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0Recordatorio
Cálculo matricial de estructuras
Guillermo Rus Carlborg
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Álgebra matricial Elasticidad
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Índice
Álgebra matricial Definición Operaciones (+ – × ÷)
Elasticidad Desplazamientos + deformaciones Tensiones + Esfuerzos Relaciones constitutivas
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Álgebra matricial Elasticidad
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Álgebra matricial – Definición de matriz
Un sistema de ecuaciones lineal se puede representar:
coeficientes variables
términos independientes
Matriz: negrita mayúscula
Vector: negrita minúscula
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Álgebra matricial Elasticidad
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Álgebra matricial – Definición de matriz
Algunos casos particulares de matriz A tienen nombre:
Traspuesta
Cuadrada
Simétrica
Identidad
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Álgebra matricial Elasticidad
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Álgebra matricial – Operaciones
Multiplicación:
Propiedades: Conmutativa NO
Asociativa
Distributiva
Identidad
Transposición
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Álgebra matricial Elasticidad
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Álgebra matricial – Operaciones
Suma y resta:
Determinante:
término a término
submatriz: eliminando fila 1, columna i
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Álgebra matricial Elasticidad
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Álgebra matricial – Operaciones
Inversa:
Condiciones:
Propiedades:
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Álgebra matricial Elasticidad
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Álgebra matricial – Operaciones
Inversa: Para resolver los métodos modernos no calculan
Métodos directos: tiempo~N3 Eliminación de Gauss: Descomposición LU: Descomposición QR:
Métodos iterativos: tiempo~N2 Jacobi: Gauss-Seidel: Gradiente conjugado:
GMRes: de los mejores algoritmos
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Álgebra matricial Elasticidad
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Elasticidad – Desplazamiento y deformación
Posición:
Desplazamiento:
Movimiento:
Vectores unitarios
Variables Lagrangianas
Variables Eulerianas
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Álgebra matricial Elasticidad
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Elasticidad – Desplazamiento y deformación
Distancia:
Pequeños desplazamientos:
Tensor de deformación de Lagrange
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Elasticidad – Tensión y tracción
La cinética de los sólidos se describe por fuerzascontinuos tensiones
Para conocer las tensiones en un punto interior, cortamos
por punto + dirección n
Resultante que compensa lo eliminado
tracción
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Álgebra matricial Elasticidad
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Elasticidad – Tensión y tracción
Definimos como estado tensional en un punto lo necesario para conocer la tracción en cualquier dirección n
Para un plano no canónico:
tensión
Definido por n Sumatorio
de Einstein
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Álgebra matricial Elasticidad
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Elasticidad – Relaciones constitutivas
Al igual que en 1D: ahora:
Suponiendo elasticidad lineal isótropa: 2 constantes
Lamé Hooke
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Elasticidad – Barra
Elemento barra a flexión de Euler-Bernoulli: Hipótesis:
H1: Sección transversal planaH2: Sección inextensibleH3: Sección perpendicular
Deformación:
Comportamiento:
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Álgebra matricial Elasticidad
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Elasticidad – Barra
Elemento barra a flexión de Euler-Bernoulli: El comportamiento longitudinal está desacoplado del transversal:
Equilibrio longitudinal:
Equilibrio Transversal: