03[mate tamb spm]

1

Matematik Tambahan SPM Bab 3

© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.

Praktis Masteri

1. (b), (c), (d), (e) dan (h)

2. f (x) = 4x2 – 8x + 6Apabila x = –2,f (–2) = 4(–2)2 – 8(–2) + 6 = 16 + 16 + 6 = 38

3. f (x) = x2 – 3x + 2Apabila f (x) = 0, x2 – 3x + 2 = 0 (x – 1)(x – 2) = 0 x – 1 = 0 atau x – 2 = 0 x = 1 atau x = 2

4. f (x) = –3x2 + 5x – 1Apabila f (x) = 1, –3x2 + 5x – 1 = 1 –3x2 + 5x – 1 – 1 = 0 3x2 – 5x + 2 = 0 (3x – 2)(x – 1) = 0 3x – 2 = 0 atau x – 1 = 0 x = 2—

3 atau x = 1

5. (a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

6. (a) Dua punca nyata yang berlainan.(b) Satu punca nyata atau dua punca nyata yang sama.(c) Tiada punca nyata.

7. (a) Nilai minimum ialah 3.(b) Nilai maksimum ialah 4.(c) Nilai minimum ialah –10.

(d) f (x) = 23 1—2 (x – 3)2 + 1—

4 4 = (x – 3)2 + 1—

2

Oleh itu, nilai minimum ialah 1—2 .

(e) f (x) = 1—3 [6 – (x + 1)2] + 5

= 2 – 1—3 (x + 1)2 + 5

= – 1—3 (x + 1)2 + 7

Oleh itu, nilai maksimum ialah 7.

(f) Nilai minimum ialah 3.

8. (a) f (x) = x2 – 4x + 2

= x2 – 4x + 1 4—2 2

2 – 1 4—

2 22 + 2

= (x – 2)2 – 4 + 2 = (x – 2)2 – 2 Oleh itu, nilai minimum ialah –2.

(b) f (x) = 2x2 + 6x – 5 = 2(x2 + 3x) – 5

= 23x2 + 3x + 1 3—2 2

2 – 1 3—

2 22

4 – 5

= 231x + 3—2 2

2 – 9—

4 4 – 5

= 21x + 3—2 2

2 – 9—

2 – 5

= 21x + 3—2 2

2 – 19—–

2

Oleh itu, nilai minimum ialah – 19—–2 .

(c) f (x) = x2 + 5x

= x2 + 5x + 1 5—2 2

2 – 1 5—

2 22

= 1x + 5—2 2

2 – 25—–

4


3BAB Fungsi Kuadratik

2



(d) f (x) = 6x – x2

= –(x2 – 6x)

= –3x2 – 6x + 1 6—2 2

2 – 1 6—

2 22

4 = –[(x – 3)2 – 9] = – (x – 3)2 + 9 Oleh itu, nilai maksimum ialah 9.

(e) f (x) = 3 – 4x – x2

= –x2 – 4x + 3 = –(x2 + 4x) + 3

= –3x2 + 4x + 1 4—2 2

2 – 1 4—

2 22

4 + 3

= –[(x + 2)2 – 4] + 3 = –(x + 2)2 + 4 + 3 = –(x + 2)2 + 7 Oleh itu, nilai maksimum ialah 7.

(f) f (x) = 4x – 2x2

= –2x2 + 4x = –2(x2 – 2x)

= –23x2 – 2x + 1 2—2 2

2 – 1 2—

2 22

4 = –2[(x – 1)2 – 1] = –2(x – 1)2 + 2 Oleh itu, nilai maksimum ialah 2.

(g) f (x) = 10 + 5x – 3x2

= –3x2 + 5x + 10

= –31x2 – 5—3 x2 + 10

= –33x2 – 5—3 x + 1 5—

6 22 – 1 5—

6 22

4 + 10

= –331x – 5—6 2

2 – 25—–

36 4 + 10

= –31x – 5—6 2

2 + 25—–

12 + 10

= –31x – 5—6 2

2 + 145—––

12

Oleh itu, nilai maksimum ialah 145—––12 .

(h) f (x) = (2x – 1)(x + 3) = 2x2 + 5x – 3

= 21x2 + 5—2 x2 – 3

= 23x2 + 5—2 x + 1 5—

4 22 – 1 5—

4 22

4 – 3

= 231x + 5—4 2

2 – 25—–

16 4 – 3

= 21x + 5—4 2

2 – 25—–

8 – 3

= 21x + 5—4 2

2 – 49—–

8


(i) f (x) = (1 – 4x)(x + 2) = x + 2 – 4x2 – 8x = – 4x2 – 7x + 2

= – 41x2 + 7—4 x2 + 2

= – 43x2 + 7—4 x + 1 7—

8 22 – 1 7—

8 22

4 + 2

= – 431x + 7—8 2

2 – 49—–

64 4 + 2

= – 41x + 7—8 2

2 + 49—–

16 + 2

= – 41x + 7—8 2

2 + 81—–

16 Oleh itu, nilai maksimum ialah 81—–

16 .

