02-conceitos-basicos (08-mar-13)

PAA-DCC-UFAM

Conceitos Bsicos

Universidade Federal do Amazonas

Departamento de Eletrnica e Computao

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Algoritmos

Um algoritmo: A essncia de um procedimento computacional composto por instrues seqenciais passo a passo

procedimento computacional bem definido (valores de entrada e sada ordenao de nmeros)entrada e sada ordenao de nmeros)

Um programa: Implementao de um algoritmo em uma dada linguagem de programao

Estrutura de dados: forma de organizar os dados necessrios soluo de um problema

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Soluo Algoritmica

Instncia de Entrada

atendendo a especificao

Algoritmo Sadarelacionada Entrada

O Algoritmo descreve aes sobre a instncia de entrada

Existem infinitos algoritmos corretos para um mesmo problema algortmico

especificao

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Ordenao

Definio Formal: Ordenao

ENTRADAsequncia de nmeros

a1, a2, a3,.,an b1,b2,b3,.,bn

SADAuma permutao (reordenao) da sequncia de entradas

2 5 4 10 7 2 4 5 7 10

CorretudePara qualquer entrada dada, o algortimo termina com sada

b1, b2, b3, ., bn, onde b1 < b2 < b3 < . < bn

Tempo de ExecuoDepende de: nmero de elementos (n) o quo (parcialmente) ordenada est a lista soluo algoritmica disp. de armazenamento

(instncia)

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Problema Algortmico

Especificaoda

Entrada?

Especificao da Sada como

funo da Entrada

Existe um nmero infinito de instncias da entrada que satisfazem a especificao. Por exemplo:

Uma seqncia finita, ordenada, no decrescente de nmeros naturais: 1, 20, 908, 909, 100000, 1000000000 3, 15, 105, 876, 1000, 100000

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Primeiro Algoritmo

O nosso primeiro algoritmo, o de ordenao por insero, resolve o problema de ordenao

Entrada:

Sada: tal que a1 a2 ... an Sada: tal que a1 a2 ... an Procdimento:1. Mo esquerda vazia e cartas p/ baixo

2. Remove uma carta inser. na pos. correta

3. Compara as cartas da direita p/ esquerda

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Ordenao por Insero

Entrada:

Sada:

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A1 nj3 6 84 9 7 2 5 1

iinsira A[j] na sequnciaordenada A[1..j-1]

Ordenao por Insero

1) j=2; pivot=4; i=1; A[2]=4 2) j=3; pivot=6; i=2; A[3]=63) j=4; pivot=8; i=3; A[4]=8

1 para j=2 at n2 faa pivot:=A[j]3 i j-14 enquanto i>0 e A[i]>pivot faa5 A[i+1] A[i]6 i--;7 fim-enquanto8 A[i+1] pivot;

ordenada A[1..j-1] 3) j=4; pivot=8; i=3; A[4]=84) j=5; pivot=9; i=4; A[5]=9

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Exerccio: Ordenao por Insero

1) Implemente o algoritmo da ordenao por insero usando a linguagem C ou C++. Analise o algoritmo em termos dos loops para os seguintes casos:a) Os elementos do vetor j esto ordenados

b) Os elementos do vetor esto em ordem inversa

c) Alguns elementos do vetor no esto ordenados

2) Agora considere um vetor com 1K, 10K, 100K e 1M posies e compute o tempo de execuo usando o comando time para cada um dos casos a), b) e c)

PAA-DCC-UFAMSoluo Algoritmica em Sistemas Discretos

Um sistema discreto (SD) um operador matemtico transforma um sinal em um outro sinal

usa um conjunto fixo de operaes

Um sinal de entrada x(n) transformado em um sinal de sada y(n) atravs da transformao T[.] A relao de entrada e sada pode ser expressada em termos de uma funo ou regra matemtica

T [.]X(n) Y(n) = T[x(n)]

