030-teorija-redova-cekanja-1 (2)

1

mr. sc. Alan LisicaUNIVERZITET U ZENICIMAŠINSKI FAKULTET

UNIVERZITET U ZENICI MAŠINSKI FAKULTET U ZENICI

TEORIJA REDOVA ČEKANJA

2


Osnovna struktura redova čekanja ima oblik koji karakteriše nekoliko osnovnih faza:• dolaženje sa zahtjevom za uslugu,• čekanje na uslugu,• usluživanje i• odlazak sa mjesta usluživanja.

• Red čekanja je problem koji se pojavljuje u praksi kada određeni broj jedinica (ljudi, predmeti...) koji traže odgovarajudu uslugu ili obradu moraju čekati, tj.

–provesti izvjesno vrijeme u redu čekanja prije nego su opsluženi ili –kada radno mjesto koje pruža tražene usluge mora čekati jedinice koje treba opslužiti

3


Struktura reda čekanja

4


Nastanak reda čekanja je posljedica nesklada između kapaciteta uslužnih mjesta i zahtjevima korisnika usluge.

Teorija redova čekanja (TRČ) je jedna od metoda operacijskih istraživanja koja proučava procese opsluživanja slučajno pristiglih jedinica ili zahtjeva za nekom uslugom koristeći se pritom matematičkim modelima pomoću kojih se ustanovljava međuzavisnost između dolazaka jedinica, njihovog čekanja na uslugu, opsluživanja i na kraju odlazaka iz sustava, s ciljem da se postigne optimalno funkcioniranje promatranog sustava.

5

OSNOVNI CILJ PROUČAVANJA REDA ČEKANJA

• njegovo unapređenje, u smislu da se nađu oni zahvati koji će funkcioniranje sustava učiniti boljim, ekonomičnijim, tj. optimalnijim s obzirom na neki postavljeni cilj.

• jedan od prvih zadataka je odrediti parametre rada promatranog procesa i utvrditi minimalan broj uslužnih mjesta s kojima se može ostvariti tražena kvaliteta usluge

6

OSNOVNI POJMOVI

• Ulazne jedinice (korisnici usluga, klijenti, potrošači, stranke, eng. customers) • Kanali (uslužna mjesta, eng. servers) • Red čekanja (eng. queue)

Sustav opsluživanja opisan je sa sljedećim elementima:

•Razdioba vremena dolazaka jedinica •Razdioba vremena opsluživanja •Broj uslužnih mjesta •Kapacitet sistema opsluživanja •Redosljed opsluživanja jedinica (disciplina reda) •Broj stepeni usluge

7

OSNOVNI POJMOVI

Zavisno od svojstva problema i cilja izučavanja efikasnost (redova) čekanja iskazuje se preko nekoliko značajnih veličina:

• srednji broj elemenata koji pristiže u jedinici vremena,• srednji broj elemenata koji može biti uslužen u jedinici vremena,• vjerovatnoća da će pristigli elementi biti odmah uzeti na uslugu,• srednje vrijeme čekanja na uslugu,• srednji broj elementa koji čeka na uslugu,• srednje vrijeme boravka elemenata u sistemu,• propusna moć sistema (odnos srednjeg broja usluženih i srednjeg broja prispjelih

elemenata u jedinici vremena),• srednji broj zauzetosti mjesta za usluživanje i dr.

8

OSNOVNI POJMOVI

Razdioba vremena dolazaka jedinica – vrijeme između dva uzastopna dolaska jedinica u sistem opsluživanja

•S jednakim intervalima vremena •S nejednakim, ali unaprijed utvrđenim intervalima •S nejednakim intervalima koji nisu unaprijed poznati (slučajni su), ali za koje znamo njihovu razdiobu vjerojatnosti

Razdioba vremena opsluživanja – trajanje opsluživanja

•Konstantno •Varijabilno, ali unaprijed poznato •Slučajno kad vrijeme trajanja usluge nije poznato, ali je moguće odrediti njegovu razdiobu vjerojatnosti

9

OSNOVNI POJMOVI

Broj kanala – broj uslužnih mjesta u sustavu opsluživanja na kojima se istodobno mogu opsluživati jedinice

•Jednokanalni •Višekanalni s jednim redom čekanja •Višekanalni s odvojenim redovima čekanja

Kapacitet sistema opsluživanja – maksimalan broj jedinica koje čekaju u redu na opsluživanje i koje se upravo opslužuju