9. (a) f (x) = x2 – 4 Oleh itu, nilai minimum ialah (0, – 4).

x –2 2 4f (x) 0 0 12

f (x)

x

–4–2 2 4

12

0

(b) f (x) = 3x2 + 5 Oleh itu, nilai minimum ialah (0, 5).

x –1 3f (x) 8 32

f (x)

x–1 3

58

32

0

(c) f (x) = 8 – x2

Oleh itu, nilai maksimum ialah (0, 8).x –3 ±AB8 3

f (x) –1 0 –1

f (x)

x–1

8

–3 3– 8�� 8��

0

3



(d) f (x) = 10 – 2x2

Oleh itu, nilai maksimum ialah (0, 10).

x –3 ±AB5 4

f (x) –8 0 –22

f (x)

x–8

10

–3 4– 5�� 5��0

–22

(e) f (x) = x(x + 2) = x2 + 2x = x2 + 2x + 12 – 12

= (x + 1)2 – 1 Oleh itu, nilai minimum ialah (–1, –1).

x – 4 –2 0 2f (x) 8 0 0 8

f (x)

x

(–1,–1)–4

8

–2 20

(f) f (x) = (x – 1)(2x + 1) = 2x2 – x – 1

= 21x2 – x—2 2 – 1

= 23x2 – x—2 + 1 1—

4 22 – 1 1—

4 22

4 – 1

= 231x – 1—4 2

2 – 1—–

16 4 – 1

= 21x – 1—4 2

2 – 1—

8 – 1

= 21x – 1—4 2

2 – 9—

8

Oleh itu, nilai minimum ialah ( 1—4 , – 9—

8 ).

x –1 – 1—2 0 1 2

f (x) 2 0 –1 0 5

f(x)

x1 2–1 1

2– –98– –)1

4 ( –,

20

5

–1

(g) f (x) = –(x – 3)2 + 5 Oleh itu, nilai maksimum ialah (3, 5).

x –2 0 3 – AB5 3 + AB5 6

f (x) –20 – 4 0 0 –4

f (x)

x–2 –4

–20

(3, 5)

63 + 5��3 – 5��0

(h) f (x) = x2 + 4x + 5 = x2 + 4x + 22 – 22 + 5 = (x + 2)2 + 1 Oleh itu, nilai minimum ialah (–2, 1).

x –3 0 1f (x) 2 5 10

f (x)

x

(–2, 1)

–3 1

2

5

10

0

(i) f (x) = 2x2 + 6x – 8 = 2(x2 + 3x) – 8

= 23x2 + 3x + 1 3—2 2

2 – 1 3—

2 22

4 – 8

= 231x + 3—2 2

2 – 9—

4 4 – 8

= 21x + 3—2 2

2 – 9—

2 – 8

= 21x + 3—2 2

2 – 25—–

2

Oleh itu, nilai minimum ialah (– 3—2 , – 25—–

2 ).

x –3 0 1 2f (x) –8 –8 0 12

– 252 – –)3

2( –,

f(x)

x–3

12

–80 1 2

4



(j) f (x) = (x – 4)2

Oleh itu, nilai minimum ialah (4, 0).

x 0 4 5f (x) 16 0 1

f (x)

x4 50

1

16

(k) f (x) = –x2 + 6x – 9 = –(x2 – 6x) – 9 = –(x2 – 6x + 32 – 32) – 9 = –[(x – 3)2 – 9] – 9 = –(x – 3)2

Oleh itu, nilai maksimum ialah (3, 0).

x 0 3 4f (x) –9 0 –1

f (x)

x0–1

–9

(3, 0)

4

10. (a) x(x – 2) > 0

0 2

x

f (x)

Julat nilai x ialah x < 0 atau x > 2.

(b) (x – 3)(x – 4) < 0

0 43

x

f (x)

Julat nilai x ialah 3 < x < 4.

(c) x2 – 3x – 4 . 0 (x – 4)(x + 1) . 0

4–1 0 x

f (x)

Julat nilai x ialah x , –1 atau x . 4.

(d) 2x2 + 5x – 3 , 0 (2x – 1)(x + 3) , 0

1–2

–3 0 x

f (x)

Julat nilai x ialah –3 , x , 1—2 .

(e) (x – 3)(x + 2) < –4 x2 – x – 6 < –4 x2 – x – 2 < 0 (x – 2)(x + 1) < 0

–1 20 x

f (x)

Julat nilai x ialah –1 < x < 2.

(f) (2x – 1)(x – 3) < 4(x – 3) 2x2 – 6x – x + 3 < 4x – 12 2x2 – 11x + 15 < 0 (x – 3)(2x – 5) < 0

5–2

30 x

f (x)

Julat nilai x ialah 5—2 < x < 3.

(g) x2 + 4———5 < 2x – 1

x2 + 4 < 5(2x – 1) x2 + 4 < 10x – 5 x2 – 10x + 9 < 0 (x – 1)(x – 9) < 0

5



910 x

f (x)

Julat nilai x ialah 1 < x < 9.

(h) x (1 – 4x) , 5x – 8 x – 4x2 – 5x + 8 , 0 – 4x2 – 4x + 8 , 0 x2 + x – 2 . 0 (x + 2)(x – 1) . 0

1–2 0 x

f (x)

Julat nilai x ialah x , –2 atau x . 1.

1. (a) Koordinat-x bagi bahagian maksimum = 1 + 7——–2 = 4 Oleh itu, persamaan bagi paksi simetri ialah x = 4.

