Metode Numerik S1 Teknik InformatikaSumarni Adi

Adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yg secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas. Bentuk persamaan linier simultan dgn m persamaan dan n variabel bebas dpt dituliskan : ) a₁₁ x ₁ +a ₁₂ x₂+a₁₃x₃+…+a₁nxn =b₁ ) a₂₁ x ₁ +a ₂₂ x₂+a₂₃x₃+…+a₂nxn =b₂ ) a₃₁ x ₁ +a ₃₂ x₂+a₃₃x₃+…+a₃nxn =b₃ ) a₄₁ x ₁ +a ₄₂ x₂+a₄₃x₃+…+a₄nxn =b₄-----------------------------------------------------am₁x₁ + am₂x₂ + am₃x₃ +… + amnxn = bm Dimana :aij untuk i =1 sampai m dan j = 1 sampai n adalah koefisien atau persamaan

simultanXi untuk i =1 sampai n adalah variabel bebas pada persamaan simultan.

Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xi untuk semua i =1 sampai n yang memneuhi semua persamaan yang diberikan

2

Persamaan linier simultan di atas dpt dinyatakan dlm bentuk matriks, yaitu : a11 a12 a13 ... a1n x₁ b1

  a21 a22 a23 … a2n x₂ b2

a31 a32 a33 … a3n x₃ b3

…. …. …. …. …. … = … am₁ am₂ am₃ .… amn xn bn

Dapat dituliskan : A x = B,

matriks A dinamakan matriks koefisien dari persamaan linier simultan.

Vektor x disebut sebagai vektor variabel vektor B disebut sebagai vektor konstanta 3

adalah matriks yg merupakan perluasan matriks A dgn menambahkan Vektor B pada kolom terakhirnya dan di tuliskan : Augmented (A) = [AB]

Sehingga secara detail, augmented matriks dr persamaan linier simultan dpt dituliskan : a11 a12 a13 ... a1n b1

  a21 a22 a23 … a2n b2

a31 a32 a33 … a3n b3

…. …. …. …. …. am₁ am₂ am₃ .… amn bn 4

Ingat kembali operasi penjumlahan pada matriks

Ingat kembali operasi pengurangan pada matriks

Ingat kembali operasi perkalian pada matriks

Masih Ingat ????

5

Seorang engineering komputer ingin merakit 2 jenis komputer yaitu komputer A dan komputer B. kedua komputer tersebut menggunakan 3 hardware utama yaitu RAM, processor, dan HDD. Komputer pertama menggunakan 2 RAM, 1 Processor, dan 2 HDD, sedangkan komputer kedua menggunakan 3 RAM, 2 Processor, dan 1 HDD. Permasalahannya adalah Tuliskan persamaan linier simultannya jika hardware yg dimiliki 82 RAM, 62 processor dan 72 HDD ?

6

Permasalahn di atas dapat dimodelkan dgn menyatakan :x = jumlah komputer AY = jumlah komputer BSetiap HW dpt dinyatakan :RAM 2 RAM untuk Komputer A + 3 RAM untuk

Komputer BProcessor 1 Processor untuk Komputer A + 2

Processor untuk Komputer BHDD 2 HDD untuk Komputer A + 1 HDD untuk

Komputer BAtau dapat dituliskan dengan :2x + 3y = 82X+2y = 622x+y = 72

7

1. Sebuah garmen membuat 3 macam produk yaitu kursi, meja dan lemari. Produk-produk tsb membutuhkan 3 jenis bahan yaitu kayu papan, kayu ring dan paku. Spesifikasi produk : 1 kursi membutuhkan 2 kayu papan, 6 ring dan 10 paku 1 meja membutuhkan 2 kayu papan, 6 ring dan 12

paku 1 lemari membutuhkan 10 kayu papan, 10 ring dan 20

pakuPermasalahannya adalah Tuliskan persamaan linier

simultannya jika tersedia 108 kayu papan, 204 kayu ring dan 376 paku ?

8

2. Seorang petani ingin menanam padi, jagung dan ketela diatas tanah seluas 12 hektar dgn ketentuan :

Setiap hektar padi membutuhkan 10 kg pupuk urea dan 6 kg pestisida

Setiap hektar jagung membutuhkan 8 kg pupuk urea dan 4 kg pestisida

Setiap hektar ketela pohon membutuhkan 5 kg pupuk urea dan 3 kg pestisida

Permasalahannya adalah Tuliskan persamaan linier simultannya jika tersedia 97 kg pupuk urea dan 55 kg pestisida ?

9

Perusahaan IBM memproduksi komputer,keputusan yang akan dibuat adalah berapa komputer yang akan diproduksi bulan depan untuk pasar di boston.

Untuk memproduksi CC7 diperlukan labor 300hari kerja dan material $10.000

Untuk memproduksi CC8 diperlukan labor 500hari kerja dan material $15.000

Profit yg diinginkan $8000/CC7 dan $12000/CC8Kapasitas produksi 200.000 hr kerja/bln,budget

material $8.000.000/bln.Kebutuhan komputer dipasar boston 100 unit CC7/blnKebutuhan komputer dipasar boston 200 unit CC8/blnPermasalahannya : Tentukan persamaan

simultannya ???

