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République Algérienne Démocratique et PopulaireMinistère de l’Enseignement supérieur et de La Recherche
Scientifique
Université : Hassiba BENBOUALI de CHLEFFaculté : SciencesDépartement : PhysiqueDomaine : ST-SM
TOME 1:
VIBRATIONS
Rappels de CoursProblèmes posés aux concours d’entrée aux
Grandes Ecoles Scientifiques
Module : Physique 03Niveau : 2ième Année Licence
Présenté par:Dr Fouad BOUKLI HACENE
Année Universitaire : 2014 /2015
DEDICACES
Je dédie ce travail en signe de respect et de reconnaissance à:
Mes chers parents pour tous les sacrifices qu'ils ont consentis,
pour tous les encouragements ainsi que pour leur soutient moral et
matériel qui m'a permis d’achever ce travail.
Je le dédie également à:
Ma très chère femme et mes chers enfants
Mes chers frères et sœurs
Mes oncles et tantes
Toute ma famille et mes proches
Sommaire
Avant propos
Nomenclature
Sommaire
TOME 1 : VIBRATIONS
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations. 1
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté. 9
Chapitre 3 : Mouvement oscillatoire amorti à un degré de liberté 38
Chapitre 4 : Mouvement oscillatoire forcé à un degré de liberté. 50
Chapitre 5 : Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté. 82
Références bibliographiques
Nomenclature
)t(p Coordonnées généralisées
TE Energie totale du système
cE Energie Cinétique du système
cE Energie Cinétique moyenne du système
pE Energie potentielle su système
L Lagrangien du système
S Action du système
exeF
Forces extérieures appliquées au système
exeM
Moments extérieurs appliqués au système
0 Pulsation propre du mouvement libre
A Amplitude
Déphasage
0T Période propre du mouvement libre
k Constante de raideur du ressort
C Constante de torsion
J Moment d’inertie
R Rayon d’un disque
m Masse d’un système
ix Coordonnées du système
V
Vitesse du déplacement
Masse volumique
l Longueur du ressort
0l Longueur du ressort à vide
0P Pression du gaz à l’équilibre
0V Volume du gaz à l’équilibre
dx Tranche d’élément entre les positions x et x+dx
apC Capacité électrique
indL Capacité électrique
q Charge qui circule dans le circuit
)t(u Tension d’alimentation
frf
Force de frottement
Coefficient de frottement
Facteur d’amortissement
Pseudo Pulsation du mouvement faiblement amorti
T Pseudo Période du mouvement faiblement amorti
)t(f Force extérieure appliquée au système
Pulsation Force extérieure appliquée au système
)t(pg Solution générale du mouvement force
)t(p p Solution particulière
r Pulsation de résonance du mouvement forcé
21 , Pulsation de coupure en régime forcé
Bande passante
Q Facteur de qualité
Z~
Impédance
Masse linéique de la corde
Masse surfacique
T Tension de la corde
Tension linéaire
E Constante de Young
w Longueur d’onde
0k Vecteur d’onde
V Vitesse de propagation
s Coefficient de compressibilité
Avant propos
Ce document a été destiné aux étudiants de deuxième année des filières
scientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs d’Algérie. Il
répond au programme officiel du module « Vibrations et Ondes mécaniques »
enseignés en deuxième année des filières Sciences et techniques et Sciences de la
matière.
Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de vibrations
et de propagation des ondes mécaniques avec un rappel de cours.
Le manuscrit est divisé en deux Tomes, vibrations et ondes mécaniques
réparties en Huit chapitres.
Le premier tome comporte cinq sections. La première porte sur l’utilisation du
formalise de Lagrange pour décrire les oscillations des systèmes physiques. L’étude
des oscillations linéaires (de faible amplitude) libres des systèmes à un degré de liberté
est présentée dans le chapitre deux. Le troisième chapitre traite le mouvement amorti
qui prend en compte les forces de frottements de viscosité proportionnelles à la vitesse
du mobile. La notion de résonance consacrée aux oscillations forcées est présentée au
quatrième chapitre. Le cinquième chapitre traite les vibrations aux plusieurs degrés de
liberté. Les analogies entre les systèmes électriques et mécaniques sont présentées
dans les cinq chapitres.
Le deuxième tome du programme est consacré aux problèmes d’ondes
mécaniques. Cette partie contient trois chapitres. Le premier introduit les généralités
des phénomènes liés à la propagation des ondes mécaniques. Le deuxième chapitre
traite la propagation des ondes mécaniques dans différents les solides. Le dernier
chapitre est consacré à la propagation des ondes mécaniques dans les fluides.
Dr Fouad BOUKLI HACENE
1Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
TOME 1
VIBRATIONS
Chapitre 1:
Généralités sur les oscillations
2Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Rappels théoriques
La vibration est un phénomène physique oscillatoire d’un corps en mouvement
autour de sa position d’équilibre.
Parmi les mouvements mécaniques les plus variés, il existe des mouvements qui
se répètent : les battements du cœur, le mouvement d'une balançoire, le
mouvement alternatif des pistons d'un moteur à explosion. Tous ces
mouvements ont un trait commun : une répétition du mouvement sur un cycle.
Un cycle est une suite ininterrompue de mouvements ou de phénomènes qui se
renouvellent toujours dans le même ordre. Prenez à titre d'exemple le cycle à
quatre temps d'un moteur à explosion. Un cycle complet comprend quatre
étapes (admission, compression, explosion, échappement) qui se répètent durant
un cycle moteur.
On appelle mouvement périodique un mouvement qui se répète et dont chaque
cycle se reproduit identiquement. La durée d'un cycle est appelée période.
Un mouvement périodique particulièrement intéressant dans le domaine de la
mécanique est celui d'un objet qui se déplace de sa position d'équilibre et y
revient en effectuant un mouvement de va-et-vient par rapport à cette position.
Ce type de mouvement périodique se nomme oscillation ou mouvement
oscillatoire. Les oscillations d'une masse reliée à un ressort, le mouvement d'un
pendule ou les vibrations d'un instrument à corde sont des exemples de
mouvements oscillatoires.
Tout système mécanique, incluant les machines industrielles les plus
complexes, peut être représenté par des modèles formés d’un ressort, un
amortisseur et une masse. Le corps humain, souvent qualifié de "belle
mécanique", est décomposé à la figure 1.1 en plusieurs sous-systèmes "masse-
ressort-amortisseur" représentant la tète, les épaules, la cage thoracique et les
jambes ou les pieds.
3Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 1.1 : Modélisation masse-ressort-amortisseur de l’homme.
Pour comprendre le phénomène vibratoire, on associe à tous les systèmes
physiques un système "masse-ressort" qui constitue un excellent modèle
représentatif pour étudier les oscillations comme suit, figure 2.1 :
Figure 2.1: Schéma masse-ressort
F(t) s’appelle la force de rappel qui est proportionnelle à l’allongement x(t). La
constante k est appelée la constante de raideur.
4Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Il existe deux autres configurations pour le système masse-ressort, figure 3.1 :
Figure 3.1 : Configurations pour le système masse-ressort
La représentation de plusieurs ressorts se présente en deux cas :
En parallèle, on a la figure 4.1 :
Figure 4.1 : Ressorts en parallèles
La raideur équivalente est la somme des raideurs k1 et k2 telle que :
21 kkkeq
En série, on a la figure 5.1 :
5Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 5.1 : Ressorts en séries
La raideur équivalente pour les constantes k1 et k2 telle que :
21
111
kkkeq
Un système physique oscillant est repéré par la coordonnée généralisée p qui est
définit par l’écart par rapport à la position d’équilibre stable.
On définit q le nombre de degré de liberté par le nombre de mouvements
indépendants d’un système physique qui détermine le nombre d’équations
différentielles du mouvement.
L’énergie cinétique d’un système mécanique s’écrit sous la forme :
2ii
1nc pm
2
1E
L’énergie potentielle d’un système mécanique s’écrit à partir de développement
limité de Taylor sous la forme:
...pp
E
6
1p
p
E
2
1p
p
E)0(EE 3
0p3
p3
20p2
p2
0p
p
pp
La valeur p=0 correspond à la position d’équilibre du système
caractérisée par :
0p
E0p
i
p
6Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Il existe deux types d’équilibre :
Equilibre stable, représenté par la figure 6.1 :
Dans ce cas la, La condition nécessaire est que :
0p
E0p2
p2
Figure 6.1: Equilibre stable
Equilibre instable représenté par la figure 7.1 :
Dans ce cas la, La condition nécessaire est que
0p
E0p2
p2
Figure 7.1: Equilibre instable
7Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Le mouvement oscillatoire est dit linéaire si cet écart est infinitésimal. A cet
effet l’énergie potentielle prend la forme quadratique en fonction de l’écart par
rapport à la position d’équilibre représentée comme suit:
202
2
2
1p
p
EE p
p
p
La constante2
2
p
E p
est appelée la constante de rappelle.
Ainsi ; la force de rappel prend la forme linéaire en fonction de l’allongement
et opposée au mouvement telle que:
pp
EtF p
p 02
2
)(
L’équation du mouvement pour un système conservatif peut être déterminée
par trois méthodes :
Principe de la conservation d’énergie totale :
0tan dt
dEteConsEEE T
pcT
Où TE est appelée l’énergie totale du système.
La loi dynamique de Newton :
i1n
ii amF
Où ia
est appelée l’accélération des composantes du système.
Méthode de Lagrange-Euler:
tetanConsEE)pL(p, pc
Où L est le Lagrangien du système.
Dans le cas d’un système dit conservatif, on a les forces dérivent d’un
potentiel.
8Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
On définit l’action du système comme la sommation, entre l’intervalle du
temps, 10 t,t le long du trajet du système, de la différence entre l'énergie
cinétique et l'énergie potentielle.
1
0
t
t
)dtpL(p,
La détermination du trajet se fait par une méthode variationnelle. Cette
méthode aboutit aux équations d'Euler-Lagrange qui donnent des chemins sur
lesquels l'action est minimale.
En appliquant le principe de moindre action, 0 , on obtient
l’équation d’Euler- Lagrange pour un système conservatif comme suit :
n,1i0)p
L)
p
L(
dt
d
ii
L’équation du mouvement pour un système dissipatif (non conservatif) peut
être déterminée comme suit :
Système en translation :
n,1iF)p
L)
p
L(
dt
dext
ii
Où extF
sont les forces extérieures appliquées au système.
Système en rotation
n,1iM)p
L)
p
L(
dt
dext
ii
Où extM
sont les moments extérieurs appliqués au système.
Dans ce cas les forces ne dérivent pas d’un potentiel.
9Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Chapitre 2 :
Mouvement oscillatoire libre à un degré de
liberté
10Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Rappels théoriques
Un système isolé oscillant à un degré de liberté est déterminé par la coordonnée
généralisée p qui est l’écart par rapport à l’équilibre stable.
On définit l’oscillation harmonique par l’équation différentielle suivante :
0)t(p)t(p 20
Où ω0 est appelée la pulsation propre du système.
On définit la période propre T0 comme suit :
0
0
2T
La solution de cette équation différentielle est de forme sinusoïdale tel que :
)tcos(A)t(p 0
Où A représente l’amplitude des oscillations et ϕ est le déphasage. Les constantes A et
ϕ sont déterminées par les conditions initiales suivantes :
0
0
p)0t(p
p)0t(p
A- Réponse de la position B- Réponse de la vitesse
Figure 1.2 : Mouvement oscillatoire libre
11Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Il faut signaler que toutes les oscillations de faible amplitude autour de la
position d’équilibre peuvent être assimilées à des mouvements linéaires et
l’énergie potentielle peut s’exprimer sous forme quadratique de la coordonnée
généralisée p.
En revanche, au-delà d’une certaine amplitude l’oscillation devient non linéaire.
Quelques exemples d’applications:
Ressort :
Figure 2.2 : Mouvement oscillatoire d’un ressort
Le vecteur de position est égal à :
ixvixmo
L’énergie cinétique s’écrit :
22c xm
2
1mv
2
1E
L’énergie potentielle pour des petites oscillations, s’écrit sous la forme:
2p kx
2
1E
Alors, le Lagrangien du système est de la forme:
22
2
1
2
1kxxmEEL pc
12Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
L’équation de mouvement est de la forme :
kxx
Lxm
x
L0
x
L)
x
L(
dt
d
D’ou
0xxm0kxxm 20
La pulsation propre est égale :
m
k20
La solution de l’équation différentielle s’écrit alors :
)cos()( 0 tAtx
Pendule simple :
Figure 3.2 : Mouvement Oscillatoire d’un pendule simple
Le vecteur de position s’exprime comme suit:
sinly
coslxv
cosly
sinlxmo
D’où :
2222lyxv
L’énergie cinétique s’écrit :
222c ml
2
1mv
2
1E
Pour l’énergie potentielle on a:
cosmglE p
13Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Alors, le Lagrangien du système s’écrit :
cosmglml2
1EEL 22
pc
L’équation de mouvement pour des petites oscillations, est :
sinmglL
mlL
0L
)L
(dt
d 2
D’ou :
sin
0mglml 2
Donc l’équation du mouvement s’exprime comme suit :
00l
g 20
La pulsation propre est égale à :
l
g20
La solution de l’équation différentielle est de la forme :
)cos()( 0 tAtx
Système de torsion :
Un corps rigide de moment d’inertie J0 oscille autour d’un axe avec une
constante de torsion kt
Figure 4.2 : Mouvement oscillatoire de torsion
L’énergie cinétique s’écrit :
20c J
2
1E
14Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Pour l’énergie potentielle on a :
2tp k
2
1E
Le Lagrangien du système s’écrit alors:
2t
20pc k
2
1J
2
1EEL
L’équation différentielle s’écrit :
t0 kL
JL
0L
)L
(dt
d
D’où :
0J
k
0
t
La pulsation propre s’écrit alors :
0
t20
J
k
La solution de l’équation différentielle est de la forme :
)tcos(A)t( 0
Quelques exemples d’applications qui décrivent les oscillations de
torsion reportés dans la figure 5.2.
15Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 5.2 : mouvement oscillatoire de torsion d’un pont
16Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Applications
Problème 1:
Soient les systèmes mécaniques suivants :
o Une poulie de masse M, de moment d’inertie J, et de rayon R, suspendue au
point O par un ressort de raideur k. Le fil inextensible glisse sur la poulie sans
frottement relié par une masse m, figure 6.2
o Un système de bras rigidement liés et tournant dans le plan de la figure autour
du point fixe O. A l’équilibre le bras L3 est vertical, figure 7.2.
o Un système hydraulique de forme U constitué de deux tuyaux cylindriques de
sections S1, S3 reliés par un autre cylindre de section S2 et de longueur B qui
contient un liquide de masse volumique. Le système est équivalent à un
ressort de raideur ke et de masse Me. A l’équilibre le liquide a la hauteur H,
figure 8.2.
Figure 6.2: Mouvement oscillatoire de la polie
17Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 7.2: Mouvement oscillatoire du bras
Figure 8.2: Mouvement oscillatoire d’un liquide dans un tube
Dans le cas des oscillations linéaires, déterminer pour chaque système :
Le nombre de degré de liberté.
L’énergie cinétique, l’énergie potentielle. En déduire le Lagrangien.
L’équation différentielle du mouvement.
La période propre.
18Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Solutions :
Figure 6.2:
La figure 6.2-a représente l’état d’équilibre du système et la figure 6.2-b
représente l’état du système en mouvement.
Les paramètres, (X01, X02) et (X1, X2) représentent respectivement les positions
des masses M et m en état d’équilibre et en mouvement.
Le nombre de degré de liberté :
La longueur du fil l est la même en mouvement et en équilibre tel que:
En équilibre :
)XX(RXDl 010201
En mouvement :
)XX(RXDl 121
Apres l’égalité des deux équations, on obtient :
dépendantssontx,xx2x 2112
Le nombre de degré de liberté est alors égal à 1 qui représenté par x1.
19Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Le Lagrangien est :
L’énergie cinétique s’exprime:
22
21
21c xm
2
1J
2
1xM
2
1E
Pour l’énergie potentielle:
21p kx
2
1E
Le Lagrangien s’écrit alors :
21
212pc kx
2
1x)
R
Jm2M(
2
1EEL
L’équation différentielle s’exprime comme suit:
0x)
R
Jm4M
k(x0
x
L)
x
L(
dt
d1
2
111
D’où l’équation du mouvement s’écrit :
0xx0x)
R
Jm4M
k(x 1
2011
2
1
Avec :
2
20
R
Jm4M
k
La période propre T0 :
2
O
R
Jm4M
k
2T
20Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 7.2:
Le nombre de degré de liberté :
On définit les petits déplacements comme suit :
dépendantssontx,x,xlx,lx,lx 321332211
Le nombre de degré de liberté est égal à 1, qui est représenté par θ
Le Lagrangien du système :
Pour l’énergie cinétique on a :
2233
2222
2211
2ii
1i
c lm2
1lm
2
1lm
2
1xm
2
1E
L’énergie potentielle s’exprime:
cosglmkl2
1kl
2
1E 33
222
221p
Le Lagrangien s’écrit alors :
cosglm)l(k2
1lm
2
1EEL 33
22
1i
i
3
1i
2i
2iipc
21Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
L’équation différentielle est de la forme:
00)
lm
mglklkl(0
L)
L(
dt
d 203
1i
2ii
121
22
Avec :
3
1i
2ii
121
222
0
lm
mglklkl
La période propre T0 :
1i
2ii
121
22
O
lm
mglklkl
2T
Figure 8.2:
22Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Le nombre de degré de liberté :
On a la conservation du volume d’eau déplacé dans le tube en forme U
D’où,
sdépendantesontxxxscoordonnéelesxSxSxS 321332211 ,,
Donc le nombre de degré de liberté est égal a , qui est représenté par x1.
Le Lagrangien du système:
A partir de L’énergie cinétique, on calcule la masse équivalente du système:
21e
3
1i
2iic xM
2
1xm
2
1E
D’où :
332211
21e
3
1
2
11
21
hSm,BSm,hSm
Avec
xM)S
S
S
S
h
B1(hSx
Après l’identité, on déduit la masse équivalente du système comme suit :
)S
S
S
S
h
B1(hSM
3
1
2
11e
On calcule la constante de rappelle à partir de l’énergie potentielle, on a alors :
13
1131111e
21ep x)
S
S1(ghS)xx(gSPSxkFxk
2
1E
Après l’identité, on détermine la constante de raideur équivalente du système
comme suit :
3
11e
S
S1(ghSk
Le Lagrangien du système s’écrit alors :
21e
21e
1i
2ii
2ii
1i
pc
xk2
1xM
2
1xk
2
1xm
2
1L
EEL
L’équation différentielle est de la forme :
0xx0x)M
k(x 1
2011
e
e1
23Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
La pulsation propre ω0 est égale à :
)S
S
S
S
h
B1(hS
)S
S1(ghS
M
k
3
1
2
11
3
11
e
e20
Problème 2:
On modélise le mouvement d’un baffe d’une radio par un résonateur d’HELMOTZ,
présenté comme un gaz parfait de pression P0, de volume V0 à l’équilibre thermique,
enfermé dans une enceinte reliée par un piston de masse m qui oscille sans frottement
suivant l’axe Ox comme le montre la figure (9.2)ci-dessous :
Figure 9.2 : Modélisation physique du mouvement d’un baffe-Résonateur
d’Helmholtz
L’ensemble du système évolue en opération adiabatique.
Déterminer l’équation différentielle du mouvement en appliquant la loi
fondamentale de la dynamique.
En déduire la pulsation propre du système et la solution générale.
24Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Solutions :
En appliquant la méthode des forces on obtient :
1i
rapixmPS
Ox:SuramFPamF
Puisque l’opération est adiabatique, on a:
SxV
PP
V
V
P
PtetanconscPV
0
0
00
L’équation différentielle s’écrit alors :
0xx0x)mV
SP(x 2
00
20
La pulsation propre est de la forme :
mV
SP
0
202
0
La solution générale est de la forme:
)tcos(A)t(x 0
Problème 3:
Soient les systèmes mécaniques constitués par une tige de masse négligeable, de
longueur l reliée par un ressort de raideur k représentés dans les figures 10.2 : A-B-C
comme suit:
25Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
(A) (B) (C)
Figure 10.2 : Couplage Pendule simple-Ressort
Pour des petites oscillations, déterminer pour chaque système de la figure (10.2):
Le Lagrangien.
L’équation différentielle du mouvement.
La pulsation propre et la solution générale.
Interpréter les résultats.
Solutions :
Figure (10.2) :
Système A :
Pour les faibles oscillations, on a la relation suivante :
ax
Les deux variables x, θ sont linéairement indépendant, d’où le nombre de degré de
liberté est égale à 1, représenté la variable θ
26Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
L’énergie cinétique :
On calcule le vecteur de position et la vitesse de la masse m :
sinly
coslxmoV
cosly
sinlxmo m
L’énergie cinétique s’écrit :
222mc ml
2
1mV
2
1E
L’énergie potentielle s’exprime comme suit :
axaveccosmglkx2
1E 2
p
Le Lagrangien s’écrit alors :
cosmgl)a(k2
1ml
2
1EEL 222
pc
L’équation différentielle du mouvement est :
0)ml
mglka(0
L)
L(
dt
d2
2
La pulsation propre est égale à :
2
220
ml
mglka
La solution générale est de la forme:
)tcos(A)t( 0
27Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Système B :
L’énergie cinétique
On calcule le vecteur de position et la vitesse de la masse m :
sinly
coslxmoV
cosly
sinlxmo m
D’où l’énergie cinétique s’exprime comme suit :
222mc ml
2
1mV
2
1E
L’énergie potentielle pour le deuxième système est égale à :
axaveccosmglkx2
1E 2
p
Le Lagrangien s’écrit alors :
cosmgl)a(k2
1ml
2
1EE),(L 222
pc
L’équation différentielle du mouvement est :
0)ml
mglka(0
L)
L(
dt
d2
2
La pulsation propre est :
2
220
ml
mglka
28Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
La solution générale est de la forme:
)tcos(A)t( 0
Système C:
L’énergie cinétique
sinly
coslxmoV
cosly
sinlxmo m
D’où l’énergie cinétique s’écrit comme suit :
222mc ml
2
1mV
2
1E
L’énergie potentielle s’écrit :
2p kx
2
1E
Le Lagrangien s’écrit alors :
222pc )sina(k
2
1ml
2
1EEL
L’équation différentielle du mouvement est :
0ml
ka0
L)
L(
dt
d2
2
La pulsation propre est :
29Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
2
220
ml
ka
La solution générale est de la forme:
)tcos(A)t( 0
Problème 4:
On considère un fléau constitué d’une tige métallique de masse négligeable, de
longueur l portant deux masses m et M, tournant sans frottement autour de son axe au
point fixe O comme le montre la figure 11.2 A l’équilibre la barre est horizontale.
(A) Etat d’équilibre (B) Etat en mouvement
Figure 11.2 : Modèle physique du Fléau
Déterminer:
La condition d’équilibre et l’allongement du ressort.
Le Lagrangien du système
L’équation différentielle du mouvement,
La pulsation propre et la période propre.
La solution générale avec les conditions initiales suivantes :
0)0t(x et 0
*
v)0t(x
30Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Application numérique :
On prend : m=M=1Kg, k=20N/m
Solutions :
Le Lagrangien :
On a les déplacements infinitésimaux comme suit :
dépandantssontx,x4
l3x,
4
lx 2121
On a donc un seul degré de liberté représenté par θ.
L’énergie cinétique s’exprime :
4
l3x,
4
lxavec)l
4
3(M
2
1)l
4
1(m
2
1xM
2
1xm
2
1E 21
2222
21c
L’énergie potentielle s’écrit :
22p )
4
l(k
2
1)
4
l(k
2
1E
Le Lagrangien s’écrit alors :
222pc )
4
l(k)l
4
3(M
2
1)l
4
1(m
2
1EEL
D’où :
222
)4
l(k)mM9(
16
l
2
1),(L
L’équation différentielle du mouvement :
0M9m
k20
L)
L(
dt
d
Respectivement, la pulsation propre ω0 et la période propre T0 sont de la
forme :
M9m
k2
2Tet
M9m
k2O
20
La solution générale est de la forme:
)tcos(A)t( 0
31Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Problème 5 :
En physique, un pendule de torsion est un dispositif constitué d'une barre horizontale,
de longueur l de moment d’inertie J0, fixée à un support par l'intermédiaire d'un fil de
torsion. Ce fil d'acier exerce un couple de rappel, proportionnel à l'angle de torsion. On
appelle D la constante de torsion du fil. Sur la barre, on positionne deux masselottes
identiques m de façon symétrique comme le montre la figure 12.2.
Figure 12.2 : Mouvement oscillatoire d’un Pendule de Torsion
Déterminer le Lagrangien du système
Etablir l’équation différentielle du mouvement
En déduire la pulsation propre et la solution générale
Solutions :
Le Lagrangien du système :
L’énergie cinétique s’exprime:
4
lm2JJavecJ
2
1E
2
02
c
32Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Pour l’énergie potentielle on a:
2p D
2
1E
Le Lagrangien s’écrit alors :
22pc D
2
1J
2
1EEL
L’équation du mouvement est de la forme:
00J
D0
L)
L(
dt
d 20
La pulsation propre est égale à :
J
D20
La solution générale est de la forme :
)tcos(A)t( 0
Problème 6 :
Soit un disque de masse M, de moment d’inertie J lié par deux ressorts, l’un au centre
O, l’autre au point A distant de (R/2) du point O se glissant sans frottement suivant
l’axe Ox comme le montre la figure 13.2 :
Figure 13.2 : Mouvement oscillatoire d’un disque
Etablir le Lagrangien du système.
Déterminer l’équation différentielle du mouvement
En déduire la pulsation propre du système ainsi que la solution générale
33Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Solutions :
Figure 13.2-a : Etat d’équilibre
Figure 13.2-b : Etat en mouvement
Le degré de liberté :
On a le déplacement infinitésimal comme suit
dépendantssont,xRx
Le système a un seul degré de liberté représenté par x
Le Lagrangien du système :
L’énergie cinétique s’exprime:
RxavecxM2
1J
2
1E 22
c
L’énergie potentielle s’exprime :
34Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
22p )
2
Rx(k
2
1)x(k
2
1E
Le Lagrangien du système s’écrit alors comme suit :
22
2kx
4
13
2
1x)
R
JM(
2
1)x,x(L
L’équation différentielle s’écrit sous la forme :
0xx0x
R
JM
k4
13
x0x
L)
x
L(
dt
d 20
2
La pulsation propre est égale à :
2
20
R
JM
k4
13
La solution générale s’écrit alors :
)tcos(A)t(x 0
Problème 7 :
Soit un système électrique (Lind, Cap) en série représenté dans la figure 14.2 comme
suit :
Figure 14.2 : Circuit L.C Libre
A partir des lois du Kirchhoff, établir l’équation différentielle du mouvement.
En déduire la pulsation propre du mouvement.
Solutions :
35Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
La loi des mailles :
indLap
L
i
i jLZavec0C
q)t(iZ0V
indind
D’où l’équation du mouvement s’écrit :
0C
q
dt
)t(diL
apind
L’équation différentielle devient alors :
dt
dq)t(iavec0)t(q
C
1qL
ap
ind
On a l’équivalence du système mécanique-électricité comme suit :
0)t(kxxm0)t(qC
1qL
apind
D’où :
kc
1)t(x)t(q
mL
ap
ind
La pulsation propre du mouvement s’écrit sous la forme :
apind
20
CL
1
36Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Problèmes supplémentaires
Problème 8 :
Déterminer la fréquence propre à partir de l’écrasement x0 du système de la
suspension.
Figure 15.2 : Fréquence propre des plots anti-vibratiles
Problème 9:
Soient deux ressorts de même raideur k ont une longueur à vide l0. La figure 16.2
représente une masse m reliée à leurs extrémités peut glisser sans frottement suivant
l’axe Ox
Figure 16.2: Mouvement oscillatoire transversal
Déterminer:
Le Lagrangien du système.
L’équation différentielle du mouvement.
La pulsation propre, la période propre et la solution générale.
37Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Problème 10:
On considère un gaz ionisé, un plasma, formé d’ions et d’électrons ayant une
charge globale nulle. On négligera les mouvements des ions beaucoup plus
lourds que les électrons. On suppose que les électrons ne se déplacent que
parallèlement à l’axe Ox. Au repos, le plasma est homogène et contient n0,
nombre d’électron par unité de volume. On considère une tranche de plasma dx,
les électrons situés respectivement en position x et x +dx se déplacent par les
quantités s(x, t) et s(x+dx), la figure 17.2:
Figure 17.2 : Mouvement Oscillatoire du plasma
En utilisant l’équation de poisson, déterminer l’équation différentielle du
mouvement.
En déduire la pulsation propre du système.
38Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Chapitre 3 :
Mouvement amorti à un degré de liberté
39Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Rappels théoriques
En réalité tous les systèmes physiques interagissent avec le milieu environnant. Dans
ce chapitre on doit tenir compte l’influence de la force de frottement visqueuse de type
Vf fr
sur les oscillations du système. Ce type de mouvement est appelé
mouvement amorti.
On définit l’oscillation amorti comme suit :
0)t(p)t(p2)t(p 20
Avec
m
ket
m2 2
0
Où est un coefficient positif et est appelé facteur d’amortissement. La résolution de
cette équation se fait par le changement de variable, l’équation devient alors :
0r2r 20
2
On calcule le discriminent ’et on obtient alors :
20
2'
Il existe trois types de solutions :
Cas où le système est fortement amorti : 0
La solution de l’équation différentielle s’écrit comme suit :
20
22,1
tr2
tr1
r
eAeA)t(p 21
Où A1 et A2 sont coefficients à déterminer par les conditions initiales :
)0t(p
)0t(p
On dit que le système a un mouvement apériodique.
40Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 1.3: Mouvement amorti apériodique
Cas où l’amortissement est critique : 0
La solution de l’équation est de la forme :
rrr
e)AtA()t(p
21
tr21
Où A1 et A2 sont coefficients à déterminer par les conditions initiales :
)0t(p),0t(p
Figure 2.3: Mouvement amorti critique
Cas où l’amortissement est faible : 0
La solution de l’équation différentielle est de la forme :
220
t avec)tcos(Ae)t(p
41Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Où A et sont des constantes à déterminer par les conditions initiales :
)0t(p
)0t(p
Figure 3.3: Mouvement oscillatoire amorti
On définit la pulsation du système comme suit:
220
On définit la période du système T appelé pseudo-période comme suit :
2T
On définit le décrément logarithmique qui représente la décroissance de
l’amplitude à une seule période du système comme suit:
)Tt(p
)t(pLn
Il faut signaler que le système subit une perte d’énergie totale due au travail des
forces de frottement.
0WEdWdt)t(p)t(dE rfTrf2
T
42Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Applications
Problème 1 :
On définit un oscillateur amorti régi par l’équation différentielle suivante :
0kxxxm.
Avec m est la masse du corps, k est le coefficient de rappel et x est le déplacement du
corps. On lance le système avec une vitesse initiale v0=25cm/s.
Donc on a : t=0, x=0 et 0vx
Calculer la période propre du système,
Sachant que : m=150g et k=3.8N/m.
Montrer que si α=0.6kg/s, le corps a un mouvement oscillatoire amorti.
Résoudre dans ce cas l’équation différentielle.
Calculer le pseudo-période du mouvement.
Calculer le temps mt au bout duquel la première amplitude mx est atteinte. En
déduire mx .
Calculer la vitesse d’une pseudo-période.
Solutions :
L’équation du mouvement amorti est de forme :
20
20
..
m
ket
m2avec0xx2x0kxxxm
La période propre du système est T0:
s25.1
m
k
2T
s/rad5m
k
O
0
43Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
L’équation différentielle du mouvement se transforme en :
21
Avec
021'
0r2r
220
20
2'
20
2
Le corps m a un mouvement oscillatoire amorti.
La résolution de cette équation différentielle est de forme :
)tcos(Ae)t(x t
En appliquant les conditions initiales :
20cos0x,0t
2avec
vAvx,0t 0
0
La solution finale sera exprimée comme suit :
tsinev
)t(x)tcos(Ae)t(x t0t
La figure 2.1 représente le mouvement oscillatoire amorti.
Figure 4.3 : Mouvement oscillatoire amorti
La pseudo-période se calcule :
s37.12
T
Le temps de la première amplitude mt
44Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Il faut que :
Arctg
t0dt
)t(dx)tt(x mttm m
D’où :
4
Ts25.0tm
Problème 2 :
Soient les systèmes mécaniques représentés dans les figures 5.3 et 6.3 come suit :
figure 5.3 : Mouvement oscillatoire amorti en
rotation
Figure 6.3 : Mouvement oscillatoire
amorti en translation
Pour des petites oscillations, déterminer pour chaque système :
Le Lagrangien
L’équation différentielle du mouvement.
La pulsation propre
La solution générale pour un faible amortissement.
45Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Solutions :
Figure 5.3 :
Le Lagrangien :
L’énergie cinétique s’écrit :
222c ml
2
1mv
2
1E
Pour l’énergie Potentielle on a:
2
lsin
2
lxaveccosmglkx
2
12E 2
p
Le Lagrangien s’écrit sous la forme :
cosmgl)2
l(kml
2
1EEL 222
pc
Après calcule, l’équation différentielle est égale à :
0ml
mgl)2
l(k2
mM
L)
L(
dt
d2
2
ext
D’ou :
2
2
20
20
ml
mgl)2
l(k2
,m
2
02
Avec
La solution générale est pour un faible amortissement est de la forme:
)tcos(Ae)t( t
Figure 6.3 :
Le Lagrangien :
L’énergie cinétique on a:
22c xm
2
1mv
2
1E
L’énergie Potentielle s’écrit :
22p )x(k
2
1kx
2
1E
46Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Le Lagrangien s’écrit alors :
22pc kxxm
2
1EEL
On obtient l’équation différentielle du mouvement après calcul comme suit :
0xm
k2x
mxF
L)
L(
dt
dext
D’où
m
k2,
m2
0xx2xAvec
20
20
La solution générale pour un faible amortissement est de la forme :
)tcos(Ae)t(x t
Problème 3 :
On considère un système mécanique amorti, oscillant autour d’un axe passant par O
représenté par une tige métallique de longueur l de masse négligeable reliée par un
ressort de constante de raideur k au point l/2 comme le montre la figure 7.3:
Figure 7.3 : Mouvement oscillatoire amorti
Etablir le Lagrangien du système.
Déterminer l’équation différentielle du mouvement.
En déduire la pulsation propre du système.
47Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Résoudre dans le cas de faible amortissement l’équation différentielle du
mouvement avec les conditions initiales suivantes :
0)0t(,0)0t(
Solutions :
Le Lagrangien :
Le système a un seul degré de liberté représenté par θ
L’énergie cinétique s’écrit :
222c ml
2
1mv
2
1E
Pour l’énergie potentielle on a:
2
lsin
2
lxaveckx
2
1E 2
p
Le Lagrangien s’écrit :
222pc )
2
l(k
2
1ml
2
1EEL
L’équation différentielle est :
0ml
4
lk
mM
L)
L(
dt
d2
2
ext
D’où :
2
2
20
20
ml
4
lk
,m
2
02
Pour un faible amortissement la solution s’écrit sous la forme :
)tcos(Ae)t( t
Avec les conditions initiales , on a
0
0
A,2
,0,0tavec
Alors, la solution générale s’écrit :
tsine)t( t0
48Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Problème 4:
Soit une boule de masse m suspendue à une tige de longueur l, de masse négligeable et
plongée dans un liquide. Cette masse est soumise à une force de frottement visqueuse
dont le coefficient de frottement est comme le montre la figure 8.3 comme suit :
Figure 8.3 : Mouvement oscillatoire amorti du pendule
Etablir le Lagrangien du système.
Déterminer l’équation du mouvement.
Résoudre dans le cas de faible amortissement l’équation différentielle.
Application numérique :
Sachant on a: m=1Kg, l=50cm, g=10m/s. Calculer la valeur maximale ue ne
doit pas atteindre pour que le système oscille.
On prend la valeur de égale à 10N.s/m :
Calculer le temps nécessaire τ pour que l’amplitude diminue à ¼ de sa valeur.
Solutions :
Le Lagrangien du système :
Le système a un seul de gré de liberté représenté par θ
L’énergie cinétique s’exprime :
22c ml
2
1E
49Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Pour l’énergie potentielle on a :
cosmglE p
D’ou le Lagrangien s’écrit comme suit :
cosmglml2
1EE),(L 22
pc
L’équation différentielle est :
l
g,
m2
Avec
02
20
20
La solution générale est :
)tcos(Ae)t( t
La valeur maximale de max :
m/s.N94.8l
gm20 max
20
2
Le temps τ :
s28.04ln
e4
1Ae t)t(
50Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Chapitre 4 :
Mouvement Oscillatoire forcé à un degré de
liberté
51Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Rappels théoriques
On définit une oscillation forcée, tout système en mouvement sous l’action d’une force
extérieure.
On définit l’équation du mouvement forcé en présence de la force de frottement
comme suit :
)t(f)t(p)t(p2)t(p 20
Avec
m
ket
m2 2
0
Où f(t) est appelée la fonction excitation extérieure. Cette équation est linéaire de
second ordre non homogène à coefficients constant.
La solution p(t) de l’équation différentielle qui présente la réponse du système à
l’action extérieure, est la somme de deux thermes :
)t(p)t(p)t(p pg
Où )t(pg et )t(p p représentent respectivement la solution générale la solution
particulière.
Il faut signaler qu’au début du mouvement p(t) représente le régime
transitoire. Au fil du temps la solution homogène )t(pg devient négligeable
devant la solution particulière )t(p p qui définit le régime permanant. Ainsi,
la solution totale dans ce cas, est de la forme :
)t(p)t(p p
La figure 1.4 montre la superposition des deux régimes :
52Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 1.4 : Superposition du régime transitoire et du régime permanent
Dans le cas où l’excitation est sinusoïdale de type :
tj00 eftcosf)t(f
La solution totale s’écrit alors comme suit :
)tcos(A)t(p)t(p p
Où A représente l’amplitude de la solution totale et le déphasage.
On cherche la solution de l’équation différentielle sous forme complexe :
)t(jp Ae)t(p)t(p
Avec
)t(jAej)t(p )t(j2 Ae)t(p
Alors l’amplitude s’écrit sous la forme :
j2
fAe
20
2
0j
En module :
22220
2
0
4)(
fA
En phase :
20
2
2Artg
53Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
L’étude des variations du module de l’amplitude se fait par :
0d
Ad
Il existe deux pulsations :
220r 2
0
A-Réponse de l’amplitude B-Réponse de la phase
Figure 2.4 : Réponse du système en régime forcé
On appelle r la pulsation de résonance.
On définit ainsi :
La largeur de la bande passante :
12
Le facteur de qualité Q pour un faible amortissement :
12
rQ
54Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Applications
Problème 1:
Soit un immeuble A modélisé par le système physique représenté par une masse m et
un ressort de raideur k subit à un mouvement sismique sinusoïdal d’amplitude a de
forme tcosaxs représenté dans la figure 3.4 comme suit:
Figure 3.4 : Modélisation d’un mouvement sismique
Quelle est la réponse du système. Justifier le résultat.
Solutions : Le Lagrangien du système :
L’énergie cinétique s’écrit:
22c xm
2
1mv
2
1E
L’énergie potentielle s’exprime:
2sp )xx(k
2
1E
Le Lagrangien du système s’écrit alors :
2s
2 )xx(k2
1xm
2
1L
L’équation différentielle est de forme :
tcosm
a)t(x
m
k)t(xF
L)
L(
dt
dext
55Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
D’où :
m
k
em
aR)t(x)t(x
avec20
tje
20
La solution de cette équation est de la forme :
)t(jp Ae)t(x)t(x
En remplaçant dans l’équation de mouvement, on détermine l’amplitude de la
réponse comme suit :
20
2
m
a
)(A
Le système présente une singularité au point 0 comme le montre la figure
4.4:
0lorsque)(A
Figure 4.4 : Phénomène de résonanceSingularité à la fréquence propre du système
L’immeuble va s’effondrer face au séisme car le système oscille avec la
pulsation propre. On appelle ce phénomène la résonance. On se propose dans ce
cas la de mettre en place un moyen d’amortir les oscillations extérieurs du
système qui se traduit par une force de frottement visqueuse.
56Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Problème 2 :
Une machine mécanique de masse m est excitée par l’intermédiaire des supports de
suspension de raideur k et un amortisseur de coefficient de frottement comme le
montre la figure 5.4 :
Figure 5.4 : Excitation de la masse par le support vibrant
On suppose que le support possède un déplacement harmonique de la forme :
tcosB)t(y
Déterminer le Lagrangien du système.
Etablir l’équation différentielle du mouvement.
On pose les constantes suivantes :
0
20
m2et
m
k
On cherche une solution de la forme :
)tcos(A)t(x
Déterminer le rapport des modules d’amplitudesB
AT en fonction des
paramètres, ω0 et ω.
On pose la variable suivante :
0
r
Tracer la courbe T(r)
Interpréter les résultats.
57Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Solutions :
Le mouvement du système est schématisé dans la figure 6.4 comme suit :
Figure 6.4 : Mouvement forcé de l’ensemble (support + machine)
Le Lagrangien du système s’écrit :
L’énergie cinétique s’exprime:
2c xm
2
1E
Pour L’énergie potentielle on a :2
p )yx(k2
1E
D’ou le Lagrangien du système s’écrit :
22 )yx(k2
1xm
2
1)x,x(L
L’équation du mouvement s’écrit sous la forme :
)]t(y)t(x[)]t(y)t(x[k)t(xmFx
L)
x
L(
dt
dext
D’ou :
)t(ky)t(y)t(kx)t(x)t(xm
La solution de l’équation différentielle:
58Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
En posant les constantes :
0
20
m2et
m
k
L’équation du mouvement se réécrit avec les nouvelles constantes :
)t(y)t(y2)t(x)t(x2)t(xm 200
200
On considère que le support possède un déplacement sinusoïdal :
tjBeRetcosB)t(y
On chercher des solutions de la forme :
)t(jAeRe)tcos(A)t(x
L’équation du mouvement devient alors :
B)2j(Ae)2j( 200
j200
2
Le rapport des modules des amplitudes s’écrit sous la forme:
2
1
20
220
2
20
2
0)2()(
)2(
B
AT
En posant la constante :
0
r
,
La courbe de la fonction T(r) est décrite comme suit:
2
1
222
2
)r2()1r(
1)r2(
B
AT
59Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 7.4 : Rapport de transmissibilité en déplacement en fonction de la
pulsation réduite
On a vu que la solution particulière pouvait représenter seule la solution stationnaire.
