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14 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
824
Identidades trigonométricas
Son igualdades en las que intervienen funciones trigonométricas y es válida para cualquier valor angular.
Obtención de las identidades trigonométricas básicas
Para determinar las identidades se hace uso de las defi niciones de las funciones trigonométricas.En el triángulo las funciones del ángulo a se defi nen:
sen =a
ctan =
a
bcsc =
c
a
cos =b
cctg =
b
asec =
c
b
a
a
a
a
a
a
a
b
c
a
b
Al multiplicar una función directa por cada una de sus recíprocas se obtiene:
(sen )(csc ) =a
c
c
a=
a c
c a= 1
(cos )(sec ) =b
c
c
b=
b c
c b= 1
(tan )(ctg ) =a
b
b
a=
a b
b a= 1
a
a a
a a
a
Por tanto, se deducen las identidades recíprocas.
Identidades recíprocas
(sen a)(csc a) = 1 (cos a)(sec a) = 1 (tan a) (ctg a) = 1
Al realizar los respectivos despejes en las identidades anteriores, se obtienen las siguientes relaciones:
sen =1
csctan =
1
ctgcsc =
1
sen
cos =1
secctg =
1
tansec =
1
cos
aa
a
a
a
a
aa
a
a
a
a
Identidades de cocienteSi se realiza el cociente de la función seno (sen a) por la función coseno (cos a), se obtiene la función tan a:
sen
cos=
aa
acbc
=a c
b c=
a
b= tan a
De manera análoga se obtiene la función cotangente (ctg a),
a
a
cos
sen=
bcac
=b c
a c=
b
a= ctg a
Por tanto:
aa
aa
aatan =
sen
cos; ctg =
cos
sen
CAPÍTULO 14 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
825
Identidades pitagóricasEn el triángulo se aplica el teorema de Pitágoras:
a a
aaaa
a2 +b 2 = c2 Se divide entre c2 a ambos miembros.
a2
c2 + b 2
c2 = 1 Se aplica la ley de los exponentes.
a
c
2
+ b
c
2
=
= =
1 Los cocientes son equivalentes a las funciones sen y cos
(sen )2 + (cos )2 1, por consiguiente sen2 + cos2 1
En forma semejante se obtienen las demás identidades pitagóricas, entonces:
sen2 a + cos2
a = 1 ; tan2 a + 1 = sec2 a y 1 + ctg2
a = csc2 a
De las identidades anteriores se realizan despejes, con el fi n de obtener otras identidades:
sen2 α + cos2 α = 1 tan2 α + 1 = sec2 α 1 + ctg2 α = csc2 α
sen α = ± 1− cos2 α( ) tan α = ± sec2α − 1( ) ctg α = ± csc2α − 1( )
cos α = ± 1− sen2α( ) sec α = ± tan2α + 1( ) csc α = ± ctg2α + 1( )
Demostración de identidades trigonométricas
Para realizar la demostración de una identidad trigonométrica se aplican procesos algebraicos como la factorización, las operaciones entre fracciones así como su simplifi cación, además de las identidades trigonométricas básicas.
La aplicación de estos procesos depende de la identidad en sí; esto signifi ca que no existe un orden o procedimiento específi co, debido a esta situación sugerimos iniciar con el lado más complejo o elaborado de la igualdad, con el fi n de llegar a demostrar el lado más sencillo, como a continuación se ejemplifi ca.
Demuestra la siguiente identidad: sen x = cos x
ctg xDemostración
Se trabaja del segundo hacia el primer miembro, se sustituye ctg x = cos x
sen x y realiza el cociente correspondiente:
s S Sen x =cosx
ctg xsen x =
cosxcosx
sen x
sen x =sen x cosx
cosx
sen x sen x
Por tanto queda demostrada la identidad.
1
Ejem
plos
EJEMPLOS
14 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
826
Demuestra la siguiente identidad: sen b + cos b ctg b = csc b
Demostración
Para esta identidad se trabaja con el primer miembro para obtener el segundo.
sen b + cos b ctg b = csc b se utiliza la identidad del cociente ctg b =cos b
sen b
sen b + cos bcos b
sen b= csc b se efectúa el producto.
sen b +cos2
sen b= csc b se realiza la suma fraccionaria.
sen2 + cos2
sen b = csc b se sustituye la identidad pitagórica sen2 + cos2 = 1
1
sen b= csc b se aplica
1
sen b= csc b
csc b csc b
b
b bb b
Finalmente, queda demostrada la identidad.
Demuestra la siguiente identidad:
csc a
tan a + ctg a= cos a
Demostración
Se utiliza el primer miembro de la igualdad y se realizan los siguientes cambios:
csc a
tan a+ ctg a= cos a
1sen a
sen acos a
+ cos asen a
= cos a
Se realiza la suma del denominador,
Yposteriormente la división,
Se sustituye sen2 + cos2= 1
sen a cos a
sen a 1( )= cos a
Yfinalmente se simplifica la fracción: cos a cos a
1sen a
sen2 + cos2
sen a cos a
= cos aaa
sen a cos a
sen a sen2 + cos2( )= cos a
a a
a a
33
2
CAPÍTULO 14 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
827
Demuestra la siguiente identidad:
cos x
1 sen x= 1+ sen x
cos x
Demostración
Se utiliza el segundo miembro como base para la demostración:
cos x
1 sen x= 1+ sen x
cos x
cos x
1 sen x = 1+ sen x
cos x
1 sen x
1 sen xSe multiplica por el conjugado del numerador.
cos x
1 sen x= 1 sen2 x
cos x( ) 1 sen x( )se reemplaza 1 – sen2 x = cos2 x.
cos x
1 sen x= cos2 x
cos x( ) 1 sen x( )se simplifica la fracción.
cos x
1 sen x
cos x
1 sen xse demuestra la identidad.
Demuestra la siguiente identidad:
2cos2 x – 1 = 1 – 2sen2 x
Demostración
En este caso se utiliza el primer miembro para obtener el segundo.
2cos2 x – 1 = 1 – 2sen2 x Se utiliza la identidad 1 = sen2 x + cos2 x.
2cos2 x – (sen2 x + cos2 x) = 1 – 2sen2 x
2cos2 x – sen2 x – cos2 x = 1 – 2sen2 x se simplifi can términos semejantes.
cos2 x – sen2 x = 1 – 2sen2 x se emplea cos2 x = 1 – sen2 x.
1 – sen2 x – sen2 x = 1 – 2sen2 x
1 – 2sen2 x ; 1 – 2sen2 x
Por lo que la identidad queda demostrada.