(b) f (x) = p – (x + q)2

= 5 – (x – 4)2

2. f (x) = 2x2 – 16x + k2 + 2k + 1 = 2(x2 – 8x) + k2 + 2k + 1

= 23x2 – 8x + 1 8—2 2

2 – 1 8—

2 22

4 + k2 + 2k + 1

= 2[(x – 4)2 – 16] + k2 + 2k + 1 = 2(x – 4)2 – 32 + k2 + 2k + 1 = 2(x – 4)2 + k2 + 2k – 31

Diberi nilai minimum = –28,[ k2 + 2k – 31 = –28 k2 + 2k – 3 = 0 (k + 3)(k – 1) = 0 k = –3, 1

3. x (x + 2) > 3 x2 + 2x – 3 > 0 (x + 3)(x – 1) > 0

1–3 0 x

f (x)

Julat nilai x ialah x < –3 atau x > 1.

4. (a) f (x) = 2(x – 3)2 + k p ialah koordinat-x titik minimum. Oleh itu, p = 3.

(b) k ialah nilai minimum bagi f(x). Oleh itu, k = –4.

(c) Persamaan bagi paksi simetri ialah x = 3.

5. f (x) = 2x2 – 12x + 5 = 2(x2 – 6x) + 5 = 2[(x – 3)2 – 32] + 5 = 2(x – 3)2 – 18 + 5 = 2(x – 3)2 – 13

[ p = 2, q = –3, –r + 1 = –13 r = 14

6. (a) f (x) = –x2 + 6px + 1 – 4p2

= –(x2 – 6px) + 1 – 4p2

= –3x2 – 6px + 1 6p—–2 2

2 – 1 6p

—–2 2

2

4 + 1 – 4p2

= –[(x – 3p)2 – 9p2] + 1 – 4p2

= – (x – 3p)2 + 9p2 + 1 – 4p2

= – (x – 3p)2 + 1 + 5p2

Diberi nilai maksimum ialah q2 – p. Maka, q2 – p = 1 + 5p2

5p2 + p + 1 = q2

(b) x = 3 ialah paksi simetri 3p = 3

p = 1

Gantikan p = 1 dalam 5p2 + p + 1 = q2, 5(1)2 + 1 + 1 = q2

q2 = 7 q = ±AB7 Maka, p = 1, q = ±AB7

6



7. (a) x = –2, x = 4

(b) x = –2 + 4 –––––– 2

[ paksi simetri ialah x = 1

8. (a) f(x) = –2x2 + 4x + 6

= –2 [x2 – 2x] + 6

= –2 3x2 – 2x + 12 ––– 2 2

2– 12 –––

2 22

4 + 6

= –2 fsx – 1d2 1g + 6

= –2 sx – 1d2 + 2 + 6

= –2 sx – 1d2 + 8 Bandingkan dengan f(x) = –a(x – 1)2 + p + 5, maka, a = 2 dan p = 3.

(b) f(x) = –2(x 1)2 1 8

Titik maksimum ialah (1, 8)

Pada paksi f(x),

f(0) = 2(0 1)2 1 8

= 6

Pada paksi-x,

–2(x 1)2 1 8 = 0

(x 1)2 = 4

x = ± 2 1

= 1, 3

f (x)

x–1 3

6

0

(1,8)

9. (a) Titik maksimum = 1– 8 + 2——––2 , 252 = (–3, 25)

(b) Paksi simetri ialah x = –3(c) Apabila f(x) , 0 (negatif), x , –8 atau x . 2.

10. (a) h = 3 2p – 1 = –11 2p = –10 p = –5

(b) f(0) = (0 – 3)2 – 11 k = 9 – 11 \ k = –2

11. f(x) > 13 –2x2 + 3x + 15 > 13 –2x2 + 3x + 2 > 0 (2 – x)(2x + 1) > 0

x

f(x)

0 212—–

Maka, julat nilai x ialah – 1—2

< x < 2.

12. (a) Gantikan x = 0 dalam f(x) = –x2 + hx + 4 ⇒ f(0) = 4 \ A(0, 4)

(b) f(x) = –x2 + hx + 4 = –(x2 – hx) + 4

= – 31x – h—2 2

2 – 1 h—

2 22

4 + 4

= – 1x – h—2 2

2 + h2

—4

+ 4

Maka apabila x = 2—2

, 2 – h—2

= 0

2 = h—2

h = 4 dan

k = h2—4 + 4

= 42—4 + 4

k = 8

(c)

x

f(x)

f(x) = 4

0 4

B(2, 8)

A

Julat nilai x: 0 < x < 4

7



Soalan RamalanSoalan Ramalan

1. Koordinat-x titik A ialah = 0 + 8——–2

= 4

Biarkan C sebagai titik tengah OB,

4

5

A

CO

AC2 = OA2 – OC2

= 52 – 42

= 9 AC = 3

Koordinat titik A ialah (4, 3).

2. Koordinat-x titik minimum = 0 + 4——–2 = 2Koordinat-x titik minimum bagi imej ialah –2.

3. (a) y = (x – p)2 + q dan titik minimum ialah (2, –1). Maka, p = 2 dan q = –1

(b) y = (x – 2)2 – 1 Apabila y = 0, (x – 2)2 – 1 = 0 (x – 2)2 = 1 x – 2 = ±1 x = ±1 + 2 = 1, 3

Maka, A ialah (1, 0) dan B ialah (3, 0).