10

OSNOVNI POJMOVI

Disciplina reda – način na koji jedinice iz reda čekanja pristupaju kanalu opsluživanja

•FIFO (first in – first out) ili FCFS (First Come First Served) – prvi koji je došao u red, bit će prvi i poslužen •LIFO (last in – first out) ili LCFS (Last Come First Served) – zadnji koji je došao u red bit će prvi poslužen •PRIOR – daje prednost nekim jedinicama •SIRO – slučajno odabiranje koje svakoj jedinici daje istu vjerojatnost opsluživanja bez obzira na vrijeme ulaska u red čekanja •GD – bilo koja druga disciplina reda

11

OSNOVNI POJMOVI

Oznake – Kendall-ova notacija v/w/x/y/z

•v – razdioba vremena dolazaka u sistem •w – razdioba vremena opsluživanja jedinica •x – broj kanala opsluživanja •y – kapacitet sistema opsluživanja •z – disciplina reda čekanja

Za v i w koriste se standardne oznake za razdiobe: •D – determinističko vrijeme •M – eksponencijalna razdioba •Ek – Erlangova razdioba reda k (k=1,2,...) •G – bilo koja razbioba (uključujudi sve gore navedene)

12

VRSTE REDOVA ČEKANJA

Prema broju kanala:

•Jednokanalni problem reda čekanja •Višekanalni problem reda čekanja –red čekanja je zajednički –odvojeni redovi čekanja za svaki kanal opsluživanja

Prema izvjesnosti procesa: •Deterministički problem reda čekanja •Stohastički problem reda čekanja

14

VRSTE REDOVA ČEKANJA

Prema izvoru dolazaka jedinica: •Otvoren – intenzitet dolazaka ne ovisi o stanju sustava i izvor jedinica je izvan sistema •Zatvoren – intenzitet dolazaka ovisi o stanju sustava i izvor jedinica je unutar sistema

Prema mogučnosti pojavljivanja reda čekanja: •Sustavi s čekanjem jedinica u redu – “čekaonica” i kanal opsluživanja •Sustavi s otkazima jedinica – jedinice napuštaju sustav opsluživanja ako su svi kanali zauzeti

Prema mogućoj duljini reda čekanja: •“Čisti” – broj mjesta u redu čekanja i vrijeme čekanja nisu ograničeni •“Mješoviti” – jedinice mogu čekati u redu, ali mogu i dobiti otkaz

15

OSNOVNI PARAMETRI REDOVA ČEKANJA

•λ – intenzitet toka dolazaka jedinica (prosječan broj korisnika koji pristižu u jedinici vremena) •μ – intenzitet opsluživanja po kanalu (prosječan broj korisnika koji mogu biti opsluženi u jedinici vremena) •S – broj kanala (usluznih mjesta) u sistemu•ρ = λ/ μ – stepen opterećenja kanala (faktor usluživanja)•ρS = ρ/S – koeficijent iskorištenja sistema•Lq –dužina reda čekanja – broj korisnika u redu čekanja• W – prosječno vrijeme koje korisnik provede u sistemu (čekanje i posluživanje)• Wq – prosječno vrijeme koje korisnik provede u redu čekanja• P0 – vjerovatnost da nema korisnika u sistemu• Pn – vjerovatnost da je n korisnika u sistemu• n – broj korisnika u sistemu masovnog posluživanja

16


17


18


•Kada je ρ<1, korisnik će biti opslužen prije ili kasnije, sistem će izlaziti na kraj sa brzinom pristizanja elemenata tokom dužeg vremenskog perioda, ali, ukoliko je bližejedinici, u sistemu će doći do određenog nagomilavanja, •Kada je ρ>1 nagomilavanje u redu će se povečavati tokom vremena i sistem neće moći normalno funkcionirati. Dugoročno dolazi do zagušenja sistema te će porastom vremena broj elemenata koji pristižu rasti brže od broja elemenata koji odlaze, pri čemu će nagomilavanje biti u stalnom porastu,• ako je ρ =1, sistem teži nagomilavanju koje će se neograničeno uvečavati.

•Da bi sistem bio stabilan, ρ mora biti manji od 1, tj λ mora biti manji od μ. •Ako to nije slučaj, treba povečati broj uslužnih mjesta da bi se zadovoljio uvjet stabilnosti sistema0 < ρS < 1 •Ovaj uvjet vrijedi za sisteme s neograničenom duljinom reda.