55
4
14 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
828
Demuestra la siguiente identidad:
cos2 sa
a a a
a aen2
1+ 2sen cos=
1 tan
1+ tan
Solución
Se utiliza el lado izquierdo para demostrar la identidad:
a
a
a
a a a a
a
a
a a
a a
aa a
a
a
a a
aaa
a
a
a
a
a
a
a a
aaaaa
a aa a
a acos2 sen2
1+ 2sen cos=
1 tan
1+ tanSe emplea la identidad sen2 + cos2 = 1
cos2 sen2
sen2 + 2sen cos + cos2 =1 tan
1+ tanse factoriza denominador y numerador
cos sen( ) cos + sen( )sen + cos( )2
=1 tan
1+ tanse simplifica la fracción
cos sen
sen + cos=
1 tan
1+ tanse divide entre cos a numerador ydenominador.
cos sencos
sen + coscos
=1 tan
1+ tan
1 tan
1+ tan
1 tan
1+ tan
6
Demuestra las siguientes identidades:
1. sen x (1 + cot x) = sen x + cos x
2. (1 + tan2 x) cos x = sec x
3. sen x
tan x
2
+ 1
csc x
2
= 1
4. (sec x + sen2 x + cos2 x)(sec x – 1) = tan2 x
5. csc u (1 – cos2 u) = sen u
6. ctg a
aa
cos= csc
7. 1 s f
ff
en2
sec2 = cos4
8. ctg2 y – cos2 y = ctg2 y cos2 y
9. sec y =ctg y + tan y
csc y
10. 1+ c v
v v
vos
sen=
sen
1 cos
11. sec b ? sen b ? ctg b = 1
EJERCICIO 42
CAPÍTULO 14 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
829
12. ctg x – tan x =2 cos2 x 1
sen x cos x
13. 2csc2 y =1
1 cos y+ 1
1+ cos y
14. 1
csc a aa a
+ ctg= csc – ctg
15. 3sen2 x – 9sen x ? ctg x + 7cos2 x – 4cos x = (4cos x – 1)(cos x – 3)
16. cos2 x +tan2 x
1+ sec x+ sen2 x = sec x
17. cos4 x + sen2 x + sen2 x cos2 x = 1
18. 1 c b
b bb
bos
1+ cos+
1+ cos
1 cos= 2csc
19. cos x (2sec x + tan x)(sec x – 2tan x) = 2cos x – 3tan x
20. 1 +sen x ctg 2 x
1+ sen x= csc x
21. 2(sen6 x + cos6 x) – 3(sen4 x + cos4 x) + 1 = 0
22. sen x (1 + ctg x) = cos3 x (1 + tan x) + sen3 x (1 + ctg x)
23. (csc x – sen x)2 + (sec x – cos x)2 = tan2 x + ctg2 x – 1
24. 2 csc2 x
tan x 1– csc2 x + 1 = ctg x
25. tan x + ctg x
csc x sen x= sec3 x
26. cos x sec x
sen x csc x= sec x (sec2 x – 1) sen x
27. sec3 x =sec3 x sec x tan2 x
1 sen x( ) 1+ sen x( )
28. sen2 x + tan2 x + cos2 x =1
cos2 x
29. sec2 x + csc2 x = (csc x sec x)2
30. sec2 x ; sen x csc x + sen x (sen x sec2 x)
31. 1
csc x + ctg x
1
ctg x csc x= 2
sen x
32. 1 – ctg x = csc2 x 2ctg x( )
Ú Este ejercicio no tiene soluciones al fi nal del libro por ser demostraciones
14 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
830
Obtención de las identidades trigonométricas de la suma y la diferencia de ángulos
Considerando que OB BC⊥ , OC DC⊥ , se realiza una proyección de OD con el eje X y OA AD⊥ , DE CE⊥ , donde AE BC= , así como AB CE=
Para obtener sen (α + b)
b
a
a
X A B
C E
D
O
Y
sen (a + b) = AD
OD pero AD AE ED= + ;
entonces,sen (a + b) = AE ED
OD
+ sen (a + b) = AE
OD
ED
OD+
Para obtener las funciones trigonométricas de los ángulos a y b
sen a = BC
OC = AE
OC = CE
CD …(1) sen b = CD
OD…(3)
cos a = OB
OC = ED
CD …(2) cos b = OC
OD…(4)
Si se realiza el producto de (1) y (4); (2) y (3) se tiene:
(sen a)(cos b) = AE
OC?
OC
OD = AE
OD …(5)
(sen b)(cos a) = CD
OD?
ED
CD = ED
OD …(6)
Al sumar (5) y (6):
(sen a)( cos b) + (sen b)( cos a) = AE
OD
ED
OD+ ;
Se obtiene sen (a + b), entonces:
sen (a + b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a)
Para obtener cos (a + b)
cos (a + b) = OA
OD; pero OA OB AB= − ;
entonces,
cos (a + b) = OB AB
OD
− cos (a + b) = OB
OD
AB
OD−
CAPÍTULO 14 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
831
Si se realiza el producto de (2) y (4); (1) y (3) se tiene:
(cos a)(cos b) = OB
OC?
OC
OD = OB
OD … (7)
(sen a)(sen b) = CE
CD?
CD
OD = CE
OD = AB
OD … (8)
Al restar (8) de (7):
(cos a)(cos b) – (sen a)(sen b) = OB
OD – AB
OD;
Se obtiene cos (a + b)
cos (a + b) = (cos a)(cos b) – (sen a)(sen b)
Para obtener tan (a + b), se emplean identidades básicas:
tan (a + b) =sen
cos
α βα β
+( )+( )
; tan (a + b) = sen cos sen cos
cos cos sen
α β β αα β α
( )( )+ ( )( )( )( ) − ( ))( )sen β
Si se divide entre (cos a)(cos b) ? 0, entonces,
tan (a + b) =
sen cos sen cos
cos coscos
α β β αα β
α
( )( )+ ( )( )( )( )
( ) ccos sen sen
cos cos
β α βα β
( ) − ( )( )( )( )
=
sen cos
cos cos
sen cos
cos
α βα β
β αα
( )( )( )( )
+ ( )( )( ) ccos
cos cos
cos cos
sen senβ
α βα β
α β( )
( )( )( )( )
− ( )( ))( )( )cos cosα β
;
tan (a + b) =
sen
cos
sen
cos
sen
cos
sen
αα
ββ
αα
( )( ) +
( )( )
−( )( ) ⋅1
βββ
( )( )cos
= tan tan
tan tan
α βα β+
− ⋅1
Finalmente se deduce que:
tan ( + ) =tan + tan
1 − tan tan
Para obtener las identidades trigonométricas de la diferencia se emplean las identidades de los ángulos negativos en función de ángulos positivos, es decir:
sen (– x) = – sen (x) cos (– x) = cos (x) tan (– x) = – tan (x)
Por tanto:
sen (a + b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a)
Se cambia b por – b y se obtiene: sen (a – b) = (sen a)(cos(–b)) + (sen (–b))(cos a) sen (a – b) = (sen a)(cos b) – (sen b)(cos a)
De una manera semejante se realiza la diferencia para las demás funciones trigonométricas y se obtiene:
cos (a – b) = (cos a)(cos b) + (sen a)(sen b)
tan ( – ) =
tan – tan1 + tan tan
14 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
832
Resumen de fórmulas
Identidades trigonométricas de la suma de ángulos:
sen (a + b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a)
cos (a + b) = (cos a)(cos b) – (sen a)(sen b)
tan ( + ) =
tan + tan1 − tan tan
Identidades trigonométricas de la diferencia de ángulos:
sen (a – b) = (sen a)(cos b) – (sen b)(cos a)
cos (a – b) = (cos a)(cos b) + (sen a)(sen b)
tan ( – ) =
tan – tan1 + tan tan
Valor de una función trigonométrica para la suma y la diferencia de ángulos Los valores de las funciones trigonométricas de ángulos notables se emplean para obtener el valor de una función cuyo ángulo se pueda descomponer en una suma o diferencia.