PAA-DCC-UFAMExemplo de Soluo Algoritmica em Sistema Discreto

Considere um sistema discreto modelado pela seguinte eq. de diferena

( ) ( ) ( )nxnayny += 1

=

=

0 ,00 ,1)(

n

nnx

substituido a=-1/2 e aplicando a funo de impulso unitrio

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 25.01

110

25.005.05.025.0015.01

1105.00

=

=++

=+=

=+=

=+=

nyyy

yyy

K

K

for(i=0; i

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Exerccio: Sistema Discreto

1) Fornea o algoritmo para implementar o seguinte sistema discreto (de um passa baixa IIR segunda ordem) considerando a=0.4375 e b=-0.125

y(n) = ay(n-1) by(n-2) + x(n)y(n) = ay(n-1) by(n-2) + x(n)

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Filtros Digitais

Filtros digitais podem ser definidos como sistema de tempo discreto no tempo linear

N o nmero de sada no passado

M o nmero das entradas atuais e do passado

( ) ( ) ( ) = =

+=N

k

M

kkk knxbknyany

1 0

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Filtros Digitais



M o nmero das entradas atuais e do passadoy(n) a sada

( ) ( ) ( ) = =

+=N

k

M

kkk knxbknyany

1 0

y(n) a sadano instante n

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Filtros Digitais




y(n-k) a sada k passos no passado

( ) ( ) ( ) = =

+=N

k

M

kkk knxbknyany

1 0


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Filtros Digitais





x(n-k) a entrada k passosno passado

( ) ( ) ( ) = =

+=N

k

M

kkk knxbknyany

1 0


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Filtros Digitais






( ) ( ) ( ) = =

+=N

k

M

kkk knxbknyany

1 0


ak so os coeficientes para as sadas

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Filtros Digitais






( ) ( ) ( ) = =

+=N

k

M

kkk knxbknyany

1 0


ak so os coeficientes para as sadas

bk so os coeficientes para as entradas

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Tipos de Filtros Digitais

Filtros digitais so geralmente classificados de acordo com as caractersticas do domnio da frequncia

Passa-baixa: atenua frequncias mais elevadas do que a frequncia de corte

Passa-alta: atenua freqncias mais baixas do que a Passa-alta: atenua freqncias mais baixas do que a frequncia de corte

Passa-banda: atenua frequncias fora da faixa entre as frequncias de corte

Bandstop: atenua frequncias dentro da faixa entre as frequncias de corte

Passa-tudo: no atenua nenhuma frequncia, geralmente muda apenas a fase do sinal

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Anlise e Projeto de Filtro (Matlab)

fdatool: permite projetar filtros digitais no Matlab

Exportar os coeficientes: file->export, workspace

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[B, A] = sos2tf(SOS,G): obtm a funo de transferncia com os respectivos coeficientes

B = 0.2066 0.4131 0.2066

A = 1.0000 -0.3695 0.1958

format long: aumenta o tamanho do formato dos nmeros fi(B,1,7,5): 1: bit do sinal; 7: tamanho da palavra; 5: parte fracionriafi(A,1,7,5): 1: bit do sinal; 7: tamanho da palavra; 5: parte fracionria

A = 1.0000 -0.3695 0.1958

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Matlab retorna os seguintes coeficientes:

B = 0.21875 0.40625 0.21875

A = 1.0000 -0.375 0.1875

aplicando os coeficientes em:

temos:

( ) ( ) ( ) = =

+=N

k

M

kkk knxbknyany

1 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )221875.0140625.0

21875.021875.01375.0++

+=

nxnx

nxnynyny

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Loop Invariante

Loop invariante uma invariante usada para provar propriedades de loops:

nos ajudam a entender por que um algoritmo correto

Devemos mostrar trs detalhes: Devemos mostrar trs detalhes: Inicializao: verdadeiro antes da inicializao do loop

Manuteno: Se for verdadeiro antes de uma iterao do loop, permanecer verdadeiro antes da prxima iterao

Trmino: Quando o loop termina, a invariante fornece uma propriedade til para mostrar que o algoritmo correto

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Padro do Loop Invariante

...// the Loop Invariant must be true here

O padro geral para inserir loop invariante no cdigo dado por:

// the Loop Invariant must be true herewhile ( TEST CONDITION ) {

// top of the loop...// bottom of the loop// the Loop Invariant must be true here

}// Termination + Loop Invariant = Goal...

