1. H έννοια του ηλεκτρικού πεδίου Aπό πολλά πειράµατα είναι βεβαιωµένο ότι σε κάθε χώρο, όπου υπάρχουν ηλεκ τρισµένα σώµατα, εκδηλώνονται ηλεκτρικής φύσεως δυνάµεις πάνω σε κάθε σωµατίδιο που φέρει ηλεκτρικό φορτιο, όταν αυτό βρεθεί µέσα στον θεωρούµε νο χώρο και µάλιστα οι δυνάµεις αυτές υπάρχουν είτε το σωµατίδιο βρίσκεται σε κατάσταση κίνησης είτε ακινητεί. Tο γεγονός αυτό δηλώνει ότι, ο χώρος µέσα στον οποίο υπάρχουν ηλεκτρισµένα σώµατα αποτελεί πεδίο* δυνάµεων, οι οποίες πηγάζουν από τα ηλεκτρικά φορτία των σωµάτων και ότι αποδέκτης των δυνάµεων αυτών είναι το ηλεκτρικό φορτίο. Kάθε χώρος, που είναι εφοδιασµένος µε την ιδιότητα να εξασκεί ηλεκτρικής φύσε ως δύναµη, πάνω σε ηλεκτρισµένο σωµατίδιο, όταν αυτό βρεθεί µέσα στο χώρο, ονοµάζεται ηλεκτρικό πεδίο. Tα ηλεκτρισµένα σώµατα που δηµιουργούν το πέδιο αποτελούν τις “πηγές” του, ενώ κάθε ηλεκτρισµένο σωµατίδιο που δέχεται την επίδραση του πεδίου αποτελεί “υπόθεµα” αυτού. Mε την εισαγωγή της έννοιας του ηλεκτρικού πε δίου, η εξ’ αποστάσεως αµοιβαία επίδραση δύο ηλεκτρισµένων σωµάτων µπορεί να θεωρηθεί ότι, πραγµατοποιείται διαµέσου των ηλεκτρικών πεδίων που δηµι ουργούν γύρω τους τα δύο σώµατα, δηλαδή το ηλεκτρικό πεδίο του ενός σώµα τος αποτελεί τον φορέα µεταβίβασης της ηλεκτρικής δύναµης στο άλλο σώµα. Tα ηλεκτρικά πεδία διακρίνονται σε ηλεκτροστατικά και σε χρονικώς µεταβαλ λόµενα ηλεκτρικά πεδία. Ένα ηλεκτρικό πεδίο, εξεταζόµενο από ένα σύστηµα αναφοράς, θα θεωρείται ηλεκτροστατικό πεδίο στο σύστηµα αυτό, εάν οι πηγές που το δηµιουργούν είναι ακίνητες ως προς το σύστηµα. Aντίθετα, αν οι πηγές του πεδίου κινούνται ως προς το θεωρούµενο σύστηµα, τότε το ηλεκτρι κό πεδίο χαρακτηρίζεται ως χρονικά µεταβαλλόµενο στο σύστηµα αυτό. Aπό τους παραπάνω ορισµούς γίνεται φανερό, ότι οι έννοιες ηλεκτροστατικό και χρονικά µεταβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο είναι συσχετισµένες µε την ύπαρξη ενός συστήµατος αναφοράς, ως προς το οποίο εξετάζεται το ηλεκτρικό πεδίο. Έτσι ένα ηλεκτρικό πεδίο που είναι ηλεκτροστατικό για ένα σύστηµα αναφο ράς, ενδέχεται να είναι χρονικά µεταβαλλόµενο για ένα άλλο σύστηµα. 2. Ένταση ηλεκτροστατικού πεδίου H περιγραφή της ηλεκτρικής δύναµης που εκδηλώνεται πάνω σ’ ένα ηλεκτρι σµένο σωµατίδιο, όταν αυτό φέρεται σε οποιοδήποτε σηµείο ηλεκτροστατικού ------------------------------- * Oρίζουµε στη Φυσική ως πεδίο δυνάµεων ή δυναµικό πεδίο, το χώρο σε κάθε σηµείο του οποίου µπορούµε να αντιστοιχήσουµε µια δύναµη και συγκεκριµένα εκείνη που εκδηλώνεται πάνω στο κατάλληλο “υπόθεµα” του πεδίου, όταν αυτό φέρεται στο θεωρούµενο σηµείο.

πεδίου, διευκολύνεται µε την καθιέρωση ενός φυσικού µεγέθους, που ονοµά ζεται ένταση του ηλεκτροστατικού πεδίου, βασίζεται δε στην ακόλουθη πειρα µατική διαπίστωση. Eάν σ’ ένα σηµείο ηλεκτροστατικού πεδίου, στο οποίο δεν υπάρχει πηγή, φέρουµε διαδοχικά τα στοιχειώδη* ηλεκτρικά φορτία q1, q2,...qn,

αυτά θα δεχθούν από το πεδίο αντίστοιχες ηλεκτρικές δυνάµεις

�

! F

1,

�

! F

2,...

�

! F

n, οι

οποίες είναι διαφορετικές µεταξύ τους. Aν όµως θεωρήσουµε τα πηλίκα

�

! F 1 /q1,

�

! F 2 /q2, …

�

! F n /qn θα διαπιστώσουµε ότι, αυτά είναι µεταξύ τους ίσα, γεγονός που

µας επιτρέπει να διατυπώσουµε την ακόλουθη πρόταση: Tο πηλίκο της ηλεκτρικής δύναµης

�

! F που δέχεται ένα σωµατίδιο µε στοιχειώδες

ηλεκτρικό φορτίο q, όταν τοποθετηθεί σε σηµείο ηλεκτροστατικού πεδίου, προς το φορτίο q, είναι ανεξάρτητο του φορτίου και εξαρτάται µόνο από τη θέση του σηµείου µέσα στο πεδίο.

Σχήµα 1 Tο πηλίκο

�

! F /q, το οποίο αποτελεί διανυσµατικό φυσικό µέγεθος που χαρακτη

ρίζει το θεωρούµενο σηµείο του ηλεκτροστατικού πεδίου, ορίζεται ως ένταση του πεδίου στο σηµείο αυτό και συµβολίζεται µε

�

! E . δηλαδή ισχύει:

�

! E =! F /q

Aπό τον παραπάνω ορισµό προκύπτουν τα εξής: i) Eάν σε σηµείο ηλεκτροστατικού πεδίου όπου η ένταση του είναι

�

! E , φέρουµε

το στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο q, αυτό θα δεχθεί από το πεδίο ηλεκτρική δύναµη

�

! F , η οποία θα είναι οµόρροπη της

�

! E , εάν το q είναι θετικό ή αντίρροπη

της

�

! E , εάν το q είναι αρνητικό.

ii) Tο µέτρο της ηλεκτρικής δύναµης

�

! F , που δέχεται στοιχειώδες ηλεκτρικό

φορτίο q, φερόµενο σ’ ένα σηµείο ηλεκτροστατικού πεδίου και το µέτρο της έντασης

�

! E του πεδίου στο σηµείο αυτό, συνδέονται µέσω της σχέσεως:

----------------------- * Tα πειραµατικά ηλεκτρικά φορτία q1, q2,...qn πρέπει να είναι στοιχειώδη, δηλαδή να τείνουν στο µηδέν, ώστε τοποθετούµενα στο θεωρούµενο σηµείο του ηλεκτροστα τικού πεδίου να µη προκαλούν διαταραχή στην δοµή του πεδίου, δηλαδή να µην επηρεάζουν την υπάρχουσα κατανοµή των πηγών του ηλεκτροστατικού πεδίου στο χώρο.

�

F =qE !" q > 0

|q | E !" q < 0

#

$

%

iii) Kάθε σηµείο του ηλεκτροστατικού πεδίου χαρακτηρίζεται από την έντασή του, η οποία εν γένει είναι διαφορετική από σηµείο σε σηµείο, αλλά ανεξάρτη τη του χρόνου. Στην περίπτωση που η έντασή του ηλεκτροστατικού πεδίου είναι η ίδια σε όλα του τα σηµεία, τότε το πεδίο αυτό χαρακτηρίζεται ως οµογε νές, ενώ στην αντίθετη περίπτωση χαρακτηρίζεται ως ανοµοιογενές. 3. Δυναµικό ηλεκτροστατικού πεδίου H ποσοτική µελέτη της κίνησης ενός φορτισµένου σωµατιδίου µέσα σε ηλεκτ ροστατικό πεδίο διευκολύνεται σηµαντικά, µε την χρησιµοποίηση της έννοιας του δυναµικού, η οποία χαρακτηρίζει κάθε σηµείο του πεδίου. H θεµελίωση της έννοιας του δυναµικού βασίζεται σε µια πολύ χαρακτηριστική ιδιότητα του ηλεκτροστατικού πεδίου, η οποία έχει σχέση µε το έργο της ηλεκτρικής δύνα µης που δέχεται ένα ηλεκτρικό υπόθεµα, όταν αυτό µετατοπίζεται µέσα στο πεδίο. H ιδιότητα αυτή εκφράζεται µε την ακόλουθη πρόταση: Όταν φορτισµένο σωµατίδιο µετακινείται ανάµεσα σε δύο σηµεία A και B ηλεκτροστατικού πεδίου, το έργο της ηλεκτρικής δύναµης που δέχεται από το πεδίο είναι ανεξάρτητο της µορφής της τροχιάς που διαγράφει και εξαρτάται µόνο από τις θέσεις των σηµείων A και B µέσα στο πεδίο. Aς δεχθούµε τώρα ότι ένα φορτισµένο σωµατίδιο, που φέρει ηλεκτρικό φορτίο q, µετατοπίζεται* από ένα σηµείο A ηλεκτροστατικού πεδίου µέχρις ενός σηµεί ου που βρίσκεται πολύ µακρυά από τις πηγές του πεδίου, το οποίο συµβατικά θα ονοµάζουµε άπειρο. Tότε το έργο WA ! " της ηλεκτρικής δύναµης που δέχε

Σχήµα 2 ται το σωµατίδιο θα έχει µία µοναδική τιµή, η οποία είναι ανεξάρτητη της µορφής της τροχιάς που διέγραψε, εξαρτάται δε η τιµή αυτή µόνο από τη θέση του σηµείου A και από το ηλεκτρικό φορτίο q του σωµατιδίου. Aς υποθέσουµε ότι, µε αφετηρία το σηµείο A του ηλεκτροστατικού πεδίου µετατοπίζονται προς ------------------------------------- * H µετατόπιση του σωµατιδίου δεν οφείλεται µόνο στην επίδραση της ηλεκτρικής δύναµης, αλλά είναι πολύ πιθανό να πραγµατοποιείται και µε την επίδραση άλλων δυνάµεων που δεν έχουν σχέση µε το ηλεκτροστατικό πεδίο και τις οποίες δεν εξε τάζουµε, διότι µας ενδιαφέρει µόνο η δράση του πεδίου πάνω στο σωµατίδιο.

το άπειρο τα φορτισµένα σωµατίδια, που φέρουν ηλεκτρικά φορτία q1, q2...qn και ότι τα αντίστοιχα έργα των ηλεκτρικών δυνάµεων που δέχονται είναι W1, W2,...Wn. Eάν σχηµατίσουµε τα πηλίκα W1/q1, W2/q2,...Wn/qn θα διαπιστώσουµε ότι αυτά είναι ίσα µεταξύ τους, γεγονός που θεµελιώνει τον ισχυρισµό ότι το πηλίκο

�

WA!"/q χαρακτηρίζει αποκλειστικά το σηµείο A και είναι ανεξάρτητο

του ηλεκτρικού φορτίου του σωµατιδίου και της τροχιάς που ακολουθεί µετατοπιζόµενο από το A προς το άπειρο. Tο πηλίκο αυτό ορίζεται ως δυναµικό του σηµείου A του ηλεκτροστατικού πεδίου και συµβολίζεται µε VA, δηλαδή ισχύει:

�

VA = WA!"/q

Aπό όσα αναφέρθηκαν πιο πάνω προκύπτει ότι το δυναµικό είναι µονόµετρο φυσικό µέγεθος που για κάθε σηµείο του ηλεκτροστατικού πεδίου µπορεί να λάβει µία και µόνη τιµή, η οποία εξαρτάται από τη θέση του σηµείου µέσα στο πεδίο. Παρατήρηση: Eάν γνωρίζουµε το δυναµικό των σηµείων ηλεκτροστατικού πε δίου µπορούµε εύκολα να υπολογίσουµε το έργο

�

WA!"

της ηλεκτρικής δύ ναµης που δέχεται ηλεκτρικό υπόθεµα, όταν αυτό µετατοπίζεται από το τυχαίο σηµείο A του πεδίου προς το άπειρο. Tο έργο αυτό είναι ανεξάρτητο από τη µορ φή της τροχιάς που θα διαγράψει το υπόθεµα και υπολογίζεται από τη σχέση:

�

WA!"=VA q

όπου q το ηλεκτρικό φορτίο του υποθέµατος και VA το δυναµικό του A. 4. Διαφορά δυναµικού σε ηλεκτροστατικό πεδίο Θεωρούµε ότι µέσα σ’ ένα ηλεκτροστατικό πεδίο µετατοπίζεται φορτισµένο σωµατίδιο, από ένα σηµείο A προς ένα άλλο σηµείο B του πεδίου. Kατά την µε τακίνηση αυτή η ηλεκτρική δύναµη

�

! F που δέχεται το σωµατίδιο παράγει έργο

�

WA,B, που είναι ανεξάρτητο της µορφής της τροχιάς του και εξαρτάται µόνο από τις θέσεις των σηµείων A και B µέσα στο πεδίο. Έτσι για το έργο αυτό µπο ρούµε να γράψουµε τη σχέση:

�

WA,B =WA!"+ W

"!B = WA!"- WB!"

(1) όπου WA→∞, WB→∞ τα έργα της ηλεκτρικής δύναµης, που αντιστοιχούν σε µετα τόπιση του φορτισµένου σωµατιδίου από τα σηµεία A και B προς το άπειρο αντιστοίχως. Όµως, εάν VA, VB είναι τα δυναµικά των σηµείων A και B και q το ηλεκτρικό φορτίο του σωµατιδίου, θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

WA!" = qVA

WB!" = qVB

#

$

%

!(-)

�

WA!"- WB!"

= q(VA - VB) (2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

�

WA,B = q(VA - VB) !

�

WA,B /q = VA - VB (3)

Aπό τη σχέση (3) προκύπτει ότι το πηλίκο WA,B/q είναι ανεξάρτητο του ηλεκ τρικού φορτίου q του σωµατιδίου και της µορφής της τροχιάς που αυτό ακολουθεί, καθώς µετατοπίζεται από το σηµείο A προς το σηµείο B, αφού τα

Σχήµα 3 δυναµικά VA και VB έχουν ορισµένες τιµές. Aυτό σηµαίνει ότι, το πηλίκο WA,B/q χαρακτηρίζει το διατεταγµένο ζευγάρι (A,B) των σηµείων A και B και εξαρτάται από τις θέσεις τους µέσα στο ηλεκτροστατικό πεδίο. Tο πηλίκο αυτό ορίζεται ως διαφορά δυναµικού ή ηλεκτρική τάση ανάµεσα στα σηµεία A και B και συµβολίζεται µε VA, B, δηλαδή εξ’ ορισµού ισχύει η σχέση:

�

VA,B = WA,B /q (4) Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουµε τη σχέση VA,B=VA-VB, η οποία δικαιολο γεί την ονοµασία του πηλίκου WA,B/q ως διαφορά δυναµικού ανάµεσα στα σηµεία A και B. Aπό όσα αναφέρθηκαν πιό πάνω γίνεται σαφές ότι, το έργο WA,B είναι εύκολο να υπολογιστεί µε βάση τα δυναµικά VA και VB, µέσω της σχέσεως:

�

WA,B = q(VA - VB) (5) H διερεύνηση της σχέσεως (5) οδηγεί σε χρήσιµα συµπεράσµατα σχετικά µε τον τρόπο, που το ηλεκτροστατικό πεδίο επηρεάζει την κίνηση του φορτισµένου σωµατιδίου από το σηµείο A προς το σηµείο B. Συγκεκριµένα έχουµε να παρα τηρήσουµε τα εξής: i) Eάν το σωµατίδιο φέρει θετικό φορτίο (q>0) και µετακινείται από σηµείο υψηλού προς σηµείο χαµηλού δυναµικού (VA>VB) τότε προκύπτει WA,B >0, που σηµαίνει ότι το ηλεκτροστατικό πεδίο διευκολύνει την µετατόπιση θετικά φορτισµένων σωµατιδίων από σηµεία υψηλού προς σηµεία χαµηλού δυναµικού προσφέροντας ενέργεια σ’ αυτά, µέσω του έργου της ηλεκτρικής δύναµης. Tο ίδιο ακριβώς συµβαίνει, όταν ένα αρνητικά φορτισµένο σωµατίδιο µετατοπίζε ται από σηµεία χαµηλού προς σηµεία υψηλού δυναµικού. ii) Eάν το φορτισµένο σωµατίδιο φέρει αρνητικό φορτίο (q<0) και µετακινείται από σηµείο υψηλού προς σηµείο χαµηλού δυναµικού (VA>VB), τότε προκύπτει WA,B<0, που σηµαίνει ότι το ηλεκτροστατικό πεδίο εµποδίζει την µετατόπιση αρνητικά φορτισµένων σωµατιδίων από σηµεία υψηλού προς σηµεία χαµηλού δυναµικού, αφαιρώντας ενέργεια από αυτά, µέσω του έργου της ηλεκτρικής

δύναµης. Tο ίδιο ακριβώς συµβαίνει, όταν ένα θετικά φορτισµένο σωµατίδιο µετατοπίζεται από σηµεία χαµηλού προς σηµεία υψηλού δυναµικού. Aπό τις δύο αυτές παρατηρήσεις προκύπτει ότι στη σχέση WA,B=q(VA-VB) τα πρόσηµα των ποσοτήτων q και VA-VB καθορίζουν το πρόσηµο του έργου WA,B, το οποίο µπορεί να είναι θετικό, αρνητικό ή µηδέν. 5. Δυναµικές γραµµές ηλεκτροστατικού πεδίου Ένα ηλεκτροστατικό πεδίο αισθητοποιείται γεωµετρικά µε τη βοήθεια των δυναµικών του γραµµών. Λέγοντας δυναµική γραµµή ηλεκτροστατικού πεδί ου, εξ’ ορισµού εννοούµε κάθε νοητή γραµµή του πεδίου, σε οποιδήποτε σηµείο της οποίας η ένταση του

�

! E εφάπτεται της γραµµής στο σηµείο αυτό. H φορά

της

�

! E θεωρείται ως θετική φορά της ηλεκτρικής γραµµής σε κάθε σηµείο της.

Για τη σχεδίαση των ηλεκτρικών δυναµικών γραµµών ενός ηλεκτροστατικού πεδίου, έχει καθιερωθεί η εξής συµφωνία. Oι ηλεκτρικές δυναµικές γραµµές σχεδιάζονται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε, αν σ’ ένα τυχαίο σηµείο του πεδίου τοπο θετηθεί η µονάδα της επιφάνειας, κάθετα προς το διάνυσµα της αντίστοιχης

Σχήµα 4

έντασης

�

! E του πεδίου, ο αριθµός των γραµµών που διέρχονται µέσα από τη µο

νάδα της επιφάνειας, να είναι ανάλογος προς το µέτρο της έντασης

�

! E . Mε βάση

τη συµφωνία αυτή, θα πρέπει σε σηµεία όπου το πεδίο είναι ισχυρό (µεγάλη ένταση) οι δυναµικές γραµµές να παρουσιάζουν πύκνωση, ενώ σε σηµεία µικρής έντασης οι δυναµικές γραµµές πρέπει να παρουσιάζουν αραίωση. Oι δυναµικές γραµµές ενός ηλεκτροστατικού πεδίου, δεν µεταβάλλουν µορφή µε το χρόνο και επί πλέον είναι ανοιχτές, δηλαδή έχουν συγκεκριµένη αρχή και τέλος και µάλιστα οι γραµµές αυτές ξεκινούν από θετικές πηγές του πεδίου και καταλήγουν σε αρνητικές πηγές αυτού. Για τις δυναµικές γραµµές ηλεκ τροστατικού πεδίου ισχύουν οι εξής δύο ιδιότητες. i) Δύο δυναµικές γραµµές ηλεκτροστατικού πεδίου δεν τέµνονται. Για την απόδειξη της ιδιότητας αυτής υποθέτουµε ότι, δύο δυναµικές γραµµές C1 και C2 του πεδίου τέµνονται στο σηµείο M (σχ. 5). Tότε στο σηµείο αυτό θα

αντιστοιχούν δύο εντάσεις

�

! E

1 και

�

! E

2 τα διανύσµατα των οποίων θα εφάπτον

ται των δύο γραµµών στο σηµείο M. Aυτό όµως αποτελεί άτοπο, διότι σε κάθε σηµείο ηλεκτροστατικού πεδίου η έντασή του ορίζεται µονοσήµαντα, δηλαδή υπάρχει µόνο µία ένταση. ii) Kατά µήκος µιας ηλεκτρικής δυναµικής γραµµής και κατά τη θετική φορά αυ τής προκύπτει ελάττωση δυναµικού.

Για την απόδειξη της ιδιότητας αυτής θεωρούµε µια δυναµική γραµµή C του ηλεκτροστατικού πεδίου και υποθέτουµε ότι, ένα θετικά φορτισµένο σωµατίδιο αναγκάζεται να κινηθεί κατά µήκος της γραµµής αυτής από το σηµείο A προς το σηµείο B και ότι η φορά κίνησής του συµπίπτει µε τη θετική φορά της δυνα µικής γραµµής (σχ. 6). Tότε η ηλεκτρική δύναµη

�

! F που δέχεται το σωµατίδιο

θα παράγει θετικό έργο, ως διαρκώς οµόρροπη προς την εκάστοτε στοιχειώδη µετατόπιση του σωµατιδίου, δηλαδή θα ισχύει WA,B>0. Όµως για το έργο WA,B

ισχύει: WA,B=q(VA-VB)

Σχήµα 5 Σχήµα 6 όπου q το φορτίο του σωµατιδίου (q>0) και VA, VB τα δυναµικά των σηµείων A και B αντιστοίχως. Συνδυάζοντας τις δύο προηγούµενες σχέσεις, παίρνουµε τη σχέση:

q(VA-VB)>0 ! VA-VB>0 ! VA>VB η οποία εκφράζει την αποδεικτέα ιδιότητα. 6. Πτώση δυναµικού κατά µήκος δυναµικής γραµµής Στο προηγούµενο εδάφιο αποδείξαµε ότι, κατά µήκος µιας ηλεκτρικής δυνα µικής γραµµής ηλεκτροστατικού πεδίου προκύπτει κατά τη θετική της φορά µείωση (πτώση) δυναµικού. Για τον υπολογισµό της πτώσεως δυναµικού µε ταξύ δύο σηµείων A και B µιας ηλεκτρικής δυναµικής γραµµής C υποθέτουµε ότι, ένα θετικά φορτισµένο σωµατίδιο µετακινείται κατά µήκος της δυναµικής γραµµής από το σηµείο A µέχρι το σηµείο B αυτής (σχ. 7). Tότε για το αντίσ τοιχο έργο WA,B της ηλεκτρικής δύναµης

�

! F που δέχεται το σωµατίδιο, θα

ισχύει η σχέση: WA,B =q(VA-VB) ! VA-VB =WA,B/q (1) όπου q το ηλεκτρικό φορτίο του σωµατιδίου και VA-VB η πτώση δυναµικού ανάµεσα στα σηµεία A και B. Όµως το έργο WA,B υπολογίζεται ως άθροισµα

των στοιχειωδών έργων της ηλεκτρικής δύναµης

�

! F , τα οποία αντιστοιχούν

στις στοιχειώδεις µετατοπίσεις στις οποίες διαµερίζεται η ολική µετατόπιση του σωµατιδίου, δηλαδή ισχύει η σχέση:

WA,B=dW1+dW2+ . . . +dWn= dW!A

B

(2)

Όµως το στοιχειώδες έργο dW της

�

! F που αντιστοιχεί στην τυχαία στοιχειώδη

µετατόπιση

�

d! s του σωµατιδίου, υπολογίζεται από τη σχέση:

dW=Fdsσυν0=Eqds (3) όπου

�

! E η ένταση του ηλεκτροστατικού πεδίου στη θέση του στοιχείου

�

d! s . Συν

δυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε:

Σχήµα 7

WA,B = qEds!A

B

= q Eds!A

B

!

WA,B

q = Eds!

A

B

!(1)

VA - VB = Eds!

A

B

(4)

Παρατήρηση: Mπορούµε να γενικεύσουµε τη σχέση (4), αν επιθυµούµε να υπολογίσουµε τη διαφορά δυναµικού ανάµεσα σε δύο σηµεία A και B ενός ηλεκτροστατικού πεδίου ακολουθώντας µια οποιαδήποτε γραµµή που διέρχεται από τα σηµεία αυτά. Προς τούτο υποθέτουµε ότι, ένα φορτισµένο σωµατίδιο µε ηλεκτρικό φορτίο q µετατοπίζεται κατά µήκος της γραµµής αυτής από το σηµείο A προς το σηµείο B (σχ. 8). Eάν WA,B είναι το αντίστοιχο έργο της ηλεκ τρικής δύναµης που δέχεται το σωµατίδιο, θα ισχύει η σχέση:

VA - VB = WA,B/q = Fds!"#$%

A

B

/q = Eqds !"#$ /q%A

B

!

VA - VB = Eds !"#$%

A

B

! VA - VB = E.ds!A

B

(5)

Σχήµα 8

όπου φ η γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα της έντασης

�

! E πεδίου µε το αντί

στοιχο στοιχειώδες τµήµα

�

d! s της καµπύλης γραµµής, κατά µήκος της οποίας

γίνεται ο υπολογισµός της διαφοράς δυναµικού VA-VB, ενώ το σύµβολο (!

E .d! s )

παριστάνει το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων

�

! E και

�

d! s .

7. Aπλές µορφές ηλεκτροστατικών πεδίων α. Oµογενές ηλεκτρικό πεδίο Ένα ηλεκτροστατικό πεδίο ονοµάζεται οµογενές, όταν η ένταση του πεδίου είναι η ίδια σε όλα του τα σηµεία. Mε βάση τον ορισµό αυτό προκύπτει ότι, οι δυναµικές γραµµές ενός οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου είναι ευθείες γραµµές παράλληλες και ισαπέχουσες. Aς θεωρήσουµε τώρα δύο τυχαία σηµεία A και B του οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου και ας υποθέσουµε ότι, ένα θετικά φορτι σµένο σωµατίδιο µετατοπίζεται από το A προς το B διαγράφωντας την καµπύ λη τροχιά AMB. Tότε η διαφορά δυναµικού VA-VB ανάµεσα στα σηµεία A και B θα είναι:

VA-VB =WA,B/q (1) όπου q το ηλεκτρικό φορτίο του σωµατιδίου και WA,B το έργο της ηλεκτρικής δύναµης που αντιστοιχεί στη θεωρούµενη µετατόπιση AMB του σωµατιδίου. Όµως η ηλεκτρική δύναµη

�

! F είναι σταθερή, αφού το πεδίο είναι οµογενές, οπό

τε το έργο της υπολογίζεται από τη σχέση:

Σχήµα 9 WA,B =Fs=qEs (2)

όπου s η αλγεβρική τιµή της προβολής

�

! s του διανύσµατος

�

AB, πάνω στη διεύ θυνση των δυναµικών γραµµών του πεδίου. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε τη σχέση:

VA-VB =qEs/q=Es (3) Eάν η προβολή

�

! s είναι οµόρροπη της έντασης

�

! E , τότε s>0, ενώ όταν τα διανύσ

µατα

�

! s και

�

! E είναι αντίρροπα, τότε θα είναι s<0.

β. Hλεκτρικό πεδίο Coulomb ή ακτινικό πεδίο Θεωρούµε το σηµειακό ηλεκτρικό φορτίο Q, το οποίο είναι ακίνητο ως προς ένα σύστηµα αναφοράς. Tο ηλεκτρικό πεδίο που δηµιουργεί το Q, εξεταζόµενο από το θεωρούµενο σύστηµα αναφοράς είναι ένα ηλεκτροστατικό πεδίο, που ονοµά ζεται ηλεκτρικό πεδίο Coulomb. Για να υπολογίσουµε την ένταση του πεδίου

αυτού σ’ ένα οποιοδήποτε σηµείο M, που βρίσκεται σε απόσταση r από την πηγή Q του πεδίου, θεωρούµε στο σηµείο M ένα θετικό ηλεκτρικό υπόθεµα q και εξετάζουµε την ηλεκτρική δύναµη

�

! F που αυτό δέχεται από το πεδίο. H

δύναµη αυτή θα έχει φορέα την ευθεία που συνδέει το σηµείο M µε την πηγή Q, η φορά της θα είναι από το Q προς το M (σχ. 10), εάν Q>0, ή από το M προς το Q εάν Q<0 (σχ. 11), το δε µέτρο της θα δίνεται από το νόµο του Coulomb, δηλαδή από τη σχέση:

�

F = KC |Q|q /r2 (1)

Σχήµα 10 Σχήµα 11 όπου KC η σταθερά του νόµου του Coulobm. Όµως εξ’ ορισµού η ένταση

�

! E του

πεδίου στο σηµείο M είναι οµόρροπη της

�

! F , εφ’ όσον δεχθήκαµε q>0, το δε µέτ

ρο της είναι:

�

E = F/q !(1)

�

E = KC |Q|/r2 (2)

Eξάλλου, εάν V είναι το δυναµικό του σηµείου M, αποδεικνύεται ότι ισχύει η σχέση:

�

V = KC Q/r (3)

Aπό την (3) προκύπτει ότι, τα σηµεία του πεδίου που ισαπέχουν από την πηγή του Q έχουν το ίδιο δυναµικό, το οποίο µεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα µε την απόσταση r. Eξάλλου, επειδή σε κάθε σηµείο του πεδίου Coulomb η έντασή του έχει φορέα την ευθεία που συνδέει το σηµείο µε την πηγή Q του πεδίου, πρέπει οι δυναµικές του γραµµές να είναι ευθείες συγκλίνουσες προς το Q, αν Q<0 ή αποκλίνουσες εκ του Q, εάν Q>0 (σχ. 11 και 12), γεγονός που δικαι ολογεί την ονοµασία του πεδίου Coulomb και ως ακτινικού πεδίου. Παρατήρηση: Oι σχέσεις (2) και (3) που παρέχουν το µέτρο της έντασης και το δυναµικό αντιστοίχως σε απόσταση r από την πηγή Q του ηλεκτρικού πεδί ου Coulomb, έχουν νόηµα εφ’ όσον r≠0. Aυτό σηµαίνει ότι, η ένταση και το δυναµικό δεν ορίζονται πάνω στην πηγή του πεδίου, δηλαδή το σηµείο όπου βρίσκεται η πηγή του πεδίου αποτελεί ένα “ανώµαλο” σηµείο αυτού.

γ. Σύνθετο ηλεκτρικό πεδίο Coulomb Eάν πολλά σηµειακά ηλεκτρικά φορτία Q1, Q2,...Qn είναι ακίνητα ως προς ένα σύστηµα αναφοράς και βρίσκονται στο ίδιο υλικό µέσο, τότε δηµιουργούν ηλεκ τροστατικό πεδίο ως προς το σύστηµα αυτό, που ονοµάζεται σύνθετο ηλεκτρικό πεδίο Coulomb. Για να καθορίσουµε την ένταση του πεδίου αυτού σ’ ένα σηµείο M, που δεν ταυτίζεται µε καµιά πηγή του πεδίου, θεωρούµε στο σηµείο αυτό ένα ηλεκτρικό υπόθεµα µε φορτίο q. Tότε αυτό θα δέχεται από τις πηγές του πεδίου τις δυνάµεις Coulomb

�

! F

1,

�

! F

2,...

�

! F

n αντιστοίχως, των οποίων η συνιστα

µένη

�

! F !"

θα αποτελεί την ολική δράση του πεδίου επί του υποθέµατος q, όταν

αυτό βρίσκεται στο θεωρούµενο σηµείο M. Έτσι η ένταση

�

! E

!" του πεδίου στο

M θα είναι εξ’ ορισµού ίση µε το πηλίκο

�

! F !"

/q , δηλαδή θα ισχύει:

�

! E

!"=

! F !"

q=

! F 1 +

! F 2 + ... +

! F n

q=

! F 1

q+

! F 2

q+ ... +

! F n

q !

�

! E

!"=! E

1+! E

2+ ... +

! E

n (1)

όπου

�

! E

1,

�

! E

2,...

�

! E

n οι εντάσεις που δηµιουργούν στο σηµείο A οι πηγές Q1, Q2,..

Qn αντιστοίχως. H σχέση (1) µας επιτρέπει να διατυπώσουµε την ακόλουθη πρόταση: H ένταση σ’ ένα σηµείο σύνθετου ηλεκτρικού πεδίου Coulomb, το οποίο σηµείο δεν ταυτίζεται µε πηγή του πεδίου, είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα των εντάσεων που δηµιουργούν στο σηµείο αυτό οι πηγές του πεδίου. Eξάλλου για να καθορίσουµε το δυναµικό του πεδίου στο σηµείο M, θεωρούµε ότι το ηλεκτρικό υπόθεµα µετατοπίζεται από το σηµείο αυτό προς το άπειρο και συµβολίζουµε µε W1, W2,...Wn τα αντίστοιχα έργα των δυνάµεων

�

! F

1,

�

! F

2,…

�

! F

n.

Tότε το έργο Wολ της συνισταµένης των δυνάµεων αυτών θα είναι ίσο µε το αλγεβρικό αθροισµα των έργων W1,W2,...Wn, δηλαδή θα ισχύει η σχέση:

�

W!"

= W1+ W

2+ ... + W

n !

�

W!"

q=

W1

q+

W2

q+ ... +

Wn

q

Όµως το πηλίκο Wολ /q εκφράζει εξ’ ορισµού το δυναµικό Vολ του πεδίου στο σηµείο M, ενώ τα πηλίκα W1/q1, W2/q,...Wn/qn εκφράζουν τα δυναµικά V1, V2,... Vn που δηµιουργούν στο M οι πηγές Q1, Q2,...Qn αντιστοίχως του πεδίου. Έτσι θα έχουµε τη σχέση:

�

V!" = V1 + V2 + ... + Vn = KC (Q/r)1

n

# (2)

H σχέση (2) µας επιτρέπει να διατυπώσουµε την ακόλουθη πρόταση: Tο δυναµικό σ’ ένα σηµείο σύνθετου πεδίου Coulomb, που δεν ταυτίζεται µε καµιά πηγή του πεδίου, είναι ίσο µε το αλγεβρικό άθροισµα των δυναµικών, που δηµι ουργούν στο σηµείο αυτό οι πηγές του πεδίου.

Tα σχήµατα (12) και (13) απεικονίζουν τις δυναµικές γραµµές των ηλεκτροσ τατικών πεδίων, που δηµιουργούνται από δύο αντίθετα σηµειακά ηλεκτρικά φορτία. ή από δύο ίσα θετικά σηµειακά ηλεκτρικά φορτία αντιστοίχως.

Σχήµα 12 Σχήµα 13 8. Hλεκτρική δυναµική ενέργεια φορτισµένου σωµατιδίου Oρίζουµε ως ηλεκτρική δυναµική ενέργεια φορτισµένου σωµατιδίου, που βρίσ κεται σ' ένα τυχαίο σηµείο ηλεκτροστατικού πεδίου και τη συµβολίζουµε µε U, το γινόµενο του φορτίου q του σωµατιδίου επί το δυναµικό V του σηµείου, δηλαδή ισχύει: U=qV (1) Aς δούµε όµως τι ακριβώς εξυπηρετεί αυτός ο ορισµός. Προς τούτο υποθέτου µε ότι το φορτισµένο σωµατίδίο µετακινείται από ένα σηµείο A σ' ένα άλλο ση µείο B του πεδίου, δεχόµενο µόνο την επίδραση του πεδίου, δηλαδή η µοναδι κή δύναµη που ενεργεί πάνω σ’ αυτό είναι η ηλεκτρική δύναµη. Eφαρµόζον τας για το σωµατίδιο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου, παίρνουµε τη σχέ ση:

KB - KA = WA,B ! KB - KA = q VA - VB = qVA - qVB !

KB - KA = UA - UB ! KA + UA = KB + UB (2) H σχέση (2) εκφράζει ότι, κατά την κίνηση του φορτισµένου σωµατιδίου µέσα στο ηλεκτροστατικό πεδίο, υπό την επίδραση µόνο του πεδίου, το άθροισµα της κινητικής του ενέργειας και της ηλεκτρικής του δυναµικής ενέργειας παραµέ νει σταθερό. Δηλαδή µε την εισαγωγή της έννοιας της ηλεκτρικής δυναµικής ενέργειας οδηγηθήκαµε σ’ ένα θεώρηµα διατήρησης του αθροίσµατος K+U, το οποίο µας διευκολύνει σηµαντικά, όταν εξετάζουµε από ενεργειακή άποψη την κίνηση φορτισµένου σωµατιδίου µέσα σε ηλεκτροστατικό πεδίο. Eάν το άθροισ µα K+U ονοµαστεί µηχανική ενέργεια του σωµατιδίου, τότε µπορούµε να διατυπώσουµε την ακόλουθη πρόταση:

Όταν ένα ηλεκτρισµένο σωµατίδιο µετατοπίζεται σε ηλεκτροστατικό πεδίο, υπό την επίδραση µόνο της ηλεκτρικής δύναµης, η µηχανική του ενέργεια διατηρείται σταθερή. Παρατήρηση: Aπό τον ορισµό της ηλεκτρικής δυναµικής ενέργειας ηλεκτρισ µένου σωµατιδίου συµπεραίνουµε ότι, αυτή ταυτίζεται µε το έργο της ηλεκτρι

κής δύναµης κατά τη µεταφορά του σωµατιδίου από τη θέση που βρίσκεται µέχρι το άπειρο. Aς δούµε µε βάση αυτή την ιδέα, ποιό είναι το έργο των ηλεκ τρικών δυνάµεων όταν έχουµε πρόθεση να καταργήσουµε το ηλεκτροστατικό πεδίο, µεταφέροντας τις πηγές του απο τις θέσεις που βρίσκονται στο άπειρο. Θα παραδεχτούµε για ευκολία των υπολογισµών µας, ότι οι πηγές του πεδίου είναι τρία σηµειακά ηλεκτρικά φορτία Q1, Q2, Q3 που είναι ακίνητα στα σηµεία A1, A2, A3 αντιστοίχως και ότι µεταφέρεται πρώτα το Q1 στο άπειρο, ύστερα το Q2 και τέλος το Q3. Kατά τη µεταφορά του Q1 από το A1 στο άπειρο, αυτό δέχεται ηλεκτρικές δυνάµεις από τα άλλα δύο φορτία, των οποίων το έργο W1 είναι:

W1 = Q1V1 (1)

Σχήµα 14 όπου V1 το δυναµικό που δηµιουργούν στη θέση A1 τα φορτία Q2 και Q3. Όµως για το δυναµικό αυτό ισχύει η σχέση:

V1 =

KCQ2

r1,2

+KCQ3

r1,3

(2)

όπου r1,2 και r1,3 οι αποστάσεις του A1 από τα A2 και A3 αντιστοίχως. Συνδυ άζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

W1 =

KCQ1Q2

r1,2

+KCQ1Q3

r1,3

(3)

Eξάλλου κατά τη µεταφορά του Q2 από τη θέση του A2 προς το άπειρο, το έργο W2 της ηλεκτρικής δύναµης που δέχεται από το φορτίο Q3 είναι:

W2 = Q2V2 (4) όπου V2 το δυναµικό που δηµιουργεί στο A2 το φορτίο Q3. Όµως για το δυναµι κό αυτό ισχύει η σχέση:

W2 =

KCQ3

r2,3

(5)

όπου r2,3 η απόσταση του A2 από το A3. Eίναι προφανές ότι, κατά τη µεταφορά

του Q3 από τη θέση του A3 στο άπειρο δεν υπάρχει ηλεκτρική δύναµη και εποµένως το αντίστοιχο έργο της είναι µηδέν. Aθροίζοντας τα έργα W1 και W2 παίρνουµε το ολικό έργο Wολ των ηλεκτρικών δυνάµεων, όταν καταργείται το ηλεκτροστατικό πεδίο των τριών φορτίων, οπότε θα έχουµε τη σχέση:

W

!"= W1 + W2 =

KCQ1Q2

r1,2

+KCQ1Q3

r1,3

+KCQ2Q3

r2,3

(6)

Το έργο Wολ εκφράζει εξ ορισµού την ηλεκτρική δυναµική ενέργεια Uολ του συστήµατος των τριών φορτίων, όταν αυτά είναι ακίνητα στα σηµεία A1, A2, A3, δηλαδή ισχύει η σχέση:

U

!"= W

!"=

KCQ1Q2

r1,2

+KCQ1Q3

r1,3

+KCQ2Q3

r2,3

(7)

Mε ανάλογο τρόπο υπολογίζεται η ηλεκτρική δυναµική ενέργεια συστήµατος περισσοτέρων από τρία ακινήτων σηµειακών ηλεκτρικών φορτίων. Παρατήρηση: Για τη δηµιουργία του ηλεκτροστατικού πεδίου των τριών φορτίων πρέπει να εξασκηθούν σ' αυτά κατάλληλες εξωτερικές δυνάµεις, που τα µεταφέρουν από το άπειρο στις θέσεις A1, A2, A3. Σύµφωνα µε το θεώρηµα κι νητικής ενέργειας-έργου οι δυνάµεις αυτές παράγουν ελάχιστο συνολικό έργο -Wολ, το οποίο αποθηκεύεται στο χώρο του πεδίου µε τη µορφή ηλεκτρι κής δυναµικής ενέργειας. 9. Kίνηση φορτισµένου σωµατιδίου σε οµογενές ηλεκτρικό πεδίο Aς υποθέσουµε ότι ένα αβαρές ηλεκτρισµένο σωµατίδιο, λ.χ. ένα πρωτόνιο, εκτοξεύεται στο σηµείο O οµογενούς* ηλεκτρικού πεδίου έντασης

�

! E , µε ταχύ

τητα

�

! v

0, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος προς τις δυναµικές γραµµές του πεδίου (σχ. 15). H µοναδική δύναµη που ενεργεί στο πρωτόνιο είναι η ηλεκτ ρική δύναµη

�

! F από το πεδίο, η οποία είναι σταθερή και οµόρροπη προς την

ένταση

�

! E , αφού το πρωτόνιο φέρει θετικό φορτίο, το δε µέτρο της είναι F=Eqp,

όπου qp το ηλεκτρικό φορτίο του πρωτονίου. Eπειδή η ηλεκτρική δύναµη δεν είναι συγραµµική της αρχικής ταχύτητας

�

! v

0 του πρωτονίου, η κίνησή του θα

είναι καµπυλόγραµµη και µάλιστα η τροχιά του θα βρίσκεται στο επίπεδο που καθορίζουν τα διανύσµατα

�

! v

0 και

�

! F , δηλαδή το επίπεδο κίνησης του πρωτο

νίου θα είναι παράλληλο προς τις δυναµικές γραµµές του οµογενούς ηλεκ τρικού πεδίου. Θεωρούµε επί του επιπέδου αυτού το ορθογώνιο σύστηµα αξό νων Oxy και λαµβάνουµε ως αρχή µέτρησης του χρόνου τη στιγµή που το πρωτόνιο εκτοξεύεται στο σηµείο O. Tο πρωτόνιο κατά τη διεύθυνση του άξονα Ox δεν δέχεται καµιά δύναµη, που σηµαίνει ότι η επιτάχυνση του κατά τη διεύ θυνση αυτή είναι µηδενική, δηλαδή η κίνηση του πρωτονίου κατά διεύθυνση ------------------------ * Tο ηλεκτρικό αυτό πεδίο δηµιουργείται στο χώρο µεταξύ δύο ακριβώς όµοιων µεταλλικών πλακών, που φέρουν αντίθετα ηλεκτρικά φορτία και βρίσκονται σε µικρή απόσταση µεταξύ τους.

Ox είναι οµαλή, µε ταχύτητα

�

! v

x, ίση προς την ταχύτητα

�

! v

0. Έτσι η µετατόπιση

x του πρωτονίου σε χρόνο t κατά τη διεύθυνση του άξονα Ox θα είναι: x=vxt=v0t (1) Eξάλλου, κατά τη διεύθυνση του άξονα Oy το πρωτόνιο δέχεται µόνο την ηλεκ τρική δύναµη

�

! F η οποία είναι σταθερή, οπότε η επιτάχυνση του

�

! a

y κατά τον

Σχήµα 15 άξονα Oy θα είναι σταθερή, το δε µέτρο της σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Nεύτωνα δίνεται από τη σχέση:

�

ay =F

mp

=Eqp

mp

(2)

όπου mp η µάζα του πρωτονίου. Έτσι η κίνηση του πρωτονίου κατά τη διεύ θυνση του άξονα Oy θα είναι οµαλά επιταχυνόµενη και το µέτρο της αντίστοι χης ταχύτητας

�

! v

y που έχει αποκτήσει σε χρόνο t θα είναι:

�

vy= a

yt !

(2)

�

vy=Eqpt

mp

(3)

Eξάλλου η µετατόπιση y του πρωτονίου κατά τον άξονα Oy σε χρόνο t δίνεται από τη σχέση:

�

y =ayt

2

2 !

(2)

�

y =Eqpt

2

2mp

(4)

Oι σχέσεις (1) και (4) αποτελούν τις εξισώσεις της κίνησης του πρωτονίου, ως προς το ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Oxy και παρέχουν τις συντεταγµένες του x και y στο σύστηµα αυτό, σε συνάρτηση µε το χρόνο κίνησής του t. H απαλοι φή του χρόνου t µεταξύ των δύο αυτών εξισώσεων οδηγεί στην εξίσωση της τροχιάς του πρωτονίου, η οποία έχει τη µορφή :

�

y =Eqpx

2

2mpv0

2 (5)

H γραφική παράσταση της σχέσεως (5) είναι µια παραβολή που στρέφει το κυρτό της µέρος προς τα πάνω (σχ. 15) και αποτελεί τον γεωµετρικό τόπο των διαδοχικών θέσεων του πρωτονίου κατά την κίνησή του µέσα στο οµογενές ηλεκτρικό πεδίο. Παρατήρηση: Eάν το αβαρές φορτισµένο σωµατίδιο εκτοξεύεται µέσα σε ανο µοιογενές ηλεκτροστατικό πεδίο, τότε η ηλεκτρική δύναµη που δέχεται από το πεδίο είναι µεταβλητή και η µελέτη της κίνησής του είναι εξαιρετικά πολύπ λοκη. Mπορούµε στην περίπτωση αυτή να υπολογίσουµε κάποια στοιχεία της κίνησης, εφαρµόζοντας γενικούς νόµους όπως λ.χ. το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, αφού το πεδίο είναι ηλεκτροστατικό και µοναδική δύνα µη επί του σωµατιδίου είναι η ηλεκτρική δύναµη, το δεύτερο νόµο του Nεύτω να, το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου κ.λ.π..

10. Ένταση µαγνητικού πεδίου Aπό πολλά πειράµατα έχει θεµελιωθεί η αντίληψη ότι σε κάθε χώρο όπου υπάρ χουν ηλεκτρικά ρεύµατα, εκδηλώνονται δυνάµεις ηλεκτροµαγνητικής φύσεως πάνω σε κινούµενα µόνο ηλεκτρισµένα σωµατίδια, δηλαδή ο χώρος στον οποίο υπάρχουν ηλεκτρικά ρεύµατα αποτελεί πεδίο δυνάµεων, µε κατάλληλο υπόθε µα το κινούµενο ηλεκτρικό φορτίο. Kάθε χώρος που είναι εφοδιασµένος µε την ιδιότητα να εξασκεί ηλεκτροµαγνη τική δύναµη σε κινούµενο µόνο ηλεκτρικό φορτίο, ονοµάζεται µαγνητικό πεδίο, η δε εκδηλούµενη δύνάµη ονοµάζεται δύνάµη Lοrentz. Tα ηλεκτρικά ρεύµατα που δηµιουργούν το µαγνητικό πεδίο αποτελούν τις πηγές του πεδίου, ενώ κάθε κινούµενο ηλεκτρικό φορτίο που δέχεται την επίδραση του πεδίου αποτελεί υπόθεµα για το πεδίο. Tα µαγνητικά πεδία των µονίµων µαγνητών οφείλονται και αυτά σε ρεύµατα, τα οποία όµως είναι µικροσκοπικού χαρακτήρα και απορρέουν από την περιφορά των ηλεκτρονίων γύρω από τους πυρήνες των ατόµων των µονίµων µαγνητών. Tα µικροσκοπικά αυτά κυκλικά ρεύµατα (ρεύµατα µαγνήτισης) έχουν όλα τον ίδιο* προσανατο λισµό στο χώρο, µε αποτέλεσµα τα µαγνητικά τους πεδία να αλληλοενισχύον ται σε κάθε σηµείο του χώρου και µε τον τρόπο αυτό εκδηλώνεται µακροσκο πικό µαγνητικό πεδίο. Ένα µαγνητικό πεδίο περιγράφεται σε κάθε σηµείο του µε ένα διανυσµατικό µέγεθος που είναι χαρακτηρηστικό του σηµείου και ανεξάρτητο από την παρουσία υποθέµατος στο σηµείο αυτό, ονοµάζεται δε ένταση του πεδίου στο θεωρούµενο σηµείο. O ορισµός της έντασης ενός µαγνη τικού πεδίου στηρίζεται στις ιδιότητες που παρουσιάζει η ηλεκτροµαγνητική ------------------------- * Στα µη µαγνητισµένα υλικά τα µικροσκοπικά κυκλικά ρεύµατα µαγνήτισης έχουν τυχαίο προσανατολισµό και έτσι τα µαγνητικά τους πεδία αλληλοεξουδετε ρώνονται σε κάθε σηµείο του χώρου, µε αποτέλεσµα να µην εκδηλώνεται µαγνητικό πεδίο γύρω από τα σώµατα αυτά.

δύναµη Laplace που δέχεται ένα στοιχειώδες* ρεύµα, όταν βρεθεί σ’ ένα ση µείο του µαγνητικού πεδίου. Oι ιδιότητες αυτές είναι οι εξής: i) Σε κάθε σηµείο µαγνητικού πεδίου υπάρχει µία µοναδική διεύθυνση, κατα την οποία προσανατολιζόµενο στοιχειώδες ρεύµα δεν δέχεται δύναµη Laplace. H µοναδική αυτή διεύθυνση (ε) ονοµάζεται διεύθυνση του µαγνητικού πεδίου στο θεωρούµενο σηµείο. ii) H στοιχειώδης δύναµη Laplace

�

d! F που δέχεται στοιχειώδες ρεύµα, όταν

αυτό βρεθεί στο θεωρούµενο σηµείο έχοντας διεύθυνση διάφορη της (ε), έχει φορέα κάθετο στο επίπεδο που καθορίζει η διεύθυνση (ε) και η διεύθυνση του στοιχειώδους ρεύµατος.

Σχήµα 16 iii) Eάν dL είναι το µήκος του στοιχειώδους ρεύµατος, I η έντασή του και φ η γωνία που σχηµατίζει η διεύθυνση του ρεύµατος µε τη διεύθυνση του µαγνη τικού πεδίου στο σηµείο που βρίσκεται το στοιχειώδες ρεύµα, τότε το πηλίκο dF/IdLηµφ είναι ανεξάρτητο από τα στοιχεία dL και I του ρεύµατος και από τον προσανατολισµό του σε σχέση µε τη διεύθυνση (ε) του µαγνητικού πεδίου, δηλαδή το πηλίκο αυτό αναφέρεται µόνο στο σηµείο του πεδίου, όπου έχει τοποθετηθεί το στοιχειώδες ρεύµα. Mε βάση τις παραπάνω ιδιότητες ορίζεται για κάθε σηµείο µαγνητικού πεδίου ένα διανυσµατικό φυσικό µέγεθος

!

B , που ονοµάζεται ένταση του πεδίου, ως εξής: • O φορέας της έντασης είναι η διεύθυνση (ε) του µαγνητικού πεδίου στο θεωρούµενο σηµείο του πεδίου. •• H φορά της έντασης ανταποκρίνεται στον λεγόµενο κανόνα των τριών δακ τύλων του δεξιού χεριού. O κανόνας αυτός εκφράζει την εξής συµφωνία. Eάν ο αντίχειρας του δεξιού χεριού προσανατολιστεί κατά τη συµβατική φορά του στοιχειώδους ρεύµατος, ο δείκτης κατά τη φορά της έντασης

!

B , τότε ο µεσαί ος δάκτυλος πρέπει να δείχνει τη φορά της δύναµης Laplace

�

d! F , όταν τεντω

θεί ώστε να γίνει κάθετος στο επίπεδο των δύο άλλων δακτύλων. (σχ. 16) ••• Tο µέτρο της έντασης είναι το σταθερό πηλίκο dF/IdLηµφ, δηλαδή ισχύει: ---------------------------------- * Στοιχειώδες ρεύµα ονοµάζεται εκείνο που αντιστοιχεί σ’ ένα πολύ µικρό µήκος dL (dL→ 0) ρευµατοφόρου αγωγού. Έτσι το στοιχειώδες ρεύµα µπορεί να θεωρηθεί ευθύγραµµο και επί πλέον αποτελεί “σηµειακό υπόθεµα” του µαγνητικού πεδίου, αφού σ’ αυτό αντιστοιχεί κίνηση ηλεκτρικών φορέων. (π.χ. ελεύθερων ηλεκτρονί ων) η δε ηλεκτροµαγνητική δύναµη που δέχεται από το µαγνητικό πεδίο ονοµάζε ται δύναµη Laplace για να διακρίνεται από τη δύναµη Lorentz που αντιστοιχεί δε κινούµενο ηλεκτρισµένο σωµατίδιο.

B = dF/IdL!µ" (1) Όταν γνωρίζουµε την ένταση του µαγνητικού πεδίου σε κάθε σηµείο του µπο ρούµε να καθορίσουµε τη δράση του πεδίου πάνω σ’ ένα οποιοδήποτε στοιχειώ δες ρεύµα, δηλαδή µπορούµε να προσδιορίσουµε τη δύναµη Laplace

�

d! F που δέ

χεται το ρεύµα από το πεδίο. Έτσι ο φορέας της

�

d! F θα είναι κάθετος στο επίπε

δο που ορίζει η διεύθυνση του ρεύµατος και η ένταση !

B του πεδίου στή θέση που βρίσκεται το ρεύµα, η φορά της θα ανταποκρίνεται στον κανόνα των τριών δακτύλων του δεξιού χεριού, το δε µέτρο της θα δίνεται από τη σχέση:

dF = BIdL!µ" (2) Παρατήρηση: Όταν το ρεύµα που δέχεται την επίδραση του µαγνητικού πεδί ου δεν είναι στοιχειώδες, τότε διαµερίζουµε αυτό σε στοιχειώδη ρεύµατα, µε µήκη dL1, dL2,... και υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα τις αντίστοιχες

στοιχειώδεις δυνάµεις Laplace

�

d! F

1,

�

d! F

2,…

�

d! F

n που δέχονται τα ρεύµατα αυτά.

H συνολική δύναµη Laplace

�

! F

L επί του ρεύµατος, θα είναι η συνισταµένη των

επιµέρους στοιχειωδών δυνάµεων, δηλαδή θα ισχύει:

�

! F L = d

! F 1 + d

! F 2 + ... + d

! F n = !(d

! F )

11. Δυναµικές γραµµές µαγνητικού πεδίου-Mαγνητική ροή Ένα µαγνητικό πεδίο αισθητοποιείται γεωµετρικά στο χώρο όπου εκτείνεται, µε τη βοήθεια των δυναµικών* του γραµµών. Λέγοντας δυναµική γραµµή µαγ νητικού πεδίου εννοούµε κάθε νοητή γραµµή του πεδίου, σε οποιοδήποτε ση µείο της οποίας το διάνυσµα της έντασης του πεδίου είναι εφαπτόµενο της γραµµής στο θεωρούµενο σηµείο. H µορφή των δυναµικών γραµµών εξαρτάται από τη φυσιογνωµία του µαγνητικού πεδίου, δηλαδή από τη γεωµετρική µορ φή των ρευµατοφόρων αγωγών που το δηµιουργούν καθώς και από τη σχετική τους θέση στο χώρο. Σε κάθε µαγνητικό πεδίο οι δυναµικές γραµµές είναι κλει

Σχήµα 17

στές καµπύλες, οι οποίες περιβάλλουν τα ρεύµατα που δηµιουργούν το πεδίο. Aν οι εντάσεις των ρευµάτων αυτών δεν µεταβάλλονται µε το χρόνο, τότε οι δυναµικές γραµµές έχουν σταθερή µορφή, ενώ όταν οι εντάσεις των ρευµάτων ---------------------------------- * H γεωµετρική απεικόνιση στο χώρο ενός µαγνητικού πεδίoυ, µέσω των δυναµι κών του γραµµών οφείλεται στον Bρετανό Φυσικό M. Faraday.

µεταβάλλονται χρονικά θα µεταβάλλεται και η µορφή των δυναµικών γραµ µών. Eπειδή σε κάθε σηµείο µαγνητικού πεδίου η έντασή του ορίζεται µονο σήµαντα, δηλαδή είναι µία και µοναδική, από κάθε σηµείο του διέρχεται µία µόνο δυναµική γραµµή, που σηµαίνει ότι, δύο δυναµικές γραµµές µαγνητικού πεδίου δεν τέµνονται. Eξάλλου η σχεδίαση των δυναµικών γραµµών ενός µαγ νητικού πεδίου, του οποίου είναι γνωστές οι πηγές γίνεται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε ν’ ανταποκρίνεται στην ακόλουθη σύµβαση: Aν σε κάθε σηµείο του µαγ νητικού πεδίου τοποθετηθεί η µονάδα της επιφάνειας κάθετα προς τη διεύ θυνση του πεδίου στο σηµείο αυτό, πρέπει ο αριθµός των δυναµικών γραµµών που διέρχονται από την επιφάνεια αυτή να είναι ανάλογος προς το µέτρο της έντασης του πεδίου στο θεωρούµε νο σηµείο. Έτσι σε σηµεία του πεδίου στα οποία η ένταση παρουσιάζει αυξηµένο µέτρο οι δυναµικές του γραµµές είναι πυκνά κατανεµηµένες, ενώ σε σηµεία όπου η ένταση παρουσιάζει µικρό µέτρο οι δυναµικές γραµµές εµφανίζονται αραιοµένες. Eάν σε µια περιοχή το µαγνη τικό πεδίο είναι οµογενές, τότε στην περιοχή αυτή οι δυναµικές γραµµές θα είναι ευθείες παράλληλες και ισαπέχουσες. Aκόµη πρέπει να τονίσουµε ότι, σε κάθε σηµείο µιας δυναµικής γραµµής η φορά της εξ’ ορισµού συµπίπτει µε τη φορά της έντασης του πεδίου στο σηµείο αυτό. Aς θεωρήσουµε τώρα µέσα σ’ ένα µαγνητικό πεδίο µια επιφάνεια (S), νοητή ή πραγµατική και τυχαίου σχήµατος, η οποία διασχίζεται από δυναµικές γραµµές. Λαµβάνοντας γύρω από το σηµείο M της επιφάνειας ένα στοιχειώδες τµήµα, εµβαδού dS, µπορούµε να το θεωρήσουµε µε µεγάλη προσέγγιση ως επίπεδο και επί πλέον µπορούµε να αντιστοιχήσουµε σ’ αυτό ένα διάνυσµα

�

d! S µε τα εξής στοιχεία:

H διεύθυνση του

�

d! S είναι κάθετη στο θεωρούµενο στοιχειώδες τµήµα, το µέτρο

του είναι ίσο µε το στοιχειώδες εµβαδόν dS η δε φορά του ορίζεται µε σύµβαση, ανάλογα µε τη γεωµετρική µορφή της επιφάνειας S. Συγκεκριµένα αν η επιφάνεια S είναι µια ανοικτή καµπύλη επιφάνεια η φορά του είναι προς το κυρτό µέρος της επιφάνειας, ενώ στην περίπτωση που η επιφάνεια είναι κλειστή τότε η φορά του διανύσµατος

�

d! S σε κάθε σηµείο της λαµβάνεται προς το εξωτερικό της µέρος,

ανεξάρτητα αν στο σηµείο αυτό αντιστοιχεί κυρτό ή κοίλο τµήµα της επιφάνειας. Tέλος στην περίπτωση που η επιφάνεια είναι επίπεδη, τότε η φορά του

�

d! S σε µιά

όψη της λαµβάνεται ίδια µε τη φορά προχώρησης δεξιόστροφου κοχλία (βίδας), στρεφόµενου ώστε να διαγράφει το περίγραµµα της όψεως αυτής, είτε κατά την φόρα κίνησης των δεικτών του ρολογιού είτε αντίθετα µε αυτή. Tο διάνυσµα

�

d! S ονοµάζεται εµβαδικό διάνυσµα της επιφάνειας (S) στο

σηµείο M αυτής. Eάν

�

! B είναι η ένταση του πεδίου στο σηµείο M και φ η γωνία

των διανυσµάτων

�

! B και

�

d! S , τότε το γινόµενο BdSσυνφ ορίζεται ως στοιχειώ

δης µαγνητική ροή διαµέσου του στοιχειώδους τµήµατος dS και συµβολίζεται µε dΦ, δηλαδή εξ’ ορισµού ισχύει η σχέση: dΦ=BdSσυνφ (1) Xρησιµοποιώντας τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων µπο ρού µε να γράψουµε τη σχέση (1) µε τη µορφή:

�

d! = (! B "d! S ) (2)

Eξάλλου εάν διαµερίσουµε την επιφάνεια (S) σε στοιχειώδη τµήµατα µε εµβαδά

dS1, dS2,... και συµβολίσουµε µε dΦ1, dΦ2,...τις αντίστοιχες στοιχειώδεις µαγ νητικές ροές που διέρχονται µέσα από τα τµήµατα αυτά, τότε η ολική µαγνη τική ροή Φ(S) µέσα από την επιφάνεια (S) θα είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των επιµέρους στοιχειωδών µαγνητικών ροών, δηλαδή θα ισχύει:

�

! (S) = "(d!) = "(! B #d! S ) = "(BdS$%&') (3)

Aν η επιφάνεια (S) είναι επίπεδη και το µαγνητικό πεδίο οµογενές, τότε σε όλα τα σηµεία της επιφάνειας η γωνία φ θα είναι η ίδια καθώς και η ένταση

�

! B ,

οπότε η γενική σχέση (3) στην περίπτωση αυτή απλοποιείται και παίρνει τη µορφή:

!(S) = BS"#$% (4) όπου S το εµβαδόν της επίπεδης επιφάνειας και φ η γωνία του εµβαδικού διανύσµατος της επιφάνειας µε το διάνυσµα της έντασης του οµογενούς µαγνη τικού πεδίου. Tέλος πρέπει να τονίσουµε ότι, η µαγνητική ροή δια µέσου µιας επιφάνειας που βρίσκεται σε µαγνητικό πεδίο, εκφράζει από φυσική άποψη το πλήθος των δυναµικών γραµµών που τη διασχίζουν. Δηλαδή µεταβολή της µαγ νητικής ροής µέσα από την επιφάνεια σηµαίνει µεταβολή του πλήθους των δυναµικών γραµµών που διέρχονται από την επιφάνεια αυτή. Σηµαντική παρατήρηση: Eπειδή µέχρι τώρα δεν υπάρχει καµιά πειραµατική ένδειξη για την ύπαρξη αποµονωµένων µαγνητικών πόλων, είµαστε υποχρε ωµένοι να δεχθούµε ότι οι δυναµικές γραµµές κάθε µαγνητικού πεδίου είναι κλειστές, δηλαδή δεν έχουν αρχή και τέλος και µάλιστα περιβάλλουν τα ρεύ µατα που δηµιουργούν το πεδίο. Στην αντίθετη περίπτωση θα έπρεπε να έχουν βρεθεί µαγνητικά µονόπολα από τα οποία να εκκινούν δυναµικές γραµµές και µαγνητικά µονόπολα αντίθετου πρόσηµου στα οποία να καταλήγουν οι γραµ µές αυτές. Tο γεγονός ότι οι δυναµικές γραµµές ενός µαγνητικού πεδίου απο τελούν κλειστούς βρόχους µας επιτρέπει να ισχυριστούµε ότι, η µαγνητική ροή που διασχίζει µια κλειστή επιφάνεια (S) που βρίσκεται µέσα στο πεδίο είναι µηδενική, αφού όλες οι δυναµικές γραµµές που εισέρχονται στην επιφάνεια αναγκαστικά θα εξέρχονται από αυτή. Στην αντίθετη περίπτωση θα έπρεπε η επιφάνεια να περικλείει τουλάχιστο ένα µαγνητικό µονόπολο, πράγµα που είναι αδύνατο. H παραπάνω ιδιότητα εκφράζεται µε τη σχέση:

�

! B !d! S ) = 0

(s)

" (6)

12. Δύναµη Lorentz σε κινούµενο ηλεκτρικό φορτίο Mε βάση τη δύναµη Laplace που δέχεται ένα στοιχειώδες ρεύµα, όταν αυτό βρεθεί σε κάποιο σηµείο µαγνητικού πεδίου, µπορούµε να καθορίσουµε τα στοιχεία της δύναµης Lοrentz πάνω σ’ ένα φορτισµένο σωµατίδιο, όταν αυτό κινείται µέσα σε µαγνητικό πεδίο. Eίναι γνωστό ότι, ένα στοιχειώδες* ρεύµα ------------------------------- * Πρέπει να διευκρινίσουµε ότι, η ηλεκτροµαγνητική δύναµη Laplace

�

d! F που δέχε

ται ένα στοιχειώδες ρεύµα ενεργεί στο σύνολο των ηλεκτρικών φορέων του ρεύµα τος (π.χ. στα ελεύθερα ηλεκτρόνια). O µηχανισµός µεταβίβασης των δυνάµεων Lorentz από τα ελεύθερα ηλεκτρονια ενός µεταλλικού αγωγού στο µεταλλικό του πλέγµα είναι εξαιρετικά πολύπλοκος και δεν θα µας απασχολήσει.

αντιστοιχεί σε προσανατολισµένη ροή ηλεκτρικών φορέων, που έχουν όλοι την ίδια ταχύτητα

! v , η οποία είναι οµόρροπη της συµβατικής φοράς του ρεύµατος,

όταν οι φορείς έχουν θετικό φορτίο ή αντίρροπη αυτής, όταν οι φορείς έχουν αρνητικό φορτίο. Aς υποθέσουµε τώρα ότι, σε όλο το µήκος dL του στοιχει ώδους ρεύµατος υπάρχουν dn ηλεκτρικοί φορείς µε ηλεκτρικό φορτίο q ο καθένας. Eπειδή όλοι αυτοί οι φορείς έχουν την ίδια ταχύτητα και βρίσκονται σχεδόν στο ίδιο σηµείο του µαγνητικού πεδίου είναι λογικό να δέχονται όλοι

Σχήµα 18 την ίδια δύναµη Lorentz

�

! f L, οπότε η στοιχειώδης δύναµη Laplace d

!

F , ως συνι

σταµένη όλων των δυνάµεων

!

f L θα έχει µέτρο:

dF=dnfL ! BIdLηµφ=dnfL ! fL=BI(dL/dn)ηµφ (1) Eάν dt είναι ο χρόνος που χρειάζεται κάθε φορέας για να διανύσει το µήκος dL, τότε στο χρόνο αυτό από κάθε διατοµή του ρεύµατος θα περάσει ηλεκτρικό φορτίο dn|q|, οπότε για την ένταση I του στοιχειώδους ρεύµατος θα ισχύει:

I = (dn/dt)|q | (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε τη σχέση:

�

fL =B|q | dn

dt

dL

dn

!

" #

$

% & !µ" = B|q |

dL

dt

!

" #

$

% & !µ"

΄Oµως το πηλίκο dL/dt αποτελεί το µέτρο της ταχύτητας

! v κάθε ηλεκτρικού

φορέα του ρεύµατος, οπότε η προηγούµενη σχέση παίρνει τη µορφή:

�

fL = B|q |v!µ" (3) όπου φ η γωνία των διανυσµάτων

! v και

!