4. f (x) = 2k + 1 – 1x + 1—2 p2

2

Diberi (–1, k) ialah titik maksimum.Maka, 2k + 1 = k k = –1

x + 1—2 p = 0 apabila x = –1,

–1 + 1—2 p = 0

1—2 p = 1

p = 2

5. Diberi (p, 2q) ialah titik minimum.y = 2x2 – 4x + 5 = 2(x2 – 2x) + 5 = 2(x2 – 2x + 12 – 12) + 5 = 2[(x – 1)2 – 1] + 5 = 2(x – 1)2 – 2 + 5 = 2(x – 1)2 + 3

2q = 3

q = 3—2

p – 1 = 0 p = 1

6. (a) Oleh sebab (1, 4) ialah titik pada y = x2 – 2kx + 1, gantikan x = 1, dan y = 4 dalam persamaan, 4 = 12 – 2k(1) + 1 2k = –2 k = –1

(b) y = x2 – 2(–1)x + 1 = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2

Nilai minimum ialah 0.

7. f (x) = –x2 – 8x + k – 1 = –(x2 + 8x) + k – 1 = –(x2 + 8x + 42 – 42) + k – 1 = –[(x + 4)2 – 16] + k – 1 = –(x + 4)2 + 16 + k – 1 = –(x + 4)2 + 15 + k

Oleh sebab 13 ialah nilai maksimum,maka 15 + k = 13 k = –2

8. f (x) = 2x2 – 6x + 7 = 2(x2 – 3x) + 7

= 23x2 – 3x + 1 3—2 2

2 – 1 3—

2 22

4 + 7

= 231x – 3—2 2

2 – 9—

4 4 + 7

= 21x – 3—2 2

2 – 9—

2 + 7

= 21x – 3—2 2

2 + 5—

2

Titik minimum ialah ( 3—2 , 5—

2 ).

x –1 0 3

f (x) 15 7 7

�–, –�

3

5322

0

7

15

x

f (x)

–1

Julat ialah 5—2 < f (x) < 15.

8



9. f (x) = 5 – 4x – 2x2

= –2x2 – 4x + 5 = –2(x2 + 2x) + 5 = –2(x2 + 2x + 12 – 12) + 5 = –2[(x + 1)2 – 1] + 5 = –2(x + 1)2 + 2 + 5 = –2(x + 1)2 + 7

Apabila f (x) = –1,–2(x + 1)2 + 7 = –1 –2(x + 1)2 = –8 (x + 1)2 = 4 x + 1 = ±2 x = ±2 – 1 = –3 atau 1

10. y = (x – 3)2 – 4Titik minimum ialah (3, –4).

x –1 0 1 5 6y 12 5 0 0 5

x0 1 5 6

5

12

–1

(3, –4)

y

Julat ialah – 4 < y < 12.

11. 3x2 , x 3x2 – x , 0 x(3x – 1) , 0

–130 x

f (x)

Julat ialah 0 , x , 1—3 .

12. 3x – x2———2 , 1

3x – x2 , 2 –x2 + 3x – 2 , 0 x2 – 3x + 2 . 0 (x – 1)(x – 2) . 0

20 x

f (x)

1

Julat ialah x , 1 atau x . 2.

13. Diberi x – 2y = 1, x = 1 + 2y ........................ 1

Gantikan 1 dalam y + 3 > 2xy, y + 3 > 2(1 + 2y)y y + 3 > 2y + 4y2

0 > 4y2 + y – 3 0 > (4y – 3)(y + 1)

3–40 y

f (y)

–1

Julat ialah –1 < y < 3—4 .

14. f (x) , 0 5x2 – 4x – 1 , 0 (5x + 1)(x – 1) , 0

1– –50 x

f (x)

1

Julat ialah – 1—5 , x , 1.

15. g(x) . 0 4x2 – 9 . 0(2x + 3)(2x – 3) . 0

3– –23–2

0 x

g(x)

Julat ialah x , – 3—2 atau x . 3—

2 .

9



16.

x

f(x)

0 20

12

–20

Berpandukan rajah di atas,f(x) = ax2 + 12

Apabila f(x) = 0, x = 20 \ f(20) = 0a(20)2 + 12 = 0 400a = –12

a = – 12——400

= –0.03

17.

x

B

A

C

D

h(x)

4 m

12 m

2 m0

2 m

x m x m

Di C, h = –12 m h(x) = –x2 + 4\ –12 = –x2 + 4 x2 = 16 x = 4

\BC = 2 × x = 2 × 4 = 8 m

18. (a) Oleh sebab y = 3x2 – 9x + t . 0 untuk semua nilai x dan tidak mempunyai punca apabila y = 0,

maka, b2 – 4ac , 0 untuk 3x2 – 9x + t = 0 (–9)2 – 4(3)(t) , 0 81 – 12t , 0 –12t , –81

t . –81——–12

t . 27—–4

(b) Biarkan f (x) = a(x – b)2 + c f (x) = a(x – 2)2 + 0 f (x) = a(x – 2)2

Gantikan x = 0 dan f (x) = –3 dalam persamaan, –3 = a(0 – 2)2

= 4a

a = – 3—4

Maka, fungsi kuadratik ialah f (x) = – 3—4 (x – 2)2.