Problème 3:
Soit le circuit forme par l’association parallèle R, Lind, Cap et alimente par une source
de courant sinusoïdale délivrant un courant d’intensité tcos2i)t(i 0 comme le
montre la figure 8.4 ci-dessous.
Figure 8.4 : Circuit R.L.C en parallèle
60Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Exprimer la tension complexe u aux bornes de l’association parallèle en
fonction de, i0, et des paramètres du circuit.
On pose les constantes suivantes :
apind
20
CL
1 ,
0
x
Et on définit le facteur de qualité du circuit comme suit :
0apRCQ
Exprimer le module de la tension u aux bornes de l’association parallèle en
fonction de R, i0, Q et x.
Montrer que u passe par un maximum maxu pour une valeur de x à
déterminer.
Représenter sommairementmaxu
u)x(f en fonction de x.
Que retrouve t- on ?
Calculer la largeur de la bande passante.
Solutions : La tension complexe u du système est de forme :
)t(iZ~
)t(u équi
D’ou le courant est égale a :
équiZ~
)t(u)t(i
Soit équiZ~
l’impédance complexe équivalente du circuit R.L.C en parallèle
qui se calcule comme suit :
Avec :
indap
équi jL
1jC
R
1
Z~
1
D’ou la tension est égale à :
)L
1C(jR1
)t(Ri)t(uoù'd
indap
Le module de la tension s’écrit alors :
61Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
22
0
)x
1x(Q1
2Ri)t(u
On constate que :
1xlorsque2Riuu 0max
Le schéma de la fonctionmaxu
u)x(f est représenté dans la figure 9.4
comme suit :
22max)
x
1x(Q1
1
u
u)x(f
On obtient la résonnance lorsque x=1, c'est-à-dire :
Résonance1xsi1)x(f
Figure 9.4 : Phénomène de résonnance en tension dans le circuit R.L.C
en parallèle
La bande passante se calcule comme suit :
12 xxx
En résolvant l’équation paramétrique suivante :
22 )x
1x(Q1
1
2
1
62Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Après transformation on obtient la largeur réelle de la bande passante devient
alors:
RC
1où'dx0
Problème 4:
On considère un système de réception radio modélisé par un circuit R, Lind, Cap en série
et alimenté par une source de tension sinusoïdale d’intensité tcosu)t(u 0 comme
le montre la figure 10.4 ci-dessous.
Figure 10.4 : Circuit R.L.C en Série
Déterminer l’impédance totale du système.
En déduire le module du courant parcourue par le circuit en fonction des
paramètres R, Lind, Cap et ω.
Etudier les variations du module de courant en fonction de ω
Trouver la fréquence de résonance. En déduire le courant maximum.
Etablir la bande passante et le facteur de qualité en fonction des paramètres du
circuit R, Lind, Cap et ω.
Donner une explication pour le fonctionnement de ce système.
63Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Solutions :
Le circuit est en série, on peut le schématiser comme suit :
Figure 10.4-a : Circuit RLC en série équivalent
L’impédance équivalente totale est égale à :
)C
1L(jRZ
~
apindéq
Le module du courant s’écrit :
2
apind
2
0
éq
0
)C
1L(R
u
Z~
)t(u)(I
Les variations du module du courant sont :
Le module du courant maximum est égale à :
R
uI 0
max0
Lorsqu’on a le module du dénominateur est minimum, c'est-à-dire :
0C
1L
apind
On obtient alors la valeur de r
apind
0rCL
1
Où r est appelée la pulsation de résonance qui ne dépend que de l’inductance
et de la capacité.
64Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
La figure 11.4 représente l’allure I0 en fonction de ω
Figure 11.4 : Phénomène de résonance en courant
dans le circuit R.L.C en série
La bande passante est définit :
12
En résolvant l’équation paramétrique suivante:
2
apind
2
0max0
)C
1L(R
u
2
I
On obtient :
ind12
L
R
Le facteur de qualité s’écrit
R
LQ 0ind0
L’application technique de ce phénomène est la sélection des fréquences de
résonances pour différentes stations de radio.
Problème 5:
On définit un sismomètre comme un système physique appelé capteur qui comprend
un support et une masse m relié par un ressort et un amortisseur disposés en parallèle,
65Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
la figure 12.4. La masse, de centre de gravité G, ne peut se déplacer que verticalement.
Le support, le ressort et l’amortisseur ont une masse négligeable.
Figure 12.4 : Modélisation d’un sismomètre
Le ressort a une longueur à vide l et une rigidité k. La constante de frottement est. On
précise que si, les extrémités A et B d’un amortisseur appartenant à un système
mécanique, décrivent un axe Δ parallèle à l’axe Ox avec des vitesses respectives av et
bv , l’amortisseur exercice sur le reste du système en point A une force i)vv( ab
et
en point B une force i)vv( aa
où i
est le vecteur unitaire.
Partie A :
Le support est immobile par rapport au repère (R0).
Calculer l’abscisse x0 du centre d’inertie de la masse en équilibre.
Ecrire l’équation différentielle du mouvement de la masse écarté de sa position
d’équilibre.
Que devient cette équation quand on pose x=x0+X.
On pose les constantes suivantes :
66Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
m
k20 , Cf avec km4f 2
c .
Montrer que l’équation différentielle s’écrit sous la forme suivante :
0xxx...
Calculer α* et β* en fonction de λ et ω0.
On donne λ= 0.5, ω0=10 rad/s. A l’instant initial, X=1 cm et 0X .
Déterminer X pour t= 0.2s.
Partie B :
On suppose maintenant que le support est solidaire du carter d’une machine animé
d’un mouvement sinusoïdale verticale tsinbx1 par rapport au repère (R0),
comme le montre la figure 13.4. On suppose que b est positif.
Figure 13.4 : Système est en mouvement forcé
Ecrire l’équation de la masse par rapport à (R0).
Montrer que l’équation différentielle peut s’écrire sous la forme suivante :
tsinbCXxAvec
tsinHxxx...
Déterminer H et C, que représente X ?
67Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Etudier la solution en régime permanent
)tsin(B)t(X
Avec B positif.
Calculer le rapportb
Bet tan en fonction de λ et
0
.
Tracer l’allure du graphe de B en fonction de μ tel que B=f ().
On suppose que λ=0.5 :
Montrer que si μ est supérieur à une certaine valeur μ1, 1b
B est inférieur à
10-2. Calculer dans ce cas μ1.
En déduire une condition pour que l’appareil puisse fonctionner en capteur
d’amplitude.
Solutions :
Partie A : Le support est immobile par rapport au repère (R0).
A l’équilibre, l’abscisse x0 s’écrit comme suit :
)al(k
mgx0F 0
1i
i
L’équation différentielle du mouvement est de forme :
En appliquant la loi dynamique
xmg))al(x(kxm
D’ou
XxXxoù'd
Alors :
0kXXXm
La nouvelle équation du mouvement s’écrit alors :
200
200
2Avec
0XX2X
La résolution de cette équation différentielle :
68Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
220
220
200
2
15.0
)1(
0r2r
La solution est de la forme :
2
00
t
1
XBXAAvec
)tsinBtcosA(e)t(X 0
Le système a un mouvement amorti.
La valeur de X est : X=0.15m
Partie B : Le support est mobile par rapport au repère (R0).
La relation dynamique du mouvement :
tsinbXxxetxXxoù'd
)xx(mg))al(xx(kxm
211
11
L’équation du mouvement devient alors :
bHAvec
tsinbXX2X
2
2200
La solution totale de l’équation différentielle en régime permanent est :
)tsin(B)t(X)t(X p
En notation complexe on aura la forme suivante :
)2
t(j
p Be)t(X~
)t(X~
En remplaçant dans l’équation différentielle, on obtient alors :
0
2222
2
Avec
1
2tan
)2()1(
bB
Les variations de B=f(μ) :
69Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
2
1si
21
10
0d
dB2
mm
Ainsi, on peut distinguer deux cas :
2
1 Amortissement faible Résonance
2
1 Amortissement important
On peut en déduire que :
bB
0B0
Pour =0.5, on aura :
05.7où'd101)1(
si101b
B2pourb15.1BB
12
21
21
21
12
mmax
On peut conclure que l’appareil reproduit les oscillations du carter si la
pulsation ω est importante. Il fonctionne alors en capteur d’amplitude.
Problème 6:
On définit le modèle d’un oscillateur harmonique, figure 14.4, représentée par une
masse m placée dans un potentiel élastique du type :2
2
1kxE p
Cette masse est soumise à une force de frottement visqueuse et dont le coefficient de
frottement est α.
Figure 14.4 : Modèle physique d’un amortisseur
70Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Parti A ::
Dans le cas des oscillations libres
Déterminer le Lagrangien du système.
Etablir l’équation du mouvement.
En déduire la solution générale avec les conditions initiales suivantes :
x(t=0)=0 et 0v)0t(x .
Partie B:
On admet que les frottements existent, la masse m effectue des oscillations forcées
sous l’effet d’une force sinusoïdale de la forme :
tcosf)t(f 0
On admet que la vitesse du mobile est de forme :)tcos(v)t(v 0
Établir l’équation du mouvement.
Résoudre l’équation différentielle en régime permanent.
Déterminer l’impédance mécanique complexe définit comme rapport entre la
force appliquée et la vitesse du mobile.
Comparer le résultat avec le système électrique.
Solutions :
Mode libre :
Le Lagrangien du système s’écrit :
Pour l’énergie cinétique on a :
2c xm
2
1E
Et pour l’énergie cinétique on a
2p kx
2
1E
71Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Alors, le lagrangien du système s’écrit :
22 kx2
1xm
2
1L
L’équation du mouvement :
m
kavec0xx0kxxm 2
020
La solution générale est de la forme :
tsinv
)t(x 0
0
0
Mode forcé :
L’équation du mouvement s’écrit sous la forme:
)t(fkxxxm
D’où
m
k
m2
avecm
)t(fxx2x
20
20
C’est une équation différentielle inhomogène linéaire, d’un mouvement force.
La résolution de cette équation différentielle en régime permanent est :
)t(jep AeR)tcos(A)t(x)t(x
Soient A l’amplitude de la solution et son argument.
En remplaçant dans l’équation différentielle et après le calcul, On obtient
Le module d’amplitude suivant :
2220
2
0
)2()(
m
f
)(A
Et la phase du mouvement comme suit :
20
2
2tan
Les variations de )(A sont déterminées par :
22r 20
d
)(dA
72Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Cette pulsation est appelée pulsation de résonance.
l’impédance complexe est définit comme suit :
)t(v
)t(fZ~
mécani
En remplaçant dans l’équation du mouvement, on obtient:
)k
m(jZ~
mécani
Pour le système électrique, le résultat est donné comme suit:
)C
1L(jRZ
~
)t(i
)t(uZ~
apindélectriélectri
On conclue donc les équivalences entre le système mécanique et le système
électrique comme suit :
ap
ind
C
1k
Lm
R
Problème 7:
Lorsqu’un moteur électrique fonctionne, il présente des vibrations naturelles qu’il est
nécessaire d’amortir pour éviter de les transmettre a son châssis. On prévoit donc un
système de suspension.
Le moteur est assimile au point matériel m de masse m pouvant se déplacer
parallèlement à l’axe vertical Oz. La suspension le reliant au châssis est modélisée par
un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k en parallèle avec un amortisseur
exerçant sur le moteur une force de freinage zfr uzf
Le châssis reste fixe dans un référencier galiléen et on note le champ de pesanteur g
73Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 15.4 : Etude les vibrations d’un moteur
Mode A :
Le moteur ne fonctionne pas et il est immobile.
Déterminer dans ce cas la longueur l du ressort. On prend la référence z=0 au
point m.
Mode B :
Le moteur étant toujours arrêté, on l’écarte de sa position d’équilibre et puis on le
laisse évoluer librement.
Déterminer le Lagrangien du système.
Établir l’équation différentielle du mouvement vérifiée par z(t).
On pose les constantes suivantes :
m
k20 et
0m2
Donner la forme de la solution générale z(t) en fonction des paramètres ν et ω0,
on suppose que ν<1.
Comment appelle-t-on ce régime ?
Écrire l’expression de l’énergie totale ET en fonction de z(t) etdt
)t(dz
Que vaut-t-il la valeur de l’expressiondt
dE T . Le système est il conservatif ?
74Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Mode C :
Le moteur fonctionne, et tout se passe comme s’il apparaissait une force
supplémentaire de forme : z0 utcosF)t(F
Établir la nouvelle équation du mouvement vérifiée par z(t)
En régime permanent, on cherche des solutions de la forme
)tcos(V)t(etV)tcos(z)t(z 00
Donner l’expression de la grandeur ieVV 0
Exprimer l’amplitude V0 en fonction de ω et des paramètres v, ω0 et F0/m.
Donner l’allure de V0 (ω).
Application numérique: la pulsation ω vaut 628 rad/s, le moteur a une masse
m=10kg. On dispose de deux ressorts de raideurs k1=4 106n/m et k2=106n/m.
lequel faut il choisir pour réaliser la suspension ?
Solutions :
Mode A :
Le système est en équilibre
La longueur du ressort :
k
mgll0F 0
1i
i
Mode B :
Le système est en mouvement amorti
Le Lagrangien du système :
22 kz2
1zm
2
1L
L’équation différentielle :
0kzzzm0z
L
z
L
dt
d
D’ou :
0
20
200
m2m
kAvec0zz2z
La résolution de l’équation du mouvement :
10)1()(
022222
020
20
200
2
j
rr
75Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Le systeme a un mouvement oscillatoire amorti.
La solution est de la forme :
)tcos(Ae)t(z t0
l’énergie totale du système s’écrit sous la forme:
22T kz
2
1)
dt
dz(m
2
1)t(E
A partir de l’équation du mouvement, on obtient :
0zdt
)t(dE]zkzzm[z 2T
Le systeme n’est conservatif. La diminution d’énergie totale est due au travail
des forces de frottement.