B . H διεύθυνση και η φορά της

�

! f L

αντιστοιχούν στον κανόνα του δεξιού χεριού, σε συνδυασµό µε το γεγονός ότι, όταν ένα θετικό φορτίο κινείται δηµιουργεί ρεύµα οµόρροπο της ταχύτητάς του, ενώ αρνητικό φορτίο κινούµενο δηµιουργεί ρεύµα αντίρροπο της ταχύτη τάς του. ΄Oλα τα παραπάνω στοιχεία της δύναµης Lorentz

!

f L µας επιτρέπουν

να εκφράσουµε τη δύναµη αυτή µέσω του εξωτερικού γινοµένου των διανυσ µάτων

! v και

!

B , ως εξής:

!

f L = q (! v !!

B )

Σχήµα 19 Σχήµα 20 Στα σχήµατα (19) και (20) φαίνεται η εφαρµογή του κανόνα του δεξιού χεριού για τον καθορισµό της φοράς της ηλεκτροµαγνητικής δύναµης Lorentz σε θετικό και αρνητικό φορτίο αντιστοίχως. 4. Δύναµη Laplace σε ευθύγραµµο αγωγό Eάν ένας ρευµατοφόρος αγωγος είναι ευθύγραµµος καί βρίσκεται µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο, τότε οι στοιχειώδεις δυνάµεις Laplace που θα δέχονται τα διάφορα στοιχειώδη τµήµατα του αγωγού, θα είναι µεταξύ τους συγγραµικές καί οµόρροπες, διότι οι φορείς τους είναι κάθετοι πάνω στο επίπεδο που καθορίζει ο αγωγός και η ένταση

!

B του πεδίου, η δε φορά τους είναι κοινή (κανόνας δεξιού χεριού). Στην περίπτωση αυτή, ο φορέας της ολικής δύναµης Laplace

!

F L που δέχεται ο αγωγός, περνά από το µέσο του M

καί είναι κάθετος στο επίπεδο που καθορίζει ο αγωγός καί η ένταση του πεδίου, διότι οι επιµέρους στοιχειώδεις δυνάµεις Laplace είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες σε όλο το µήκος του. Tέλος το µέτρο της είναι το άθροισµα των

Σχήµα 21

µέτρων των στοιχειωδών δυνάµεων, που αντιστοιχούν στα διάφορα στοιχειώδη τµήµατα του αγωγού. Δηλαδή ισχύει:

FL = (dF)! = (BIdL!µ")! ! FL = BI!µ" (dL)! ! FL = IBL!µ" όπου L, τό µήκος του αγωγού καί φ η γωνία που σχηµατίζει ο αγωγός µε την ένταση του πεδίου. Tέλος η φορά της δύναµης Laplace ανταποκρίνεται στον κανόνα του δεξιού χεριού. (σχ. 21)

9. Kίνηση φορτισµένου σωµατιδίου σε οµογενές µαγνητικό πεδίο α) Tο σωµατίδιο εκτοξεύεται κάθετα ως προς τις δυναµικές γραµµές του πεδίου Σ’ ένα σηµείο O οµογενούς µαγνητικού πεδίου, απεριόριστης έκτασης, εκτο ξεύεται αβαρές φορτισµένο σωµατίδιο (λ.χ. ένα πρωτόνιο), µε ταχύτητα

! v

0 της

οποίας ο φορέας είναι κάθετος στις δυναµικές γραµµές του πεδίου. Tο πρωτό νιο κατά τη στιγµή της εκτόξευσής του δέχεται από το µαγνητικό πεδίο δύνα µη Lorentz

!

F L, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στο επίπεδο που καθορίζει η

ένταση !

B του πεδίου και η αρχική ταχύτητα

! v

0 του πρωτονίου, η δε φορά της

ανταποκρίνεται στον κανόνα του δεξιού χεριού (σχ. 22) Eπειδή η

!

F L δεν είναι

συγγραµµική της

! v

0 το πρωτόνιο θα διαγράψει καµπύλη τροχιά πάνω στο επί

πεδο που καθορίζουν τα διανύσµατα

!

F L και

! v

0, δηλαδή το πρωτόνιο θα

κινείται πάνω στο επίπεδο που διέρχεται από το σηµείο εκτοξευσής του O και είναι κάθετο στις δυναµικές γραµµές του πεδίου. Όµως στη διάρκεια αυτής της κίνησης η µοναδική δύναµη που δέχεται το πρωτόνιο είναι η δύναµη Lorentz, η οποία ως διαρκώς κάθετη στην ταχύτητα του πρωτονίου δεν παράγει έργο, οπότε η κινητική του ενέργεια δεν µεταβάλλεται. Aυτό σηµαίνει ότι και το µέτρο της ταχύτητας του πρωτονίου δεν µεταβάλλεται, δηλαδή η καµπυ λόγραµµη κίνησή του είναι οµαλή. Eξάλλου σε κάθε σηµείο της τροχιάς του πρωτονίου η δύναµη Lorentz ενεργεί σ’ αυτό ως κεντροµόλος δύναµη που µε

Σχήµα 22 Σχήµα 23 ταβάλλει τη διεύθυνση της ταχύτητάς του, οπότε θα ισχύει η σχέση:

FL =

mpv0

2

R !

Bqpv0 =

mpv0

2

R !

R=mpv0

Bqp

(1)

όπου R η ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς στο θεωρούµενο σηµείο, mp η µάζα του πρωτονίου και qp το ηλεκτρικό του φορτίο. Aπό τη σχέση (1) προκύπτει ότι η ακτίνα καµπυλότητας R είναι σταθερή, δηλαδή η ίδια σε όλα τα σηµεία της τροχιάς του πρωτονίου που σηµαίνει ότι η τροχιά αυτή είναι κυκλική. Δείξαµε λοιπόν ότι, αν το πρωτόνιο εκτοξευθεί σ’ ένα σηµείο οµογενούς µαγνητικού πεδίου κάθετα προς τις δυναµικές του γραµµές, θα εκτελέσει οµαλή κυκλική κίνηση, πάνω σε επίπεδο που διέρχεται από το σηµείο εκτόξευσής του O και είναι κάθετο στις δυναµικές γραµµές του πεδίου. Tο κέντρο K της κυκλικής

τροχιάς του πρωτονίου βρίσκεται πάνω στο φορέα της δύναµης Lorentz σε απόσταση R από το πρωτόνιο, είναι δε η απόσταση αυτή ανάλογη προς το µέτρο της ταχύτητας εκτόξευσης

! v

0 του πρωτονίου. Eξάλλου, εάν T είναι η περίοδος

της οµαλής κυκλικής κίνησης του πρωτονίου, θα ισχύει η σχέση:

T =

2!R

v0

!(1)

T =2!mpv0

Bqpv0

!

T =2! mp

B qp

(2)

δηλαδή η περίοδος του πρωτονίου είναι ανεξάρτητη της αρχικής του ταχύτη τας

! v

0. Aπό όσα εκτέθηκαν παραπάνω προκύπτει ότι, αν σ’ ένα σηµείο οµογε

νούς µαγνητικού πεδίου υπάρχει µια πηγή πρωτονίων, η οποία εκπέµπει πρω τόνια µε διαφορετικές ταχύτητες, πάνω σε επίπεδο που περιέχει την πηγή και είναι κάθετο στις δυναµικές γραµµές του πεδίου, τότε τα πρωτόνια θα διαγρά ψουν επί του επιπέδου αυτού κυκλικές τροχιές διαφορετικών ακτίνων (σχ. 23), αλλά της ίδιας περιόδου. Aυτό σηµαίνει ότι, όσα πρωτόνια ξεκινούν από την πηγή την ίδια στιγµή θα επιστρέψουν ταυτόχρονα σ’ αυτή, δηλαδή αν η πηγή εκπέµπει κάποια στιγµή µία δέσµη πρωτονίων, η δέσµη αυτή θα εστιάσει πάλι στην πηγή. β) Tο σωµατίδιο εκτοξεύεται πλάγια ως προς τις δυναµικές γραµµές του πεδίου Σ’ ένα σηµείο O οµογενούς µαγνητικού πεδίου απεριόριστης έκτασης, εκτο ξεύεται αβαρές φορτισµένο σωµατίδιο (λ.χ. ηλεκτρόνιο) µε ταχύτητα

! v

0 της

οποίας ο φορέας σχηµατίζει γωνία φ µε την ένταση !

B του πεδίου. Aναλύουµε την αρχική ταχύτητα

! v

0 του ηλεκτρονίου σε δύο συνιστώσες

�

! v 0y και

! v

0z, εκ

των οποίων η

�

! v 0y είναι παράλληλη προς τις δυναµικές γραµµές του πεδίου,

Σχήµα 24

ενώ η

! v

0z είναι κάθετη σ’ αυτές. Eξ’ αιτίας της συνιστώσας

�

! v 0y το ηλεκτρόνιο

δεν δέχεται δύναµη Lorentz, διότι η

! v

0x είναι συγγραµµική της

!

B , οπότε το ηλεκτρόνιο κατά τη διεύθυνση του άξονα Oz, δηλαδή κατά τη διεύθυνση των δυναµικών γραµµών του πεδίου, θα εκτελεί οµαλή κίνηση µε ταχύτητα

�

! v 0y .

Έτσι η µετατόπισή του y σε χρόνο t, κατά τη διεύθυνση του πεδίου, θα είναι:

y = v0xt = v0tσυνφ (1)

Eξάλλου, λόγω της συνιστώσας

! v

0z το ηλεκτρόνιο δέχεται δύναµη Lorentz,

υπό την επίδραση της οποίας εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση στο επίπεδο, που διέρχεται από το σηµείο O και είναι κάθετο στις δυναµικές γραµµές του πεδίου (επίπεδο yz). H ακτίνα R της αντίστοιχης κυκλικής τροχιάς υπολογίζεται από τη σχέση:

R=

mev0z

B |qe|=

mev0!µ"

B |qe | (2)

όπου me η µάζα του ηλεκτρονίου και qe το ηλεκτρικό του φορτίο. H σύνθεση των δύο αυτών κινήσεων οδηγεί σε µη επίπεδη κίνηση του ηλεκτρονίου, η οποία ονοµάζεται ελικοειδής κίνηση η δε αντίστοιχη τροχιά του ονοµάζεται κυκλική έλικα. Στο σχήµα (24) φαίνεται η κυκλική έλικα που διαγράφει το ηλεκτρόνιο, η οποία προβάλλεται στο επίπεδο xz κατά το γραµµοσκιασµένο κύκλο, κέντρου K και ακτίνας R, προχωρεί δε η έλικα κατά την διεύθυνση των δυναµικών γραµµών του µαγνητικού πεδίου. Oρίζεται ως βήµα της κυκλικής έλικας που διαγράφει το ηλεκτρόνιο, η µετατόπιση LT αυτού κατά τη διεύθυν ση των δυναµικών γραµµών του πεδίου, σε µια περίοδο T της οµαλής κυκλι κής του κίνησης λόγω της συνιστώσας

�

! v 0y . Έτσι θα έχουµε:

�

LT = v0yT !

�

LT = v0y

2!R

v0z

!

" #

$

% & !

(2)

�

LT = v0y

2!mev0z

B |qe |v0z

!

" #

$

% &

!

LT =

2!mev0"

|qe | B=

2!mev0#$%&

|qe |B (3)

Παρατηρούµε από την (3) ότι, το βήµα της κυκλικής έλικας που διαγράφει το σωµατίδιο εξαρτάται από το ειδικό του φορτίο qe/me, από το µέτρο της αρχικής του ταχύτητας

! v

0 και από τη διεύθυνση του µαγνητικού πεδίου.

P.M. fysikos

Mεταλλικό δακτυλίδι µάζας m=10-2 kg φέρει ηλεκ τρικό φορτίο q=10-7 Cb και µπορεί να ολισθαίνει κατά µήκος µονω τικής ράβδου, µε την οποία παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης n=0,5. H µονωτική ράβδος είναι κατακόρυφα στερεωµένη σε χώρο, όπου υπάρχει οµογενές ηλεκτρικό πεδίο, του οποίου η ένταση είναι οριζόντια και έχει µέτρο E=106 Nt/m. Tη στιγµή t=0 το δακτυλίδι αφήνεται ελεύθερο. i) Nα εξετάσετε εάν το δακτυλίδι θα τεθεί σε κίνηση.

ii) Eάν αυτό συµβεί να βρείτε την ταχύτητα του δακτυλιδιού, όταν έχει µετατοπιστεί κατά h=25 cm. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτη τας g=10 m/s2. ΛYΣH: i) Tο µεταλλικό δακτυλίδι δέχεται από το οριζόντιο οµογενές ηλεκ τρικό πεδίο ηλεκτρική δύναµη

!

F !" οµόρροπη της έντασης

!

E του πεδίου,

δηλαδή η

!

F !" είναι κάθετη στη µονωτική ράβδο. Eξάλλου το δακτυλίδι υπό

την επίδραση του βάρους του

! w τείνει να κινηθεί προς τα κάτω, οπότε η

πλάγια δύναµη επαφής που δέχεται από την κατακόρυφη µονωτική ράβδο αναλύεται στην τριβή

!

T , η οποία κατευθύνεται προς τα πάνω και στην κάθετη αντίδραση

!

N , η οποία εξουδετερώνει την ηλεκτρική δύναµη, αφού το δακτυλίδι δεν µπορεί να µετακινείται κάθετα προς τη ράβδο (σχ. 25). Έτσι θα έχουµε τη σχέση:

N = Fηλ = Eq (1)

Σχήµα 25 Eάν δεχθούµε ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης η είναι περίπου ίδιος µε τον συντελεστή οριακής τριβής µεταξύ ράβδου και δακτυλιδιού, τότε το µέτ ρο της οριακής τριβής

!

T !"

για το δακτυλίδι, θα είναι:

Tορ = ηN = ηEq = 0,5.106.10-7 Nt = 5.10-2 Nt Eξάλλου το µέτρο του βάρους του δακτυλιδιού είναι: w = mg = 10-2.10 Nt=0,1 Nt δηλαδή w>Tορ που σηµαίνει ότι το δακτυλίδι ολισθαίνει προς τα κάτω κατά µήκος της ράβδου. ii) Eφαρµόζοντας για το δακτυλίδι το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου κατά τον χρόνο της µετατόπισής του h, παίρνουµε τη σχέση:

K!"# - K$%& = W !

F + W !

T ! mv

2/2 - 0 = mgh -Th !

�

mv2 = 2(mgh - nEqh) ! v

2= 2h g - nEq/m( ) !

�

v= 2h(g -nEq/m) = 2!0,25 (10-0,5!106!10-7/10-2) m/s=1,58m/s

P.M. fysikos

Kατά µήκος ακλόνητου οδηγού από µονωτικό υλικό, σχήµατος ηµιπεριφέρειας, µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή ένα ελαφρό µεταλλικό δακτυλίδι που φέρει θετικό ηλεκτρικό φορ τίο. Στις άκρες A και B του οδηγού έχουν στερεωθεί µικρά σφαιρί δια που φέρουν θετικά φορτία q1 και q2 αντιστοίχως µε q1/q2 = 8. Nα καθορίσετε τη θέση ισορροπίας του δακτυλιδιού. ΛYΣH: Έστω Δ η θέση ισορροπίας του δακτυλιδιού επί του ηµικυκλικού οδηγού (σχ. 26). Στη θέση αυτή το δακτυλίδι δέχεται τις ηλεκτρικές δυνάµεις Coulomb

!

F A και

!

F B από τα σφαιρίδια που είναι ακλόνητα στις άκρες A και B

αντιστοίχως του οδηγού και τη δύναµη επαφής

!

N από τον οδηγό, η οποία διευθύνεται κάθετα σ' αυτόν λόγω έλλειψης τριβής (Tο βάρος του δακτυλιδιού θεωρείται αµελητέο). H ισορροπία του δακτυλιδιού µας επιτρέπει να ισχυρι

Σχήµα 26 στούµε ότι η συνισταµένη

!

F !"

των δυνάµεων

!

F A και

!

F B είναι αντίθετη της

δύναµης !

N , δηλαδή ο φορέας της

!

F !"

προεκτεινόµενος διέρχεται από το κέν τρο O του ηµικυκλικού οδηγού. Aπό το σκιασµένο ορθογώνιο δυναµοτρίγωνο παίρνουµε τη σχέση:

!"" =

FA

FB

=KCqq2/(A#)2

KCqq1/(B#)2 =

q2

q1

!B#

A#

"

# $

%

& '

2

(1)

όπου q το ηλεκτρικό φορτίο του δακτυλιδιού και KC η σταθερά του νόµου του Coulomb. Όµως από το ορθογώνιο τρίγωνο AΔB έχουµε εφφ=AΔ/BΔ, οπότε η (1) γράφεται:

!"" =q2

q1

!1

!"2"

! !"3" = 8 !

�

!"" = 2 (2)

H σχέση (2) επιτρέπει τον υπολογισµό της γωνίας φ, δηλαδή µας επιτρέπει να καθορίσουµε τη θέση ισορροπίας του δακτυλιδιού.

P.M. fysikos

Mεταλλικό σφαιρίδιο φέρει ηλεκτρικό φορτίο Q και είναι δεµένο στο ένα άκρο αβαρούς µονωτικού νήµατος µήκους L, του οποίου το άλλο άκρο στερεώνεται σε ακλόνητο σηµείο O. Aκριβώς κάτω από το O και σε απόσταση L από αυτό υπάρχει ακίνητο σηµειακό φορτίο Q, ενώ το σφαιρίδιο αφήνεται στη θέση όπου το νήµα είναι οριζόντιο. i) Nα βρεθεί η µάζα του σφαιριδίου, ώστε αυτό να µείνει ακίνητο στη θέση όπου αφήνεται. ii) Ποια είναι η τάση του νήµατος στη θέση αυτή; Δίνεται η σταθε ρά KC του νόµου του Coulomb και η επιτάχυνση

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: i) Yποθέτουµε ότι το µεταλλικό σφαιρίδιο ισορροπεί όταν το νήµα είναι οριζόντιο (σχ. 27). Oι δυνάµεις που δέχεται το σφαιρίδιο είναι το βάρος του

! w , η απωστική δύναµη Coulomb

!

F από το ακλόνητο στη θέση A σηµεια κό φορτίο Q και η τάση

!

T του νήµατος. Eάν

!

F x,

!

F ! είναι η οριζόντια και η κα

Σχήµα 27 τακόρυφη συνιστώσα αντιστοίχως της ηλεκτρικής δύναµης

!

F , θα ισχύουν λόγω της ισορροπίας του σφαιριδίου οι σχέσεις:

Fx- T = 0

F!

- w = 0

!

" #

$ # !

F!"#$ = T

F%µ$ = w

!

" #

$ # (1)

Eπειδή η γωνία φ είναι ίση µε π/4, η δέυτερη των σχέσεων (1) γράφεται:

F 2

2= mg !

KCQ2 2

2r2 = mg !

m =

2KCQ2

2r2g

(2)

Όµως η απόσταση r του σφαιριδίου από το A ικανοποιεί τη σχέση r2=2L2, οπό τε η (2) δίνει:

m =

2KCQ2

4L2g

ii) H πρώτη των σχέσεων (1) γράφεται:

T =

KCQ2

r2 !

2

2=

2KCQ2

4L2

P.M. fysikos

Σφαιρίδιο µάζας m, φέρει θετικό φορτίο q και είναι στερεωµένο στο ένα άκρο µονωτικού νήµατος, του οποίου το άλλο άκρο δένεται σε ακλόνητο σηµείο O. Tο σύστηµα βρίσκεται σε χώρο όπου υπάρχει οµογενές ηλεκτρικό πεδίο, του οποίου οι δυνα µικές γραµµές έχουν τη µορφή που φαίνεται στο σχήµα (28), δηλαδή παρουσιάζουν κλίση θ ως προς την οριζόντια διεύθυνση και κατευθύ νονται προς τα πάνω. Eάν το σφαιρίδιο ισορροπεί, όταν το νήµα σχηµατίζει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση, να βρείτε το µέτ ρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. ΛYΣH: Tο σφαιρίδιο ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους του

! w , της

τάσεως

!

T του νήµατος και της ηλεκτρικής δύναµης

!

F από το οµογενές ηλεκτρικό πεδίο, η οποία είναι οµόρροπη προς την ένταση του

!

E , διότι το φορτίο q του σφαιριδίου είναι θετικό. Eάν

!

F x,

!

F ! είναι η οριζόντια και η

κατακόρυφη συνιστώσα της !

F και

!

T x,

!

T ! οι αντίστοιχες συνιστώσες της

!

T , θα

ισχύουν λόγω της ισορροπίας του σφαιριδίου οι σχέσεις:

Σχήµα 28

Fx- T

x= 0

F!

+T!

- w = 0

!

" #

$ # !

F!"#$ - T%µ& = 0

F%µ$ +T!"#& = mg

!

" #

$ # !

T!µ" = F#$%&

T#$%" = mg -F!µ&

!

" #

$ #

(: )

! !"" =

Eq#$%&

mg - Eq'µ& !

�

mg!""-Eq !""#µ$=Eq %&'$ !

�

mg!""=Eq(#$%&+!""'µ&) !

E =

mg !""

q (#$%&+ !""'µ&)

P.M. fysikos

Δύο σφαιρίδια της ίδιας µάζας m, έχουν στερεω θεί στις άκρες δύο µονωτικών νηµάτων µήκους L, τα οποία αναρτών ται από το ίδιο σηµείο O. Tα σφαιρίδια φέρουν ηλεκτρικά φορτία q και 2q και το σύστηµα ισορροπεί, όταν τα νήµατα σχηµατίζουν µε την κατακόρυφη διεύθυνση µικρές γωνίες φ1 και φ2. i) Nα δείξετε ότι οι γωνίες φ1 και φ2 είναι ίσες µεταξύ τους. ii) Nα δείξετε ότι η απόσταση r µεταξύ των σφαιριδίων ικανοποιεί τη σχέση:

r = 4KCq2L/mg3

όπου KC η σταθερά του νόµου του Coulomb και

! g η επιτάχυνση της

βαρύτητας. ΛYΣH: Eξετάζοντας το σύστηµα των δύο σφαιριδίων (σχ. 29.α) παρατηρούµε ότι οι εξωτερικές δυνάµεις που δέχεται το σύστηµα αυτό είναι τα βάρη

! w των

σφαιριδίων και οι τάσεις

!

T 1 και

!

T 2, των αντίστοιχων νηµάτων που τα συγ

κρατούν, των οποίων οι φορείς διέρχονται από το σηµείο ανάρτησης O των νηµάτων (Oι δυνάµεις Coulomb

!

F 1,

!

F 2 µε τις οποίες αλληλοεπιδρούν τα δύο

σφαιρίδια αποτελούν εσωτερικές δυνάµεις για το σύστηµα και η µία εξουδετε

Σχήµα 29.α Σχήµα 29.β ρώνει την άλλη). Eπειδή το σύστηµα ισορροπεί το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών των εξωτερικών δυνάµεων ως προς το O είναι µηδέν, δηλαδή ισχύει η σχέση:

wx1-wx

2= 0 ! x1

= x2 ! L!µ"1 = L!µ"2 !

!µ"1 =!µ"2 ! !1

=!2

δηλαδή τα νήµατα έχουν την ίδια κλίση ως προς την κατακόρυφη διεύ θυνση, που σηµαίνει ότι η ευθεία που συνδέει τα δύο σφαιρίδια είναι οριζόντια (σχ. 29.β). Eξετάζοντας τώρα µόνο το ένα σφαιρίδιο (λογουχάρη το αριστερά της κατακόρυφης) µπορούµε να ισχυριστούµε ότι, η συνισταµένη

!

! της απωστικής δύναµης Coulomb

!

F 1 που δέχεται από το άλλο σφαιρίδιο και του βάρους του

! w είναι αντίθετη της τάσεως

!

T 1 του νήµατος που το συγκρατεί. Aπό το σκιασ

µένο δυναµοτρίγωνο έχουµε τη σχέση:

!""1 =

F1

w=

2KCQ2/r2

mg=

2KCQ2

mgr2 (1)

Όµως η γωνία φ1 είναι µικρή, οπότε η εφαπτοµένη της είναι περίπου ίση µε το ηµίτονό της και η (1) µε καλή προσέγγιση παίρνει τη µορφή:

!µ"1 =

2KCQ2

mgr2 !

r/2

L=

2KCQ2

mgr2 !

r

3=

4KCLQ2

mg !

r =4KCLQ2

mg3

P.M. fysikos

Στις κορυφές A και Γ τετραγώνου ABΓΔ πλευράς α είναι στερεωµένα τα θετικά σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q. Eάν στις κορυφές B και Δ του τετραγώνου αφεθούν τα σηµειακά ηλεκτρικά φορτία Q, να βρεθεί η σχέση µεταξύ των Q και q, ώστε τα φορτία των κορυφών B και Δ να ισορροπούν. Eίναι δυνατόν η σχέση αυτή να εξασφαλίζει την ισορροπία και των τεσσάρων φορτίων, όταν αυτά είναι ελεύθερα; ΛYΣH: Eξετάζοντας την ισορροπία του φορτίου Q της κορυφής B του τετρα γώνου παρατηρούµε ότι, αυτό δέχεται από το φορτίο Q της κορυφής Δ απωστική δύναµη Coulomb

!

F !, η οποία έχει φορέα την διαγώνιο BΔ του

τετραγώνου. Για να ισορροπεί εποµένως το φορτίο της κορυφής B πρέπει οι δυνάµεις Coulomb

!

F A και

!

F ! που δέχεται από τα στερεωµένα φορτία q των

κορυφών A και Γ να παρέχουν συνισταµένη

!

F A,! αντίθετη της

!

F !. Aυτό µπο

ρεί να συµβεί µόνο εφ' όσον οι δυνάµεις

!

F A και

!

F ! είναι ελκτικές, δηλαδή

Σχήµα 30.α Σχήµα 30.β εφ' όσον τα φορτία Q και q είναι ετερόσηµα. Για το µέτρο της

!

F A,! ισχύει η σχέ

ση:

FA,! = FA

2+ F

!

2= 2FA

2= 2FA !

FA,! =

2KC Q q

"2

(1)

Eξάλλου για το µέτρο της

!

F ! ισχύει:

F

!=

KCQ2

2"2 =

KC Q2

2"2 (2)

Όµως πρέπει να ισχύει FA,Γ =FΔ, η οποία λόγω των (1) και (2) γράφεται:

2KC Q q

!2 =

KC Q2

2!2 !

2q = Q /2 !

Q = 2 2q ! Q = -2 2q (3)

Eίναι προφανές ότι η σχέση (3) εξασφαλίζει και την ισορροπία του φορτίου Q της κορυφής Δ, διότι για το φορτίο αυτό ισχύουν ακριβώς οι ίδιοι συλλογισµοί που έγιναν προηγουµένως. Aς δεχθούµε τώρα ότι και τα φορτία q των κορυ φών A και Γ είναι ελεύθερα και ας εξετάσουµε την ισορροπία του ενός εξ' αυτών, λογουχάρη του φορτίου της κορυφής A (σχ. 30.β). Aυτό δέχεται τις δυνάµεις Coulomb

!

F B και

!

F ! από τα φορτία Q των κορυφών B και Δ και τη

δύναµη Coulomb

!

F ! από το φορτίο q της κορυφής Γ. Για να ισορροπεί το φορ

τίο αυτό πρέπει η συνισταµένη

!

F B,! των

!

F ! και

!

F ! να είναι αντίθετη της

!

F !,

δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση:

F

!= FB," ! F!

= 2FB !

�

KCQ2

2!2=

2KC Qq

!2

!

�

Q /2 = 2q !

�

Q = 2 2q (3)

!

�

2 2q = 2 2q (αληθής) Άρα, αν τα φορτία q των κορυφών A και Γ είναι ελεύθερα θα ισορροπούν.

P.M. fysikos

Tρία σηµειακά ηλεκτρικά φορτία -q, -q και +q, µε q>0 είναι στερεωµένα στις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου πλευράς L, όπως φαίνεται στο σχήµα (31). i) Nα βρείτε την ένταση του ηλεκτροστατικού πεδίου που δηµιουρ γούν τα τρία φορτία στο µέσον M της πλευράς BΓ του τριγώνου. ii) Σε ποιο σηµείο πρέπει να βρεθεί ένα σηµειακό φορτίο –4q, ώστε η ένταση του νέου ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο M να είναι µηδενική. ΛYΣH: i) Tα σηµειακά φορτία –q των κορυφών B και Γ δηµιουργούν στο µέσον M της πλευράς BΓ αντίθετες εντάσεις, οπότε η ολική ένταση

!

E του ηλεκτροστατικού πεδίου των φορτίων που βρίσκονται στις κορυφές του

ισόπλευρου τριγώνου ABΓ στο σηµείο M, θα είναι ίση µε την ένταση που δηµιουργεί στο σηµείο αυτό το φορτίο +q της κορυφής A. Aυτό σηµαίνει ότι η ένταση

!

E θα έχει φορέα την ευθεία AM, φορά από το A προς το M και µέτρο που δίνεται από τη σχέση:

E =

KCq

(AM)2 =

KCq

(AB)2- (BM)

2 =KCq

!2- !

2/4

=4KCq

3!2 (1)

Σχήµα 31

ii) Για να γίνει η ένταση στο σηµείο M µηδενική όταν προστεθεί η πηγή -4q, πρέπει η πηγή αυτή να δηµιουργεί στο M ένταση

!

E ' αντίθετη της

!

E . Aυτό µπορεί να συµβεί όταν η πηγή -4q τοποθετηθεί στη θέση Δ που βρίσκεται στην ΜΑ ή στην στην προέκτασή της και σε κατάλληλη απόσταση x από το Μ, ώστε να ισχύει:

E = E' (1)

!

�

4KCq

3!2=

4KCq

x2 !

�

3!2

= x2 !

�

x = ± 3!

Η αρνητική τιµή απορρίπτεται, που σηµαίνει ότι το Δ είναι συµµετρικό του M ως προς το A.

P.M. fysikos

Tρία µικρά σφαιρίδια είναι στερεωµένα στις άκρες τριών ίδιων ελατηρίων, που το φυσικό τους µήκος είναι περί που µηδενικό η δε σταθερά τους είναι k. Tα ελεύθερα άκρα των ελατη ρίων στερεώνονται σ’ ένα σηµείο λείου οριζόντιου τραπεζιού. Eάν τα σφαιρίδια λάβουν το ίδιο ηλεκτρικό φορτίο, τότε το σύστηµα ισορρο πεί, ώστε τα σφαιρίδια να βρίσκονται στις κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α. i) Nα βρεθεί το κοινό ηλεκτρικό φορτίο των τριών σφαιριδίων, εάν είναι γνωστό ότι τα σφαιρίδια είναι ηλεκτρικά µονωµένα από τα ελα τήρια. ii) Nα υπολογιστεί η ολική δυναµική ενέργεια του συστήµατος. ΛYΣH: i) Eξετάζουµε την ισορροπία ενός εκ των τριών σφαιριδίων, λογου χάρη του σφαιριδίου B. Tο σφαιρίδιο αυτό ισορροπεί υπό την επίδραση της δύ ναµης

�

! F !"

από το τεντωµένο ελατήριο µε το οποίο είναι σ’ επαφή και των απω

στικών δυνάµεων Coulomb

�

! F

A και

�

! F ! από τα σφαιρίδια A και Γ αντιστοίχως.

Πρέπει η συνισταµένη

�

! F

A! των δυνάµεων

�

! F

A και

�

! F ! να έχει τον ίδιο φορέα,

αντίθετη φορά και ίσο µέτρο µε την δύναµη

�

! F !"

(σχ. 32), δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση:

FA,Γ = Fελ !

�

FA

2 + F!

2 + 2FAF!"#$(% /3) = F

&' !

�

FA

2+ F

!

2+ F

AF!

= F"#

(1)

Σχήµα 32 Όµως ισχύουν οι σχέσεις:

�

FA = F!

= KCq2/" 2 και

�

F!"

= k(OB) = k# 3/3 όπου q το ζητούµενο ηλεκτρικό φορτίο και ΚC η σταθερά του νόµου του Cou lob, οπότε η σχέση (1) γράφεται:

�

3FA

2= k! 3 /3 !

�

FA

= k! /3 !

�

KCq2/! 2 = k! /3 !

�

3KCq2 = k! 3 !

�

q2 = k! 3 /3KC !

�

q = ± ! k! /3KC (2) ii) H ολική δυναµική ενέργεια του συστήµατος των τριών σφαιριδίων και των τριών ελατηρίων είναι ίση µε το άθροισµα της δυναµικής ενέργειας ελαστικής παραµόρφωσης των τριών ελατηρίων και της δυναµικής ηλεκτρικής ενέργειας των τριών ηλεκτρισµένων σφαιριδίων, δηλαδή ισχύει: Uολ = Uελ + Uηλ (3) Όµως για τη δυναµική ενέργεια ελαστικής παραµόρφωσης των ελατηρίων ισχύ ει:

Uελ = 3kα2/2 (4) Eξάλλου η ηλεκτρική δυναµική ενέργεια των τριών φορτισµένων σφαιριδίων είναι εξ’ ορισµού ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των έργων όλων των ηλεκτρ ικών δυνάµεων, τα οποία αντιστοιχούν σε µετατόπιση των σφαιριδίων από τις θέσεις όπου βρίσκονται, µέχρι το άπειρο, οπότε θα ισχύει η σχέση:

Uηλ = qVA + qVB =

�

qKCq

!+

KCq

!"

# $

%

& ' + q

KCq

!"

# $

%

& ' !

�

U!" =3KCq

2

# !

(2)

�

U!" =3K

C

#$k# 3

3KC

= k# 2 (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3), (4) και (5) παίρνουµε:

�

Uo!

=3k"

2

2+ k"

2=

5k"2

2

P.M. fysikos

Σε σηµείο Α οµογενούς µαγνητικού πεδίου εκτο ξεύεται ένα πρωτόνιο, µε ταχύτητα

�

! v

0, κάθετα προς τις δυναµικές

γραµµές του πεδίου. Eάν R είναι η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει το πρωτόνιο και m, q είναι η µάζα και το ηλεκτρικό του φορτίο αντιστοίχως, να βρεθεί η µαγνητική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια που καθορίζει η τροχιά του πρωτονίου. ΛYΣH: Tο πρωτόνιο εκτοξευόµενο κάθετα προς τις δυναµικές γραµµές του πεδίου δέχεται από αυτό δύναµη Lorentz

�

! F

L, υπό την επίδραση της οποίας

εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση, η δε κυκλική τροχιά βρίσκεται στο επίπεδο που διέρχεται από το σηµείο εκτόξευσης του πρωτονίου και είναι κάθετο στις δυναµικές γραµµές του πεδίου. Eξάλλου στη διάρκεια αυτής της κίνησης η δύ

Σχήµα 33 ναµη Lorentz

�

! F

L παίζει ρόλο κεντροµόλου δύναµης για το πρωτόνιο, δηλαδή

ισχύει η σχέση:

Bqv0 =

mv0

2

R ! BqR = mv0 !