Obtén el valor de sen π π4 6
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .
SoluciónAl aplicar la identidad para el seno de la suma de ángulos, se determina que:
sen π π4 6
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= sen π4
cos π6
+ cos π4
sen π6
= 2
2
3
2
2
2
1
2
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=6
4
2
4+
=6 2
4
+
Calcula el valor exacto de tan (90°– 60°).
Solución
Se aplica la identidad de la tangente de la diferencia de ángulos y se obtiene:
tan (90°– 60°) = tan tan
tan tan
90 60
1 90 60
° − °+ ° °
La tan 90° no está defi nida, por consiguiente, se multiplica la identidad tantan tan
tan tan( )a b a b
a b− = −
+1 por la unidad
expresada como 1 =ctg
ctg
aa
tantan tan
tan tan
ctg
ctg( )a b
a ba b
a− =
−+
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟1 aa
a a b aa a b
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
−+
tan ctg tan ctg
ctg tan tan ctggaPor identidades tan a ctg a = 1, entonces:
tantan ctg
ctg tan
tan ctg
c( )
(a b
b aa b)
b a− =
−+
=−1
1
1
ttg tana b+
Sustituyendo a = 90°, b = 60° y posteriormente los valores de ctg 90° = 0 y tan60 3° = , se obtiene como resultado:
tantan ctg
ctg tan( )90 60
1 60 90
90 60
1° − ° =− ° °
°+ °= − (( )( )3 0
0 3
1 0
3
1
3
1
3
3
3+= − = = =. 3
3
22
1
Ejem
plos
EJEMPLOS
CAPÍTULO 14 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
833
Expresa en función de x la identidad cos x3
2π −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Solución
Se aplica la identidad del coseno de la diferencia de ángulos:
cos(a – b) = cos a cos b + sen a sen bSe obtiene:
cos x3
2π −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = cos cos x sen sen x
3
2
3
2π π+ = (0) cos x + (– 1)sen x
= 0 – sen x
= – sen x
Resulta que, cos x3
2π −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = – sen x
3
Aplica las identidades de suma o diferencias de ángulos y determina el valor de las siguientes funciones trigonométricas:
1. senπ π2 6
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
5. sec π π−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4 9. tan
π π4
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2. cos3
4 3π π−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
6. cos(270° – 45°) 10. ctg 2
7
4p p−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3. sen(45° + 60°) 7. ctgπ π2 3
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4. tan(45° + 90°) 8. cscπ π4
3
2+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Expresa en función del ángulo indicado las siguientes expresiones:
11. sen θ π+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
6 15. csc
π α3
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
19. tan(3p – a)
12. cos x3
4π −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
16. ctg
π β4
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
20. sen
3
4π θ−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
13. sen(2p + b)
17. cos x −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
8
3π
14. tan xπ2
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
18. sec(p + 2v)
EJERCICIO 43
Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Aplicación de las funciones trigonométricas de la suma y la diferencia de ángulos
Para determinar el valor de una función trigonométrica de determinados ángulos, éstos se descomponen como la suma o la diferencia de dos ángulos notables.
14 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
834
Determina el cos 75° y expresa 75° como una suma de ángulos notables.
Solución
El ángulo de 75°, como la suma de ángulos notables, es 75° = 30° + 45°Entonces,
cos 75° = cos (30° + 45°)
Se emplea la identidad cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b
cos (75°) = cos (30°+ 45°) = (cos 30°)(cos 45°) – (sen 30°)(sen 45°)
Al sustituir el valor de cada función trigonométrica, se determina que:
cos 75° = 3
2
2
2
1
2
2
2
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⋅
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
6
4
2
4− =
6 2
4
−
Por tanto, cos 75° = 6 2
4
−
Determina tan 15° y expresa 15° como una diferencia de ángulos notables.
Solución
El ángulo de 15° se expresa como 60° – 45°, entonces:tan (15°) = tan (60°– 45°)
Se emplea la identidad tan (a – b) = tan
tan tan
α βα β−
+ ⋅tan
1 en la que se sustituyen los valores de los ángulos a = 60° y
b = 45°,tan (15°) = tan (60°– 45°) =
tan tan
tan tan
60 45
1 60 45
° − °+ ° ⋅ °
Se sustituyen los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables:
tan (15°) = tan (60°– 45°) = 3 1
1 3 1
−+ ( )( )
= 3 1
3 1
−+
Al racionalizar el denominador, se obtiene:tan 15° = 2 – 3
Calcula las funciones trigonométricas básicas de (a + b) si sabes que sen a = 3
5 para
π2
≤ a ≤ p y tan b = 5
12 para
p ≤ b ≤ 3
2
π.
Solución
Se obtienen las funciones de los ángulos a y b, con el teorema de Pitágoras y se respetan los signos de las funciones en los cuadrantes indicados. Para sen a, el segundo cuadrante Para tan b, el tercer cuadrante
3
Y
X
5
– 4
a
Y
X
13
– 12
– 5
b
Funciones del ángulo a: sen a =3
5, cos a = − 4
5 y tan a = − 3
4
Funciones del ángulo b: sen b = − 5
13, cos b = − 12
13 y tan b =
5
12
22
33
1
Ejem
plos
EJEMPLOS
CAPÍTULO 14 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
835
Por consiguiente, estos valores se sustituyen en las identidades de sumas de ángulos.
sen (a + b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a) = 3
5
12
13
5
13
4
5
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅ −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅ −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − + = −36
65
20
65
16
65
cos (a + b) = (cos a)(cos b) – (sen a)(sen b) = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅ −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅ −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4
5
12
13
3
5
5
13
=48
65
15
65
63
65+ =
tan (a + b) = tan tan
tan tan
α βα β+
− ⋅1 =
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
34
512
134
512
=−
= −
4126348
16
63
Por tanto, los resultados son:
sen (a + b) = − 16
65, cos (a + b) =
63
65 y tan (a + b) = − 16
63Demuestra la siguiente identidad:
arc tan 2
1
t
t − – arc ctg t = arc sen
1
1t +Solución
Sean u = arc tan 2
1
t
t − y a = arc ctg t , entonces u – a = arc sen
1
1t + que es la identidad a demostrar donde
tan u = 2
1
t
t − y ctg a = t
Se construyen los triángulos respectivamente,
Para el ángulo u
Para el ángulo a
Por el teorema de Pitágoras
h2 = ( 2 t )2 + (t – 1)2 h = 4t + t 2 − 2t +1 h = t 2 + 2t +1
h = t +1( )2 = t + 1
2 t
t – 1
h = t + 1
u
Por el teorema de Pitágoras
h2 = ( t )2 + (1)2
h = t +1 1
t
h = t +1
a
Se realiza la demostración aplicando seno a (u – a)sen (u – a) = sen u cos a – sen a cos u
Pero sen u =2
1
t
t +, cos u =
t
t
−+
1
1, cos a =
t
t +1 y sen a =
1
1t +, entonces
sen (u – a) =2
1
t
t +⋅ t
t +1 –
1
1t +⋅ t
t
−+
1
1 =
2 1
1 1
t t
t t
− ++( ) +
= t
t t
+( )+( ) +
1
1 1 =
1
1t +Donde,sen (u – a) =
1
1t + S u – a = arc sen
1
1t +Así queda demostrada la identidad.