19. (a) Diberi 2x2 – 3y + 2 = 0 3y = 2x2 + 2

y = 2x2—–3 + 2—

3 ................1

Gantikan 1 dalam y , 10,

2x2—–3 + 2—

3 , 10

2x2 + 2 , 30 2x2 – 28 , 0 x2 – 14 , 0 (x + ABB14 )(x – ABB14 ) , 0

��14–��14 0 x

f (x)

Julat ialah –ABB14 , x , ABB14 .

(b) 2x2 – 8x – 10 = 2(x2 – 4x) – 10 = 2(x2 – 4x + 22 – 22) – 10 = 2[(x – 2)2 – 4] – 10 = 2(x – 2)2 – 8 – 10 = 2(x – 2)2 – 18

Oleh itu, a = 2, b = –2 dan c = –18

Maka, nilai minimum 2x2 – 8x – 10 ialah –18.

20. 5 – 2x < 0 3x2 – 4x . –1 3x2 – 4x + 1 . 0(3x – 1)(x – 1) . 0

11–30 x

f (x)

x , 1—3 , x . 1

–2x < –5 x >

–5—––2

x > 5—2

5–21–3

1

x � 5—2

x � x � 11—3

Julat nilai x ialah x > 5—2 .

10



21. 5 , f (x) , 95 , 5 – 3x + x2 , 9

5 , 5 – 3x + x2 , 5 – 3x + x2 , 95 – 3x + x2 – 9 , 0 x2 – 3x – 4 , 0 (x – 4)(x + 1) , 0

4–1 0 x

f (x)

–1 , x , 4

0 , x2 – 3x0 , x(x – 3)

30 x

f (x)

x , 0, x . 3

0–1 43

x < 0 x > 3

–1 < x < 4

Julat ialah –1 , x , 0 atau 3 , x , 4.

22. 1 > x2 + 3x – 3 . –3 x2 + 3x – 3 . –3 x2 + 3x . 0 x(x + 3) . 0

–3 0 x

f (x)

x , –3, x . 0

1 > x2 + 3x – 3 ,0 > x2 + 3x – 40 > (x + 4)(x – 1)

1–4 0 x

f (x)

– 4 < x < 1

–4

x < –3 x > 0

–4 � x � 1

–3 0 1

Julat ialah – 4 < x , –3 atau 0 , x < 1.

23. x2 + 5x – 10 . 4

x2 + 5x – 10 , – 4 , x2 + 5x – 10 . 4 x2 + 5x – 14 . 0(x + 7)(x – 2) . 0

–7 20 x

f (x)

x , –7, x . 2

x2 + 5x – 6 , 0(x + 6)(x – 1) , 0

–6 10 x

f (x)

–6 , x , 1

–6–7 1 2

Julat ialah –6 < x < 1, x < –7, x > 2.

24. f (x) = (r + 1)x2 + 2rx + r – 3Diberi f (x) tidak bersilang dengan paksi-x,maka b2 – 4ac , 0(2r)2 – 4(r + 1)(r – 3) , 0 4r2 – 4(r2 – 2r – 3) , 0 4r2 – 4r2 + 8r + 12 , 0 2r + 3 , 0

r , – 3—2

25. Diberi f (x) = 9 – 6x + 2x2 tidak mempunyai punca nyata apabila f (x) = k, 9 – 6x + 2x2 = k 2x2 – 6x + 9 – k = 0

Gunakan b2 – 4ac , 0(– 6)2 – 4(2)(9 – k) , 0 36 – 72 + 8k , 0 –36 + 8k , 0 8k , 36

k , 36—–8

k , 9—2

26. 2x2 + 10x – 20 < 8–8 < 2x2 + 10x – 20 < 8

–8 < 2x2 + 10x – 20 , 2x2 + 10x – 20 < 8 2x2 + 10x – 28 < 0 x2 + 5x – 14 < 0 (x + 7)(x – 2) < 0

–7 20 x

f (x)

–7 < x < 2

0 < 2x2 + 10x – 12 0 < x2 + 5x – 6 0 < (x + 6)(x – 1)

–6 10 x

f (x)

x < –6, x > 1

x � –6 x � 1

–7 �� x �� 2

–6–7 1 2

Julat ialah –7 < x < –6 atau 1 < x < 2.

11



27. y = x2 + 5x – 6

= x2 + 5x + 1 5—2 2

2 – 1 5—

2 22 – 6

= 1x + 5—2 2

2 – 25—–

4 – 6

= 1x + 5—2 2

2 – 49—–

4

Nilai minimum ialah (– 5—2 , – 49—–

4).

x –13 – 6 0 1 3y 98 0 – 6 0 18

x0–6–13 –6

18

98

1 3

))– – , – –52

494

y

Julat ialah – 49—–4

, y , 98.