B =

mv0

qR (1)

όπου B το µέτρο της έντασης του οµογενούς µαγνητικού πεδίου. Προσανα τολίζοντας την επιφάνεια S που καθορίζει η κυκλική τροχιά του πρωτονίου,

ώστε το εµβαδικό της διάνυσµα !

S να έχει τη φορά µε του

�

! B , θα έχουµε για τη

µαγνητική ροή Φ, που διέρχεται µέσα από την επιφάνεια S, τη σχέση:

! = B S !(1)

! =

mv0 "R2

Rq !

! =

"mv0R

q

P.M. fysikos

Ένα ηλεκτρόνιο κινούµενο ευθύγραµµα µε ταχύ τητα

! v

0, µπαίνει σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης

!

B , κάθετα προς τις δυναµικές του γραµµές και αφού κινηθεί µέσα στο πεδίο βγαίνει από αυτό µε ταχύτητα αντίθετη εκείνης µε την οποία µπήκε στο πεδίο. i) Nα υπολογιστεί ο χρόνος κίνησης του ηλεκτρονίου µέσα στο πεδίο. ii) Nα καθοριστεί η επιτάχυνση του ηλεκτρονίου λίγο προτού βγεί από το πεδίο. iii) Nα υπολογιστεί η µεταβολή της ορµής του ηλεκτρονίου, για το χρονικό διάστηµα κίνησής του µέσα στο µαγνητικό πεδίο. Δίνεται η µάζα me και το ηλεκτρικό φορτίο qe του ηλεκτρονίου. ΛYΣH: i) Eπειδή το ηλεκτρόνιο εισέρχεται στο µαγνητικό πεδίο µε ταχύτητα κά θετη στις δυναµικές του γραµµές διαγράφει µέσα σ’ αυτό οµαλή κυκλική κίνηση, το δε επίπεδο της τροχιάς του διέρχεται από το σηµείο εισόδου του A1 στο πεδίο και είναι κάθετο στις δυναµικές του γραµµές. Σύµφωνα µε το πρόβ ληµα το ηλεκτ ρόνιο εξέρχεται του πεδίου στο σηµείο A2 µε ταχύτητα αντίθετη

Σχήµα 34 της ταχύτητας εισόδου του που σηµαίνει ότι το ηλεκτρόνιο διαγράφει µέσα στο πεδίο ηµικυκλική τροχιά (σχ. 34). Όµως στη διάρκεια της κίνησής του το ηλεκτρόνιο δέχεται από το πεδίο δύναµη Lorentz

!

F L, η οποία αποτελεί κεντρο

µόλο δύναµη, δηλαδή ισχύει η σχέση:

B qe v0 =

mev0

2

R !

R =mev0

qe B (1)

όπου R η ακτίνα της τροχιάς του. Eάν tολ είναι ο χρόνος παραµονής του ηλεκ τρονίου µέσα στο πεδίο, τότε θα έχουµε:

t!"

=#R

v0

!(1)

t!"=

#mev0

qe Bv0

=!me

qe B (2)

ii) Eάν

! a

2 είναι η επιτάχυνση του ηλεκτρονίου στο σηµείο εξόδου του A2 από

το πεδίο, τότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα αυτή θα είναι οµόρ ροπη της δύναµης Lorentz

!

F L που δέχεται στο σηµείο A2, το δε µέτρο της δίνε

ται από τη σχέση:

�

a2 = F2 /me = B qe v0 /me (3)

iii) H µεταβολή

�

!

! P της ορµής του ηλεκτρονίου κατά το χρόνο t*, είναι:

�

!

! P =

! P

A2

-! P

A1

= -me

! v

0- m

e

! v

0 !

�

!

! P = -2m

e

! v

0 (4)

Aπό την (4) προκύπτει ότι η µεταβολή της ορµής του ηλεκτρονίου είναι αντίρ ροπη της ταχύτητας εισόδου

�

! v

0 στο πεδίο, το δε µέτρο της είναι ίσο µε 2mev0.

P.M. fysikos

Ένα αβαρές σωµατίδιο µε αρνητικό φορτίο, εκτο ξεύεται µέσα σ’ ένα χώρο όπου υπάρχει οµογενές ηλεκτρικό και οµο γενές µαγνητικό πεδίο, που τα αντίστοιχα χαρακτηριστικά τους δια νύσµατα

!

E και !

B σχηµατίζουν µε το διάνυσµα της ταχύτητας εκτόξευ σης τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων. Διαπιστώνουµε τότε ότι το σωµα τίδιο εκτελεί στο χώρο αυτό ευθύγραµµη οµαλή κίνηση, ενώ όταν καταργήσουµε το ηλεκτρικό πεδίο εκτελεί ισοταχή κυκλική κίνηση, ακτίνας R. Nα υπολογιστεί το ειδικό φορτίο του σωµατιδιου. ΛYΣH: Σύµφωνα µε το πρόβληµα το αβαρές σωµατίδιο εκτελεί µέσα στο συνδυασµένο οµογενές ηλεκτρικό και οµογενές µαγνητικό πεδίο ευθύγραµµη οµαλή κίνηση, που σηµαίνει ότι κάθε στιγµή η ηλεκτρική δύναµη

!

F !" που δέχε

ται από το ηλεκτρικό πεδίο είναι αντίθετη της δύναµης Lorentz

!

F L που δέχε

ται από το µαγνητικό πεδίο, δηλαδή ισχύει η σχέση:

!

F !" = -

!

F L !

F!" = F

L ! E|q | = B |q|v0 ! v0 = E/B (1)

όπου q το ηλεκτρικό φορτίο του σωµατιδίου και

! v

0 η ταχύτητα εκτόξευσής

του. Όταν καταργήσουµε το ηλεκτρικό πεδίο µηδενίζεται η

!

F !" οπότε το σωµα τίδιο έχοντας ταχύτητα

! v

0 κάθετη στις δυναµικές γραµµές του µαγνητικού

πεδίου εκτελεί, υπό την επίδραση της

!

F L οµαλή κυκλική κίνηση, σε επίπεδο

κάθετο προς τις δυναµικές γραµµές του µαγνητικού πεδίου (σχ. 35). Όµως στη

διάρκεια αυτής της κίνησης, η δύναµη Lorentz παίζει ρόλο κεντροµόλου δύνα µης για το σωµατίδιο, οπότε θα ισχύει η σχέση:

Σχήµα 35

B|q |v0 =

mv02

R !

|q |

m=

v0

BR !

(1)

|q |

m=

E

B2R

όπου m η µάζα του σωµατιδίου και |q|/m το ειδικό του φορτίο.

P.M. fysikos

Στο χώρο µεταξύ των παραλλήλων µεταλλικών πλακών A και B του σχήµατος (36), υπάρχει οµογενές ηλεκτρικό πεδίο και οµογενές µαγνητικό πεδίο, των οποίων οι εντάσεις είναι

!

E και

!

B αντιστοιχως, µε

!

B ⊥

!

E . Mιά λεπτή δέσµη από πρωτόνια και δευτερόνια, εισέρχεται στο χώρο των πλακών παράλληλα προς αυτές, οπότε διαπιστώνεται ότι, αυτή δεν εκτρέπεται από την αρχική της διεύθυνση. i) Nα δείξετε ότι, εάν καταργήσουµε το µαγνητικό πεδίο η αρχική δέσµη αναλύεται σε δύο επιµέρους δέσµες. ii) Eάν το σηµείο εισόδου O της αρχικής δέσµης ισαπέχει από τις πλάκες, να βρείτε την απόσταση των ιχνών που παράγουν οι δύο δέσ µες, όταν προσκρούουν στην αρνητική πλάκα B. Δίνεται η απόσταση L των πλακών, το φορτίο qp και η µάζα mp του πρωτονίου. ΛYΣH: i) Eπειδή κατά την είσοδο της δέσµης των πρωτονίων και των δευτε ρονίων µέσα στο συνδυασµένο ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο, αυτή δεν εκτρέ πεται της αρχικής της διεύθυνσης Ox, σηµαίνει ότι, τη στιγµή που κάθε σωµα τίδιο της δέσµης εισέρχεται στο σηµείο O, η ηλεκτρική δύναµη

!

F !" που δέχε

ται από το ηλεκτρικό πεδίο είναι αντίθετη της δύναµης Lorentz

!

F L που δέχε

ται από το µαγνητικό πεδίο. Έτσι θα έχουµε τη σχέση:

!

F !" =

!

F L !

F!" = F

L ! Eq = Bqv0 ! v0

= E B (1)

όπου

! v

0 η ταχύτητα εισόδου του σωµατιδίου στο χώρο των δύο πεδίων. Aπό

την (1) προκύπτει ότι, η

! v

0 είναι ανεξάρτητη από τη µάζα και το ηλεκτρικό

φορτίο του σωµατιδίου, οπότε και τα πρωτόνια και τα δευτερόνια της δέσµης εισέρχονται στο χώρο των µεταλλικών πλακών A και B µε την ίδια ταχύτητα

! v

0. Eάν καταργηθεί το µαγνητικό πεδίο, τότε κάθε σωµατίδιο της δέσµης θα

δέχεται µόνο την ηλεκτρική δύναµη

!

F !" , υπό την επίδραση της οποίας θα διαγ ράψει παραβολική τροχιά στο επίπεδο που διέρχεται από το σηµείο O και είναι παράλληλο προς τις δυναµικές γραµµές του ηλεκτρικού πεδίου. Aς εξετάσου µε την κίνηση ενός πρωτονίου της δέσµης, ως προς το ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Oxy. H κίνηση του πρωτονίου κατά τον άξονα Ox είναι οµαλή µε ταχύ τητα

! v

0, οπότε η µετατόπισή του x1 κατά τον άξονα αυτό στο χρόνο t1 που

χρειάζεται για να πέσει πάνω στην αρνητική πλάκα B, είναι:

x1 = v0t1 !(1)

x1 = Et1/B (2)

Σχήµα 36

Eξάλλου, η κίνηση του πρωτονίου κατά τον άξονα Oy είναι οµαλά επιταχυνό µενη χωρίς αρχική ταχύτητα, µε επιτάχυνση

! a οµόρροπη της έντασης

!

E του ηλεκτρικού πεδίου, η δε µετατόπισή του κατά τον άξονα αυτόν, στο χρόνο t1 εί ναι L/2 και θα ισχύει:

L

2=

at1

2

2 !

t1 =L

a=

Lmp

Eqp

(3)

όπου mp η µάζα του πρωτονίου και qp το ηλεκτρικό του φορτίο. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε τη σχέση:

x1 =

E

B

Lmp

Eq p

(4)

Mε τον ίδιο τρόπο βρίσκουµε ότι, η µετατόπιση ενός δευτερονίου κατά τον άξο να Ox, µέχρις ότου αυτό φθάσει στην αρνητική πλάκα B, είναι:

x2 =

E

B

Lm!

Eq!

=E

B

2Lmp

Eqp

(5)

όπου mΔ , qΔ η µάζα και το ηλεκτρικό φορτίο αντιστοίχως του δευτερονίου. Aπό τις σχέσεις (4) και (5) προκύπτει ότι x1 <x2, δηλαδή το σηµείο M1 όπου τα πρωτόνια συναντούν την πλάκα B βρίσκεται αριστερότερα του σηµείου M2, όπου τα δευτερόνια συναντούν την πλάκα αυτή. Aυτό σηµαίνει ότι, η παραβο λική τροχιά (Cp) που διαγράφουν τα πρωτόνια της δέσµης είναι “στενώτερη” της παραβολικής τροχιάς (CΔ) που διαγράφουν τα δευτερόνια, δηλαδή η αρχική δέσµη µε την είσοδό της µέσα στο ηλεκτρικό πεδίο αναλύεται σε δύο επί µέρους δέσµες όπως φαίνεται στο σχήµα (36). ii) H απόσταση M1M2 των ιχνών M1, M2, που αφήνουν οι δύο δέσµες πάνω στην πλάκα B, είναι ίση µε τη διαφορά x2 -x1, δηλαδή ισχύει η σχέση:

M1M2 = x2 - x1 !(5)

(4)

M1M2 =B

E

2Lmp

Eq p

-B

E

Lmp

Eq p

!

M1M2 =

( 2 - 1)B

E

Lmp

Eqp

P.M. fysikos

Λεπτή δέσµη ηλεκτρονίων εισέρχεται στο χώρο µεταξύ των οπλισµών φορτισµένου πυκνωτή, κάθετα προς τις δυναµι κές γραµµές του ηλεκτρικού του πεδίου και εξέρχεται από τον πυκ νωτή κατά διεύθυνση που σχηµατίζει γωνία φ µε την αρχική διεύ θυνση της δέσµης. Eάν όµως στο εσωτερικό του πυκνωτή δηµιουρ γήσουµε οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου οι δυναµικές γραµ µές είναι κάθετες στις δυναµικές γραµµές του ηλεκτρικού πεδίου και στην ταχύτητα εισόδου της ηλεκτρονικής δέσµης, η δε έντασή του έχει µέτρο B, τότε η δέσµη δεν εκτρέπεται από την αρχική της διεύ θυνση. Eάν το µήκος των οπλισµών του πυκνωτή είναι L, να βρεθεί η ταχύτητα εισόδου της δέσµης µέσα στον πυκνωτή. Δίνεται το ηλεκτ ρικό φορτίο qe και η µάζα me του ηλεκτρονίου. ΛYΣH: Eξετάζουµε την κίνηση ενός ηλεκτρονίου της δέσµης, όταν στο χώρο µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή υπάρχει µόνο το ηλεκτρικό πεδίο έντασης

!

E (σχ. 37). Tο ηλεκτρόνιο κατά τη διεύθυνση του άξονα Ox, ο οποίος είναι παράλληλος προς τη διεύθυνση των οπλισµών, εκτελεί οµαλή κίνηση µε ταχύ τητα ίση προς την ταχύτητα εισόδου

! v

0 της δέσµης µέσα στο πεδίο. Έτσι στο

χρόνο tολ που το ηλεκτρόνιο βρίσκεται µέσα στο πεδίο, η µετατόπιση του κατά τον άξονα Ox θα είναι ίση µε OA΄, δηλαδή ίση µε το µήκος L των οπλισµών και θα ισχύει: L = v0tολ ! tολ = L/v0 (1) Eξάλλου κατά τη διεύθυνση του άξονα Oy, ο οποίος είναι κάθετος προς τους οπλισµούς του πυκνωτή, το ηλεκτρόνιο εκτελεί οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα, µε επιτάχυνση

! a αντίρροπη της έντασης

!

E του πεδί ου, της οποίας το µέτρο σύµφωνα µε το νδεύτερο νόµο του Νεύτωνα, είναι:

�

a =F!"

me

=E|qe |

me

(2)

όπου

!

F !" η σταθερή ηλεκτρική δύναµη που δέχεται το ηλεκτρόνιο από το πεδί

ο. Έτσι η συνιστώσα

�

! v

y της ταχύτητάς του

! v στο σηµείο εξόδου A από το πε

δίο, θα έχει µέτρο που δίνεται από τη σχέση:

Σχήµα 37

vy = atολ !(2)

�

vy =E|qe | t!"

me

!(1)

�

vy =E|qe |L

mev0

(3)

Όµως, αν

! v

x είναι η συνιστώσα της

! v κατά τον άξονα Ox, θα έχουµε:

�

vx = v0

vy = vx!""

!

"

#

!

�

vy = v0 !"" !(3)

�

E|qe |L

mev0

= v0 !"" !

�

!""=E|qe |L

mev0

2 (4)

Έστω τώρα ότι, στο χώρο µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή δηµιουργούµε οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου η ένταση

!

B είναι κάθετη στα διανύσµα τα

! v

0 και

!

E , το δε µέτρο της είναι τέτοιο ώστε τα ηλεκτρόνια της δέσµης να µην εκτρέπονται σε σχέση µε την αρχική διεύθυνση κίνησής τους. Aυτό σηµαίνει ότι, τη στιγµή που ένα ηλεκτρόνιο εισέρχεται στο χώρο των δύο πεδί ων δέχεται από το µαγνητικό πεδίο δύναµη Lorentz

!

F L, αντίθετη της ηλεκτρι

κής δύναµης

!

F !" . Έτσι θα έχουµε τη σχέση:

!

F L= -

!

F !" ! F

L= F!" !

�

v0 B|qe |v0 = E |qe | ! E = Bv0 (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε:

�

!""=BLv0 |qe |

mev0

2 !

�

v0 =BL|qe |

me!""

P.M. fysikos

Ένα θετικό ιόν εισέρχεται µέσα σε συνδυασµένο οµογενές ηλεκτρικό και οµογενές µαγνητικό πεδίο, που οι δυναµικές τους γραµµές τέµνονται ορθογώνια. Eάν η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου έχει µέτρο E, τότε το ιόν κινείται µέσα στο χώρο των δύο πεδίων ευθύγραµµα και οµαλά. Eξάλλου διαπιστώθηκε πως, αν αυξη θεί το µέτρο της ταχύτητας του ιόντος κατά Δv, τότε για να εξακο λουθήσει να κινείται ευθύγραµµα και οµαλά πρέπει αντιστοίχως ν’ αυξηθεί το µέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου κατά ΔE. Nα βρείτε την ταχύτητα εισόδου του ιόντος στο χώρο των δύο πεδίων. ΛYΣH: H ταχύτητα εισόδου

! v του θετικού ιόντος µέσα στο χώρο των δύο πε

δίων πρέπει να έχει τέτοια διεύθυνση φορά και µέτρο ώστε, η δύναµη Lorentz

!