10

X = jml komputer CC7 yg diproduksiy= jml komputer CC8 yg diproduksiLabor : 300x+500y <=200.000Material : 10.000x+15.000y

<=8.000.000Kebutuhan pasar : x >=100, y >=200Profit/bln : z = 8000x+12.000y

11

Persamaan linier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat : Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar,

dimana jumlah persamaan = jml variabel bebas Persamaan linier simultan non-homogen,

dimana minimal ada satu nilai vektor konstanta B tidak nol atau ada bn ≠ 0

Determinan dari matriks koefisien persamaan linier simultan ≠ 0

12

Untuk menyelesaikan permaslahan persamaan linier simultan dpt dilakuakn dgn metode grafis atau aturan crammer (Invers)

Permasalahan akan muncul ketika jumlah variabel dan jumlah persamaanya >=4, sehingga metode di atas akan sulit dilakukan, maka metode numerik mengusulkan beberapa metode, yaitu :1. Metode Eliminasi Gauss2. Metode Eliminasi Gauss-Jordan

13

Metode ini merupakan pengembangan dr metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga diperoleh nilai dari suatu variabel bebas

Untuk menggunakan metode eliminasi gauss ini, terlebih dahulu bentuk matriks diubah menjadi augmented matriks

14

1. Masukkan matriks A dan vektor B beserta ukurannya n2. Buat augmented matriks [A|B], namakan dgn A3. Untuk baris ke-i dimana i = 1 sampai n, perhatikan apakah nilai

ai,i = 0. Bila ya :tukarkan baris ke – i dan baris i+k<=n, dimana ai+k,i ≠ 0, bila tdk ada berarti perhitungan tdk bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dgn tanpa penyelesaian.Bila Tidak : Lanjutkan

4. untuk baris ke-j, dimana j = i+1 sampai n, lakukan operasi baris elementer : Hitung c = aj,i/ai,i Untuk kolom k dimana k =1 sampai n+1

Hitung aj,k = aj,k - c.ai,k

5. Hitung akar, untuk i = n sampai 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama)Xi = 1 (bi-ai,i+1xi+1 - ai,i+2xi+2 - … - ai,nxn), dimana nilai i+k<=n ai,i

Catatan : Metode eliminasi gauss ini merupakan metode eliminasi yg sering digunakan semasa SMA, hanya saja tekniknya menggunakan persamaan bukan menggunakan augmented matriks

15

Selesaikan sistem persamaan berikut :X₁+X₂+X₃ = 6X₁+2X₂ - X₃ = 22X₁+X₂+2X₃ = 10

16

Buat menjadi augmented matriks :1 1 1 61 2 -1 22 1 2 10

Lakukan operasi baris elementer sbg berikut :

B2-B1B3 - 2B1, Menjadi :

1 1 1 60 1 -2 -40 -1 0 -2

17

B3+B2 1 1 1 60 1 -2 -40 0 -2 -6

Dengan demikian diperoleh penyelesaian :

X₃ = -6/-2 = 3 X₂ = 1/1 (-4-(2)3) = 2X₁ = 1/1 (6-2-3) = 1

18

Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi gauss, hanya saja metode ini menggunakan augmented matriks pada sebelah kiri dibawah menjadi matriks diagonal.

Contohnya : a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁n b₁ 1 0 0 … 0 d₁

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂n b₂ 0 1 0 … 0 d₂

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃n b₃ 0 0 1 … 0 d₃

… … … … … … … … … … …

an₁ an₂ an₃ ann bn 0 0 0 0 0 dn19

Penyelesaian dari persamaan linier simultan di atas adalah nilai d₁, d₂, d₃,…. dn

Atau penyelesaiannya x₁ = d₁, x₂ = d₂, x₃ = d₃, …, Xn = dn

Teknik yg digunakan pada metode eliminasi gauss-jordan ini sama seperti metode eliminasi gauss, yaitu menggunkan OBE (Operasi Baris Elementer)

Bedanya perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh dari nilai pada kolom terakhir setiap baris

20

1. Masukkan matriks A dan vektor B beserta ukurannya n2. Buat augmented matriks [A|B], namakan dgn A3. Untuk baris ke-i dimana i = 1 sampai n,

1. perhatikan apakah nilai ai,i = 0. Bila ya :tukarkan baris ke – i dan baris i+k<=n, dimana ai+k,i ≠

0, bila tdk ada berarti perhitungan tdk bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dgn tanpa penyelesaian.

Bila Tidak : Lanjutkan2. Jadikan nilai diagonalnya menjadi 1, dengan cara untuk setiap

kolom k dimana k = 1 sampai n+1, hitung ai,k = ai,k/ai,i

4. untuk baris ke-j, dimana j = i+1 sampai n, lakukan operasi baris elementer :

Untuk kolom k dimana k =1 sampai nHitung c = aj,i

Hitung aj,k = aj,k - c.ai,k

5. Penyelesaian, untuk i = n sampai 1 (bergerak dari baris ke-n sampai baris pertama)Xi = ai,n+1

21

Contoh :Selesaikan persamaan linier simultan : x₁ + x₂ = 3 2x₁ + 4x₂ = 8

22

1 1 32 4 8 AUGMENTED MATRIKS

Lakukan operasi OBE :

1 1 30 2 2 B2-2B₁

1 1 30 1 1 B2/2

1 0 2 B1-B20 1 1

Penyelesaian persamaan linier simultan tsb adalah :

x₁ = 2, x₂ = 1 23

Selesaikan SPL simultan berikut dengan metode Gauss-Jordan : X₁+X₂+X₃ = 6X₁+2X₂ - X₃ = 22X₁+X₂+2X₃ = 10

24

1 1 1 6 1 1 1 61 2 -1 2 1 2 -1 2 B2-B12 1 2 10 B3-B1 1 0 1 4 1 1 1 6B1-B2 1 0 3 100 1 -2 -4 0 1 -2 -41 0 1 4 1 0 1 4 B3-B1

25

1 0 3 10 1 0 3 10 B1-3B30 1 -2 -4 0 1 -2 -40 0 -2 -6 B3/-2 0 0 1 3 1 0 0 11 0 0 1 X1 = 10 1 -2 -4 B2+2B3 0 1 0 2 X2 = 20 0 1 30 0 1 3 X3 = 3

26