφεί από το διάνυσμαδιάνυσμα θέσηςθέσης rr . Όπωςείναι προφανές από το παραπάνω σχήμα ισχύει γενικά:
vrωr
RR
rr
αα
rvrrr
×= ω
dtdRR)asinr(sinrv θ
ωωαω ====rrr
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 18
ΟΜΑΛΗΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ
RR
vr
θθ
ΟμαλήΟμαλή κυκλικήκυκλική κίνησηκίνηση: Η γωνιακή ταχύτητα ωπαραμένει χρονικά σταθερή
ωω = = ddθθ//dt = constdt = const
ΠερίοδοςΠερίοδος ΤΤ :: Ο απαιτούμενος χρόνος για μια πλήρηπεριστροφή
ωω == 22ππ//ΤΤ = 2= 2ππff
ΣυχνότηταΣυχνότητα f : f : Αριθμός περιστροφών στη μονάδατου χρόνου
f = 1/Tf = 1/T
Για σταθερή γωνιακή ταχύτητα ισχύει:
∫∫ ⇒=−⇒=⇒=⇒=t
00 tdtddtd
dtd
0
ωθθωθωθθ
ωθ
θ
t0 ωθθ +=
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 19
ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΤΗΝΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ
vr
θθ
ar Ta
r
Nar
NT
2
NT aaρvu
dtdvua rrr
+=+=
Στη γενική περίπτωση της καμπυλόγραμμης κίνησηςείδαμε ότι ισχύει:
Τα uT και uN είναι μοναδιαία διανύσματα, εφαπτόμενοστην τροχιά και κάθετο αντίστοιχα.
Στην περίπτωση κυκλικής κίνησης:
• Η ακτίναακτίνα καμπυλότηταςκαμπυλότητας ρρ παραμένει σταθερή και ταυτίζεται με την ακτίναακτίνα τουτου κύκλουκύκλου RR• Η γραμμική ταχύτητα v εκφράζεται μέσω της γωνιακής v = v = ωω RR• Η γραμμική επιτάχυνση dv/dt ομοίως εκφράζεται από την γωνιακή dv/dt = R ddv/dt = R dωω/dt/dt
⇒+=+= N
22
T
2
NT uRRωu
dtdωR
ρvu
dtdvuar N
2T uRu
dtdRa rrr
ωω
+=
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 20
ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΤΗΝΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ
vr
θθ
ar Ta
r
Nar
Η επιτάχυνση στην κυκλική κίνηση έχει δύο συνιστώσεςaT και aN, εφαπτομενική και κάθετη στην τροχιάαντίστοιχα.
• Η εφαπτομενική συνιστώσα aT είναι υπεύθυνη για τηναλλαγή του μέτρου της ταχύτητας v
• Η συνιστώσα aNαντιστοιχεί στην κεντρομόλο επιτάχυνση
N2
T uRωudtdωRa +=
r
ΟΜΑΛΗΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗΣτηνΣτην ειδικήειδική περίπτωσηπερίπτωση τηςτης ομαλήςομαλής κυκλικήςκυκλικής κίνησηςκίνησης, , ηη ποσότηταποσότητα ddωω//dtdt μηδενίζεταιμηδενίζεταιμεμε αποτέλεσμααποτέλεσμα νανα παραμένειπαραμένει μόνομόνο ηη κεντρομόλοςκεντρομόλος επιτάχυνσηεπιτάχυνση ωω22RR,, ηη οποίαοποία είναιείναι ωςωςπροςπρος τοτο μέτρομέτρο σταθερήσταθερή..
N2
N2
T uRuRudtdRa rrrr
ωωω
=+=
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 21
ΟΜΑΛΗΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΚΙΝΗΣΗ
vr
θθ
ar
xar
yar
xvr
yvr
xx
yy ΔιανυσματικόςΔιανυσματικός ΥπολογισμόςΥπολογισμός ΕπιτάχυνσηςΕπιτάχυνσης
Παρουσιάζεται εδώ μια εναλλακτική προσέγγισηυπολογισμού της επιτάχυνσης στην ομαλή κυκλικήκίνηση.
j)cosv(dtdi)sinv(
dtdj
dtdv
idtdv
dtvda yx
rrrrrr
θθ +−=+==
Το μέτρο της ταχύτητας v στην ομαλή κίνησηπαραμένει σταθερό:
jsinvicosvjdtdsinvi
dtdcosva
rrrrrθωθω
θθ
θθ −−=−−=
RsincosRajsinRicosRa 222222 ωθθωθωθω =+=⇒−−=rrrr
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 22
ΠΛΑΓΙΑΠΛΑΓΙΑ ΒΟΛΗΒΟΛΗ
Κίνηση σωματιδίου (χωρίςαντιστάσεις) σε κατακόρυφοκατακόρυφοεπίπεδοεπίπεδο όπου επιδρά μόνο ησταθερή επιτάχυνσηεπιτάχυνση τηςτης ελεύθερηςελεύθερηςπτώσηςπτώσης gg.
