03 - vigascurvas

8/18/2019 03 - vigasCurvas

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3. Calculo de esfuerzos en vigas curvas

3.1 Análisis teórico

Considere el elemento infinitesimal de una viga curva sometida a flexión. Suponemos

que un momento positivo trata de disminuir la curvatura de la viga. El eje y tiene su

origen en la línea de centroides y es positivo hacia el centro de curvatura. El radio decurvatura del eje de centroides es igual a ρ. Se desea calcular los esfuerzos en la viga

ocasionados por el momento flector M .

Figura .!. Elemento de viga curva sometido a flexión

Si suponemos que la sección izquierda de la viga est" fija# la sección de la derecha gira

respecto a la de la izquierda un "ngulo ∆dφ cuando se aplica el momento flector M. El eje

neutro no coincide en este caso con el eje de centroides y la distancia entre ellos se denotamediante la letra e. $as fi%ras por de%ajo del eje neutro se alargan y las que est"n por

encima se acortan. Si se acepta la hipótesis de &ernoulli que supone que las secciones planas antes de la deformación permanecen planas despu's de ella# la deformación ε en

una fi%ra situada a una distancia y del eje neutro se puede calcular como

()

()

y

e y

d

d

−

−∆=

ρ φ

φ ε ).!(

*ara este estado de esfuerzos# aproximadamente uniaxial# el esfuerzo es igual a la

deformación multiplicada por el módulo de elasticidad

()

()

y

e y

d

d E

−

−∆=

ρ φ

φ σ

).+(

En este caso se o%serva que la distri%ución de esfuerzos no es lineal. $a ecuación ).+( no

es todavía ,til ya que no se conoce el "ngulo ∆dφ ni la posición del eje neutro definida

por e. *ara determinarlos# es necesario plantear las ecuaciones de equivalencia est"ticaentre la distri%ución de esfuerzos y el momento flector# es decir

!-

M M

e y

ρ

∆dφdφ


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∫ = A dA .σ ).(

∫ = A M dA yσ )./(

Si reemplazamos la ecuación ).+( en la ).( se o%tiene

dA y

e ydA

y

e y

d

d E dA

y

e y

d

d E

A A A ()

()

()

()

()

()

−

−=

−

−∆=

−

−∆= ∫ ∫ ∫ ρ ρ φ

φ

ρ φ

φ

de donde se o%tiene la ecuación

dA y

ydA

y

e

A A ()() −=

− ∫ ∫ ρ ρ . ).-(

El miem%ro derecho se define en terminos del coeficiente m así

dA y

y

Am

A∫ −=

ρ

! ).0(

El miem%ro izquierdo se reorganiza de la siguiente manera

[ ] ρ ρ ρ ρ ρ

ρ

ρ ρ

(!)!

()()

meAmA A

edA

y

yedA

y

edA

y

e

A A A

+=+=

−+=

−=

− ∫ ∫ ∫

con lo cual# y mediante la utilización de las ecuaciones ).-( y ).0( se o%tiene la

ecuación

m

me

+=!

ρ ).1(

que define la distancia e entre el eje de centroides y el eje neutro en t'rminos del radio de

curvatura y del par"metro m# el cual se calcula mediante la ecuación ).0(.

El reemplazo de la ecuación ).+( en la ecuación )./( implica que

−−

−

∆=

−

−∆=

−

−∆= ∫ ∫ ∫ ∫ dA y

yedA

y

y

d

d E dA

y

ey y

d

d E dA

y

ye y

d

d E M

A A A A ()()()

()

()

() ++

ρ ρ φ

φ

ρ φ

φ

ρ φ

φ

o

−

−

∆= ∫ emAdA y

y

d

d E M

A ()

+

ρ φ

φ ).2(

la integral de la derecha se puede simplificar de la siguiente forma

mAdA y

y ydA

y

y

A A ρ

ρ

ρ

ρ =

−+−=

− ∫ ∫ +

!0


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con lo que la ecuación ).2( queda finalmente así

[ ] () emAd

d E emAmA

d

d E M −

∆=−

∆= ρ

φ

φ ρ

φ

φ . ).3(

4 partir de esta ecuación se o%tiene entonces

() emA

M

d

d E

−=

∆

ρ φ

φ . ).!(

$a cual se puede reemplazar en la ecuación ).+( para o%tener la distritución de esfuerzosen la sección mediante la fórmula

()

()

y

e y

eA

M

−

−=

ρ σ ).!!(

5e la ecuación anterior se o%serva que si el punto donde se calcula el esfuerzo se aleja del

eje neutro en la dirección positiva del eje y# el numerador se incrementa y eldenominador se reduce# con lo que se produce un aumento r"pido del esfuerzo. *or el

contrario# si el punto donde se calcula el esfuerzo se aleja del eje neutro en la dirección

negativa de y# los valores a%solutos tanto del numerador como del denominador crecen# por lo que el esfuerzo aumenta# pero no tan r"pidamente como en la zona de tracción

)Figura .+(. Seg,n lo anterior# si se desea escoger una sección optima para un material

isótropo que tenga la misma resistencia a tensión y a compresión# es desea%le colocar m"smaterial hacia el centro de curvatura# de tal manera que el centroide se acerque a 'l.