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Exemplo: Loop Invariante

Considere o seguinte cdigo:

#define SIZE 10int x;void main() {while (x

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Exemplo: Loop Invariante

#define SIZE 10int x;void main() {assert(x

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Loop Invariante (1)

No comeo de cada iterao do loop para (linhas de 1 a 8), o subarranjo A[1..j-1] consiste dos elementos contidos originalmente em A[1..j-1] , mas em sequncia ordenada

Prova das propriedades: Inicializao: mostrar que o loop invariante vlido antes da primeira iterao do loop

quando j=2 ento o subarranjo A[1..j-1] consiste apenas do nico elemento A[1], que de fato o elemento original A[1]. Alm disso, esse subarranjo ordenado e isso mostra que o loop invariante vlido antes da primeira iterao

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Loop Invariante (2)

Manuteno: demonstrar que cada iterao mantm o loop invariante

O corpo do loop para funciona deslocando-se A[j-1], A[j-2], A[j-3] e da por diante uma posio a esquerda, at ser encontrada a posio adequada para A[j] (linhas 3 a 7), e nesse ponto o valor posio adequada para A[j] (linhas 3 a 7), e nesse ponto o valor de A[j] inserido

Trmino: examinar o que ocorre quando o loop termina

O loop para externo termina quando j excede n, isto , quando j=n+1. Substituindo j por n+1 no enunciado do loop invariante, temos que o subarranjo A[1..n] consiste nos elementos originalmente contidos em A[1..n], mas em sequncia ordenada

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O algoritmo dito correto se a condio de parada alcanada e o loop invariante verdadeiro

1 para j =2 at n2 // Invariante: A[1..j-1] uma seq. ordenada do original A[1..j-1]

Loop Invariante (Ordenao)

do

original A[1..j-1] 3 faa pivot:=A[j]4 i j-15 enquanto i>0 e A[i]>pivot faa6 A[i+1] A[i]7 i--;8 fim-enquanto9 A[i+1] pivot;10 // Invariante: A[1..j-1] uma seq. ordenada do original A[1..j-1] 11 Invariante verdadeira A[1..n] e j==n+1

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Enuncie um loop invariante para o loop do seguinte filtro digital:

Exerccio: Loop Invariante

( ) ( ) ( )nxnyny += 15.0

=

=

0 ,00 ,1)(

n

nnx

for(i=0; i

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Anlise de Algoritmos

Prever os recursos que o algoritmo necessitar

Memria, largura de banda ou hardware

Estamos interessado na eficincia:

Tempo de execuo Espao (memria) usado

Eficincia como funo do tamanho da entrada

Pela anlise de vrios algoritmos, podemos identificar um algoritmo mais eficiente

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Anlise de Algoritmos

O que deve ser contabilizado? Modelo RAM (instrues executadas de formal seq.)

No abusar do modelo de RAM (instruo de ordenao)

Instrues (considerando tempo constante): Instrues (considerando tempo constante):

Aritmticas (+, -, *, etc.)

Movimentao de dados (carregar, armazenar, copiar)

Controle (desvios, chamadas de procedimento, etc.)

Tamanho da entrada

Nmero de itens na entrada

Nmero total de bits

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para j=2 at n

faa pivot:=A[j]

Anlise: Ordenao por Insero

Determinar o tempo de execuo como funo do tamanho da entrada

n-1 vezes

n vezes

i j-1

enquanto i>0 e A[i]>pivot faa

A[i+1] A[i]i--;

fim-enquanto

A[i+1] pivot;

Para cada uma das n-1 vezes, tj vezes

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Determinar o tempo de execuo como funo do tamanho da entrada

para j=2 at nfaa pivot:=A[j] (n-1)

n c1c

vezes custo

faa pivot:=A[j]i j-1enquanto i>0 e A[i]>pivot faaA[i+1] A[i]i--;

fim-enquantoA[i+1] pivot; n-1

(n-1)

(n-1)

2

n

jj t=2( 1)n jj t=

2( 1)n jj t=

c2c4c5c6c7

c8

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Para calcular T(n), somamos os produtos das colunas custos e vezes, obtendo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11111)( 82

