ΘΕΜΑ 1Ο

Α. Έστω ΑΒ ένα ευθύγραμμο τμήμα με Α(x1,y1) και Β(x2, y2). Αν Μ(x, y) είναι το μέσο του

ΑΒ, τότε να αποδείξετε ότι: 1 2

2

x xx

και

1 2

2

y yy

(3 μονάδες)

Β. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α και β

συναρτήσει των συντεταγμένων τους. (2 Μονάδες)

Γ. Σημειώστε Σωστό ή Λάθος στις παρακάτω προτάσεις:

1. Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα λέγεται φορέας

του .

2. Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ, τότε και αντιστρόφως.

3. Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη

διανυσματική ακτίνα της αρχής.

4. Το αντίθετο διάνυσμα ενός μοναδιαίου διανύσματος έχει μέτρο -1.

5. Αν , δυο μη μηδενικά διανύσματα και ( , )2

, τότε .

6. Το διάνυσμα 7 είναι ομόρροπο του και έχει μέτρο 7.

7. Αν Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ, τότε 1 1

2 2 .

8. Αν a b τότε τα ,b είναι ίσα .

9. Αν (0, y) τότε ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος .

10. Η γωνία ω που σχηματίσει το διάνυσμα με τον χ΄χ είναι0 00 180

(20 Μονάδες )

Τάξη B΄ Λυκείου ΠΕΝΤΕΛΗ

Κτίριο 1 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 13 , Τηλ. 210 8048919 / 210 6137110

Κτίριο 2 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 29 , Τηλ. 210 8100606

ΒΡΙΛΗΣΣΙΑ

Κτίριο 3 : Ολύμπου 1 & Λ. Πεντέλης , Τηλ. 210 8035537

Site : www.dinamiko.gr

Facebook : www.facebook.com/dinamikoedu

e-mail : dinamiko13@yahoo.gr / info@dinamiko.gr

Μάθημα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Εξεταστέα ύλη Διανύσματα έως και εσωτ. γινόμενο

Καθηγητής Καμπάς Ν. - Κόκκινος Γ - Συνοδινού Ι. - Τασούλης Κ.

Ημερομηνία 08/11/2015 ΟΜΑΔΑ Α

ΘΕΜΑ 2Ο

Α. Να βρείτε τις τιμές των κ, λ ∈ ℝ για τις οποίες τα διανύσματα �⃗� = (𝟏 − 𝛋, 𝟐𝛌) και

𝐲 = (𝟐 − 𝟒𝛌, 𝟐 − 𝛋) είναι ίσα. (6 Μονάδες)

Β. Για ποιές τιμές του μ ∈ ℝ τα διανύσματα �⃗⃗� = (𝛍 − 𝟐, 𝟐) και �⃗� = (𝟒, 𝛍) είναι ομόρροπα ;

(8 Μονάδες)

Γ. Δίνονται τα διανύσματα 𝚶𝚨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = �⃗� + 𝐛 , 𝐎𝐁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟐�⃗� − 𝟑𝐛 και 𝚶𝚪 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝟓�⃗⃗� − 𝟏𝟓𝐛 όπου 𝑎 , �⃗� δυο μη

συγγραμικά διανύσματα του επιπέδου.

i. Να γράψετε τα διανύσματα 𝛢𝛣⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝛢𝛤⃗⃗⃗⃗ ⃗ ως γραμμικό συνδυασμό των 𝑎 , �⃗� (7 Μονάδες)

ii. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. (4 Μονάδες)

ΘΕΜΑ 3Ο

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 2, , 6, 2 , 2 1, 5 όπου . Έστω επίσης Μ το μέσο

του ΑΒ για το οποίο ισχύει 20.

α) Να βρείτε την τιμή του .

β) Να βρείτε σημείο Κ του άξονα 'y y , ώστε .

γ) Να αποδείξετε ότι η γωνία ̂ είναι αμβλεία.

δ) Να βρείτε τη γωνία ̂ . (7-7-6-5 Μονάδες )

ΘΕΜΑ 4Ο

Α. Δίνονται διανύσματα α , β , γ για τα οποία ισχύουν 2α β γ 0 και α γ

β2 3 .

Να αποδείξετε ότι α γ . (7 Μονάδες )

Β. Δίνεται η γωνία χοy και διανύσματα OA , O στις πλευρές οχ , οy αντίστοιχα .

i) Αν και με 0 , , να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι

τραπέζιο .

ii) Αν επιπλέον Ε,Ζ τα μέσα των τμημάτων ΑΒ , ΔΓ αντίστοιχα , να δείξετε ότι τα σημεία

Ο , Ε, Ζ είναι συνευθειακά .

iii) Αν A 0 να προσδιορίσετε το σημείο Μ .

(6-6-6 Μονάδες )

Δείτε τις απαντήσεις των θεμάτων στο site του Φροντιστηρίου www.dinamiko.gr EΚΠ.ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