28. y = –x2 + 2x – nx + 16 = –x2 + (2 – n)x + 16 = –[x2 – (2 – n)x] + 16

= –3x2 – (2 – n)x + 1 2 – n——–2 2

2 – 1 2 – n——–

2 22

4 + 16

= –31x – 2 – n——–2 2

2 – 1 2 – n——–

2 22

4 + 16

= –1x – 2 – n——–2 2

2 + 1 2 – n——–

2 22 + 16

Oleh sebab y = x2 – 3k dan y = –x2 + 2x – nx + 16 mempunyai paksi simetri yang sama, iaitu x = 0.

maka – 2 – n——–2 = 0

2 – n = 0 n = 2

Persamaan y = –x2 + 2x – nx + 16 = –x2 + 2x – 2x + 16

= –1x – 2 – 2——–2 2

2 + 1 2 – 2——–

2 22 + 16

= –x2 + 16

Apabila y = 0, –x2 + 16 = 0 x2 = 16 x = ±ABB16 = ±4

Maka, B = (4, 0)

Gantikan x = 4, y = 0 dalam y = x2 – 3k,0 = 42 – 3k0 = 16 – 3k

k = 16—–3

29. (a) y = –2[(3k – x)2 + n] – 10 mempunyai titik maksimum (4, 11).

y = –2(3k – x)2 – 2n – 10 [ 3k – 4 = 0 dan –2n – 10 = 11

k = 4—3 –2n = 21

n = – 21—–2

(b) Gantikan k = 4—3 dan n = – 21—–

2 dalam

y = –2[(3k – x)2 + n] – 10,

y = –23(4 – x)2 – 21—–2 4 – 10

= –2(4 – x)2 + 21 – 10 = –2(4 – x)2 + 11

Apabila y = 0, –2(4 – x)2 + 11 = 0 2(4 – x)2 = 11

(4 – x)2 = 11—–2

4 – x = ±ABBB11—–2

x = 4 ± ABBB11—–2

= 4 – ABBB11—–2 , 4 + ABBB11—–

2 = 1.655, 6.345

(c) y = –2(4 – x)2 + 11 Titik maksimum ialah (4, 11).

x –1 0 5

y –39 –21 9

(–1, –39)

–21

(5, 9)(4, 11)

0x

y

Julat ialah –39 < y < 11.

12



30. (a) 1 + x——–2

= 3

x = 6 – 1 = 5 Maka, B(5, 0)

(b) 3 – p = 0 p = 3

q – 1 = –6 q = –5

(c) Titik pusingan ialah (3, –6).

31. (a) f (x) = –2x2 + 12x + p = –2(x2 – 6x) + p = –2(x2 – 6x + 32 – 32) + p = –2[(x – 3)2 – 9] + p = –2(x – 3)2 + 18 + p

Bandingkan dengan f (x) = a(x + b)2 + 18, a = –2, b = –3, p = 0

(b) Titik pusingan ialah (3, 18).

32. (a) y = 4x2 – 2kx + 6k mempunyai nilai minimum 20

y = 41x2 – 2k—–4

x2 + 6k

= 43x2 – k—2 x + 1 k—

4 22 – 1 k—

4 22

4 + 6k

= 431x – k—4 2

2 – k 2—–

16 4 + 6k

= 41x – k—4 2

2 – k2

—4 + 6k

Diberi nilai minimum y = 20. Oleh itu, – k2

—4 + 6k = 20

–k2 + 24k = 80 k2 – 24k + 80 = 0 (k – 20)(k – 4) = 0 k = 4 atau 20

(b) Gantikan k = 20 dalam y = 4x2 – 2kx + 6k, y = 4x2 – 40x + 120

Persamaan lengkung selepas dipantulkan pada paksi-y ialah y = 4x2 + 40x + 120.

(c) Gantikan k = 4 dalam y = 4x2 – 2kx + 6k, y = 4x2 – 8x + 24 = 4(x2 – 2x) + 24 = 4[x2 – 2x + (1)2 – (1)2] + 24 = 4[(x – 1)2 – 1] + 24 = 4(x – 1)2 – 4 + 24 = 4(x – 1)2 + 20

Maka, paksi simetri ialah x = 1.

33. f (x) = 2x2 + kx – 4r

= 21x2 + k—2 x2 – 4r

= 23x2 + k—2 x + 1 k—

4 22 – 1 k—

4 22

4 – 4r

= 231x + k—4 2

2 – k2

–—16 4 – 4r

= 21x + k—4 2

2 – k2

–—8 – 4r

x + k—4 = 0 apabila x = k2 – 3—

4 ,

Oleh itu, k2 – 3—4 + k—

4 = 0

4k2 – 3 + k = 0 4k2 + k – 3 = 0 (4k – 3)(k + 1) = 0 k = –1 atau 3—

4– k2

–—8 – 4r = k

Apabila k = –1, – 1—8 – 4r = –1

4r = 1 – 1—8

= 7—8

r = 7—–32

Apabila k = 3—4 , –

9—–16——8

– 4r = 3—4

– 9—––128 – 4r = 3—

4

4r = – 9—––128 – 3—

4

= – 1 9 + 96———–128 2

= – 105—––128

r = – 105—––512

34. 5 , Luas segi empat tepat ABCD , 215 , (x + 3)(x – 1), 21

Untuk 5 , (x + 3)(x – 1) 5 , x2 + 2x – 3 0 , x2 + 2x – 8 0 , (x + 4)(x – 2)

0–4 2

f(x)

x

\ x , – 4, x > 2

13



Untuk (x + 3)(x – 1) , 21 x2 + 2x – 3 , 21 x2 + 2x – 24 , 0 (x – 4)(x + 6) , 0

0–6 4

f(x)

x

– 6 , x , 4

–4

–6 < x < 4

x < –4 x > 2

2x

–6 4

Julat ialah – 6 , x , – 4 atau 2 , x , 4.Oleh sebab x ialah panjang sisi, maka 2 , x , 4.

