002a pola et birefringence

1

Polarisation et Biréfringence

2

Rappel: Propagation de ondes elm

• La phase d’une onde– Soit une onde transversale solution

des équations de Maxwell– La phase est donnée par l’argument ϕ– Variation temporelle (x=cte)

– Variation spatiale (t=cte)

– La vitesse de phase: vitesse associée au front d’onde

kx

t

tkx

tkxAtx

t

x

=

∂∂

=

∂∂

−=

−=Ψ

ϕ

ωϕϖϕ

ϖ )sin(),(

vkt

x

cte

±=±=

∂∂

=

ϖϕ

3


• L’onde plane– Vecteur d’onde

(direction) k– Plan perpendiculaire:

– Expression de l’onde:

( )cterk

krr

=•⇒

=•−rr

rrr00

)exp()( rkiArrrr •=Ψ

4


– Les fronts d’onde sont définis par:

– Avec la périodicité λ pour autant que k=2π/λ

– Un front d’onde est une surface joignant les points de même phase

cterk =• rr

5


– Principe et construction de Huygens

• On passe du front d’onde Σà Σ’ par ondelettes sphériques se recombinant

6

Rappel: Propagation de ondes elmConstruction de Huygens: Réfraction

i

tt

it

i

t

i

t

i

n

n

c

n

n

c

v

v

tv

tv ====θθ

sin

sin

2

1

1

2

2

1

2211

sin

sin

sinet sin

i

i

n

n

II

II

iIKIIiIKII

==

==

7

Polarisation• Polarisation linéaire

– Lumière: onde transversale: E et k perpendiculaires– Superposition de deux champs E perpendiculaires

– La résultante dépend du déphasage ε– Polarisation linéaire si ε = +-kπ

– Plan d’incidence: plan comprenant la normale à l’interface et k– TE ou s-pol: E est perpendiculaire au plan d’incidence (Transv. Electric)– TM ou p-pol: E est dans le plan d’incidence (Transv. Magnetic)

8

Polarisation• Polarisation linéaire

9

Polarisation• Polarisation circulaire

– Cas particulier : Eo,x= Eo,y = Eo

– Si ε=−π/2 (+2mπ)Polarisation circulaire droite: Le champ E

résultant tourne dans le sens des aiguilles d’une montre pour un observateur qui voit arriver l’onde vers lui

– Si ε=π/2 (+2mπ)Polarisation circulaire gauche

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Polarisation• Polarisation elliptique

– Si ε est quelconque

Equ d’une ellipse dont le grand axe fait un angle α avec Ex tel que

Figures de Lissajous:

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Polarisation• Lumière naturelle:

– Grand nombre d’oscillateurs: trains d’onde très courts (cf. cohérence temporelle) ~10-14 s et ε déterminé pendant 10-14 s

– La superposition de champs persiste seulement 10-14 s– A notre échelle, pas de polarisation en lumière naturelle

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Polarisation• Polariseurs• La loi de Malus

– Projection de l’amplitude du champs suivant la direction passante de l’analyseur: E cosθ

– Donc, I(θ)=I cos²θ

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Polarisation

• Polariseur par réflexion– Angle de Brewster: rayons réfléchis et

réfractés perpendiculaires:

• Polariseur par réfraction: biréfringence

1

2

22221

tan

cos)2sin(sin sin

n

ni

inininin

B

BBB

=⇒

=−== π

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Polarisation• Diffusion

– Principe:• photons interagissent avec le nuage électronique de l’atome• En dehors des ν de résonance: oscillation d’un dipôle électrique• Réémission à la même ν, principalement dans le plan

perpendiculaire au dipôle = Diffusion « scaterring »

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Polarisation

– Ciel bleu: diffusion de Rayleigh en λ-4

– Polarisation partielle: pour des portions de ciel ~perpendiculaire à la direction des rayons solaires directes

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Polarisation• Absorption sélective

– La grille de fils métalliques

• La composante de E selon les fils (y) engendre le déplacement des e- du métal.

– Echauffement par effet joule– L’énergie est absorbée et pas réémise

• La composante perpendiculaire aux fils (x) n’est pas altérée car les e- ne sont pas libre dans la dir x

• Utilisation surtout en micro-ondes (période < λ)

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Polarisation• Polaroid

Feuilles d’alcool polyvinylique (PVA) chauffées et étirées • direction préférentielles des chaînes polymériques

Plongées dans une solution riche en iode• L’iode s’attache aux chaînes• Les e- de conduction de l’iode sont libres de se déplacer le

long de la chaîne à laquelle ils sont attachés

Un champ E parallèle aux chaînes excite les e- de l’iode• absorption par effet joule comme pour les fils métalliques

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Polarisation• Dichroïsme

– Forme particulière de biréfringence:• Les ondes o et e générées dans le cristal

subissent des coefficients d’absorption αdifférents

α dépend de la direction de polarisation

• Les indices no et ne dépendent de λ (dispersion de la biréfringence)

Dichroïsme = la couleur résultant de la traversée du cristal dépend de l’orientation de E par rapport à (aux) axe(s) du cristal. En général, il y a 2 directions préférentielles résultant à la visualisation de 2 couleurs.

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Biréfringence

• Propagation d’une onde dans un milieu anisotrope

– Vecteur Déplacement D:

– Il en résulte:

D et E ne sont plus parallèles!

[ ][ ] électrique litésusceptibi de un tenseurest

anisotropemilieu un pour et

isotropemilieu un pour

0

0

0

e

e

e

EP

EPoù

PED

χεχ

εχε

rr

rr

rrr

=

=

+=

[ ]!ensoriellerelation t mais

isotrope casau analogiepar EDrr

ε=

20

Biréfringence• Résolution des équ. de Maxwell

– Soit une onde plane solution de Maxwell dont le champ él. a la forme

– On réécrit les équ. de Maxwell sous la forme:

– Donc, les vecteurs D, H et k sont perpendiculaires• (D,k) est le plan de polarisation• (D,H) est le plan d’onde (front d’onde perpendiculaire à k)

– L’énergie se propage selon le vecteur de Poynting R:

R et k ne sont plus coplanaires!

( )[ ]trkiEE m ϖ−•= rrrrexp

DHkHkDkHµEkrrrrrrrrrr

ϖϖ −=×=•=•=× et 0 0 0

HERrrr

×=

21

Biréfringence

• Surface des indices:– On définit le vecteur indice comme suit:

– Et la surface d’indice, correspondant à la résolution des équ. de Maxwell

ck

k

ϖ== 00

où k

n

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Biréfringence

• Surface des indices: projection dans un plan:– Interprétation:

• Intersection avec le plan ny=0• Si n²-n2²<>0: On obtient l’équ. d’une

ellipse de demi-axe n1 et n3

• Si n²-n2² =0: on obtient: nx²+nz² =n2²cercle de rayon n2

• On obtient 2 nappes: pour une direction incidente, il existe 2 vecteurs k et 2 indices associés qui sont solutions des équ. de Maxwell: Bi-réfringence

• Axe optique: intersection des 2 nappes: Si onde suivant a.o.: un seul indice

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Biréfringence

• Surface des indices 3D :

24

Biréfringence

• Propriété des 2 ondes se propageant dans le cristal :Il existe 2 vecteurs déplacement : D’ et D’’– Perpendiculaires à k (définissant 2 plans de polarisation)– D’ et D’’ sont orthogonaux

– Surface décrite par le vecteur de Poynting R = surface d’ondelette ou radiale– R est normal au plan tangent à la surface des indices– k est normal au plan tangent à la surface d’ondelette

s.n = 1

25

Biréfringence

• Ellipsoïde des indices– En explicitant le produit scalaire k.D = 0

on obtient :

– Par changement de variable, on simplifie l’expression :m = n D/D

(m et D sont colinéaires)

L’extrémité de m décrit l’ellipsoïde des indices

– Le champ E est normal à l’ellipsoïde des indices

²

²23

2

22

2

21

2

n

D

n

D

n

D

n

D zyx =++

123

2

22

2

21

2

=++n

m

n

m

n

m zyx

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Biréfringence• Ellipsoïde des indices: construction de l’onde

• Ellipse P : intersection du plan d’onde (perp k) et de l’ellipsoïde• Axes de l’ellipse: intersection de P avec les ellipses (n1, n2) et (n2, n3) :

définit (D’, D’’ )• E perpendiculaire au plan tangent Q• Rayons lumineux suivant R (perpendiculaire à E)• Front d’onde suivant la perpendiculaire à k

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• Cristaux uniaxes– La symétrie du cristal impose n1= n2= no (ordinaire)

On pose également n3= ne (extraordinaire)

– Onde ordinaire : E//D et k//R– Onde extraordinaire : ce n’est pas le cas sauf si :

• k selon l’a.o. : ne = no (cas dégénéré: pas de biréfringence)• k normal à l’a.o. : Ee//De mais ne <> no (vitesses <>, donc déphasage)

Biréfringence

28

• Cristaux uniaxes– Surface des indices

n1= n2= no

n3= ne

– Définition des milieux >0 et <0

Biréfringence

29

• Construction de Huygens (surfaces d’ondelettes ou radiales)Surfaces radiales en 1/n (s.n = 1)Point J obtenu à partir de la tangente à 1/n1

Tangentes aux surfaces radiales: rayons selon R (Poynting)

Biréfringence

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• Séparateur de faisceau polarisant : Lame à face //a.o. qcq et incidence normale

Un seul vecteur k (�) pour les 2 ondesDo perpendiculaire à De et k perpend Do et DeE perpend rayon R (Poynting)

Biréfringence

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• Polariseurs biréfringentsPrisme de Wollaston

k perpendiculaire à a.o.a.o. tourné de 90° dans le 2e prismeLe 1er prisme ne sépare pas angulairement les fronts d’onde o et e (incidence normale et k perpend a.o.)2e prisme : incidence oblique

J est défini par le front d’onde o du 1er prisme et permet de construire le front d’onde e du 2e prisme

K est défini par le front d’onde e du 1er prisme et permet de construire le front d’onde o du 2e prisme

Extraction de 2 faisceaux polarisés à 90° et séparés angulairement

Biréfringence

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• Polariseurs biréfringentsPrisme de Glan-Taylor et Glan-Thomson (calcite)– Incidence normale et a.o. perpend à k (pas de déviation)– Interface oblique entre les 2 éléments– ne < no (1.486 < 1.658) – Réflexion totale à l’interface pour o– Interface Glan-Taylor : air (angles limites: o 37° et e 42.3°) – Interface Glan-Thomson : baume du Canada n=1.55 (angles limites o 69°)

Biréfringence

002a pola et birefringence

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