Το σώμα βάλλεται με αρχικήταχύτητα v0=vi υπό γωνία θ0=θi
jsinθvicosθvjvivv 00000y0x0 +=+=r
ΚατάΚατά τητη διάρκειαδιάρκεια τηςτης κίνησηςκίνησης τοτο διάνυσμαδιάνυσμα θέσηςθέσης rr καθώςκαθώς καικαι τοτο διάνυσμαδιάνυσμα τηςτηςταχύτηταςταχύτητας vv μεταβάλλονταιμεταβάλλονται συνεχώςσυνεχώς, , ενώενώ τοτο διάνυσμαδιάνυσμα τηςτης επιτάχυνσηςεπιτάχυνσης aaπαραμένειπαραμένει σταθερόσταθερό ((aa==‐‐gg). ).
ΤοΤο βλήμαβλήμα δενδεν έχειέχει οριζόντιαοριζόντια επιτάχυνσηεπιτάχυνση!!
ΣτηνΣτην πλάγιαπλάγια βολήβολή ηη οριζόντιαοριζόντια καικαι ηη κατακόρυφηκατακόρυφηκίνησηκίνηση είναιείναι ανεξάρτητεςανεξάρτητες ηη μιαμια απόαπό τηντην άλληάλλη..
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 23
ΠΛΑΓΙΑΠΛΑΓΙΑ ΒΟΛΗΒΟΛΗ
ΕξισώσειςΕξισώσεις τηςτης ΚίνησηςΚίνησης
ΟριζόντιαΟριζόντια ΚίνησηΚίνηση
( )tcosvxxtvxx 000x00 θ+=⇒=−
ΚατακόρυφηΚατακόρυφη ΚίνησηΚίνηση
( ) 2000
2y00 gt
21tsinvyygt
21tvyy −+=⇒−=− θ
gtsinvv 00y −= θ
a)yy(2vv
0
2y0
2y −=− ( ) ( )02
002y yyg2sinvv −−= θ
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 24
ΠΛΑΓΙΑΠΛΑΓΙΑ ΒΟΛΗΒΟΛΗ
ΕξίσωσηΕξίσωση τηςτης ΤροχιάςΤροχιάςΗ εξίσωση της κίνησης που προκύπτει εάν συμπλέξουμε την οριζόντια και κατακόρυφησυνιστώσα της απόστασης, απαλείφοντας τον χρόνο από τις εξισώσεις αυτές.
( )tcosvxx 000 θ+=
( ) 2000 gt
21tsinvyy −+= θ
00
0
cosvxxtθ
−=
( )2
00
0
00
0000 cosv
xxg21
cosvxxsinvyy ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
−+=
θθθ
( )( )200
2
0 cosv2gxxtany
θθ −=
0yx 00 ==
Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 25
ΠΛΑΓΙΑΠΛΑΓΙΑ ΒΟΛΗΒΟΛΗΒεληνεκέςΒεληνεκές
ΗΗ οριζόντιαοριζόντια απόστασηαπόσταση R R πουπου διανύειδιανύει τοτο βλήμαβλήμα ότανόταν επιστρέψειεπιστρέψει στοστο αρχικόαρχικό ύψοςύψος εκτόξευσηςεκτόξευσης..
t)cosv(xxR 000 θ=−=
ΟΟ χρόνοςχρόνος πτήσηςπτήσης υπολογίζεταιυπολογίζεται απόαπό τηντηνκατακόρυφηκατακόρυφη κίνησηκίνηση, , έτσιέτσι ώστεώστε yy‐‐yy00=0=0::
200 gt
21t)sinv(0 −= θ
ΑπαλείφονταςΑπαλείφοντας τοντον χρόνοχρόνο απόαπό τιςτις παραπάνωπαραπάνωεξισώσειςεξισώσεις καταλήγουμεκαταλήγουμε στηνστην σχέσησχέση::
⇒= 00
20 cossingv2R θθ 0
20 2singvR θ=
ΤοΤο μέγιστομέγιστο βεληνεκέςβεληνεκές επιτυγχάνεταιεπιτυγχάνεται γιαγια βολήβολή μεμε θθ0 0 = 45= 45οοStathis STILIARIS, UoA 2016-2017 26