19


Dolazni potok korisnika najčešće se opisuje prosječnim intenzitetom dolaska (), a može se opisati i prosječnim vremenom između dva dolaska (Td):

dT

1

Npr. ukoliko je prosječno vrijeme između dva dolaska korisnika jednako 2h, tada je intenzitet dolaska jednak 1/2h = 0,5h -1 (svaki sat dolazi ½ korisnika)

Poslužitelj se najčešće opisuje prosječnim vremenom posluživanja jednog korisnika (To). Tada je intenzitet posluživanja () jednak:

oT

1

Npr. ukoliko je prosječno vrijeme posluživanja nekog dijela na stroju jednako 0,5 h tada je intenzitet posluživanja jednak 1/0,5h = 2h-1 (svaki sat se obrade dva dijela na stroju)

20

VIŠEKANALNI REDOVI ČEKANJA

Višekanalni redovi čekanja

Višekanalni red čekanja predstavlja sistem u kome se elementi koji pristižu na usluživanje raspoređuju u više pravaca - kanala pri čemu dolazi do usluživanja bez nagomilavanja. Kada sistem usluživanja ima mogučnosti da propusti istovremeno k -jedinki, takav sistem se naziva k - kanalnim sistemom

21


U višekanalnom sistemu redova čekanja operiše se sljedećim parametrima: - intenzitet (brzina) toka dolazaka elemenata na uslugu, - intenzitet (brzina) usluživanja po uslužnom mjestu (kanalu), - =/ - faktor usluživanja po kanalu, - k - broj uslužnih mjesta (kanala) u sistemu, - k = /k - faktor usluživanja sistema.

Vjerovatnoća "P0" da će sistem biti prazan sa pristizanjem i bez pristizanja elemenata na uslugu dobija se primjenom jednačine:

1k

0n

kn

0 1!k!nP

22


Za višekanalne redove čekanja istiću se posebno važni sljedeći pokazatelji:

1. Srednji broj elemenata koji čeka uslugu je:

02

k

P1!k

Q

2. Srednji broj elemenata na usluživanjuSistem propušta onoliko elemenata koliko ih dođe, a to je u prosjeku (jer je *<1 pa ne dolazi do nagomilavanja). Svaki zauzeti kanal uslužuje jedan element u prosjeku za minuta pa će prosječni broj zauzetih kanala biti

S

23


3. Srednji broj elemenata u sistemu

SQT

4. Srednje vrijeme čekanja elemenata na uslugu

0

k

P1

1

!kk

1W

Upoređenjem se dobija:

W

Q

Odnosno:

Q

W

24


5. Srednje vrijeme zadržavanja elemenata u sistemu

1

WW

W* se dodaje 1/ jer se uzima u obzir i vrijeme obavljanja usluge.

ZADATAK

Dijelovi A se pripremaju prije montaže proizvoda. Dijelove priprema mašina. Priprema dijela A na mašini traje u prosjeku 2 min. Dijelovi dolaze na pripremu sa prosječnim intenzitetom dolaska =24 dijela na sat (24 h-1). Odredi operativne značajke sistema posluživanja. Da li sistem dolazi u stacionarno stanje?

RJEŠENJE

Kako je vrijeme opsluživanja (pripreme) dijela A jednako 2 min, tada je intenzitet posluživanja:

1h302(min)

1

T

1μ

o

Kako je < sistem će doći u stacionarno stanje.

Sada računamo operativne značajke prema izrazima:

RJEŠENJE

ZADATAK

Na poštanski šalter po Poissonovoj raspodjeli stiže 10 korisnika tokom 1 sata. Srednje vrijeme posluživanja koje se ravna po eksponencijalnoj raspodjeli iznosi prosječno 4 minute po klijentu.

Odredite:a)Vjerojatnost da u sustavu nema korisnika,b)b) Prosječan broj korisnika u sustavu (koji čekaju u repu ili su na servisu) c) Prosječan broj korisnika koji čekaju u repu d) Prosječno vrijeme koje korisnik provede u sustavu e) Prosječno vrijeme koje korisnik provede na čekanju u repu

RJEŠENJE

μ = 60/4 = 15 korisnika/h – intenzitet posluživanja ρ = 10/15 = 0.6667 – faktor iskorištenja

a) P(0 u sustavu) = 1 - ρ = 0.3333 b) L = ρ/(1-ρ) = 2 osobe ......... c) Lw = L-ρ = 1.333 osobe ...... Prosječan broj korisnika u repu čekanja d) T = 1/(μ-λ) = 0.2 osobe/h e) TW = ρT = 0.1333 osobe/h .. Srednje vrijeme čekanja u repu

Projektovati sistem za istovar rude iz kamiona koji dolaze u frekvenciji od 40 vozila u toku 8 sati. Proces istovara jednog na jednom istovarnom mjestu traje 10 min. Odrediti vrstu reda ekanja i njegove karakteristike.