Mode C :
Le système est en mouvement forcé
L’équation du mouvement s’écrit :
)t(Fkzzzm
D’où :
m
)t(Fzz2z 2
00
Avec :
0
20
m2m
k
La solution de l’équation différentielle est :
)t(zj)t(zj
)t(z)t(zAvec
eVR)tcos(V)t(V)t(z )t(j0e0
En remplaçant dans l’équation du mouvement on obtient alors :
tj
2
20
0
0
e
)1(j2
m
F
)t(V
76Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Le module de la vitesse est de la forme :
22
2022
0
0
0
)1()2(
m
F
)(V
L’étude des variations du module de la vitesse :
0r
max00V)(V
0d
)(dV
Pour cette pulsation on a le phénomène de résonance.
L’allure de la courbe V0(ω) est de forme :
Figure 16.4 : Phénomène de la résonance du moteur
Application numérique :
02
01
01
02
02
0022max
2022r
01
0011max
1011r
)(V
)(V
m2
F)(V
m
k
m2
F)(V
m
k
77Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Problèmes supplémentaires
Problème 8 :
Soit un disque de masse négligeable enroulé par un fil inextensible et non glissant,
comme le montre la figure 17.4 ci-dessous :
Figure 17.4 : Mouvement forcé du disque
Mode libre :
Dans le cas des oscillations libres
Déterminer le Lagrangien du système
Etablir l’équation différentielle du mouvement.
En déduire la pulsation propre
Donner la solution générale avec les conditions suivantes :
0)0t( , 0)0t( .
Mode forcé :
On admet que les frottements existent, la masse m1 effectue des oscillations forcées
sous l’effet d’une force sinusoïdale :
tcosf)t(f 0
78Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Etablir la nouvelle équation du mouvement.
Déterminer le module de la solution permanente de l’équation différentielle.
Quelle est la fréquence pour que le module de l’amplitude soit maximum.
Donner la bande passante et le facteur de qualité Q pour les faibles
amortissements.
Application numérique :
On donne m1=2Kg, m2=1Kg, k=10N/m et =0.1N.s/m. Calculer Q.
Problème 9:
Une machine mécanique tournante constitue des sources de vibrations très
courantes. De petites irrégularités dans la distribution des masses des parties en
rotation causent des niveaux vibratoires importants. On schématise une machine
de masse m comportant une masse m0 en rotation à une distance R de son
centre. Un guidage sans friction autorise seulement un mouvement dans la
direction x, comme le montre la figure 18.4. On considère la vitesse de rotation
R constante. On a tsinRx RR .
Figure 18.4 : Excitation d’une machine suspendue par une masse en
rotation
Etablir le Lagrangien du système
79Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Ecrire l’équation différentielle du mouvement.
On pose la variable :
0
r
On cherche des solutions de la forme :
)tcos(A)t(x
Déterminer l’amplitude du déplacement en fonction de r.
Interpréter le résultat.
Problème 10:
On se propose d’étudier le comportement vibratoire de matériaux en caoutchouc afin
de l’utiliser dans la construction, représenté dans la figure 19.4.
Figure 19.4: Modélisation physique du mouvement oscillatoire du caoutchouc
Nous assimilons l’élasticité du matériau à celle d’un ressort de raideur k et les pertes
énergétiques par frottement à celle ayant lieu dans un amortisseur de coefficient. Le
ressort ainsi considérés sont associés en parallèle. On néglige le poids du caoutchouc
devant les forces mise en jeu.
Partie A :
On place un bloc de masse m=1t sur le caoutchouc qui se comprime d’une distance d.
Après une compression supplémentaire, on relâche le système oscillé autour de sa
position d’équilibre qu’on le repère par la coordonnée y comme le montre la figure
20.4
Déterminer le Lagrangien du système
80Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Etablir l’équation différentielle du mouvement de la masse m
Donner la solution générale de la solution y(t) sachant que le mouvement a un
mouvement oscillatoire amorti.
L’intervalle de temps, t=0.2s qui sépare le premier et le sixième maximum.
correspond à la diminution d’amplitude de 60%.
Déterminer les valeurs de k et .
On refait la même expérience avec un autre caoutchouc. On trouve
’=4.5103Kg/s. Au bout de combien de temps, t’, obtient-on la même
diminution d’amplitude que dans l’expérience précédente ?
Quel est le matériau le plus adéquat pour la construction ?
Figure 20.4: Mouvement oscillatoire du « caoutchouc+le bloc »
Partie B :
On prend dans cette partie un caoutchouc de caractéristiques physiques suivantes :
k=25106N/m et =104Kg/s qui sera utilisé dans la construction d’un pont d’autoroute,
de masse m=12.5t. On assimile l’effet du passage des véhicules sur le pont à celui
d’une force sinusoïdale F(t) d’amplitude F0=10kN et de pulsation ω, appliquée
perpendiculairement au pont comme le montre la figure 21.4
81Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 21.4 : Modélisation physique du mouvement du pont
Etablir le Lagrangien du système.
Exprimer l’équation différentielle du mouvement du pont pour la coordonnée
y(t) donnant son déplacement par rapport à l’état d’équilibre.
Déterminer l’expression de la solution y(t) en régime permanent.
Déterminer la fréquence de résonance f0
Donner l’expression de l’amplitude maximale à laquelle le pont peut vibrer.
Quelle est la phase correspondante dans ce cas la ?
Calculer l’énergie communiquée au pont pendant un intervalle de temps égale à
une période, lorsque le passage des véhicules le fait vibrer à la fréquence de
résonance. Interpréter le résultat.
82Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Chapitre 5 :
Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés
de liberté
83Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Rappels théoriques
On définit les systèmes à plusieurs degrés de libertés par les systèmes qui
nécessitent plusieurs coordonnées indépendantes pour spécifier leurs. Le nombre de
degré de liberté détermine les modes propres.
Il existe deux types de systèmes :
Systèmes simples à plusieurs sous systèmes découplés comme le montre la
figure 1.5:
Figure 1.5 : mouvement oscillatoire non couple a deux degrés de liberté
Il existe deux degrés de liberté : 21 x,x
Le Lagrangien du système s’écrit alors :
2
1i
2ii
2i
2
1ii xk
2
1xm
2
1L
Les deux sous systèmes sont indépendants et découplés: Le système différentiel
s’exprime alors :
0xkxm
0xkxm
0x
L
x
L
dt
d
0x
L
x
L
dt
d
2222
1111
22
11
D’ou le systeme différentiel s’exprime :
1
1202
1
1201
22022
12011
m
k,
m
kavec
0xx
0xx
84Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Les deux solutions des sous systèmes sont indépendantes de formes :
)tcos(B)t(x
)tcos(A)t(x
2022
1011
Systèmes complexe à plusieurs sous systèmes couplés comme le montre la
figure 2.5:
Figure 2.5 : Mouvement oscillatoire d’un système couplé à deux degré de liberté
Le Lagrangien du système
Pour l’énergie cinétique on a s’écrit comme suit :
2i
2
1i
ic xm2
1E
Pour l’énergie potentielle on a :
2
1i
2ii
221p xk
2
1)xx(k
2
1E
D’où le Lagrangien s’écrit :
2
1i
2ii
221
2i
2
1i
i xk2
1)xx(k
2
1xm
2
1L
Le système différentiel couplé devient alors :
0xkx)kk(xm
0xkx)kk(xm
0x
L)
x
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
1122122
2212111
22
11
La solution s’écrit sous la forme d’une superposition des deux modes propres,
comme suit :
85Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
)tcos(B)tcos(B)t(x
)tcos(A)tcos(A)t(x
202210112
202210111
Il existe plusieurs types de couplage :
Figure 3.5 : Couplage équivalent, Resistance-Force de frottement
Figure 4.5 : Couplage équivalent, Capacité-Ressort
86Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Applications
Problème 1 :
Partie1 :
On représente un système mécanique complexe, constitué par deux oscillateurs
harmonique couplé par ressort de raideur k, comme le montre la figure5.5:
Figure 5.5 : Mouvement oscillatoire couplé de deux ressorts
Quel est le nombre de degré de liberté ?
Déterminer le Lagrangien du système
Etablir les équations différentielles du mouvement.
En déduire les modes fondamentales
Partie2 :
Les deux sous systèmes sont identiques, On pose alors les paramètres suivants :
k1=k2=k et m1=m2=m, et on lance le système sans vitesses initiales avec les conditions
initiales suivantes: x1(t)=C, x2 (t)= 0.
Etablir les nouvelles équations différentielles du mouvement.
En déduire les pulsations propres
Donner les solutions générales.
Quelle est la nature du phénomène étudié ?
87Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Parie3 :
On impose une force sinusoïdale extérieure au premier sous système. De la forme
suivante :
tcosf)t(f 0
Déterminer les nouvelles équations du mouvement.
En déduire le module des amplitudes.
Quelles est la nature du phénomène étudié ?
Solutions :
Partie1 :
Le nombre de degré de liberté du système est de 2
Le Lagrangien du système est :
Pour l’énergie cinétique on a :
222
211c xm
2
1xm
2
1E
Et pour l’énergie potentielle on a :
222
211
221p xk
2
1xk
2
1)xx(k
2
1E
Le Lagrangien s’écrit comme suit :
2
1i
2ii
221
2i
2
1i
i xk2
1)xx(k
2
1xm
2
1L
Le système différentiel s’écrit :
0kxx)kk(xm
0kxx)kk(xm
0x
L)
x
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
12222
21111
22
11
Les pulsations propres :
On considère les solutions du système de type sinusoïdal :
)t(j
2
)t(j
1
p
p
Be)t(x
Ae)t(x
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire suivant :
88Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
0kAB)kkm(
0kBA)kkm(
22p2
12p1
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
D’où :
0kkmk
kkkm
22p2
12p1
L’équation paramétrique s’écrit :
0)K1()( 222
21
2p
22
21
4p
Avec :
)kk)(kk(
kK
m
k
m
k
21
22
2
222
1
121
Ou K est appelée le coefficient du couplage
Les deux pulsations propres sont :
22
21
2222
21
22
212
p2
22
21
2222
21
22
212
p1
K4)(2
1
2
K4)(2
1
2
Partie 2 :
Les nouvelles équations du mouvement s’écrivent comme suit :
0kxkx2xm
0kxkx2xm
122
211
Les pulsations propres :
Les solutions du système sont de types sinusoïdaux :
)t(j
2
)t(j
1
p
p
Be)t(x
Ae)t(x
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire symétrique suivant :
0kAB)k2m(
0kBA)k2m(2p
2p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
89Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
D’ou :
0k2mk
kk2m2p
2p
Alors on obtient l’équation paramétrique suivante :
0k)k2m( 222p
Les deux pulsations propres sont :
m
k3
m
k
2p2
2p1
Les solutions générales :
)tcos(B)tcos(B)t(x
)tcos(A)tcos(A)t(x
p22p112
p22p111
En appliquant les conditions initiales, on trouve :
t2
sint2
sinC)t(x
t2
cost2
cosC)t(x
p2p1p2p12
p2p1p2p11
Le phénomène étudié est le battement ou modulation d’amplitude.
Figure 6.5 : Phénomène les battements où modulation d’amplitude
90Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Partie 3 :
Les équations du mouvement s’écrivent comme suit :
0kxkx2xm
efR)t(fkxkx2xm
0x
L)
x
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
122
tj0e211
22
11
Les solutions particulières sont :
)t(jp22
)t(jp11
p
p
Be)t(x)t(x
Ae)t(x)t(x
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire forcé suivant :
jj
2p
02p
eBB~
AeA~
Avec
0A~
kB~
)k2m(
fB~
kA~
)k2m(
Les modules des amplitudes sont exprimés comme suit :
))((
m
kf
k2mk
kk2m
0k
fk2m
B
))((
)m
k(
m
f
k2mk
kk2m
k2m0
kf
A
2p2
22p1
2
20
2p
2p
02p
2p2
22p1
2
20
2p
2p
2p
0
Les phénomènes étudiés sont :
La résonance
p2p1quandB
A
Anti résonance.
m
kquand
tetanconsB
0A
Problème 2 :
Partie 1 :
On considère deux circuits électriques )C,L,R( apind couplés par une capacité
représentés par la figure 7.5 comme suit:
91Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 7.5 : Deux circuits couplés par une capacité
Quel est le nombre de degré de liberté ?
Déterminer le Lagrangien du système.
Donner les équations du mouvement
Partie 2 :
On néglige les résistances des deux circuits. On prend les nouvelles grandeurs
physiques telles que :
indind2ind1 LLL et apap2ap1 CCC etapind
20
CL
1 .
Etablir les nouvelles équations différentielles du mouvement.
En déduire les pulsations propres du système en fonction de 0.
Donner les solutions générales.
Quel est le modèle mécanique équivalent ?
Solutions :
Partie 1 : Le nombre de degré de liberté est 2 car les deux courants parcourus dans les
deux circuits sont différents.
Le Lagrangien du système est exprimé comme suit :
2
1i
2i
iap
221
ap
2i
2
1i
iind qC
1
2
1)qq(
C2
1qL
2
1L̂
92Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Le système différentiel :
0qC
1q)
C
1
C
1(qL
0qC
1q)
C
1
C
1(qL
1ap
2apap2
2ind2
2ap
1apap1
1ind1
Partie 2 :
Les nouvelles équations du mouvement :
0qC
1q
C
2qL
0qC
1q
C
2qL
1ap
2ap
2ind
2ap
1ap
1ind
Les pulsations propres :
On considère les solutions du système de type sinusoïdal :
)t(j2
)t(j1
p
p
Be)t(q
Ae)t(q
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire symétrique suivant :
0AC
1B)
C
2L(
0BC
1A)
C
2L(
apap
2pap
apap
2pind
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
D’où :
0)C
1()
C
1L( 2
ap
2
ap
2pind
Les deux pulsations propres sont :
apind
2p2
apind
2p1
CL
3
CL
1
Les solutions générales :
)tcos(B)tcos(B)t(q
)tcos(A)tcos(A)t(q
p22p112
p22p111
93Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Le système mécanique équivalent est représenté par la figure 5.9 comme suit:
Figure 8.5 : Mouvement oscillatoire couplé
Problème 3 :
On a un système mécanique constitué par trois masses couplées par deux ressorts
identiques de constante de raideur k représenté dans la figure 9.5 comme suit:
Figure 9.5 : Mouvement oscillatoire à trois degrés de liberté
Etablir le Lagrangien du système.
Déterminer les équations différentielles du mouvement.
En déduire les pulsations propres ainsi la nature du mouvement.