Soalan Cabaran A+

1. y = 3(2x – 1)(x + 1) – x(4x – 5) + 2 = 3(2x2 + x – 1) – 4x2 + 5x + 2 = 6x2 + 3x – 3 – 4x2 + 5x + 2 = 2x2 + 8x – 1 = 2(x2 + 4x) – 1 = 2(x2 + 4x + 22 – 22) – 1 = 2[(x + 2)2 – 4] – 1 = 2(x + 2)2 – 8 – 1 = 2(x + 2)2 – 9

Oleh sebab a = 2 . 0, maka nilai minimum y ialah –9.

Apabila y = 0, 2(x + 2)2 – 9 = 0

(x + 2)2 = 9—2

x + 2 = ±ABB9—2 x = ±ABB9—2 – 2

= ABB9—2 – 2 atau –ABB9—2 – 2

= 0.1213 atau – 4.121Apabila x = 0, y = 2(2)2 – 9 = –1Titik minimum ialah (–2, –9).

–1–4.121

(–2, –9)

0.12130

y

x

2. (a) p = 1 + 5——–2

= 3

(b) y = (x – 1)(x – 5) = x2 – 6x + 5

3. y = a(x – 2)2 + 1Gantikan x = 0, y = 9 dalam persamaan,9 = a(–2)2 + 18 = 4a a = 2

Oleh itu, fungsi kuadratik ialah f (x) = 2(x – 2)2 + 1.

4. x2 + (1 + k)x – k2 + 1 = 0

Untuk persamaan kuadratik mempunyai punca nyata, b2 – 4ac > 0 (1 + k)2 – 4(1)(1 – k2) > 0 1 + 2k + k2 – 4 + 4k2 > 0 5k2 + 2k – 3 > 0 (5k – 3)(k + 1) > 0

0–1 3–5

f(k)

k

Julat nilai k ialah k < –1 atau k > 3—5

.

5. y = x2 + 7x – 8 – 2k

Untuk y sentiasa positif untuk semua nilai nyata x, tidak wujud punca bagi y = 0.

Maka, b2 – 4ac , 0 72 – 4(1)(–8 – 2k) , 0 49 + 32 + 8k , 0 8k , –81

k , – 81—–8

14



Kaedah Alternatify = x2 + 7x – 8 – 2k

= x2 + 7x + 1 7—2 2

2 – 1 7—

2 22 – 8 – 2k

= 1x + 7—2 2

2 – 49—–

4 – 8 – 2k

Untuk y menjadi positif untuk semua nilai nyata x,

– 49—–4 – 8 – 2k . 0

–2k . 49—–4 + 8

–2k . 81—–4

k , – 81—–8

6. Gantikan x = 6, y = 0 dalam y = px2 + qx, 0 = p(6)2 + q(6) 0 = 36p + 6q q + 6p = 0 ...................... 1

y = px2 + qx

= p1x2 + q —p x2

= p3x2 + q —p x + 1

q —–2p 2

2 – 1

q —–2p 2

2

4 = p31x +

q —–2p 2

2 –

q2

—––4p2 4

= p1x + q

—–2p 2

2 –

q2

—–4p

– q2

—–4p = –12

q2 = 48p

p = q2

—–48 .......................................................... 2

Gantikan 2 dalam 1,

q + 61 q2

—–48 2 = 0

q + q2

—8 = 0

8q + q2 = 0 q(8 + q) = 0 q = 0 atau q = –8

Apabila q = 0, p = 02—–48

= 0

Apabila q = –8, p = (–8)2—–––

48

= 64—–48

= 4—3

Oleh itu, nilai p = 4—3 dan nilai q = –8.

7. (2 – 3k)x2 + x + 3—4 k = 0

b2 – 4ac = 12 – 4(2 – 3k)1 3—4 k2

= 1 – 6k + 9k2

= 9k2 – 6k + 1 = (3k – 1)2

Oleh sebab (3k – 1)2 > 0 untuk semua nilai k,maka, (2 – 3k)x2 + x + 3—

4 k = 0 mempunyai punca

nyata untuk semua nilai k.

8. f (x) = 3(x2 + 2mx + m2 + n) = 3[(x + m)2 + n] = 3(x + m)2 + 3nTitik minimum ialah (–m, 3n).

Bandingkan dengan A(t, 3t2), –m = t dan 3n = 3t2

m = –t n = t2

9. (a) y = px2 + 8x + 10 – p Apabila graf tidak bersilang dengan paksi-x, tiada

punca untuk px2 + 8x + 10 – p = 0. Maka, b2 – 4ac , 0 82 – 4p(10 – p) , 0 64 – 40p + 4p2 , 0 p2 – 10p + 16 , 0 (p – 2)(p – 8) , 0

2 8

Oleh itu, r = 2 dan t = 8

(b) Apabila p = 2, y = 2x2 + 8x + 8 = 2(x2 + 4x) + 8 = 2(x2 + 4x + 22 – 22) + 8 = 2[(x + 2)2 – 4] + 8 = 2(x + 2)2 – 8 + 8 = 2(x + 2)2

Oleh itu, titik minimum ialah (–2, 0).

Apabila x = 0, y = 8

Apabila y = 0, 2(x + 2)2 = 0 x = –2 Apabila p = 8, y = 8x2 + 8x + 2 = 8(x2 + x) + 2

= 83x2 + x + 1 1—2 2

2 – 1 1—

2 22

4 + 2

= 831x + 1—2 2

2 – 1—

4 4 + 2

= 81x + 1—2 2

2 – 2 + 2

= 81x + 1—2 2

2

15



Oleh itu, titik minimum ialah 1– 1—2

, 02.