Intenzitet dolazaka kamiona:

ZADATAK

sat

vagona5

8

40

Intenzitet istovara - usluge:

sat

vagona6

sat10

vag60

min10

vag1

Faktor usluživanja:<0, što potvrđuje da se radi o jednokanalnom redu čekanja i da to

833,06

5

1. Srednji broj kamiona u sistemu

5833,01

833,0

1T

zadovoljava dinamiku sistema za istovar kao jednokanalnog reda čekanja.

2. Srednji broj kamiona na usluživanju

833,0S

3. Srednji broj kamiona koji čeka uslugu je:

833,05STQ

4. Srednje vrijeme čekanja kamiona na uslugu:

min50sati833,0833,01

833,0

6

1

1

1W

5. Srednje vrijeme zadržavanja kamiona u sistemu:

min60sat1833,01

1

6

1

1

11W

6. Vjerovanoa da sistem u toku rada bude prazan:

%7,16odnosno167,0833,011P0

ZADATAK

U toku jednog sata na prijemnu rampu dolazi 4 kamiona nosivosti 9,5 tona lima. Kamioni dopremaju pakete lima dimenzija axbxc=2000x1000x150 mm. (spec težina lima je =7,85 kg/dm3). Istovar kamiona obavlja viljuškar koji odlaže na prijemni dio skladišta. Kapacitet prijemnog dijela je 5 paketa. Dalju manipulaciju - transport paketa obavlja kran. Prosjeni ciklus krana na uskladištenju paketa iznosi jedan paket za dva minuta. Potrebno je odrediti procenat paketa koji zbog zauzetosti prijemnog dijela skladišta moraju biti odloženi na drugo mjesto.

Prosječan broj jedinica (paketa) koje se opsluže u jedinici vremena -intenzitet opsluživanja:

sat1

paketa30

min2

paket1μ

Prosječan broj jedinica (paketa) koje dolaze u sistem – intenzitet dolazaka:

sat1

paketa16

U toku jednog sata dolazi 4 x 9,5 t =38 t.Težina jednog paketa iznosi Gp = a x b x c = 20 x 10 x 1,5 x 7,85 = 2355 kg = 2,355 t.Broj paketa koji dolaze u sistem za jedan sat je N = 38 t/2,355 t = 16.

Faktor usluživanja:

1533,030

16

što znači da se radi o jednokanalnom redu čekanja, odnosno da sistem zadovoljava uslove da ne dolazi do nagomilavanja jedinica - paketa.

Procenat paketa koji moraju ostati izvan prijemnog skladišta čiji je kapacitet pet paketa računa se na sljedeći način:

1P nn

020,0467,0043,0533,01533,0P 55

Procenat paketa koji bi morao da se odlaže na drugo mjesto zbog ograničenosti kapaciteta prijemnog dijela skladišta (pet paketa) je 2%.Ovaj procenat se može smanjiti povećanjem kapaciteta prijemnog skladišta, što se daljim računanjem može provjeriti i svesti na zanamarljivu veličinu Pn.

ZADACI Višekanalni redovi čekanja

U odjeljenju kontrole kvaliteta dolaze elementi na kontrolu. Prosječno se dovoze 24 elementa na 40 minuta, a srednje vrijeme kontrole je 2 minuta po jednom elementu. Projektovati kontrolni punkt, odnosno broj kontrolnih instrumenata, tako da ne dolazi do nagomilavanja i proračunati sve elemente redova čekanja za projektovani sistem.

min

.el6,0

min40

.el24

Intenzitet dolazaka elemenata na kontrolu:

min

.el5,0

min2

.el1

Intenzitet usluge:


12,15,0

6,0

S obzirom da je faktor usluživanja veči od jedinice, potrebno je više uslužnih mjesta (kanala) u sistemu da ne bi došlo do nagomilavanja. Usvaja se sistem sa dva uslužna mjesta tj. k=2.