44
14 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
836
Determina los valores de las siguientes funciones trigonométricas y expresa los ángulos como suma o diferencia:
1. tan 105° 3. csc 15° 5. tan 255° 7. tan 345° 9. csc 255° 2. cot 75° 4. sec 105° 6. cos 285° 8. sec 165° 10. sen 165°
11. Si cos α = − 4
5 con
π α π2
≤ ≤ y tan β = 2
3 con 0
2≤ ≤β π
, halla sen(a + b), cos(a + b) y tan(a + b).
12. Si tan a = 1 con π α π≤ ≤ 3
2 y sec b = 2 con
3
22π β π≤ ≤ , halla sen(a – b), cos(a – b) y tan(a – b).
13. Si sec a = − 3
2 con π α π≤ ≤ 3
2 y ctg b = 2 con 0
2≤ ≤β π
, halla las seis funciones trigonométricas de (a + b)
y (a – b).
Demuestra las siguientes identidades:
14. sen x sen x sen xπ π−( ) + −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
−2
1 2 2cos x cos x[ ] ≡ −
15. cos x cos x3
2
π π+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ − −( )⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
−2 2
sen x cos xπ π+⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
≡ 2 sen x
16. cos x sen x coπ π2
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ − +( )⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
− ss x cos x sen xπ π2
3+( ) + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
≡ + ccos x
17. sen
sec
cos
csc
β π
β
π β3
2 2−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
+−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
ββ1≡
18. tan sen senπ α α π π α 3
2 −( ) ⋅ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ −( ) 1 2≡ − cos α
19. sen sen cos cos cosα β α β α β2−[ ] − +( ) + +2 [[ ] ≡22
20. sec
csc
sen
cos
π ωπ ω
π ω−( )+⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
+ +( )
2ππ ω
ω 1+( ) ≡ −tan
21. csc ycos y
tan ysen yπ
ππ
−( ) ++( )+( ) ≡
22. csc x
cos x
tan xπ
ππ2
2
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− −(( ) ≡ ⋅ +( )sen x
sec x csc x 1
23. sen x cos x 2 2
2
+( ) + −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
+π π 44 2
2
4 cos x
csc x
−( )−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
≡π
π
24. sen sen
cos
α β γ α β γα β γ
+ +( ) + − −( )+ +( ) + cos
tanα β γ
α− −( ) ≡
EJERCICIO 44
CAPÍTULO 14 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
837
25. sen sen sen sen senθ ω θ ω θ ω θ+( ) ⋅ −( ) ≡ +( ) − ssen ω( )
26. tan tanπ δ π δ4
4
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ≡ –
2
2 2sen cosδ δ−
27. 4 3
2 4 arc tan arc tan−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ + ≡ −π
1
5
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
28. sen sen− −− ≡ −1 11
5 2
2
5
π
29. cos cos se 12
13
33
65 1 1− −− ≡ − nn−1 3
5
30. sect
tctg t t− −+ − ≡ >1
21 1
0, 0
31. arc sent
arc cost
tarc tan
tt
1
1
1
1
1, 0
2
2
2+− −
+≡ − >
32. sent
tsen
tsen t− − −
++
+≡ ( ) >1
2
1
2
1
1
1
11 , 0
33. sent
tsen
tsen
t
tt− − −
+−
+≡ −
+≥1 1 1
1
1
1
1
1, 1
34. arc tan s arc sent
tarc t
12−
+≡ aan
s t
sts t
1, 0 y 0
−+
> >
Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Funciones trigonométricas del ángulo doble
Estas funciones se obtienen a partir de las identidades de la suma de ángulos, como se muestra a continuación:
Seno del ángulo doble sen (2a)
Para obtener el sen (2a) se emplea la identidad sen (a + b) donde b = aEntonces:
sen (a + b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a)
sen (2a) = (sen a)(cos a) + (sen a)(cos a)
sen (2a) = 2 (sen a)(cos a)
Coseno del ángulo doble cos (2a)
Para obtener cos (2a) se emplea la identidad cos (a + b) donde b = aEntonces:
cos (a + b) = (cos a)(cos b) – (sen a)(sen b)
cos (2a) = (cos a)(cos a) – (sen a)(sen a)
cos (2a) = cos2 a – sen2 a (con el empleo de identidades trigonométricas básicas)
cos (2a) = 1 – 2 sen2 a
cos (2a) = 2 cos2 a – 1
14 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
838
Tangente del ángulo doble tan (2a)Para obtener tan (2a) se emplea la identidad tan (a + b) donde b = a
Entonces: tan (a + b) =
tan tan
tan tan
α βα β+
− ⋅1
tan (2a) = tan tan
tan tan
α αα α+
− ⋅1
tan (2a) = 2
1 2
tan
tan
αα−
Obtén las funciones trigonométricas de (2v), si se sabe que tan v = 3, para π ≤ v ≤ 3
2
π
SoluciónEn este caso el ángulo v se encuentra en el tercer cuadrante, entonces: tan v =
−−
3
1 Por el teorema de Pitágoras
r2 = (–1)2 + (–3)2
r2 = 1 + 9
r = 10
– 1
– 3
r
Y
X
ω
Se obtienen las funciones trigonométricas de v:
sen v = − = −3
10
3 10
10, cos v = − = −1
10
10
10 y tan v =
−−
=3
13
Por tanto, sen 2v = 2 (sen v)(cos v) = 2 −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⋅ −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
3 10
10
10
10=
6 10
100( )( ) =
3
5
cos 2v = cos2 v – sen2 v = −⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ − −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
10
10
3 10
10
2 2
= 10 90
100
− = − 4
5
tan 2v = 2
1 2
tan
tan
ωω−
= 2 3
1 32
⋅ ( )− ( )
= 6
8−= − 3
4Demuestra la siguiente identidad:
sen6 x + cos6 x = 1 –3
4sen2 2x
Demostración(sen2 x + cos2 x)(sen4 x – sen2 x⋅cos2 x + cos4 x) = 1 –
3
4sen2 2x
(1)(sen4 x – sen2 x⋅cos2 x + cos4 x) = 1 –3
4sen2 2x
sen4 x – sen2 x⋅cos2 x + cos4 x + 3sen2 x⋅cos2 x – 3sen2 x⋅cos2 x = 1 –3
4sen2 2x
(sen4 x + 2sen2 x⋅cos2 x + cos4 x) – 3sen2 x⋅cos2 x = 1 –3
4sen2 2x
(sen2 x + cos2 x)2 – 3sen2 x⋅cos2 x = 1 – 3
4sen2 2x
1 – 3sen2 x⋅cos2 x = 1 – 3
4sen2 2x (pero sen 2x = 2 sen x⋅ cos x)
1 – 3
4sen2 2x ; 1 –
3
4sen2 2x
22
1
Ejem
plos
EJEMPLOS
CAPÍTULO 14 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
839
Demuestra la siguiente identidad:1 2
2+ =cos x
ctg xsen x
Demostración
Se inicia con la sustitución de las siguientes identidades:
1 2 2= +sen x cos x, cos x cos x sen x2 2 2= − y ctg xcos x
sen x=
Se realizan las operaciones correspondientes y se simplifi ca:
1 2+ cos x
ctg x =
( ) )sen x cos x (cos x sen x
ctg x
2 2 2 2+ + −
=
2 2cos xcos x
sen x
= 2 2cos x sen x
cos x = 2sen x cos x
Pero 2 sen x cos x = sen 2x, por consiguiente se comprueba la igualdad:
1 22
+ ≡cos x
ctg xsen x
3
Funciones trigonométricas de la mitad de un ángulo
Seno de la mitad de un ángulo: sen2
Para obtener el senv
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ , se emplea la identidad cos(2a) = 1 – 2 sen2 a, entonces se realiza el cambio α ω=