Donner la matrice de passage.
Donner les solutions générales.
Solutions :
Le Lagrangien du système :
Pour l’énergie cinétique on a :
233
222
21i1c xm
2
1xm
2
1xm
2
1E
Pour l’énergie potentielle on a :
232
221p )xx(k
2
1)xx(k
2
1E
94Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Le Lagrangien s’exprime alors :
232
221
2i
3
1i
i )xx(k2
1)xx(k
2
1xm
2
1L
L’équation différentielle :
0kxkxxm
0kxkxkx2xm2
0kxkxxm
0x
L)
x
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
233
3122
211
33
22
11
Les pulsations propres :
On considère les solutions du système de type sinusoïdal :
)t(j3
)t(j2
)t(j1
p
p
p
Ce)t(x
Be)t(x
Ae)t(x
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire suivant :
0kBC)km(
0kCkAB)k2m2(
0kBA)km(
2p
2p
2p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
D’ou0]k)km)[(km( 222
p2p
Les pulsations propres sont :
m
k2
0m
k
2p3
2p2
2p1
La matrice de passage s’écrit:
000
110
111
P
95Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
La solution générale est :
)tcos(
)tcos(
)tcos(
P
)t(x
)t(x
)t(x
3p3
2p2
1p1
1
2
1
Problème 4 :
Sur un arbre OO’ horizontal et fixe, de masse négligeable, encastré à ses extrémités O
et O’, sont fixés trois disques (D1), (D2) et (D3) de centres respectifs O1, O2 et O3 et de
même moment d’inertie J par rapport à leur axe commun OO’. On désignera 1(t),
2(t) et 3(t), les angles angulaires de rotation de chacun des trois disques par rapport à
leur position de repos, figure 10.5:
Figure 10.5 : Mouvement oscillatoire couplés de trois disques de torsion
Les quatre partis OO1, O1O2, O2O3 et O3O’de l’arbre ont même constante de torsion C.
On posera la constante :
J
C20 .
Régime libre :
Déterminer le Lagrangien de ce système.
Etablir les équations différentielles du second ordre vérifiées par les angles
1(t), 2(t) et 3(t).
En déduire les trois pulsations propres 1p, 2p et 3p de ce système en fonction
de 0.
96Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Déterminer pour chaque des trois modes propres, les amplitudes angulaires des
disques D2 et D3 si l’amplitude angulaire du disque D1 est A= 1 radian.
Calculer l’énergie mécanique totale ET de cette chaîne de trois disques, pour
chacun des modes propres, en fonction de C et de l’amplitude angulaire 10 du
disque D1.
Régime forcé :
On applique au seul disque (D1) un couple moteur de moment sinusoïdal, de pulsation
réglable et d’amplitude 0.
)tcos()t( 0 ,
Etablir en fonction du paramètre 2
0
)(X
, les amplitudes angulaires A1, A2 et
A3 de chacun des disques en régime forcé.
Pour quelles valeurs de X ce système est il en résonance ?
Solutions :
Régime libre :
Le Lagrangien de ce système :
Pour l’énergie cinétique on a :
23i
22
21c J
2
1J
2
1J
2
1E
Pour l’énergie potentielle on a :
21
23
232
221p C
2
1C
2
1)(C
2
1)(C
2
1E
Le Lagrangien s’exprime alors :
21
23
232
221
2i
3
1i
C2
1C
2
1)(C
2
1)(C
2
1J
2
1L
97Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Les équations différentielles sont :
0)2(
0)2(
0)2(
0L
)L
(dt
d
0L
)L
(dt
d
0L
)L
(dt
d
23203
312202
21201
33
22
11
Les pulsations propres :
On considère les solutions du système de type sinusoïdal :
)t(j3
)t(j2
)t(j1
p
p
p
Ce)t(
Be)t(
Ae)t(
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire suivant :
0BC)2(
0CAB)2(
0BA)2(
20
20
2p
20
20
20
2p
20
20
2p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
Avec
0
20
2
02
20
2p
20
20
20
2p
20
20
20
2p
D’ou :
0])2()2)[(22( 220
22p
20
20
2p
Les pulsations propres sont :
22
22
2
0p3
0p2
0p1
Les amplitudes angulaires des disques D2 et D3
32120p3p
32120p2p
2320p1p
2222
2222
02
98Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
L’énergie mécanique totale ET :
21
23
232
221
2i
3
1i
T C2
1C
2
1)(C
2
1)(C
2
1J
2
1E
Régime forcé :
Les amplitudes angulaires A1, A2 et A3 :
0)2(
0)2(
)tcos()(CCJ
0L
)L
(dt
d
0L
)L
(dt
d
ML
)L
(dt
d
23203
312202
02111
33
22
i
ext11
En régime forcé les solutions particulières son t de la forme:
tj33
tj22
tj11
eA)t(
eA)t(
eA)t(
En remplaçant dans le système différentiel, on obtient le résultat
suivant :
)X22)(X22)(X2(
1
CA
)X22)(X22(
1
CA
)X22)(X22)(X2(
)X3)(X1(
CA
03
02
01
Ce système entre en résonnance pour les valeurs de X, comme suit :
22X
22X
2X
Problème 5 :
On considère trois pendules simples identiques, de masses m, de longueur l, présentés
dans la figure 11.5. Les masses sont reliées entre elles par l’intermédiaire de deux
ressorts identiques, de raideur k. A l’équilibre, les pendules sont verticaux, les trois
masses sont équidistantes sur une même, et les ressorts ont leur longueur naturelle. Le
99Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
système en mouvement est défini, à l’instant t, par les élongations angulaires θ1, θ2, θ3
des pendules avec la verticale descendante.
On posera les constantes suivantes :
m
k20 et
l
g20 .
Figure 11.5 : Mouvement oscillatoire couplés de trois pendules
Déterminer le Lagrangien du système
Etablir les équations différentielles du second ordre vérifiées par les élongations
angulaires θ1(t), θ2(t), et θ3(t) pour les petites oscillations du système.
Déterminer les pulsations propres du système.
application numérique :
On prend : m=1kg, k=10N/m ; l=1m, g=10m s-2. Calculer les pulsations
propres.
Déterminer le rapport des amplitudes angulairesA
B etA
C pour chacun des
modes propres de ce système.
Solutions :
Le Lagrangien du système :
Le système a trois degrés de liberté représentés par : θ1, θ2, θ3.
L’énergie cinétique s’exprime:
23
222
22i
2c ml
2
1ml
2
1ml
2
1E
100Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Pour l’énergie potentielle on a :
3
1i
i2
322
21p cosmgl)ll(k2
1)ll(k
2
1E
Le Lagrangien s’exprime comme suit :
3
1i
i2
322
212i
3
1i
2 cosmgl)ll(k2
1)ll(k
2
1ml
2
1L
L’équation différentielle :
0)(
0)2(
0)(
0L
)L
(dt
d
0L
)L
(dt
d
0L
)L
(dt
d
2203
20
203
3201
202
20
202
2201
20
201
33
22
11
Les pulsations propres :
On considère les solutions du système de type sinusoïdal :
)t(j3
)t(j2
)t(j1
p
p
p
Ce)t(
Be)t(
Ae)t(
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire suivant :
0BC)(
0CAB)2(
0BA)(
20
20
20
2p
20
20
20
20
2p
20
20
20
2p
Le système admet des solutions non nulles si seulement
0det
Avec :
0
0
2
0
20
20
2p
20
20
20
20
2p
20
20
20
20
2p
D’ou :
0]3)32()[( 20
20
40
2p
20
20
4p
20
20
2p
101Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Les pulsations propres sont alors:
s/rad32.63
s/rad46.4
s/rad16.3
p20
20p3
p20
20p2
p0p1
Les rapports des amplitudes sont :
1A
C2
A
B3
1A
C0
A
B
1A
C1
A
B
20
20p3
20
20p2
0p1
Problème 6:
Soit le système mécanique, constitué de deux pendules simples de longueur l et de
masses m1, m2 représentés dans la figure 12.5 comme suit :
Figure 12.5 : Couplage de deux pendules simples par la masse
Etablir le Lagrangien du système
Donner les équations différentielles du mouvement pour les faibles oscillations.
On pose les constantes suivantes :
l
g20 et
2
1
m
m .
Déterminer dans ce cas les pulsations propres du système 1p et 2p en fonction
des paramètres et 0.
102Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Déterminer les solutions générales
Solutions:
Le Lagrangien du système :
L’énergie cinétique s’écrit :
2m2
2m1c 21
Vm2
1Vm
2
1E
En calculant les vitesses par rapport au repère fixe :
))sinsin(ly
)coscos(lx(V)
)cos(cosly
)sin(sinlx(mO
)sinly
coslx(V)
cosly
sinlx(mO
2211m
2211mm
21m
21m2
11m
11mm
1m
1m1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
D’où :
2m
2m
2m
2m
2m
2m
222
111
yxV
yxV
Après calcul, l’énergie cinétique s’écrit alors:
)cos(lmlm2
1l)mm(
2
1E 2121
22
22
22
21
221c
Pour l’énergie potentielle on a :
)cos(cosglmcosglmE 21211p
Le Lagrangien devient alors:
)cos(cosglmcosglm
)cos(lmlm2
1l)mm(
2
1L
21211
21212
222
22
21
221
Le système différentiel devient :
0gll
0g)mm(lml)mm(
0L
)L
(dt
d
0L
)L
(dt
d
212
12122121
22
11
D’ou :
0
0)1()1(
22012
12021
Avec :
l
get
m
m 20
2
1
103Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Les pulsations propres :
On considère les solutions du système de type sinusoïdal :
)t(j2
)t(j1
p
p
Be)t(
Ae)t(
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire symétrique suivant :
0B)(A
0BA)1)((20
2p
2p
2p
20
2p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
D’où
0)1()( 4p
220
2p
Les deux pulsations propres sont 1p et 2p exprimées comme suit :
20
2p1
20
2p1
11
1
11
1
Les solutions générales sont de la forme:
)tcos(B)tcos(B)t(
)tcos(A)tcos(A)t(
p22p112
p22p111
Problème 7:
Un ressort est relie par ses deux extrémités a deux points matériels, B de masse M et P
de masse m, figure 13.5. Ce dernier peut se déplacer sans frottement le long de l’axe
Ox tandis que B est fixe à l’extrémité inferieur d’un fil inextensible, de longueur l=OA,
de masse négligeable, accroche en a un support horizontal et pouvant tourner
librement autour de l’axe Az . Le ressort a une masse négligeable, une raideur k et une
longueur a vide également négligeable. Il a la possibilité, avec P, d’être à gauche ou à
droite de B. le champ de pesanteur est de la forme yugg
et on suppose que l’angle
défini par l’attitude du fil relativement à la verticale reste petit.
104Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 13.5 : Couplage pendule simple avec un oscillateur harmonique
Etablir le Lagrangien du système
Déterminer les équations du mouvement
On pose les constantes suivantes :
l
g20 ,
m
k21 ,
M
k22 et
21
20
2r
.
Mettre les équations du mouvement en fonction les paramètres 0, 1 et 2.
On cherche une solution de la forme :
tjp
pXex
et tjB
pYelY
.
Déterminer dans ce cas les modes propres p2p1 et
On n’admet désormais que m=M.
Exprimer les deux pulsations propres p2p1 et en fonction de r et 1.
En déduire la solution générale.
Solutions :
Le Lagrangien du système :
Pour l’énergie cinétique on a :
22pc )l(M
2
1xm
2
1E
105Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Pour l’énergie potentielle on a :
cosMgl)lx(k2
1E 2
pp
Le Lagrangien du système s’écrit :
cosMgl)lx(k2
1)l(M
2
1xm
2
1L 2
p22
p
Les équations du mouvement s’écrit:
0lxx
0xl)(l
0x
L)
x
L(
dt
d
0L
)L
(dt
d
21p
21p
p22
20
22
pp
Les solutions sont de la forme :
tjp Xex et tj
B YelY .
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On
obtient un système linéaire symétrique suivant :
0YX)(
0Y)(X21
21
2p
22
20
2p
22
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
D’où :
0))(( 22
21
21
2p
22
20
2p
Les deux pulsations propres sont :
2
4)2(2
2
4)2(2
21
20
221
20
21
202
p2
21
20
221
20
21
202
p1
D’où :
21
20
21p2
21p1
2ravec
1r1r
1r1r
106Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Les solutions générales :
)tcos(Y)tcos(Y)t(Y
)tcos(X)tcos(X)t(x
p22p11
p22p11p
Problème 8 :
Partie A : Régime libre
Soient deux circuits )CL( apind identiques de résistances négligeables, figure 14.5.
Le couplage par inductance mutuelle M est caractérisé par le coefficient de
couplageindL
Mk .
On posera la constante suivante :
apind
20
CL
1 .
Figure 14.5 : Couplage mutuel de deux circuits électriques L.C
Ecrire les deux équations différentielles vérifiées par les charges q1(t) et q2(t)
des condensateurs des circuits (1) et (2).
Déterminer les équations différentielles vérifiées par la somme S(t)=q1+q2 et la
différence D(t)=q1-q2.
En déduire les pulsations propres ’ et ’’ de ce système couplé, en fonction
des paramètres 0 et k.
107Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
On admet que le couplage est faible (indL
Mk 1). A l’instant t =0 où on ferme
l’interrupteur, le condensateur du circuit (1) porte la charge q10 et celui du circuit (2)
est déchargé.
Montrer que la charge du condensateur du circuit (1) évolue au cours du temps
suivant la loi:
tcostcosq)t(q 0101
Où le paramètre sera exprimé en fonction de 0 et k.
En déduire la loi d’évolution de la charge q2(t) du circuit (2).
Quelle est la nature du phénomène étudié ? Commenter.
Partie B : Régime forcé :
Le circuit primaire (1), Figure 15.5 est maintenant alimenté par un générateur
sinusoïdal de f.é.m. tel que :
tsinu)t(u 0 .
Figure 15.5 : Mouvement forcé pour un couplage mutuel
On étudie le circuit couplé en régime permanent.
Exprimer les charges q1(t) et q2(t) sous la forme
tcos)(A)t(q 1 et tcos)(B)t(q2
Où on déterminera les amplitudes q1 () et q2 () en fonction de u0, Lind, 0 et k.
Déterminer la pulsation a d’anti résonance pour laquelle q1(a) = 0.
108Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
En déduire l’amplitude q2(a).
Tracer l’allure des graphes q1 () et q2 ().
Solutions :
Le système a deux degrés de liberté exprimés en q1 et q2
Les deux équations différentielles du système s’écrivent :
0dt
diM
dt
diL
C
q2Circuit
0dt
diM
dt
diL
C
q1Circuit
12ind
ap
2
21ind
ap
1
En introduisant le couplage :
indL
Mk
On obtient :
0qkqq2Circuit
0qkqq1Circuit
12202
21201
En posant les nouvelles variables généralisées:
)t(q)t(q)t(D
)t(q)t(q)t(S
21
21
On obtient les nouvelles équations du mouvement représentées comme suit :
0Dk1
D
0Sk1
S
20
20
Les pulsations propres ’ et ’’ sont définies comme suit :
k1et
k100
Les lois d’évolution des charges q2(t) et q2(t) :
2
kAvec
tsint2
ksinq)t(q
tcost2
kcosq)t(q
0
00
12
00
11
0
0
La nature du mouvement : Les battements
109Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 16.5 : Phénomène : les battements
Partie B : Régime forcé :
Les charges q1(t) et q2(t) :
0dt
diM
dt
diL
C
q2Circuit
eudt
diM
dt
diL
C
q1Circuit
12ind
ap
2
tj0
21ind
ap
1
En introduisant le couplageindL
Mk , on obtient :
0qkqq2Circuit
eL
uqkqq1Circuit
12202
tj021
201
Les solutions particulières :
tcos)(A)t(q 1 et tcos)(B)t(q2
En remplaçant dans le système différentiel, on obtient alors :
0AkB)(2CircuitL
uBkA)(1Circuit
220
2
0220
2
Alors après le calcul, on aura :
222220
2
ind
0
222220
220
ind
0
)k()(
k
L
u)(B
)k()(L
u)(A
110Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
La pulsation a d’anti résonance :
20ind
0A0A
k
1
L
u)(B
Problème 09 :
Deux pendules simples identiques O1A1 et O2A2 de masse m et de longueur l, sont
couplés par un ressort horizontal de raideur k qui relie les deux masses A1 et A2, figure
17.5. A l’équilibre, le ressort horizontal a sa longueur naturelle l0 tel que l0 = O1O2.
Figure 17.5 : Couplage de deux pendules identiques par un ressort
Les deux pendules sont repérés, à l’instant t, par leurs élongations angulaires 1(t) et
2(t) supposées petites par rapport à leur position verticale d’équilibre. On désignera g
l’accélération de la pesanteur.
Modes propres :
Déterminer le Lagrangien du système.
Etablir les équations différentielles couplées vérifiées par les deux élongations
angulaires instantanées 1(t) et 2(t)
Exprimer en fonction de g, k, l et m, les deux pulsations propres 1p et 2p de ce
système.
Applications numériques :
Calculer 1p et 2p sachant que: m= 100g ; l= 80cm ; k=9.2 N/m et g= 9.8m/s2.
111Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
On lâche sans vitesses initiales le système à l’instant t=0 dans les conditions
initiales suivantes :
1=0 et 2=0
En déduire les lois d’évolution. 1(t) et 2(t) aux instants t 0.
Quel est le phénomène étudié.
Modes forcés :
La masse A est soumise à une force excitatrice horizontale de forme :
)tcos(F)t(F 0
Ecrire les nouvelles équations différentielles couplées en 1(t) et 2(t).
Exprimer les relations complexes qui concernent les vitesses linéaires V1 et V2
des points A1 et A2 en régime forcé.
En déduire l’impédance d’entrée complexe1
e
V~F
Z .
Solutions :
Le Lagrangien du système :
Le système a deux degrés de liberté exprimés en θ1, θ2
L’énergie cinétique on a :
2m2
2m1c 21
Vm2
1Vm
2
1E
En calculant les vitesses par rapport au repère fixe :
2m
2m
2m
2m
2m
2m
22m
22mm
2m
2m2
11m
11mm
1m
1m1
222
111
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
yxV
yxV
)sinly
coslx(V)
cosly
sinlx(mO
)sinly
coslx(V)
cosly
sinlx(mO
D’ou :
2i
2
1i
2c ml
2
1E
Pour l’énergie potentielle on a :
2
1i
i2
21p cosmgl)ll(k2
1E
112Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Le Lagrangien s’écrit alors :
2
1i
i2
212i
2
1i
2 cosmgl)ll(k2
1ml
2
1L
Les équations différentielles couplées :
122
211
22
11
m
k)
m
k
l
g(
m
k)
m
k
l
g(
0L
)L
(dt
d
0L
)L
(dt
d
Les pulsations propres 1p et 2p:
On considère les solutions du système de type sinusoïdal :
)t(j2
)t(j1
p
p
Be)t(
Ae)t(
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On
obtient un système linéaire symétrique suivant :
0B)m
k
l
g(A
m
k
0Bm
kA)
m
k
l
g(
2p
2p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
D’ou
0)m
k()
m
k
l
g(
222
p
Les deux pulsations propres sont :
s/rad14m
k2
l
g
s/rad5.3l
g
p22
p2
p12
p1
Les solutions générales :
)tcos(B)tcos(B)t(
)tcos(A)tcos(A)t(
p22p112
p22p111
En appliquant les conditions initiales, on trouve :
t2
sint2
sinC)t(x
t2
cost2
cosC)t(x
p2p1p2p12
p2p1p2p11
113Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
D’ou :
t2
t2
Avec
tsintsinc)t(x
tcostcosc)t(x
p1p2p1p2
2
1
Le phénomène étudié est les battements.
Modes forcés :
Les nouvelles équations différentielles couplées :
0kl)klmg(ml
tcosFkl)klmg(ml
122
0211
Les relations complexes qui concernent les vitesses linéaires V1 et V2 :
Les solutions particulières sont :
22
11
lj)t(V~
lj)t(V~
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
0V~
)m
k
l
g(V
~
m
k
em
FjV
~
m
kV~
)m
k
l
g(
22
1
tj021
2
L’impédance d’entrée complexe :
)mkl
mg(
mkl
mg
kj
V~F
Z 2
2
2
1
e
Ce système mécanique fonctionne comme un filtre de fréquence puisque son
impédance varie en fonction de la fréquence.
Problème 10 :
Soit un pendule de masse m et de longueur l pivote autour de M qui glisse sans
frottement sur le plan horizontal, comme le montre la figure 18.5 comme suit :
114Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 18.5 : Couplage pendule simple avec un oscillateur harmonique
Partie A :
Déterminer le Lagrangien du système ?
En déduire les équations différentielles de mouvements.
Déterminer les pulsations propres du système.
Trouver le rapport d’amplitude dans les modes normaux.
Donner les solutions générales lorsque : M tend vers l’infini et l tend vers 0.
Discuter.
Partie B :
On impose au point s un mouvement sinusoïdal de type :
tsinax s
Comme le montre la figure 19.5:
115Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 19.5 : Mouvement forcé
En déduire les nouvelles équations du mouvement.
Donner le module des amplitudes.
Quelle est la nature du mouvement.
Solutions
Partie A :
Le Lagrangien du système :
Le système a deux degrés de liberté exprimés en x et θ
Pour l’énergie cinétique on a:
2m
2Mc mV
2
1MV
2
1E
En calculant les vitesses par rapport au repère fixe :
)0y
xx(V)
0y
xx(MO
)sinly
coslxx(V)
cosly
sinlxx(mO
M
MM
M
M
m
mm
m
m
D’où :
coslxm])l(mx)mM[(2
1E 22
c
Pour l’énergie potentielle on a:
cosmglkx2
1E 2
p
116Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Après le calcul, le Lagrangien sera égale à :
cosmglkx2
1coslxm])l(mx)mM[(
2
1),,x,x(L 222
Le système différentiel est donné comme suit :
0xmlmglml
0kxmlx)mM(
0L
)L
(dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
2
Les pulsations propres 1p et 2p:
On considère les solutions du système de type sinusoïdales :
)t(j
)t(j
p
p
Ae)t(x
Be)t(
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On
obtient un système linéaire symétrique suivant :
117Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
0B]gl[A
0BmlA]k)mM([2p
2p
2p
2p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
D’ou
0ml]gl][k)mM([ 4p
2p
2p
On obtient alors :
0kgM4]klg)mM[(Avec0kg]klg)mM[(Ml 22p
4p
Il existe donc deux pulsations propres sont 2p2
2p1 et comme suit :
]kgM4]klg)mM[(klg)mM[(2
1
]kgM4]klg)mM[(klg)mM[(2
1
22p1
22p1
Les rapports d’amplitudes sont :
k)mM(
ml
B
A
k)mM(
ml
B
A
2p2
2p2
2p1
2p1
p2p
p1p
Les solutions générales :
)tcos(B)tcos(B)t(
)tcos(A)tcos(A)t(x
p22p11
p22p11
La forme des solutions générales lorsqu’on a :
M tend vers l’infini :
Le système devient alors un pendule simple représenté comme suit :
118Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 20.5 : système est équivalent a un pendule simple
l tend vers 0 :
Le système devient dans ce cas un simple oscillateur harmonique représenté
dans la figure 21.5:
Figure 21.5 : Système est équivalent à un oscillateur simple
Partie B :
Les nouvelles équations du mouvement sont :
0xmlmglml
kaekxkxmlx)mM(2
tis
Les solutions particulières en régime permanant sont :
)t(ie)(A)t(x et )t(ie)(B)t(
En remplaçant dans le système différentiel, on obtient alors :
0B]gl[A
kaBmlA]k)mM([22
22
119Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Les modules des amplitudes sont :
))((
kaB
))((
)l
g(ka
A
2p2
22p1
2
2
2p2
22p1
2
2
Les phénomènes étudiés sont :
La résonance
p2p1quandB
A
Anti résonance.
l
gquand
tetanconsB
0A
La figure 22.5 représente les phénomènes étudiés:
Figure 22.5 : Phénomène de résonance à deux degrés de liberté
Problème 11 :
Partie A :
On considère une barre homogène de masse M, de longueur l, moment
d’inertie 2g Ml
12
1J , mobile d’un axe fixe à une de ses extrémités O. A l’autre
extrémité A est fixé un ressort de raideur k1comme la montre la figure 23.5:
120Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 23.5 : Mouvement amorti
De plus le système est amorti par le biais d’un amortisseur au lieu de la barre G dont
le coefficient de frottement α. En position d’équilibre la barre est horizontale.
Dans le cas des petites oscillations :
Donner le Lagrangien du système.
Etablir l’équation différentielle du mouvement.
Donner le cas d’un faible amortissement l’expression de la solution générale
θ(t) avec les conditions initiales : θ(t=0)=0 et 0)0t( .
Tracer le graphe de θ(t)
Partie B :
On enlève l’amortisseur du milieu G de la barre, et on place un ressort k2 et une masse
m, représenté dans la figure 24.5:
121Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 24.5 : mouvement oscillatoire à deux degrés de liberté
Ecrire le Lagrangien du système.
On pose k1=k, k2=4k et M=3m.
Etablir les équations différentielles du mouvement.
Donner les pulsations propres.
Déterminer les rapports d’amplitudes aux modes propres du système.
Donner les solutions générales.
En déduire la matrice de passage.
Solutions :
Partie A :
Le Lagrangien du système :
Le système a un seul degré de liberté exprimé en θ
Pour l’énergie cinétique :
2O/c J
2
1E
122Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Avec
2G/O/ )
2
l(MJJ
Pour l’énergie potentielle on a :
21p )l(k
2
1E
Le Lagrangien s’écrit sous la forme suivante :
221
2O/ )l(k
2
1J
2
1),(L
L’équation différentielle :
2
llkJM
LL
dt
d 22
1O/frot
D’ou
0J
lk
J2
l
O/
21
O/
2
Alors :
G/
2
120
G/
220
J2
lk
J2
l2avec02
La solution générale :
La résolution de cette équation différentielle est de la forme :
220
2t0t avectsine)tcos(Ae)t(
Elle est représentée dans la figure 26.5 comme suit:
Figure 26.5 : Mouvement oscillatoire amorti
123Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Partie B :
Le Lagrangien du système :
Le système actuel possède deux degrés de liberté exprimé en x et y
Pour l’énergie cinétique on a:
22O/c xm
2
1J
2
1E
Avec
2
G/O/ )2
l(MJJ
L’énergie potentielle s’exprime:
21
22p )l(k
2
1)
2
lx(k
2
1E
Le Lagrangien s’écrit alors comme suit :
lyavecyk2
1)
2
yx(k
2
1xm
2
1J
2
1)y,y,x,x(L 2
12
222
O/
Les nouvelles équations différentielles du mouvement :
0kx2ky2ym
0ky2kx4xm
0y
L)
y
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
Les pulsations propres :
Les solutions sont de la forme :
tj pAex
, tj pBely
.
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire symétrique suivant :
lyavec
0kA2B)k2m(
0kB2A)k4m(2p
2p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0det
Avec
0)k2()k2m)(k4m( 22p
2p
124Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
D’ou
0mk5'avec0k4m6m 22224p
2
Donc, il existe deux pulsations propres:
)53(m
k
)53(m
k
2p2
2p1
Les rapports d’amplitude aux modes propres sont :
51
2
B
A)53(
m
k
51
2
B
A)53(
m
k
p2
p1
2p2
2p1
Les solutions sont :
tcos2
51Btcos
2
51A)t(x
tcosBtcosA)t(x
p2p1
p2p1
La Matrice de passage est :
2
51
2
5111
P
Problème 12 :
Dans le montage représenté dans la figure 27.5, le pendule de longueur l= OA et de
masse m est couplé par l’intermédiaire du ressort horizontal, de raideur k1, au système
oscillant constitué d’une masse m et du ressort de raideur k2 dont l’extrémité O’ est
fixée. L’extrémité O du pendule est fixée.
125Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 27.5 : Couplage chariot-pendule simple
A l’équilibre, le pendule est vertical et deux ressorts ont leurs longueurs naturelles
(ressorts non déformés).
On posera les constantes suivantes :
m
k21 ,
l
g22 et
m
k c2 .
Les déplacements x1(t) du centre de masse G du chariot et x2(t) de l’extrémité H du
pendule, à partir de leur position d’équilibre, sont suffisamment petits pour admettre
que les deux ressorts demeurent pratiquement horizontaux.