Apabila x = 0, y = 2

Apabila y = 0, 0 = 81x + 1—

2 22

x = – 1—

2

0

2

8

1– –2–2

yp = 2 p = 8

x

10. (a) f (x) = 24x – 4x2 + r = – 4x2 + 24x + r = – 4(x2 – 6x) + r = – 4(x2 – 6x + 32 – 32) + r = – 4[(x – 3)2 – 9] + r = – 4(x – 3)2 + 36 + r

Bandingkan dengan f (x) = p(x – q)2 + 16 maka, p = – 4, q = 3 dan 36 + r = 16 r = –20

(b) Titik pusingan ialah (3, 16).

(c) f (x) = 24x – 4x2 – 20 Apabila x = 0, f (x) = –20

Apabila f (x) = 0, – 4(x – 3)2 + 16 = 0

4(x – 3)2 = 16 (x – 3)2 = 4 x – 3 = ±2 x = ±2 + 3 = –2 + 3 atau 2 + 3 = 1 atau 5

0 1

(3, 16)

5

–20

y

x

11. (a) y = –|p(x – 3)2 + q|

Gantikan x = 3, y = –5 dalam persamaan, –5 = –|p(3 – 3)2 + q| 5 = |q| q = ±5

Gantikan x = 4, y = 0 dalam persamaan, 0 = –|p(4 – 3)2 ± 5| p ± 5 = 0 p = 5Maka, p = 5, q = –5 atau p = –5, q = 5.

(b) Apabila x = 3, y = –5Untuk p = 5, q = –5,Apabila x = 6, y = –|5(6 – 3)2 – 5| = –|40| = –40

Dengan merujuk kepada graf, julat nilai y ialah – 40 < y < 0.

Untuk p = –5, q = 5,Apabila x = 6, y = –|–5(6 – 3)2 + 5| = –|– 40| = – 40

Oleh itu, julat nilai y ialah – 40 < y < 0.

12. (a) y = –2(x – 3)2 + 2k...................................1 y = –x2 + 2x + px – 8 = –x2 + (2 + p)x – 8 = –[x2 – (2 + p)x] – 8

= –3x2 – (2 + p)x + 1 2 + p——–

2 22 – 1 2 + p

——–2 2

2

4 – 8

= –31x – 2 + p——–

2 22 – 1 2 + p

——–2 2

2

4 – 8

= –1x – 2 + p——–

2 22 +

(2 + p)2

———–4 – 8............2

Oleh sebab koordinat-x titik maksimum untuk kedua-dua graf adalah sama, bandingkan 1 dan 2.

Maka, 2 + p——–

2 = 3

p = 4

y = –x2 + 2x + px – 8 menjadi y = –x2 + 2x + 4x – 8 y = –x2 + 6x – 8

Apabila y = 0, –x2 + 6x – 8 = 0 x2 – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0 x = 2 atau 4

Maka, A(2, 0) dan B(4, 0).

Gantikan x = 2, y = 0 dalam y = –2(x – 3)2 + 2k,

0 = –2(2 – 3)2 + 2k 2k = 2 k = 1 Maka, k = 1 dan p = 4.

16



(b) Untuk y = –2(x – 3)2 + 2k = –2(x – 3)2 + 2(1) = –2(x – 3)2 + 2

Nilai maksimum lengkung ialah 2.

Untuk y = –x2 + 2x + px – 8 = –x2 + 2x + 4x – 8 = –x2 + 6x – 8

Apabila x = 3, y = –9 + 18 – 8 = 1 Nilai maksimum lengkung ialah 1.

13. Oleh sebab 3x2 > 0 untuk semua nilai x,

maka 3x2——————–(2x – 1)(x + 4)

< 0

(2x – 1)(x + 4) < 0

0–4 1–2

f(x)

x

Oleh itu, – 4 < x < 1—2

.

14. Oleh sebab x2 + 1 . 0,

maka x2 + 3x + 2—————x2 + 1

. 0

x2 + 3x + 2 . 0 (x + 1)(x + 2) . 0

0–2 –1

f(x)

x

Oleh itu, x , –2, x > –1.

15. – 4———1 – 3x < x

0 < x + 4———1 – 3x

0 < x(1 – 3x) + 4——————

1 – 3x

0 < x – 3x2 + 4—————1 – 3x

0 < –3x2 + x + 4—————–

1 – 3x

0 < (–3x + 4)(x + 1)———————

1 – 3x

Untuk –3x + 4 > 0, 4 > 3x x < 4—

3 Untuk x + 1 > 0, x > –1

Untuk 1 – 3x . 0, –3x . –1 x , 1—

3

–1– + – +1 4– –3

4x � –3

1x < –3x � –1

3

x

Oleh itu, julat nilai x ialah –1 < x , 1—3

, x > 4—3

.

16. y2 – 9 = x x = y2 – 9

Apabila x = 0, y2 = 9 y = ±3

Apabila y = 0, x = –9

Apabila x = 7, 7 = y2 – 9 y2 = 16

x –9 0 7y 0 ±3 ±4

0–9 7

–4–3

34

y

x

Julat nilai y ialah – 4 < y < 4.

03[mate tamb spm]

Documents