2
cos 22
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
ω= 1 – 2sen2 v
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ S cos v = 1 – 2sen2 v
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Se despeja senv
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ , resultando sen
v
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
1 –2
cos v
Coseno de la mitad de un ángulo: cos2
Para obtener cosv
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ , se emplea la identidad cos (2a) = 2 cos2 a – 1
Entonces se realiza el cambio α ω=2
cos 22
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
ω= 2 cos2 v
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ – 1 S cos v = 2 cos2 v
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ – 1
Se despeja cosv
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ , resultando cos
v
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
12
+ cos v
Tangente de la mitad de un ángulo: tan2
Para obtener tanv
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ , se emplean identidades trigonométricas básicas:
tan v
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
sen
cos
ω
ω2
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
1
21
2
−
+
cos
cos
ω
ω =
1
21
2
−
+
cos
cos
ω
ω = 1
1
−+
cos
cos
ωω
14 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
840
Al racionalizar el denominador:
tan v
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
1 1
1 1
−( ) ⋅ −( )+( ) ⋅ −( )
cos cos
cos cos
ω ωω ω =
1
1
2
2
−( )−
cos
cos
ωω
= 1
2
2
−( )cos
sen
ωω
= 1− cos
sen
ωω
Por tanto:
tan v
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
1 –1
coscos
v
v+ =
1 – cossen
v
v
Obtén las funciones trigonométricas básicas de ω2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
si se sabe que: sen v = − 55
8 para 270° ≤ v ≤ 360°.
Solución
Se ubica el ángulo v en el cuarto cuadrante:
x = 3
8
– 55
Y
X
Por el teorema de Pitágoras
(8)2 = (x)2 + (– 55 )2
64 = x2 + 55
64 – 55 = x2
x = 9
x = 3
v
Se obtienen las funciones trigonométricas del ángulo v:
sen v = − 55
8 cos v =
3
8 tan v = − 55
3
De acuerdo con el resultado anterior, las funciones trigonométricas del ángulo ω2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
son:
senω2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
1
2
− cos ω =
138
2
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
582
= 5
16 =
5
4
cos v
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
1
2
+ cos ω =
138
2
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
1182
= 11
16 =
11
4
tan v
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
1− cos
sen
ωω
= 1
38
558
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
58558
− = − 5
55 = − 55
11
1
Ejem
plos
EJEMPLOS
CAPÍTULO 14 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
841
Obtén el valor de las funciones trigonométricas básicas del ángulo de 15°, haciendo 15° = 30
2
°
Solución
a) Para hallar el valor de sen 15° se utiliza la siguiente fórmula:
sen v
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
1
2
− cos ω
Entonces,
sen 15° = sen 30
2
°⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
1 30
2
− °cos =
13
22
− =
2 3
4
− =
2 3
2
−
Por tanto:
sen 15° = 2 3
2
−
b) Para hallar el valor de cos 15° se utiliza la siguiente fórmula:
cos v
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
1
2
+ cos ω
Entonces,
cos 15° = cos 30
2
°⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
1 30
2
+ °cos =
13
22
+ =
2 3
4
+=
2 3
2
+
Por tanto,
cos 15° = 2 3
2
+
c) Para hallar el valor de tan 15° se utiliza la siguiente fórmula:
tan v
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
1− cos
sen
ωω
Entonces,
tan 15° = tan 30
2
°⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
1 30
30
− °°
cos
sen =
13
212
− =
2 3212
−
= 2 3
1
−
Por consiguiente,
tan 15° = 2 – 3
2
14 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
842
Demuestra la siguiente identidad:
2
2
cos cos
sen sen
sα αα α
−+
≡een
cos
2
2
α
α
Demostración
Se aplican las identidades del doble del ángulo
2
2
cos cos
sen sen
senα αα α
α−+
= 2
ccosα2
S cos cos sen
sen sen cos
sen
cos
α α αα α α
α
α− −( )
+=
2 2
22
22
cos cos sen
sen sen cos
sen
cos
α α αα α α
α
α− +
+=
2 2
22
2
cos cos cos
sen sen cos
sen
cos
α α αα α α
α
α− + −
+=
2 21
22
2
1 2
22
2
2+ −+
=cos cos
sen sen cos
sen
cos
α αα α α
α
α
Se realiza una factorización tanto en el numerador como en el denominador,
1 2
2
1 1 22+ −+
=−( ) +cos cos
sen sen cos
cos cosα αα α α
α α(( )+( ) = −
sen cos
cos
senα αα
α1 2
1
Se aplican identidades básicas con el nuevo resultado,
1 1
1
1
1 12
− = −−
= −+( ) −
cos
sen
cos
cos
cos
cos co
αα
αα
αα ss
cos
cos
cos
cos
cos
ααα
α
α
α
( )=
−+
=
−
+=
−
+1
1
1
21
2
1
21 ccos α
2
Pero sencosα α
2
1
2= −
y coscosα α
2
1
2= +
, entonces se demuestra la igualdad
2
2
cos cos
sen sen
sα αα α
−+
≡een
cos
2
2
α
α
3
CAPÍTULO 14 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
843
1. Utiliza las identidades del ángulo mitad para obtener las funciones trigonométricas de los ángulosπ8
, 3
8π ,
5
8π y
7
8π .
2. Obtén las funciones trigonométricas de (2a) y α2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ , si se sabe que csc a = 4 para
π α π2
≤ ≤ .
3. Si se sabe que tan b = 12
5, para π β π≤ ≤ 3
2, halla las funciones trigonométricas de (2b) y
β2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .
4. Dada la función trigonométrica cos v = 5
8 donde
3
22π ω π≤ ≤ , encuentra las funciones trigonométricas de
(2v) y ω2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .
5. Obtén las funciones trigonométricas de (2a) y α2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ si se sabe que: sec a = − 7
2 para
π α π2
≤ ≤ .
6. Si sen α2
= 3 5
6
+ y
π α π2
≤ ≤ , determina sen a, cos a y tan a.
7. Si cos 2b = 15
17 y π β π≤ ≤ 3
2, encuentra las funciones trigonométricas de b y
β2
.
8. Si sen 1
4α =
10 50 10 5
20
− +, determina las funciones trigonométricas de a si 0
2≤ ≤α π
.
9. Si csc1
4β =
6
3 6− y 0
2≤ ≤β π
, halla las funciones trigonométricas de b y β2
.
