03-kofaktor n crammer 2014-2015

13 Maret 2015 MATEMATIKA II 1

Determinan Matriks

Sub Pokok Bahasan

– Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

– Invers Matriks

– Aturan Crammers

Beberapa Aplikasi Determinan

Solusi SPL

Optimasi

Model Ekonomi

dan lain-lain.


Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Misalkan

Beberapa definisi yang perlu diketahui :

• Mij disebut Minor-ij yaitu determinan matriks A

dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j

matriks A.

Contoh :

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

:::

...

...

21

22221

11211

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A 1

1 0

2 1

maka 13 M


Determinan dengan ekspansi kofaktor

Misalkan terdapat matrik 3x3, ada berapa minornya ??

9 8 7

6 5 4

3 2 1

A


• Cij Matrik dinamakan kofaktor – ij yaitu

Cij=(-1)i+j Mij

Contoh :

maka

= (– 1)3 .2

= – 2

2 0

1 1 1C

21

12

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A


Secara umum, cara menghitung

determinan dengan ekspansi kofaktor :

• Menghitung det (A) dengan ekspansi

kofaktor sepanjang baris ke-i

det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin

• Menghitung det (A) dengan ekspansi

kofaktor sepanjang kolom ke-j

det (A) = aij C1j + a2j C2j + . . . + anj Cjn

ij

ji

ij

ijij

ij

ij M1aCaAdet


Contoh 6 :

Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A


Jawab :

Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3

= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33

= 0 – 2 + 6

= 4

3

1

33)det(

j

jjcaA

23)1(10 1 1

0 2 33)1(2 2 1

1 2

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A


Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor

sepanjang kolom ke-3

= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33

= 0 – 2 + 6

= 4

3

1

33)det(i

ii caA

32)1(10 1 0

1 2 33)1(2 2 1

1 2

2 1 0

1 2 1

0 1 2

A


Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij,

maka

dinamakan matriks kofaktor A.

Transpos dari matriks ini dinamakan matriks adjoin A,

notasi adj(A).

nn2n2n

n12221

n11211

CCC

CCC

CCC

C

nnn2n1

1n2212

1n2111

T

CCC

CCC

CCC

CAadj


Misalkan A punya invers

maka

A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) 0.

Beberapa sifat determinan matriks adalah :

1. Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka

det (A) = det (At)

2. Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran sama, maka :

det (A) det (B) = det (AB)

3. Jika A mempunyai invers maka :

)()det(

11 AadjA

A

)det(

1)det( 1

AA


Contoh :

Diketahui

Tentukan matriks adjoin A

Jawab :

Perhatikan bahwa

Dapat juga dihitung !

1 2 0

0 1- 1

1 0 1

A

112

01)1(C 11

11

110

01)1(C 21

12 2

20

11)1(C 31

13

.1Cdan,1C,1C,2C,1C,2C 333231232221


Sehingga matriks kofaktor dari A :

Maka matriks Adjoin dari A adalah :

1- 1 1

2- 1 2

2 1- 1-

C

C

C

33

11

1- 2- 2

1 1 1-

1 2 1-

)( TCAadj


Matriks invers dirumuskan sbb :

Maka tentukan matriks invers dari A tersebut :

Adet

AadjA 1

1- 2- 2

1 1 1-

1 2 1-

C)A(adj T

13 Maret 2015 Bab 5, SOLUSI SPL DENGAN NVERS DAN

ATURAN CRAMMERS 14

Matriks aturan Crammer Misalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu :

Jika determinan A tidak sama dengan nol

maka solusi dapat ditentukan satu persatu (peubah ke-i, xi)

Langkah-langkah aturan cramer adalah :

• Hitung determinan A

• Tentukan Ai matriks A dimana kolom ke-i diganti oleh B.

Contoh :

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

11

21111

11111

nx

x

x

2

1

nb

b

b

2

1

nnnn

n

n

aba

aba

aba

A

1

2211

1111

2


ATURAN CRAMMERS 15

• Hitung |Ai|

• Solusi SPL untuk peubah xi adalah

Contoh :

Tentukan solusi b dari SPL berikut :

a + c = 4

a – b = –1

2b + c = 7

Jawab :

Perhatikan bahwa

)det(

)det(

A

Ax i

i

1

120

01-1

101

A


ATURAN CRAMMERS 16

Tentukan solusi SPL untuk peubah a ?

1

127

01-1-

104

det

det

A

Aa a

1

5 0 4-

) (-7) - 2- ( 1 ) 0- 1- ( 4

27

1-1- 1 0

12

01- 4


ATURAN CRAMMERS 17

)A ( det

) Ab (det b

1

170

01-1

141

70

1-1 1

10

01 (-4)

17

01- 1

) 0 - 7 ( 1 ) 0 - 1 ( (-4) ) 0- 1- ( 1

7 (-4) 1- 2

03-kofaktor n crammer 2014-2015

Documents