Faktor usluživanja sistema:

16,02

2,1

k

Pošto je za dva uslužna mjesta *<1, očekuje se ustaljen režim rada pri kojem će konačan broj elemenata čekati na uslugu, odnosno da neće doći do nagomilavanja.

Karakteristike ovakvog sistema - višekanalnog reda čekanja su:

1. Srednji broj elemenata koji čeka uslugu je:

81,030,0

6,01

6,0

!2

2,1P

1!kQ 2

2

02

k

Na uslugu čeka jedan element.

%303,06,01

6,0

2

2,1

2

2,12,11

1221

1!k!nP

122

1221k

0n

kn

0

Vjerovatnoća da u sistemu kontrole neće biti elemenata tj. da će oba uslužna mjesta u nekom momentu biti slobodna iznosi 30%.

2. Srednji broj elemenata na usluživanju

2,1S

Sistem propušta onoliko elemenata koliko ih dođe a to je u prosjeku (jer je *<1 pa ne dolazi do nagomilavanja). Svaki zauzeti kanal uslužuje jedan element u prosjeku za minuta pa će prosječni broj zauzetih kanala biti

3. Srednji broj elemenata u sistemu

22,18,0SQT

4. Srednje vrijeme čekanja elemenata na uslugu

min35,13,06,01

1

!2

2,1

5,02

1P

1

1

!kk

1W

k

0

k

Upoređenjem se dobija:

W

Q

Odnosno:

min35,16,0

81,0QW

min35,3235,11

WW

5. Srednje vrijeme zadržavanja elemenata u sistemu

W* se dodaje 1/ jer se uzima u obzir i vrijeme obavljanja usluge.

ZADATAK

Projektovati sistem za istovar vagona pomoću uređaja za kipovanje. Jedan uređaj može navlačiti za kipovanje jedan vagon i traje 5 min. U toku jednog asa dolazi 20 vagona na istovar. Za projektovani sistem odrediti broj vagona koji čeka na utovar i prosječno bavljenje vagona u sistemu.

Intenzitet dolazaka elemenata na kontrolu:

h1

vag20

Intenzitet usluge:

h

vag12

min5

vag1


166,112

20

S obzirom da je faktor usluživanja veči od jedinice, potrebno je više uslužnih mjesta (kanala) u sistemu da ne bi došlo do nagomilavanja. Usvaja se sistem sa dva uslužna mjesta tj. k=2.

h1

vag20

Faktor usluživanja sistema:

183,02

66,1

k

Pošto je za dva uslužna mjesta *<1, očekuje se ustaljen režim rada pri kojem će konačan broj elemenata čekati na uslugu, odnosno da neće doći do nagomilavanja.

Karakteristike ovakvog sistema - višekanalnog (dvokanalnog) reda čekanja su prema datom zadatku:

1. Broj vagona koji čeka na istovar:

676,30929,0

83,01

83,0

!2

66,1P

1!kQ 2

2

02

k

%29,90929,083,01

83,0

2

66,1

2

66,166,11

1221

1!k!nP

122

1221k

0n

kn

0

2. Srednje vrijeme bavljenja vagona na istovaru - u sistemu:

min02,16h267,012

1

20

676,31Q1WW

PRIMJER TROŠKOVA REDOVA ČEKANJA (KOMPLIKOVANO – NE RADITI)

Izračunati ukupne troškove brodogradilišta, ako je zadano:Remontno brodogradilište raspolaže sa 4 doka. Tokom godine, radi popravaka, oštećenja, struganja, bojenja podvodnog dijela broda i sličnih poslova, u brodogradilište stigne 250 brodova, a prosječno trajanje radova iznosi 70,2 h. Dnevni troškovi broda koji čeka na popravak iznose 1500 KM, a troškovi doka koji nije iskorišten 500 KM dnevno.

S = 4 (doka) = 250 brodova godišnje

godišnje brodova 78,241sata/brod 70,2

sata 24 dana 365

T

1μ

o

Intenzitet posluživanja:

Faktor iskorištenja (vjerovatnost zauzetosti kapaciteta):

2124,78

250

PRIMJER TROŠKOVA REDOVA ČEKANJA

c1 = 1500 KM/dnevnoc2 = 500 KM/dnevno

C=?

)(C 21 ScLc q

Prosječan broj dijelova u redu čekanja

2250-124,78124,78

25022

qL

030-teorija-redova-cekanja-1 (2)

Documents