10. Si ctg ω2
= – 3 y 3
22π ω π≤ ≤ , halla las funciones trigonométricas de v, 2v y 4v.
Demuestra las siguientes identidades:
11. 2
1
22
+=
cossec
αα
12. cos x sen x sen x 2 2 1 4−[ ] − = −( )2
13. cos 8x + cos 4x = 2cos 2x – 4sen2 3x � cos 2x
14. sen x sen x sen x cos x 4 6 2 5 + = ⋅( )
15. ctgsen
cos
1 2
2
π ω ωω4
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = +
16. cos sen cos cos8 8 1
4 2 3 4β β β β− = ⋅ +( )
17. 21
4
2
sec
sen cosα π α α
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
+( )+ 2sen α
18. cos 12° cos 24° cos 48° cos 96° = –1
16
19. 2
2
2
3 3cos x sen x
cos xcos x
sen x− = −sen x cos x
sen x+( ) +
EJERCICIO 45
14 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
844
20. 1
1
1 2
2
2
2+=
+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
sen
tan
tanϕ
ϕ
ϕ 1
2 ⋅ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ctg
ϕ 2
21. 22 2 2 2
cosy
seny
seny
cosy
cos x co−⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⋅ +⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
= ss x y cos x y+( ) + −( )
22. sen x y sen x sen y cos x y+( ) − = ⋅ +( )2 2
23. 4 2
2
2 2 2csc cos ctg tanβ β β β⋅ = −
24. 3 2
2
2
2
cos sen cos senθ θ θ θ−
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⋅ +⎡⎣⎢⎢
⎤⎦⎥
= + + 2 1cos senθ θ
25. 13
426 6 2sen x cos x sen x+ = −
Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Identidades trigonométricas para transformar un producto en suma o resta
De las identidades: sen (x + y) = (sen x) (cos y) + (sen y) (cos x) se realiza la suma con
+ sen (x – y) = (sen x) (cos y) – (sen y) (cos x)
sen (x + y) + sen (x – y) = 2 (sen x)(cos y)Al despejar,
(sen x) (cos y) = 1
2sen x y sen x y+( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦
De forma semejante se obtiene:
(cos x) (sen y) = 1
2sen x y sen x y+( ) − −( )⎡⎣ ⎤⎦
De las identidades:
cos (x + y) = (cos x) (cos y) – (sen x) (sen y) se realiza la suma con
+ cos (x – y) = (cos x) (cos y) + (sen x) (sen y)
cos (x + y) + cos (x – y) = 2 (cos x)(cos y)
Al despejar,
(cos x) (cos y) = 1
2cos x y cos x y+( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦
De la misma manera se obtiene:
(sen x) (sen y) = − +( ) − −( )⎡⎣ ⎤⎦1
2cos x y cos x y
CAPÍTULO 14 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
845
Expresa el siguiente producto en forma de suma o resta:
cos (8x) cos (2x)
Solución
Se emplea la identidad (cos x) (cos y) = 1
2cos x y cos x y+( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦ y se obtiene:
cos (8x) cos (2x) = 1
28 2 8 2cos x x cos x x( ) ( )+ + −[ ]
cos (8x) cos (2x) = 1
210 6cos x cos x( )+ ( )⎡⎣ ⎤⎦
Encuentra el valor del siguiente producto:
sen cos3
4 12
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Solución
Se emplea la identidad (sen x) (cos y) = 1
2sen x y sen x y+( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦
sen cos
3
4 12
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
1
2
3
4 12
3
4 12sen sen
π π π π+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
sen cos
3
4 12
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
1
2
9
12
9
12sen sen
π π π π+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
sen cos
3
4 12
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
1
2
5
6
2
3sen sen
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
Al sustituir el valor de las funciones trigonométricas de ángulos notables:
sen cos
3
4 12
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = 1
2
1
2
3
2+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = 1
2
1 3
2
+⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
1 3
4
+
22
1
Ejem
plos
EJEMPLOS
Convierte los siguientes productos en sumas o diferencias de funciones trigonométricas:
1. sen(a + b) cos(a – b)
11. 4 sen(3a) sen(a)
2. cos(45°) sen(60°)
12. 5cos(2a) sen(6a)
3. sen(y + b) sen(y – b)
13. cos(47°) sen(43°)
4. cos cos5
12 4
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
14. cos 2
3α⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
cos 5
3β⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
5. sen(82° 309) cos(37° 309)
15. 3sen(9a) cos 1
2α⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
6. sen(37° 309) sen(7° 309)
16. sec secπ π3 6
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
7. cos(x + a) sen(x – a)
17. tan 2a ctg a
8. cos cos7
12
5
12
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
18. sec 3
4π⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
csc π4
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
9. sen(187° 309) cos(217° 309) 19. tan(x + a) tan(x – a)
10. cos cos7
4 12
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
20.
sen
sec
2
2
α βα β
+( )−( )
EJERCICIO 46
Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
14 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
846
Demostración de identidades
Demuestra la siguiente igualdad: senπ12
cosπ12
= 1
4
Demostración
Se aplica la identidad (sen x) (cos y) = 1
2sen x y sen x y+( ) + −( )⎡⎣ ⎤⎦
sen π12
cosπ12
= 1
2 12 12 12 12sen sen
π π π π+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥ = 1
2 60sen sen
π +⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
Pero senπ6
= 1
2 y sen0 = 0, entonces:
senπ12
cosπ12
= 1
2
1
20+⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
= 1
4
Por tanto queda demostrada la igualdad.
Demuestra la siguiente expresión:
sen x cos y + sen y cos x = sen(x + y)
Demostración
Se aplica la transformación de productos a sumas y se obtiene:
sen x cos y = 1
2sen x y sen x y+( ) + −( )⎡⎣ ⎤⎦
sen y cos x = cos x sen y = 1
2sen x y sen x y+( ) − −( )⎡⎣ ⎤⎦
Al sumar ambas expresiones:
sen x cos y + sen y cos x = 1
2sen x y sen x y+( ) + −( )⎡⎣ ⎤⎦ +
1
2sen x y sen x y+( ) − −( )⎡⎣ ⎤⎦
sen x cos y + sen y cos x = 1
2
1
2
1
2
1
2sen x y sen x y sen x y sen x y+( ) + −( ) + +( ) − −( )
Se simplifi can términos semejantes, entonces:
sen x cos y + sen y cos x = sen(x + y)
Por tanto, queda demostrada la igualdad.