Régime 1 :
Etablir Le Lagrangien du système.
Ecrire les équations différentielles du mouvement.
Déterminer les pulsations propres du système 2p1p .
Calculer en fonction des paramètres, 2p1p , 1 et 2, le rapportA
B des
amplitudes des oscillations de la masse H et du centre de masse G du chariot,
pour chacun des deux modes propres du système.
Déterminer la solution générale.
Quelle est la nature du régime 1 ?
126Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Régime 2 :
L’extrémité O’ du ressort de raideur k maintenant soumise à un excitateur qui
lui communique un mouvement sinusoïdal d’amplitude a0 et de pulsation que
l’on peut faire varier :
tcosa)t(x 00'
Etablir les nouvelles équations différentielles du mouvement.
Déterminer les amplitudes en complexes des mouvements de G et H en fonction
de la pulsation de l’excitation et des paramètres, 1, 2, a0.
On donne g= 9.8 S.I, l= 0.66 S.I m= 0.1 S.I et k2= 1 S.I.
Calculer la période T de l’excitateur pour laquelle le chariot demeurera
immobile.
Quelle est la nature du régime 2 ?
Solutions :
Régime 1 :
Le Lagrangien du système :
Le système a deux degrés de liberté exprimés en x1 et x2
L’énergie cinétique s’écrit :
22
21c xm
2
1xm
2
1E
Pour l’énergie potentielle on a:
cosmgl)xx(k2
1kx
2
1E 2
12c21p
Le Lagrangien s’écrit alors comme suit
cosmgl)xx(k2
1kx
2
1xm
2
1xm
2
1L 2
12c21
22
21
127Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 27.5 a : Mouvement oscillatoire du système « chariot-pendule simple »
Les équations différentielles du mouvement :
12
222
22
22
122
11
22
11
xx)(x
xx)(x
0x
L)
x
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
Les pulsations propres :
On considère les solutions du système de type sinusoïdal :
)t(j2
)t(j1
p
p
Be)t(x
Ae)t(x
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire suivant :
128Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
0B)(A
0BA)(22
22p
2
2221
2p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0)()2(0det 22
21
22
21
22p
22
21
24p
Les pulsations propres sont :
))((4)2(2
1
2
2
))((4)2(2
1
2
2
22
21
22
21
2222
21
222
21
22
p2
22
21
22
21
2222
21
222
21
22
p1
Le rapport des amplitudes des oscillationsA
Bs’écrit :
p2p2
222
2p2
2
2
p1p2
221
2p1
1
1
A
B
A
B
La solution générale :
)tcos(B)tcos(B)t(x
)tcos(A)tcos(A)t(x
p22p112
p22p111
La nature du mouvement : le système a un mouvement libre couplé à deux
degrés de libertés.
Régime 2 :
Les nouvelles équations différentielles du mouvement :
Le Lagrangien du système :
cosmgl)xx(k2
1)xx(k
2
1xm
2
1xm
2
1L 2
12c2
'o122
21
Le système différentiel :
0xx)(x
tcosaxx)(x
0x
L)
x
L(
dt
d
0x
L)
x
L(
dt
d
12
222
22
0212
21
2211
22
11
Les amplitudes en complexes des mouvements de G et H :
Les solutions particulières sont de type :
)t(jp22
)t(jp11
Be)t(x)t(x
Ae)t(x)t(x
129Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient :
tjtj
222
22
210
2221
2
eBB~
AeA~
Avec
0B~
)(A~
aB~
A~
)(
Alors :
4222
2221
2
221j
4222
2221
2
222
221j
))((BeB
~
))((
)(AeA
~
2
1
La période T de l’excitateur pour laquelle le chariot demeurera immobile :
s26.12
T22
2
130Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Problèmes supplémentaires
Problème 13:
Nous étudions le cas, important en radioélectricité, de deux circuits )CLR( apind
identiques couplés par induction mutuelle comme le montre la figure 28.5:
Figure 28.5 : Couplage mutuel en régime forcé
Dans l’un primaire, on introduit un générateur de tension sinusoïdale :
tcosu)t(u 0
Etablir les équations différentielles du mouvement
En déduire les modules des courants parcourus dans chaque circuit.
Nous voulons examiner les résultats dans un intervalle de pulsation étroit autour de la
valeur 0 de la pulsation propre aux circuits ; soit )1(0 .
En déduire l’impédance Z des circuits dans ce cas.
Etablir la tension V aux bornes de la capacité du deuxième circuit.
En introduisant le coefficient de couplageindL
Mk et le facteur de qualité
R
LQ 0ind
131Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Exprimer la fonction de transfert F définit comme suit :u
VF en fonction de
k, Q et. En déduire son amplitude.
Etudier les variations de F en fonction de. Commenter les résultats.
Problème 14 :
Soit le modèle physique d’un véhicule de longueur l représenté dans la figure 29.5
comme suit :
Figure 29.5 : Modélisation physique des oscillations d’un véhicule
Où M représente la masse du véhicule ainsi les passagers.
Les grandeurs (k1, m1) et (k2, m2) représentent successivement la raideur et la masse
des roues avant et arrière de véhicule. Les ressorts k3 et k4 décrivent un modèle simple
à toutes les vibrations extérieures.
On s’intéresse qu’aux vibrations verticales. On considère que les masses m1 et m2 sont
des points matériels.
Quel le nombre de degré de liberté ?
Etablir le Lagrangien du système.
Déterminer les équations différentielles des mouvements.
Déterminer les pulsations propres.
132Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Problème 15 :
Deux particules m1 et m2 ponctuelles, de masses respectives m1 et m2, sont reliées par
un ressort de raideur k et de longueur à vide l0, figure 30.5. Les deux masses, mobiles
sans frottement sur une tige horizontale, sont écartées de leur position d’équilibre puis
relâchées sans vitesse ; elles sont repérées à chaque instant t par les abscisses
x1(t)=GM1 et x2(t)=GM2, où G désigne le centre de masse des particules m1 et m2.
Figure 30.5 : Modélisation physique des oscillations d’une molécule diatomique
On pose la variable suivante :
X(t)=x2(t)–x1(t)
Etablir le Lagrangien du système.
Déterminer l’équation différentielle du second ordre dont X(t) est la solution du
système.
Exprimer, en fonction de m1, m2 et k, la période T avec laquelle les masses
oscillent l’une part rapport à l’autre.
On suppose que deux masses égales m1=m2=m=0.1kg couplées oscillent avec
une période de 1s.
Calculer la raideur k du ressort de couplage.
Le système étudié modélise les vibrations longitudinales d’une molécule
diatomique d’oxyde de carbone CO dont la fréquence propre f0 est f0=6.5
1013Hz.
133Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Calculer la constante de rappelle k de la liaison carbone – oxygène.
Application numérique :
On donne : C = 12, O = 16 ; Nombre d’Avogadro N=6. 1023.
Problème 16 :
On veut étudier les vibrations longitudinales d’une molécule triatomique linéaire
ABA’ représentée dans la figure 31.5. Les atomes A, B, A’ ont pour masses
respectives m1, m2, m3 ; on désignera x1, x2, x3 les déplacements des atomes A, B, A’ à
partir de leurs position d’équilibre. On suppose que chaque atome est rappelé à sa
position d’équilibre par une force proportionnelle à l’écart, la constante de la force de
rappelle étant k pour la liaison A-B et k’ pour la liaison B-A’.
On admettra que la molécule, dans son ensemble n’est pas animée par un mouvement
de translation.
Figure 31.5 : Modélisation physique des oscillations d’une molécule triatomique
Partie A :
Etablir le Lagrangien du système.
Ecrire les équations différentielles du mouvement en x1(t), x2(t) et x3(t).
Ecrire les équations différentielles du mouvement en X(t) et X’(t), en effectuant
le changement de variable X(t)=x2(t)–x1(t) et X’(t)= x2(t)–x3(t).
Montrer que X(t)et X’(t) peuvent varier sinusoïdalement avec le temps pour
deux valeurs 01 et 02 de la pulsation propre qu’on déterminera en fonction de
k, k’, m2 et des pulsations fondamentales 0 et 0’ de chacune des vibrations de
134Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
valence des liaisons A–B et B–A’ si elle était seule (en absence de l’interaction
de couplage).
Applications numériques :
Expérimentalement on détermine les fréquences propres de la molécule linéaire
d’acide cyanhydrique, soient 01 = 6,25.1014 rd/s et 02=3,951014rd/s.
Calculer les fréquences fondamentales des liaisons
H–C et CN sachant que (C-H CN).
En déduire la constante la force de rappelle de la liaison C–H de la molécule
étudiée et la comparer à celle de la liaison C–H des alcanes (k = 500 SI).
Partie B :
On considère maintenant que la molécule triatomique est symétrique, A-B-A, c'est-à-
dire, k=k’ et m1=m3.
Quelles sont les expressions des pulsations propres en fonction de k, m1 et m2. ?
Donner un exemple concret qui vérifie ce modèle.
Problème 17 :
On définit un étouffeur dynamique représenté dans la figure 32.5, comme un système
physique qui comprend deux masses couplées M et m oscillent à la verticale, deux
ressorts k, K et un amortisseur. On impose une force extérieure sinusoïdale à la
masse m de type :
tcosF)t(F 0
135Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 32.5 : Modèle physique d’un étouffeur dynamique des vibrations
Etablir le Lagrangien du système.
Déterminer les équations différentielles du mouvement.
Déterminer les solutions )t(x),t(x 21 en régime permanent.
Quelle est la condition pour avoir l’annulation du mouvement de m. Justifier
votre réponse.
Problème 18 :
Partie 1 :
On considère un système complexe, reporté dans la figure 33.5, composé par un
cylindre homogène de masse M et de rayon R qui oscille sans glisser sur un plan
horizontal et relié d’une part au point A par un ressort non déformé, de constante de
raideur K , à un bâti B1 fixe et d’autre part le cylindre est relié par un amortisseur de
coefficient de frottement à un bâti fixe B2 L’autre élément du système, est une tige
de longueur l et de masse négligeable.qui oscille sans frottements autour de l’axe du
cylindre qui porte une masse ponctuelle m. A l’équilibre la tige est verticale et l’axe du
cylindre G est à l’origine des coordonnées spatiales.
136Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
On note la rotation de la tige par à la verticale repérée par l’angle et celle du cylindre
par l’angle θ.
Figure 33.5 : Mouvement oscillatoire du système « Cylindre-Tige »
On pose les constantes suivantes :
Rxetlxl
mgK4m2M3 12
Etablir le Lagrangien du système.
Déterminer les équations différentielles qui régie le mouvement du système.
Exprimer les pulsations propres 2p1p .
Donner les solutions générales.
Partie 2 :
On impose au bâti B1 une oscillation sinusoïdale d’amplitude F0 telle que :
tcosF)t(F 0
Exprimer les nouvelles équations différentielles du mouvement en fonction des
vitesses )t(x)t(x 21 .
Déterminer l’impédance d’entrée eZ définit comme suit :
)t(x
)t(FZ
1e
137Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Problème 19 :
Lors d’un control technique, un véhicule est installé sur un banc d’essai permettant de
communiquer aux roues un mouvement vertical, identique et sinusoïdal de la forme
suivante comme le montre la figure 34.5:
tcosS)t(S 0
Figure 34.5 : Modélisation d’un mouvement oscillatoire d’un véhicule
La suspension des ressorts est modélisée par deux ressorts identiques de raideur k et
deux amortisseurs identiques de coefficients de frottement. La masse du véhicule est
de grandeur m et son moment d’inertie par rapport à un axe horizontal e de gravité G
est JG. La voiture peut osciller par rapport à sa position d’équilibre, c'est-à-dire, y=0 et
θ=0.
On s’intéresse dans ce qui suit aux oscillations de tangage, c'est-à-dire, les rotations
d’angle θ autour d’un axe passant par G et parallèle à OZ et aux oscillations de
pompage, c'est-à-dire, les translations de l’ensemble parallèlement à la verticale OY.
Etablir les coordonnées des points A et B de la voiture dans le repère XOY.
138Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Déterminer le lagrangien du système.
Exprimer les équations différentielles du système.
Déterminer les solutions totales du mouvement y(t) et θ(t).
REFERENCES
[1] P. DENEVE, « Mécanique », Edition ELLIPSES, ISBN 2-
7298-8751-2, 1987.
[2] M. TAMINE, O. LAMROUS, « Vibrations et Ondes »,
Edition OPU, ISBN 1-02-3698, 1993.
[3] H. LUMBROS0, « Ondes Mécaniques et Sonores », Edition
DUNOD, ISBN 2-10-00468-8, 2000
[4] J. KUNTZMANN, «Mathématiques de la physique et de la
technique », Edition HERMANN, ISBN 530, 1963.
[5] G. LANDSBERG, « Vibrations et Ondes, Optique», Edition
MIR MOSCOU, ISBN 5-03-000128-X, 1988.
[6] IAIN G. MAIN, « Vibrations and Waves in physics», Edition
CAMBRIDGE LOW PRICE, ISBN 0-521-49848-1, 1993.
[7] C. GRUBER, W. BENOIT, « Mécanique Générale», Edition
PRESSES POLYTECHNIQUE ET UNIVERSITAIRES
ROMANDES, ISBN 2-88074-305-2, 1998.
[8] R. GABILLARD, « Vibrations et Phénomène de
propagation », Edition DUNOD, 1972.
[9] M. BALKANSKI, C. SEBENE, « Ondes et phénomènes
vibratoires », Edition DUNOD, 1973.
[10] L. LANDEAU ET E. LIFCHITZ, « Mécanique», Edition
MIR MOSCOU, 1966.
Ce document a été destiné aux étudiants de deuxième année des
filières scientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs
d’Algérie. Il répond au programme officiel du module « Vibrations et Ondes
mécaniques » enseignés en deuxième année des filières Sciences et
techniques et Sciences de la matière.
Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de
vibrations et de propagation des ondes mécaniques avec un rappel de cours.
Mr Fouad BOUKLI HACENE est titulaire d’un doctorat en
Science Génie mécanique obtenu à l’université de sciences et
technologie Mohamed BOUDIAF USTO d’Oran. Il est maitre de
conférences au département de physique de la faculté des
sciences à l’université Hassiba BENBOUALI de Chlef. Il est
auteur de plusieurs travaux scientifiques