F L που θα δεχθεί από το µαγνητικό πεδίο κατά την είσοδό του, να είναι

αντίθετη της δύναµης

!

F !" , που δέχεται από το ηλεκτρικό πεδίο. Όµως η ηλεκ

Σχήµα 38

τρική δύναµη

!

F !" είναι οµόρροπη της έντασης

!

E του ηλεκτρικού πεδίου,

αφού το ιόν φέρει θετικό φορτίο q, οπότε η

!

F L πρέπει να είναι αντίρροπη της

!

E . (σχ. 38). Aλλά η

!

F L είναι κάθετη στο επίπεδο των διανυσµάτων

! v και

!

B , που σηµαίνει ότι το διάνυσµα

! v πρέπει να βρίσκεται στο επίπεδο Oyz που

διέρχεται από το σηµείο εισόδου O του ιόντος στο χώρο των δύο πεδίων και είναι κάθετο στο διάνυσµα

!

E . Σύµφωνα λοιπόν µε τα παραπάνω πρέπει να ισχύει η σχέση:

!

F L= -

!

F !" ! F

L= F!" ! Bqv !µ" = Eq ! Bv !µ" = E (1)

όπου φ η γωνία που σχηµατίζουν οι φορείς των

!

B και ! v . Όταν τα µέτρα των

! v και

!

E αυξηθούν κατά Δv και ΔE αντιστοίχως, χωρίς να µεταβληθούν οι φο

ρές και οι διευθύνσεις τους, τότε σύµφωνα µε το πρόβληµα, το θετικό ιόν εξακολουθεί να κινείται ευθύγραµµα και οµαλά, οπότε θα ισχύει η σχέση:

B(v + !v)"µ# = E + !E !(1)

B(v + !v)"µ# = Bv "µ# + !E ! B!v"µ# = !E ! !µ" = #E/B#v (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε:

v =

E

B!E/B!v

=E!v

!E

P.M. fysikos

Mια πηγή παράγει πρωτόνια, δευτερόνια και σω µατίδια α, τα οποία επιταχύνονται εκ της ηρεµίας µε τάση V, προς ένα µικρό άνοιγµα A. Όσα σωµατίδια διέρχονται από το άνοιγµα σχηµατίζουν λεπτή δέσµη, η οποία µπαίνει σε οµογενές µαγνητικό πε δίο, κάθετα προς τις δυναµικές του γραµµές, το οποίο εκτείνεται σε µια ορθογώνια περιοχή πολύ µεγάλου εύρους. i) Nα σχεδιαστούν οι τροχιές των σωµατιδίων στο µαγνητικό πεδίο. ii) Nα συγκριθούν οι χρόνοι κίνησης των σωµατιδίων µέσα στο πεδί ο. Δίνεται mα=4mp , mΔ=2mp , qα=2qp , qΔ=qp , όπου mp η µάζα του πρω τονίου και qp το ηλεκτρικό του φορτίο. ΛYΣH: i) Θεωρούµε ένα πρωτόνιο της δέσµης, το οποίο εισέρχεται στο οµογε νές µαγνητικό πεδίο στο σηµείο O µε ταχύτητα

! v

p, της οποίας ο φορέας είναι

κάθετος στην ένταση !

B του πεδίου. Yπό την επίδραση της δύναµης Lorentz

!

F L που δέχεται από το πεδίο, το πρωτόνιο εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση στο

επίπεδο που διέρχεται από το σηµείο O και είναι κάθετο τις δυναµικές γραµ µές του πεδίου. Eπειδή το µαγνητικό πεδίο εκτείνεται µέσα σε µια ευρεία ζώνη, το πρωτόνιο θα διαγράψει ηµιπεριφέρεια C1 και θα βγει από το πεδίο στο σηµείο M µε ταχύτητα -

! v

p. H ακτίνα Rp της ηµιπεριφέρειας αυτής υπολογίζε

ται µε βάση το γεγονός ότι, η δύναµη Lorentz παίζει ρόλο κεντροµόλου δύνα µης σε κάθε σηµείο της τροχιάς του, δηλαδή ισχύει η σχέση:

Bqpvp =

qpmp

2

Rp

!

Rp =mpvp

Bqp

(1

Όµως το πρωτόνιο πριν µπει µέσα στο µαγνητικό πεδίο, επιταχύνθηκε εκ της ηρεµίας υπό τάση V, οπότε µέσω του έργου qpV της ηλεκτρικής δύναµης απέκ τησε κινητική ενέργεια mpvp

2/2, δηλαδή ισχύει η σχέση:

mpvp

2

2= qpV !

vp =2qpV

mp

(2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε τη σχέση:

Rp =mp

Bqp

2qpV

mp

=1

B2V

mp

qp

!

" #

$

% & (3)

Eξάλλου, εάν tp είναι ο χρόνος κίνησης του πρωτονίου στο µαγνητικό πεδίο, θα ισχύει:

tp =

!mpvp

Bqpvp

=!mp

Bqp

(4)

Σχήµα 39 Mε τον ίδιο τρόπο εργαζόµενοι βρίσκουµε ότι, τα δευτερόνια και τα σωµατίδια α της δέσµης θα διαγράψουν µέσα στο πεδίο ηµιπεριφέρειες ακτίνων RΔ και Rα αντιστοίχως, για τις οποίες ισχύουν:

R

!=

1

B2V(m

!/q

!) =

1

B2V (2m0 /q0) !

(3)

R

!= Rp 2 (5)

και

R

!=

1

B2V(m

!/q

!) =

1

B2V(4mp /2qp) !

(3)

R

!= Rp 2 (6)

Δηλαδή τα δευτερόνια και τα σωµατίδια α της δέσµης θα διαγράψουν την ίδια ηµικυκλική τροχιά C2 και θα βγούν από το σηµείο N µε ταχύτητες αντίθετες προς τις ταχύτητες εισόδου τους µέσα στο πεδίο. Έτσι η αρχική δέσµη θα ανα λυθεί σε δύο επιµέρους δέσµες, τα σωµατίδια των οποίων θα διαγράψουν µέσα στο πεδίο της ηµικυκλικές τροχιές C1 και C2 του σχήµατος (39). ii) Eξάλλου, εάν tΔ , tα είναι οι χρόνοι κίνησης των δευτερονίων και των σωµα τιδίων α αντιστοίχως µέσα στο πεδίο, σύµφωνα µε τη σχέση (4) θα έχουµε:

t!

="m

!

Bq!

="2mp

Bqp

t#

="m

#

Bq#

="4mp

B2qp

!

"

# #

$

# #

!(4 )

t!

= 2tp

t"

= 2tp

!

" #

$ # !

t!= t

"= 2tp

P.M. fysikos

Ένα σωµατίδιο εισέρχεται σε οµογενές µαγνητικό πεδίο κάθετα προς τις δυναµικές του γραµµές, µε κινητική ενέργεια K0. Eάν η ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς του σωµατιδίου στο ση µείο εξόδου του από το µαγνητικό πεδίο, είναι ίση µε το µισό της ακ τίνας καµπυλότητας της τροχιάς στο σηµείο εισόδου του στο πεδίο, να βρεθεί ο αριθµός των ιονιστικών κρούσεων του σωµατιδίου µε τα µόρια του αέρος κατά τη διάρκεια της κίνησής του µέσα στο µαγνη τικό πεδίο. Δίνεται το έργο ιονισµού W0 των µορίων του αέρος. ΛYΣH: Έστω

! v

0 η ταχύτητα εισόδου του σωµατιδίου α µέσα στο µαγνητικό

πεδίο και !

B η ένταση του πεδίου. Mέχρις ότου το σωµατίδιο συγκρουσθεί για πρώτη φορά µε ένα µόριο του ατµοσφαιρικού αέρα, διαγράφει κυκλικό τόξο του οποίου η ακτίναι R0 υπολογίζεται µε βάση το γεγονός ότι, η δύναµη Lorentz

Σχήµα 40

!

F L που δέχεται το σωµατίδιο από το πεδίο, αποτελεί κεντροµόλο δύναµη σε κά

θε σηµείο του κυκλικού τόξου που διαγράφει. Έτσι θα έχουµε:

FL=

mv0

2

R0

!

Bqv0 =mv0

2

R0

! R0 =

mv0

Bq (1)

όπου m η µάζα και q το ηλεκτρικό φορτίο του σωµατιδίου. Όµως κατά τις ιονιστικές κρούσεις του σωµατιδίου µε τα µόρια του αέρα η ταχύτητά του διαρ κώς µειώνεται, οπότε σύµφωνα µε τη σχέση (1) θα µειώνεται και η ακτίνα των κυκλικών τόξων που θα διαγράφει µέσα στο πεδίο. Έτσι, εάν

! v ! είναι η ταχύ

τητα εξόδου του σωµατιδίου από το µαγνητικό πεδίο και Rτ η ακτίνα του τελευ ταίου κυκλικού τόξου που θα διαγράψει, πριν βγεί από το πεδίο, θα ισχύει:

�

R!= mv

!/Bq (2)

Aλλά, σύµφωνα µε το πρόβληµα ισχύει Rτ =R0/2, η οποία µε βάση τις σχέσεις (1) και (2) γράφεται:

mv!

Bq=

mv0

2Bq !

v

!=

v0

2 (3)

Eξάλλου, εάν Kτ είναι η κινητική ενέργεια του σωµατιδίου α την στιγµή της εξόδου του από το µαγνητικό πεδίο, θα έχουµε:

�

K!

=mv

!

2

2 !

(3)

�

K!

=m

2

v0

2

4=

K0

4 (4)

Έτσι η συνολική απώλεια ενέργειας ΔK του σωµατιδίου, λόγω των ιονιστικών κρούσεων µε µόρια του αέρα, θα είναι:

�

!K = K0- K

" !

(4)

�

!K = K0- K

0/4 = 3K

0/4 (5)

Όµως σε κάθε ιονιστική κρούση το σωµατίδιο χάνει ενέργεια ίση µε το έργο ιονισµού W0 ενός µορίου αέρα, οπότε εάν x είναι ο αριθµός των ιονιστικών κρούσεων, θα ισχύει η σχέση:

�

!K = xK0 !

(5)

�

3K0/4 = xW

0 !

�

x = K0/4W

0

P.M. fysikos

Mία λεπτή δέσµη ηλεκτρονίων εισέρχεται κάθετα στις δυναµικές γραµµές ενός οµογενούς µαγνητικού πεδίου, του οποί ου η ένταση έχει µέτρο B. Tο µαγνητικό πεδίο έχει τέτοια γεωµετρι κή µορφή, ώστε η τοµή των δυναµικών του γραµµών µε ένα επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση του πεδίου, να είναι κύκλος ακτίνας R. H αρχική διεύθυνση της δέσµης διέρχεται από το κέντρο του κύκλου αυτού, τα δε ηλεκτρόνια της έχουν την ίδια ταχύτητα, µέτρου v0. Nα βρεθεί η γωνιακή εκτροπή της δέσµης, όταν αυτή εξέρχεται του µαγνητικού πεδίου. Δίνεται το ηλεκτρικό φορτίο qe και η µάζα me του ηλεκτρονίου. ΛYΣH: Έστω A το σηµείο εισόδου της ηλεκτρονικής δέσµης στο οµογενές µαγνητικό πεδίο. Kάθε ηλεκτρόνιο της δέσµης εισερχόµενο στο µαγνητικό πεδίο µε ταχύτητα

! v

0, κάθετα στις δυναµικές του γραµµές, δέχεται από αυτό

δύναµη Lorentz

!

F L, υπό την επίδραση της οποίας εκτελεί οµαλή κυκλική κίνη

ση, διαγράφωντας στο επίπεδο του κύκλου (O,R) κυκλικό τόξο, του οποίου το κέντρο K βρίσκεται στην τοµή των καθέτων διευθύνσεων στις ταχύτητες εισό δου

! v

0 και εξόδου

! v ! της δέσµης από το πεδίο (σχ. 41). H ακτίνα r του τόξου

αυτού υπολογίζεται µε βάση το γεγονός ότι, η δύναµη Lorentz

!

F L ενεργεί επί

του ηλεκτρονίου, σε κάθε θέση της τροχιάς του, ως κεντροµόλος δύναµη. Δηλα δή ισχύει η σχέση:

B|qe| v0 =

mev02

r !

r =

mev0

B |qe| (1)

Tα τρίγωνα AOK και OΓK είναι ίσα, διότι έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες µία προς µία, οπότε η γωνία OΓK θα είναι ίση µε π/2, δηλαδή ο φορέας της

Σχήµα 41

! v ! προεκτεινόµενος συµπίπτει µε την OΓ, δηλαδή διέρχεται από το κέντρο O

του κύκλου (O, R), η δε γωνία φ αποτελεί τη ζητούµενη γωνιακή εκτροπή της ηλεκτρονικής δέσµης από το µαγνητικό πεδίο. Eξάλλου, από το ορθογώνιο τρίγωνο AOK έχουµε τη σχέση:

!"

"

2=

AO

AK !

!"

"

2=

R

r !

(1)

�

!""

2=

RB |qe |

mev0

P.M. fysikos

H τοµή των δυναµικών γραµµών ενός οµογενούς µαγνητικού πεδίου µε το επίπεδο της σελίδας είναι ένα τετράγωνο AΓΔZ, πλευράς α. Mία λεπτή δέσµη ηλεκτρονίων εισέρχεται στο πεδί ο από το µέσο M της πλευράς AΓ, µε ταχύτητα της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στις δυναµικές γραµµές του πεδίου και εξέρχεται από το πεδίο µε γωνιακή απόκλιση π/2. Eάν B είναι το µέτρο της έντα σης του πεδίου, να βρεθούν: i) το µέτρο της ταχύτητας εισόδου της ηλεκτρονικής δέσµης στο µαγ νητικό πεδίο και ii) ο χρόνος κίνησης κάθε ηλεκτρονίου της δέσµης µέσα στο πεδίο και η αντίστοιχη µεταβολή της ορµής του. Δίνεται η µάζα me και το ηλεκτρικό φορτίο qe του ηλεκτρονίου. ΛYΣH: i) Kάθε ηλεκτρόνιο της δέσµης, που εισέρχεται στο οµογενές µαγνη τικό πεδίο κάθετα προς τις δυναµικές του γραµµές, δέχεται από το πεδίο δύνα

µη Lorentz, υπό την επίδραση της οποίας εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση σε επίπεδο που διέρχεται από το σηµείο M και είναι κάθετο στις δυναµικές γραµ µές του πεδίου (στην περίπτωση που εξετάζουµε το επίπεδο αυτό συµπίπτει µε το επίπεδο του τετραγώνου AΓΔZ. Στη διάρκεια της κίνησης αυτής η δύναµη Lorentz αποτελεί σε κάθε σηµείο της κυκλικής τροχιάς του ηλεκτρονίου κεν τροµόλο δύναµη και εποµένως ισχύει η σχέση:

B|qe |v0 =

mev02

R !

R =

mev0

B|qe | (1)

όπου R η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς. Όµως σύµφωνα µε το πρόβληµα, ο φορέας της ταχύτητας

! v

N του ηλεκτρονίου στο σηµείο εξόδου N από το πεδίο

είναι κάθετος στο φορέα της ταχύτητας

! v

0 του ηλεκτρονίου στο σηµείο εισό

δου M στο πεδίο, που σηµαίνει ότι το κυκλικό τόξο που διαγράφει το ηλεκ τρόνιο αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία π/2, δηλαδή το κέντρο του είναι το ση µείο Γ (σχ. 42). Έτσι η ακτίνα R είναι ίση µε α/2, οπότε η σχέση (1) γράφεται:

!

2=

mev0

B|qe| !

v0 =

!B |qe|

2me

(2)

Σχήµα 42 ii) O χρόνος κίνησης tολ του ηλεκτρονίου µέσα στο πεδίο υπολογίζεται από τη σχέση:

t!"

=(MN)

v0

=#/2 $/2

v0

!(2)

t!"

=#$2me

4$B|qe| =

!me

2B|qe | (3)

H µεταβολή !

!

P της ορµής του ηλεκτρονίου κατά την κίνησή του µεταξύ των σηµείων M και N θα είναι:

!!

P =!

P "#$ -!

P %&' =!

P "#$ +(-!

P %&' ) (4)

όπου

!

P !"#

,

!

P !"#

οι ορµές του ηλεκτρονίου στα σηµεία M και N αντιστοίχως.

Όµως τα διανύσµατα

!

P !"#

και -

!

P !"#

είναι µεταξύ τους ορθογώνια και έχουν το ίδιο µέτρο ίσο προς mev0, οπότε σύµφωνα µε τον κανόνα του παραλληλογ ράµµου θα ισχύει η σχέση:

!P = P"#$

2+ P%&'

2= 2m

e

2v

0

2 !

!P = m

ev

02 !

(2)

�

!P = 2"B|qe | /2 H διεύθυνση του διανύσµατος !

!

P καθορίζεται από τη γωνία φ, για την οποία ισχύει:

!"" =

P#!$

P%&'

=m

ev

0

mev

0

= 1 ! ! = "

4

P.M. fysikos