22
1
Ejem
plos
EJEMPLOS
CAPÍTULO 14 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
847
Demuestra las siguientes igualdades:
1.1
sec 30° csc 120 °=
3
4
2.sen 75° cos 45°sen 225° cos 75°
= – 2 – 3
3.cos 35° sen 10° + cos 10° sen 35°cos 20° cos 10° sen 20° sen 10°
=6
3
4.tan
6tan
512
+ tan12
tan512
1 tan6
tan12
= 2 + 3
5. sen x cos x + cos 3x sen x =1
2sen 4x
6. cos x +6
sen x6
=1
2sen 2x
3
2
7.sen2 3
2x cos2 x
2
cos 2 x( )cos2 32
x sen2
2x
= sec x
8. cos x[cos 2x – 2sen2 x] = cos 3x
9. tan x +3
tan3
x =2 cos 2x +1
2 cos 2x 1
10. sen(10° + x) cos (20° – x) + cos(80° – x)sen(70° + x) = sen(2x – 10°)
11. sen2
9+ x cos
1
18+ x – sen
5
18x cos
4
9x =
1
2
12.sen
2x
csc 2x
sen x
csc32
+ 2x= sen 3x
13. cos 2x + 2[sen x cos y + cos x sen y] sen(x – y) = cos 2y
14. sen2
x · sen3
2x · cos x( ) = cos3 x
p p p p
p p
p p
p p
p p p
p p
p p p p
p
p
p p p
EJERCICIO 47
Ú Este ejercicio no tiene soluciones al fi nal del libro por ser demostraciones
14 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
848
Identidades para transformar sumas o restas de funciones trigonométricasen un producto
Dados los ángulos x y y, tales que
x + y = a ; x – y = b
Al resolver el sistema de ecuaciones para x y y se obtienen los siguientes resultados:
x =α β+
2 ; y =
α β−2
Estos valores angulares se sustituyen en la identidad:
(sen x) (cos y) = 1
2sen x y sen x y+( ) + −( )⎡⎣ ⎤⎦
Y el resultado es:
sen cosα β α β+⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2 2=
1
2sen senα β+[ ]
Ahora, al despejar la suma de los senos, se determina que:
sen a + sen b = 2 sena + b a − b
2cos
2
De la misma manera se obtiene:
sen a – sen b = 2 cos
a + b a − b
a + b a − b
a + b a − b
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ sen
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
cos a + cos b = 2 cos2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ cos
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
cos a – cos b = – 22
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ sensen
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Efectúa lo siguiente: senπ2
– senπ6
Solución
Al aplicar la transformación de diferencia de senos a productos, se obtiene:
senπ2
– senπ6
= 2 cos
π π2 6
2
+⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
· sen
π π2 6
2
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
; simplifi cando
senπ2
– senπ6
= 2 cos π3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
· sen π6
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
senπ2
– senπ6
= 21
2
1
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= 1
2
1
Ejem
plos
EJEMPLOS
CAPÍTULO 14 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
849
Calcula, sin hacer uso de las tablas trigonométricas:
sen sen7
12
5
12
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Solución
Se emplea la identidad, sen a + sen b = 2 sen cosα β α β+⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟⋅ −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
2 2
sen sen
7
12
5
12
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = 2 sen cos
712
512
2
712
512
2
π π π π+⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
Se simplifi ca,
sen sen
7
12
5
12
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = 2 sen cos
π π2 12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Dado que π12
no es un ángulo notable, se puede emplear la identidad:
cosx cos x
2
1
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = +
Donde π12
=
π62
, entonces,
cosπ12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = cos
π62
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
= 1
62
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟cos
π
= 1
32
2
+ =
2 3
4
+ =
2 3
2
+
Por tanto,
sen sen7
12
5
12
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = 2 ( 1 )
2 3
2⋅ +⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
sen sen7
12
5
12
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = 2 3+
Simplifi ca la siguiente expresión: cos cosω π ω π+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3 3
Solución
Se emplea la identidad, cos a – cos b = – 2 sen senα β α β+⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟⋅ −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥2 2
cos cosω π ω π+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3 3= – 2 sen sen
ω π ω π ω+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅+
3 32
ππ ω π3 3
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ − −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
cos cosω π ω π+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3 3= – 2 sen senω( )⋅ ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
p3
cos cosω π ω π+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3 3= – 2 sen ω( )⋅
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟3
2
cos cosω π ω π+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3 3= − ⋅3 sen ω
22
33
14 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
850
Simplifi ca la siguiente expresión: senx
senx
2 2 2 2
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π π
Solución
Al utilizar la identidad, sen a – sen b = 2 cos senα β α β+⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2 2
, se obtiene:
sen
xsen
x
2 2 2 2+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π π= 2 cos
x x
sen
x
2 2 2 22
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
π π22 2 2 2
2
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ − −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
π πx
sen
xsen
x
2 2 2 2+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π π= 2cos
x
2 sen
π2
sen
xsen
x
2 2 2 2+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π π= 2cos
x
2 (1)
sen
xsen
x
2 2 2 2+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π π= 2cos
x
2
4
Convierte en producto las siguientes sumas y restas de funciones trigonométricas:
1. sen 165° + sen 75° 9. cos cos3
4 12
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2. cos cos7 2β β( )+ −( ) 10. cos cosβ π β π+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
6 6
3. sen sen240 120°( ) + °( ) 11. sen senπ π4 3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4. cos cos5 3θ θ( ) − ( ) 12. sen senα β α β+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2 2
5. cos cos37 52o°( )+ ( )29 31' '
13. cos cosα π α π+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4 4
6. sen sen7
12 12
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
14. sen senβ π β π+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
8 8
7. cos cos5
18
2
9
π π⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ 15. sen sen
5
8
7
8π α π α+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
8. sen 35° – sen 25° 16. cos cosα β α β+⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟− −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
2 2
EJERCICIO 48
Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
CAPÍTULO 14 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
851
Demostración de identidades
Demuestra la siguiente igualdad: sen sen
cos cos
50 10
50 10
º º
º º
++
= 3
3
Solución
Se aplica la suma de senos y cosenos
sen sen
cos cos
50 10
50 10
º º
º º
++
= 2
12
50 1012
50 10
212
50
sen cos
cos
º º º º+( ) −( )⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
ºº º º º+( ) −( )⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
1012
50 10cos =
sen cos
cos cos
30 20
30 20
º º
º º = tan 30º
Pero tan 30º =3
3, por lo que la igualdad queda demostrada.
Demuestra la siguiente igualdad:
sen x + sen 3x + sen 5x + sen 7x = 4 sen 4x cos 2x cos x
Solución
Se agrupan dos a dos los sumandos
sen x + sen 3x + sen 5x + sen 7x = (sen x + sen 3x) + (sen 5x + sen 7x)
Se aplica la transformación de suma de senos a productos
sen x + sen 3x = 21
23
1
23sen x x cos x x+( ) −( )⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
= 2 2sen x cos x−( )[ ] = 2 sen 2x cos x
sen 5x + sen 7x = 21
25 7
1
25 7sen x x cos x x+( ) −( )⎡
⎣⎢⎤⎦⎥ = 2 6sen x cos x−( )[ ]= 2 sen 6x cos x
Entonces, sen x + sen 3x + sen 5x + sen 7x = 2sen 2x cos x + 2sen 6x cos x = 2cos x (sen 2x + sen 6x)
En esta nueva expresión se aplica la transformación de sumas a productos,
2 cos x (sen 2x + sen 6x) = 2 cos x · 21
22 6
1
22 6sen x x cos x x+( ) −( )⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
= 4 cos x [sen 4x cos(–2x)]
= 4 cos x sen 4x cos 2xPor tanto, queda demostrada la igualdad.