Figura +. 5istri%ución de esfuerzos típica en una viga curva sometida a flexión

!1

y(+)

y(-)


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3.2 Calculo del parámetro m para algunas secciones

Sección rectangular

Figura .. 6eometría para el c"lculo del m de la sección rectangular

Se suele hacer el cam%io de varia%le

v y −= ρ

con lo cual la ecuación ).0( se puede expresar así

!!!!

−=

−=

−=−= ∫ ∫ ∫ ∫ A A A A v

dA

A AdA

v AdA

v

v

AdA

y

y

Am

ρ ρ ρ

ρ .

*ara el elemento de "rea de la Figura . tenemos que

!(ln)!!!

++

!

−=−=−= ∫ ∫ R R

A

b

v

bdv

Av

dA

Am

R

R A

ρ ρ ρ

!2

7 !

7 +

ρ %

v

y


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Sección circular

Figura ./. 6eometría para el c"lculo de m en la sección circular

En este caso tenemos que

φ ρ cosr v −=

por tanto

∫ ∫ ∫ ∫ −−=−−= aa

r

dr d r

Ar

dr d r

Am

+

+

!

cos!

cos

π π

φ ρ

φ ρ

φ ρ

φ ρ

la integral con respecto a φ se puede calcular mediante la su%stitución

(+8)φ tg u =

con lo cual

+(+8)sec+

φ φ

d du =

y )Figura .-(

+

+

!

+(+8)cos+

u

dudud

+

== φ φ

4dem"s

+

+

+

+

+

++

!

!

!!

!+8sin+8coscos

u

u

u

u

u +

−=

+

−

+

=−= φ φ φ

!3

dφ

ρφ

a

v

y


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Figura -. 9ri"ngulo para la su%stitución de φ en t'rminos de u

$a integral con respecto a φ queda entonces así

∫ ∫ ∫ ++−=

+

−−

+=

− +

+

++

+

()()

+

!

!

!

!

+

cos ur r

du

u

ur

u

du

r

d

ρ ρ ρ

φ ρ

φ π

la cual se puede calcular mediante la su%stitución

α ρ ρ tg r ur −=+

de donde se deduceα α ρ ρ d r dur +sec−=+

y la integral queda como

α ρ α ρ

α α

ρ

ρ

ρ ρ φ ρ

φ π d

r tg r

d

r

r

ur r

du

r

d ∫ ∫ ∫ ∫

−=

+−+

−=

++−=

− +++

+

+

+

+

(!())

sec+

()()

+

cos

por tanto

++

+

++

+

+(+8)

+

cos r tag

r

r Arctg

r r

d

−=

−

+

−=

−∫ ρ π

φ ρ

ρ

ρ φ ρ

φ π

π

y el par"metro m se calcula finalmente así

[ ] [ ] !+!+!+ ++

++

++−−−=−−−=−

−= ∫ a Ar Adr r

r

Am

aa

ρ ρ πρ

ρ πρ

ρ

π ρ

+

u

!)1+u)0.5φ/2


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3.3 Ejemplo

Se desea calcular los esfuerzos m"ximos en la sección de la viga curva mostrada.

Figura 0. 6eometría para el pro%lema ilustrativo

El "rea A de la sección es

+2!-/--+- mm x x A =+=

El centroide est" definido así

mm x x

x x x x-3.1

2

-221-

!-/--+-

-.11!-/--.-+-+-==

+

+= ρ

El par"metro m se calcula como

//.!--

!ln!-(

-

--ln)+- =−

+=

Am

ρ

+!

!mmb

! :

! :

! mm

- mm

-- mm

a

/-mm-mm

+-mm!-mm


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con lo cual queda determinada la distancia e al eje neutro

mm x

m

me !.

//.!

//.-3.1

!==

+= ρ

el momento flector en la sección vale

mm x M −=+= !1-3(-3.1!)!

con lo cual

M!amm

xeA

M 3./+3./+

2!.

!1-3+ ===

$as distancias a las fi%ras a y b son

mm ymm y ba /!.+0#-3.+ −==

y los esfuerzos en a y b son

M!a xa 0-.!12

(-3.+-3.1)

(!.-3.+)3./+

2

!=

−

−+=σ

M!a xb -.!+0(/!.+0-3.1)

(!./!.+0)3./+

2

!−=

+

−−+=σ

Ejercicios propuestos

!. 5etermine m para las secciones triangular y trapezoidal.

+. Si un material tiene esfuerzos admisi%les a la compresión y tracción de !- psi y

+- psi# respectívamente# determine la relación entre los anchos de la sección

trapezoidal m"s adecuada si el radio interior de la sección es de /; y el radio exterior de 0;.

. Solucione el pro%lema ejemplo suponiendo una sección circular de - mm de

di"metro. Compare los esfuerzos m"ximos y el peso del elemento.

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