72

62

5421 ++++++= ===

nctctctcncncncnTn

jj

n

jj

n

jj

Mesmo para entradas de um mesmo tamanho, o tempo de execuo do algoritmo pode depender de qual entrada dada

Anlise do melhor caso

Anlise do pior caso

Anlise do caso mdio

222 === jjj

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Melhor Caso

Melhor Caso Elementos j ordenados

Todos os testes falham, o loop interno nunca executado

Neste caso, tj=1 e a operao executada n-1 vezesNeste caso, tj=1 e a operao executada n-1 vezes

Portanto a complexidade de tempo dada por T(n)=an-bpara constantes a e b que dependem de ci

Funo linear de n

1111322

=+++=+++==

ntttt nn

jj KK

( ) ( ) ( ) ( )1111)( 85421 ++++= ncncncncncnT( ) ( )854285421)( ccccncccccnT +++++++=

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Pior Caso

Pior Caso

Elementos em ordem inversa

Observando que:

( ) 11 + nn=jn ( ) ( )11 nn=j

n

Livro do Cormen segunda edio est errado, pois o autor apresenta o termo (n-1) em vez de (n+1)

Descobrimos que, no pior caso, T(n)

( ) 12

12

+

nn=j

n

j=( ) ( )

211

2

nn

=jn

j=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )8542876542127658

765421

2222221

21

211

2111)(

ccccncccc

cccnccc

nc

nnc

nnc

nncncncncnT

+++

+++++

++=+

+

+

++++=

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Demonstrao do Somatrio

( )2

1211

+=+++

nnn=j

n

j=L

Srie aritmtica definida como:

Deste modo, temos:( )

( ) ( ) ( ) ( )2

12

212

11211

12

132

2

2

=

+=

+=+++

+=+++

nnnnnn

nnn=j

nnn=j

n

j=

n

j=

K

K

Deste modo, temos:

De forma similar, obtemos:

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Somatrios teis

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Melhor/Pior/Mdio (1)

Melhor Caso: elementos j ordenados tj=1, T(n) =k1 . n, ou seja, tempo linear.

Pior caso: elementos em ordem inversat =j, T(n) = k . n2, ou seja, tempo quadrtico tj=j, T(n) = k2 . n2, ou seja, tempo quadrtico

Tempo mdio: tj=j/2, T(n) = k2 . n2, ou seja, tempo quadrtico

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Determinar o tempo de execuo para diferentes instancias de tamanho n:

6n Pior Caso

1n2n

3n4n5n

Melhor Caso

Caso Mdio

Caso

Instncias

Tempo de Execuo

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Para instncias de todos os tamanhos:

average-caseCaso Mdio6n

worst-case

6n

Pior Caso

Tempo de

1n2n

3n4n5n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

best-case

1n2n

3n4n5n

Melhor Caso

Tamanho da Entrada

Tempo de Execuo

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O pior caso geralmente usado Estabelece um limite superior na complexidade de tempo do algoritmo

Para alguns algoritmos o pior caso bastante freqentefreqente

Frequentemente o caso mdio to ruim quando o pior caso

Encontrar o caso mdio pode ser muito difcil

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Funes de Crescimento

1,00E+83

1,00E+95

1,00E+107

1,00E+119

1,00E+131

1,00E+143

1,00E+155

n

log nsqrt nn log n100n

1,00E-01

1,00E+11

1,00E+23

1,00E+35

1,00E+47

1,00E+59

1,00E+71

1,00E+83

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024n

T

(

n

) n^2n^32^n

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O que razovel em computao?

9/100segundos

1/100segundos

1/400segundos

1/2,500segundos

1/10,000segundosn

2

300100502010funo/n

Polinomial

Sculos de 728 dgitos

Sculos de 185 dgitos

Seculos de 70 dgitos

3.3 trilhes de anos

2.8 horasn

n

Sculos de 75 dgitos

400 trilhes de sculos

35.7anos

1segundos

1/1000segundos2

n

28.1 dias

2.8horas

5.2minutos

3.2segundos

1/10segundosn

5

ExponencialPolinomial

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