22
1
Ejem
plos
EJEMPLOS
14 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
852
Demuestra las siguientes igualdades:
1. cos cos5
12
11
12p p+ = − 2
2
2. sen sen
sen sen
40 20
40 20
º º
º º
+−
= 3
310ctg º
3. sen sen
sen sen
p p
p p6
518
518 6
+
−=
tan
tan
29
18
p
p
4. cos (x – π) + cos (x + π) = – 2 cos x
5. sen 2x + sen 4x – sen 6x = 4sen x sen 2x sen 3x
6. sen x – sen 2x + sen 3x – sen 4x = – 4sen x
2 cos
5
2
x cos x
7. cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 4cos5
2
x cos x cos
x
2
8. tan x = sen x sen x
cos x cos x
5 3
5 3
−+
9. 1 2
3
2−−
sen x
sen x sen x=
1
2csc x
10. cos x y cos x y
sen x y sen x y
+( ) − −( )+( ) − −( )
= – tan x
11. 1
2 3sen x sen x sen x+ +=
1
4
3
2 2csc
xx sec
xsec
12. 1
4cos a b c cos a b c cos a b c cos a b c+ +( )+ + −( )+ − +( )+ − −(( )⎡⎣ ⎤⎦ = cos a cos b cos c
EJERCICIO 49
Ecuaciones trigonométricas
Una ecuación trigonométrica es una expresión que tiene como incógnita valores angulares bajo los signos de funciones trigonométricas.
Al resolver una ecuación trigonométrica se debe encontrar el o los valores que satisfacen dicha ecuación, esto es, que en una ecuación trigonométrica no siempre existe una solución única, en ocasiones existen varias, las cuales se expresan como conjunto solución.
Ú Este ejercicio no tiene soluciones al fi nal del libro por ser demostraciones
CAPÍTULO 14 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
853
Resuelve la siguiente ecuación para 0 ≤ x ≤ 2p.
sen x +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
p4
= 1
Solución
Se despeja la incógnita x y la función seno se representa como arc sen en el segundo miembro, luego el intervalo indica que se tomarán como solución aquellas entre 0° y 360°
sen x +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
p4
= 1 S x +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
p4
= arc sen (1)
x + p4
= p2
x = p2
–p4
=p4
= 45°
El resultado puede expresarse en grados o en radianes.
Resuelve la siguiente ecuación para u si 0° ≤ u ≤ 360°.3 tan u – 4 = tan u –2
Solución
Se agrupan los términos que tienen a las incógnitas y se reducen:
3 tan u – 4 = tan u –2 S 3 tan u – tan u = –2 + 4 2 tan u = 2 tan u = 1
De esta expresión se despeja el ángulo u
tan u = 1 S u = arc tan (1)
u = p4
= 45°
Luego, la tangente es positiva en el primero y tercer cuadrantes, por consiguiente, el conjunto solución es p4
y 5
4
p.
Resuelve la siguiente ecuación para x si 0 ≤ x ≤ 2p.
2 sen2 x –1 = – sen xSolución
Se agrupan los términos en el primer miembro:
2 sen2 x –1 = –sen x S 2sen2 x + sen x – 1 = 0
La expresión resultante se factoriza, (2sen x –1)(sen x + 1) = 0
Por tanto, 2sen x – 1 = 0 y sen x + 1 = 0, de las cuales se despeja la incógnita x, entonces,
2sen x –1 = 0 sen x + 1 = 0
sen x =1
2 sen x = –1
x = arc sen 1
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x = arc sen (– 1)
x = p p6
5
6, x =
3
2
p
Luego, el conjunto solución es p p p6
5
6
3
2, y .
22
33
1
Ejem
plos
EJEMPLOS
14 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
854
Resuelve la siguiente ecuación para u, si 0° ≤ u ≤ 360°.4 cos2 u – 3 = 0
Solución
Se despeja cos u de la ecuación:
4 cos2 u – 3 = 0 S 4 cos2 u = 3 S cos2 u = 3
4
cos u = ±3
2Se obtienen dos ecuaciones
cos u = 3
2 y cos u = –
3
2Se despeja el ángulo u
u = arc cos3
2
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = 30°, 330° ; u = arc cos −
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
3
2= 150°, 210°
Al fi nal, el conjunto solución es 30°, 150°, 210° y 330°.
Resuelve la siguiente ecuación para u si 0° ≤ u ≤ 360°.
2 sen2 u = – sen u
Solución
Se resuelve la ecuación:
2sen2 u + sen u = 0 S sen u (2 sen u + 1) = 0
Se obtienen dos ecuaciones: sen u = 0 2 sen u + 1 = 0Se despeja el ángulo u, sen u = 0 2 sen u + 1 = 0
u = arc sen (0) u = arc sen −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1
2 u = 0°, 180°, 360° u = 210°, 330°
Por tanto, el conjunto solución es 0°, 180°, 210°, 330° y 360°.
Resuelve la siguiente ecuación para x si 0° ≤ x ≤ 360°.
2 cos2 x = sen x – 1
Solución 2 cos2 x = sen x – 1 S 2(1 – sen2 x) = sen x – 1
2 – 2sen2 x = sen x – 1
2 – 2sen2 x – sen x + 1 = 0
– 2sen2 x – sen x + 3 = 0 (÷ – 1)
2sen2 x + sen x –3 = 0
(2sen x + 3)(sen x – 1) = 0Se despeja el ángulo x de ambas ecuaciones: sen x – 1 = 0 2 sen x + 3 = 0
x = arc sen (1) sen x = –3
2(no existe solución)
x = 90°Cabe mencionar que 2 sen x + 3 = 0 no tiene solución porque –1 ≤ sen x ≤ 1, entonces el conjunto solución es 90°.
55
66
4
CAPÍTULO 14 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas
855
Resuelve las siguientes ecuaciones, tales que 0° ≤ x ≤ 360°.
1. sen x = sen p2
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟x
16. 2sen x + csc x = 3
2. cos x + 2 sen x = 2 17. sen x ⋅ ctg x – sen x = 0
3. 2 cos p4
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟x = 1 18. 2cos3 x + cos2 x – 2cos x – 1 = 0
4. csc x = sec x 19. 4cos x – 2 = 2 tan x ⋅ ctg x – sec x
5. 2 cos x ⋅ tan x – 1 = 0 20. tan5 x – 9 tan x = 0
6. 4 cos2 x = 3 – 4 cos x 21. 1
3 02ctg x
tan x
+ =
7. 3 cos2 x + sen2 x = 3 22. sen x sec x sen x sec x⋅ + − =2 2
8. 2 sen2 x + sen x = 0 23. 2 3 2 3 2 2−( ) + −( ) =sen x cos x
9. cos x + 9 sen2 x = 1 24. 2 +( ) − +( ) =5 1 2 5 2 2cos x sen x
10. csc2 x = 2 cot2 x 25. sec x(2sen x + 1) – 2(2sen x + 1) = 0
11. sen x ⋅ tan x + 1 = sen x + tan x 26. 3
0tan x
sec xcos x− =
12. 2cos2 x + 3sen x = 0 27. 2 2 3cos x sen x− = −
13. sen x – cos x = 0 28. 5sen2 x + cos2 x = 2
14. 3cos2 x – sen2 x = 0 29. 5
5 3 0csc x
cos x− =
15. cos x – 3 sen x = 0 30. cos2 x + cos x = sen2 x
EJERCICIO 50
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